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Ensino da MatemáticaEnsino da Matemática
Informática Educativa – II
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problemas práticos relacionados principalmente à
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lados de um triângulo com as medidas de seus
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Por esse motivo, a Trigonometria foi
considerada em sua origem, como uma
extensão da Geometria.
Ela não se limita ao estudo de triângulos.
Encontramos aplicações da Trigonometria
na Engenharia, na Mecânica, na
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• São arcos que têm mesma
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• A diferença entre dois
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• sen (π + x) = - sen x
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• cos (π + x) = - cos x
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a = (2π - x)a = (2π - x)
O x
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π 0x
a
3π/2
2π
• cos (2π - x) = cos x
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y = π/2 - xy = π/2 - x
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sen y = cos x
sen x = cos y
sen y = cos x
O x
y
π/2
π 0x
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2π
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I. sen2
x + cos2
x = 1
III. cotg x =
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II. tg x =
xcos
xsen
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VI. sec2
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VII. csc2
x = 1 + cotg2
x
V. csc x =
xsen
1
IV. sec x =
xcos
1
Relações fundamentaisRelações fundam...
Teorema Fundamental da
Trigonometria
1cossen 22
=θ+θ
Demonstração ...Demonstração ...
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Utilizando o teorema de Pitágoras h2
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1cossen 22
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Circunferência TrigonométricaCircunferência Trigonométrica
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cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ
)θ
0
·
cotgcotg θ
secante θ
cossec θ
Circunferência TrigonométricaCircunferência Trigonométrica
Arcos Notáveis
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg
90°
180°
270°
0°/360°
O Ciclo Trigonométrico
Referências bibliográficasReferências bibliográficas
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria
• http://www.brasilescol...
tarefa2-Trigonometria
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  1. 1. Novas Tecnologias noNovas Tecnologias no Ensino da MatemáticaEnsino da Matemática Informática Educativa – II Aluno: Eugênio Pereira da Silva Pólo: Iguaba Grande Tutora: Mary Jane
  2. 2. A palavra trigonometria teve origem na resolução de problemas práticos relacionados principalmente à navegação e à Astronomia. Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C.-125 a.C.).
  3. 3. A trigonometria, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos, é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.
  4. 4. Por esse motivo, a Trigonometria foi considerada em sua origem, como uma extensão da Geometria.
  5. 5. Ela não se limita ao estudo de triângulos. Encontramos aplicações da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na Astronomia e até na Música.
  6. 6. TRIGONOMETRIA NATRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIACIRCUNFERÊNCIA - Apesar da trigonometria ter surgido com o triângulo retângulo, vamos trabalhá-la na circunferência.
  7. 7. 1. Introdução A B Arco AB O Ângulo central Equivalência: π rd = 180oEquivalência: π rd = 180o ARCOS e ÂNGULOSARCOS e ÂNGULOS
  8. 8. • São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade. • A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2π. • Forma geral: • São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade. • A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2π. • Forma geral: A B x = α + 2kπx = α + 2kπ ARCOS CôngruosARCOS Côngruos
  9. 9. O x A’ A y B B’ 1 1 P + - Circunferência trigonométricaCircunferência trigonométrica
  10. 10. O x A’ A y B B’ P M N α sen α cos α Seno e CossenoSeno e Cosseno
  11. 11. Seno: • marcado no eixo Y • varia de –1 até 1  -1 ≤ sen ≤ 1 • sinal do seno: Seno: • marcado no eixo Y • varia de –1 até 1  -1 ≤ sen ≤ 1 • sinal do seno: O x A’ A y B B’ 1 -1 Seno e CossenoSeno e Cosseno
  12. 12. Cosseno: • marcado no eixo X • varia de –1 até 1  -1 ≤ cos ≤ 1 • sinal do cosseno: Cosseno: • marcado no eixo X • varia de –1 até 1  -1 ≤ cos ≤ 1 • sinal do cosseno: O x A’ A y B B’ -1 1 Seno e CossenoSeno e Cosseno
  13. 13. O x A’ A y B B’ P t t // yt // y M tg α α TangenteTangente
  14. 14. O x A’ A y B B’ TangenteTangente
  15. 15. a) 2o quadrante • cos (π - x) = - cos x • tg (π - x) = - tg x a = (π - x)a = (π - x) O x y π/2 π 0x a 3π/2 2π• sen (π - x) = sen x Redução ao 1º quadranteRedução ao 1º quadrante
  16. 16. b) 3o quadrante • sen (π + x) = - sen x a = (π + x)a = (π + x) O x y π/2 π 0x a 3π/2 2π • cos (π + x) = - cos x • tg (π + x) = tg x Redução ao 1º quadranteRedução ao 1º quadrante
  17. 17. c) 4o quadrante • sen (2π - x) = - sen x a = (2π - x)a = (2π - x) O x y π/2 π 0x a 3π/2 2π • cos (2π - x) = cos x • tg (2π - x) = - tg x Redução ao 1º quadranteRedução ao 1º quadrante
  18. 18. y = π/2 - xy = π/2 - x sen x = cos y sen y = cos x sen x = cos y sen y = cos x O x y π/2 π 0x 3π/2 2π y x Relações entre arcosRelações entre arcos
  19. 19. I. sen2 x + cos2 x = 1 III. cotg x = xsen xcos xtg 1 = II. tg x = xcos xsen Relações fundamentaisRelações fundamentais
  20. 20. VI. sec2 x = 1 + tg2 x VII. csc2 x = 1 + cotg2 x V. csc x = xsen 1 IV. sec x = xcos 1 Relações fundamentaisRelações fundamentais
  21. 21. Teorema Fundamental da Trigonometria 1cossen 22 =θ+θ
  22. 22. Demonstração ...Demonstração ... )θ 1 cos sen 1 -1 -1 0 sen θ cos θ θ ·
  23. 23. Continuação...Continuação... )θ 1 cos sen 1 -1 -1 0 sen θ cos θ 1
  24. 24. Continuação...Continuação... )θ sen θ cos θ 1 Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2 , temos : 1cossen 22 =θ+θ
  25. 25. Circunferência TrigonométricaCircunferência Trigonométrica )θ cos sen 0 sen θ cos θ · tg tg θ
  26. 26. )θ 0 · cotgcotg θ secante θ cossec θ Circunferência TrigonométricaCircunferência Trigonométrica
  27. 27. Arcos Notáveis 30°150° 210° 330° 45°135° 225° 315° 60°120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360°
  28. 28. O Ciclo Trigonométrico
  29. 29. Referências bibliográficasReferências bibliográficas • http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria • http://www.brasilescola.com/matematica/trigonom • http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigo • http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/t • http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonom

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