Este documento fornece uma introdução teórica às primitivas imediatas e apresenta uma tabela com primitivas elementares. Inclui exercícios resolvidos e propostos sobre o cálculo de primitivas utilizando a tabela fornecida. Fornece também sugestões para a resolução dos exercícios propostos, indicando como derivar a segunda coluna da tabela de primitivas imediatas.

1. Exercícios de Revisão
Primitivas Imediatas
Algumas Fórmulas Úteis .....................................................................................................3
§1 Introdução Teórica ..............................................................................................................4
§2 Exercícios Resolvidos...........................................................................................................4
2.1 Potência...........................................................................................................................4
2.2 Exponencial ....................................................................................................................5
2.3 Logaritmo .......................................................................................................................6
2.4 ArcTan/ArcSin ...............................................................................................................7
§3 Exercícios Propostos ............................................................................................................8
§4 Sugestões para as resoluções dos Exercícios Propostos.....................................................9
Bibliografia .........................................................................................................................10
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2. Tabela 1.1: Tabela de Primitivas Elementares
f P f =F
c, c ∈ IR cx
α
x (α≠− 1) x α+1
α +1
1 log x
x
ex ex
cos x sin x
sin x − cos x
sec2 x tg x
cosec2 x −cotg x
1 arctg x
1+ x 2
1 arcsin x
1− x 2
cosh x sinh x
sinh x cosh x
N.B.: Nesta colecção vamos reduzir todas as primitivas a determinar, às expressões nesta
tabela. Este aspecto deve ser bem ponderado pelos leitores, no contexto da avaliação a que
serão sujeitos, nas respectivas faculdades.
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3. Algumas Fórmulas Úteis
Fórmulas trigonométricas
1 1
sin 2 x + cos2 x = 1 sec x ≡ cosec x ≡
cos x sin x
tg 2 x +1= sec 2 x cotg 2 x +1= cosec2 x sin 2 x = 2 sin x cos x
cos2 x = cos 2 x−sin 2 x
1 1 1 1
sin 2 x = − cos2 x cos 2 x = + cos2 x = 2cos 2 x− 1
2 2 2 2
= 1 − 2sin 2 x
e i x ≡cis x = cos x +i sin x (fórmula de Euler) i ≡ −1
e ix −e −ix e ix +e −ix
sin x = cos x =
2i 2
Funções hiperbólicas
e x −e −x e x +e −x tgh x ≡
sinh x
sinh x ≡ cosh x ≡
2 2 cosh x
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4. §1 Introdução Teórica
Definição 1.1: Primitiva
“Sejam f e F funções definidas no intervalo [a, b] ; F é diferenciável em todos os pontos
de [a, b] e se para todo o x ∈ [a, b] se tem:
F ′(x ) = f ( x ) ,
diz-se que a função f é primitivável em [a, b] e que F é uma primitiva de f em [a, b] .”
Observação 1.2: Notação
“Para denotar uma primitiva F de uma função f é habitual usar-se uma das seguintes
notações: F ( x ) = Pf ( x ) = Px f (x ) = ∫ f ( x )dx .”
§2 Exercícios Resolvidos
Para resolver este grupo de exercícios, o método a utilizar é transformar a função a
primitivar, evidentemente sem a alterar, numa função do tipo das existentes na tabela de
primitivas elementares (Tabela 1.1), e de seguida primitivá-la imediatamente recorrendo à
dita tabela. Em geral nesta fase inicial, além da Tabela 1.1 vamos usar o seguinte resultado:
Teorema 2.1: Regra da Derivada da Função Composta
“
d
[F (u (x ))] = F ′(u(x )).u ′(x ) ”
dx
2.1 Potência
xα +1 uα +1
P ⎡ xα ⎤ =
⎣ ⎦ P ⎡uα u ′ ⎤ =
⎣ ⎦
α +1 α +1
2.1.1 Primitive as seguintes funções:
x4 3
(a) − 2x 2 + 3
3 x
(b) 3 x2 + 25 x
x − 23 x
(c)
x
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5. Resolução:
x4 3 1 x 5 2 3 3 −2
(a) P( − 2 x 2 + 3 ) = P x 4 − 2 P x 2 + 3 P x −3 = − x − x
3 x 3 15 3 2
3 5
(b) P(3 x 2 + 25 x ) = P x 2 3 +2P x 1 / 5 = x 5 / 3 + x 6 / 5
5 3
x − 23 x ⎛ x x ⎞
(c) P = P⎜ − 2 3 3 ⎟ = P x −1/ 2 − 2 P x −2 / 3 = 2 x − 6 3 x
⎝ x ⎠
2
x x
2.2 Exponencial
P ⎡e x ⎤ = e x
⎣ ⎦ P ⎡ eu u ′ ⎤ = eu
⎣ ⎦
2.2.1 Primitive as seguintes funções:
4
(a) x3 e x
x
e
(b)
x
sin 2 x
(c) e cos 2 x
1x
e
(d)
x2
Resolução:
1 1 1 1 4
Exponencial: P( x 3 e x ) = P 4 x 3 e x = 4 P u ′e u = e u = e x
4 4
(a)
4 u=x 4 4 4
x
e 1
(b) Exponencial: P =2P e x
= 2Pu ′e u = 2e u = 2e x
x 2 x u= x
1 1 1 1
(c) Exponencial: P (e sin 2 x cos 2 x) = P 2cos2 x e sin 2 x = Pu ′e u = e u = e sin 2 x
2 u =sin 2 x 2 2 2
e1 x ⎛ 1 ⎞
(d) Exponencial: P = − P⎜ − 2 e1 / x ⎟ = − Pu ′e u = −e u =−e 1 x
⎝ ⎠ u =1 / x
2
x x
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6. 2.3 Logaritmo
⎡1⎤ ⎡ u′ ⎤
P ⎢ ⎥ = log x P ⎢ ⎥ = log u
⎣x⎦ ⎣u ⎦
2.3.1 Primitive as seguintes funções:
ex
(a)
1+ 4e x
sin x − cos x
(b)
sin x + cos x
1
(c)
x log x
Resolução:
ex 1 4e x 1 u′ 1 1
(a) Logaritmo: P = P = P = log u = log 1 + 4e x
1 + 4e 4 1 + 4e u =1+ 4e x 4 u 4
x x
4
sin x − cos x cos x − sin x u′
(b) Logaritmo: P =− P = − P =−log u = −log sin x + cos x
sin x + cos x sin x + cos x u =sin x + cos x u
1 1x u′
(c) Logaritmo: P =P = P = log u = log log x
xlog x log x u =log x u
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7. 2.4 ArcTan/ArcSin
⎡ 1 ⎤ ⎡ u′ ⎤
P⎢ 2⎥
= arctan ( x ) P⎢ = arctan ( u )
⎣1 + x ⎦ ⎣1 + u ⎥⎦
2
⎡ 1 ⎤ ⎡ u′ ⎤
P⎢ ⎥ = arcsin ( x ) P⎢ ⎥ = arcsin ( u )
⎣ 1 − x2 ⎦ ⎣ 1− u2 ⎦
2.4.1 Primitive as seguintes funções:
x2 x
(a) (b)
1 + x6 1− x4
1 e 2x
(c) (d)
x 1− x 1 + e 4x
x
e 1
(e) (f)
1− e 2x
x 1 − log 2 x
Resolução:
x2 x2 1 3x 2 1 u′ 1 1
(a) P =P = P = P = arctg u = arctg x 3
1+ x 6
1 + ( x ) 3 1+( x ) u = x3 3 1 + u 3
3 2 3 2 2
3
x x 1 2x 1 u′ 1 1
(b) P =P = P = P = arcsinu = arcsin x 2
1− x 4
1 − (x ) 22 2
1 − (x )
2 2 u = x2 2
1− u 2
2 2
(c) P
1
=P
1 x
=2P
( )
1 2 x
= 2P
u′
= 2arcsinu = 2 arcsin x
x 1− x 1− x 1− ( x) 1− u2
2
u= x
e2x e2x 1 2e 2 x 1 u′ 1 1
(d) P =P = P = P = arctg u = arctg e 2 x
1+ e 4x
1 + (e ) 2 1 + (e )
2x 2 2 x 2 u =e2 x
2 1+ u 2
2
2
ex u′
(e) P = P = arcsinu = arcsin e x
1− e ( ) x 2 u =e x 1− u 2
1 1x u′
(f) P =P = P = arcsinu = arcsin(log x)
x 1 − log 2 x 1 − (log x ) 1− u2
2 u = log x
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8. §3 Exercícios Propostos
3.1 Preencha a primeira coluna da tabela seguinte:
Tabela 1.2: Tabela de Primitivas Imediatas
f P f =F
cu
α +1
u
α +1
log u
eu
sin u
− cos u
tg u
− cotgu
arctg u
arcsin u
sinh u
cosh u
Note que u = u ( x ) .
3.2 Primitive as seguintes funções:
x3 e 6x x
(a) (b) (c)
1 − x4 1 − e 6x 1+ x2
x5
(d) (e) 2x + x / 2 (f) 3 sin x + 2 x 2
1+ x6
3 sin x
(g) xe − x (i) x 1 + x 2
2
(h)
(1 + cos x ) 2
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9. 3.3 Primitive as seguintes funções:
1
(a) e 2 sin x cos x (b) tan x (c)
x +2
2
1 1
(d) sin 3 x cos 3 x
( )
(e) (f)
1 + x arctan x
2
(1 + x ) x
ex arcsin x x
(g) (h) (i)
4 + e2x 1− x2 1 − 2x 4
§4 Sugestões para as resoluções dos Exercícios Propostos
3.1 O que se está a pedir não é que primitive, mas sim que derive a 2ª coluna, resultando:
f
cu ′
u ′u α
u
u′
u ′e u
u ′ cos u
u ′ sin u
u ′ sec 2 u
u ′cosec 2 u
u′
1+ u2
u′
1− u2
u ′ cosh u
u ′ sinh u
3.2
(a)
P
x3
1− x 4
( )
= P x 3 ( 1 − x 4 ) −1 2 = −
1
4
( ) 1
P − 4 x 3 ( 1 − x 4 ) −1 2 = − P u ′ u − 1 2 = −
4
1 u1 2
412
=−
1
2
1− x4
(b)
P
e6 x
1 − e6x
( ) 1
( 1
)
= P e 6 x ( 1 − e 6 x ) −1 2 = − P −6e 6 x ( 1 − e 6 x ) −1 2 = − P u ′ u −1 2 = −
6 6
1 u1 2
6 12
1
= − 1 − e6x
3
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10. 1 u′ 1
(c) P
x 1
= P
2x 1
= P = log u = log 1 + x 2 ( )
1 + x 2 1 + x u =1+ x 2 2 u 2
2 2
2
1 6x 5 1 u ′ 1
= P = log u = log(1 + x 6 )
x5 1
(d) P = P
1+ x 6 1+ x 6 u 6
6 6
6
(f) 3 cos x + 2 / 3x 3 (g) − 0.5e − x
2
(e) 2x 3
[ ] = 1 + cos x (i) 1 / 3(1 + x 2 )2
3
(h) P 3 sin x(1 + cos x )
−2 3
3.3
1 2 sin x 1 ⎛ x ⎞
(a) e (b) log cos x (c) arctan⎜ ⎟
2 2 ⎝ 2⎠
(d)
[ ] [ ] [
P (sin 3 x cos 3 x ) = P (1 − sin 2 x )cos x sin 3 x = P cos x sin 3 x + P cos x sin 5 x = ] sin 3 x sin 6 x
4
−
6
⎡ ⎤
( )
⎡1 / 1 + x 2 ⎤ ( )
⎢ 1/ 2 x ⎥
( x)
(e) P ⎢ ⎥ = log arctan x (f) 2 P ⎢ 2 ⎥
= 2 arctan
⎣ arctan x ⎦
⎣⎝
⎜ ⎟( )
⎢ ⎛1 + x ⎞ ⎥
⎠⎦
(g) 1 / 2 arctan(e x / 2 )
⎡ 1
( )
1⎤
(arcsin x )− 2 ⎥ = 2 (arcsin x ) 2 1
3
(h) P ⎢ (i) arcsin 2 x 2
⎣ 1− x ⎦ 3
2
2 2
Bibliografia
[1] “Introdução à Análise Matemática” J. Campos Ferreira (Fundação Gulbenkian, 1990).
[2] “Calculus, Vol. I” T. M. Apostol (John Wiley, 1976).
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