1) O documento discute conceitos de tensão e deformação em metais, incluindo círculo de Mohr para representar estados de tensão. 2) É introduzido o conceito de tensão normal, tensão de cisalhamento e tensões principais. O círculo de Mohr permite visualizar as tensões principais e máxima tensão de cisalhamento. 3) Exemplos como ensaio de tração, trefilagem e torção são usados para ilustrar a aplicação do círculo de Mohr na análise de estados de

1. Capítulo 2
Mecânica da conformação plástica dos metais
2.1 – Tensões e deformações
2.1.1 – Conceito de tensão
Dentro do binômio solicitação-resposta, será analisada inicialmente a parte de
solicitações, que normalmente são descritas através de forças (Figura 2.1).
Um corpo genérico submetido a várias forças (Figura 2.2a), tem sua forma
modificada. Estas forças podem provocar deformações elásticas ou plásticas.
Consideremos uma pequena área ΔA em torno de P e seja F

∆ a resultante das forças
agindo em todos os pontos de ΔA (Figura 2.2b). Define-se a tensão média agindo em
ΔA como:
A
F
T
∆
∆
=

(2.1)
É bastante usual a decomposição de T

segundo um sistema de eixos
cartesianos cuja origem está no ponto em estudo e que tem um dos eixos (n) segundo
a normal ao plano de corte (Figura 2.3).
Define-se tensão normal σ como a componente de T

agindo segundo o eixo n
(Figura 2.3) e de módulo:
θσ COS
A
F
.
∆
∆
=

(2.2)
Por convenção σ será positivo para tração e negativa para compressão.
Define-se a tensão de cisalhamento τ como a componente de T

que age
segundo a reta de interseção do plano de corte e do plano definido por T e o eixo n
(Figura 2.3), de módulo:
θτ SEN
A
F
⋅
∆
∆
=

(2.3)
Resumindo, pode-se fornecer a tensão através de:
T

ou σ, τ e as direções de σ eτ .
17

2. Um dos problemas a serem considerados na avaliação da tensão em um ponto é
sua variação com o plano de corte. Como pode ser observado na Figura 2.4, uma barra
cilíndrica tracionada axialmente com uma força F

∆ , a distribuição de forças em
qualquer seção do corpo tais como ΔA1 e ΔA, (Figura 2.4) será uniforme, e a tensão
em cada ponto da seção será igual à tensão média agindo em toda a seção.
Para todos os pontos da seção ΔA1, ter-se-ia:
1
1
A
F
T
∆
∆
=


; além disso, 1
1
1 T
A
F
T =
∆
∆
=


O caso mais geral de corte do cilindro é caracterizado pelo ângulo θ. No caso de
ΔA1, tem-se:
θ = 0, σ1 = T1 (2.4)
τ1 = 0
Considerando ΔA, a força a ser considerada ainda é F

∆ , mas a área sobre a
qual esta age não mais é ΔA1.
Ter-se-ia
A
F
T
∆
∆
=


11
.
A
COSSENF
COS
A
COSFA
A
COSF
∆
∆
=
∆
=
∆
∆
=
αα
α
αθ
σ

)21(
2
. 12
1 α
σ
ασσ COSCOS +== (2.5)
αα
α
αα
τ COSSEN
A
F
COS
A
SENF
A
SENF
.
11 ∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=

α
σ
ααστ 2
2
. 1
1 SENCOSSEN == (2.6)
As equações (2.5) e (2.6) são as equações paramétricas de um círculo. O círculo
em discussão é conhecido como círculo de Mohr.
Considere agora uma análise das equações 2.5 e 2.6:
• A tensão σ é máxima para α = 0o
, e σ = 1σ ; neste plano, τ = 0; τ ainda é nulo
para α =90o
, onde σ é mínimo (σ = 0).
• Os planos onde σ é nulo são ortogonais.
18

3. • A tensão τ é máxima para α = 45o
, ou seja, em um plano fazendo 45o
com o
plano onde age máxσ . Além disso,
2
1
max
σ
τ =
Os planos onde τ = 0 recebem o nome de planos principais, e as tensões 1σ ,
2σ e 3σ recebem o nome de tensões principais. Por convenção se indica:
1σ > 2σ > 3σ (2.7)
A situação pode ser representada como na Figura 2.5, onde o cubo em torno do ponto
P representa fisicamente o ponto P.
2.1.2 – Círculo de Mohr
Uma forma bastante simples de representar o estado de tensões de um ponto
material é através de um círculo de Mohr.. Esta construção geométrica está associada
sempre a um único estado de tensões, não existindo um círculo de Mohr para dois
estados de tensão ou um estado de tensões que possua dois círculos de Mohr.
A vantagem do círculo de Mohr está em permitir a visualização rápida de
algumas características do estado de tensões, inclusive a sua facilidade relativa em
produzir deformação plástica ou a determinação das tensões principais,, para o caso
plano de tensões..
Para o caso plano de tensões, situação normalmente encontrada para o caso de
materiais finos (chapas metálicas),, quando estão disponíveis as tensões xσ , yσ e
xyτ (pode-se orientar o plano XY na direção do plano onde atuam as tensões) o círculo
de Mohr pode ser calculado conforme mostrado na Figura 2.6. A forma mais simples de
traça-lo é marcando sobre um sistema de coordenadas τσx os pontos correspondentes
a xyx xτσ e xyy xτσ , unir os pontos e passar um círculo centrado na reta que une estes
pontos.
A intercessão do círculo com o eixo horizontal (de tensões normais) oferece as
duas tensões principais e a altura oferece a máxima tensão de cisalhamento do estado
de tensões. Esta última informação é importante porque representa a capacidade que o
estado de tensões tem de induzir deformação plástica. É claro que:
ασσσσ 2cos)(
2
1
)(
2
1
2121 −++=+= CBOCOB (2.8a)
ασσ 2)(
2
1
21 senAB −= (2.8b)
Onde: σ=OB e τ=AB
O círculo de Mohr (Figura 2.6) é uma maneira cômoda de acompanhar a
variação da tensão com α. Observa-se que planos que fazem 90o
entre si, apresentam
tensões de cisalhamento iguais e de sinais opostos. Isto pode ser facilmente provado
19

4. observando-se os pontos A e E na Figura 2.6. Uma vez analisado o problema de
círculos de Mohr em duas dimensões, pode-se generalizar a situação para três
dimensões. Considerando-se que na Figura 2.7a, os planos 1, 2 e 3 são os planos
principais passando pelo ponto P, e tendo em mente que a tensão em qualquer plano
perpendicular ao plano 3 não é afetado por σ3 (para α = 90o
, σ = τ = 0), conclui-se que,
nestes planos, a tensão depende somente de σ1 e σ2, e tudo se passará como
discutido na Figura 2.6; assim, os pontos do círculo que passa por σ1σ2 (Figura 2.7b)
correspondem a planos perpendiculares ao plano 1, e o círculo σ1σ3, os planos
perpendiculares ao plano 2. A tensão máxima de cisalhamento (τmáx.) está mostrada na
Figura 2.7b, e seu valor é dada pela equação 2.9:
2
31 σσ
τ
−
=MÁX (2.9)
A Figura 2.8 mostra o círculo de Mohr em três dimensões para diferentes
estados de solicitação, com indicação das tensões principais e tensão de cisalhamento
máxima.
2.1.2.1 – Aplicações dos círculos de Mohr
1 – Ensaio de tração
Durante o ensaio de tração uniaxial é válido o círculo de Mohr da Figura 2.9b. No
entanto, à medida que a tensão aplicada vai crescendo (pontos A, B, C, D - Figura
2.9a), o círculo de Mohr correspondente também se expande (Figura 2.9b), até que se
alcance o limite de resistência à tração. A partir deste ponto ocorre uma estricção no
corpo de prova, e o estado de tensões não mais é de tração pura.
2 – Trefilação de barras
Quando se deseja alongar uma barra cilíndrica é possível tracioná-la, como em
um ensaio de tração. No entanto, se a deformação desejada exigir uma aplicação de
tensão acima do limite de resistência à tração (Figura 2.9), a barra sofrerá estricção e o
produto obtido não mais será satisfatório.
Nestes casos, é possível impor a deformação desejada através da trefilação, que
consiste na passagem da barra através de uma ferramenta cônica (fieira), como
mostrado na Figura a 2.10a. É óbvio que a tensão necessária para trefilar o material
(σtref) deve estar abaixo do limite de escoamento da barra que já passou pela fieira, para
que esta não seja simplesmente tracionada. Observa-se (Figura 2.10b) que a fieira
muda o estado de tensões na barra em relação a tração pura, pela imposição de
tensões de compressão. A conseqüência disto é um aumento da τmáx, sem necessidade
de aumento de σ1 (Figura 2.10c), que levaria a um aumento da σtref. Esta observação
está de acordo com o que foi observado na Figura 2.8d. A deformação plástica ocorrerá
com mais facilidade dentro da ferramenta cônica e não haverá perigo de ocorrer
20

5. deformação plástica ou estricção e fratura na barra já trefilada, devido a valores
excessivos de σtref.
3 – O ensaio de torção
Quando se submete um corpo de prova cilíndrico a um momento de torção
(Figura 2.11a), intuitivamente conclui-se que a máxima tensão de cisalhamento deve
atuar no plano de sua seção transversal (Plano A, Figura 3.11a). Considere-se agora
um pequeno cubo na superfície do cilindro em pauta. Uma de suas faces está na
superfície do corpo de prova (face hachurada, Figura 2.11a) enquanto as outras faces
são perpendiculares a esta superfície. Na face hachurada não age nenhuma tensão;
como τ = 0 neste plano, ele é um plano principal, e está representado pelo ponto O no
círculo de Mohr (Figura 2.11c).
Considerando-se agora uma vista frontal da face hachurada (Figura 2.11b), as
tensões de cisalhamento atuando no plano A são como está mostrado. As tensões de
cisalhamento agindo em planos de 90o
com A (plano B) são iguais às que agem em A,
mas com sinal trocado, como desenhado. É imediata, então, a locação dos pontos A e
B no círculo de Mohr, desenhando-se a figura completa. A tensão principal σ2 está no
centro de O do sistema, σ1 está no ponto C e σ3 no ponto D. O plano C faz 90o
com A
no círculo, no sentido anti-horário, estando na posição mostrada na Figura 2.11b. O
caso do plano B é semelhante.
2.1.3 – Conceito de deformação
Dentro do binômio solicitação-resposta (Figura 2.1), neste item, será efetuada
uma análise da forma de expressar a resposta, que normalmente são descritas através
de deformações.
A maneira mais fácil de definir deformação é pela razão entre a diferença das
dimensões finais e iniciais de um material dividido (normalizado) pelo valor inicial desta
dimensão..
0
0
00 0
l
llf
l
dl
l
dl
de
fl
l
−
=== ∫ (2.10)
Na teoria da conformação plástica dos metais, a condição inicial não pode ser
usada como uma referência; portanto, a mudança em comprimento deve ser
relacionada ao comprimento instantâneo, ou seja:
l
dl
de =
0
1
0
l
l
In
l
dl
lf
l
== ∫ε (2.11)
As equações 2.10 e 2.11 fornecem:
21

6. )1(
0
1
+=





= eIn
l
l
Inε (2.12)
Para grandes deformações é necessário calcular-se através da deformação verdadeira
(ε acima de 0,2 ou 20%).
Para um ensaio de compressão, temos (Figura 2.12):
00
01
0
1
0
h
h
h
hh
h
dh
e
h
h
h
∆
=
−
== ∫ (2.12a)
0
1
1
0
h
h
In
h
dh
h
h
h == ∫ε (2.12b)
2.1.3.1 – Lei da constância de volume
Como na conformação plástica de metais as deformações impostas nos
processos são grandes, pode-se considerar que o volume permanece constante
durante a conformação. Considerando-se uma deformação de um corpo (Figura 2.13),
sendo o volume inicial do corpo dado por ho.bo.lo e considerando que o volume não se
altera após compressão, podemos escrever:
111000 .... lbhlbh = (2.13)
Da expressão 2.13, vem:
1
..
..
000
111
=
lbh
lbh
(2.14)
ou seja;
1lnlnlnln
0
1
10
1
0
1
=++
l
l
h
b
h
h
(2.15)
0=++ lbh εεε (2.16)
Isto significa que a soma algébrica das três deformações principais é igual a
zero. Esta afirmação caracteriza a Lei da Constância de volume.
22

7. 2.2 – Elasticidade e plasticidade
2.2.1 – Ensaio de tração
Retomando ao binômio solicitação resposta, que já foi realizado, no item 2.1, o
estudo da solicitação e da resposta, respectivamente, através da abordagem de
tensões e de deformações. Analisar-se-á agora a relação existente entre tensões e
deformações, inicialmente no campo elástico (item 2.2.2) e em seguida para o campo
plástico (item 2.2.3).
Inicialmente, analisar-se-á o comportamento de um metal submetido à tração
pura. Não existe ensaio mecânico que preveja completamente o real desempenho
mecânico de um material, seja na etapa de produção (conformação, usinagem, etc.),
seja na etapa de utilização (como elemento estrutural, peça automobilística, painel,
etc.).
No entanto, o ensaio de tração é considerado o teste mecânico que apresenta a
melhor relação entre informações obtidas e custo/complexidade de ensaio.. Apesar
deste teste possa ser realizado em condições bem distintas daquelas nas quais o
material será requisitado, os parâmetros obtidos deste ensaio são o ponto de partida
para a caracterização e especificação.
O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova de geometria
definida, a um esforço crescente de tração, aplicado continuamente até a fratura e no
simultâneo registro do alongamento em função da força aplicada, conforme
exemplificado na Figura 2.14.
O ensaio de tração é um dos ensaios destrutivos mais freqüentemente utilizado,
quer por fornecer dados para projeto, quer para o controle de qualidade de materiais ou
produtos. A sua larga utilização deve-se à relativa facilidade de execução e à
reprodutibilidade das propriedades medidas..
Na curva tensão vs. deformação convencional pode-se distinguir diferentes fases
durante o ensaio, conforme mostrado na Figura 2.15:
1-região de deformação uniforme;
2-região de deformação plástica uniforme;
3-região de deformação plástica;
4-região de deformação localizada.
Diversos parâmetros podem ser medidos.. Aqui interessa fazer uma descrição
dos parâmetros utilizados na teoria da conformação plástica dos metais e algumas
características destes parâmetros.
2.2.2 – Relações entre tensões e deformações no regime elástico
Considere-se um corpo de prova de tração (Figura 2.16), de comprimento inicial
l0 e cuja área da seção seja S0. Este corpo é submetido a cargas crescentes P,
anotando-se seu alongamento Δl para cada valor de P. Seguindo definições anteriores,
a tensão convencional de tração (σc) e a deformação convencional de tração e (εc) são
dadas pelas expressões a seguir:
23

8. 0S
p
c =σ
0l
l
C
∆
=ε (2.17)
Levando-se em um gráfico σc x εc, os valores obtidos, obtêm-se normalmente curvas com
o aspecto mostrado na Figura 2.16. Verifica-se experimentalmente que até o ponto A
(σc < σe) a deformação é elástica. Após o ponto A, ocorre deformação plástica
simultaneamente com a elástica.
Na região elástica, o material se comporta conforme a Lei de Hook ao ser
submetido a esforços:
εσ .E= (2.18)
onde:
σ = é a tensão atuante sobre o material;
E = é a constante elástica ou módulo de Young;
ε = é a deformação relativa provocada pelo carregamento.
2.2.2.1 – Principais parâmetros
Os principais parâmetros são:
1 - Limite de escoamento (σe ou LE): pode-se afirmar que é o principal parâmetro
obtido do ensaio de tração, prestando-se para cálculos de projeto estrutural (onde é
necessário que o material não entre em deformação plástica) quanto para conformação
plástica (quando é desejado facilidade de deformação plástica do material), ou seja, é
um parâmetro de transição entre o regime elástico e plástico.. Normalmente quando um
material tem suas propriedades mecânicas fixas por uma norma de qualidade, a
variável mais utilizada é o limite de escoamento. Em um ensaio de tração, existem dois
tipos de comportamento no que diz respeito à determinação do limite de escoamento,
conforme mostrado na Figura 2.14: materiais que apresentam um ponto descontínuo na
curva tensão vs. deformação e materiais que apresentam escoamento contínuo
(mudam do comportamento elástico para o plástico continuamente). No segundo caso,
quando é mais difícil determinar o exato limite de escoamento, as normas de execução
dos ensaios sugerem defini-lo como sendo a tensão para uma deformação entre e =
0,,2% até e = 0,,5% para materiais excessivamente dúcteis.. Em ambos os casos, a
deformação elástica do CP é praticamente desprezível e a área real do material é
aproximadamente igual à sua área inicial, o que leva à definição de limite de
escoamento como sendo igual ao expresso pela equação 2.19:
o
e
A
P
=σ (2.19)
onde P é a força exercida pelo sistema de testes sobre o CP de área inicial Ao
24

9. Para os casos de escoamento imperceptível, convencionou-se adotar uma
deformação-padrão que corresponda ao limite de escoamento, conhecida como limite n
de escoamento (σen). Por exemplo, o procedimento para se determinar o limite de
escoamento para o caso de n = 0,2% é como se segue:
1-Obter uma curava tensão-deformação de engenharia por meio do ensaio de tração.
2-Construir uma linha paralela à região elástica da curva, partindo de uma deformação
de 0,002 ou 0,2%.
3-Definir σ e na interface da reta paralela com a curva tensão-deformação, conforme
Figura 2.17.
O valor de n pode assumir valores em função do campo plástico do material,
como por exemplo:
1- Metais e ligas em geral n = 0,2% (ε = 0,002)
2 - Cobre e suas ligas n = 0,5% (ε = 0,005)
3 - Ligas metálicas muito duras n = 0,1% (ε = 0,001)
Em alguns casos, a curva tensão deformação não apresenta a parte linear
(região elástica) bem-definida, o que torna impreciso o traçado de uma linha paralela
para a determinação do limite n.
O procedimento então mais adequado para a determinação do limite de
escoamento consiste em descarregar e carregar novamente o corpo-de-prova já na
região plástica, permitindo a formação da histerese mecânica, como mostra a Figura
2.18.
A partir da histerese, unem-se os pontos A e B por uma reta, e, a partir desta,
traça-se uma reta paralela a partir do ponto correspondente a n% de deformações.
O conhecimento da tensão de escoamento é fundamental para o cálculo de força
de trabalho de conformação, assim como para o dimensionamento de matrizes e
cálculo de parâmetros internos dos materiais conformados.
Para ser útil na análise de conformação, a tensão de escoamento de metais deve
ser determinada experimentalmente para as condições ε e T, que existem nos
processos de conformação. Os métodos mais comuns usados para obter os dados de
tensão de escoamento são os testes de tração, compressão uniforme e torção. A
Tabela 2.2 apresenta valores do limite de escoamento e do módulo de resiliência de
alguns materiais de engenharia.
2 - Limite de proporcionalidade (σp): máxima tensão acima da qual o material não
mais obedece a Lei de Hooke, isto é, perde-se a linearidade entre a relação tensão x
deformação.
3 - Módulo de elasticidade, ou módulo de Yung (E): fornece uma indicação da
rigidez do material e depende fundamentalmente das forças de ligação interatômicas, o
que explica seu comportamento inversamente proporcional à temperatura. É
determinado pelo quociente da tensão convencional pela deformação convencional ou
alongamento específico na região linear do diagrama tensão-deformação da Figura
2.16, e é dado por:
lS
lP
E
∆
==
.
.
0ε
σ
(2.20)
25

10. onde E = módulo de elasticidade (Pa)
O Eaço é cerca de três vezes maior que o correspondente para ligas de alumínio,
ou seja, quanto maior o módulo de elasticidade, menor a deformação elástica resultante
na aplicação de uma determinada carga, conforme mostra esquematicamente a Figura
2.19. A Tabela 2.1 apresenta o módulo de elasticidade de alguns metais.
O módulo de elasticidade é uma das propriedades mais constantes dos
materiais..
1-É determinado pelas forças de ligação entre os átomos.
2-Ligeiramente afetado por introdução de elementos de liga, tratamento térmico
ou deformação a frio.
3-Bastante influenciado pela temperatura (T ↑⇒ E ↓)..
4-Requer cuidados na medição devido a influência da rigidez da máquina.
4 – Módulo de elasticidade transversal (G): corresponde à rigidez do material quando
submetido a um carregamento de cisalhamento, calculado por uma expressão
semelhante à expressão (2.18):
γ
τ
=G (2.21)
Onde τ e γ são as tensão e a respectiva deformação cisalhante que sofre o CP..
5 – Coeficiente de Poisson (υ ): mede a rigidez do material na direção perpendicular
àquela em que a carga está sendo aplicada, conforme ilustra a Figura 2.20. O valor
deste coeficiente é determinado pela relação entre as deformações na direção de
aplicação de carga ( 1ε ) e a deformação medida na direção perpendicular ( 2ε ou 3ε ) –
equação 3.22:
1
3
1
2
ε
ε
ε
ε
υ −=−= (2.22)
6 - Módulo de resiliência (Ur): é a capacidade de um material absorver energia
quando deformado elasticamente e libera-la quando descarregado. A medida desta
propriedade é dada pelo módulo de resiliência (Ur), que é a energia de deformação por
unidade de volume necessária para tracionar o metal da origem até o limite de
proporcionalidade.
A quantificação de Ur é dada pelo trabalho útil realizado, isto é, da área sob a
curava tensão-deformação calculada da origem até o limite de proporcionalidade:
E
EdEdU PP
r
p p
.22
....
0 0
2
σε
εεεσ
ε ε
==== ∫ ∫ (2.23)
26

11. Na prática, substitui-se o limite de proporcionalidade (σp) pelo limite de
escoamento (σ e), que será definido.
2.2.3 – Relações entre tensões e deformações no regime plástico
A partir do ponto (B) da curva da Figura 2.16, o material entra na região plástica,
que é caracterizada pela presença de deformações permanentes no corpo-de-prova.
Para materiais de alta capacidade de deformação, o diagrama tensão-deformação
apresenta variações relativamente pequenas na tensão, acompanhadas de grandes
variações de deformação.
3.2.3.1 – Principais parâmetros
Nessa região os principais parâmetros são:
1 - Limite de resistência à tração (σu): tensão correspondente ao ponto de máxima
carga atingida durante o ensaio, igual à carga máxima dividida pela área inicial do corpo
de prova.
Após o ponto u, tem início a fase de ruptura, caracterizada por uma rápida
redução local de secção de fratura (fenômeno de estricção).
2 - Limite de ruptura (σr): última tensão suportada pelo material antes da fratura.
3 - O alongamento e a estricção são medidas da ductilidade (plasticidade) do material
e definidos como se segue:
3.1 - Alongamento (Δl): diferença entre o comprimento final (lf) e o comprimento inicial
(l0) do corpo de prova, e que é dado por:
Δl = lf - l0 (2.24)
0l
l∆
3.2 - Alongamento específico é dado por:
0
0
l
llf −
=δ (adimensional) (2.25)
fεδ = (2.26)
O alongamento específico caracteriza-se pelo quociente do alongamento pelo
comprimento inicial do corpo-de-prova, também conhecido como deformação linear
média, ou deformação convencional de engenharia no ponto de fratura.
3.3 - Coeficiente de estricção (φ): diferença entre as seções inicial (S0) e final (Sf)
após a ruptura do corpo-de-prova, expressa em porcentagem da seção inicial
27

12. 0
0
S
SS f−
=ϕ (2.27)
onde: φ = coeficiente de estricção (%)
S0 = seção transversal inicial da amostra (m2
)
Sf = seção transversal final da amostra (m2
)
4 - Encruamento
A necessidade de aumentar-se a tensão para dar continuidade à deformação
plástica do material decorre de um fenômeno denominado encruamento. A partir da
região de escoamento, o material entra no campo de deformações permanentes, onde
ocorre endurecimento pela deformação a frio.
Esse fenômeno resulta em função da interação entre discordâncias e das suas
interações com outros obstáculos, como solutos, contornos de grãos etc, que impedem
a livre movimentação das discordâncias.
A Figura 2.21 apresenta o efeito do encruamento no limite de escoamento caso o
ensaio seja interrompido e retomado após alguns instantes. A zona plástica vai se
iniciar a uma tensão mais elevada e normalmente sem escoamento nítido. Caso o
ensaio seja novamente interrompido e reiniciado muito tempo depois, novamente a
região plástica se inicia a uma tensão mais elevada, embora o escoamento nítido possa
reaparecer.
5 - Módulo de tenacidade
A tenacidade corresponde à capacidade que o material apresenta de absorver
energia até a fratura. É quantificada pelo módulo de tenacidade, que é a energia
absorvida por unidade de volume, desde o início do ensaio até a fratura. Uma maneira
de se avaliar a tenacidade consiste em considerar a área total sob a curva tensão-
deformação.
As curvas da Figura 2.22 representam esquematicamente situações extremas de
comportamento no ensaio de tração: um material dúctil (curva A) e um material frágil
(curva B).
Em ambos os casos, a ausência de uma expressão analítica que represente a
variação de σ com ε impede o cálculo da área sob as curvas e, consequentemente, a
determinação do módulo de tenacidade (Ut). Na determinação desses valores utilizam-
se as seguintes expressões, convencionadas internacionalmente:
5.1 - Material dúctil:
f
ue
tU ε
σσ
.
2
−
= (N.m/m3
) (2.28)
28

13. 5.2 - Material frágil
futU εσ .
3
2
= (N.m/m3
) (2.29)
De um modo geral, os materiais que apresentam módulos de resiliência altos têm
tendência de apresentarem módulos de tenacidades baixos. A tenacidade é um
parâmetro que compreende tanto a resistência mecânica do material quanto a
ductilidade.
6 – Tensão e deformação verdadeiros (σ e ε )
A curva tensão deformação de engenharia (convencional), estudada
anteriormente, não apresenta uma informação real das características de tensão e
deformação do material, porque se baseia inteiramente nas dimensões originais do
corpo-de-prova, e que são continuamente alteradas durante o ensaio. Assim, são
necessárias medidas de tensão e deformação que se baseiem nas dimensões
instantâneas do ensaio. Um esboço comparativo da curva tensão-deformação real e
convencional está apresentado na Figura 2.23.
6.1 – A tensão verdadeira (σr), é dada por:
S
P
r =σ (2.30)
Onde: P = carga (Pa);
S = área da seção transversal instantânea (m2
).
Como nesse caso se avalia a variação de S em cada instante do ensaio, a região
plástica fica mais bem caracterizada, já que não se toma mais a seção transversal
inicial como referência, e a tensão cresce continuamente até a fratura.
6.2 - A deformação verdadeira (εr) é dada em função da variação infinitesimal da
deformação é dada por:
l
dl
d r =ε (2.31)
que é válida para uma deformação uniaxial uniforme. A deformação verdadeira é dada
pela integração da Eq. 3.31 dentro do limite inicial (l0) e instantâneo (l):
0
ln
0
l
l
l
dl
l
l
r == ∫ε (2.32)
29

14. Esta expressão não é aplicável entre o trecho UF do diagrama tensão
deformação, e assim εr, deve variar entre os limites O e εu, onde εu corresponde a uma
deformação no ponto U do diagrama. Para que se possa avaliar a deformação nesta
região, é preciso analisar outras direções além da direção de aplicação da carga. Como
o volume permanece constante na região plástica, desprezando-se variações elásticas
( V = V0), pode-se escrever:
S . l = S0 . l0 = constante (2.33)
ou
Sdl + ldS (2.34)
e rearranjando:
S
dS
l
dl
−= ∫∫ −=
s
s
S
dS
d
00
ε
ε (2.35)
ou
S
S
r
0
ln=ε (2.36)
A equação 2.36 é válida para (εA ≤ εr ≤ εP) e não é aplicável na região elástica, já
que o volume não permanece constante durante o tracionamento no campo elástico.
7 – Coeficiente de encruamento (n) e constante plástica de resistência (K)
Dentre as equações utilizadas para modelar o formato da curva tensão-
deformação no regime plástico, destacam-se as seguintes::
1-Equação de Hollomon
n
Kεσ = (2.37)
2-Equação de Swift
( )n
oK εεσ += (2.38)
3-Equação de Ludwink
n
o Kεσσ += (2.39)
30

15. 4-Equação de Voce
( ) ( )[ ]εσ naba −−−+= exp1 (2.40)
o aluno deve notar que todas as equações estão relacionando tensões verdadeiras ( σ )
com deformações verdadeiras (ε ).
A equação mais utilizada é a equação de Hollomon, da qual o parâmetro n é
conhecido como coeficiente de encruamento e é calculado a partir de dois pontos (1 e
2) da curva tensão-deformação, na região plástica, segundo a equação 2.41.
21
21
loglog
loglog
εε
σσ
−
−
=n (2.41)
Que também pode ser escrita de outra forma:
































=
o
o
l
l
l
l
lF
lF
n
1
2
11
22
log
log
log
.
.
log
(2.42)
Também é possível provar matematicamente que o valor do coeficiente de
encruamento vale a deformação verdadeira no ponto de início de estricção:
run ε= (2.43)
A prova pode ser feita da seguinte forma: a curva tensão deformação, na região
de deformação plástica, é expressa pela equação 3.37, podendo ser também expressa
por:
n
rkSP ε..= (2.44)
onde a diferencial leva a:
)....( 1
dSdnSkdP n
rr
n
r εεε += −
(2.45)
Mas como:
d
S
dS−
=ε (2.46)
31

16. Isolando dS e substituindo na Eq. 3.45, chega-se a:
).....( 1
r
n
rr
n
r dSdnSkdP εεεε −= −
(2.47)
No ponto U do diagrama tensão-deformação, a curva apresenta seu ponto de
inflexão correspondente ao ponto de máxima carga, ou seja, dP = 0. Desse modo, na
Eq. 3.46 obtém-se:
n
ur
n
urn .
1
.. εε =−
(2.48)
ou
urn .ε= (2.49)
Assim, o coeficiente de encruamento corresponde à deformação verdadeira no
ponto de máxima carga.
A equação (2.49) permite calcular o valor da constante plástica de resistência (K)
a partir do limite de escoamento convencional do material (LR) e do seu coeficiente de
encruamento (n), que pode ser calculado, equações (2.41) ou (2.42), a partir de uma
curva tensão-deformação de engenharia, obtida em um ensaio de tração “comum”. Esta
é uma informação importante, pois permite fazer a caracterização do real
comportamento plástico do material, através da equação n
Kεσ = , calculando-se os
parâmetros K e n diretamente de uma curva tensão-deformação de engenharia. A
Tabela 2.3 apresenta valores do coeficiente de encruamento e do coeficiente de
resistência de alguns materiais de engenharia.
8 – Coeficiente de anisotropia (R)
É definido como sendo a relação entre as deformações reais segundo a largura
(W) e segundo a espessura (t). Este parâmetro mede a resistência do material à
redução de espessura quando deformado plasticamente.. Como a medição da
espessura apresenta dificuldades de precisão e admitindo-se constância de volume do
material (S.L = So.Lo), pode-se calcular o índice de anisotropia alternativamente pela
medição das variações na largura e comprimento, conforme mostrado na equação
(3.49):
WL
WL
W
W
t
t
W
W
R
oo
o
o
o
espessuraREAL
uralREAL
.
.
ln
ln
ln
ln
arg
===
−
−
ε
ε
(2.50)
32

17. 2.2.4 – Critérios de escoamento
Os critérios de escoamento foram elaborados a fim de definir o estado limite de
tensão que define o escoamento plástico dos materiais metálicos. Ou seja, a partir de
qual valor a tensão aplicada, dar-se-á o inicio do processo de deformação plástica.
No caso do ensaio de tração, é possível determinar uma tensão σe à qual o
material passa do regime elástico para o plástico. A determinação exata desta tensão é
experimentalmente complexa, e, frequentemente, lança-se mão de artifícios como o
mencionado anteriormente (tensão necessária para causar 0,2% de deformação
permanente). O critério de início de deformação plástica, ou critério de escoamento,
será dado por:
σ1 = σe (2.51)
No entanto, a situação acima aplica-se à tração pura, e é necessário um critério que
possa ser aplicado a qualquer estado de tensões.
Para se determinar o instante em que o material entra em escoamento para um
estado qualquer de tensões, Tresca (1865) e von Mises (1913) apresentaram seus
critérios de escoamento.
Um critério de escoamento pode ser expresso na forma geral:
F(σ1, σ2, σ2, σe) = 0 (2.52)
onde σe é a tensão na qual o material inicia o escoamento plástico.
2.2.4.1 - Critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca)
O critério da máxima tensão de cisalhamento considera que o escoamento inicia
quando a diferença entre a maior e a menor tensão aplicada sobre o corpo atinge um
valor crítico (igual ao dobro da tensão de cisalhamento) num estado uniaxial de
tensões, ou seja:
eστσσ ==− 231 (2.53)
Isto significa que o início do escoamento não depende da tensão principal
intermediária (σ2). Através de ensaios verifica-se que desprezando a tensão (σ2) a
variação do valor real não ultrapassa de 15%.
Quando se deseja considerar a tensão intermediária, emprega-se o critério da
máxima energia armazenada num corpo.
33

18. 2.2.4.2 - Critério da máxima energia armazenada (von Mises)
O critério da máxima energia armazenada considera que o escoamento ocorre
quando a relação à direita da expressão (2.54) for igual a tensão de escoamento
(σe), obtida num ensaio uniaxial de tensões.
( ) ( ) ( )[ ] 2
1
2
13
2
32
2
21
2
1






−+−+−= σσσσσσσe
(2.54)
Quando σ1 = σ2 ou σ2 = σ3, então σe = σ1 – σ3, os dois critérios
apresentam o mesmo valor. Os dois critérios apresentam uma diferença máxima num
estado plano de deformação, ou seja, no caso em que:
( ) ( )213212
2
1
3
1
σσσσσσσ +=++== m (2.55)
Então: 15,1
3
2
)..(
)(
==
MisesVon
Tresca
e
e
σ
σ
(2.56)
O critério de von Mises apresenta resultados mais confiáveis visto que considera
a tensão intermediária, porém, deve-se destacar que em estados cilíndricos de tensão,
a aplicação de um ou outro critério fornece o mesmo resultado.
A comparação entre os dois critérios de escoamento pode ser feita traçando-se
os mapas de escoamento para um estado bidimensional (Figura 2.24), com:
σ1 = σ2 ≠ 0 e σ3 = 0 (2.56a)
Observa-se que:
• para tensão uniaxial (ou σ2 ≠ 0 σ1 = σ3 = 0 ) e para a tensão biaxial
balanceada σ1 = σ2 ≠ 0 σ3 = 0 os critérios apresentam o mesmo resultado.
• para estados de cisalhamento puro (σ1 = - σ2 σ3 = 0 ) ocorre a maior
divergência, algo em torno de 15%.
2.2.5 – Relações entre tensões e deformações verdadeiras e convencionais
A deformação verdadeira pode ser determinada, a partir da deformação
convencional, por:
1
00
−=
∆
=
l
l
l
l
cε (2.57)
ou
34

19. c
l
l
ε+=1
0
(2.58)
Mas, pelas Eqs. 2.32 e .2.36, tem-se que:
0
0
lnln
l
l
S
S
r ==ε (2.59)
e portanto
)1ln( cr εε += (2.60)
Esta equação é aplicável somente até o início da estricção (0 ≤ εr ≤ εu), a partir de
onde prevalece um estado triaxial de tensões.
Partindo da Eq. 2.59, tem-se que:
)1ln(ln 0
cr
S
S
εε +== (2.61)
ou
C
S
S
ε+
=
1
0
(2.62)
Introduzindo-se a Eq. 2.61 na Eq. 2.30, chega-se a:
)1(
0
Cr
S
P
S
P
εσ +== (2.63)
Ou
)1( CCr εσσ += (2.64)
A curva tensão verdadeira-deformação verdadeira é traduzida pelas seguintes
relações:
1 - Na região elástica (AO): rr E εσ .= (2.65)
2 – Na região plástica (AU): n
rr k εσ .= (2.66)
onde: k = coeficiente de resistência, que quantifica o nível de resistência que o material
pode suportar (Pa);
35

20. n = coeficiente de encruamento, que representa a capacidade com que o material
distribui a deformação (adimensional).
Ambos os coeficientes são características particulares do material, embora
possam ser modificados pela ação de tratamentos térmicos e/ou químicos.
A Figura 2.25 mostra a região plástica da curva tensão-deformação de dois
materiais metálicos com diferentes valores de n.
2.2.6 – Limite máximo de deformação
Uma conformação somente é possível até uma determinada grandeza de
deformação. Quando por exemplo, num ensaio de tração é ultrapassada uma
determinada deformação ocorrendo a ruptura, então diz-se que a deformação atingiu
seu limite máximo.
Teorias de ruptura, que pode predizer a grandeza da máxima deformação ou
ainda que possibilitam determinar com exatidão um estado de tensão crítico, não foram
desenvolvidas ainda a tal ponto de mostrar resultados quantitativos. Desta forma
costuma-se utilizar valores qualitativos obtidos de trabalho prático. O limite máximo de
deformação para um determinado material é influenciado principalmente por três
grandezas:
• pelo estado de tensões;
• pela temperatura;
• pela velocidade de deformação.
Tensões de tração provocam antes a fratura do que tensões de compressão.
Assim, o limite máximo de deformação aumenta quando ocorre compressão.
Com o aumento da temperatura aumenta o limite de deformação máximo,
principalmente devido ao fato de ocorrer recristalização. Com o aumento da velocidade
de deformação aumenta a tendência do material à fratura frágil, com o que cai em regra
geral, o limite máximo de deformação. O limite máximo de deformação é normalmente
dado pela expressão:
S
S
rupt
0
ln=ε (3.67)
Onde: εrupt. é geralmente:
),,,( εεσε Tf mrupt = (3.68)
sendo:
σm = a tensão média;
T = a temperatura;
ε = a deformação;
ε = a velocidade de deformação
A fratura é a separação ou fragmentação de um corpo sólido em duas ou mais
partes, sob a ação de uma tensão, e pode ser considerada como sendo constituída de
duas partes – nucleação de trinca e propagação da trinca.. A fratura pode ser
36

21. classificada em duas categorias gerais: fratura frágil e fratura dúctil. A fratura frágil nos
metais é caracterizada pela rápida propagação da trinca, com nenhuma deformação
macroscópica e muito pouca microdeformação. A fratura dúctil é caracterizada pela
ocorrência de uma apreciável deformação plástica antes e durante a propagação de
trincas. A Figura 2.26 mostra os tipos de fratura que podem ocorrer.
2.2.7 – Velocidade de deformação (Taxa de deformação)
A velocidade de deformação ( ε ) é definida como o diferencial do grau de
deformação (ε) em relação ao tempo (t):
dt
dε
ε = (2.69)
Os valores de taxa de deformação podem variar desde 10-3
s-1
nas máquinas
universais de ensaio até 102
s-1
anos martelos para forjamento livre, passando pela
faixa mais comum de 10-1
a 102
para o caso de prensas de forjamento, extrusoras e
trefiladoras.
Num ensaio de compressão realizado a velocidade constante (v) e com relação
linear entre deformação e tempo, tem-se:
t∆
∆
=
ε
ε (2.70)
com








=∆
fh
h0
lnε
(2.71)
e
v
hh
t f−
=∆ 0 (2.72)
Tem-se:
v
hh
h
h
f
f
.
ln
0
0
−








=ε
(2.73)
Observa-se que pode-se obter diversas taxas de deformação com os mesmos
valores de Δε e v, apenas diminuindo os valores de ho e hf.
37

22. 2.2.8 – Trabalho de conformação
O conhecimento do trabalho e força de conformação é necessário quando se
deseja determinar a capacidade, tipo ou tamanho de uma máquina.
Dependendo do emprego da máquina, interessa o conhecimento do trabalho ou
da força. Para uma compressão simples, pode-se deduzir a expressão do trabalho ideal
de conformação (Figura 2. 12).
O valor de um trabalho infinitesimal será:
dw = F.dh (2.74)
A força necessária para provocar a deformação plástica é:
F = σe.A (2.75)
Então:
dw = σe.A.dh (2.76)
Sendo o volume constante, tem-se:
A0.h0 = A.h (2.77)
Substituindo-se o valor de A da equação 2.70 em 2.69, obtem-se:
h
dhhA
dw e ... 00σ
= (2.78)
ou ainda:
h
dh
Vdw e ..σ= (2.79)
o trabalho de conformação será:
h
dh
Vw
h
h
e ..
1
0
∫= σ (2.80)
integrando-se tem-se o trabalho de conformação dado por:
38

23. 0
1
ln..
h
h
Vw eσ= (2.81)
sendo σe a tensão de escoamento média entre o entrada σe0 e a saída σe1.
Deve-se, no entanto, observar que o valor do trabalho de conformação não é
constante durante a compressão, pois ocorre o encruamento. É comum então,
considerar-se uma variação linear de σe com a deformação, empregando-se um valor
médio da tensão de escoamento dado por:
2
0 ele
w
σσ +
= (2.82)
2.2.9 – Atrito em conformação plástica
O atrito ocorre quando existe um movimento relativo entre uma ferramenta (de
conformação) e o material que está sendo deformado. A ocorrência de atrito nos
processos de conformação leva a um consumo de energia. Esta força de atrito,
consequentemente trabalho para vencer o atrito deve ser definido em função do
coeficiente de atrito.
De um modo geral o atrito é associado a um aspecto negativo dos processos de
conformação (consumo de energia, desgaste de ferramentas, temperatura na
ferramenta, etc.). Nem sempre é este o caso. Em alguns processos como na laminação
o atrito é fundamental para o agarre da barra pelos cilindros. No forjamento o atrito é
responsável para que o material forme o número de rebarba e toda a cavidade
(formadora da peça) seja preenchida.
A quantificação do coeficiente de atrito existente na interface ferramenta-tarugo é
efetuada por dois modelos:
1-Modelo de Coulomb estabelece que a tensão cisalhante (τ) necessária para provocar
o movimento relativo entre as superfícies em contato, é diretamente proporcional à
pressão aplicada (p):
τ = μp (2.83)
O coeficiente de proporcionalidade μ é constante ao longo do processo,
dependendo apenas das propriedades dos materiais em contato e do lubrificante,
sendo independente da geometria e da velocidade com que se efetua o movimento
relativo. Esse modelo apresenta resultados confiáveis quando aplicado a processos em
que a lubrificação é eficiente e os níveis de pressão na interface são reduzidos.
2-Num segundo modelo, denominado fator de atrito constante, define-se fator m que
independe da pressão aplicada e que relaciona a tensão cisalhante necessária ao
movimento relativo à tensão limite de escoamento sob cisalhamento do material do
metal menos resistente em contato (K), geralmente, o material do tarugo:
τ = mK (2.84)
39

24. O valor de m pode variar de valores próximos de zero (deslizamento quase
perfeito) a valores próximos da unidade (aderência total-cisalhamento soba interface
peça-ferramenta).
A aplicação de um desses dois modelos depende dos fatores como nível de
pressão desenvolvido na interface e à maior ou menor eficiência dos lubrificantes.
Como exemplo, em processos onde o acesso do lubrificante à interface de
contato é dificultado e os níveis de pressão são elevados (forjamento a quente em
matriz fechada), o uso do modelo do fator de atrito fornece resultados mais confiáveis
do que o modelo de Coulomb. Já em processos onde os níveis de pressão são
menores e a presença de lubrificante na região de deformação é constante, pode-se
aplicar o modelo de Coulomb.
Figuras
40

25. Figura 2.1 - Solicitação e resposta do metal na laminação.
Figura 2.2 - Procedimento para determinação da tensão no ponto P
Figura 2.3 – Decomposição da tensão T

segundo eixos cartesianos.
41

26. Figura 2.4 – Tensões em diferentes planos de corte
Figura 2.5 – Planos passando pelo ponto P, onde 0=τ
42

27. Figura 2.6 – Representação geométrica das equações (3.8)
Figura 2.7 – Extensão de círculos de Mohr à três dimensões
43

28. Figura 2.8 – Exemplos de círculos de Mohr para diferentes estados de tensão
Figura 2.9 – Círculo de Mohr para o ensaio de tração
44

29. Figura 2.10 - Estado aproximado de tensões e círculo de Mohr correspondente para o
caso da trefilação
Figura 2.11 – Análise das tensões no ensaio de torção
Figura 2.12 - Compressão simples de um corpo de prova
45

30. Figura 2.13 – Variação das dimensões nas três direções
Figura 2.14 - Exemplo de um CP de tração (esquerda) e das respectivas curvas força
versos alongamento obtidas..
Figura 2.15 - Representação de um digrama tensão vs.deformação, com a
indicação das diferentes fases do ensaio.
46

31. Figura 2.16 - Esboço da curva obtida no estado de tração (Curva tensão-deformação
convencional)
47

32. Figura 2.17 – Curva tensão-deformação de engenharia com σ e definido para uma
deformação de 0,2%
Figura 2.18 – Formação da histerese mecânica
Figura 2.19 - Diagrama tensão-deformação esquemático para o alumínio e o aço
48

33. Figura 2.20 - Deformações de engenharia (ou convencionais) em uma barra prismática
submetida a um carregamento unidirecional (como em um ensaio de tração).
Figura 2.21 – Efeito do encruamento no limite de escoamento de um material metálico
49

34. Figura 2.22 – Representação de situações extremas de comportamento de materiais
Figura 2.23 – Representação esquemática da curva tensão-deformação real e de
engenharia de um material metálico
Figura 2.24 – Comparação entre os critérios de Tresca e von Mises
50

35. Figura 2.25 – Curva tensão-deformação na região plástica para dois materiais com
diferentes valores de n
Figura 2.26 - Tipos de ruptura para solicitações uniaxiais
a)ruptura frágil b)ruptura dúctil c)ruptura mista
51

36. Tabelas
Tabela 2.1.Módulo de elasticidade de diversos materiais de engenharia
Metal Módulo de elasticidade (E)
(MPa)
Chumbo (Pb) 14.000
Magnésio (Mg) 45.500
Alumínio (Al) 70.000
Prata (Ag) 72.000
Ouro (Au) 79.000
Cobre (Cu) 127.000
Níquel (Ni) 209.000
Ferro (Fé) 210.000
Molibdênio (Mo) 304.000
Tungstênio (W) 414.000
Tabela 2.2.Limite de escoamento e módulo de resiliência de alguns materiais
comerciais
Material σE (MPa) UR (N.mmm/mm3
)
Aço baixo carbono 270 0,182
Aço inoxidável 350 0,322
Ferro fundido 250 0,184
Tungstênio 1000 1,231
Cobre 60 0,0145
Alumínio 40 0,0116
Concreto 20 0,004
PVC 45 337,5
Tabela 2.3.Valores dos coeficientes de encruamento (n) e coeficiente de resistência (k)
Material n k (MPa)
Aço baixo carbono-
recozido
0,261 539
Aço 4340 - recozido 0,150 651
Aço inox - 430 - recozido 0,229 1001
Alumínio - recozido 0,211 391
Liga de alumínio tratada
termicamente
0,16 690
Cobre - recozido 0,540 325
Latão 70/30 0,490 910
Titânio 0,170 -
52