Este documento é uma apostila sobre teoria de estruturas que contém: 1) Introdução sobre a importância do conhecimento teórico de estruturas; 2) Seção sobre estruturas isostáticas, apresentando o método das seções para resolução de uma viga isostática e encontrar seu deslocamento; 3) Promessa de abordar estruturas hiperestáticas no próximo tópico. A apostila é dedicada à família do autor e agradece aos professores que contribuíram para seu desenvolvimento.
Este documento discute o método da equação dos três momentos e o método da flexibilidade para análise de vigas contínuas. Apresenta exemplos numéricos de cálculo de momentos fletores, reações de apoio e diagramas de esforços usando a equação dos três momentos. Também explica os conceitos teóricos e os passos para aplicação do método da flexibilidade.
Este documento é uma apostila sobre teoria de estruturas produzida pelo professor Romildo Aparecido Soares Junior. A apostila é dedicada à família do professor e agradece aos professores que contribuíram para sua realização. Ela contém informações sobre estruturas isostáticas e hiperestáticas, incluindo métodos para resolução de estruturas e cálculo de deslocamentos.
Este documento discute diagramas de esforços internos em estruturas isostáticas lineares. Explica como determinar diagramas de esforços transversos e momentos flectores para vigas simplesmente apoiadas sujeitas a cargas distribuídas e concentradas. Também mostra como esses diagramas podem apresentar descontinuidades em pontos onde haja cargas concentradas ou momentos aplicados.
O documento descreve um método para calcular tensões tridimensionais in situ em maciços rochosos. O método envolve a abertura de um furo no maciço e medições de tensões nas proximidades da parede do furo. Pressupõe-se que as tensões medidas nessa região aproximam o tensor de tensões in situ no ponto central do furo, desde que aceitos certos pressupostos teóricos sobre a distribuição de tensões e deformações no maciço. Sistemas de coordenadas cilíndricas e cartesianas são definidos para
1) O documento discute o conceito e aplicações de derivadas no cálculo de esforços em vigas. 2) É explicado como derivar funções de momento fletor e esforço cortante para determinar esforços máximos em diferentes tipos de vigas. 3) A derivada é uma ferramenta importante no dimensionamento de vigas para suportar carregamentos.
otimo pra estudo em fisica pra enem e tarefa de casacom resoluçõ de exercicios comentado de varios assunto de fisica de primeiro e seguindo ano e terceiro ano de fisica ensino medio do positivo com ,br
O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticasdanielceh
1) O documento apresenta um estudo sobre a aplicação do cálculo diferencial e integral no estudo de vigas isostáticas.
2) São analisados cinco tipos de vigas: viga biapoiada com carga uniformemente distribuída, viga biapoiada com carga concentrada, viga com um engaste e carga concentrada na extremidade, viga com um engaste e carga uniformemente distribuída, viga com um engaste e carga triangular.
3) Para cada caso são determinadas as funções do momento fletor e
Este documento discute o método da equação dos três momentos e o método da flexibilidade para análise de vigas contínuas. Apresenta exemplos numéricos de cálculo de momentos fletores, reações de apoio e diagramas de esforços usando a equação dos três momentos. Também explica os conceitos teóricos e os passos para aplicação do método da flexibilidade.
Este documento é uma apostila sobre teoria de estruturas produzida pelo professor Romildo Aparecido Soares Junior. A apostila é dedicada à família do professor e agradece aos professores que contribuíram para sua realização. Ela contém informações sobre estruturas isostáticas e hiperestáticas, incluindo métodos para resolução de estruturas e cálculo de deslocamentos.
Este documento discute diagramas de esforços internos em estruturas isostáticas lineares. Explica como determinar diagramas de esforços transversos e momentos flectores para vigas simplesmente apoiadas sujeitas a cargas distribuídas e concentradas. Também mostra como esses diagramas podem apresentar descontinuidades em pontos onde haja cargas concentradas ou momentos aplicados.
O documento descreve um método para calcular tensões tridimensionais in situ em maciços rochosos. O método envolve a abertura de um furo no maciço e medições de tensões nas proximidades da parede do furo. Pressupõe-se que as tensões medidas nessa região aproximam o tensor de tensões in situ no ponto central do furo, desde que aceitos certos pressupostos teóricos sobre a distribuição de tensões e deformações no maciço. Sistemas de coordenadas cilíndricas e cartesianas são definidos para
1) O documento discute o conceito e aplicações de derivadas no cálculo de esforços em vigas. 2) É explicado como derivar funções de momento fletor e esforço cortante para determinar esforços máximos em diferentes tipos de vigas. 3) A derivada é uma ferramenta importante no dimensionamento de vigas para suportar carregamentos.
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O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticasdanielceh
1) O documento apresenta um estudo sobre a aplicação do cálculo diferencial e integral no estudo de vigas isostáticas.
2) São analisados cinco tipos de vigas: viga biapoiada com carga uniformemente distribuída, viga biapoiada com carga concentrada, viga com um engaste e carga concentrada na extremidade, viga com um engaste e carga uniformemente distribuída, viga com um engaste e carga triangular.
3) Para cada caso são determinadas as funções do momento fletor e
Equações diferenciais aplicada à flexao de vigasLucas Menezes
1) O documento discute a aplicação de equações diferenciais para analisar a flexão de vigas, um método matemático importante em engenharia civil.
2) As equações diferenciais são usadas para determinar as forças internas como momento fletor e cortante em vigas sob diferentes cargas.
3) A deflexão de vigas sob carga também pode ser modelada usando equações diferenciais, permitindo o cálculo da curvatura da viga.
O documento descreve diagramas de esforços solicitantes, que representam a variação de esforços como momento fletor, força cortante e deslocamento ao longo de uma estrutura. Explica que esses diagramas são construídos com valores de esforços nas ordenadas e a abscissa da estrutura no eixo, permitindo visualizar esforços em todas as seções. Lista exemplos de diagramas para diferentes configurações de cargas em vigas simplesmente apoiadas e engastadas.
M3 f2 - apontamentos de resistencia dos-materiaisMiguel Casimiro
Este documento fornece uma revisão de conceitos matemáticos e físicos importantes para o estudo da resistência dos materiais, incluindo operações com frações decimais e ordinárias, unidades de medida, composição e decomposição de forças, e momento de força. O documento também apresenta exemplos resolvidos de problemas que utilizam esses conceitos.
O documento apresenta os principais conceitos de resistência dos materiais e estática de estruturas. Aborda temas como sistemas de unidades, noções sobre forças, decomposição de forças, equilíbrio de corpos rígidos, tipos de apoios, cálculo de reações, esforços solicitantes, resistência de materiais, características de seções, e teoria de treliças.
O documento discute conceitos fundamentais de física como momento de força, torque, equilíbrio de corpos sob ação de forças e determinação do centro de gravidade. Exemplos ilustram como esses conceitos são aplicados para explicar situações do cotidiano e resolver problemas.
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...danielceh
O documento descreve a aplicação do cálculo diferencial e integral no estudo da linha elástica de vigas isostáticas. Apresenta conceitos como a lei de Hooke, diagrama tensão-deformação e momento de inércia. Explica o processo de integração direta da equação diferencial da linha elástica e aplica o cálculo para determinar a linha elástica de diferentes tipos de vigas isostáticas, incluindo uma tabela com os resultados.
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticasdanielceh
O documento apresenta um estudo sobre a aplicação do cálculo diferencial e integral no dimensionamento de vigas isostáticas sob diferentes tipos de carga. É analisado o cálculo dos esforços de momento fletor e cortante em vigas biapoiadas com carga uniforme ou concentrada, e em viga com um engaste e carga concentrada ou uniforme na extremidade livre. Diagramas ilustram os resultados obtidos para cada caso.
O documento descreve como Fermat e Newton, de forma independente, chegaram ao conceito de derivada ao tentarem resolver problemas diferentes: Fermat sobre tangentes a curvas e Newton sobre velocidade instantânea. A derivada representa a taxa de variação de uma função num determinado ponto e foi fundamental para o desenvolvimento do cálculo diferencial.
Tensoesinsitu3 dmodificado em 26 06 2012elysioruggeri
Este documento descreve um modelo matemático para calcular tensões tridimensionais em maciços rochosos. O modelo usa equações da mecânica dos sólidos para descrever o estado de tensão em torno de um furo realizado no maciço, considerando pressupostos como tensões e deformações que dependem apenas das coordenadas cilíndricas r e θ. O problema é equacionado usando leis de Hooke e equações de compatibilidade em coordenadas cilíndricas, com condições de contorno apropriadas.
O documento discute conceitos gerais sobre momentos e esforços em vigas, incluindo: (1) a definição de momento como um esforço que provoca giro, (2) os conceitos de binário e distância de força em relação ao ponto de giro, e (3) os tipos de esforços em vigas, como momento fletor e força cortante. O documento também explica como calcular as reações de apoio em vigas isostáticas usando equações de equilíbrio estático.
Cap 2 problemas estaticamente indeterminadosBianca Alencar
O documento descreve métodos para resolver vigas estaticamente indeterminadas, incluindo o método da superposição de efeitos. Este método envolve decompor a estrutura em uma viga isostática primária e aplicar as cargas isoladamente, superpondo os efeitos para determinar as reações excedentes. O documento também discute casos de apoios elásticos, onde há uma força restauradora proporcional ao deslocamento, e recalque de apoio.
1) O documento apresenta os tipos de elementos estruturais, carregamentos, apoios e convenções para elaboração de diagramas de esforços em estruturas;
2) Inclui exemplos de diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor para diferentes configurações estruturais sob ação de cargas pontuais e distribuídas;
3) Explica como calcular as áreas dos diagramas para a obtenção dos diagramas de momento fletor.
Este documento apresenta os conceitos básicos de resistência dos materiais, incluindo tração e compressão puras, cisalhamento simples e o conceito de tensão. Discute-se o comportamento elástico e plástico de materiais dúcteis e frágeis, assim como a relação entre tensão e deformação definida pela lei de Hooke.
O documento discute simetria e antissimetria em estruturas. Ele explica como estruturas simétricas podem ter carregamentos simétricos ou antissimétricos, e como isso afeta os campos de esforços e deslocamentos. Também fornece simplificações para análise estrutural considerando simetria.
1) O documento discute a resistência ao cisalhamento do solo e os fatores que influenciam este comportamento.
2) São descritos os mecanismos de resistência ao cisalhamento, incluindo atrito e coesão entre partículas de solo.
3) O critério de ruptura de Mohr-Coulomb é apresentado para representar a resistência dos solos usando envoltórias.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de sistemas estruturais, incluindo:
1) Convenções para diagramas de esforços solicitantes;
2) Tipos de elementos estruturais como barras, placas e blocos;
3) Tipos de carregamentos como cargas concentradas, uniformes e triangulares;
4) Tipos de apoios como apoios de 1o, 2o e 3o gênero.
1) O documento discute flexão pura em barras prismáticas, onde momentos iguais e opostos são aplicados no mesmo plano longitudinal, causando curvatura uniforme.
2) É analisado o estado de tensões em uma seção transversal sob flexão pura, que resulta em um estado uniaxial de tensão com a tensão variando linearmente através da espessura.
3) A superfície onde a tensão é zero é chamada de superfície neutra.
- Estuda o efeito de molas com memória de forma superelásticas no comportamento aeroelástico de uma seção de asa.
- Analisa como as molas com efeito memória de forma afetam a vibração e podem ser usadas para amortecimento passivo ou coleta de energia.
- Desenvolve um modelo matemático acoplado piezoelétrico-aeroelástico para analisar o comportamento.
O documento discute flexão pura em vigas. Apresenta as equações para calcular o momento fletor M e tensões normais σ em uma viga sob flexão pura. Explica como calcular o módulo de resistência W para diferentes formas de seção, que é usado para determinar σmax. Fornece exemplos de cálculos de M, σ e dimensionamento de vigas.
1) O documento discute os tipos de tensões associadas aos esforços internos em vigas, incluindo tensões normais devido ao momento fletor e tensões de cisalhamento devido ao esforço cortante.
2) É explicado que a deformação e tensão normais variam linearmente com a distância da linha neutra, onde não há deformação ou tensão.
3) A máxima tensão normal ocorre na fibra mais distante da linha neutra.
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www. DragonTrail.com / www.TripShow.com / www.ChinaTravelTrends.com
The document discusses data-driven hypothesis management. It describes how scientific research is based on hypotheses meant to be established or refuted over time by collecting evidence from multiple sources to support their truth or falsehood. Hypothesis management is closely related to managing probabilistic data. The document presents an approach for encoding hypotheses and experimental data as relational data in a probabilistic database in order to facilitate data-driven hypothesis evaluation and discovery.
Equações diferenciais aplicada à flexao de vigasLucas Menezes
1) O documento discute a aplicação de equações diferenciais para analisar a flexão de vigas, um método matemático importante em engenharia civil.
2) As equações diferenciais são usadas para determinar as forças internas como momento fletor e cortante em vigas sob diferentes cargas.
3) A deflexão de vigas sob carga também pode ser modelada usando equações diferenciais, permitindo o cálculo da curvatura da viga.
O documento descreve diagramas de esforços solicitantes, que representam a variação de esforços como momento fletor, força cortante e deslocamento ao longo de uma estrutura. Explica que esses diagramas são construídos com valores de esforços nas ordenadas e a abscissa da estrutura no eixo, permitindo visualizar esforços em todas as seções. Lista exemplos de diagramas para diferentes configurações de cargas em vigas simplesmente apoiadas e engastadas.
M3 f2 - apontamentos de resistencia dos-materiaisMiguel Casimiro
Este documento fornece uma revisão de conceitos matemáticos e físicos importantes para o estudo da resistência dos materiais, incluindo operações com frações decimais e ordinárias, unidades de medida, composição e decomposição de forças, e momento de força. O documento também apresenta exemplos resolvidos de problemas que utilizam esses conceitos.
O documento apresenta os principais conceitos de resistência dos materiais e estática de estruturas. Aborda temas como sistemas de unidades, noções sobre forças, decomposição de forças, equilíbrio de corpos rígidos, tipos de apoios, cálculo de reações, esforços solicitantes, resistência de materiais, características de seções, e teoria de treliças.
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Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...danielceh
O documento descreve a aplicação do cálculo diferencial e integral no estudo da linha elástica de vigas isostáticas. Apresenta conceitos como a lei de Hooke, diagrama tensão-deformação e momento de inércia. Explica o processo de integração direta da equação diferencial da linha elástica e aplica o cálculo para determinar a linha elástica de diferentes tipos de vigas isostáticas, incluindo uma tabela com os resultados.
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticasdanielceh
O documento apresenta um estudo sobre a aplicação do cálculo diferencial e integral no dimensionamento de vigas isostáticas sob diferentes tipos de carga. É analisado o cálculo dos esforços de momento fletor e cortante em vigas biapoiadas com carga uniforme ou concentrada, e em viga com um engaste e carga concentrada ou uniforme na extremidade livre. Diagramas ilustram os resultados obtidos para cada caso.
O documento descreve como Fermat e Newton, de forma independente, chegaram ao conceito de derivada ao tentarem resolver problemas diferentes: Fermat sobre tangentes a curvas e Newton sobre velocidade instantânea. A derivada representa a taxa de variação de uma função num determinado ponto e foi fundamental para o desenvolvimento do cálculo diferencial.
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Este documento descreve um modelo matemático para calcular tensões tridimensionais em maciços rochosos. O modelo usa equações da mecânica dos sólidos para descrever o estado de tensão em torno de um furo realizado no maciço, considerando pressupostos como tensões e deformações que dependem apenas das coordenadas cilíndricas r e θ. O problema é equacionado usando leis de Hooke e equações de compatibilidade em coordenadas cilíndricas, com condições de contorno apropriadas.
O documento discute conceitos gerais sobre momentos e esforços em vigas, incluindo: (1) a definição de momento como um esforço que provoca giro, (2) os conceitos de binário e distância de força em relação ao ponto de giro, e (3) os tipos de esforços em vigas, como momento fletor e força cortante. O documento também explica como calcular as reações de apoio em vigas isostáticas usando equações de equilíbrio estático.
Cap 2 problemas estaticamente indeterminadosBianca Alencar
O documento descreve métodos para resolver vigas estaticamente indeterminadas, incluindo o método da superposição de efeitos. Este método envolve decompor a estrutura em uma viga isostática primária e aplicar as cargas isoladamente, superpondo os efeitos para determinar as reações excedentes. O documento também discute casos de apoios elásticos, onde há uma força restauradora proporcional ao deslocamento, e recalque de apoio.
1) O documento apresenta os tipos de elementos estruturais, carregamentos, apoios e convenções para elaboração de diagramas de esforços em estruturas;
2) Inclui exemplos de diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor para diferentes configurações estruturais sob ação de cargas pontuais e distribuídas;
3) Explica como calcular as áreas dos diagramas para a obtenção dos diagramas de momento fletor.
Este documento apresenta os conceitos básicos de resistência dos materiais, incluindo tração e compressão puras, cisalhamento simples e o conceito de tensão. Discute-se o comportamento elástico e plástico de materiais dúcteis e frágeis, assim como a relação entre tensão e deformação definida pela lei de Hooke.
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1) O documento discute a resistência ao cisalhamento do solo e os fatores que influenciam este comportamento.
2) São descritos os mecanismos de resistência ao cisalhamento, incluindo atrito e coesão entre partículas de solo.
3) O critério de ruptura de Mohr-Coulomb é apresentado para representar a resistência dos solos usando envoltórias.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de sistemas estruturais, incluindo:
1) Convenções para diagramas de esforços solicitantes;
2) Tipos de elementos estruturais como barras, placas e blocos;
3) Tipos de carregamentos como cargas concentradas, uniformes e triangulares;
4) Tipos de apoios como apoios de 1o, 2o e 3o gênero.
1) O documento discute flexão pura em barras prismáticas, onde momentos iguais e opostos são aplicados no mesmo plano longitudinal, causando curvatura uniforme.
2) É analisado o estado de tensões em uma seção transversal sob flexão pura, que resulta em um estado uniaxial de tensão com a tensão variando linearmente através da espessura.
3) A superfície onde a tensão é zero é chamada de superfície neutra.
- Estuda o efeito de molas com memória de forma superelásticas no comportamento aeroelástico de uma seção de asa.
- Analisa como as molas com efeito memória de forma afetam a vibração e podem ser usadas para amortecimento passivo ou coleta de energia.
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O documento discute flexão pura em vigas. Apresenta as equações para calcular o momento fletor M e tensões normais σ em uma viga sob flexão pura. Explica como calcular o módulo de resistência W para diferentes formas de seção, que é usado para determinar σmax. Fornece exemplos de cálculos de M, σ e dimensionamento de vigas.
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The document discusses data-driven hypothesis management. It describes how scientific research is based on hypotheses meant to be established or refuted over time by collecting evidence from multiple sources to support their truth or falsehood. Hypothesis management is closely related to managing probabilistic data. The document presents an approach for encoding hypotheses and experimental data as relational data in a probabilistic database in order to facilitate data-driven hypothesis evaluation and discovery.
This document covers details about yebhi and important aspects of this eCommerce portal. It covers following information.
- SWOT analysis
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- Company direction and focus
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The document provides an overview of the case method approach to analyzing case studies. It describes what a case study is and how the case method is used as a learning tool. The key aspects of analyzing a case study are outlined, including: defining the problem, analyzing the case data, generating alternatives, selecting decision criteria, evaluating alternatives, and making a recommendation. Students are guided through a two-step process of preparing a case - the short cycle process of initial familiarization and the long cycle process of more detailed analysis. The document emphasizes analyzing the issues, considering various stakeholder perspectives, and justifying a recommendation based on evaluation criteria.
This report highlights the case study of jabong and what made it a successful online eCommerce portal. The report covers following information.
- Company's information
- SWOT Analysis
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2012 feb 25 agile ux nyc, seiden, requirements to hypothesesJoshua Seiden
Here are some assumptions we may have:
- People want to surf the internet from their couch
- People will pay for a device that makes this easier
- Our design will be intuitive enough for people to use without trouble
- People will offer feedback honestly in user tests
- We can build a prototype quickly and cheaply enough to test
www.proof-nyc.com License: Creative Commons Attribution-
www.slideshare.net/jseiden Share Alike 3.0 United States
This document provides an introduction to product roadmaps and discusses best practices for planning and communicating a product roadmap. It covers defining the key role of product managers, tying a roadmap to product strategy and goals, and planning and prioritizing initiatives for the roadmap. The document emphasizes establishing a clear product vision and goals before beginning the roadmap and treating the roadmap as a living document.
JJ is a 76-year-old female with depression, anxiety, bipolar disorder and chronic sciatica pain who owns a gun shop, lives independently with her husband and attends support groups daily. She has motor, emotional regulation, cognitive, and social dysfunction impacting her activities of daily living. The occupational therapy treatment plan focuses on relaxation techniques, thought journaling, visual imagery, task analysis and strengthening activities to help JJ better manage her depression and chronic pain.
This document provides guidance on how to analyze a case study. It explains that a case study describes an actual administrative situation involving a decision or problem. It then outlines four types of case studies. The document proceeds to describe a two-step process for analyzing a case study: the short cycle process involves quickly reading the case study to understand the key details, while the long cycle process involves an in-depth analysis. Key steps in the analysis include defining the problem, analyzing data, generating alternatives, evaluating alternatives using decision criteria, and making a recommendation. Instructions are also provided for engaging with case studies before, during and after class discussions.
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
Estruturas de Madeiras: Dimensionamento e formas de classificaçãocaduelaia
Apresentação completa sobre origem da madeira até os critérios de dimensionamento de acordo com as normas de mercado. Nesse material tem as formas e regras de dimensionamento
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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54 99956-3050
Os nanomateriais são materiais com dimensões na escala nanométrica, apresentando propriedades únicas devido ao seu tamanho reduzido. Eles são amplamente explorados em áreas como eletrônica, medicina e energia, promovendo avanços tecnológicos e aplicações inovadoras.
Sobre os nanomateriais, analise as afirmativas a seguir:
-6
I. Os nanomateriais são aqueles que estão na escala manométrica, ou seja, 10 do metro.
II. O Fumo negro é um exemplo de nanomaterial.
III. Os nanotubos de carbono e o grafeno são exemplos de nanomateriais, e possuem apenas carbono emsua composição.
IV. O fulereno é um exemplo de nanomaterial que possuí carbono e silício em sua composição.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I, II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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54 99956-3050
Introdução ao GNSS Sistema Global de PosicionamentoGeraldoGouveia2
Este arquivo descreve sobre o GNSS - Globas NavigationSatellite System falando sobre os sistemas de satélites globais e explicando suas características
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
2. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 1
APOSTILA DE TEORIA DAS ESTRUTURAS
Prof. ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR
CAMPINAS – SP
2016
3. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 2
DEDICATÓRIA
A seguinte apostila é dedicada as pessoas que tornaram possível a sua realização.
Sendo estas a minha família, que sempre estiveram ao meu lado.
4. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 3
AGRADECIMENTOS
Agradeço à todos os Professores do curso de Engenharia Civil da PUC de poços de
caldas em especial os Prof. Dr. José Gabriel Maluf Soler, Profa. Dr. Ana Paula, Prof. Ms.
Ronald Savoi de Senna Junior, Prof. Ms. Luiz Antônio dos Reis, com o qual sem seus
ensinamentos não seria possível esta apostila. Também agradeço aos alunos que sem as
contribuições à esta apostila não seria possível concretiza-la.
5. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 4
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO 05
2. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 07
3. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 38
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 44
6. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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1. INTRODUÇÃO
Todo engenheiro civil deve ter um conhecimento teórico para resolver as estruturas não
somente utilizando os softwares de cálculo. O conhecimento da solução do problema de maneira manual
permite não só uma visão melhor dos resultados quanto um domínio maior do software de cálculo,
proporcionando dimensões otimizadas e menores chances de erro, o que pode ser crucial na carreira de
um engenheiro. O início do cálculo estrutural começa na teoria das estruturas e na mecânica. Através
destas disciplinas o aluno consegue calcular por sua vez os esforços e os deslocamentos nas estruturas,
podendo então utilizar a norma da região para calcular se a peça irá ou não resistir ao esforço dado. O
objetivo desta apostila é proporcionar o conhecimento para os futuros engenheiros de maneira prática e
passo a passo. Existem muitos métodos para resolução de estruturas tanto isostáticas quanto
hiperestáticas. Para estruturas isostáticas será apresentado o método das seções, que consiste em encontrar
as equações que descrevem os esforços da estrutura, para as estruturas hiperestáticas será detalhado o
método das forças, sendo este o mais prático quando se calcula uma viga ou um pórtico à mão. Para o
cálculo dos deslocamentos e giros serão apresentados dois métodos, um com o qual o aluno integra as
equações dos esforços (dispensando a tabela, porém mais demorado) e também será apresentado o
método com o qual o aluno utiliza uma tabela de integrais para encontrar o deslocamento da viga,
deixando o cálculo mais rápido. Todos os cálculos desta apostila levam em conta a teoria da elasticidade
linear para os deslocamentos, ou seja, a teoria proposta por EULER-BERNOULLI. Os Gráficos desta
apostila foram todos feitos utilizando o programa FTOOL podendo ser encontrado em:
http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ .
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2. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
Em mecânica estrutural, diz-se que uma estrutura é isostática quando o número de restrições
(reações) é rigorosamente igual ao número de equações da estática. É, portanto, uma estrutura estável.
Diferem das estruturas hipostáticas (cujo número de reações é inferior ao número de equações) e das
estruturas hiperestáticas (número de reações superior). São exemplos de estruturas isostáticas uma viga
biapoiada (com um dos apoios podendo se movimentar horizontalmente) e uma viga engastada em
balanço.
2.1 RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DAS SEÇÕES
Quando se resolve uma estrutura isostática pelo método das seções aplica-se uma forma
sistemática de resolução a partir da realização de cortes na estrutura entre cada tipo de carga e/ou apoio.
Estes cortes possibilitam o encontro das equações para cada tipo de esforço solicitante que está ocorrendo
no trecho analisado. Após encontrada a equação do esforço solicitante basta a plotagem ao longo do
trecho desta equação para encontrar os valores dos esforços solicitantes em qualquer lugar da estrutura.
Além disso este método dispensa o uso de tabelas para encontrar deslocamentos ou giros pois estaremos
integrando diretamente as equações dos esforços. Resolveremos então uma viga isostática pelo método
das seções e encontraremos o deslocamento da viga em um ponto escolhido.
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Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 7
O primeiro cálculo a ser feito é encontrar as reações de apoio para a viga abaixo :
Reações de Apoio
Ma=0 (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo)
Fy=0
Diagrama dos esforços solicitantes
Para encontrar os esforços solicitantes é então necessário cortar os diversos trechos da
estrutura a fim de encontrar as equações dos esforços solicitantes. Primeiramente deve-se posicionar os
cortes corretamente ao longo da estrutura, sempre entre apoios e entre cargas diferentes. Teremos então
um corte na carga distribuída, um corte entre a carga distribuída e a carga concentrada e outro corte entre
a carga concentrada e o apoio simples.
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1°Corte:
Observe então que na figura acima foi feito um corte olhando para a esquerda na carga
distribuída da viga expondo-se as os esforços de normal, cortante e momento. A distância total deste
trecho será chamada de X, portanto a carga concentrada vinda da carga distribuída para este trecho será
de q*X e ela estará a uma distância da seção de X/2. Para encontrar as equações para cada esforço deste
trecho deve-se realizar o somatório para o equilíbrio na seção.
Normal: Será feito um somatório das forças em X, portanto:
N=0
Cortante: Será feito um somatório das forças em Y, portanto:
Momento: Será feito um somatório de momento na seção andando para a esquerda notando que 6x
é a carga que foi concentrada a partir da carga distribuída e x/2 é a distância desta carga à seção e
13,8 é a reação de apoio RA e x é a distância total desta carga até a seção, portanto:
Estas equações valem com X de 0 a 3.
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2°Corte:
Observe então que na figura acima foi feito um corte olhando para a esquerda após a carga
distribuída e antes da carga concentrada da viga expondo-se as os esforços de normal, cortante e
momento. A distância total deste trecho será chamada de X, portanto a carga concentrada vinda da carga
distribuída para este trecho será de q*3 e ela estará a uma distância da seção de [(X-3)+1,5].O valor X-3
deve-se ao fato de que 3 é uma distância conhecida e X é o total deste trecho, logo a distância da seção à
carga distribuída é X-3. Para encontrar as equações para cada esforço deste trecho deve-se realizar o
somatório para o equilíbrio na seção.
Normal: Será feito um somatório das forças em X, portanto:
N=0
Cortante: Será feito um somatório das forças em Y, portanto:
Momento: Será feito um somatório de momento na seção andando para a esquerda :
Estas equações valem com X de 3 a 4.
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3°Corte:
Observação: qd - carga concentrada do carregamento distribuído.
qc – carga concentrada.
Normal: N=0
Cortante:
Momento: (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo)
Estas equações valem com X de 4 a 5.
Gráficos de Esforços Solicitantes
Para encontrar então os diagramas de esforços solicitantes basta plotar agora as equações
encontradas ao longo da viga levando em conta que deve-se respeitar os trechos de cada equação. Cada
equação só valerá no respectivo trecho calculado. A equação do trecho 1 só valerá de 0 a 3, a equação do
trecho 2 só valerá de 3 a 4 e a equação do trecho 3 só valerá de 4 a 5. Quando o valor de momento der
NEGATIVO deve-se desenha-lo em cima da viga (tracionando então as fibras de cima da viga), quando o
momento der POSITIVO deve-se desenha-lo em baixo da viga (tracionando então as fibras de baixo da
viga), esta é a convenção de sinal adotada pelos calculistas. A cortante segue o sentido da reação de apoio
que causa cisalhamento na viga, portanto quando a reação for para cima a cortante começará positiva e
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será desenhada para cima da viga ou então basta seguir a equação da cortante, quando o sinal for positivo
ela deverá ser traçada em cima da viga e quando negativa ela deverá ser traçada em baixo da viga. A
normal será positiva quando ela estiver tracionando a seção da viga e será negativa quando ela estiver
comprimindo a seção da viga.
Cortante (V-kN)
Momento(M-kN.m)
Pelo método das seções a solução da estrutura acaba se tornando de maneira sistêmica uma
vez que o aluno só precisa plotar os pontos das equações conforme os trechos para desenhar os esforços
solicitantes. Cabe também ao aluno se identificar com as formas e os tipos de cargas e esforços que
aparecem nas estruturas a fim de poder confirmar as equações encontradas.
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2.2 DESLOCAMENTOS E O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a
força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária
(MCU). Também conhecido como Método do Trabalho Virtual, Método da Carga Substituta e Método de
Maxwell-Mohr, o MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformações reais
causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas. Como o MCU é uma sistematização do PTV, sua
formulação geral pode ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não-linear. Seja
calcular um determinado deslocamento ∆, por exemplo o deslocamento vertical no ponto C, em uma
estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer. Portanto, este método consiste em colocar
uma carga unitária onde deseja-se encontrar o deslocamento (o deslocamento será no sentido da carga,
seja x, y ou z). Tendo em mãos os esforços solicitantes causados pela carga inicial e devido a carga
unitária podemos encontrar o deslocamento integrando um vezes o outro ao longo de toda a viga. Para
encontrar o deslocamento deve-se utilizar a seguinte formulação:
∫ ∫ ∫
Temos então a integração dos três esforços para se encontrar o deslocamento. Para vigas e
pórticos são utilizadas as parcelas da normal e do momento pois elas que mostram de maneira mais
expressiva a quantidade do deslocamento ou giro. A parcela da cortante contribui muito pouco para o
deslocamento ou giro, sendo então (para cálculos manuais ou análises onde não é necessária a precisão)
normalmente desprezada no cálculo do deslocamento. Lembrando-se que este tipo de cálculo de
deslocamentos ou giros leva em conta a teoria linear elástica de Euller/Bernoulli, ou seja os
deslocamentos aumentam de maneira linear a medida que a carga for aumentando. Apesar de este ser o
método mais simples e utilizado, as estruturas têm um comportamento não-linear com relação aos
deslocamentos, em obras de grande porte é possível levar em consideração a não linearidade para cálculo
dos deslocamentos, sendo esta uma vantagem com relação ao dimensionamento dos elementos, podendo
gerar economia no orçamento da obra. Calcularemos então para a viga abaixo o deslocamento no ponto
indicado.
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Suponha que queremos encontrar o deslocamento vertical no final da carga distribuída, em x
= 3m. Devemos então aplicar uma carga unitária onde desejamos encontrar o deslocamento e encontrar os
esforços nesta nova estrutura com a carga unitária.
Carga Unitária
Reação de Apoio
Ma=0 (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo)
Fy=0
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Diagrama dos esforços solicitantes
1°Corte:
Normal: N=0
Cortante:
Momento: (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo)
2°Corte:
Normal: N=0
Cortante:
Momento: (adotando o sentido horário positivo e o anti-horário negativo)
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Gráficos
Cortante (V-kN) – Gráfico de cortante para a carga unitária
Momento(M-kN.m) – Gráfico de momento para a carga unitária
Para encontrar o deslocamento integramos então as equações de momento, cortante e normal
da estrutura com o carregamento inicial contra o carregamento unitário. Chamaremos de M0 o momento
no sistema 0 com as cargas iniciais e de M1 para o momento no sistema 1 com a carga unitária. Como já
dito a cortante será então desprezada e a normal não existe nessa viga, então a equação para
deslocamentos lineares será resumida a:
∫
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Para facilitar a visualização de quem será integrado contra quem, plote os gráficos do sistema
0 em cima do gráfico do sistema 1. Deve-se integrar as equações que se sobreponham nos seus
respectivos trechos, como abaixo :
- Momento com a carga inicial
- Momento com a carga unitária concentrada
∫ ∫
∫
Este deslocamento é muito grande para uma viga, ele ficou desta magnitude devido à não
consideração do módulo de elasticidade do material e da inerciada seção transversal. Se considerarmos E
= 2.5*10^7 kN/m^2 (do concreto) e a Inercia de 0,00635 m^4 este deslocamento passa a ser :
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De maneira análoga é possível resolver os mais variados tipos de vigas utilizando então o
método das seções, tanto para deslocamentos quanto para giro. Abaixo uma lista de exercícios resolvidos
utilizando o método das seções passo a passo.
Exercícios Resolvidos : Viga Bi-apoiada
Corte :
Normal:
Cortante:
Momento:
Gráfico de Cortante (kN):
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Gráfico de Momento (kN.m):
Equação do giro:
∫
∫ . /
Equação do deslocamento:
∫
∫ . /
Condições de contorno:
:
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Exercícios Resolvidos : Viga Engastada
Corte :
Normal:
Cortante:
Momento:
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Gráfico de Cortante (kN):
Gráfico de Momento (kN.m):
Equação do giro:
∫
∫ . /
Equação do deslocamento:
∫
∫ . /
Condições de contorno:
:
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Exercícios Resolvidos : Viga com carga concentrada
Reações de Apoio:
∑
∑
Equações:
1º Corte (0<=x<=2):
2º Corte(2<=x<=5):
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Diagramas de esforços solicitantes:
Gráfico de Cortante (kN):
Gráfico de Momento (kN.m):
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Carga Unitária:
∑
∑
1º Corte (0<=x<=2): 2º Corte(2<=x<=5):
Deslocamento em x=2m:
∫ ∫
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Exercícios Resolvidos : Viga com carga triangular
Reações de Apoio:
∑
∑
Equações:
1º Corte (0<=x<=4):
Equações e Condições de Contorno:
1º Corte:
∫ ∫
∫ ∫
Para x = 0 → d = 0
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Para x = 4 → d = 0
Diagramas de esforços solicitantes:
Gráfico de Cortante (kN):
Gráfico de Momento (kN.m):
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Exercícios Resolvidos : Viga com duas cargas concentradas (flexão pura)
1º Corte :
Normal:
Cortante:
Momento:
2º Corte :
Normal:
Cortante:
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Momento:
3º Corte :
Normal:
Cortante:
Momento:
Gráfico de Cortante (kN):
Gráfico de Momento (kN.m):
29. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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Colocando carga unitária para encontrar deslocamento em x = 2:
1º Corte :
Normal:
Cortante:
Momento:
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2º Corte :
Normal:
Cortante:
Momento:
∫
∫ ∫ ∫
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Exercícios Resolvidos : Viga com duas cargas variadas
Reação de Apoio
∑
∑
∑
Esforços Solicitantes
X de 0 a 3
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X de 3 a 4
X de 4 a 5
Diagramas
V(kN)
M(kN.m)
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Exercícios Resolvidos : Viga engastada com duas cargas variadas
Reação de Apoio
∑
∑
∑
Esforços Solicitantes
X de 0 a 2
X de 2 à 4
34. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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X de 4 à 7
Diagramas
V(kN)
M(kN.m)
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Exercício 8 – A resolução de pórticos pelo método das seções é feita de maneira similar ao das vigas,
porém, agora deve-se analisar barra por barra, os limites de integração começam do zero toda vez que se
trocar a barra a ser integrada. Os cortes são feitos de maneira similar, entre cada tipo de carga e apoio, e
entre as cargas distribuídas.
Reações de Apoio:
∑
∑
∑
Equações:
Primeiro cortamos antes da carga concentrada, depois cortamos depois da mesma. Após isso cortamos
entre a carga distribuída e por fim cortamos a ultima barra vertical da direita.
1º Corte (0<=x<=2): 2º Corte(2<=x<=4):
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Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 35
3º Corte (0<=x<=5): 4º Corte(0<=x<=4):
Agora devemos apenas plotar as equações ao longo das barras, encontrando então o diagrama
de esforços solicitantes:
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Carga Unitária:
∑
∑
1º Corte (0<=x<=2): 2º Corte(2<=x<=4):
3º Corte (0<=x<=5): 4º Corte(0<=x<=4):
38. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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Deslocamento em x=2,5m
Nos pórticos deve-se integrar sempre barra por barra, quando se termina de integrar uma barra
os limites de integração voltam a ser zero, como é possível observar nas equações abaixo:
∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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3. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
As estruturas hiperestáticas são aquelas que tem uma quantidade de vínculos maior do que o
necessário para manter a estrutura em equilíbrio. Na prática normalmente as estruturas hiperestáticas são
as que devem ser calculadas, como vigas contínuas, engastes entre vigas e pilares, entre outras.
3.1 O MÉTODO DAS FORÇAS – UTILIZANDO EQUAÇÕES
O método das forças é indicado quando se faz necessário o cálculo manual das estruturas
hiperestáticas (quando não é possível o auxílio de um computador), sendo então este o primeiro método a
ser ensinado nesta apostila. De maneira simplificada ele consiste em remover os vínculos que estão
causando a hiperestaticidade da estrutura, aplicando em contrapartida uma carga unitária no sistema agora
isostático. Encontrando o deslocamento para este sistema isostático ( com o vinculo excedente removido )
e também o deslocamento ocorrido devido a uma carga unitária, é possível encontrar o chamado sistema
de compatibilidade de deslocamentos, do qual tiramos as reações dos vínculos primeiramente removidos.
Seja a viga hiperestática abaixo :
1.
O primeiro passo é verificar o grau de hiperestacidade da estrutura. No caso de vigas e
pórticos simples, o grau de hiperestaticidade é facilmente encontrado. Basta contar o número de vínculos
da estrutura, no caso da viga acima temos dois vínculos no apoio fixo da esquerda e mais dois vínculos
nos dois apoios móveis da direita. Portanto temos 4 vínculos nesta estrutura, em todas as estruturas
teremos 3 equações de equilíbrio, isto é, somatório de momento igual a zero, somatório de forças em y
igual a zero e somatório de forças em x igual a zero. O grau de hiperestaticidade é calculado com g = V-3,
substituindo então a quantidade de vínculos nesta equação temos g = 4-3, portanto g = 1. Então o grau de
hiperestaticidade desta estrutura é um. Isto significa para o método das forças que devemos remover 1
vinculo á escolha para transformarmos esta estrutura em isostática.
40. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 39
O segundo passo é escolher o vinculo a ser removido, no caso deste exercício removeremos o
apoio central, criando-se o sistema 0, ou seja o sistema principal com a carga real. Iremos então resolver
este sistema encontrando suas equações de momento e cortante.
CASO O
⅀ ⅀
Fazemos então um corte no meio da carga distribuída, encontrando a seguinte seção :
Para
⅀ ⅀
41. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 40
O terceiro passo é colocar uma carga unitária no lugar onde foi removido o vínculo,
encontrando então o sistema 1. Deve-se então resolver este sistema 1, encontrando as equações de
momento e cortante.
CASO 1
⅀ ⅀
Para
⅀ ⅀
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Para
⅀ ⅀
Encontradas as equações de momento para o sistema 0 e também para o sistema 1 é
necessário encontrar os coeficientes do sistema de compatibilidade de deslocamentos. Estes coeficientes
são os deslocamentos do sistema 0 e sistema 1 no ponto onde foi removido o vinculo. Então o Delta 10
são as integrais de momento do sistema 0 contra o sistema 1, e o Delta 11 são as integrais do sistema 1
contra o sistema 1 ( ele mesmo ).
∫ ∫
∫ ∫
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Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 42
Substituindo então estes valores no sistema de compatibilidade de deslocamentos temos :
O valor encontrado de -7,5 kN é o valor da reação de apoio do vinculo inicialmente removido.
O sinal negativo da resposta indica que a reação de apoio tem direção inversa à carga unitária adotada. Ou
seja, como a carga unitária foi adotada para baixo e a resposta deu negativa, logo temos que a direção da
reação de apoio é para cima. Para encontrar os diagramas finais para esta estrutura basta agora aplicar o
método das seções em cada trecho e plotar as equações ao longo do eixo da viga:
⅀ ⅀
6
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Para
⅀ ⅀
Para
⅀ ⅀
Basta agora somente a plotagem das equações ao longo da viga passando pelos trechos
calculados. O método das forças mostra-se uma alternativa eficaz para resolução de estruturas de maneira
manual.
45. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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V(kN)
M(kN*m)
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Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 45
Basta agora somente a plotagem das equações ao longo da viga passando pelos trechos
calculados. O método das forças mostra-se uma alternativa eficaz para resolução de estruturas de maneira
manual.
Caso 0 :
Trecho a
N=0 V= -2x+4,833 M=
-x²+4,833x
Trecho b
N=0 V= -1,167 M= -
1,167x+9
Trecho c
N=0 V= -3,167 M= -
3,167x+19
Caso 1
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Trecho a
N= 0 V= 0,5 M= 0,5x
Trecho b
N= 0 V= -0,5 M= -0,5x+3
EI * ∫ ∫
∫ = 21,2038333
EI * ∫ ∫ = 4,5000
R1= R1= R1 = -4,712
Trecho a (Final)
N=0 V=-2x+2,477 M=-x²+2,477x
Trecho b (Final)
N=0 V= 1,19 M= 1,19x-5,139
Trecho c (Final)
N=0 V= -0,81 M= -0,81x+4,861
48. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 47
3)
Caso 0
Trecho a
N=0 V= -2x+10 M= -x²+10x-28
Trecho b
N=0 V= 2 M= 2x-12
Caso 1
Trecho a
N= 0 V= 1 M= x-4
Trecho a
N= 0 V= 0 M= 0
49. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 48
EI * ∫ 138,6667
EI * ∫ 21,3333
R1= R1= R1 = -6,50000 Kn
Trecho a (Final)
N= 0 V= -2x+3,5 M=-x²+3,5x-2
Trecho b (Final)
N= 0 V= 2 M= 2x-12
50. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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4)
Trecho a
N=-8 V= 0 M= -16
Trecho b
N=0 V= -2x+8 M= -x²+8x-16
Trecho c
N=0 V= 0 M= 0
51. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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Trecho a
N= 1 V= 0 M= 4
Trecho b
N=0 V= -1 M= -x+4
Trecho c
N=-1 V= 0 M= 0
EI * ∫ ∫ ∫ = -352
EI * ∫ ∫ ∫ ∫ = 93,33333
R1= R1= R1 = 3,771
Trecho a(Final)
N=-4,229 V= 0 M= -0,914
Trecho b(Final)
N=0 V= -2x+4,229
M= -x²+4,229x-0,914
Trecho c(Final)
N=-3,711 V= 0 M= 0
52. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 51
5)
Trecho a
N= -5 V= -2 M= -2x
Trecho b
N=-2 V= -2x+5 M= -x²+5x-8
Trecho c
N=-3 V= 2 M= 2x-4
Trecho d
N=-3 V= 0 M= -2x-16+20-4+2x = 0
53. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 52
Trecho a
N= 0 V= 1 M= x
Trecho b
N=1 V= 0 M= 4
Trecho c
N=0 V= -1 M= -x+4
EI * ∫ ∫ ∫
∫ = -117,3333
EI * ∫ ∫ ∫ ∫ = 110,6667
R1= R1= R1 = 1,060
Trecho a(Final)
N=-5 V= -0,94
M= -0,94x
Trecho b(Final)
N=-0,94 V=-2x+5
M=-x²+5x-3,76
Trecho c(Final)
N=-3 V= 0,94
M= 0,94x+0,24
Trecho d(Final)
N=-3 V= -1,06
M= -1,06x+4,24
54. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 53
6)
Trecho a
N= -2 V= -2 M= -2x
Trecho b
N=-2 V= 2 M= 2x-8
Trecho c
N=-2 V= 0 M= -4
Trecho d
N= 0 V= 2 M= 2x-4
Trecho e
N= 0 V= 0 M=-4-4-2x+2x+8 = 0
55. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 54
Trecho a
N= 0 V= 1 M= x
Trecho b
N=1 V= 0 M= 4
Trecho c
N=0 V= -1 M= -x+4
EI * ∫ ∫ ∫ ∫
∫ = -144
EI * ∫ ∫ ∫ ∫ = 110,6667
R1= R1= R1 = 1,301
Trecho a(Final)
N= -2 V= -0,699
M= -0,699x
Trecho b(Final)
N=-0,699 V=2
M= 2x-2,796
Trecho c(Final)
N= -0,699 V=0
M=1,205
Trecho d(Final)
N=0 V=0,699
M=0,699x+1,205
Trecho e(Final)
N=0 V=-
1,301 M=-
1,301x+5,204
56. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 55
7)
Caso 0
Trecho a
N=0 V= -2x+10
M= -x²+10x-26
Trecho b
N=0 V= 2
M= 2x-10
Trecho c
N=0 V= 0
M= -2x+10-8x+16+10x-26=0
Caso 1
Trecho a
N= 0 V= 1 M= x-4
Trecho a
N= 0 V= 0 M= 0
Caso 2
57. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 56
Trecho a
N=0 V=1 M=x-6
EI * ∫ = 122,6667
EI * ∫ = 21,3333
EI * ∫ = 37,3333
EI * ∫ ∫ =215
EI * ∫ = 72
* +* = ... R1=5,662 R2=0,050
Trecho a(Final)
N=0 V=-2x+4,287
M=-x²+4,287x-3,05
Trecho b(Final)
N=0 V=1,95
M=1,95x-9,698
Trecho c(Final)
N=0 V=-0,05
M=-0,05x+0,3
58. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 57
8)
Caso 0
Trecho a
N=0 V=-2x+12 M=-x²+12x-36
Caso 1
Trecho a
N= 0 V= 1 M= x-4
Trecho a
N= 0 V= 0 M= 0
Caso 2
59. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 58
Trecho a
N=0 V=1 M=x-6
EI * ∫ = 181,3333
EI * ∫ = 21,3333
EI * ∫ = 37,3333
EI * ∫ = 324
EI * ∫ = 72
* +* = ... R1= 6,75 R2= 1,00
Trecho a(Final)
N=0 V=-2x+4,25 M= -x²+4,25x-3
Trecho b(Final)
N=0 V= -2x+11 M=-x²+11x-30
60. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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9)
Trecho a
N=-8 V= 0 M= -16
Trecho b
N=0 V= -2x+8 M= -x²+8x-16
Trecho c
N=0 V= 0 M= 0
61. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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Trecho a
N= 1 V= 0 M= 4
Trecho b
N=0 V= -1 M= -x+4
Trecho c
N=-1 V= 0 M= 0
Trecho a
N= 0 V= -1 M= -x
Trecho b
N=-1 V= 0 M= -4
Trecho c
N=0 V= 1 M= x-4
62. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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9) Continuação
Trecho a
N= 0 V=0 M= 1
Trecho b
N=0 V= 0 M= 1
Trecho c
N=0 V= 0 M= 1
EI * ∫ ∫ ∫ -352
EI * ∫ ∫ ∫ ∫ = 93,3333
EI * ∫ ∫ = -64
EI * ∫ ∫ = 24
EI * ∫ ∫ = 213,3333
EI * ∫ ∫ ∫ ∫ = 110,6667
EI * ∫ ∫ ∫ = -32
EI * ∫ ∫ = -85,3333
EI * ∫ = 12
* = ...
Trecho a(Final)
N= -4 V=-0561 M=-0561x+0,607
Trecho b(Final)
N=-0,561 V=-2x+4
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3.2 O MÉTODO DAS FORÇAS – UTILIZANDO TABELA
O método das forças é indicado quando se faz necessário o cálculo manual das
estruturas hiperestáticas (quando não é possível o auxílio de um computador), sendo então este o
primeiro método a ser ensinado nesta apostila. Agora, os mesmos exemplos resolvidos utilizando as
equações para cada tipo de esforço serão resolvidos agora utilizando a tabela de integrais. Isto
significa que o aluno não precisa calcular as integrais das equações, basta olhar a tabela com a
figura desejada e verificar o resultado. O ponto fraco é que o aluno fica incapaz de resolver as
estruturas sem utilizar a tabela. Cabe ao aluno ou professor ensinar o método que for mais
interessante no momento em questão, em geral para faculdades com ponto forte em cálculo utiliza-
se integrar as equações, para faculdades com tendências à construção pode-se ensinar a calcular
utilizando a tabela. Nada impede que se aprenda a calcular utilizando os dois métodos. A tabela de
integrações é dada na próxima página, esta tabela foi obtida do departamento de estruturas da UFG
(Universidade Federal de Goiás).
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65. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
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Exercício 1
Inicialmente fazemos a verificação do grau do hiperestaticidade (h) da estrutura:
Sendo c = 1 chapa vem
Bn = 3c, logo Bn = 3
A somatória dos vínculos dos apoios (Be) é (2+1+1) 4, então:
Be- Bn = h
4-3=1(grau1)
Então se altera a estrutura de forma que h seja 0, neste exercício o apoio móvel
colocado no meio da viga foi removido. A condição para realização do calculo é retirar os vínculos
ate que a estrutura seja isostática e acrescentar forças unitários onde os vínculos foram retirados, ou
seja, onde foi retirado o apoio móvel foi acrescentada uma força unitária no eixo Y.
Reações de Apoio (caso 0)
66. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 65
Obs.: entende-se por caso 0 aquele que os apoios agora estão dispostos de modo a tornar
a estrutura isostática e o cálculo é feito com a carga real
Fx= 0
Ha=0 kN
M(a)= 0
(Rb*6) – [(4*6)*3]=0
Rb = 12 kN
Fy= 0
Ra+Rb – (4*6)= 0 kN
Ra+ 12 – (4*6)= 0 kN
Ra = 12 kN
Reações de Apoio (caso 1)
Obs.: entende-se por caso 1 aquele que os apoios agora estão dispostos de modo a tornar
a estrutura isostática e o cálculo é feito com a carga real
Fx= 0
Ha=0 kN
M(a)= 0
(Rb*6) – (1*3) =0
67. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 66
Rb = 0,5 kN
Fy= 0
Ra+Rb – 1 = 0 kN
Ra+ 0,5 – 1 = 0 kN
Ra = 0,5 kN
Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M –
kN.m), respectivamente):
Caso 0
Sabendo que onde a V=0 o M=max, calcula-se a área formada pela cortante e obtém-se
o momento. No caso acima, por semelhança de triangulo encontra-se o local onde V=0 :
(12) esta para (x) assim como (12) esta para (6-x), por tanto x=3 se a base do triangulo é
3, vem: [(3*12)/2] o momento máximo será 18. Sabendo que a carga é constante, a V será linear e
logo o momento será uma curva de segundo grau.
Caso 1
68. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 67
Sabendo que onde a V=0 o M=max, calcula-se a área formada pela cortante e obtém-se
o momento. No caso acima, sabe-se que a carga unitária que gera a V=0 esta a 3m do ponto A, se a
base do retangulo é 3, vem: (3*0,5) o momento maximo será 1,5. Sabendo que a carga é
concentrada, a V será constante e logo o momento será linear.
Combinações:
Usando a tabela em anexo, deve combinar as figuras formadas pelos gráficos dos
momentos dos casos 0 e 1, atentando sempre para o sinal da integral, ou seja, quando as áreas
estiverem em sentidos opostos no gráfico (por exemplo: o momento no caso 0 traciona as fibras
superiores e no caso 1 traciona as inferiores) a integral deverá ser negativa.
Combina-se primeiro o gráfico da sit. 0 com sit. 1 e sit.1 com sit. 1. (no caso de h=1)
+
10= 2* ( )
10= 2* ( )
10= 67,5
69. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 68
11 = ( )
11= ( )
11= 4,5
Na matriz:
10 + X1* 11 = 0
67,5 + X1*4,5 = 0
X1 = 15 kN
Reações de Apoio:
Combinando os valores da sit 0 com sit 1 é possível chegar ao esforço real da estrutura
no seu estado hiperestático.
E0 + X1*E1 = 0
Ra = 12 + (15)*0,5 = 4,5 kN
Rb = 12 + (15)*0,5 = 4,5 kN
70. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 69
Exercício 2
Ficando:
Reações de Apoio (sit 0)
Fx= 0
Ha=0 kN
M(a)= 0
(Rb*3) – [(4*3)*1,5]=0
Rb = 6 kN
Fy= 0
71. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 70
Ra+Rb – (4*3) = 0 kN
Ra+ 6 – (4*3) = 0 kN
Ra = 6 kN
M(b)= 0
(Rc*3) – (4*2)=0
Rb = 2,6667 kN
Fy= 0
Rc+Rb – 4 = 0 kN
Rb+ 2,6667 – 4 = 0 kN
Ra = 1,33333 kN
Rb total = 1,33333 + 6 Rb total = 7,33333 kN
Reações de Apoio (sit 1)
Fx= 0
Ha=0 kN
M(b)= 0
(Ra*3) + 1=0
Ra = -1/3 kN
M(c)= 0
[(-1/3)*6] + 1 – 1 (Rb *3) = 0
Ra = 2/3 kN
72. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 71
Fy= 0
- Ra -Rc +Rb = 0 kN
- Rc + (2/3) – (1/3) = 0 kN
Ra = -1/3 kN
Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M –
kN.m), respectivamente):
Sit. 0
Sit. 1
Combinações:
+ +
10 = -( ) + [- ]
74. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 73
Exercício 3
Ficando
Reações de Apoio (sit 0)
Fx= 0
Ha=0 kN
75. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 74
M(a)= 0
(Rb*4) – [(4*4)*2] * (4*6)=0
Rb = 14 kN
Fy= 0
Ra+Rb – (4*4) - 4 = 0 kN
Ra+ 6 – 20 = 0 kN
Ra = 6 kN
Reações de Apoio (sit 1)
Fx= 0
Ha=0 kN
M(b)= 0
(Ra*4) - 1=0
Ra = -1/4 kN
Fy= 0
Ra +Rb = 0 kN
Rb – (1/4) = 0 kN
Ra = 1/4 kN
Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M
– kN.m), respectivamente):
Sit. 0
76. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 75
Sit. 1
Combinações:
+
10 = -( ) + ( )
10= -( ) + ( )
10= - 5,7777
77. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 76
11= ( )
11= ( )
11= 1,3333
Na matriz:
10 + X1* 11 = 0
- 5,7777 + X1* 1,3333 = 0
X1 = 4,3333 kN
Reações de Apoio
E0 + X1*E1 = 0
Ra = 6 + (4,3333 0,25) = 7,08 kN
Fy= 0
7,08 +Rb – (4*4) - 4 = 0 kN
Rb = 11,92 kN
78. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 77
Exercício 4
Ficando:
Reações de Apoio (sit 0)
79. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 78
Fx= 0
Ha=0 kN
M(a)= 0
Ma – [(4*4)*2] =0
Ma = 32 kN.m
Fy= 0
Ra - (4*4) = 0 kN
Ra = 16 kN
Reações de Apoio (sit 1)
80. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 79
Fx= 0
Ha=0 kN
M(b)= 0
Ma – (1*4)=0
Ma = 4 kN.m
Fy= 0
Ra +1 = 0 kN
Ra = -1 kN
Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M –
kN.m), respectivamente):
Sit. 0
Sit. 1
82. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 81
Ra = 16 + (7,5*-1) = 8,5 kN
Rb = (4*4) -Ra = 7,5 kN
Ma= (7,5*4) - (16*2)= 2kN.m
Exercício 5
83. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 82
Ficando:
Reações de Apoio (sit 0)
Fx= 0
Ha=4 kN
M(a)= 0
(Rb *4) – [(4*4)*2] – (4*2) =0
Rb = 6 kN.m
84. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 83
Fy= 0
Ra + Rb – 16 = 0kN
Ra = 10 kN
Reações de Apoio (sit 1)
Fx= 0
Ha= 1 kN
Fy= 0
Ra + Rb = 0 kN
Ra = 0 kN
Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M –
kN.m), respectivamente):
Sit. 0
85. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 84
Sit. 1
Combinações:
+ ( + )+ ( + ) +
10 = ( ) + [( )] + [( )]
+ [ )]
10= ( ) + [( )] + [(
)] + [ )]
10= 218,6667
+ +
87. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 86
Exercício 6
Ficando:
Reações de Apoio (sit 0)
88. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 87
Fx= 0
Ha=4 kN
M(a)= 0
(Rb *4) + (4*2) – (4*2) =0
Rb = 6 kN.m
Fy= 0
Ra + Rb – 4 = 0kN
Ra = 4 kN
Reações de Apoio (sit 1)
Fx= 0
Ha= 1 kN
M(a)= 0
(Rb *4) - (4*1) =0
Rb = 1 kN.m
Fy= 0
Ra - Rb = 0 kN
Ra = 1 kN
89. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 88
Desta forma obtém-se os seguintes graficos (de Cortante (V – kN) e Momentos (M –
kN.m), respectivamente):
Sit. 0
Sit. 1
Combinações:
+ +
10 = ( ) + [( ) + [
)]
91. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 90
Exercício 7
Ficando:
Reações de Apoio (sit 0)
Fx= 0
Ha=0 kN
M(a)= 0
-(Rb *6) + (4*5) – (16*2) =0
Rb = 8,666667 kN.m
Fy= 0
Ra + Rb – 4 - 16 = 0kN
Ra = 11,333333 kN
92. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 91
Reações de Apoio (sit 1)
Fx= 0
Ha= 0 kN
M(a)= 0
- (Rb *6) -(4*1) - 1 =0
Rb = 0,8333 kN.m
Fy= 0
Ra - 0,8333 + 1= 0 kN
Ra = - 0,16666 kN
Sit. 0
Para encontrar o valor máximo do momento faz-se semelhança de triangulo, obtem-se o x
onde V=0, calcula-se a área.
No caso acima, por semelhança de triangulo encontra-se o local onde V=0
(11,3) esta para (x) assim como (4,7) esta para (4-x), por tanto x=2,833333 se a base do
triangulo é 2,8333333, vem: [(11,3*2,8333333)/2] o momento maximo será 16,1 (arredondado)
Sit. 1
94. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 93
Reações de Apoio
E0 + X1*E1 = 0
Ra = 11,3333 + (13,5 * -0,16666) = 10,10 kN
Rb = 8,666667 + (13,5 * 0,83333) = 14,806 kN
95. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 94
Exercício 8
Ficando:
Reações de Apoio (sit 0)
Fx= 0
Ha=0 kN
M(a)= 0 kN.m
Ma – (4*6*3)= 0
Ma= 24 kN.m
Fy= 0
Ra – (4*6) = 0 kN
Ra = 24 kN
96. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 95
Reações de Apoio (sit 1)
Fx= 0
Ha= 0 kN
M(a)= 0
- Ma -(1*4) – (1*6) =0
Ma = 10 kN.m
Fy= 0
Ra + 1+ 1= 0 kN
Ra = 2 kN
Sit. 0
Sit. 1
97. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 96
Combinações:
( + )+
10 =
10=
10= 541,3333
+
11= , -
11= , -
11= 168
Na matriz:
10 + X1* 11 = 0
541,333333+ X1*168 = 0
X1 = -3,2222 kN
Reações de Apoio
E0 + X1*E1 = 0
Ra = 24 + (-3,2222*2) = 17,5555 kN, vem:
Fx= 0
Ha=0 kN
Fy= 0
Ra + Rb + Rc – (4*6) = 0 kN
98. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 97
M()= 0
Exercício 9
Ficando:
99. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 98
Reações de Apoio (sit 0)
Fx= 0
Ha= kN
M(a)= 0 kN.m
Ma – (4*4*2)= 0
Ma= 32 kN.m
Fy= 0
Ra – (4*4) = 0 kN
100. Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Aparecido Soares Junior
Apostila de Teoria das Estruturas – Prof.: Romildo Junior Página 99
Ra = 16 kN
Reações de Apoio (sit 1)
Considerando sit 1:
Fx= 0
Ha= - 1 kN
M(a)= 0
Ma – (1*4) – 1= 0
Ma= 5 kN.m
Fy= 0
Ra + 1 = 0 kN
Ra = -1 kN
Sit. 0
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Sit. 1
Combinações:
+
10 = -
10= -
10= -1237,3333
+ +
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11= , - ,
- , -
11= , - , -
, -
11= 444
Na matriz:
10 + X1* 11 = 0
-1237,3333+ X1*444 = 0
X1 = 2,78678 kN
Reações de Apoio
E0 + X1*E1 = 0
Ra = 16 + (2,78678* -1) = 13,2132 kN, vem:
Fx= 0
Ha + Hb + (4*4)=0 kN
Fy= 0
Ra + Rb – (4*6) = 0 kN
M()= 0
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4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Campos. Rio de Janeiro,
2010.
MARTHA, Luiz Fernando. FTOOL–Um programa gráfico-interativo para ensino de comportamento de
estruturas. Versão educacional, v. 2, p. 33, 2002.
LAIER, JOSE ELIAS; BARREIRO, J. C. Complementos de resistência dos materiais. Sao Carlos:
EESC/USP, 2a. ed., L&B [2003], v. 26, n. 02, 1983.
BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, Elwood Russell. Resistência dos materiais. McGraw-Hill, 1982.
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