O documento descreve os diferentes estados de tensão que podem ocorrer em peças estruturais sob carga, incluindo tensões normais, de cisalhamento e em planos inclinados. Explica que uma barra sob carga axial pode desenvolver tensões normais e de cisalhamento em seções inclinadas, e que as tensões em um ponto podem ser representadas por um tensor simétrico de 6 componentes. Também discute os estados plano e tridimensional de tensão, com ênfase no estado plano de tensão em chapas.

1. EFEITOS DA FORÇA CORTANTE NAS PEÇAS ESTRUTURAIS
CAPÍTULO
2 ANÁLISE DAS TENSÕES E
DEFORMAÇÕES EM ELEMENTOS
ESTRUTURAIS
2.1. Análise das Tensões
2.1.1. Generalização do estudo de peças submetidas à solicitação axial.
O estudo anterior sobre tensão normal, em peças submetidas a forças axiais, foi
desenvolvido para o caso de seções perpendiculares ao eixo da peça. Num caso mais geral,
essas forças axiais causam, além das tensões normais, tensões de cisalhamento em seções
que não são perpendiculares ao eixo da barra.
Considere a barra prismática seguinte solicitada axialmente pela carga P.
Numa seção mn, normal ao eixo da barra a tensão é uniformemente distribuída e
igual a
A
P
. Tomando-se uma seção qualquer pq, que faz um ângulo θ (positivo no sentido
anti-horário) em relação ao plano normal a P, verifica-se o surgimento de uma componente
normal e outra tangencial, dadas por: cosn tP P e P P senθ θ= ⋅ = ⋅
m
n q
p
θ
PP
Aθ
P
θ
P
Pn
Pt

2. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 2
σθ
τθ
θ
y
xP
Figura 2-1: Tensões em planos inclinados.
A área da seção inclinada Aθ se relaciona com a área da seção normal ao eixo A
pela equação: /cosA Aθ θ= .
As tensões que surgem na seção inclinada são dadas, então, por:
2 2cos
cos cos
/cos
cos cos
/cos
n
x
t
x
P P P
A A A
P P sen P
sen sen
A A A
θ
θ
θ
θ
θ
σ σ σ θ σ σ θ
θ
θ
τ τ τ θ θ τ σ θ
θ
⋅
= → = → = ⋅ → = ⋅
⋅
= → = → = ⋅ → = ⋅ ⋅ θ
Na equação relativa a θσ , verifica-se que seu valor é máximo para 0θ = , e
diminui à medida que θ aumenta, igualando-se a zero quando / 2θ π= . Assim:
2
max max0 cos 0x xθ σ σ σ= → = ⋅ → = σ , a máxima tensão ocorre na seção
normal.
( )min min/ 2 cos / 2 0xθθ π σ σ σ π σ= → = = ⋅ → = , não há tensão normal
vertical.
No caso da equação relativa a θτ , percebe que seu valor é nulo para 0θ = e
máximo para / 4θ π= :
0 cos0 0x senθ θ 0θ τ σ τ= → = ⋅ ⋅ → =
( ) ( )
22
2
2
2
4sen44 x
máxxx
σ
=τ=τ→⋅⋅σ=τ→π⋅π⋅σ=τ→π=θ θθθ cos
Obs.: mesmo maxτ sendo metade de maxσ , muitas vezes essa tensão é a tensão a ser
limitada, em barras carregadas axialmente, se o material for muito mais fraco ao
cisalhamento do que à tração.
É interessante observar que na seção relativa à maxτ , o valor de θσ vale:
( )2
cos /4 / 2xθσ σ π σ σ= ⋅ → = xθ , isto é, seu módulo é igual a maxτ .

3. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 3
As equações de θσ e θτ foram obtidas para o caso de barras tracionadas. Para o
caso de barras comprimidas basta considerar o correspondente sinal negativo nas mesmas
equações.
Convenções de sinais adotadas:
Tensões normais: positivas quando o vetor de tensão tem sentido se afastando
da seção.
Tração Compressão
Tensões de cisalhamento: positivas quando agem no sentido horário, e negativa
no sentido anti-horário.
θτ > 0 θτ < 0
Uma representação de todas as tensões que agem num ponto é feita considerando-
se um elemento infinitesimal do material como diagrama de corpo livre. Considere, então, a
barra tracionada seguinte, de qual se extraem os elementos A e B.
P
y
x A B
xσ xσ
a b
d c
Elemento de tensão no ponto A.
θθσ
θτ
θτ θτ
θτ
*
*
*
*
θσ
θσθσ
b
c
d
a B
Elemento de tensão no ponto B.
Figura 2-2: Tensões no entorno num ponto de uma barra sob
carregamento axial centrado.

4. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 4
x
nbcnab
x
θ
θ + π/2
nad
ncd
θ + π
θ + 3π/2
O elemento A está orientado com 0θ = , logo só existe a tensão /x P Aσ = . O
elemento B sofre um giro anti-horário definido por θ , logo as tensões θσ e θτ , no lado bc,
são dadas pelas equações anteriores. Para o lado ab, perpendicular a bc, sua normal faz um
ângulo / 2θ π+ em relação ao eixo x, logo:
( ) ( )θ⋅σ=σ→π+θ⋅σ=σ θθ
2*2*
2 sencos xx
( ) ( ) ( ) (θ⋅θ⋅σ−=τ→π+θ⋅π+θ⋅σ=τ θθ cossencossen xx
**
22 )
Sendo: 0xσ > vem que: (tração) e*
0θσ > *
0θτ < (age no sentido anti-horário).
Confrontando-se as equações de θσ e *
θσ , θτ e *
θτ , obtém-se:
xxx
*
sencos σ=θ⋅σ+θ⋅σ=σ+σ θθ
22
θθ τ−=θ⋅θ⋅σ−=τ sencosx
*
Estas relações indicam que, para uma barra tradicional, a soma das tensões normais
em dois planos perpendiculares é igual a xσ e que as tensões de cisalhamento são iguais em
valor absoluto, porem têm sinal oposto.
Para se obter as tensões atuantes nos lados ad e dc, basta tomar, respectivamente,
os valores 3 / 2eθ π θ π+ + nas equações de θσ e θτ . Assim, chega-se aos seguintes
valores de tensões:
θσ=σad , , eθτ=τad
*
cd θτ=τ
Em lados como o dc é, em alguns casos, mais conveniente tomar o ângulo no
sentido negativo 2π−θσ=σcd .
Com isso, o estado de tensões no elemento fica definido.
2.1.2. Estados de tensões reinantes nos pontos de uma peça solicitada.
De um modo geral, pode-se dizer que um estado de tensões num determinado
ponto consiste na identificação dos valores dessas tensões, assim como das direções que
ocorrem associando o ponto a um elemento infinitesimal em equilíbrio estático.

5. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 5
O estudo da barra sob solicitação axial exemplificou a ocorrência do estado
uniaxial de tensões. No âmbito das tensões axiais podem existir, ainda, mais dois tipos de
tensões: biaxial e triaxial.
yσ
yσ
x
y
A
F
A
(a)
yσ
yσ
xσxσ
yσ
yσ
xσ
zσ
xσ
zσ
(c)
(b)
Figura 2-3: Estados de tensões axiais: (a) Uniaxial, (b) Biaxial e
(c) Triaxial.
Os estados uniaxial e biaxial são particularidades de um caso mais geral conhecido
como “estado plano de tensões”, assim como o estado triaxial o é uma particularidade do
“estado tridimensional de tensão”.
Para uma análise mais geral do estado de tensões num ponto, é conveniente definir
o estado tensional num ponto através das componentes de tensão que atuam em facetas com
normais nas direções x, y, z. Consideremos um cubo elementar, representativo do ponto, de
dimensões infinitesimais dx, dy e dz com suas faces paralelas aos planos coordenados.

6. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 6
Na representação das tensões os índices
têm o seguinte significado:
x
y
z
σy
σx
σz
τyx
τyz
τxz
τxy
τzx
τzy
dzdx
dy
xσ → tensão normal na direção do eixo
x, e assim por diante.
xyτ → tensão de cisalhamento na face
perpendicular ao eixo x com direção
coincidente com o eixo y.
Convenção de sinais:
σx
τxz
τxy
x
y
z
N
τxz
τxy
N σx
x
z
y
Se o sentido da normal exterior à faceta coincidir com o sentido positivo do eixo ao
qual esta normal é paralela, as componentes positivas de tensão estarão no mesmo sentido
dos eixos. Se o sentido da normal exterior à faceta for oposto ao do eixo, as componentes
positivas de tensão estarão no sentido oposto dos eixos.
Para o caso de planos inclinados é necessário estabelecer os procedimentos
seguintes:
Inicialmente impõe-se um giro anti-horário nos eixos coordenados, até que
ocorra a primeira coincidência do eixo x com a normal do plano inclinado;
Em seguida aplica-se a regra anterior.

7. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 7
σ
τ> 0
> 0
σ > 0
τ> 0
y
x
x
o
y0
o
y
x
xo
yo
σ > 0
σ > 0
τ> 0
τ> 0
y
x
y
x
o
o
y
x
xo
yo
Figura 2-4: Sentidos positivos da tensão de cisalhamento em planos
inclinados.
O cubo elementar contém 9 componentes de tensão:
, , , , , , ,x y z xy xz yx yz zx zyeσ σ σ τ τ τ τ τ τ
E pode ser representado pela seguinte notação matricial:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
σττ
τστ
ττσ
=β
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T , também denominado tensor de tensões numa base β.
No presente caso, a base β seria o sistema de eixos xyz.
Consideremos agora as componentes atuantes nas direções do plano xy e suas
forças resultantes:

8. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 8
y
τyx
xy
A
y
x
τ
σx
σy
σx
τyx
xyτ
dx
dy
Fazendo o equilíbrio à rotação em relação ao eixo
do elemento (ponto A) obtém-se:
0
2 2
0
2 2
1 1 1 1
0
2 2 2 2
A xy yx
xy yx
xy yx xy yx
xy yx
dx dy
M dy dz dx dz
dx dy
dy dz dx dz
τ τ
τ τ
τ τ τ τ
τ τ
= → ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = →
→ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = →
→ =
∑
De modo análogo obtém-se: xz zx yz ze yτ τ τ τ= =
Com isso, o tensor de tensões T se torna simétrico:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
σττ
τστ
ττσ
=β
zyzxz
yzyxy
xzxyx
T , de modo que o número de componentes de tensão no volume
elementar se reduz a 6.
Observações:
Essa análise de tensões foi feita em relação a planos ortogonais coordenados
(paralelos aos eixos coordenados). No entanto, as tensões no mesmo ponto podem
ser obtidas em relação a outros planos diferentes dos coordenados, resultando em
valores diferentes das componentes de tensão;
O estado tensional de um ponto fica perfeitamente determinado se conhecermos
as componentes de tensão segundo 3 planos ortogonais, e assim pode-se determinar
as componentes segundo um outro plano de inclinação qualquer em relação aos
primeiros;
O tensor T define o estado de tensão no ponto;
O estado tensional é ÚNICO, mas as componentes de tensão dependem dos
planos (base) considerados na análise;
Existe um plano em particular no qual σ assume seu valor máximo. Da mesma
forma, há outro em que σ é mínimo. Ambas situações ocorrem com τ =0.
2.1.3. Estudo do estado plano de tensões
2.1.3.1. Tensões em planos inclinados quaisquer
Considere uma chapa de espessura h uniforme e muito menor do que as outras duas
dimensões da chapa, solicitada por carregamentos na direção paralela ao plano xy e
distribuídos uniformemente na espessura h da chapa.

9. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 9
y
x
y
z
h
As superfícies
2
h
z −= e
2
h
z = estão livres de forças externas, o que implica que
nestas faces .0=τ=τ=σ zyzxz
Como a espessura h é muito pequena, pode-se admitir, como aproximação, que as
componentes de tensão não variam ao longo da espessura. Desta forma, podemos dizer que
em toda a chapa.0=τ=τ=σ zyzxz
Levando em conta a simetria das tensões cisalhantes, , existindo somente três
componentes de tensão não nulas na chapa (
0=τ=τ yzxy
, ,x y xyσ σ τ ). O tensor de tensões pode ser
então escrito como:
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
στ
τσ
=β
yxy
xyx
T
Se três componentes de tensão são suficientes para caracterizar o estado de tensão
em um ponto, tal estado é denominado “estado plano de tensão”.
Considere agora um plano inclinado cortando o volume elementar. O plano médio
desse volume é representado pela figura seguinte:
σθ
θ
θ
θ
θ
σy
σy
τθ
xyτ
xyτ
A.senθ
A θ é o ângulo entre o eixo x e a direção normal ao
plano inclinado.
Fazendo o equilíbrio na direção x:

10. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 10
( )1
00
θτ+θσ=θτ−θσ
=θ⋅τ−θ⋅σ−⋅θτ−⋅θσ⇒=
θθ
θθ∑
sencossencos
AsencosAAsenAcosF
xyx
xyxx
Fazendo o equilíbrio de forças na direção y:
( )2
00
θτ+θσ=θτ+θσ
=θ⋅τ−θ⋅σ−⋅θτ+⋅θσ⇒=
θθ
θθ∑
cossencossen
cosAAsenAcosAsenF
xyy
xyyy
De ( ) ( ) θ⋅+θ⋅ sencos 21 , tem-se:
222
θθτ+θσ+θσ=σθ cossensencos xyyx
De ( ) ( ) θ⋅−θ⋅ cossen 21 , tem-se:
( ) ( )22
θ−θτ+θθσ−σ=τθ cossencossen xyyx
Considerando as seguintes relações trigonométricas:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]θ−=θθ−θ=θ
θ+=θθ⋅θ=θ
21
2
1
2
21
2
1
22
222
2
cossensencoscos
coscoscossensen
É possível escrever as equações de θσ e θτ na forma:
( ) ( )1 cos2 1 cos2 2
2 2
cos2 2
2 2
yx
xy
x y x y
xy
sen
sen
θ
θ
σσ
σ θ θ τ
σ σ σ σ
θ
σ θ τ θ
= + + − + ⋅
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ = + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→
( ) 2
cos2 2 cos2
2 2
x y
x y xy xy
sen
senθ θ
σ σθ
τ σ σ τ θ τ θ τ θ
−⎛ ⎞⎛ ⎞
= − − + ⋅ → = − + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A partir das equações de θσ e θτ pode-se comprovar que em dois quaisquer,
defasados de
2
π
, a soma das tensões normais é constante e as tensões de cisalhamento têm o
mesmo valor, porém com sinais contrários.
Nas equações de θσ e θτ , façamos °+θ=θ′ 90 :
( ) ( )90 cos 2 90 2 90
2 2
x y x y
xy senθ
σ σ σ σ
σ θ τ+
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + + ⋅ +θ⎡ ⎤ ⎡⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎤⎣ ⎦ ⎣
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎦
( ) ( )90 2 2 90 cos 2 90
2
x y
xysenθ
σ σ
τ θ τ+
−⎛ ⎞
= − + + ⋅ +θ⎡ ⎤ ⎡⎜ ⎟ ⎤⎣ ⎦ ⎣
⎝ ⎠
⎦
mas

11. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 11
( ) [ ]
( ) [ ]
cos 2 90 cos 2 180 cos2
2 90 2 180 2sen sen sen
θ θ θ
θ θ θ
+ = + = −⎡ ⎤⎣ ⎦
+ = + = −⎡ ⎤⎣ ⎦
Dessa forma:
( ) ( )
( ) ( )
90
90
90 90
cos2 2
2 2
2 cos2
2
O sinal não tem
2 cos2
significado físico2
x y x y
xy
x y
xy
x y
xy
sen
sen
sen
θ
θ
θ θ
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ σ
τ θ τ θ
σ σ
τ θ τ θ τ τ
+
+
+ +
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞
= − ⋅ − + ⋅ − →⎜ ⎟
⎝ ⎠
+⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞
= − − ⋅ + ⋅ → = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
θ
A soma das tensões θσ e 90θσ + é constante:
90 cos2 2
2 2
cos2 2
2 2
x y x y
xy
x y x y
xy
sen
sen
θ θ
σ σ σ σ
σ σ θ
σ σ σ σ
θ τ θ
+
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − ⋅ − ⋅ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
τ θ +
90 90
2 2
x y x y
x y cteθ θ θ θ
σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ+ +
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ + = + → + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
EXERCÍCIO
A chapa triangular está submetida às tensões indicadas. Sabendo-se que essa chapa
deve estar em equilíbrio, determine as tensões no plano I.
y
x
85MPa
10MPa
45°45°
α
80MPa
15MPa
γ
Plano
I
Soma dos ângulos internos de um triângulo é
igual a 180º 45 45 180 90ºα α→ + + = → =
Dessa forma: 45ºγ = , sendo γ o ângulo entre a
normal do correspondente plano e o eixo x.
Quais as tensões que se têm:
45º
45º
80 85
15 10
?
y
xy
x
MPa MPa
MPa MPa
σ σ
τ τ
σ
= =
= =
=
Determinação de xσ :

12. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 12
cos2 2
2 2
x y x y
xy senθ
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )45º
80 80
85 cos 2 45º 15 2 45º
2 2
85 40 15 1 85 40 15 2 30 60
2 2
x x
x x
x x
sen
MPa
σ σ
σ
σ σ
σ σ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ = = + ⋅ + ⋅ ⋅ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ = + + ⋅ → = − − → = ⋅ → =
Tensões no plano I:
Plano
I
x
N
orm
al
ao
plano
I
45°
θ1
θ2
( + )
θ = − 45°2
θ = 45° + 90°1
θ = 135°1
( ) ( )
( )
135º
135º 135º
60 80 60 80
cos 2 135º 15 2 135º
2 2
70 10 0 15 1 55I
sen
MPa
σ
σ σ σ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ = − ⋅ + ⋅ − → = =
→
( ) ( )
( )( )
135º
135º 135º
60 80
2 135º 15 cos 2 135º
2
10 1 15 0 10I
sen
MPa
τ
τ τ τ
−⎛ ⎞
= − ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − − − + ⋅ → = = −
y
x
55MPa
10MPa
80MPa
15MPa
60MPa
15MPa
60MPa
15MPa
15MPa
80MPa
55MPa
10MPa
Plano
I
2.1.3.2. Tensões e direções principais do elemento de tensão
Os valores de θσ e °+θσ 90 variam para diferentes ângulos α , contudo a soma
permanece constante. Dessa forma existe um ângulo°+θθ σ+σ 90 θ em particular para o
qual a tensão θσ é máxima e, consequentemente, °+θσ 90 é mínima. Neste caso diz-se que as
tensões são principais para ponto em questão.

13. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 13
As direções principais são aquelas correspondentes às tensões principais,
calculadas com a condição 0
d
d
θσ
θ
= .
Considere as seguintes derivadas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos 2 ´ 2 2 ´ 2 2
2 ´ cos2 2 ´ 2 cos
df
2
f f sen f sen
d
dg
g sen g g
d
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ
θ θ θ
θ
= → = = − ⋅ → = − ⋅
= → = = ⋅ → = ⋅
Assim:
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 cos2 0
2
2 2 2 cos2 0
2
22
2 2 cos2
cos2
2
2
x y
xy
x y
xy
xy
x y xy
x y
xy
x y
d
sen
d
sen
sen
sen
tg
θ
σ σσ
θ τ θ
θ
σ σ
θ θ τ
τθ
σ σ θ τ θ
θ σ σ
τ
θ
σ σ
−⎛ ⎞
= − ⋅ + ⋅ ⋅ = →⎜ ⎟
⎝ ⎠
−⎛ ⎞
→ − ⋅ + ⋅ = →⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ − ⋅ = ⋅ → = →
−
→ =
−
0 2 2 cos2 0 2 0 0
2
x y
xy
d
sen
d
θ
θ θ
σ σσ
θ τ θ τ τ
θ
−⎡ ⎤⎛ ⎞
= → − + ⋅ = → = → =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
Isto quer dizer que conhecidos o estado de tensões num ponto ( ), ,x y xyσ σ τ , há
como calcular a direção das tensões principais ( )( )θ2tg , e nesta mesma direção a tensão de
cisalhamento é nula.
Substituindo o ângulo θ (relativo às direções principais) nas equações de θσ
resulta numa tensão principal, que pode ser 1 ou 2σ σ . Como °+θθ σ+σ 90 = constante, tem-
se que o ângulo corresponde à outra tensão principal, que pode ser°+θ 90 1 2ouσ σ .
Além disso, tem-se que nos planos de 1 e 2σ σ a tensão de cisalhamento é nula .( )0θτ =
Para determinar as tensões principais considere o seguinte:

14. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 14
( )
yx
xy
tg
σ−σ
τ
=θ
2
2
2θ
2τxy
(σx -σy)(σx
-σy)
+4τxy
2
2
( )
( ) 22
4
2
xyyx
yx
cos
τ+σ−σ
σ−σ
=θ
( )
( ) 22
4
2
2
xyyx
xy
sen
τ+σ−σ
τ
=θ
Substituindo essas expressões de cos2θ e 2sen θ na equação relativa à
componente θσ :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
4
242
4
2
4
2
422
4
2
422
22
22
22
22
22
22
2
22
2
2222
xyyxyx
xyyx
xyyxyx
xyyx
xy
xyyx
yxyx
xyyx
xy
xy
xyyx
yxyxyx
xy
yxyx
sencos
τ+σ−σ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ+σ
=
τ+σ−σ
τ+σ−σ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ+σ
=
=
τ+σ−σ
τ
+
τ+σ−σ
σ−σ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ+σ
=
=
τ+σ−σ
τ
⋅τ+
τ+σ−σ
σ−σ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ+σ
=
=θ⋅τ+θ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ+σ
=σθ
Considerando a direção 2π+θ , referente à outra direção principal, para a qual
tem-se:
( )
yx
xy
tg
σ−σ
τ
=π+θ
2
2 , sendo ( ) ( )
( ) 22
4
22
xyyx
yx
coscos
τ+σ−σ
σ−σ
−=θ−=π+θ e
( ) ( )
( ) 22
4
2
22
xyyx
xy
sensen
τ+σ−σ
τ
−=θ−=π+θ , resultando em:
( )
( )
( )
2
4
242
4
2
22
22
22
xyyxyx
xyyx
xyyxyx
τ+σ−σ
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ+σ
=
τ+σ−σ
τ+σ−σ
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ+σ
=σθ
As tensões principais são então obtidas somando-se e subtraindo-se o valor da raiz,
ou seja:
2
1 2
2 2 2
x y x y
xy
σ σ σ σ σ
τ
σ
+ −⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ± +⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭
, sendo
1 ma
2 mi
x
n
σ σ
σ σ
=⎧
⎨
=⎩

15. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 15
Continuação do exercício da página 11. Determinação das direções e tensões
principais.
Direções principais
80MPa
15MPa
60MPa
80MPa
15MPa
60MPa
y
x
60 , 80 , 15x y xyMPa MPa MPaσ σ τ= = =
1 1
1 1
1 1 2
2 2 15
2 2
60 80
2 ( 1,5) 2 56,3º
28,15º
xy
x y
tg tg
arctg
ou
τ
θ θ
σ σ
θ θ
θ σ σ
⋅
= → =
− −
→
= − → = − →
→ = − →
* *
1 290 61,85º ou 1θ θ θ σ= + → = → σ
Tensões principais
2
2
1,2
2
12
1,2 1,2
2
2 2
88.0360 80 60 80
15 70 18,03
51,972 2
x y x y
xy
MPa
MPa
σ σ σ σ
σ τ
σ
σ σ
σ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ± + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=⎧+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ± + → = ± → ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩
Associação das direções com as tensões principais
cos2 0,555
28,15º
2 0,832sen
θ
θ
θ
=⎧
+ − → ⎨
= −⎩
( )
( )
60 80 60 80
0,555 15 0,832 51,97
2 2
60 80
0,832 15 0,555 0
2
MPaθ θ
θ θ
σ σ
τ τ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅ + ⋅ − → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= − ⋅ − + ⋅ → =⎜ ⎟
⎝ ⎠
* * *
61,85 cos2 0,555 2 0,832e senθ θ θ= → = − =
( )
( )
* *
* *
60 80 60 80
0,555 15 0,832 88,03
2 2
60 80
0,832 15 0,555 0
2
MPaθ θ
θ θ
σ σ
τ τ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅ − + ⋅ → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= − ⋅ + ⋅ − → =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Logo:

16. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 16
*
2 min
*
1 max
28,15º 51,97
61,85 88,03
MPa
MPa
θ
θ
θ σ σ σ
θ σ σ σ
= − → = = =
= → = = =
Nos dois planos * 0θ θ
τ τ= =
2.1.3.3. Direção e intensidade da máxima tensão de cisalhamento
Da mesma forma que para θσ , deve existir um plano com inclinação θτ para o
qual a tensão de cisalhamento τ assume seu máximo valor. Esse ângulo pode ser obtido a
partir d condição 0
d
d
θτ
θ
= .
Assim:
( ) ( )
( )
2 cos2
2
0 cos2 2 2 2 0
2
2 1
2 cos2 2 2
2 cos2
x y
xy
x y
xy
x y
xy x y
xy
sen
d
sen
d
sen
sen
θ
θ
σ σ
τ θ τ θ
σ στ
θ τ θ
θ
σ σ θ
θ τ θ σ σ
θ τ
−⎛ ⎞
= − + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= → − ⋅ ⋅ + − ⋅ = →⎜ ⎟
⎝ ⎠
−⎛ ⎞
→ − ⋅ = ⋅ → = − − ⋅ →⎜ ⎟
⎝ ⎠ 2
2
2
x y
xy
tg
σ σ
θ
τ
⎛ ⎞−
→ = −⎜ ⎟⎟⎜
⎝ ⎠
→ direção na qual a tensão de cisalhamento
assume o valor máximo maxτ τ= .
Substituindo o ângulo θ na equação relativa a θτ resulta no máximo valor de τ ,
que pode ser maxτ ou maxτ− . Foi demonstrado anteriormente que para um ângulo 90ºθ + ,
defasado de 90º em relação a θ , a tensão de cisalhamento vale 90ºθ θτ τ+ = − . Dessa forma,
para um plano defasado de 90º em relação ao plano do máximo cisalhamento também ocorre
máximo valor, que pode ser oumáxτ máxτ− . É importante destacar que, nos planos em que
atuam as tensões de cisalhamento máximas, a tensão normal não necessariamente é nula.
2θ
2τxy
(σx -σy)
(σx
-σy)
+4τxy
2
2
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
τ
σ−σ
−=θ
xy
yx
tg
2
2
( )
( ) 22
4
2
xyyx
yx
sen
τ+σ−σ
σ−σ
−=θ

17. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 17
( )
( ) 22
4
2
2
xyyx
xy
cos
τ+σ−σ
τ
=θ
Substituindo essas expressões de cos2 2e senθ θ na equação relativa a θτ :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
4
42
4
4
2
42
4
2
42
22
2
22
22
22
22
2
22
2
2222
xyyx
xyyx
xyyx
xyyx
xy
xyyx
yx
xyyx
xy
xy
xyyx
yxyx
xy
yx
cossen
τ+σ−σ
=
τ+σ−σ
τ+σ−σ
=
=
τ+σ−σ
τ
+
τ+σ−σ
σ−σ
=
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
τ+σ−σ
τ
⋅τ+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
τ+σ−σ
σ−σ
−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
−=
=θ⋅τ+θ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
−=τθ
Para o valor de , tem-se o seno positivo e o co-seno negativo. Pode-se
escrever então:
máxτ−
( ) ( )
22
4 21
22
σ−σ
±=
τ+σ−σ
±=τ=τθ
xyyx
máx
Continuação do exercício da página 11. Determinação da direção e
intensidade da máxima tensão de cisalhamento maxτ .
Direção de maxτ
( ) 6670
152
8060
2
2 ,tg
xy
yx
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
τ
σ−σ
−=θ
MPa
MPa
MPa
xy
y
x
15
80
60
=τ
=σ
=σ
°=θ→°=θ 851669332 ,,
°=°+θ=θ 8510690 ,*
Intensidade e sentido de maxτ .
2 2
2 2
max
max
60 80
15
2 2
18,03
x y
xy
MPa
σ σ
τ τ
τ
−⎛ ⎞ −⎛ ⎞
= ± + → ± + →⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= ±

18. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 18
*
*
*
2 0,555
106,85º
cos2 0,832
sen θ
θ
θ
⎧ = −⎪
= → ⎨
=⎪⎩
( ) ( )* *
60 80
0,555 15 0,832 18,03
2
MPaθ θ
τ τ
−⎛ ⎞
= − ⋅ − + ⋅ − → = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Valor das tensões normais
( ) ( )* *
*
60 80 60 80
16,85º 0,832 15 0,555 70
2 2
60 80 60 80
106,85 0,832 15 0,555 70
2 2
MPa
MPa
θ θ
θ θ
θ σ σ
θ σ σ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ∴ = + ⋅ + ⋅ → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ∴ = + ⋅ − + ⋅ − → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Esboço das tensões de cisalhamento máximas
α = 16,85°
x
yy'
x'
τmáx
σα > 0
α = 106,85°
x
yx'
y'
τmáx
σα > 0
α = 16,85°
x
y
τmáx
σα
α = 106,85°
σα
2.1.3.4. Círculo de Mohr para o estado plano de tensões.
O traçado do denominado círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser
utilizado para determinar as tensões eθ θσ τ que atuam num plano genérico, cuja normal
faz um ângulo θ com a direção X, conforme considerado nas deduções anteriores.
Elevando ao quadrado as equações de eθ θσ τ :

19. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 19
( )
2 2
2
2
cos2 2
2 2
2 cos2
2
x y x y
xy
x y
xy
sen
sen
θ
θ
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ σ
τ θ τ θ
⎡ + ⎤ ⎡ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = + ⋅⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣
⎡ − ⎤⎛ ⎞
= − + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎤
⎥
⎦
E somando-as, obtém-se:
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2 2
2 2 2
cos2 2
2 2
2 cos2 cos 2 2
2 2 2
2 cos2 2 2 2
2 2
x y x y
xy
x y x y x y
xy
x y x y
xy
sen
sen sen
sen sen
θ θ
θ θ
σ σ σ σ
σ τ θ τ θ
σ σ σ σ σ σ
θ τ θ σ τ θ θ
σ σ σ σ
θ τ θ θ
⎡ + ⎤ ⎡ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + = + ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ − ⎤ ⎡ + ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + ⋅ → − + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )
+
( ) ( )
2 2 2
2 2
22
cos2 cos 2 2
2 2
xy xy
x y x y
xy
sen
θ θ
τ θ τ θ θ
σ σ σ σ
σ τ τ
⋅ ⋅ + + →
⎡ + ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ − + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
+
A equação paramétrica de uma circunferência pode ser escrita como
( ) ( ) ( )
2 2 2
, ;c c c c .x x y y R centro c x y e raio R− + − =
Considerando: ( )
2
22
2 2
x y x y
xya e b
σ σ σ σ
τ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+
bPode-se escrever: ( ) ( )
2 2 2
aθ θσ τ− + = , que corresponde a equação de uma
circunferência de centro c(a ; 0) e raio b.
Para a construção do círculo de Mohr segue-se o seguinte roteiro:
y
x
σy
τxy
σx
σy
σx
xyτ
σ1 σ
(σy,τxy)
22
(σx+σy) (σx−σy)
τmín
C
2θ1
τmáx
(σx,−τxy)
σ2
τ
Define-se o elemento com as tensões ,x y xe yσ σ τ ;

20. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 20
Adota-se o sistema de eixos( )τσ ; paralelos aos eixos xy;
Marcam-se no sistema ( )τσ ; os pontos X = ( )xyx ; τ−σ e Y = ( )xyy ;τσ ;
Unem-se os dois pontos por uma reta que vai cortar o eixo θσ no ponto C;
Desenha-se o círculo de centro C e diâmetro XY.
σ
(σy,τxy)
(σx,−τxy)
τ
σ
(σy,τxy)
C
(σx,−τxy)
τ
σ
(σy,τxy)
C
(σx,−τxy)
τ
O círculo também pode ser construído a partir da posição principal do elemento
característico, isto é, a partir de 1σ e 2σ .
Observações importantes sobre a utilização do círculo de Mohr:
A normal a uma seção que se destacou através de um ponto solicitado é
representada, no correspondente círculo de Mohr, pelo raio que chega ao ponto de
representação dessa seção.
Toda seção passando por um ponto solicitado em estado plano de tensões pode
ser posicionada através de quatro ângulos distintos:
( )
θ +
→ Ângulo medido a partir da direção de xσ , em sentido anti-horário, até a
normal da seção destacada;
( )
θ −
→ Ângulo medido a partir da direção de xσ , em sentido horário, até a
normal da seção destacada;
( )
γ +
→ Ângulo medido a partir da direção de xσ , em sentido anti-horário, até o
plano da seção destacada;
( )
γ −
→ Ângulo medido a partir da direção de xσ , em sentido horário, até o plano
da seção destacada.
O conhecimento de qualquer um desses ângulos é suficiente para se localizar a
seção tanto sobre o elemento solicitado quanto sobre o círculo de Mohr correspondente.

21. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 21
Se forem conhecidos os ângulos de sua normal, a marcação no circulo é feita a
partir do raio que define a direção de xσ no ponto solicitado e no mesmo sentido de
marcação do ângulo tomado.
Se forem conhecidos os ângulos do seu próprio plano, a marcação é feita a partir do
raio oposto ao que representa a direção de xσ no ponto solicitado, obedecendo, também, o
mesmo sentido de marcação do ângulo no referido ponto.
A partir do círculo de Mohr, correspondente a um certo grupo de seções
passando por um ponto solicitado, percebe-se que:
A tensão de cisalhamento maxτ ocorre numa seção cuja normal faz um ângulo de
45º a partir da direção de 1σ em sentido anti-horário, ou seja,
( ) ( )
3 1 45ºθ θ+ +
= + .
Nota: se ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 3 3
.
45º 180º 180º
real calc
θ θ θ θ+ + + +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + > → = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A tensão de cisalhamento maxτ− ocorre numa seção cuja normal faz um ângulo de
135º a partir da direção de 1σ em sentido anti-horário, ou seja,
( ) ( )
4 1 135ºθ θ+ +
= + .
Nota: ( ) ( ) ( ) ( )
4 1 4 4
.
135º 180º 180º
real calc
θ θ θ θ+ + + +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + > → = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Unindo o ponto ( );θ θσ τ do círculo de Mohr ao ponto de representação da
seção onde atua xσ , obtém-se o traço da seção S em relação à direção de, podendo-se então
transporta-lo para o elemento solicitado mediante marcação, no mesmo sentido, do menor
ângulo entre eles formado.
Para a tensão cisalhante em um plano inclinado, o sinal referente ao círculo de
Mohr segue a primeira convenção apresentada neste texto, a saber: positivas quando agem
no sentido horário, e negativa no sentido anti-horário.
θτ > 0 θτ < 0
EXERCÍCIO
Construir o círculo de Mohr para o estado de tensões indicado, e destacar no
círculo e no elemento de tensão a linha que define o plano da seção com tensões
e (sinal associado ao círculo)2
150 m/N−=σθ
2
95217 m/N,−=τθ

22. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 22
y
x
400 N/m
600 N/m
400 N/m
600 N/m
2
2
2
2
σ = 600N/m2
x
σ = 0y
τ =θ 400N/m2
σ1 σ
(σy,τxy)
2θ1
τmáx
(σx,−τxy)
σ2
τ
(σθ,τθ)
2θ
α
Posição do centro:
Payx
centro 300
2
0600
2
=
+
=
σ+σ
=σ
Distância horizontal do ponto X ao centro do círculo (igual à distância do ponto Y
ao centro).
Padd yx
hh CYCX
300
2
0600
2
=
−
=
σ−σ
==
Com o auxílio dos triângulos hachurados, temos:
( ) °=θ⇒==θ 13532331
300
400
2 11 ,,tg
( )
°=α⇒=
+
=α 84254840
150300
95217
,,
,
tg
°=°+°+°=α+°+θ=θ 972588425180135318022 1 ,,,
σ1 σ
(σy,τxy)
2θ1
τmáx
(σx,−τxy)
σ2
τ
(σθ,τθ)
2θ
α
300 Pa
400Pa
217,95Pa
(300+150)Pa
Tensões Principais:
Payx 60021 =σ+σ=σ+σ (1)
PPaRaio 100050023004002221 =⋅=+⋅=⋅=σ−σ (2)
De (1) + (2) PaPa 80016002 11 =σ⇒=σ⋅⇒ . Sendo, com isso, Pa2002 −=σ .
Componente cisalhante máxima:
PaRaiomáx 500==τ
Esboço de eθ θσ τ no plano inclinado:

23. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 23
150Pa
217,95Pa
80MPa
400Pa
600Pa
400Pa
y
x
n
θ
°=
°
=θ 485129
2
97258
,
,
2.1.3.5. Cisalhamento puro e estado de cisalhamento simples.
Considere o elemento de tensões seguinte submetido ás tensões principais
1 e 2σ σ ( lembrar que 3 0σ = ).
2
σ2
σ1σ1
Círculo de Mohr
correspondente
C
α
S
R
σθ
τθ
( ; )σ 02 ( ; )σ 01
Os pontos S e R do círculo representam planos nos quais atuam apenas tensões de
cisalhamento, definido a ocorrência de cisalhamento puro. Notar que esses pontos não
representam raios opostos no círculo, de modo que o elemento de tensão correspondente não
apresenta faces perpendiculares.
α
ττ
τ τ
Quando para esta situação, as tensões de cisalhamento forem iguais a maxτ , diz-se
que ocorre um estado de cisalhamento simples.
Observe que, no caso de cisalhamento simples, os pontos S e R representam raios
opostos no círculo, de modo que o elemento correspondente apresenta faces perpendiculares.

24. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 24
σθ
τθ
S
R
α
( ; )σ 01
( ; )σ 02
( ; - )τ0 máx
( ; )τ0 máx
máxτmáxτ
As tensões normais no plano de maxτ , que são nulas neste caso, são calculadas por:
1 2
1 2 10 0
2
θ 2
σ σ
σ σ σ σ σ
+
= = → + = → = −
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, isto é, as tensões normais principais têm o
mesmo valor absoluto, sendo uma de compressão e outra de tração.
2.1.4. Estudo do estado triplo de tensões.
2.1.4.1. Conceituação geral e elemento de tensão característico
Como foi comentado anteriormente, o estado triplo de tensões num ponto fica
caracterizado pela existência de componentes de tensão segundo as três direções dos eixos
coordenados. Dessa forma, fica definido um tensor de tensões geral com 9 componentes que,
devido a sua natureza simétrica reduz as componentes para 6.
simétrico
x xy xz x xy xz
geral yx y yz xy y yz
zx zy z xz yz z
T T
σ τ τ σ τ τ
τ σ τ τ σ τ
τ τ σ τ τ σ
⎡ ⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢
= =⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣
O elemento de tensão característico do estado triplo pode ser representado pelo
cubo elementar ilustrado pela figura seguinte:

25. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 25
y
x
z
σy
σx
σz
τyx
τyz τxy
τxzτzy
τzx
Elemento geral 9 componentes→
Igualdade entre as tensões de cisalhamento
( ), ,yx xy yz zy zx xzτ τ τ τ τ τ= = = →
scomponente6→
Da mesma forma que no estado plano de tensões, há uma posição particular na qual
as tensões de cisalhamento se anulam, também denominada posição principal. Esta posição
pode ser representada pelo cubo elementar da figura seguinte:
2
1
σ2
σ1
σ3
y
x
z
3
O estudo do estado triplo de tensões será todo fundamentado na posição principal
do cubo elementar, pois assim sendo tal estudo se simplifica por se adotar um elemento
característico que não apresenta tensões de cisalhamento. Um estudo fundamental no
elemento característico mais geral, no qual há as três tensões de cisalhamento
( , )xy xz yzeτ τ τ , necessita de uma análise por álgebra vetorial (problema de autovalor e
autovetor).
Dessa forma, o elemento característico aqui adotado está ilustrado na figura
seguinte:

26. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 26
1
σ2
σ1
σ3
Em correspondência a esse elemento podem ser associados quatro grupos distintos
de seções ou planos:
Planos paralelos à direção 3 só recebem contribuição de→ 1 e 2σ σ , podendo
ser estudado no elemento plano definido pelas direções 1 e 2, ou seja:
2
1
σ1σ1
σ2
σ2
θ
τθ
σθ
Equações correspondentes:
1 2 1 2
1 2
cos2
2 2
cos2
2
θ
θ
σ σ σ σ
σ θ
σ σ
τ θ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
Planos paralelos à direção 2 só recebem contribuição de→ 1 e 3σ σ , podendo
ser estudado no elemento plano definido pelas direções 1 e 3.
3
1
σ1σ1
σ3
σ3
θ
τθ
σθ
Equações correspondentes:
1 3 1 3
1 3
cos2
2 2
cos2
2
θ
θ
σ σ σ σ
σ θ
σ σ
τ θ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
Planos paralelos à direção 1 →só recebem contribuição de 2 e 3σ σ , podendo
ser estudado no elemento plano definido pelas direções 2 e 3.

27. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 27
2
3
σ3σ3
σ2
σ2
θ
τθ
σθ
Equações correspondentes:
3 2 3 2
3 2
cos2
2 2
cos2
2
θ
θ
σ σ σ σ
σ θ
σ σ
τ θ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
Planos inclinados em relação às três direções principais recebem contribuição
de 1 2, e 3σ σ σ , e, devido à complexidade de seu estudo, não são abordadas em
Resistência dos Materiais.
2.1.4.2. Configuração do estado tensional tridimensional - Círculos de Mohr
Suponhamos que as tensões no elemento característico adotado para o estado triplo
apresentem-se na seguinte ordem de valores: 331 σ≥σ≥σ .
Os pares de pontos que se dispõem para o traçado dos círculos são os seguintes:
.( ) ( ) (1 2 3;0 , ;0 ;0eσ σ σ )
2
Para o traçado dos círculos considere as seguintes afirmações:
As tensões 1 eσ σ estão defasadas de 90º no elemento característico, logo os
pares ( ) correspondem a raios opostos de um círculo.(1 2;0 ;0eσ σ )
Da mesma forma os pares ( ) ( )1 3;0 ;0eσ σ e ( )
correspondem a outros dois pares de raios opostos de outros dois círculos.
(2 3;0 ;0eσ σ )
Com base nisso, os círculos de Mohr para o estado triplo de tensões apresentam a
seguinte configuração:
σ1 σσ3
τ
σ2
O3O2O1
τθ
σθ
lúnula de tensões
sendo: O1 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ2 e σ3;
O2 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ1 e σ3;
O3 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ1 e σ2.

28. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 28
)
A região hacurada, denominada lúnula de tensões, representa a região de pares
ordenados ( θθ τσ , possíveis para o estado tensional em questão.
2.1.5. Obervações para interpretação dos círculos de Mohr
2.1.5.1. Configuração generalizada dos círculos de Mohr para o Estado Plano
de Tensões.
Características do Estado Plano: 1 2 30 , 0 0eσ σ σ≠ ≠ = correspondem aos
pontos geométricos → ( ) ( ) ( )1 2;0 ;0 0;0e eσ σ
Caso 1: 1 2 30 , 0 0eσ σ σ> < =
σ1 σσ3
τ
0 O3O2O1
Caso 2: 1 2 30 , 0 0eσ σ σ> > =
σ1 σ0
τ
σ2
O3O2O1
Caso 3: ( ) ( )1 2 3 10 , 0 0 ,e com 2σ σ σ σ< < = < σ
0 σσ3
τ
σ1
O3O2O1

29. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 29
2Observe que se tem nos três casos 1σ σ> . A numeração indicada em cada círculo
corresponde ao eixo cuja seção inclinada é paralela, por exemplo, o círculo 2 representa as
seções inclinadas paralelas ao eixo principal 2.
2.1.5.2. Configuração generalizada do círculo de Mohr para o Estado Simples
de Tensões.
Característica do Estado Simples: 1 2 30 , 0σ σ σ≠ = =
Caso 1
1
2 3
0
0
eσ
σ σ
>
= =
σ
τ
( ; )σ 01
( ; )σ 02
3 = 2
Círculo 1
( ; )σ 02
( ; )σ 03
=_
Caso 2: 1 2 30 0eσ σ σ< = =
2.1.5.3. Observações finais
As componentes de tensão normal, máxima e mínima, max mineσ σ , que ocorrem
num ponto, associado a um estado de tensões qualquer, são definidas a partir das três tensões
principais 1 2, e 3σ σ σ que o caracterizam.
Todo ponto em qualquer estado de tensões é caracterizado por três tensões
cisalhantes máximas:
maxτ para o grupo de seções paralelas à direção 3;
maxτ para o grupo de seções paralelas à direção 2;
maxτ para o grupo de seções paralelas à direção 1;
A tensão de cisalhamento máxima do ponto corresponde, porém, ao seguinte
resultado:
max min
max
2
no ponto no ponto
no ponto
σ σ
τ
−
=

30. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 30
2.2.Estudo das deformações
2.2.1. Deformações laterais na peça prismática sob solicitação axial.
Considere a barra seguinte submetida a uma força axial centrada de tração. No caso
em questão tem-se que , e0≠σx 0=σy 0=σz .
b
F
x
z
y
l
F
Conforme já estudado, essa barra sofrerá um
alongamento total igual a
N l
l
E A
⋅
Δ =
⋅
,
correspondendo a uma deformação específica de
x
l N
l E A
ε
Δ
= =
⋅
, constante ao longo do comprimento
da barra. Tomemos agora um trecho dessa e
analisemos a deformações que ocorrem. O
alongamento axial é acompanhado de encurtamentos
laterais segundo as direções dos eixos y e z:
x y zeε ε ε→
b
a
F
F
x
z
y
εy
εz
No âmbito do comportamento elástico essas
deformações são proporcionais, cuja relação é
expressa por uma constante, denominada coeficiente
de Poisson, dada por:
x
T
x
z
x
y
ε
ε
=
ε
ε
=
ε
ε
=ν
Observe que as deformações y e zε ε ocorrem nas direções transversais,
perpendiculares à direção de solicitação da peça, e apresentam comportamento contrário ao
da deformação na direção paralela a essa solicitação (também denominada direção
longitudinal).
Pelo coeficiente de Poisson:
( )
( )
( ) ( )iLiT
iL
iT
νε−=ε→
ε
ε
−=ν

31. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 31
Sendo: deformação específica longitudinal provocada pela solicitação i;( )L iε →
deformação específica transversal provocada pela solicitação i.( )T iε →
Analisemos agora as relações tensão-deformação para o presente caso:
E
E
E
x
xz
x
xy
x
x
σ
ν−=νε−=ε
σ
ν−=νε−=ε
σ
=ε
Imaginando o caso análogo, no qual a carga axial de tração estivesse aplicada na
direção y. Neste caso , e0=σx 0≠σy 0=σz . A direção y é agora a direção longitudinal
sendo as direções x e z as direções transversais, tem-se então:
E
E
E
y
yz
y
y
y
yx
σ
ν−=νε−=ε
σ
=ε
σ
ν−=νε−=ε
Da mesma forma, para o caso em que a carga axial encontra-se na direção z, resulta
que , e , tendo-se então:0=σx 0=σy 0≠σz
E
E
E
z
z
z
zy
z
zx
σ
=ε
σ
ν−=νε−=ε
σ
ν−=νε−=ε
Como trata-se de uma análise no âmbito da elasticidade linear, a superposição das
deformações é válida, com isso, o caso geral, no caso em que 0≠σx , e0≠σy 0≠σz , as
relações tensão-deformação resultam:
( )
( )
( )yx
z
z
zx
y
y
zy
x
x
EE
EE
EE
σ+σ
ν
−
σ
=ε
σ+σ
ν
−
σ
=ε
σ+σ
ν
−
σ
=ε

32. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 32
Um outro conceito importante refere-se à variação de volume sofrida por uma barra
solicitada axialmente. Para esta análise considere um cubo com arestas de comprimento
unitário indicado na figura a seguir.
1=== zyx lll
1=⋅⋅= zyxinicial lllV
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ε=
′
⇒
−
′
=
−
′
=ε
+ε=
′
⇒
−
′
=
−
′
=ε
+ε=
′
⇒
−
′
=
−
′
=ε
zz
z
z
zz
x
yy
y
y
yy
y
xx
x
x
xx
x
l
l
l
ll
l
l
l
ll
l
l
l
ll
1
1
1
Para o volume final, tem-se:
( ) ( ) ( )
1
111
+ε+ε+ε+
+ε⋅ε+ε⋅ε+ε⋅ε+ε⋅ε⋅ε=+ε⋅+ε⋅+ε=
′
⋅
′
⋅
′
=
zyx
zyzxyxzyxzyxzyxfinal lllV
No âmbito da elasticidade linear, as componentes de deformação são muito pequenas
e os termos de ordem quadrática e cúbica podem ser desprezados em presença dos termos
lineares, com isso:
1+ε+ε+ε= zyxfinalV
zyxinicialfinal VVV ε+ε+ε=−=Δ
Para o caso particular em que uma tensão de tração σ atua em uma direção, sendo
nulas as demais componentes de tensão normal:
Devido, por exemplo, à atuação de xσ ; o cubo se alonga de xε na direção da tensão e
encurta nas duas direções perpendiculares a x.xνε
E
E
E
x
xz
x
xy
x
x
σ
ν−=νε−=ε
σ
ν−=νε−=ε
σ
=ε
( ) ( )
E
V x
xxxxzyx
σ
ν−=ν−ε=νε−νε−ε=ε+ε+ε=Δ 2121

33. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 33
E a variação da unitária de volume é:
( ) ( ν )σ
21−=
Δ
=Δ
EV
V
V x
inicial
u , que corresponde à variação unitária de
volume de uma barra solicitada axialmente.
Esta variação de volume é positiva, o que implica em ter-se .500 ,<ν≤
2.2.2. Deformação por cisalhamento e módulo de deformação transversal
As tensões normais σ provocam deformações lineares sobre as dimensões da
barra na qual atuam. No caso da dimensão paralela à direção σ , a deformação específica
pode ser obtida por: L
E
σ
ε ε= = , sendo E o módulo de deformação longitudinal do material
da barra.
No caso das tensões de cisalhamento τ , ocorrem deformações angulares
(distorções) na direção perpendicular à de sua atuação.
Distorção: retas inicialmente perpendiculares em uma vizinhança, passam a ter um
ângulo diferente de 90º entre si.
A
Deformação angular (ou distorção)
stγ no ponto A e associada às
direções s, t → redução do ângulo
(originalmente reto) entre AB e AC.
***
2
BACst
)
−
π
=γ
A*
t
s
st
γ
B
C C*C*
B*
A* B*
Relação tensão deformação: Gτ γ= ⋅ , sendo G o módulo de elasticidade
transversal.
Existe uma relação entre módulos G e E. Para obter tal relação considere o ponto
abaixo em estado de cisalhamento simples:

34. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 34
máxτ
máxτ
B
A C
D
σ = − σ2
σ2
σ = σ1σ1
σθ
τθ
S
R
α
( ; )σ 01
( ; )σ 02
( ; - )τ0 máx
( ; )τ0 máx
Configuração indeformada:
A
B
C
D
BDAC =
Configuração deformada:
A*
B*
C*
D*
Da configuração deformada tem-se:
A*
B*
C*
D*
α
γ α
π
γ 2
2
−= . Sendo max
G G
τ σ
γ = = .
( ) **
**
**
**
2
2
CA
DB
CA
DB
tg ==α
Tendo-se que:
( )ACCA
AC
ACCA
11
**
**
1 +=⇒
−
= εε
( )BDDB
BD
BDDB
12
**
**
2 +=⇒
−
= εε
É conhecido que:
( ) ( )
( )
( )
( )1
1
1
1
1
2
1
2
**
**
+
+
=
+
+
==
ε
ε
ε
ε
α
AC
BD
CA
DB
tg , e sendo
242
2
γπ
αγ
π
α −=⇒−=
( )
( )1
1
24 1
2
+
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
ε
εγπ
tg

35. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 35
Sendo
( ) ( ) ( )
( ) ( )btgatg
btgatg
batg
⋅+
−
=−
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⇒
2
1
2
1
24
1
24
24 γ
γ
γπ
γπ
γπ
tg
tg
tgtg
tgtg
tg
Sendo γ um ângulo muito pequeno
22
γγ
≅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
tg .
Pode-se escrever então:
( )
( )
σ
νσ
εε
γ
ε
ε
γ
γ
EE
−=−==⇒
+
+
=
+
−
21
1
2
21
1
2
1
2
1
Assim, tem-se:
( )
( )ν
στ
ν
σ
γ
+
=⇒==−⋅=
12
12
E
G
GGE
máx
Em que: E e G → Módulos de deformação longitudinal e transversal do material;
e ν → coeficiente de Poisson do material. Como G é uma propriedade do material, este
independe do estado tensional aplicado e esta relação é válida para o caso mais geral do
tensor de tensões.
Tendo isso as relações tensão –deformação, também chamadas de Lei de Hooke
Generalizada se escrevem:
( )
( )
( )yx
z
z
zx
y
y
zy
x
x
EE
EE
EE
σ+σ
ν
−
σ
=ε
σ+σ
ν
−
σ
=ε
σ+σ
ν
−
σ
=ε
G
G
G
yz
yz
xz
xz
xy
xy
τ
γ
τ
γ
τ
γ
=
=
=
, com
( )ν+
=
12
E
G
Alei de Hooke generalizada é válida para qualquer sistema três eixos dextrógeno.
Assim, o que foi deduzido para as direções x, y, z valem para quaisquer três direções
perpendiculares que obedecem, ordenadamente, à “regra da mão direita”.
2.2.3. Estudo das deformações específicas no Estado Plano de Tensões a partir
da posição principal do elemento de tensão característico
Sendo o estudo de tensões em um plano, vamos considerar o volume elementar
submetido apenas a tensões 1 e 2σ σ correspondentes a sua POSIÇÃO PRINCIPAL,
conforme ilustrado na figura.

36. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 36
Observe que 1σ alonga a
dimensão 1 e encurta as dimensões 2 e
3. Analogamente 2σ alonga a
dimensão 2 e encurta as dimensões 1 e
3.
2
1
3
σ2
σ1σ1
σ
Com base na figura e nos comentários anteriores, deduzamos as expressões das
deformações específicas no estado plano de tensões:
(Deformação específica resultante na dimensão 1) = (alongamento específico
provocado por 1σ ) – (encurtamento específico provocado por 2σ ).
1 2
1 1 2 1 1 2 1L T L L
E E
σ σ
ε ε ε ε ε νε ε ν= − → = − → = −
Sendo 1 e 2σ σ tensões de tração, pode-se escrever:
1 2
1
E E
σ σ
ε ν= −
(Deformação específica resultante na dimensão 2) = (alongamento específico
provocado por 2σ ) – (encurtamento específico provocado por 1σ ).
2 1
2 2 1 2 2 1 1L T L L
E E
σ σ
ε ε ε ε ε νε ε ν= − → = − → = −
Sendo 1 e 2σ σ tensões de tração, pode-se escrever:
2 1
1
E E
σ σ
ε ν= −
(Deformação específica resultante na dimensão 3) = - (encurtamento específico
provocado por 2σ ) – (encurtamento específico provocado por 1σ ).
1 2
3 1 2 3 1 2 1T T L L
E E
σ σ
ε ε ε ε νε νε ε ν
⎛ ⎞
= − − → = − − → = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Sendo 1 e 2σ σ tensões de tração, pode-se escrever:
1 2
1
E E
σ σ
ε ν
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Escrevendo estas expressões numa notação matricial, obtém-se:

37. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 37
1
1
2
2
3
1
1
1
E
ε ν
σ
ε ν
σ
ν νε
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤
⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎩ ⎭
Obs.: Liε → Deformação específica longitudinal provocada por iσ que ocorre na
dimensão i que lhe é paralela
Tiε → Deformação específica transversal provocada por iσ que ocorre nas
dimensões j e k que lhe são perpendiculares.
2.2.4. Deformação específica do estado triplo de Tensões a partir da posição
principal do elemento característico
Seja a posição principal do elemento característico ilustrado abaixo:
2
1
3
σ2
σ1
σ3
Conforme abordagem feita para o caso
plano, pode-se afirmar que 1σ alonga a dimensão 1 e
encurta as dimensões 2 e 3 do elemento.
Analogamente, 2σ alonga 2 e encurta 1 e 3, e 3σ
alonga 3 e encurta 1 e 2.
A partir desses comentários, a deformação específica resultante da dimensão 1
pode ser obtida por:
1 1 2 3 1 1 2 3
1 2 3 31 2
1 1
L T T L L L
E E E E E E
ε ε ε ε ε ε νε νε
σ σ σ σσ σ
ε ν ν ε ν ν
= − − → = − − →
= − − ∴ = − −
Analogamente obtém-se
3 32 1 2 1
2 3e
E E E E E E
σ σσ σ σ
ε ν ν ε ν ν= − − = − −
σ
Escrevendo essas expressões numa notação matricial, obtém-se:
1 1
2 2
3 3
1
1
1
1
E
ε σν ν
ε ν ν
ν ν
σ
ε σ
− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭