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10 método dos deslocamentos
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- 2. Método dos Deslocamentos 1°Condições de compatibilidade; 2° Leis constitutivas dos materiais; 3° Condições de equilíbrio. “Somar uma série de soluções básicas (chamadas de casos básicos) que satisfazem as condições de compatibilidade, mas que não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original, para na superposição restabelecer as condições de equilíbrio.” Esse procedimento é o inverso do que é feito na solução pelo Método dos Esforços
- 3. Deslocabilidades são as componentesde deslocamentos e rotações nodais que estão livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configuração deformada de uma estrutura. Em estruturas que trabalham principalmente por flexão, geralmente podemos desprezar as deformações por força normal e cortante. Deslocamentos livres que não provocam esforços na estrutura podem ser desprezados. 𝜃1 𝜃1 𝜃2 𝜃1 𝜃2 𝜃1 𝜃2 𝛿3 Grau de hipergeometria(G.H.): somatória das deslocabilidades. 𝐺. 𝐻. = 1 𝐺. 𝐻. = 2 𝐺. 𝐻. = 2 𝐺. 𝐻. = 3
- 4. 𝜃1 Deslocabilidades 𝛿2 𝜃5 𝜃6 𝜃2 𝜃3 𝛿4 𝛿1 𝜃4𝜃5 𝜃2 𝛿3 𝛿1 𝜃1 𝐺. 𝐻. = 2 𝐺. 𝐻. = 6 𝐺. 𝐻. = 5 𝐺. 𝐻. = 1
- 5. estrutura cinematicamente determinada:uma estrutura que tem todas as suas deslocabilidades definidas (com valores conhecidos) Sistema Hipergeométrico (SH): O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos na forma de apoios fictícios Sistema Hipergeométrico (SH)
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- 7. Fatores de carga Sãoos esforços (momentos e forças) que surgem nas extremidades das barras provocadas pelas cargas, também chamadas de momento de engastamento perfeito. 𝐸𝐼 𝐴 𝐵 𝐿 𝛿11 = 1 3 𝐿. 1.1 𝐸𝐼 = 𝐿 3𝐸𝐼 𝛿10 + 𝛿11 𝑋1 = 0 𝑋1 = 𝑞𝐿2 8 𝑀𝐴𝐵 𝑀𝐴𝐵 = 𝑞𝐿2 8 𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑋1 = 1 𝑞 𝑞 𝑞𝐿2 8 𝛿10 = − 1 3 𝐿 𝐸𝐼 𝑞𝐿2 8 1 = − 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 − 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 + 𝐿 3𝐸𝐼 𝑋1 = 0 𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐵𝐴
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- 10. Fator de cargado nó Soma dos fatores de carga das barras ligadas ao nó 𝑀 𝐵𝐶𝐴 𝐵 𝐶 𝐿 𝐿 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑀 𝐵𝐴 𝑆11 = 𝑀 𝐵𝐴 + 𝑀 𝐵𝐶 𝑆𝑖𝑗 𝑖 → 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑗 → 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 (1)
- 11. Rigidez de barra Esforçoou força que surge na barra quando impomos um deslocamento (translação ou rotação) unitário em uma de suas direções. 𝜃 = 1 𝐸𝐼 𝐴 𝐵 𝐿 𝑋1 = 1 𝛿10 = − 𝑅𝜌 = −1.1 = −1 𝛿11 = 1 3 𝐿. 1.1 𝐸𝐼 = 𝐿 3𝐸𝐼 𝛿10 + 𝛿11 𝑋1 = 0 −1 + 𝐿 3𝐸𝐼 𝑋1 = 0 𝑋1 = 3𝐸𝐼 𝐿 𝑀𝐴𝐵 𝑀𝐴𝐵 = 3𝐸𝐼 𝐿 𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐵𝐴
- 12. Rigidez de barra 𝐸𝐼 𝐿 3𝐸𝐼 𝐿 𝜃= 1 𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 𝜃 = 1 2𝐸𝐼 𝐿 𝐸𝐼 𝐿 3𝐸𝐼 𝐿2 𝜌 = 1 𝐸𝐼 𝐿 𝜌 = 1 6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2
- 13. Rigidez do nó Somadas rigidezes das barras ligadas ao nó 𝑀 𝐵𝐶𝐴 𝐵 𝐶) 𝐿 𝐿 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑀 𝐵𝐴 𝑀 𝐵𝐶 = 3𝐸𝐼 𝐿 𝑀 𝐵𝐴 = 4𝐸𝐼 𝐿 𝐾11 = 𝑀 𝐵𝐴 + 𝑀 𝐵𝐶 𝐾11 = 4𝐸𝐼 𝐿 + 3𝐸𝐼 𝐿 𝐾𝑖𝑗 𝑖 → 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑗 → 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 (1)
- 14. Metodologia 1) Identificar asdeslocabilidades; 2) Definir o sistema hipergeométrico (bloqueando as deslocabilidades); 3) Calcular os fatores de carga dos nós; 4) Calcular as rigidezes dos nós; 5) Aplicar a condição de equilíbrio dos nós; 6) Superposição de efeitos para o cálculo dos esforços.
- 15. 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑑1𝑑2 𝑑3 𝐺. 𝐻. = 3 S. 𝐻. 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟎: 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎: (1) (2)(3) 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (1) (2)(3) 𝑆10 = 𝑀 𝐵𝐴 0 + 𝑀 𝐵𝐶 0 𝑆20 = 𝑀 𝐶𝐵 0 + 𝑀 𝐶𝐷 0 𝑆30 = 𝐹𝐵𝐴 0 + 𝐹𝐶𝐷 0 𝑀 𝐵𝐶 0 𝑀 𝐶𝐵 0 𝑀 𝐵𝐴 0 𝑀𝐴𝐵 0 𝑀 𝐷𝐶 0 𝑀 𝐶𝐷 0 𝐹𝐵𝐴 0 Exemplo 𝐹𝐶𝐷 0
- 16. 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟏:𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 para o giro em 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (1) (2)(3) 𝑑1 = 1 𝑀 𝐵𝐶 1 𝑀 𝐶𝐵 1 𝑀 𝐵𝐴 1 𝑀𝐴𝐵 1 𝑀 𝐶𝐷 1 𝑀 𝐷𝐶 1 𝐹 𝐷𝐶 1 𝐾11 = 𝑀 𝐵𝐴 1 + 𝑀 𝐵𝑐 1 𝐾21 = 𝑀 𝐶𝐵 1 + 𝑀 𝐶𝐷 1 𝐾31 = 𝐹𝐵𝐴 1 + 𝐹𝐶𝐷 1 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟐: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 para o giro em 2 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (1) (2)(3) 𝑑2 = 1 𝑀 𝐵𝐶 2 𝑀 𝐶𝐵 2 𝑀 𝐵𝐴 2 𝑀𝐴𝐵 2 𝑀 𝐶𝐷 2 𝑀 𝐷𝐶 2 𝐹 𝐷𝐶 2 𝐾12 = 𝑀 𝐵𝐴 2 + 𝑀 𝐵𝑐 2 𝐾22 = 𝑀 𝐶𝐵 2 + 𝑀 𝐶𝐷 2 𝐾32 = 𝐹𝐵𝐴 2 + 𝐹𝐶𝐷 2 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟑: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 para a translação em 3 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (1) (2)(3) 𝑀 𝐵𝐶 3 𝑀 𝐶𝐵 3 𝑀 𝐵𝐴 3 𝑀𝐴𝐵 3 𝑀 𝐶𝐷 3 𝑀 𝐷𝐶 3 𝐹 𝐷𝐶 3 𝑑3 = 1 𝐾13 = 𝑀 𝐵𝐴 3 + 𝑀 𝐵𝑐 3 𝐾23 = 𝑀 𝐶𝐵 3 + 𝑀 𝐶𝐷 3 𝐾33 = 𝐹𝐵𝐴 3 + 𝐹𝐶𝐷 3 𝐹𝐵𝐴 1 𝐹𝐵𝐴 3 𝐹𝐵𝐴 2
- 17. 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑆10+ 𝐾11 𝑑1 + 𝐾12 𝑑2 + 𝐾13 𝑑3 = 0 𝑆20 + 𝐾21 𝑑1 + 𝐾22 𝑑2 + 𝐾23 𝑑3 = 0 𝑆30 + 𝐾31 𝑑1 + 𝐾32 𝑑2 + 𝐾33 𝑑3 = 0 𝑆10 𝑆20 𝑆30 + 𝐾11 𝐾12 𝐾13 𝐾21 𝐾22 𝐾23 𝐾31 𝐾32 𝐾33 . 𝑑1 𝑑2 𝑑3 = 0 𝑆 + 𝐾 . 𝑑 = 0 𝑑 = − 𝑆 𝐾 −1 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 𝐸 = 𝐸0 + 𝐸1 𝑑1 + 𝐸2 𝑑2+𝐸3 𝑑3 𝑀𝐴𝐵 = 𝑀𝐴𝐵 0 + 𝑀𝐴𝐵 1 𝑑1 + 𝑀𝐴𝐵 2 𝑑2+𝑀𝐴𝐵 3 𝑑3 𝑀 𝐵𝐴 = 𝑀 𝐵𝐴 0 + 𝑀 𝐵𝐴 1 𝑑1 + 𝑀 𝐵𝐴 2 𝑑2+𝑀 𝐵𝐴 3 𝑑3 𝑀 𝐵𝐶 = 𝑀 𝐵𝐶 0 + 𝑀 𝐵𝐶 1 𝑑1 + 𝑀 𝐵𝐶 2 𝑑2+𝑀 𝐵𝐶 3 𝑑3 𝑀 𝐶𝐷 = 𝑀 𝐶𝐷 0 + 𝑀 𝐶𝐷 1 𝑑1 + 𝑀 𝐶𝐷 2 𝑑2+𝑀 𝐶𝐷 3 𝑑3 𝑀 𝐷𝐶 = 𝑀 𝐷𝐶 0 + 𝑀 𝐷𝐶 1 𝑑1 + 𝑀 𝐷𝐶 2 𝑑2+𝑀 𝐷𝐶 3 𝑑3 𝑀 𝐶𝐵 = 𝑀 𝐶𝐵 0 + 𝑀 𝐶𝐵 1 𝑑1 + 𝑀 𝐶𝐵 2 𝑑2+𝑀 𝐶𝐵 3 𝑑3 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (1) (2)(3) 𝑀𝐴𝐵 𝑀 𝐵𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 𝐶𝐵 𝑀 𝐶𝐷 𝑀 𝐷𝐶
- 18. Exemplo 𝐸𝐼 → 𝑐𝑡𝑒 𝐴 𝐵𝐶 4𝑚 2𝑚 3𝑚 20 𝐾𝑁/𝑚 30 𝐾𝑁 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 𝐺𝐻 = 1 𝑑1 𝐴 𝐵 𝐶 𝑆. 𝐻. (1)
- 19. Exemplo 𝐴 𝐵 𝐶 4𝑚 2𝑚3𝑚 CB0= Cálculo dos fatores de carga dos nós 𝑀 𝐵𝐴 𝑀 𝐵𝐶𝑀𝐴𝐵 𝑀𝐴𝐵 = 𝑞𝐿2 12 = 20. 42 12 = 26,67𝐾𝑁𝑚 20 𝐾𝑁/𝑚 30 𝐾𝑁 𝑀 𝐵𝐴 = − 𝑞𝐿2 12 = − 20. 42 12 = −26,67𝐾𝑁𝑚 𝑀 𝐵𝐶 = 𝑃𝑎𝑏 2𝐿2 𝐿 + 𝑏 = 30.2.3 2. 52 5 + 3 = 28,80𝐾𝑁𝑚 𝑆10 = 28,80 − 26,67 = 2,13 𝐾𝑁𝑚 (1)
- 20. Exemplo 𝐴 𝐵 𝐶 4𝑚 2𝑚3𝑚 CB1: Cálculo da rigidez 𝐸𝐼 (1) (2) 𝐿 3𝐸𝐼 𝐿 𝜃 = 1 𝐸𝐼(1) (2) 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 𝜃 = 1 2𝐸𝐼 𝐿 𝐾 𝐵𝐴 𝐾 𝐵𝐶𝐾𝐴𝐵 𝐾 𝐵𝐴 = 4𝐸𝐼 𝐿 = 𝐸𝐼 𝐾 𝐵𝐶 = 3𝐸𝐼 𝐿 = 3 5 𝐸𝐼 𝐾11 = 𝐸𝐼 + 3 5 𝐸𝐼 = 8 5 𝐸𝐼 (1) 𝐾𝐴𝐵 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 𝐸𝐼 2
- 21. Exemplo 𝐴 𝐵 𝐶 4𝑚 2𝑚3𝑚 Aplicação da condição de equilíbrio (1) 𝑆10 + 𝐾11 𝑑1 = 0 2,13 + 8 5 𝐸𝐼𝑑1 = 0 𝑑1 = − 1,33 𝐸𝐼 Superposição de efeitos 𝐸 = 𝐸0 + 𝐾1 𝑑1 𝑀𝐴𝐵 = −26,67 + 𝐸𝐼 2 . (−1,33) 𝐸𝐼 = 26,00𝐾𝑁𝑚 𝑀 𝐵𝐴 = −26,67 + 𝐸𝐼. −1,33 𝐸𝐼 = −28,00𝐾𝑁𝑚 𝑀 𝐵𝐶 = 28,80 + 3 5 𝐸𝐼. −1,33 𝐸𝐼 = 28,00𝐾𝑁𝑚 𝐴 𝐵 𝐶 26 28 40 36