O documento descreve métodos para resolver vigas estaticamente indeterminadas, incluindo o método da superposição de efeitos. Este método envolve decompor a estrutura em uma viga isostática primária e aplicar as cargas isoladamente, superpondo os efeitos para determinar as reações excedentes. O documento também discute casos de apoios elásticos, onde há uma força restauradora proporcional ao deslocamento, e recalque de apoio.
Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7Eduardo Spech
Este documento fornece exemplos de exercícios sobre resistência dos materiais, incluindo cálculos de tensões, alongamentos e determinação de áreas de seção transversal de barras sob cargas axiais. Resolve exemplos como determinar tensões em diferentes trechos de uma barra sob múltiplas forças, calcular alongamentos em barras elásticas e dimensionar perfis estruturais.
Ciência dos materiais - fluência, resiliência e tenacidadeVicktor Richelly
O documento discute os conceitos de fluência, resiliência e tenacidade em materiais. A fluência é a deformação lenta e permanente sob tensão constante, dependente do tempo. A resiliência é a capacidade de um material voltar ao estado normal após sofrer tensão. A tenacidade é a energia necessária para causar a ruptura de um material e é uma medida da quantidade de energia que pode ser absorvida antes da fratura.
Resistência dos materiais r. c. hibbelerMeireles01
1. O documento apresenta o livro "Resistência dos Materiais" de Russell Hibbeler na 7a edição em português.
2. A obra aborda os principais tópicos da resistência dos materiais ao longo de 14 capítulos, incluindo tensão, deformação, propriedades de materiais, carga axial, torção, flexão e cisalhamento.
3. O prefácio destaca melhorias nesta edição como novas seções de revisão, ilustrações aprimoradas e revisão dos problemas.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
As tensões normal e de cisalhamento na arruela são calculadas. O diâmetro necessário é de 5-1/2 polegadas e a espessura necessária é de 1/2 polegada para que as tensões não ultrapassem os limites admissíveis.
O documento discute o cálculo do ângulo de torção em eixos sob a aplicação de torque. Apresenta as fórmulas para calcular o ângulo de torção quando as propriedades do material e a geometria do eixo são constantes ou variáveis. Também mostra exemplos numéricos de cálculo do ângulo de torção e deslocamento em eixos sob diferentes condições de carga.
O documento discute conceitos gerais sobre momentos e esforços em vigas, incluindo: (1) a definição de momento como um esforço que provoca giro, (2) os conceitos de binário e distância de força em relação ao ponto de giro, e (3) os tipos de esforços em vigas, como momento fletor e força cortante. O documento também explica como calcular as reações de apoio em vigas isostáticas usando equações de equilíbrio estático.
Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7Eduardo Spech
Este documento fornece exemplos de exercícios sobre resistência dos materiais, incluindo cálculos de tensões, alongamentos e determinação de áreas de seção transversal de barras sob cargas axiais. Resolve exemplos como determinar tensões em diferentes trechos de uma barra sob múltiplas forças, calcular alongamentos em barras elásticas e dimensionar perfis estruturais.
Ciência dos materiais - fluência, resiliência e tenacidadeVicktor Richelly
O documento discute os conceitos de fluência, resiliência e tenacidade em materiais. A fluência é a deformação lenta e permanente sob tensão constante, dependente do tempo. A resiliência é a capacidade de um material voltar ao estado normal após sofrer tensão. A tenacidade é a energia necessária para causar a ruptura de um material e é uma medida da quantidade de energia que pode ser absorvida antes da fratura.
Resistência dos materiais r. c. hibbelerMeireles01
1. O documento apresenta o livro "Resistência dos Materiais" de Russell Hibbeler na 7a edição em português.
2. A obra aborda os principais tópicos da resistência dos materiais ao longo de 14 capítulos, incluindo tensão, deformação, propriedades de materiais, carga axial, torção, flexão e cisalhamento.
3. O prefácio destaca melhorias nesta edição como novas seções de revisão, ilustrações aprimoradas e revisão dos problemas.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
As tensões normal e de cisalhamento na arruela são calculadas. O diâmetro necessário é de 5-1/2 polegadas e a espessura necessária é de 1/2 polegada para que as tensões não ultrapassem os limites admissíveis.
O documento discute o cálculo do ângulo de torção em eixos sob a aplicação de torque. Apresenta as fórmulas para calcular o ângulo de torção quando as propriedades do material e a geometria do eixo são constantes ou variáveis. Também mostra exemplos numéricos de cálculo do ângulo de torção e deslocamento em eixos sob diferentes condições de carga.
O documento discute conceitos gerais sobre momentos e esforços em vigas, incluindo: (1) a definição de momento como um esforço que provoca giro, (2) os conceitos de binário e distância de força em relação ao ponto de giro, e (3) os tipos de esforços em vigas, como momento fletor e força cortante. O documento também explica como calcular as reações de apoio em vigas isostáticas usando equações de equilíbrio estático.
1) Uma barra prismática de aço está solicitada por uma força axial de tração. Calcula-se a tensão normal na barra, o alongamento e a variação do diâmetro.
2) Calcula-se a deformação linear específica de um elástico quando esticado em torno de um poste.
3) Calcula-se a tensão normal, variação do comprimento e diâmetro de uma barra sob tensão axial, dados os valores experimentais de deformação. Também se calcula o volume final da barra.
Aula 4 dimensionamento elementos comprimidoGerson Justino
[1] O documento discute conceitos iniciais e dimensionamento de elementos comprimidos de aço, incluindo flambagem, carga crítica, índice de esbeltez e comprimento de flambagem. [2] Apresenta os fatores de redução de resistência associados à flambagem global e local segundo a NBR 8800:2008. [3] Discutem exemplos de verificação de elementos comprimidos.
O documento discute o conceito de torção em materiais. Aborda a deformação por torção de eixos circulares e não circulares, a fórmula da torção, a tensão de cisalhamento máxima, o ângulo de torção, tubos de parede fina e concentração de tensão por torção. Inclui exemplos ilustrativos para aplicar os conceitos discutidos.
O documento apresenta vários problemas de engenharia civil e mecânica que envolvem cálculos de tensões, deformações e dimensões de estruturas sob cargas. As questões abordam tópicos como determinação de tensões axiais e cisalhantes em seções transversais, cálculo de diâmetros de barras e aços sob cargas, análise de deformações elásticas e plásticas em estruturas.
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1) O documento discute o que é resistência dos materiais e como analisar as forças internas em um corpo sob cargas externas.
2) É apresentada a metodologia de determinar cargas externas, cargas internas, deformações e condições de resistência de um material.
3) Diferentes tipos de cargas externas são explicados, incluindo cargas concentradas, distribuídas linearmente e por área.
O documento discute conceitos de flexão em estruturas, incluindo:
1) A deformação por flexão de vigas retas e a distribuição linear de tensões de tração e compressão;
2) A fórmula da flexão que relaciona momento, tensão, momento de inércia e distância ao eixo neutro;
3) Exemplos ilustrando o cálculo de tensões em seções transversais sob flexão.
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosMoreira1972
O documento apresenta um material didático sobre resistência dos materiais elaborado por Michel Sadalla Filho para ser usado em cursos técnicos e de engenharia. O documento inclui conceitos básicos de resistência dos materiais, exemplos de problemas, exercícios e referências bibliográficas. O autor ressalta que o objetivo é auxiliar no entendimento inicial dos conceitos e não substituir as referências oficiais da disciplina.
O documento apresenta conceitos básicos de resistência dos materiais, incluindo tipos de forças, tensões, deformações, propriedades mecânicas de materiais e barras carregadas axialmente. É uma aula introdutória sobre os fundamentos da disciplina.
Este anexo apresenta fórmulas para calcular propriedades geométricas de massas como centro de gravidade, momentos estáticos e de inércia. Inclui tabelas com valores destas propriedades para seções transversais comuns como retângulos, círculos e perfis metálicos.
O documento descreve os conceitos de tensões de cisalhamento em vigas sob flexão. Discute as hipóteses básicas, a fórmula de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Também apresenta exemplos numéricos de dimensionamento de seções sob tensões de cisalhamento e flexão.
O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais como força axial, tração, compressão, tensão normal, deformação, módulo de elasticidade e dimensionamento de peças. Apresenta a lei de Hooke, classificação de materiais como dútil, conceitos de estricção e coeficiente de segurança. Explica como calcular a área mínima para resistir uma carga axial considerando a tensão admissível do material.
Resistencia dos materiais tensão e deformaçãoDouglas Mota
O documento discute os conceitos fundamentais da resistência dos materiais, incluindo tensões, deformações, elasticidade e o ensaio de tração. Explica que a resistência dos materiais estuda o comportamento de sólidos sob diferentes tipos de carregamento e que o ensaio de tração é usado para determinar a relação entre tensões e deformações para um material.
O documento discute o fenômeno da flambagem em barras sob carga axial. Apresenta a fórmula de Euler para calcular a carga crítica de flambagem e discute como o comprimento efetivo da barra depende das condições de apoio. Fornece exemplos numéricos de cálculo da carga crítica para diferentes configurações estruturais.
Aula 04 cálculo das reações de apoio, estaticidade e estabilidadeYellon Gurgel
O documento discute conceitos de estaticidade e estabilidade em estruturas, incluindo: cálculo de reações de apoio, classificação de estruturas como isostática, hipostática ou hiperestática dependendo do número de apoios em relação aos graus de liberdade, e exemplos de cálculo de grau de hiperestaticidade.
O documento introduz os conceitos básicos de transmissão de calor por condução, convecção e radiação. Apresenta as leis de Fourier, Newton e Stefan-Boltzmann que regem esses mecanismos e exemplifica situações de sua ocorrência. Também aborda os cálculos de fluxo de calor em paredes planas isoladas ou não.
Resistencia dos materiais e dimensionamento de estruturasEduardo Spech
1) O documento discute resistência dos materiais e dimensionamento de estruturas para construções rurais. 2) Aborda conceitos como tensão, resistência, deformação e leis da deformação. 3) Fornece tabelas com propriedades mecânicas e tensões admissíveis para diferentes materiais como aço, madeira e concreto.
1. O documento discute discordâncias em materiais cristalinos, defeitos que causam distorções na estrutura cristalina e afetam a deformação plástica e resistência mecânica.
2. As discordâncias se movimentam durante a deformação plástica, e a resistência pode ser aumentada restringindo seu movimento, por exemplo, reduzindo o tamanho de grão.
3. Vários tratamentos térmicos como recuperação e recristalização podem alterar as discordâncias e propriedades do material.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre ciência dos materiais. Contém questões sobre diagramas de fases de ligas metálicas e ferrosos, determinando fases presentes e proporções em diferentes temperaturas. Também aborda propriedades das principais formas alotrópicas do ferro e características de aços.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de engenharia mecânica que envolvem cálculos de tensões em elementos estruturais como postes, cabos de freio de bicicleta, vigas de sustentação de muros e cabos de guindastes.
2) São propostos problemas que calculam tensões normais, trações em cabos, deformações em tubos sob compressão e dimensionamento de seções transversais para suportar determinadas cargas.
3) São fornecidas figuras ilustrativas e dados numéricos para cada
O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.
This document provides formulas for calculating the centroids and areas of various geometric shapes including triangles, circles, semicircles, quarter circles, ellipses, parabolas, arcs, and sectors. The formulas give the x and y coordinates of the centroid and expressions for calculating the area of each shape based on parameters like side lengths, radii, angles, etc. Formulas are provided for basic as well as composite shapes formed by combining geometric elements.
1. O documento descreve o conteúdo de um curso sobre métodos numéricos. Aborda tópicos como erros e representações numéricas, equações não lineares, sistemas de equações, aproximação de funções, interpolação polinomial e integração numérica.
2. Fornece detalhes sobre os objetivos da disciplina, importância da mesma, programa, expectativas, ferramentas, avaliação e bibliografia de apoio.
3. A primeira parte do conteúdo é dedicada a erros e representações numéricas,
1) Uma barra prismática de aço está solicitada por uma força axial de tração. Calcula-se a tensão normal na barra, o alongamento e a variação do diâmetro.
2) Calcula-se a deformação linear específica de um elástico quando esticado em torno de um poste.
3) Calcula-se a tensão normal, variação do comprimento e diâmetro de uma barra sob tensão axial, dados os valores experimentais de deformação. Também se calcula o volume final da barra.
Aula 4 dimensionamento elementos comprimidoGerson Justino
[1] O documento discute conceitos iniciais e dimensionamento de elementos comprimidos de aço, incluindo flambagem, carga crítica, índice de esbeltez e comprimento de flambagem. [2] Apresenta os fatores de redução de resistência associados à flambagem global e local segundo a NBR 8800:2008. [3] Discutem exemplos de verificação de elementos comprimidos.
O documento discute o conceito de torção em materiais. Aborda a deformação por torção de eixos circulares e não circulares, a fórmula da torção, a tensão de cisalhamento máxima, o ângulo de torção, tubos de parede fina e concentração de tensão por torção. Inclui exemplos ilustrativos para aplicar os conceitos discutidos.
O documento apresenta vários problemas de engenharia civil e mecânica que envolvem cálculos de tensões, deformações e dimensões de estruturas sob cargas. As questões abordam tópicos como determinação de tensões axiais e cisalhantes em seções transversais, cálculo de diâmetros de barras e aços sob cargas, análise de deformações elásticas e plásticas em estruturas.
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1) O documento discute o que é resistência dos materiais e como analisar as forças internas em um corpo sob cargas externas.
2) É apresentada a metodologia de determinar cargas externas, cargas internas, deformações e condições de resistência de um material.
3) Diferentes tipos de cargas externas são explicados, incluindo cargas concentradas, distribuídas linearmente e por área.
O documento discute conceitos de flexão em estruturas, incluindo:
1) A deformação por flexão de vigas retas e a distribuição linear de tensões de tração e compressão;
2) A fórmula da flexão que relaciona momento, tensão, momento de inércia e distância ao eixo neutro;
3) Exemplos ilustrando o cálculo de tensões em seções transversais sob flexão.
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosMoreira1972
O documento apresenta um material didático sobre resistência dos materiais elaborado por Michel Sadalla Filho para ser usado em cursos técnicos e de engenharia. O documento inclui conceitos básicos de resistência dos materiais, exemplos de problemas, exercícios e referências bibliográficas. O autor ressalta que o objetivo é auxiliar no entendimento inicial dos conceitos e não substituir as referências oficiais da disciplina.
O documento apresenta conceitos básicos de resistência dos materiais, incluindo tipos de forças, tensões, deformações, propriedades mecânicas de materiais e barras carregadas axialmente. É uma aula introdutória sobre os fundamentos da disciplina.
Este anexo apresenta fórmulas para calcular propriedades geométricas de massas como centro de gravidade, momentos estáticos e de inércia. Inclui tabelas com valores destas propriedades para seções transversais comuns como retângulos, círculos e perfis metálicos.
O documento descreve os conceitos de tensões de cisalhamento em vigas sob flexão. Discute as hipóteses básicas, a fórmula de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Também apresenta exemplos numéricos de dimensionamento de seções sob tensões de cisalhamento e flexão.
O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais como força axial, tração, compressão, tensão normal, deformação, módulo de elasticidade e dimensionamento de peças. Apresenta a lei de Hooke, classificação de materiais como dútil, conceitos de estricção e coeficiente de segurança. Explica como calcular a área mínima para resistir uma carga axial considerando a tensão admissível do material.
Resistencia dos materiais tensão e deformaçãoDouglas Mota
O documento discute os conceitos fundamentais da resistência dos materiais, incluindo tensões, deformações, elasticidade e o ensaio de tração. Explica que a resistência dos materiais estuda o comportamento de sólidos sob diferentes tipos de carregamento e que o ensaio de tração é usado para determinar a relação entre tensões e deformações para um material.
O documento discute o fenômeno da flambagem em barras sob carga axial. Apresenta a fórmula de Euler para calcular a carga crítica de flambagem e discute como o comprimento efetivo da barra depende das condições de apoio. Fornece exemplos numéricos de cálculo da carga crítica para diferentes configurações estruturais.
Aula 04 cálculo das reações de apoio, estaticidade e estabilidadeYellon Gurgel
O documento discute conceitos de estaticidade e estabilidade em estruturas, incluindo: cálculo de reações de apoio, classificação de estruturas como isostática, hipostática ou hiperestática dependendo do número de apoios em relação aos graus de liberdade, e exemplos de cálculo de grau de hiperestaticidade.
O documento introduz os conceitos básicos de transmissão de calor por condução, convecção e radiação. Apresenta as leis de Fourier, Newton e Stefan-Boltzmann que regem esses mecanismos e exemplifica situações de sua ocorrência. Também aborda os cálculos de fluxo de calor em paredes planas isoladas ou não.
Resistencia dos materiais e dimensionamento de estruturasEduardo Spech
1) O documento discute resistência dos materiais e dimensionamento de estruturas para construções rurais. 2) Aborda conceitos como tensão, resistência, deformação e leis da deformação. 3) Fornece tabelas com propriedades mecânicas e tensões admissíveis para diferentes materiais como aço, madeira e concreto.
1. O documento discute discordâncias em materiais cristalinos, defeitos que causam distorções na estrutura cristalina e afetam a deformação plástica e resistência mecânica.
2. As discordâncias se movimentam durante a deformação plástica, e a resistência pode ser aumentada restringindo seu movimento, por exemplo, reduzindo o tamanho de grão.
3. Vários tratamentos térmicos como recuperação e recristalização podem alterar as discordâncias e propriedades do material.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre ciência dos materiais. Contém questões sobre diagramas de fases de ligas metálicas e ferrosos, determinando fases presentes e proporções em diferentes temperaturas. Também aborda propriedades das principais formas alotrópicas do ferro e características de aços.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de engenharia mecânica que envolvem cálculos de tensões em elementos estruturais como postes, cabos de freio de bicicleta, vigas de sustentação de muros e cabos de guindastes.
2) São propostos problemas que calculam tensões normais, trações em cabos, deformações em tubos sob compressão e dimensionamento de seções transversais para suportar determinadas cargas.
3) São fornecidas figuras ilustrativas e dados numéricos para cada
O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.
This document provides formulas for calculating the centroids and areas of various geometric shapes including triangles, circles, semicircles, quarter circles, ellipses, parabolas, arcs, and sectors. The formulas give the x and y coordinates of the centroid and expressions for calculating the area of each shape based on parameters like side lengths, radii, angles, etc. Formulas are provided for basic as well as composite shapes formed by combining geometric elements.
1. O documento descreve o conteúdo de um curso sobre métodos numéricos. Aborda tópicos como erros e representações numéricas, equações não lineares, sistemas de equações, aproximação de funções, interpolação polinomial e integração numérica.
2. Fornece detalhes sobre os objetivos da disciplina, importância da mesma, programa, expectativas, ferramentas, avaliação e bibliografia de apoio.
3. A primeira parte do conteúdo é dedicada a erros e representações numéricas,
Este documento define la entropía como una medida del desorden dentro de un proceso, y explica la desigualdad de Clausius, que establece que la entropía aumenta en los procesos irreversibles. También describe los cambios de entropía en procesos reversibles, donde la variación de entropía depende solo de los estados inicial y final, y no del camino. Por último, define un proceso adiabático como uno sin transferencia de calor, y explica que la ecuación que lo describe para un gas es PV^γ = constante.
O documento descreve os diferentes estados de tensão que podem ocorrer em peças estruturais sob carga, incluindo tensões normais, de cisalhamento e em planos inclinados. Explica que uma barra sob carga axial pode desenvolver tensões normais e de cisalhamento em seções inclinadas, e que as tensões em um ponto podem ser representadas por um tensor simétrico de 6 componentes. Também discute os estados plano e tridimensional de tensão, com ênfase no estado plano de tensão em chapas.
O documento discute os conceitos de polímeros e plásticos. Define polímeros como macromoléculas formadas por moléculas menores chamadas monômeros através de uma reação de polimerização. Classifica os polímeros em naturais ou artificiais e por método de obtenção, como adição ou condensação. Fornece exemplos de polímeros comuns como PVC, Teflon, polietileno e náilon e suas aplicações.
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...Evonaldo Gonçalves Vanny
A regra de Cramer é um método para resolver sistemas lineares com o mesmo número de equações e incógnitas. Calcula-se o determinante da matriz do sistema e os determinantes de cada coluna substituída pelos termos independentes. As incógnitas são os valores dos determinantes divididos pelo determinante geral.
O documento discute ciclos termodinâmicos como o Ciclo de Carnot e o Ciclo de Rankine. O Ciclo de Rankine converte calor em trabalho usando vapor de água e é usado em 90% da geração de energia elétrica no mundo. O documento fornece um exemplo de como calcular o rendimento de um ciclo de Rankine.
1. O documento apresenta o cálculo do deslocamento horizontal do nó 3 em uma treliça sob carregamento.
2. São fornecidos os ângulos entre as barras e os esforços normais para cada barra sob a carga original de 20 kN.
3. O deslocamento é calculado somando os produtos dos esforços normais e comprimentos para cada barra, dividindo pelo módulo de elasticidade.
Os dados de um teste tensão-deformação de uma cerâmica são fornecidos em uma tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. O diagrama deve ser construído para determinar o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência com base nos dados fornecidos.
O documento descreve três tipos de estruturas: isostáticas, hiperestáticas e hipostáticas. Estruturas isostáticas possuem apenas as condições mínimas para estabilidade. Estruturas hiperestáticas têm redundância estrutural e hipostáticas não possuem equilíbrio estático e podem se mover.
1) O documento apresenta um curso de Resistência dos Materiais, abordando conceitos como tensões, deformações, equilíbrio de corpos e esforços em elementos estruturais.
2) São discutidos tópicos como isostática, tração, compressão, cisalhamento, torção, propriedades geométricas, tensões em vigas, deformação em vigas, vigas indeterminadas e flambagem.
3) O texto fornece noções básicas para análise de elementos estruturais sob diferentes tipos de carga e
El documento explica que el centro de gravedad de un cuerpo estático se define como el punto donde se concentran todas las fuerzas de peso, y que su posición se puede calcular mediante las ecuaciones del primer momento de masa. Estas ecuaciones suman los productos de la masa de cada parte por su distancia al eje, y dividen el resultado entre la masa total, proporcionando las coordenadas x e y del centro de gravedad. El centroide de un área se define de manera análoga usando los primeros momentos del área.
Este documento apresenta uma lista de 10 exercícios resolvidos de Análise Estrutural II, incluindo o cálculo de carregamentos internos, forças em membros de treliças, funções de cortante e momento em vigas, energia potencial elástica e equações de curva elástica de vigas. As soluções utilizam métodos como o Princípio dos Trabalhos Virtuais e Teorema de Castigliano.
Polímeros (Aplicações, propriedades e processos de fabricação)Sílvio Júnior
Este documento discute propriedades físicas e processos de fabricação de polímeros. Ele descreve aplicações comuns de polímeros como PP, PS, PVC e outros, além de propriedades como cristalinidade e comportamento térmico. O documento também explica processos de fabricação como injeção, extrusão, moldagem por sopramento e reciclagem de plásticos.
1. O documento apresenta um curso de análise estrutural em três volumes, tratando de deformações em estruturas isostáticas e hiperestáticas, além de estruturas sobre apoios elásticos.
2. No primeiro capítulo, calculam-se as deformações em estruturas isostáticas devido a diferentes agentes, como carga externa, variação de temperatura e movimentos de apoio. Apresentam-se os processos de Mohr e Williot para vigas e treliças.
3. No segundo capítulo, resolvem-se estrut
O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais, incluindo:
1) Direção e sentido são conceitos que requerem um referencial fixo para serem definidos corretamente;
2) Forças que atuam em estruturas incluem cargas permanentes (pesos) e cargas acidentais (prescritas por normas);
3) A distribuição e geometria das cargas dependem do elemento estrutural sobre o qual atuam.
Tabla de Centroide y Momento de Inercia de Figuras ComunesAlva_Ruiz
1. Rectángulo
2. Triangulo
3. Circulo
4. Medio Circulo
5. Cuarto Circulo
6.Media Elipse
7. Cuarto Elipse
8. Parábola
9. Media Parábola
10. Extracto Parabólico
11. Extractos de forma general
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de mecânica dos materiais sobre conceitos de tensão e carregamento axial. Os exercícios incluem cálculos de tensão normal, cisalhamento e esmagamento em barras, pinos e outros componentes mecânicos sob diferentes tipos de carregamento.
2. São fornecidas as respostas para os 36 primeiros exercícios, que envolvem aplicação de fórmulas de resistência dos materiais para dimensionar componentes mecânicos sob tensões normais e tangenciais, considerando
1) O documento apresenta os tipos de elementos estruturais, carregamentos, apoios e convenções para elaboração de diagramas de esforços em estruturas;
2) Inclui exemplos de diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor para diferentes configurações estruturais sob ação de cargas pontuais e distribuídas;
3) Explica como calcular as áreas dos diagramas para a obtenção dos diagramas de momento fletor.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de sistemas estruturais, incluindo:
1) Convenções para diagramas de esforços solicitantes;
2) Tipos de elementos estruturais como barras, placas e blocos;
3) Tipos de carregamentos como cargas concentradas, uniformes e triangulares;
4) Tipos de apoios como apoios de 1o, 2o e 3o gênero.
Este documento discute o método da equação dos três momentos e o método da flexibilidade para análise de vigas contínuas. Apresenta exemplos numéricos de cálculo de momentos fletores, reações de apoio e diagramas de esforços usando a equação dos três momentos. Também explica os conceitos teóricos e os passos para aplicação do método da flexibilidade.
Mecanica dos Materiais Beer Johnston 7 edicao.pdfTomCosta18
Este documento discute conceitos fundamentais de mecânica dos materiais, incluindo:
1) Uma breve revisão dos métodos da estática para determinar forças em estruturas simples.
2) A introdução do conceito de tensão e os diferentes tipos de tensão em elementos estruturais.
3) As tarefas principais de engenheiros de análise e projeto de estruturas e máquinas.
1) O documento apresenta os procedimentos para construção de linhas de influência de esforços em estruturas isostáticas submetidas a carregamentos móveis. 2) Linhas de influência mostram como esforços variam com a posição de uma carga móvel. 3) Os procedimentos são aplicados a vigas biapoiadas, vigas em balanço e vigas Gerber.
DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE E REAÇÕES DE APOIOTiagoGirardi2
Este documento resume um capítulo sobre mecânica dos sólidos. Ele discute diagramas de corpo livre, reações de apoio e grau de hiperestaticidade de estruturas. Os objetivos são entender diferentes tipos de vínculos, calcular reações de apoio em estruturas simples e compreender a hiperestaticidade. Exemplos demonstram como desenhar diagramas de corpo livre e determinar reações de apoio através do equilíbrio estático.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de estruturas isostáticas, incluindo barras, vigas e vigas Gerber. É descrito o cálculo de esforços internos por meio de diagramas de momento, cortante e esforço normal, além de exemplos passo a passo de determinação de reações de apoio em diferentes estruturas isostáticas.
Apostila sensacional !! deformacao de vigas em flexaoHenrique Almeida
O documento discute deformações em vigas sujeitas a forças transversais. Explica que a curvatura varia linearmente ao longo da viga e é máxima no ponto de momento fletor máximo. Também apresenta a equação da linha elástica para calcular a deformada máxima e rotações, e métodos como a sobreposição para vigas estaticamente indeterminadas.
1) O documento discute linhas de influência em estruturas isostáticas submetidas a carregamentos móveis, mostrando como os esforços variam com a posição da carga. 2) É mostrado o procedimento para construir linhas de influência de esforços como reações, cortantes e momentos fletores para vigas simples e compostas. 3) O documento explica como usar linhas de influência para localizar posições críticas de cargas e determinar esforços máximos.
Semelhante a Cap 2 problemas estaticamente indeterminados (9)
1. CAPÍTULO
2 PROBLEMAS DE FLEXÃO
ESTATICAMENTE INDETERMINADOS.
2. Problemas de flexão estaticamente indeterminados.
2.1. Grau de hiperestaticidade.
Nos casos particulares de vigas isostáticas, as reações de apoio são facilmente
obtidas utilizando-se, apenas, as equações de equilíbrio da estática. Conhecida as reações, é
possível obter os esforços internos (momento fletor e forças cortantes) da viga e, por
conseguinte, as correspondentes tensões e deformações. Nos casos de vigas hiperestáticas ou
estaticamente indeterminadas, as equações da estática são em número insuficiente para se
determinar as reações. Neste caso, deve-se lançar mão de equações de compatibilidade de
deformação, como complementação as equações de equilíbrio estático, para possibilitar a
determinação das reações de apoio da estrutura.
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pela diferença entre o
número de equações de equilíbrio estático e o número de incógnitas, a saber: reações de
apoio (grau de hiperestaticidade externa) e esforços internos (hiperestaticidade interna) da
estrutura. Neste curso será estudado somente o caso de hiperestaticidade externa, sendo o
grau de hiperestaticidade determinado pela diferença entre o número de reações de apoio a
determinar e o número de equações de equilíbrio estático disponíveis.
Estudaremos alguns métodos para resolução de vigas estaticamente indeterminadas,
os quais têm como objetivo principal determinar as reações que excedem o caso isostático.
2.2. Método da superposição de efeitos
O método consiste no emprego das equações da linha elástica de vigas isostáticas,
superpondo ou combinando os efeitos isolados dessas vigas, de modo a resultar na estrutura
2. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 2
hiperestática analisada. Tal método é de fácil compreensão, cuja essência pode ser descrita
na seguinte seqüência:
a) Inicialmente identifica-se o grau de hiperestaticidade, ou número de reações que
tornam a viga hiperestática;
b) Escolhem-se e retiram-se os vínculos em excesso, de modo que a viga resulte
em uma estrutura isostática, denominada estrutura primária;
c) Na estrutura primária é fácil determinar, para o carregamento externo, as reações
de apoio e os deslocamentos na posição e na direção dos vínculos retirados;
d) Novamente na estrutura primária consideram-se isoladamente as reações
excedentes (chamadas de reações hiperestáticas), cujos vínculos foram removidos, como
cargas atuantes. Dessa forma, determinam-se os deslocamentos, na direção de todos os
vínculos retirados, para cada uma dessas cargas;
e) Pelo princípio da superposição de efeitos, os deslocamentos finais, decorrentes
da ação simultânea das cargas reais e das cargas correspondentes aos vínculos, devem ser
iguais à soma algébrica dos deslocamentos calculados separadamente;
f) Finalmente devem-se compatibilizar os deslocamentos nas posições e direções
dos vínculos removidos. No caso, os deslocamentos finais associados a esses vínculos são
valores prescritos (nulos, de valor conhecido, no caso de recalque de apoio ou uma função
dos hiperestáticos correspondentes no caso de apoios elásticos). A partir dessa
compatibilização, obtém-se um sistema de equações lineares cuja solução resulta nas reações
excedentes (reações hiperestáticas);
g) Finalmente, utilizando-se as equações de equilíbrio da estática determinam-se as
reações restantes.
Vale relembrar que a validade deste método está associada à consideração da
linearidade física e geométrica utilizada no estudo de vigas realizado.
Considere a viga seguinte:
A
B
x
y
l
q
3. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 3
A viga da anterior apresenta grau de hiperestaticidade 1, pois temos 3 reações a
determinar (RA, MA e RB) e apenas duas equações de equilíbrio estático (∑ = 0Fy eB
)∑ = 0Mo . Para resolver tomemos, por exemplo, a reação RBB como reação hiperestática.
O sistema primário será então uma viga engastada e livre, na qual devemos aplicar o
carregamento externo e a reação de apoio separadamente (figura a seguir), superpor os dois
casos e compatibilizar o deslocamento vertical em B.
y
l
q
x
A B
y
A
l
B
RB
x
Essas vigas foram resolvidas no capítulo anterior, sendo obtidas as seguintes
equações:
Carregamento externo:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−= 432
2
24
1
64
xx
l
x
l
EI
q
xy
z
, deslocamentos transversais;
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−= 32
2
6
1
22
xx
l
x
l
EI
q
dx
dy
z
, rotações das seções.
Com isso o deslocamento associado à posição e a direção do vínculo retirado
corresponde ao deslocamento vertical no ponto B, o qual é determinado a seguir:
( )
zz
I
B
EI
ql
ll
l
l
l
EI
q
yylx
824
1
64
4
432
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−==⇒=
Reação excedente RB :B
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 23
26
1
x
l
x
EI
R
xy
z
B
, deslocamentos transversais;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= lxx
EI
R
dx
dy
z
B 2
2
1
, rotações das seções.
4. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 4
Assim, o deslocamento na posição e na direção de RB será dado por:B
( )
z
B
z
BII
B
EI
lR
l
l
l
EI
R
yylx
326
1 3
23
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==⇒=
Pelo princípio da superposição, o deslocamento final no ponto B é dado pela soma
algébrica que, por força da vinculação existente, é igual a zero. Assim:( ) ( )I II
B By y+
( ) ( )
8
3
83
0
43
ql
R
EI
ql
EI
lR
yy B
zz
BII
B
I
B =⇒+−==+
Essa equação ( ( ) ( )
0I II
B By y+ = ) é comumente denominada “equação de
compatibilidade”, porque exprime condições impostas ao deslocamento.
Conhecido o valor de RB, é de fácil determinação as outras reações da viga. Para
isso, basta empregar as equações de equilíbrio da estática:
B
( ) 8
5
00
ql
RqlRqlRRF BABAy =−=⇒=−+⇒=+↑ ∑MA
RBRA
q
l +
82
0
2
0
2
ql
lR
l
qlMlR
l
qlMM BABAa =⋅−⋅+=⇒=⋅+⋅−⇒=∑
Apoios elásticos:
Seja resolver a viga ilustrada na figura a seguir.
y
l
A q
B
x
Na mola linear em B (também chamada de apoio elástico) aparecerá uma força
restauradora no sentido oposto ao deslocamento vertical neste ponto.
Considerando um deslocamento vertical δ “para baixo” (direção positiva do
deslocamento) a mola exercerá uma força “para cima” (RB = δ KB
V) na seção B da viga, sendo
KV a constante da mola.
A resolução é a mesma já realizada para o caso da viga engastada e apoiada, bastando
atentar para o fato de que a condição de contorno geométrica em x = l será neste caso dada
por: ( )
V
B
K
R
ly = .
Resolução da viga com apoio elástico em B:
5. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 5
Novamente, o sistema primário será então uma viga engastada e livre, na qual
devemos aplicar o carregamento externo e a reação de apoio separadamente (figura a seguir),
superpor os dois casos e compatibilizar o deslocamento vertical em B.
y
l
q
x
A B
y
A
l
B
RB
x
A resolução destes dois casos é exatamente igual à feita anteriormente:
Carregamento externo:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−= 432
2
24
1
64
xx
l
x
l
EI
q
xy
z
, deslocamentos transversais;
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−= 32
2
6
1
22
xx
l
x
l
EI
q
dx
dy
z
, rotações das seções.
Com isso o deslocamento associado a posição e a direção do vínculo retirado
corresponde ao deslocamento vertical no ponto B, o qual é determinado a seguir:
( )
zz
I
B
EI
ql
ll
l
l
l
EI
q
yylx
824
1
64
4
432
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−==⇒=
Reação excedente RB :B
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 23
26
1
x
l
x
EI
R
xy
z
B
, deslocamentos transversais;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= lxx
EI
R
dx
dy
z
B 2
2
1
, rotações das seções.
Assim, o deslocamento na posição e na direção de RB será dado por:B
( )
z
B
z
BII
B
EI
lR
l
l
l
EI
R
yylx
326
1 3
23
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==⇒=
6. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 6
Pelo princípio da superposição, o deslocamento final no ponto B é dado pela soma
algébrica . Assim:( ) ( )I II
B By y+
( ) ( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=⇒+−==+
3
443
3
1
8
3
83 l
K
EI
ql
R
EI
ql
EI
lR
K
R
yy
V
z
B
zz
B
V
BII
B
I
B
Note-se que para o caso em que KV → ∞ a reação
8
3ql
RB → , caso de apoio
simples (deslocamento vertical nulo em B).
Conhecido o valor de RB, é de fácil determinação as outras reações da viga. Para isso,
basta empregar as equações de equilíbrio da estática.
B
O apoio elástico representa, por exemplo, uma viga ou pilar que se deforma
verticalmente. Fazendo uma comparação com a variação de comprimento de um pilar
(considerando δ positivo “para baixo”), devido a uma carga axial centrada RB, tem-se:B
RB
l
EA
K
l
EA
R
EA
lR
RN VB
B
B =⇒δ=⇒=δ⇒−= ,
que seria a constante de mola equivalente para o
pilar.
Tratemos de outro caso, como o de uma viga apoiada em outra viga. Como exemplo,
uma viga “de apoio” biapoiada, recebendo o carregamento RB no meio do vão.B
y
l
x
RB
A elástica da viga fornece, para a seção do
meio do vão:
33
3
4848
48 l
EI
K
l
EI
R
EI
lR z
V
z
B
z
B
=⇒δ=⇒=δ
Num caso real, a viga ou pilar que servem de apoio elástico não suportam somente a
viga em questão, mas também outras cargas provenientes de outros elementos estruturais e
também de seus pesos próprios. Assim, no ponto de apoio, existe um comportamento do tipo
mola (reação e deslocamento ligados) e uma deformada independente da viga que se apoia
(que deve ser tratado como um recalque de apoio).
7. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 7
No caso de recalque de apoio, a resolução é exatamente a mesma. Porém na equação
de compatibilidade , tomado como um valor conhecido e constante ao dimensionar
a viga.
( ) Δ=ly
l
A q
B
xΔ
Podemos resolver os casos de apoio elástico e recalque de apoio em separado e
somar os resultados obtidos. Com isso o caso mais geral de um apoio real pode ser encarado
como a soma de um caso de apoio elástico com outro de recalque de apoio.
Da mesma forma que existe deformação dos apoios na vertical, existe também um
impedimento não perfeito da rotação da viga. A ligação viga pilar, por exemplo, funciona
como uma mola rotacional, como a ilustrada a seguir.
B
x
q
A
y
l
θA
MA rotação positiva e momento
da viga sobre a mola
MA
momento da mola sobre a
viga para uma rotação
positiva
Os princípios da mola rotacional são exatamente os mesmos da linear: a viga
apresenta uma rotação em um sentido e a mola gera uma “força” restauradora (neste caso um
momento) em sentido contrario. O problema é resolvido de forma análoga, sendo a condição
de contorno em A, considerando uma rotação positiva, dada por:
R
A
K
M
dx
dy
=
0
, sendo KR a
constante da mola rotacional. Da mesma forma que no apoio elástico linear, existindo
também uma rotação θ independente do momento MA, basta imaginá-la como um recalque
no apoio A e resolver o problema separadamente utilizando θ=
0dx
dy
, sendo este um valor
considerado conhecido e constante ao dimensionar a viga.
2.3. Método da equação diferencial da elástica.
O processo de solução é essencialmente o mesmo que aquele utilizado para as
vigas estaticamente determinadas, o qual consiste em estabelecer a equação diferencial,
8. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 8
achar sua solução geral e, por intermédio das condições de contorno, determinar as
constantes de integração. Sempre haverá condições de contorno suficientes para as
constantes de integração assim como para as reações excedentes.
Tomemos o mesmo exemplo da viga engastada e apoiada do item anterior.
A
B
x
y
l
q
Pelo equilíbrio estático obtém-se;
2
0 0
0 0
2 2
A B A B
A A B A B
Fy R ql R R ql R
l ql
M M ql l R M l R
∑ = ⇒ − + = ⇒ = −⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎨ ⎬
∑ = ⇒ − + ⋅ = ⇒ = − ⋅⎪ ⎪
⎩ ⎭
RA⇒ e AM em
função de BR
A função geral do momento fletor pode ser escrita, em função de , na seguinte
forma:
BR
( )
2
2 2
2
2
( ) ( )
2 2
( )
2 2
A A B B
B B
q ql
M x R x M x M x qlx R x l R x
q ql
M x x ql R x l R
= ⋅ − − ⇒ = − − + ⋅ − ⇒
−
⇒ = + − + ⋅ −
2
q
A equação diferencial da elástica apresenta, então, a seguinte redação:
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+−=⇒−=
22
1 2
2
2
2
2
2
ql
lRxRqlxx
q
EIdx
yd
EI
xM
dx
yd
BB
zz
Desenvolvendo-se duas integrais sucessivas resulta, para o caso particular de EIZ
constante:
1
2
223
2226
Cx
ql
lxRx
R
x
ql
x
q
dx
dy
EI B
B
z ++−+−=
( ) 21
2
2
2334
426624
CxCx
ql
lx
R
x
R
x
ql
x
q
xyEI BB
z +++−+−=
9. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 9
Na expressão geral de y(x) há três constantes a determinar: C1, C2 e RB. Da mesma
forma há três condições de contorno geométricas que podem ser utilizadas: ,
B
0Ay = 0Aθ =
e .0By =
Aplicando-se essa três condições de contorno obtém-se:
0 (0) Ax y y= ⇒ = = 0 e (0) 0A
dy
dx
θ θ= = =
1 1
2 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0A
dy
C C
dx
y C
= ⇒ + + + = ⇒ =
= ⇒ + + + + = ⇒ =C
( ) 0Bx l y l y= ⇒ = =
( )
8
3
426624
0 2
2
2334 ql
Rl
ql
l
lR
l
R
l
ql
l
q
ly B
BB
=⇒+−+−⇒=
Com o valor de RB fica fácil determinar as outras reações utilizando-se as equações
de equilíbrio da estática. Isso já foi feito anteriormente, obtendo-se as seguintes expressões:
B
2 2 2
3 5
8 8
3
2 2 8
A B A A
A B A A
ql ql
R ql R R ql R
ql ql ql ql
M l R M M
= − ⇒ = − ⇒ =
= − ⋅ ⇒ = − ⇒ =
2
8
É importante comentar que surgem dificuldades de cálculo quando há um número
excessivo de constantes de integração. Dessa forma, este processo de resolução de vigas
estaticamente indeterminadas só é prático para os casos simples de carregamento e para
vigas com um único vão.
Caso de apoio elástico em B:
Da mesma forma que anteriormente, a resolução seria feita da mesma forma do que
para a viga engastada e apoiada, bastando substituir, na equação de compatibilidade
( )
V
B
K
R
ly = , em lugar de ( ) 0=ly , tal procedimento fornece:
10. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 10
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=⇒=+−+−⇒=
3
4
2
2
2334
3
1
8
3
426624 l
K
EI
ql
R
K
R
EIl
ql
l
lR
l
R
l
ql
l
q
K
R
ly
V
z
B
V
B
z
BB
V
B
2.4. Método dos momentos estáticos de área.
Consiste basicamente na aplicação do método dos momentos estáticos de área,
também empregado para o caso de vigas isostáticas.
Considerando-se uma porção AB da elástica de uma viga (figura seguinte). O
diagrama de momentos fletores entre os pontos A e B também se encontra ilustrado na
figura. Partindo-se de duas seções m1 e m2 da viga, distantes de ds: para este trecho de
comprimento infinitesimal, pode-se admitir que o raio de curvatura ρ seja constante e, neste
caso, seu comprimento ds pode ser escrito como θ⋅ρ= dds , sendo ρ o raio de curvatura.
Utilizando apenas valores absolutos, escreve-se:
dx
EI
M
d
z
=θ = área infinitesimal do diagrama
zEI
M
C
A
B
Δx1dθ
dx
x
x1
B '
p1
p2
DM
ρ
dθ
m1
ds
θ
m2
dθ
+
11. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 11
A linha m1p1 é a tangente à elástica em m1 e a linha m2p2 é a tangente à elástica em
m2. O ângulo formado por estas duas tangentes é dθ .
Integrando agora entre os pontos A e B, obtém-se o ângulo θ formado pelas
tangentes à elástica em dois pontos, A e B:
∫ ⇒=θ
B
A z
dx
EI
M
Área do diagrama de M (DM), entre A e B, dividida por EIz.
Primeiro teorema do momento estático de área: O ângulo θ entre as tangentes à curva da
elástica entre dois pontos A e B é igual à área do diagrama de momento fletor entre esses
dois pontos, dividida por EIz.
Sendo θ pequeno, a contribuição do elemento m1m2 para a deflexão do ponto B
em relação à tangente no ponto A, pode ser escrita como:
Δ
dx
EI
M
xdx
z
11 =θ
Integrando entre A e B a deflexão total Δ resulta em:
∫∫ ⇒=θ=Δ
B
A
B
A
dx
EI
M
xdx 11 Momento estático em relação ao ponto B, da área do diagrama
de M entre A e B, dividida por EIz.
Segundo teorema do momento estático de área: A deflexão Δ de um ponto B para a tangente
em um ponto A é igual ao momento estático, em relação a B, da área do diagrama de
momento fletor entre A e B dividida por EIz.
Neste método também se faz necessário utilizar uma estrutura isostática primária,
determinar os deslocamentos causados pelo carregamento real e pelas reações excedentes
para, em seguida aplicar o teorema.
Como ilustraçao, façamos mais uma vez o exemplo da viga engastada e apoiada.
A
B
x
y
l
q
Estrutura primária: retiremos novamente o vínculo relativo a B.
Momentos relativos ao carregamento real q e a carga RB na direção do vínculo:B
12. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 12
Carregamento Diagrama de momento fletor
y
l
q
x
A B
(1)
-
-ql
2
2
y
A
l
B
RB
x
(2)
RBl +
Carregamento externo:
( )
2
2
1
22
x
q
qlx
ql
M −+−= e x1 = l-x
O momento estático da área do diagrama é dado por:
( ) ( )
82222
4
0
32
2
22
3
0
111
ql
dxx
q
qlxx
ql
x
ql
xql
ql
dxxMS
ll
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+−+−== ∫∫
Reação hiperestática:
( ) xRlRM BB −=2 e x1 = l-x
O momento estático da área do diagrama é dado por:
( ) ( ) ( ) 3
3
0
22
0
122
lR
dxxRlxRlxRlRdxxMS B
l
BBBB
l
−=+−−== ∫∫
A tangente à elástica, na estrutura real, em A passa pelo ponto B, logo a deflexão
de B em relação a A vale zero. Com isso, e considerando o segundo Teorema do Momento
Estático, pode-se escrever:
( ) ( )
8
3
0
38
0
34
21 ql
R
lRql
EI
SS
B
B
z
=⇒=+−⇒=
+
Com as equações d equilíbrio da estática determinam-se as outras reações.
13. Capítulo 2: Problemas de flexão estaticamente indeterminados 13
Caso do apoio elástico:
Note-se, pela figura a seguir, que para o caso do apoio elástico, tem-se:
y
A
l
q
δ x
B
deformada da viga
tangente à elástica em A
( ) ( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=⇒−=+−⇒−=δ−=
+
3
434
21
3
1
8
3
38 l
K
EI
ql
R
K
R
EI
lRql
K
R
EI
SS
V
z
B
V
B
z
B
V
B
z
Novamente, basta aplicar s equações de equilíbrio da estática para encontrar RA e
MA.