Deformações em estruturas isostáticas

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anhlise estrutural

CURSO DE
ANÁLISE ESTRUTURAL
Volume II
DeformaçZesemestruturas. Método das forças.

I -Estruturas Isost8ticas
II -Deforrnatóes em estruturas. Metoda das forcas
111 -Wtodo das DeformaçÍks. Roasso de Croo
FICHA CATALOGRAFICA
[Preparada pelo Centro de Catalogaq50-nsFonte,
Cimara Brasileira do Livra. SPI
Süsrekind. Jose Carlos. 1947-
S963c Curso de analise ertrutuial / Jose Carlos Siiwkind.-
v. 1-2 4. ed. - Pona Alegre : Giabo. 1980.
v. ilust. IEnciciopWia thcnica universal Globol
Bibliografia.
Cante8jdo. - v. 1. Estruturas isost6ticar. - v. 2. De-
formações em estruturas. MBtado dar forças.
1: Deformwões IMecinicaI 2. Estruturas - Andlire
(Engenharia) 3. Forcas e Tensões. I.Titulo. II. Titu-
I0 : Deformaç6es em estruturas. IiI.Estruturas isostiticar.
inlices paa málogo sinam6tica
1. Análise estrutural : Engenharia 624.171
2. Deformagaes : ~ ~ ~ ~ ~ h ~ ~ i ~estrutural 624.176
3. Ertruturar : Análise :.~ngenheria 624.171
4.Forwr : Analise ettrutural : ~ngenharis624.176
-- -
Enciclopédia Técnica Universal Globo
CURSO DE
ISE ESTRUTURAL
Volume I1
Deformaçõesem estruturas. Mbtododasforças.
EDITORA GLOBO
Porto Alegre
1980

- .-
copyright @ 1973 by José Carlos Surwkind
Apresentacão
Capa'. ~ u b mHerrmnn
Planeiamentogr8fim:Tacnimtor Produçdn G d f i u ~Ltda.
l?Ediqão -abril de 1976
2 Edi* -setembro de 1977
3? Ediw-o -mmo de 1979
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--.-32E.2-
Direitosexcluiivor deedi*, em ttngua da EdftomGlobo S. A.
Porto Alegre -Rio Grandedo Sul
B m i l
A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da
necessidade encontrada de um texto que nos servisse de suporte para o ensino
da Isostática e da Hiperestática aos futuros engenheiros civis, idéia esta que
cresceu com.0 estfmulo recebido da parte de diversos colegas de magisl6ri0,
que se vèm deparando com o mesmo problema. e cuja concretização se tor-
nou possível a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em
edita-lo.
O Curso de Análise Estrutural será dividido em très volumes.
no primeiro dos quais estudaremos os esforços nas estruturas isostáticas.
ficando o estudo dos esforços nas estruturas hiperestáticas e das deformações
em estruturas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes
últimos, incluiremos também, o estudo de alguns tópicos especiais, cujo
conhecimento julgamos indispensavel ao engenheiro civil.
Na apresentação deste Curso. é dever de gratidão mencionar o
nome do extraordinário professor que é o Dr. Domicio Falcão Moreira e Silva,
a quem devemos nossos conhecimentos de Mecânica Racional e de Mecãnica
das Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lançados no magistério supe-
"01, na Pontificia Univenidade Católica do Rio de Janeiro.
gradec cem os antecipadamente aos nossos leitores e colegas
quaisquer comentários, sugestóes ou críticas que nos venham a enviar
através da Editora Globo, Pois, a partir deles, estaremos em condiçks de
tentar sempre melhorar este trabalho, no sentido de torná-lo cada vez mais
útil ao nosso estudante - objetivo final de nossos esforços.
Ri0 de Janeiro, 1.0 de abril de 1974
.
José Carlos Susekind

Sumario
CAPITULO I - CALCULO DE DEFORMAÇ~ESEM ESTRUTURAS
ISOSTATICAS
I - Aplicaqão do teorenia dos trahallios virtuais aos corpos el6sticos I
1.1 - O priiicípio de d'Aleniberl e os conceitos de deslocanieiito
e traballio virtual I
I.? - Cálculo de defornidfóes devidas 5 atuação de carregamento
externo - F6rmula de Mohr 3
I . . - Aplicaçtíes imeiiiatas 7
1.2.2 - Uso de tabelas para calculo de /",J& 11
1.23 - Aplicações As estruturas usuais da pr8tica I6
1.2.4 - Casos de barras com inercia variável 24
1.2.4.1 - Barrascuwascom inircia variando segundo a lei Jml~cos= 1 24
1.2.4.2 - Inircia variando em mísula 26 'P
1.2.4.3 - Caso de variação aleatória da in6rcia 45
1.3 - Cáiculo de deformações devidas à variação de temperatura 47 L
1.3.1 - Caso particular: variação uniforme de temperatura ( ~ ~ 5 0 )52
1.4 - Cálcu!o de deformaçGes devidas a movimentos (recalques)
dos amios 55
- .
2 - Cálculc de deformações em vigas retas - Processo de Mohr 57
2 1 - AplicqXo do processo de Mohr is vigas hipereststieas 64
3 - Cálculo de deformaçües em treliças planas - Processo de Williot 70
4 - Teoremas complementares 78
4.1 - Teorema de Betti 78
4.2 - Teorema de Mêxwell 79
4.3 - Teoremas de Castigliano 80
i
4.4 - Regra de MüUer-Breslau 86
5 - Problemas propostos 89
6 - Respostas dos problemas propostos 100
1 - Introdução -Determinação do grau hiperestitico 104
1.1 - Hiperestaticidade externa 104
1.2 - Hiperestaticidade interna 104
1.3 - Hiperestaticidade total 104
1.4 - Aplicações 105 .
2 - O mbtodo das forças 106

2.1 - As bases do método 106
' - Obse~a$õcs109...-
2.3 - Roteiro p.ara o niétodo das forças 112
2.4 - Aplicações 113
2.5 - Artifícios hiperestáticos para estmtura elástica e geometri-
camente simétrica 152
2.5.1 - Artifício do arranio de careas 153
1.5.1.2 - O artifício 157
2.5.1.3 - Caso de existência de dupla simetria (elástica e geomktrica)
na estrutura 166
2.5.1.4 - Aplicai;áo is grelhas 172 .
7.5.2 - Artifício dos grupos de incógnitas (ou artifício das matrizes
simE!ricas) 182
3 - Estudo dos sistemas reticulados enrijecidos por vigas 196
- Estudo das linhas de influência em estruturas hipereststicas 203
4.1 -- Base teórica do método de resolução 203
4.2 - Roteiro de cálculo 206
4.3 - Aplicaqões 208
5 - O teorema de Menabrea 220
6 6 - Cálculo de deformação em estruturas hiperestáticas - Verificação de
diagramas 222
6.1 - Caso de carregamento externo 222
6.2 - Caso de variação de temperatura 228
6.3 - Caso de recalques de apoio 233
8 - Respostas dos problemas propostos 253
CAPITULO I11 - ESTRüTURAS SOBRE APOIOS ELASTICOS
1 - Apoios elásticos discretos 264
1.1 - Definição dos apoios elásticos 264
1.2 - Trabalho virtual de deformação dos apoios elkticoS 266
1.3 - C~lculode deformações em estruturas isost6ticas 267
1.4 - Resolução de estruturas hiperestáticas 269
2 - Apoios elásticos contínuos 272
2.1 - Introdução 272
2.2 - Vigas de comprimento infinito 274
2.2.1 - Atuaçáo de uma carga concentrada 274
2 2 2 - Atuaçáo de uma carga-momento 282
2.2.3 - Atuaçáo de carga uniformemente distribuída 284
22.4 - Atuaçao de carregamento distribuido qualquer 286
- Vigas semi-infinitas 287
- Vigas semi-infinitas com bordo livre 287
- Vigas semi-infinitas com bordo articulado 290
- Vigas semi4nfinitas com bordo engastado 292
- Viga finita - Processo de Hetenyi 294
- Caso de bordos livres 294
2.4.2 - Caso de bordos articulados 298
2.4.3 - Caso de bordos engastados 299
2.4.4 - Exemplo de aplicação 3M)
2.4.5 - Observações 301
4 - Respostas dos problemas pmpostos 311

Introducáo- ao segundo volume
O segundo volume de nosso Curso, onde são estudados os esforços
eni estruturas hiperestáticas, as deformações em estruturas isostáticas e
hiperestiiticas, e as estruturas sobre apoios elásticos, foi subdividido em três
capftulos, comentados a seguir:
O capítulo I estuda as deformações sofridas pelas estruturas
isostáticas devidas a cada um dos agentes deformantes a que podem estar
submetidas, quais sejam: carregamento externo, variação de temperatura,
movimentos (recalques) de seus apoios e modificações de comprimento
impostas durante a sua montagem. Todo esse estudo é feito utilizandese o
teorema dos trabalhos virtuais.
Enfase especial mereceram, devido A sua grande incidência na
prática, os casos de vigas e treliças, para os quais apresentamos, além do
processo geral de c&lculo (baseado no teorema dos trabalhos virtuais), os
processos particulares de Mohr e Williot.
Finalmente, são estudados diversos teoremas clásicos na Mecâ-
nica das Estruturas, que encontram aplicação neste capítulo ou nos capítulos
subsequentes de nosso Curso.
O capítulo I1 estuda a resolução das estruturas hiperestáticas
elo primeiro dos dois grandes métodos da Hiperestática, que é o método das
forças. São feitas aplicações para Os tipos estruturais usuais, sendo apresen-
tados, a seguir, os artifícios visando i simplificação do trabalho de resolução
das estruturas elástica e geometricamente simétricas (que são as que ocorrem
com maior frequência).
Ainda neste capítulo, são estudadas as linhas de influência e é
apresentado o cálculo de deformações para as estruturas hiperestáticas.
O capítulo 111 estuda os esforços e deformações de estruturas
(isostáticas ou hiperestáticas) sobre apoios elásticos discretos e introduz o
estudo dos mesmos problemas para o caso de apoios elásticos contínuos,
sendo abordadas, neste caso, as vigas de inércia constante sobre base elástica
com coeficiente de recalque constante (que é o caso de esttutura sobre
apoio elástico continuo que mais @corre na prática).
Repetindo o que fizemos na introdução ao Volume I, queremos
chamar a atenção do leitor para a necessidade do trabalho individual de reso-
lução das Listas de problemas propostos ao fim de cada capítulo, como única
forma de realmente sedimentar os conceitos apresentados durante a exposi-
ção do capitulo.

Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradcci-
mentos ao amigo José de Moura Villas Boas, pelo trabalho de revisão deste
volume, e aos demais amigos que, com suas sugestões e estimulo, colabo-
raram na preparação deste trabalho.
Rio de Janeiro, 8 de agosto de 1974
José Carlos Sussekind
CAPTTULO I -CALCULO DE DEFORMAÇÕES EM
ESTRUTURAS ISOSTATICAS
1 - ApIieaq.50 do teorema dos trabalhos Wtuais aos corpos elãstim
1.1 - O de d'brlembert e os conceitos de deslocamento
e trabalho Wtual
i; ]ean d'Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos
de deslocamento e trabalho virtual, estudando o seguinte caso:
P. Ip2
Seja um ponto material m em equilibrio, isto é, submetido a um conjunto
de forgas Pi tais'qiiè sua resuitante $6 nula, conforme indica a Fig. 1-1.
Imaginemos seja dado a este ponto um deslocamento 8 sem a introdução
de nenhuma nova força no sistema, isto é, mantendo = O. Este desloca-
mento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois, para haver
deslocamento real do ponto, seria necessária a introdução de uma nova
força ao sistema, que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m.
Tratemos, entáo, este deslocamento ,), dado nestas condicões. (isto é.. . .
= O), como uma entidade puramente matemática, â qual chamaremos
deslocamento virtyl:
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças Pi (ree)
que amam s$re 0 ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual 6
vale W = 2.6=O. Dizemos, então. que, "pmum ponto material em equilí-
brio (2= 01. O nobalho wml r~liradopelo sistemn de forcas reais em
equilíbrio que atua sobreo,yn*o, w n d o este sofre um deslouimento wtuol
arbih$rio quaiquer, 6 nulo ,o que constitui o princfpio de d'Alembeh
Isso garante a aeitaçzo do novo conceito (trabalho virtual),
pois preserva, para O ponto que sofreu um deslocamento virtual, as suas
duas condições de equilíbrio: a estática (traduzida pela resultante nula) e a
energhtica (traduzida pelo trabaiho virtual realizado nulo).
A pariir destas consideraçóes, poderemos extrapojar os teoremas
I
gerais da Mecânica sobre trabalhos reais para teoremas sobre trabalhos

Cálculo de deformações em estruturas isostáticas 3
virtuais, senão vejamos:
Para um ponto material em equilíbrio, sabemos que o "trabalho
real realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele é nulo"; para este
mesmo ponto, o princípio de d'Aiembert nos diz que "o trabalho virtual
realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele 6 nulo para um desloca-
mento virtual arbitrário qualquer que ihe imponhamos". Bastou, portanto,
substituir a palavra "real" do enunciado da proposição da Mecinica sobre
trabalho (real) realizado por um ponto em equilíbrio, por "virtual" para
obtermos a proposição sobre trabalho virtual realizado por um ponto material
em equilíbrio, quando ele sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer.
Como os corpos rígidos e elásticos nada mais são que um
somatbrio ao infinito de pontos materiais, podemos, imediatamente, enun-
ciar os teoremas sobre trabalhos virtuais a eles aplicáveis, substituindo a
palavra "real" dos enunciados dos teoremas de trabalhos reais relativos a
estes dois tipos de corpos pela palavra "virtual" e, então, teremos:
a) Corpos rígidos:
"Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos
trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que sobre ele a t u m é nula, para
todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos
do corpo) que lhe imponhamos."
b) Corpos elásticos:
"Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de
equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele a t u m é
igual ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes,
para todos os deslocamentos virtuais' arbitrários (compatíveis com os
vínculos do corpo) que lhe imponhamos"
Obsmagões:
a) Diversos autores costumam intitular de princípios aos teoremas de tia-
balhos virtuais relativos a corpos rígidos e elásticos, por estarem eles baseados
no princípio de d'Aiembert. Como, a partir deste principio, podem ser
demonstrados estes teoremas de trabalhos virtuais, em tudo que se seguir
manteremos a denominação de teorema dos trabalhos virtuais.
b) Diversos livros, também, apresentam deduções muito mais sofisticadas
e elegantes, sob o ponto de vista matemático, para os teoremas dos traba-
lhos virtuais; não o fizemos, neste trabalho, por ser nosso objetivo aPre.Sen-
ti-10s sob a feição mais eminentemente física e ~ráticapossível, que facilite
ao leitor a compreensão do conceito de trabalho virtual, a partir qual
resolveremos o problema do cálculo de deformações nas estruturas (corpos
elásticos), o que está feito nos itens a seguir.
c) Não somos pioneiros nesta forma de apresentação do assunto; adotamos,
I Os dedacamentor virtuais arbitrários quaisquer devem ser Pequenosdedocamentos,
pela razão expasta na abrerva@ogdo item 1.2 deste capitulo.
neste caso, a metodologia utilizada pelo prof. Leopoldo de Castro Moreira
em seu trabalho "Curso de Estática das Construçóes" publicado pelo Dire-
tório Acadèmico da Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro no
ano de 1953, por nos parecer a ideal, didaticamente falando.
1.2 - Cálculo de deformaçóes devidasà atuaeo de carregamento
externo - Fórmula de Mohr
Seja a estrutura da Fig. 1-2, submetida ao carregamento indicado.
Em se tratando de um corpo elástico, ela se deformará devido a estas
cargas, adquirindo a configuraçáo esquematizada em pontilhado na Fig. 1-2.
Fig. 1-2 Fig. 1-3
6 evidente que duas seções vizinhas, distantes de ds, terão deformações
relativas devidas aos esforços simples M,N,Q nelas atuantes, deformaçks
estas que denominamnos d9 (rotação relativa de duas seções distantes de ds,
devida a M),A ds (deslocamento axial relativo de duas seçóes distantes de
ds. devido a N), dh (deslizamento relativo de duas seçoes distantes de ds.
devido a Q). Os valores destas defonnaçóes relativas sáo objeto de estudo
na Resisténcia de Materiais, e são dados por:
Mdsd,# = - - Nds x Qds, A d s = - . < ~ h =-ES ' CS '
sendo E: módulo de elasticidade longitudinal do material;
G: módulo de elasticidade transversal;
J: momento de inercia de seção transversal em relação a seu eixo
neutro;
S: área de seção transversal:
X: coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme
das tensões cisalhantes, cujo valor varia com o tipo de seçao.
>I
~uponhamos,para fms de raciocínio, que queiramos cdcuiar
o deslocamento do ponto rn na direção A , ao qual chamaremos o :
Seja, agora, a Fig. E3, onde a configuraçáo da estrutura, apbs a

4 Curso de análise estrutural
-
aplicação do carga P = I , 6 a indicada em traço cheio e quc coincidc com o
eixo da estrutura da Fig. 1-2 quando descarregada. Dandc-se a todos os
pontos da estrutura com o carregamento indicado em 1.3 deslocamentos
virtuais exatamente iguais aos provocados pelo carregamento indicado em
1-2, esta assumirá a configuração deformada (virtual) indicada em pontilhado
(idêntica à configuração deformada real indicada em 7-2).
Apliquemos, então, à estrutura com as cargas e esforqos indicados
em 1-3, e sob os deslocamentos virtuais impostos, o teorema de trabalhos
virtuais aplicado aos corpos el5sticos. que diz ser o trabalho virtual das
forças externas igual ao trabalho virtual das forças internas, para quaisquer
deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura. Temos:
Trabalho virtual das forças externas (cargas e reações):
Wext = P6 (as reações não dão trabalho)
Trabalho virtual das forças internas (Wint):
Será igual à soma dos trabalhos virtuais de deformação de todos
os elementos de comprimento ds ao longo da estrutura e, como estamos
no regime linear e vale o princípio da superposição de efeitos, será a soma
dos trabalhos virtuais de deformação devidos a cada um dos esforços
simples atuantes na estrutura.
Teremos, então, no caso:
Wint = @dP + 1,FMS + Il~ d h , ou, levandoem conta as
expressões da Resistência dos Materiais:
Igualandese, obtemos
expressão esta que resolve o problema.
a) Chegand*se à expressão final, verificamos que, para fmde cáiculo dos
trabalhos virtuais, tudo se passou como se a ~ i g .1-3 nos fornecesse cargas
e esforços e a Fig. 1-2 as deformações. Por esta rafio, elas são denomi-
nadas, respectivamente, estado de carregamento e estado de deformação.
b) A escolha do estado de carregamento deve ser tal que a carga P associada
à deformação 6 ,que se deseja calcular, nos forneça um trabalho Wtual
I
1 Cálculo de defomqües em estruturas isostáticas
de forças externas igual a PE .Ele é, pois, funqão da deformação a calcular
e pode ser, comodamente, tabelado para OS Casos práticos usuais. o que
está feito na tabela I.
C) O estado de deformação pode ser provocado por:
- carregamento exterior
- variação de temperatura
- movimentos (recalques) de apoios
- modificações impostas na montagem
Neste item, estudamos a primeira das causas; as outras serão analisadas,
de. forma inteiramente análoga, nos próximos.
d) NO caso mais geral (estruturas no espaço), teríamos a acrescentar ao tra-
balho virtual das forças internas aquele do momento de torção, que vale:
I
I
Jt o momento de inércia à torç%oda seção da peça e que está tabelado,
I
para as seções mais usuais, na tabela XVI. Notar bem que Jt +J (mo-
mento de inércia polar), para as seções mais gerais; só temos Jt =.f, para
I algumas seçóes especiais, tais como círculos, anéis circulares. etc.
Desta maneira, sob forma mais geral, o cálculo de. deformaçóes em
estruturas devidas a carregamento exterior atuante, é resolvido pela
expressão (Ll), instituída por Mohr,
I d o o estado de carregamento definido pela tabela I.
I e) Para as estruturas com que lidamos usualmente na prática, podemos
acrescentar as Seguintes informações, de grande valia na simplificação
do trabalho numérico do engenheiro:
- A parcela
a :
pode ser, usualmente, desprezada em presença das demais, com erro
minimo (somente em caso de vãos muito curtos e cargas muito elevadas,
a influência do esforço Cortante apresenta valor considerável).
- Também com erro tolerável, podemos desprezar a parcela
para peças de estruturas que não trabalhem fundamentalmente ao
esforço normal. (E evidente que não o podemos fazer, pois, nosca-
sos de arcos, escoras, tirantes, barras de treliça, pilares esbeltos e
peças protendidas em geral.)

TABELA I - Esmlha do Estado de Carregamento
Deformacão 6 a calcular Estado de Carregamento
1. Deslocamento linear de um ponto
rn numa direção A
G = 1
2 Rotação da tangente B elástica numa
seção S
3. Rotação relativa das tangentes à elástica numa
rótula,de 2 barras i e j
4. Rotação relativa das tarqentes à elástica em
2 secíies S e S' de uma barra
p = -
5. Rotagão absoluta de uma
corda AB
(ÃB=II
6. Rotação relativa de 2 cordas
AB e CD
(nii= I ; CD= I2l
7. Variação do comprimento da corda
que une 2 pontos A e B
-
P= 1
i*I O$ ertador de earnigarnento tabelada G o tais qu, nos Como tra-
balho virtual das forgag externas o valor 1 x 6.
-
Cáido de deformqíks em estruturas isostátieas 7
0uso destas sVnpIiifi&es deve ser feito, enfretanto. com muito cri-
tério e somente m casos induvidososSa fim de se evitar possiveir mos
grossebos Em caso de dúvida, devem ser computadas numericamente
todas as parcelas, a fim de ser possível a avaliação de sua importância
relativa.
f ) Conforme veremos mais adiante, para estruturas compostas por barras
retas de in6rcia constante, a resolução da
11 "se obterrl por um simples uso de tabela (V. tabela 11), em função dos
aspectos dos diagramas M e IÜ,o que simplificará enormemente o
trabalho num6nco dos problenqs a solucionar.
g) Queremos chamar a atenção para o fato de que os esforços foram calcula-
dos para o eixo indefomdo da estrutura. Quando atuar o carregamento,
este eixo se modificará, evidentemente, e os esforços sofrerão uma
variação que poderá ser desprezada, caso a deformação sofrida pela
estrutura seja pequena (o que, de fato, ocorre para as estruturas usuais).
É o que fmmos no caso e, portanto, em tudo que se segue (bem como
em tudo que se viu até aqui) estaremos estudando a Análise EStniturd
das pequenas defomaç6es.
1.2.1 - Apiiqóes imediatas
Ex. I-I -Calcular o deslocamento horizontal deD, para o quadro
da Fig. 14, que tem E3 = 2x 104tm2 para todas as bar-
ras.
Em se tratando de quadro plano, que trabalha fun-
damentalmente à flexão, teremos:
a) Da tabela I, obtemos o estado de carregamento da fig. 1-5:

b) Wtado de deformação
Curso de d i s e e s t n i t d
I CXInilo de deformações em esmthuas isost5ticm
c) Cálculo de 6:
Sendo EJ constante, temos:
EJ6 = .M-ds = MMMMds+ MM-ds + M-ds
b b b bComo, para a barra QI ,M = O, a expressão se simplificapara
EJ6 = + bMMdS
Lembrando que cada uma destas integrais representa trabalho
de deformação na barra correspondente e, lembrando ainda que trabalho
independe do sistema de coordenadas adotado, podemos escolher livremente,
para cada barra, um sistema de coordenadas para fms de cálculo das inte-
grais. (E evidente que devemos nos guiar, nesta escoiha, pelo critdrio de
obtenção de funções de fácil integração.) Escolhidas as abscissas indicadas
nos diagramas, obtemos finalmente:
(Os sinais negativos se devem ao fato dos diagramas M e tracionarem
fibras opostas, nas barras @ e @ .)
Interpretemos o resultado: sabemos que o valor 6 encontrado
simboliza o trabalho virtual pij = 1 x fj .Sendoseusinalnegativo, indica que
os sentidos de P e de 6 se opõem e o deslocamento vale, portanto. 7,88mm,
para a direita de D.
E r I-2 -Calcular a rotação relativa das tangente a ebtica na
rótula C, desprezando o trabalho da barra curva ao
esforço normal, para a estmtura da Fig. 1-7.
(ES)tirante = 10%
Fip. 1-7
A
tirante
Temos:
a) Estado de carregamento: conforme a tabela I, temos:
M = ~ s e n 6( O g B < n )
Fig. 1-8
b) Estado de deformação
12t
Fip. 1.8
l t
Sáo dados: (EJ)barra curva= 2 x I@&

(O sinal positivo indica que a rotação relativa 6 no sentido r ) .)
Ex 1-3- Calcular a rotaçgo da corda BC da grelha & Fig. 1-10.
cujas barras têm
Fig 1-11
Fia 1-12
c) Cálculo de 6 :
6 = 7,875 x 10.3 rad
(O sinal positivo indica que o sentido arbitrado para o estado de carrega-
mento corresponde ao da deformação.)
(Caso de compostas par barras retas com inercia
constante.)
Seja o quadro da Fig. 1-13, cujasbarras tEm as inercias constantes
1' indicadas na figura.A defornacão 6 devida ao trabalho i b ~ ã oV&:
Temos:
a) Estado de carregamento:conforme o tabela I, vem:

Sendo Jc uma indrcia arbitrária, chamada inbrcia de compa-
raça0 (que usualmente 6 arbitrada igual à menor das in6rcias das barras),
temos:
Em hinçáo dos diagramas M e M em cada barra, tabelaremos os
valores de:
Jc
Ibarra
M M ~ S
barra
que, somados para todas as barras das estruturas, nos darão o valar
EJc 6, a partir do qual se obtdm, imediatamente, o valor da deformação
sdes?j&
Vejamos o caso geral a considerar, para estruturas compostas
.por barras retas:
Conforme a tabela I, vemos que os diagramas no 'estado de
carregamento serão sempre compostos de trechos retilíneos para estmturas
compostas por barras retas. Os diagramas M no estado de deformação
podem ser quaisquer (função do carregamento atuante). O caso geral será,
portanto, o cálculo do valor
sendo M retiiíneo e M qualquer. Temos, para uma barra de inbrcia Ji e
comprimento li, conforme indica a Fig. 1-14:
a + li
Mxdx 6 oDa Geometria das Massas, sabemos que
a
momento eststico da reaM .em relação a0 eixo y, numericamente igual
ao produto da hrea A do diagrama M pela distância i de seu centro de
Mgravidade ao eixo y. Ficamos, entáo, com:
Jc
que desejamos tabelar C igual ao produto de -pela área do diagrama
J;
qualquer e pela ordenada, na posição de seu ientro de gravidade, lida
no diagrama retilíneo.
A expressão 1-3 C atribuida ao nisso Vereschaguin.
A partir dela, podemos instituir os valores para os diversos casos
particulares apresentados na tabela 11.
A título de apiicaçZo imediata, estudemos os casos seguintes:
a) Combinação de M e retilíneos:
Fig. 1-16

Cuiso de análise estrutural I .
Chamando-se I'Je= I : , de compiimento elástico da barra i
J:
e que é o compkmento fictício de uma barra de inércia J, que nos dá a
mesma defonnaçáo da barra de comprimento li e in6rcia J , , temos:
Os casos de diagramas triangulares e retangulares saem. eviden- i
temente, como casos particulares deste.
b) Combinação de retilineo com M parábola d o 2P grau:

16 . Curso de anáiise estmtural Cáicuio de defotmaç&s em estruturas isostáticas 17
1.2.3 - Aplicações às estnihuas usuais da prática
@I-?- Calcular a rotaçzo da tangente à elistica em E, para 1
a estrutura da Fig. 1-17.
> L, ,., - Dado: EJ, = 2 x 104 tml
4m Fig. 1-17
A
-
Ç 3m. ?(L 3m +3m +3m +
Temos:
a) Estado de carregamento
0.5mt
C) Cálculo de 6 :
Temos, empregando a tabela 11:
- Para barra @
Fig. 1-18
I
b) EEtado de deformação it,m

18 a n o de análise eshtural
6 = - 1,4 x 104 rad (O sentido correto é, pois o anti-horário.)
Observação:
No caso deste exemplo, a combinação dos diagramas poderia ter sido feita
diretamente, pois as parabolas terminam com tangente horizontal que
o esforço cortante é nulo), e este caso está tabelado; não o fizemos, entre-
tanto, para ilustrar o procedimento a adotar no caso de tal não ocorrer.
Ex. 1-5'- Calcular a rotação da corda CD para a grelha da Fig.
1-20. São dados:
--EJ - 2; ; H = 2 x 105tm2
=-'t (todas as barras)
,
Fip. 1-20
Temos:
l P = ' t6
Fig. 1-21
I Cálculo de defonna@es em estmtum isost6ticas
I
b) Estado de defornação
1"
:. 8 = 1,005x l u 3 rad (O sentido arbitrado no estado do
carregamento está cometo.)
Ex. 1-6- Calcular a rotação da tangente i elástica em A para
a estrutura da Fig. 1-23, que tem EJ = 104 tm2,
constante para todas as banas do quadro e cujo
tirante tem ES = 0.5 x 104t.
.- Devido à simetria existente, escolheremos o estado de carre-
g e= gamento indicado na Fig. 1-24 e que nos fornecer8 como resposta a soma da
h, I' rotação em A com a rotação em B. igual ao dobro de cada uma delas
L

20 CUROde análise estmtural
(devido i simetria). Temos, entáo:
a) Estado de carregamento:
Fig. 1-24
M = lmt
M- lmt
Não importa o aparecimento de um esforço de compressão no tirante
no estado de carregamento, pois este não tem existéncia física real.
b) Estado de defomlação:
c) Cálculo de 6 A:
Temos:
2W6A = MMds + Nnds
/quadro Itirante
= -20 -42,66 = -62,66
6 A = -3.13 x 103 rad (sentido correto I? n)
1-7-Calcular o deslocamento horizontal do ponto C provo-
~ d opor um encurtamento de 2 cm imposto ao tirante
& Fig. 1-26.
l t E F
b) Estado de deformação: Dado pelo encurtamento de 2 cm n o
tirante (M.yN= Q=O, pois trata-se de uma estrutura i~o~thtica,
que 6 livre à deformação).
c) Cálculo de 6 :
Trabalho virtual das forcas extemas:PS = (11 6
2Trabalho virtual das forças internas: Ntir. ncUtamento =

= flt (-2 cm) -Igualando, vem: = -242 cm (sentido correto: )
Ex. I-8 - Para a treliça da Fig. 1-28, cujas barras têm, todas,
ES = 104t, pedem-se:
I?) Calcular o deslocamento vertical de A para o canegamento
indicado.
20) Calcular que modificação de comprimento deve ser dada i
barra a durante a montagem para que, quando atuar o
carregamento, o pontoA fique no mesmo nível de B.
3m Fig. 1.28
I?) Cálculo de deslocamento vertical deA.
a) Estado de deformação b) Estado de carregamento
Fig C29
c) Cálculo de 6 A :
NF~S r. ES 6A =X (NS Ib,)
bana
Organizando um quadro de valores, temos:
1 NOta:
,
I Se cada barra tivesse área diferente teríamos, evidentemente
1 2P) Cálculo da variação de comprimento da barra a :Nosso
objetivo com esta variação de comprimento é fazer com que o ponto A
tenha uma deformação de (-6A) para que, quando for somada i defor-
I mação 6 A devida ao carregamento, a deformação final seja nula e t e
nhamos 0 ponto A no mesmo nível de E.
Formulemos o problema em termos de teorema de trabalhos
virtuais:
Empregand- o mesmo estado de carregamento do item ante-
rior, vamos dar uma variaçzo virtual 6' de comprimento 3i barra @ tal que
o ponto A tenha um deslocamento (tambCm virtual) de (dA). Teremos:
Trabaho virtual das forças externas: = -(1t)(1,05 cm)
Trabalho virtual das forças internas: B56'= (- f l )6'
Igualando, obtemos: 6' = m=0,74 cm
rr

A barra 5 deve ser montada, pois, com um comprimento 0,74 em
superior ao seu comprimento teórico.
a) Este exemplo visou mostrar a forma pela qual podemos dar
contra-flechas em treliças, que consiste em montar alguma(s)
de suas barras com uma variação adequada de comprimento.
b) O problema pode ser resolvido variandc-se o comprimento
de qualquer (quaisquer) bana@) da treliça, desde que seu
esforço normal N seja diferente de zero.
1.2.4 - Casos de barras com inércia variável
Para calcular fl?
para barras de inércia variável, dividiremos nosso estudo em 3 casos:
1.2.4.1 - Barras curvas com inércia variando segundo a lei IJm
J cos V
= I (conforme a Fig. 1.31):
Fig. 1-31 -. f-
JmTemos J =- sendo I,,, a inércia na seção de tangente hori-
cos V
I
zontal. Dai vem:
dr
COS '4 = MMdx (1-4)
EJc 6 =Jc md~-jC 1: "-
i. -Jm Jm
cos 'P
I.'
Tudo se passará, portanto, como se a barra tivesse comprimento
I, inércia constante igual a J, e, para fins de combinação dos diagramas,
eles deverão ser traçados a partir de uma reta horizontal, podendo ser
aplicada a tabela I1 (pois a integração dos mesmos se fará ao longo do eixo
dos x, conforme 14, e não ao longo do comprimento da barra curva).
Ex 1-9 - Calcular a variação da corda CD para a estrutura da
Fig. 1-32,
Sáo dados:
Barras 1 e 2: J=Jc
J~ .sendo JM =2 JcBarra curva: J =-
tos P
4m
Fig 1-32
grau
1 4m
I
Temos, desenhando os diagramas na barra curva a partir da reta
horizontal de substituição:
Fig. 1.33

26 Cum de análise estrutural
b) Estado de deformação:
Fia 1-54
c) Cálculo de 6 :
As combinaçóes de diagramas nos fornecem:
Paraasbarras a e 0 : 2 ~ ' ~ 4 x 2 ~16 = 85,3
3
curva
(l"8 rn)
6 = 1.37cm (a corda aumenta).
1.2.4.2 - inércia variando em mfsula
Emprego das tabelasIII a X V p m cilculo de Jc
Para barras cuja altura varia segundo as leis esquematizadas na
Fig E35 (mantendo-se constante a outra dimensão). divenos autores tabe-
laram os coeficientes necessários i obtenção de deformações (tabelas 1V
a XV) provocadas pelos carregamentos usuais (cargas concentradas e uni-
formemente distribuídas).
Não nos deteremos aqui apresentando justificativas para o roteiro
Cglculo de deformap" em estruturas isost8ticas 27
a adotar quando do emprego dessas tabelas, pois o problema (tebrico)
já está bem definido e o caso em questão 6 , apenas. o cátculo nu-
mds
que ser8 feito dentro do roteiro de eálculombrieo de .i, -;-I
J *
instituído por estes autores, resumido na tabela 111, para as leis de variação
de altura da barra indicadas na Fig. 1-35 (que são as leis de variação de
altura mais usuais para pontes com inCrcia variável).
As leis de variação de altura tabeladas2 sxo:
I
a) Misula reta assimétrica
I 1 .
Jmáx 1 Jmin
I
p%reta t
+ a -4 I
b) Misula parabólica assim6trica
par. do 2.O grau
c) Misula reta simétrica
Jmáx Jmáx
d) Misula parabólica simétrica
Fi* 1.35
2 O estudo original

.
ar.-
$
- 3 "*.a
0 g.5: :SE i z g E$? E;! gEE C;? gsz $65 cR* 23- *"- m * z e93
o :,a - a * --"?--a ...--- -8- 8:s m m - --..-L- 0 " - " W .
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n -.-- --- $;r zzn ~ $ 5gsz ;+?IK~C 22- e?- e 3 5 8-3 :;E ;s+ ~ ~ 3 sD -

T A B E U XII
-*h- 4,. .h
"an. r". e, "" B lids
J A ' ~'
9.n
A
e" = -
'A

aplicaçóes seguintes esclarecerão:
1-10- Calcular o deslocamento vertical de A para a viga de
Fig. 1-36. Todas as banas são mísulas retas com
/,,,in = e = 5 J,.
E dado EJc = 2 x 104 tml.
B C
Fig. 1-36
Temos:
- Fig. 1-37
P= 11
c) Cálculo de 6 :
I Conforme O roteiro indicado na tabela 111, obtemos:

42 CURO de análise estrutural
Para a barra a
3 Jc(mls reta assimdtrica): A = -= 1. n = --
3 ' -0,2; 1' = I --=
5 Jc
J~ 3 m
Jm,
Tab. IV
- 3x 3~ 4 . 5x O,W8 = +4,0
al=o,098
Tab. VI11
--3xlx9r3x0,0153
al=o,ol53
Obsemçóo:
Note o leitor que basta conhecer a linha de fechamento do diagrama M
para o cáiculo de S.
Para a barra a
(mis. reta simdtrica): X =
/ 3mt
Tab. VI
--r 12~3~4.5~0.241=+39.1
a=0,241
-,
S 4 + + + + )
I tlm Tab. X
- -3 x 1 x 12' x 12x 0,038= -197.2
ai -0,038
A
3mt
A
EJ, 6 =4,0 - 1,2 + 39,l - 197,Z - 126,2 = -281,s
'
& = - 1,4cm (o ponto A sobe).. .
EX 1-11 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto A para
o quadro da Fig. 1-39. Todas as banas têm a inércia
máxima igual ao quíntuplo da mínima, sendo que
as barras verticais têm Jmín= Jc e a horizontal
Jmín = 2 J,. 6 dado EJc = 104 tm2.
Fig. 1-39
(ObserwçZo preliminur: Para se definir o valor extremo da inércia de uma
barra, devemos prolongar sua lei de variação até o eixo da próxima barra,
definind-se a altura extrema por esta interseção, conforme está feito na
Fig. 1-39.)
Temos:

44 Cuiso de anáiise est~turai
Fig. 1-41
C) Cflculo de 6 :
Conforme o roteiro indicado na tabela 111, obtemos:
Para a bana ,@ :
(mís reta simétrica): 81 = 2= 0,2; = 0 , ~ ; 1. = 5
1o
Para a barra @ :
(mís. reta assimétrica): X = I; n =0,2; I'= 5
nc6 = 197 +49 = 246
.'. 6 = 2,46 im (para a esquerda)
1.2.4.3 - Caso de variação aleatória da inércia
NO caso da inércia náo variar segundo nenhuma das leis estudadas
anteriormente, teremos que calcular
por integraçáo aproximada.
O problema será, pois, calcular
- Jc
1, qdx sendo q =h@f-.J
Uma das maneiras de resolvê-lo será através do empregoda regra de Sipson:
Dividindo-se o v%o1 da barra num número n (par) de intervalos
Ax. temos:
A aplicaçãoseguinteesclarecer.5.
Ex l-12- Caldar a rotação da tangente à elástica em A
para a viga da Fig. 1-42. submetida ao carregamento
indicado. A seção é retangular, com base de 40cm
e altura variável conforme a figura. É dado:
E = 2,l x 106 t1m2.
4 i I r A i
6 0 4 x 1 ~ -Adotando EJc = 2.1 x 10 x - L -12
< . I . , . ,. - 4= 7 x 10 tm*., , I ' . '
. ...- ....
, temos:
106
108 Y.0 276.0
18
Fig. 1-42 0121
Vem, ent~o: E J ~6 = 387,4 x&= 2 387.4 = 258 2 = 387.4
3 3
:. 6 = 3,68 x 1 0 - ~rad

TABELA XVI - CÁLCULO DA I N ~ R C I AJ ~ ATORÇÃO
O b s e ~ f l o : Para peças de concreto armado, dependendo do grau de
fissuraçá0, a inércia Jt torção pode cair para at6 15%
dos valores indicados nesta tabela.
1.3 - Cálculo de deformações devidas à variaç-Sode temperatura
Seja a estrutura isostática da Fig. 143, cujas fibras externas so-
frem uma variação de temperatura te e cujas fibras internas uma variação
ti em relação à temperatura do dia de execução da estrutura. Ao lon-
go da altura das barras da estrutura, a variação de temperatura entre as
fibras externas e internas pode ser considerada linear (os ensaios em labo-
A t- h
'.
Fig. 1-43
Estado de ddoimaqão: Erforto. nulos Defornafim relativsr J dp = a6.- te) ds
I dh=O
h
ratório assim o autorizam), de modo que, no estado de deformação, duas
seções distantes de ds tendem a assumir a configuração deformada de Fig.
1-44.
Vemos então, que duas seções distantes de ds sofrem um mo-
vimento relativo composto de .duas partes:
a) deslocamento axial relativo de Ads =arg ,ds, sendo tg a
variação de temperatura no centro de gravidade em relaçáo
ao dia de execução.
Fig. 1.44
-
b) uma rotação relativa dip = i t e c r ~ t
h ds =-- h ds,

sendo or o coeficiente de dilataçzo linear do material.
Suponhamos, para fm de raciocínio, que desejemos calcular O
deslocamento do ponto m da direção A : O estado de carregamento seri
o da Fi& 1-45 e o teorema dos trabalhos virtuais se escreverá, então, quan-
do dermos a todos os pontos da Fig. 1-45 deslocamentos virtuais exata-
mente iguais aos provocados pela variação de temperatura:
Fis 1.45 - Estado de mrmmsnm:
Supondo as barras com seção constante, temos:
se identificam com as áreas dos diagramas de esforço normal e de momento
fletor no estado de carregamento e temos. então:
- n
P S = a tg A-+%N h AR (Sendo as barras de seçzo constante) (1-5)
A
Observações:
I
I?) Se as barras não tiverem seção constante, teremos eviden-
temente:
F6=oi / N t g d s t a A t
k (1-6)
2.O) Para emprego das expresses (1-5) ou (M),adotaremm
seguintes convençõesde sinal:
fi$eriipositivo quando de tração
- j@ serh positivo quando tracionar as fibrasinternas da estru-
tura
- As variações de temperatura ti, t, tg serão positivas quando
se tratar de aumento de temperatura (notar queAr =(ti-te).
3.0) O valor de 6 não 6, evidentemente, afetado pela existêc-
cia de esforços cortantes ou momentos torçores no esta-
do de carregamento.
As aplicaçües seguintes esclarecerão:
O 1-13- Calcular o deslocamento horizontal do ponto B se
a estmtura da Fig. 146, cujo material tem
a = 10.5 /OC
e cujas barras têm seção retangular de 0,s m de
altura, sofrer a variação de temperatura indicada na
figura, em relação ao dia da sua execução.
e:.-"II"O." +... .
rg-+3O0C
"--.. ,,=+1o0c
Fig. 148 Fíg. 1.47
Sendo diagramas IÜe N no estado de carregamento, os in-
dicados na Fig. 1-48, teremos, levando em conta a expressáo 1-5,e o esque
ma da Fig. 1-47:

O ponto B se deslocará, pois, de 6,58 cm,para a direita.
Ex 1-14- Calcular as defomaçCks seguintes, para a grelha de
Fig. 149, cujas barras têm seção retangulir de 0,sm
de altura e cujo material possui
a = l o - S / ~ c ,
se suas fibras superiores forem aquecidas de 20 OC
e as inferiores tiverem mantida a sua temperatura
em relação à do dia de sua execução.
A Fig. 1-49
+ 4m -+'
1.O) Rotação da corda BC perpendicular ao plano ABC.
2.0) Deslocamento do ponto C na direção BC.
Temos:
1.O) Cálculo da rotação de BC perpendicular ao plano ABC
Sendo o estado de carregamento o de Fig. 1-50, obtemos:
2.') Cálculodo deslocamento de C na direçãoBC:
Trata-se do cálculo de uma deformação numa estrubira plana
devida a
("O plano da estrutura náo h&variação relativa de temperatura).
~ ~ m ~ ~ ,a partir do estado de carregamento de Fig. 1-51: /
Fig. 1-52
A
Devido à simetria, sabemos que as m t a ç b em A e em B S o
iguais e tmios, entxo, a .partir do estado de carregamento da Fig. 1-53:
N - O
M= lmt
lmt M= lmt lmt -

A rotação da tangente à elistica em A vale, então anRt,
h-
no sentido horário.
1.3.1 - Caso particular: variaflo uniforme & temperatura
( A, = 0)
Seja calcular o deslocamento do ponto m na direção A , devi-
do a uma variação uniforme de temperatura tg atuante, para a estmtum
de Fig 1-54:
Temos, a partir de 1.6:
sendo r$ o hgulo formado por RA com a tangente ao eixo d a estrutura
numa seção genérica do trecho A - rn e y o ãngulo entre R g e a tangen.
te ao eixo da wtruiura numa seção genérica no trecho B - m.
Ora, as integrais acima podem ser reescritas sob a forma
-,= Trabalho realizado por RA ao percorrer a trajetóna A - m
-+
= Trabalho realizado por RB ao percorrer a trajetória B - m
adode ,jefotmaç&s em estruturas isoststicas 53 I
se tratando do regime elástico, estamos diante dc um cam.~
po conservativo, para o qual sabemos, da Mecinica Racional, que o traba-
lho independe da trajetória, dependendo apenas de seus pontos extremos.
L ~ ~ ~ ,as integrais ser calculadas para qualquer trajetória que cm.
tivesse os oontos A, B, rn Tal nos permite concluir:
pma o cólmlo de deformação numa estrutura isostórica devida
o ,, wnnyóo de temperatura. podemos substituir a eshutura
epor oum desde que contenha os mesmos vínculos e pon-
tosdeaplicgcãode cargo do estadode crnregomento.
1-16- Cdcular o deslocamento horizontal de B devido a
um aumento uniforme de 20 OC, para o quadro de
Fig. 1-55.
I
n-Bi mo:oi = 1o-s/oc
A
7 10m Fia. 1-55
0 s pontos indiinsáveis de passagem da estrutura de substitui-
ç%oS o os vindos (A e 8)e pontos de aplicação de carga no estado de
carregamento (E, no caso). Ficamos, então, com:
6 = a t g A ~ = 1 0 - 5X ~ O X10 = 2 mm
(para a direita)
E* 1-17- Caldar a variaçXo de comprimento da wrda AC
devida a m a diminuiçáo de 3 0 0 ~ .para a es-
trutura de Fig. 1-57.

I 54 Curso de análise estmtural
Fig. 1-57
A estrutura de substituição mais conveniente no caso seri a de
Fig. 1-58. a partir de qual obtemos:
ado& defOnneqõcsem estruturas isostáticas
55
A de substituição mais conveniente será a de Fig. 1-60.
a partirde qual obtemos:
Fig. 1-60
6 = 10-5(-301(-1 x 51 = 1.5 mm de encurtamento
I
1.4 - Cáicuio de deformações devidas a movimentos (recalques)
6= 1 0 . ~(-30) (-1 x -@) = =,o2 mm dos apoios
(encurtamento)
seja a estrutura de Fig, 1-61 cujos apoios sofrem os re~dques
co&ecidos3, nela indicados. Se quisemos calcular deformações provocadas
J P = l t por esses recalques, já sabemos como instituir o estado de carregamento e
já sabemos que daremos, neste estado de carregamento, deformações vir.
A tuais a todos os pontos da estrutura exatamente iguais às existentes noes-
tado de deformação.
- - - - I
Fia. 1.68
-
Ir-I AjTIB'' '18 - c d ~ d a ra r u i a ~ l ode comprimenm da mrda BD
devida a uma diminuição uniforme de30 OC, para a
' -)PAV
r*,, o--+4"estrutura de Fig. 1-59:
Dado: ct = I O - ~ / O C Fie. 1.61 - Estadodedeiwmsqio lhfoyra a d d o r m w õ ~nditivas nula)
1Fig. 1.59
+2m X 2m +-
Aplicando, então, o teorema dos trabalhos virtuais, teremos
qualquer que seja o estado de carregamento:
Trabalho virtual das forças externas: P6 t ZRP, sendo R
as mações de apoio no estado de carregamento e P os recalques a elascor-
"SPondentes no estado de deformação.
Trabalho virtual das forças internas: nulo, visto que as defor-
3 Calculados p l a Mecânica dos Solos

56 Cum de mase estrutural
mações relativas no estado de deformação são nulas.
Igualando o trabalho virtual das forças externas ao das forças
internas, obtemos
P6 = - Z R p (1-7). expressão que resolve o problema.
Ex. 1-19- Calcular a rotação relativa das tangentes 'a elástica
em E devida aos recalques indicados, para a estru-
tura de Fig. 1-62.
Fig. 1.62
Temos as reações R no estado de carregamento indicadas na
Fig. 1-63, a partir das quais obtemos, pelo emprego da expressão 1-7:
(O sentido arbitrado foi correto.)
Ex. 1-20- Calcular o deslocamento vertical do ponto A da
grelha da Fig. 1-64 devido a recalques verticais de
cima para baixo de 2 cm em i3 e F e de 4 cm em D.
Aproveitando a simetria, as reações de apoio no estado de car-
~sgamentosão as indicadas na Fig. 1-65, a partir das quais obtemos:
2 a A = - E R p = - 2 x 1(-2x10-2) = 4x10-2m
O ponto A descera, então, de 2 cm.
ibserwçâò: Os recaiques de apoio ocorrem, evidentemente, devido ao carre-
gmento atuante; para calcular as deformações que o conjunto karregamen-
o + recalques)-provoca na estrutura, preferimos usar o principio da super-
msição de efeitos, calculando inicialmente, pela expressão (I-I), as defor-
nações devidas somente ao carregamento e, a seguir, pela expressão (1-7),
iquelas devidas aos recalques. somando finalmente osdois resultados obtidos.
1 - Cálcdo de defomsçksem vigsretas -Rocem de Mohr
Embora se tratando de um caso particular, desemiolveremosnes
te tópico um processo, idealizado por Mohr, que nos permite obter, sem
aplica~ãodo teorema dos trabalhos virtuais, a elástica de uma viga reta
.A ênfase especial que atamos dando a este caso particular sejustifica pe-
la grande incidência com que ocorrem, na prática, as vigas retas e pela pos-
Qbilidade que este processo oferece de obtermos, de uma sb vez, a elástica.
Sabemos,da Resistência dos Materiais, que a rotação relativa
devida flexão, de duas seções de uma viga distantes de ds é dada por
"P=& conforme indica a Fig. 1-66,
E J '

V I
Fig. 166
Por outro lado, do Cálculo Intinitesimal, sabemos que a
d9curvatura de uma curva plana y =y(x) igual, por definição à relação -
dspara a curva - referida a um sistema xy como o de Fig. 166 6 dada por
dP-=- Y"
ds ( 1 + ~ ' = ) ~ / 2
A elâstica y =y(x) de uma viga fletida seri, então, obtida da
equação diferencial - Y" =-.M Como estamos tratando da
(1+y'2)312 EJ
Análise Estmtural no âmbito das pequenas deformaç&s, o valor y gpode ser desprezado em presença de unidade e teremos, ünalmente, a equa-
ção diferencial da elástica para vigas retas dada por
-
Observando a analogia matemática entre a equação diferencial
da elástica (1-8) e a equação diferencial fundamental da Estática $.$ = -0 ,
dxL
Mohr teve a genial idtia de encarar y como sendo o momento fletor numa
viga (a que chamaremos viga conjugada, e cuja determinação depende da
análise das condições de contorno do problema), carregada com uma car-
ga distribuída cuja taxa de distribuição t M , sendo M o momento fletor
atuante na viga dada. EJ
Empregando-se o processo de Mohr, estaremos fazendo as
seguintes analogias:
Resumindo, temos:
Rotação na viga dada = Esforço cortante na viga conjugada
Deslocamento vertical da viga dada=Momento Fletor na viga
conjugada
A determinação da viga wnjugada será guiada pelo respeito às
wndiç&s de contorno do problema dado, em função da formulação adota-
da para sua resolução (encarar a elástica como um diagrama de momentos
fletores na viga conjugada) e resultará de uma simples transformação dos
vinculos da estrutura dada conforme indicam os exemplos a seguir:
a) Seja, por exemplo, um apoio extremo do l? gênero A exis-
tente na viga dada conforme indica a Fig. 1-67. Sabemos
que a seção da viga situada sobre o apoio do l?gênero terá
deslocamento vertical nulo (y = O) e rotação livre (9# O),
já que este apoio só impede deslocamento vertical. Assim,
devemos ter na viga conjugada em A um vínculo tal que t e
nha momento fletor nulo (pois este representará o deslocs
Ae-$ Fig. 1-67
mento vertical de A) e esforço cortante diferente de zero
(pois este representará a rotação que sofrerá a seção); este
vínculo será, então, outro apoio extremo do 1P gênero.
b) Seja, agora, .uma rótula intermediária B existente na viga da-
da, conforme indica a Fig. 1-68, A seção B poderá sofrer um
deslocamento vertical (já que não existe apoio do I? gênero
sob ela) e terá rotações das tangentes à elástica diferentes à
B
Fig. 1-68
esquerda e à direita da rótula (pois que a mesma libera as
rotações de um lado da viga em relação ao outro). Assim,
devemos ter em B, na viga conjugada, um vínculo tal que
apresente momento fletor diferente de zero e esforços cor-
tantes diferentes à sua esquerda e direita; este vinculo será,
então, um apoio intermediário do l'? gênero.
Raciocinando de maneira inteiramente análoga para todos os
outros tipos de vínculos que podem aparecer numa viga reta, teremos ins-
tituída a tabela XVII, através da qual passaremos da viga dada à viga wn-
jugada. (Nesta tabela indicamos na coluna extrema da direita, a titulo de
explicação, as condições de contorno que guiaram esta transformação de- .
vinculo.)
Ficando determinada a viga conjugada o problema está, então,
resolvido.
Obsemções: a) A viga wnjugada de uma viga isostática será sempre isos-
tática Os exemplos das Figs. 1-69 a 1-71 esclarecem.

60 Cuiso de análise estmtural U(lculo & deformaç&s em estmtum isostáticas 61
- 6----7
.e,h. ,,,,,,,,,,,,I,,
b) A viga conjugada de uma viga hiperestática será hipostática (a não ser
L ,.,.,,~,.~.. Fip. 1-69
em alguns casos de vigas hiperestáticas, submetidas a determinados recal-
ques de apoio, conforme os exemplos 1-26 e 1-28 deste capitulo), mas seu
-v,,,8 ,,,,,c,, nipi 1-70
canegamento MJEJ será sempre tal que a viga conjugada fique em equili.
",,/I I"I.IU,.,<I.,
brio (impondose esta condição às vigas conjugadas das vigas hiperestáticas
nlI1lI., ãig. 1.71 -u,+n co,,,n,e.,
restáticas, conforme ilustrarão as aplicações feitas no item 2.1 deste tópi-
ficaremos,até.emcondiçóes de obter diagramas solicitantes em vigas hipe-
co), pois, como existe uma deformada real, estável, para uma viga dada hi-
perestática, e wmo esta deformada é obtida a partir de sua viga conjugada,
esta última terá que estar submetida sempre a um carregamento em equi-
líbrio.
Tabela XVii - Transformação de vínculos para obtenFo da viga conjugada
N~~ ~igs.1-72e 1-73 apresentamos exemplos deste tipo de vi-
gas wnjugadas.
-viga dada viga conjugada
Fip. 1-72
P -viga dada viga conjugada
Fig 1-73
c) Quando formos carregar a viga conjugada com o carregamento cuja taxa
de distribuiçáo é = -M , sendo M o momento fletor atuante na viga da-
EJ
da, a um momento fletor M positivo na viga dada (tracionando as fibras
inferiores da viga) conesponderá, evidentemente, uma carga distribuída 9
Positiva (de cima para baixo) na viga conjugada.
d) O metodo de Mohr se aplica integralmente, às vigas com inkrcia variá-
vel. Neste caso, apenas, as funçóes q = serão mais complexas.
EJ
Ex-1-21 - Fazer um esboço da elástica para a viga da Fig. 1-74
que tem EJ = 104 tm2, cotando seus valores extre-
mos:
A partir da viga conjugada, carregada com E . obtemos a
EJ

62 Curso de anáiise estrutural
II I
I
I I 1
I
I I
'Mviga dada
I I
I I
1 I
I
I I
I
I 16x10.~m-' I
I
I
1
I
I 'iviga conjugada
I C
I carregada com
I I I
I I I I
M
1 9 = -
I I I I EJ
I
I
I
I
I
I
I I
I I I
3,6mm p,u~3,6mm
Elástica =
=Mviga. conjugada
3.2mm
elástica pedida, representada na própria Fig. 1-74.
Notar que os trechos AB e DE da elástica são retilineos; en-
quanto que os. trechos BC e CD são parábolas do 3.O grau, simétricas
uma da outra e que concordam em C.
Os valores extremos pedidos são:
2.0) Calcular os deslocamentos verticais de A
e E;
3.0) Calcular a rotação da seção B;
4.0) Calcular a rotação relativa das tangentes ê elas-
tica em C.
I ! ~ ~ i g sdada
1.O) Aspecto da elistica:
Ex. 1-22- Para a viga da Fig 1-75, que tem EJ =103 tm2,
pedem-se:
Encontra-se esbqado na própria Fig. 1-75, onde indica-
mos tamMrn a viga conjugada carrezada com q = .!!! . Chamamos a~ - -
1.O) Esboçar o aspecto da elástica; LI

64 Curso de anáüse estrutural
atenção para a simplicidade e conveniencia da obtenção prévia do aspec-
to da elástica, pois que ele nos fornece todos os sentidos corretos de
deformação, restando-nos calcular apenas seus aódulos.
2.0) Deslocamentos verticais de A e E:
A 3 1 3y ~ = M ~ ~ ~ ~ ~ ~ j = 4 ~ 1 0 ~~ 3 + ~ ~ 3 x l O .x 2 = 1 5 x 1 0 - ~ = 1 ~ m m
E - 4 ~ . 1 0 - ~ ~ 3 + 1 0 -3 X-=16,Smm3*
YE ="viga conj - 2
3.O) Rotação em B:
VB = conj = 4 x 10.3 rad (o sentido está indicado na figura; no caso, é
o anti-horário)
4.O) Rotação relativa em C:
- Vesq CeSq Cdir
C - C + @$r = 1Qviga conj I + IQviga conj
= 8 x i r 3 rad ( o sentido está indicado na figura).
2.1. - Aplicação do processode Mohr h vigas hiperestáticas
(Obtenção de diagramas solicitantes e deformaçües)
Ex 1-23- Obter o diagrama de momentos fletores para a viga
biengastada da Fig. 1-76, que tem inércia constante.
mq
A-B Fig. 1-76
I
I
O aspecto do diagrama de momentos fletores, levando em con.
ta a simetria da viga deverá ser o da Fig. 1-77, bastando, pois, conhecer o
valor de M para ficar determinado.
Mh$4~ Fig. 1-77 - Aspecto do diipmna daaido.
Passando à viga conjugada, que será a haste livre da Fig. 1-78.1.
para que a mesma esteja em equilíbrio (O que nos possibilitará escrever.
para a viga conjugada, que MA =MB = O e QA = Qg = O, o que deve
ocorrer, pois sabemos que y ~ =y ~ = O e VA = ' 4 ~= O, para a viga
dada), o carregamento deverá estar auto-equilibrado. A condiçgo XY = O,
M
M
BEJ -
E J
1.78.2
1-78.1
Fip. 1-78
a partir da decomposição indicada em 1.78.2, nos fornece:
" -
O diagrama de momentos fletores pedido ser& então, o da
Fig. 1-79.
(i-
Fio. 1-79
E r 1-24- Obter os diagramas solicitantes para a viga hiperes-
tática da Fig. 1-80. que possui indrcia constante:
A
Fig. 1-00
I
O aspecto do diagrama de momentos fletores sendo o da
Ffk1-81, a determinação de M se fará impondo condições de equilíbrio
3 viga conjugada carregada ccm M/EJ, indicada na Fig. 1-82.1.

Fig. 1-81-Aspano do diignma de momantm flammi daaido.
"8'--
Q,:
~-
11 c,
1.82.2
1-82.1
Fig. 1-82
A partir da decomposição do carregamento atuante na viga con-
jugada feita em 1-82.2, a condiçáo de momento fletor nulo na rótula B
(pois em B devemos ter M = O na viga conjugada, já que y~ = O para
a viga dada), nos fornecerá: -
4IL
donde obtemos M = -.8
A partir desse valor, os diagramas solicitantes e reações de
apoio para a viga dada são os indicados na Fig. 1-83.
E* 1-25- Para a viga da Fig. 1-80, obter a rotação da tangen.
te à elástica em A.
Imediatamente, podemos escrever, a partir da Fie.-
1-82.2:
13
conjugada = 2 -g3- & =L,
'PA = QA 3 8EJ 48/3
no sentido horário .
Ex. 1-26- Obter o diagrama de momentos fletores para a viga
de Fig. 1-84; que tem vão / e rigidez EJ, devido ao
recalque angular 8 nela indicado (EJ = constante).
t i- Fig. 1.84
O aspecto do diagrama de momentos fletores desejado na viga
:stá indicado na própria Fig. 1-84( MB deve ter, evidentemente, o sentido
i0 recalque 8).
A B
A A Viga conjugada
Passemos, agora, à viga conjugada, para a qual iremos igualar o
?sfor~oCortante em B ao valor de 8 (rotação da seçáo). O apoio do 1.'
3ênero existente em A (como não sofre recaiques) será transformado em
'Pio do 1.' gênero, de acordo com nossa tabela XVII de transformação
de vínculos. Já o apoio B, como sofre recalque, não pode ser transforma-
i0 P r emprego da tabela XVII e deve ser analisado para o caso.
NO ponto B (viga dada), temos:

Sendo assim, devemos ter na viga conjugada um vínculo que
nos dê cortante e não dê momento. Será, então, um apoio do 1.0 géneros
também. Ficamos, portanto, com o esquema da Fig. 1-84 para' o qual,im.
pondese as equações de equilíbrio, temos, por Z: MA =O:
O problema está, então, resolvido, e o diagrama de momentos
fletores na viga devido ao recaique angular e é o indicado na Fig. 1-85.
E x 1-27 - Obter os diagramas solicitantes na viga biengastada
de vão 1e rigidez EJ, submetida ao recalque verti-
cal p em 6 , indicado na Fig. 1-86 (EJ = constante).
Fig. 186
M~-
7j *q Viga conjugada
EJ
O aspecto d o diagrama de momentos fletores na viga dada
e s 6 indicado na Fig. 1-86, Determinemos, então, a viga conjugada: O en-
gaste A (que não sofre recalque) se transformará numa extremidade livre;
0 engaste E, que sofre um recalque vertical (e para o qual temos, portan-
to, yg = P e V6 = O) deve se transformar num vínculo que nos dê mo-
mento (o qual valer5 P ) sem nos dar cortante e deverá ser o indicado
na Fig. 1-86.
Impondo as equações de equilíbrio A viga wnjugada, temos:
Cdldo de defonnaçócs em estruturas isostátiess 69
2Y = O . .. MA =M6(visto não existir cortante em 6,o próprio car-
regamento tem que fornecer resultante nula).
EM = O ....P = x 3 x 1 x 2 1 (ou seja, o carregamento
2 E J 2 3
nos dá um binário, que deve ser absorvido em
B. devendo o momento fletor em B ser igual a'p).
EJp
e os diagramas solicitantes serão os daDai obtemos: MA =M6 =---
Fia 1-87.
I'
6 E J p 6 E J p
-
4/
) I'
-
l2
'.
112EJp
l3 I"
Fig. 1.87
Obse7vação: Os resultados destes dois Últimos exemplos serão de grande
importância no estudo do m6todo das deformações, conforme verá o leitor
no Vol. 111 deste Curso.
Ex. 1-28- Obter o diagrama de momentos fletores provocado
pelos recaiques verticais indicados, para a viga da
Fig. 1-88, que tem rigidez EJ, constante .
c 1 -+31 -t I +A
A.
E C O
. P ,p ,,
A:.- ._ / b- - - . i - - -
MB
IlillIllrn,-EJ
2 M ~ l
- Viga conjugada
EJ f Fie. 1-88
2MBl
EJ
- t

70 CUROde anáiise estrutural
Devido à simetria existente, o aspecto do diagrama de momen-
tos fletores na viga dada será o indicado na Fig. 1-88, Para a viga conju.
gada, os apoios A e D se mantêm e os apoios B e C, que sofrem recal-
ques, e para os quais temos
devem ser substituídos por um vinculo tal que nos d6 momento (igual a p )
e que nos dê Qesq = Qdir, obtendo-se, entxo, o esquema indicado na
Fig. 1-88.
Impondo-se a condição de momento íietor igual a p em B e
C na viga conjugada, obtemos:
O diagrama de momentos fletores pedido6,entãoodaFig. 1-89.
Fig. 1.89
6 EJp-
11 l2
6 EJp-
11 lZ
Ex 1-29- Para a estrutura do exemplo anterior, calcular a ro-
tação da tangente à elástica em A.
Temos. evidentemente:
3 - Cálculo de defomqóes em trrliças planas - Rooesso de Wiiiiot
Assim como apresentamos, no tópico 2 deste capítulo, um
processo particular visando à determinação da elistica de vigas retas (pro-
cesso de Mohr), apresentaremos neste tópico, um processo ideaiizadb pelo
engenheiro franc6s WiUiot, que permite a determinação dos deslocamentos
de todos os nós de uma treliça plana.
de defornações em estruturas isostiticas 71
Os fundamentos do processo de Wüiiot podem ser compreendi-
dos wnsiderandese a treliça ABC representada na Fig. 1-90 que, para O
carregamento indicado, ter5 suas barras AC e BC comprimidas e a barra
AB tracionada. Cada uma destas barras sofrerá, em função do aforço nor-
md Ninela atuante (proia.ado pelo carregamento indicado), uma variação
Nili
de comprimento Ai = -- (no caso, A, e 4 serão encurtamentos
ESi
e A3 será um alongamento). Conhecidas estas variaçóes de wmprimento
Ai, a configuração deformada da treliça pode ser determinada da seguin-
te maneira, conforme indica a Fig. 1-90:
Inicialmente, removeremos o pino (rbtula) do nó C e permiti-
remos a variação A 3 de comprimento da barra AB; isto provocari um mo-
i
vimento da barra BC (agora desligada da barra AO, que se deslocará para-
lelamente a si própria, passando a ocupar a posição B'C. Permitindo, ag*
ta, às barras AC e B'E suas variaçaes de comprimento A1 e A2, respecti-
vamente, as extremidades C e C passarão a ocupar as pmiçDes C1 e C2
I
indicadas na Fig. L90. Para podermos rewlocar o pino (rótula) ligando as
barras 1 e 2, é necessário fazer com que as extremidades C1 e C2 dasbar-
ras 1 e 2 coincidam novamente, o que é obtido girando AC1 em tomo de
A e B'C2 em tomo de B' até que os arcos se interceptem em C', posição
deformada final do n$ C da treliça. AB'Cé, então, a deformada da treli-
Ça da Figa 1-90 submetida ao carregamento indicado e, a partir dela, pode-
mos dizer que o nó ü sofreu um deslocamento hodzontal Sg- BB' e o
nó C um deslocamento 6C= CC', definidos na ~ i g .1-90, Este processo
máfico seria perfeito não fosse o problema das deformaçües serem muito

Curso de análise estrutural a n d o de deformaçõesem estruturas isostáticas
pequenas em presenca das dimensões da treliça, o que nos obrigaria ao liot para chegarmos a cada novo ponto. Nos casos em que isto não ocorrer
emprego de escalas enormes para desenho, a fim de se ter alguma precigo (ver exemplo 1-33). calcularemos previamente alguma (s) deformação, apli-
lios resultados, o que é impraticável. (No caso da Fig. 1-90. indicamos as ,.,,do o teorema dos trabalhos virtuais de modo a poder iniciar e (ou)
deformacões em escala niuito exagerada eni presença das dimensões da
trelica.
no traçado do williot.
Justimeote porque as defomaçóes sofridas pela treliça são pe-
quenas em presença de suas dimensões, a rotação de qualquer barra será
pequena, de modo que podemos considerar que, durante a rotação de uma
barra, sua extremidade se desloque ao longo da normal B direção primitiva
da barra, ao inv6s de considerarnios o deslocamento ao longo do arco de
circulo verdadeiro. Introduundo-se esta simplificação, válida no âmbito das
pequenas deformaçóes (lupótese fundamental na nossa Análise Estrutural),
toma-se possivel obtcr os deslocamentos dos nós da treliçasem termosque
desenhar seus comprimentos totais, pois não mais será necessário desenhar
os arcos de circulo em torno de seus centros de rotação; é o que está
feito na Fig. 1-91, chamada diagrama de Wiliiot ou, mais simplesmente,
williot da treliça dada, em homenagem ao lançador do processo:
Como anteriormente, imaginamos que o pino (rótula) em C é
tempordamente removido e permitinios que se realizem as mudanças de
coniprimento das barras, uma de cada vez. Assim, sendo o a origem esco-
lhida para marcação dos deslocamentos (e que, no caso. coincidirá com o
ponto a, rep-sentando o deslocamento nulo do apoio do 2.O gcnero A),
marcamos 03 = n3, representando a variação de comprimento da barra 3
(barra AB). Como a barra AB se conservará horizontal após sua deforma-
ção, o segmento Õ3 já simbolizará o deslocamento final do nó 3 da treli-
ça (apenas para respeitar a notaçào que adotaremos no williot e que con-
siste em representar a posicão final do nó pela letra que o simboliza, em
minúsculo, diremos que o ponto 3 coincide com o ponto b no williot e
que o deslocamento do nó B é dado por ob). Devido a suas diminuições
AI e de comprimento, respectivamente, a extremidade C da barra
AC se move para baixo, paralelamente a AC, e a extremidade C da
barra BC se move para baixo, paralelamente a Bs. o-aue está rep.'esen-
tado, no wiüiot da Fig. 1-91 pelos segmentos a1 e b2, respectivamente.
Para ligamos; novamente, as barras ACe BC pelo pino em C, a primeira deve
girar em torno de A e a segunda em tomo de B, até se interceptarem;
durante estas rotaçóes, admitimos que elas se movam nas direçóes normais
a cada uma delas. No williot estas rotações estão simbolizadas, respectiva-
mente, pelas retas perpendiculares a AC e BC tiradas por 1 e 2, que se
interceptam em c, ponto que simboliza a posição deformada final do nó C
em relação à sua posição primitiva.
%. -.Os vetores ou, ob e oc)representam, então, os deslocamentos ab-
Sol~itosdos nós A. B e C da treliça de Fig. 1-90devidos ao carregamento ne-
la indicado.
A wnstruçxo dos wüiiots para treliças mais complicadas é feita
da mesma forma, sendo apenas necessário conhecermos dois pontos no w S
As aplicaç5es seguintes esclarecerão.
E r 1-30- Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça da
Fig. 1-92, cujas barras possuem, todas e l a s , ~ ~ = 1 0 ~ t .
Fig. 1-92
Devemos, inicialmente, calcular as varia~&%de comprimento ai
de cada uma das barras da treliça devidas aos esforços normais Ni nelas
atuantes, o que esiá feito na tabela seguinte, a partir da qual 6 imediata a
obtenção do-williot desenhado na ~i~.-1-93.
&ira Nj(t) li lml I ~;=N;li/ES(mml
I

74 CUBOde anáiise estrutural - d o de deformações em estruturas isostáticas 75
EX 1-31- Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça
Os deslocamentos dos nós A. B, C . . ..H da treliça sáo da. & Fig. 1-94, se ela for submetida a uma diminui-
+ -* + +dos em direção, sentido e módulo pelos vetores ou, ob. oc, ..., oh do ção uniforme de temperatura de 30 OC. É dado o
williot, valendo estes mbduios, respectivamente, 0; 1,6 mm; 3 ,,,,,,; 6.5 mm; coeficiente de dilatação linear do material, igual a
13.9 mm; 7,2 mm;4.4 mm; e 3,l mm. 10.5/0C.
Fig. 1-94
As variações de comprimento Aide cada uma das barras, de-
vidas A variação de temperatura, sáo dadas por Ai= Lu Al li =-30~10.5li
valendo. então:
A1=A4=-12 mm; A2=A3=-12 J?lmm; A 5 = A 6 = - 6 a m m
A partir desses valores, obtemos, pelo williot da Fig. 1-95, que
os deslocamentos dos nós+c D e _E da treliça, dados em diieção, mádulo
e sentido pelos vetores oc, ode oe d3 williot têm seus mádulos iguais a
1 2 6 mm, 1 2 ~ 5mm e 12 mm.
1-32- Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça
da Fig. 1-94, caso seu apoio B sofra os recalques in-
dicados na Fig. 1-96, passando a ocupar a posição
B:

PBV= lcm
B' Fig. 1-96
PBH= 2cm ?Y.Ii
Neste caso, os Ai de todas as barras são nulos e podemos pas.
sar imediatamente ao traçado do wiiiiot, feito na Fig. 1.97, a partir do
qual obtemos que os ~esl~cam+entosd y nós A. B, C, D e E da treliça,
dados pelos vetores oa. ob, oc, o b e oe, têm módulos de 0; 2.24 cm; 3 cm;
1.41 cm e 2,54 cm.
C
,A
P~~
Fig. 1-97 -Escala do williol: 1 :1
Ex.I-33- Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça
da Fig. 1-98, cujas barras tèm, todas elas ES=IO~t.
Fig. 1-98
A
No caso, alem de calcularmos as deformações Ai de todas as
barras, devidas aos esforços normais Ni nelas atuantes, precisamos calcular
previamente o deslocamento do nó B (ou do n6 E) para termos conheci-
dos os deslocamentos de dois nós A e B (ou A e E), condição necessária
para podermos iniciar o traçado do williot. Temos, então:
~ g l d ede d~f~nnsçõesem estruturas isost~ticas
a) Cglculo dos Ai
b) Cálculo do deslocamento do ponto B:
Para conhecermos o deslocamento resultante do nó B, basta co-
nhecermos suas componentes horizontal e vertical. A componente horimn-
tal 6 dada por A7, ou seja, vale 6 BH = 16mm, da esquerda para direita
A componente vertical 6 obtida a partir do estado de carrega
mento da Fig. 1-99 e vale:
Fig. 1-99
2 f l t6 s v = 9 = ' [ 4 x 4 ( ~ t 2 x j ) t 4 y r i - x 4 ~ i ? ~
1O" 3
6t- ) + 32 x 4 Y. 41 =77.2 mm (de cima para baixo)

78 CWO & x3lUíb estmhiral
c) Traçado do williot
Conhecidos os deslocamentos dos nós A e B, obtemos o williot
da Fin. 1.100, que resolve o problema.
Fig. 1-100 - Erala do.williot: 1:l
Os deslocamentos dos nós B, C. D. E,.F,da treliça, dados em
direção, sentido e mbdulo pelos vetores o$ ocf o e e do williot,
têm estes módulos iguais a 7.9 cm; 8,4 cm; 4,8 cm; 8,4cm e 7,9 cm..
Como ve"fícaçXo do wiUiot, vemos que o vetor od é horizontal,
o que tem que ocorrer, levando em conta que o apoio do 1.0 genero
existente em D impede qualquer deslocamento vertical deste ponto. A pos-
sibilidade de efetuarmos esta verificação é devida, evidentemente, ao fato
de termos feito o cálculo prévio do deslocamento de um nó da treliça
(para podermos iniciar o traçado do williot).
4 - Teoremas complementares
4.1 - Teorema de Betti
Seja uma estrutura qualquer, para a qual um grupo de cargas
P; constitui o estado de deformação e outro grupo de cargas Pk constitui
O estado de carregamento.
Aplicando o teorema dos trabalhos virtuais, temos, indexando
as deformaçóes com dois índices, o primeiro indicando o local da defor-
Cglculo de defornações em estruturas isostdticas 79
mação e o segundo a causa que a provocou:
I
(?jk;.conforme a indexação adotada, indica a deformação. na direção da
carga Pk devida ao carregamento Pi).
Tomando, agora, para a mesma estrutura, Pk como estado de
deformação e P; como estado de carregamento,, temos:
( tjik indica a deformação, na direção da carga Pi,devida ao carregame*
to Pk ).
Igualando as duas expressóes, obtemos:
zP;G;k = ZPk 6ki (1-9), que é a expressáo do teorema de
Betti, que nos diz:
"O trabalho virtual produzido por um sistema de forças em
equilíbrio, quando se desloca devido às deformaçõespoduzidas
por um outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao tra-
balho virtual produzido por este segundo sistema de forças
quando se desloca devido As deformaçóes produzidas pelo pri-
meiro sistema".
4.2 - Teorema de MaxweU
Fazendo, no caso do Teorema de Betti, com queP; e Pk sejam
uma única força (ou momento) unitária, teremos:
expressão do teorema de Maxwell, que nos diz:
"O deslocamento de um ponto na direção de um esforço uni-
tário, provocado por um segundo esforço unitário, é igual ao
deslocamento do ponto de aplicação do segundo esforço. em
sua direção, devido à aplicação do primeiro esforço unitário".
O esf01~0a que se refere o teorema pode ser, evidentemente,
uma força ou um momento.
Os exemplos das Figs. 1-101 e 1-102 ilustram a aplicação do
teorema de Maxwell.

. ,
lpi = 1
'.. 1,
Eri. <ar.*
A k A A Esl. carr.
Fig. 1-101
Pelo teorema de MaxweU, temos = 6ik
1-102.1 1-1022
Fig. 1-102
Pelo teorema de Maxwell: hik = 6ki
Observação:A aplicação do teorema de Maxwell será de importância fun-
damental no estudo das linhas de influencia em estruturas hiperestáti-
cas, bem como para provar a simetria da matriz de flexibilidade das estru-
turas hiperestáticas, conforme se verá no cap. I1 deste volume.
4.3 - Teoremas de Castigliano (Trabalho real de deformação)
Seja a estmtura da Fig. 1-103, carregada com as cargas estãti.
Cas Pi (cargas cujos valores crescem uniformemente desde zero até os valores
maximos Pi) Em se tratando de uma estrutura elistica, ela se defor-
mará, adquirindo a wnfiguraçáo indicada em tracejado na figura. Como
estamos no regime elástico, a wndição de equilíbrio energitico do sis-
tema implicará na igualdade dos trabaihos das forças externas (cargas e
a d o de deformações em estruturas isostáticas 81
reaç6es) e das forças internas (esforços simples). Calculemos estes tra-
balhos.
a) Trabalho das forças externas:
O trabalho realizado por uma carga Pi que, por ser está-
tica, apresenta um diagrama (carga x deformação) w m o o da Fig. 1-104,
vale:
Fig. 1-104
I OU seja:
O tmbalho realizado por um esforp que cresce miformemenfe
desde zero até seu valor final (o mesmo acontecendo com a deform@o
Por ele prOwcada) vale a metade do produto dos valoresf[nnisdo esforço
Pelo deformação que ele provocou. Esta conclusão 6 atribuida a Clapeyron ,
I costumando a igualdade 1-11 ser conhecida como teorema de Clapeyron.
Como estamos no regime linear e vale o principio da superposi-
de efeitos, o trabalho das cargas externas P1, ...,5,...,P, valerá:
I n

82 Curso de anãlise estmtural
b) Trabalho das forças internas (energia real de deformação
da estrutura).
Conforme sabemos, será o trabalho realizado pelos esforços
simples. No caso (estrutura plana), os esforços simples M. N, Q acarretam
deformações relativas em suas direções, de duas seções distantes de ds
iguais a
Como as cargas são estáticas, também os esforços que elas
provocam o são e podemos escrever que a energia (ou trabalho) real de
deformaçãõ de um elemento de comprimento ds de estrutura vale:
I I
dW = 2 MdV + - N Ads + L Q dh (pelo teorema de Clapeyron)
2 2
A energia real da deformação da estrutura será, entáo:
No caso de uma estrutura no espaço, teriamos também o tra-
balho da torção, e a expressão da energia real de deformação, em sua for-
ma mais geral, se escreverá:
De posse das expresshs (1-12) e (I-13), podemos instituir os
dois teoremas de Castigliano, que são enunciados da maneira seguinte:
1.O Teorema:
'X derivada parcial da energia real de deformação em relação
a uma das cargas aplicadas é igual a d e f o r m o eiústica segundo
adireção desta auga':
A demonstração C imediata:
Temos:
2.O Teorema:
"A deriva& parcial da enegio real de deformapio em relação
a deformação elástica segundo a direp-o de uma das cagas
aplicadas é igual ao d o r desta caga':
I A demonstração é tamb6m imediata:
Observaç5es:
1.a) Nos casos práticos, quando da avaliação da energia real de deforma-
ção, podem ser feitas as mesmas simplificações mencionadas na ob-
servação 1-2 deste capitulo a respeito da aplicação do teorema dos
trabalhos virtuais:
2.a) O 1.O teorema de Castigliano, convenientemente explorado, permite
o cáiculo de deformações em estruturas devidas a carregamento ex-
terno, conforme ilustrarão as aplicações a seguir. Não permite, entre-
tanto, o cálculo de deformações devidas a variações térnucas, recalques de
apoio ou niodificações impostas a barras da estrutura durante a montagem
Por esta razáo é que apresentamos este capítulo dando êrifase maior ao
teorema dos trabalhos virtuais, por ser ele inteiramente geral.
Ex. 1-34- Calcular o deslocamento vertical do ponto R da viga
da Figl 1-105 que teni rigidez t'/ constante.
A energia real de deformação: desprezandese a influência do
trabalho devido ao esforço cortante vale:
I' 7
w = fPx)* dw - $2
2 0 EJ 6EJ
Temos, então:

84 Cum de an5iseestrutural
Ex. 1-35- Calcular o deslocamento vertical do ponto Cda grelha
da Fig. 1-106, que tem rigidez à flexáo A7 e rigidez
à torção GJ
t' .
Fig. 1-106
A energia real, de deformação, desprezando-se a influência d o
trabalho devido ao esforço cortante, vale:
Temos:
aw P I ~( 2 + 3 - )EJ
3EJ
CBlcnio de defornaçõesem estruturas isostáticas 85
Ex. 1-36 - Calcular a rotação da tangente à elástica em B para
a viga da Fig. 1-107.
Fig. 1.107
Não havendo carga aplicada na direção da deformação que de-
sejamos calcular (o que é indispensável, caso desejemos empregar o 1.0
teorema de Castigliano), aplicaremos uma carga moniento fictícia M emB,
desenvolveremos todos os cálculos e, no fim do'probleina (após termosde-
rivado a energia real de deformação em relação a M), igualaremos a zero
a carga M acrescentada. Temos, então:
Fazendo, agora M = 0, obtemos finalmente:
O tipo de procedimento adotado neste exemplo é geral, isto é, sempre
que desejamos calcular, mediante o emprego do 1.O Teorema de Castigliano,
uma deformação que não seja na direção de uma dai cargas aplicadas à
estmtura, criaremos uma carga fictícia, correspondendo ao ponto e à direção
em que desejamos calcular a deformação, efetuaremos todos os cálculos
e, após termos feito a derivação parcial, igualaremos esta carga fictícia a
zero, obtendo a solução do problema.

86 Cuno de análise estmtural
4.4 - Regra de Mdler - Bwslau (Metodo cineniático para o traçado dc
linlias de influência)
Enunciaremos, inicialmente, a regra, demonstrando-a a seguir.
"Para se traçar a linha de influencia de uin efeito estático E
(esforço ou reação), procede-se da seguinte forma:
a) rompe-se o vinculo capaz de transmitir o efeito I.:,cuja linlia
de influencia se deseja determinar;
b) na secção onde atua E, atribui-se à estrutura, no sen-
tido oposto ao de E positivo, uma deformação (absoluta, no
caso de reação de apoio ou relativa, no caso de esforço sim-
ples) unitária, que seri tratada como pequena deformação;
c) a elástica obtida é a linha de influência de E.''
Demonstraremos para um caso particular, embora a demonstra.
ção seja absolutanlente idêntica para qualquer outro caso:
ISeja a viga da Fig. 1-108, para a qual desejamos conhecer a
linha de influencia de reação de apoio em A.
Rompendo-se o vínculo que transmite VA e, atribuindose à
viga assim obtida uma deformação virtual unitária oposta ao sentido de
VA positivo, conforme indica a Fig. 1-109, obtemos uma estrutura hipos-
tática, mas que, submetida a uma força VA tal que equilibre P = 1 e
Vg (e, portanto, igual ao valor da reação vertical em A produzida por
P = 1), está equilibrada.
A B iu __-I
e
I - - q,-I' l I I - - -I_ - - t Fip. 1-109
Cglcuio & &formações em estruturas isostátiess 87
IAplicando o teorema dos trabalhos virtuais, temos:
trabalho virtual das forças externas = I x 6 - 1 x VA
trabalho virtual das forças internas = zero (a estrutura tornou-
se uma cadeia cinemática; livre, portanto à deformação).
Igualandose vem: 6 = VA ,o que quer dizer que uma ordena-
da ger16rica da figura deformada obtida representa o valor da reação de
apoio em A produzida por uma carga unitária sobre aquela seção genéricq
o que corresponde exatamente à definição de linha de influênciae demons
tra, então, a proposiçáo.
a) Sendo a estrutura dada isostática, após a rutura do vínculo transforma-
se numa cadeia cinemática, cuja deformada é uma linha poligonal que
brada, nos casos mais gerais. Isto demonsna quc as linhas de influência
de esforços simples e reaçóes de apoio em estruturas isostáticassãosem-
pre constituídas por segmentos de reta, nos casos mais gerais.
b) A mençáo feita, no enunciado da regra, a uma deformação unitária
constitui uma pequena falha teórica no enunciado (pois o teorema dos
trabalhos virtuais só é válido no regime das pequenas deformações), mas
que não acarreta erro algum nas conclusões. conforme veremos a seguir:
Suponhamos seja atribuido ao ponto A da viga de que tratamum
deslocamento virtual igual a ,sendo n um número tal que o torne um
n
pequeno deslocamento. A aplicação (plena) do teorema dos trabalhos vir-
tuais nos forneceria VA = n 6 , ou seja, deveríamos dar uma deformação
igual a 1 e, a seguir, multiplicar as ordenadas da figura deformada por n.
n
Tudo se passará, então, como se tivéssemos dado uma defomçãounitária,
tratada como pequena deformação. Por esta razão, a regra esta enunciada
desta forma, tornando sua aplicação mais prática.'
C) O espírito da regra de Muller-Breslau também se aplica às estruturas hi-
perestáticas, confonne poderá ver o leitor no cap. I1 deste volume.
As aplicaçúes seguintes esclarecem.
Ex. 1-37 - Traçar as iinhas de influência das reações de apoio
em A e C para a viga da Fig. 1-110.
Fip. 1-110

88 Curso de d i s e estrutural
Seguindo, passo a passo, a regra de Muller-Breslau, obtenios as
linhas de influincia desenhadas na Fig. 1-111.
Fig. 1.111
A--
Ex. 1-38- Traçar a linha de influência de esforço cortante na
seção S da viga da Fig. 1-112.
S
AA - Fip. 1-112
A B
Sabemos, pela regra de Midler-Breslau, que devemos dar um
deslocamento unitário (relativo) no sentido oposto ao de e,(+).Como
o deslocamento 6 somente na direção de e,, (não devendo haver rotação
relativa), os dois trechos da linha de influência devem ser paralelos, o que
justifica a construção da Fig. 1-113.
0 1 -1
*
I C Fip. 1-113
' *
t l!*
Cálculo de defomiaçõcs em estruturas hstáticas 89
Ex. 1-39 - Traçar a linha de influéncia de momento fletor na
seção S para a viga da Fig. 1-114.
A S B
A- Fig. 1.114
Seguindo a regra de MuUer-Breslau, obtemos a linhade influên-
cia indicada na Fig. 1-115.
, Fip. 1.115
Obsevapo:
Como a deformação unitária deve ser tratada como pequena deformação
(ver o b ~ a ç á ob), podemos confundir a corda AC com o arco e temos,
então, AC = x ,o que justitica traçado da Fig. 1-115.
I 5 - Exercícios propostos
I 5.1 - Calcular, para a estrutura da Fig. 1-116, que tem rigidez cons-
tante e igual a 104 tm2:
C i: Fig. 1-116
a) rotação relativa das tangentes à elástica em C
b) deslocamento horiwntal de D;
c) deslocamento vertical de B.

C ~ i s ode análise estmtura] GUcuio de deformações em estmtum isost6ticar 91
5.2 - Calcular o afundamento do ponto D da grelha da Fig. 1.117,
cujas barras fomam, em todos os 116s. ân,ylos de 900 e t6m
I Fio. 1-117
5.3 - Empregando, diretamente, a fónnula de Vereschaguin, obter
a rotação da tangente à elástica em B para a viga da Fig. 1-118, que tem
rigidez W (constante).
I p I P
+ 4 A B
- Fig. 1-118
a + a +
5.4 - Para a estrutura da Fig. 1-119, calcular:
a) deslocamento horizontal de A;
b) deslocamento vertical de E.
Dado: EJ, = 2 x 104 tm2
5.5. - Para a estrutura da Fig. 1-120, pedem-se:
a) devido ao carregamento atuante, obter:
a l ) rotação do nó E;
a.2) variação do comprimento da corda EF;
b) devido a uma diminuição uniforme de 30 OC, calcular a de-
formação mencionada em a2
Dados: or= I O - ~ / ~ CW = 2 x 104 tm2 (todas as barras)
5.6 - Para a estrutura da Fig. I-12l,.pede-se:
a) para o carregamento indicado, calcular
variaçáo da corda AD;
a.2) deslocamento vertical de H;
b) calcular o deslocamento horizontal de A para:
b.1) aumento uniforme de temperatura de 30OC;
b.2) recalques verticais, de cima para baixo, de 2 cm dos
apoiosB e C.
Dados: W = 2 x 104tm2 (todas as barras)
a = 1Crs/oc
3tim
r r r r r r r r ~ ~ r ~ . r j
4- Irn_k- 4m -k- 4m +4m -+4m + 4m -A
Fia. 1.121

5.7 - As barras horizontais da estrutura da Fig. 1-122 são misulas
parabólicas com Jdn= J, e Jmix= SJ,. Sabendo-se que, quando
a estrutura é submetida a um aumento uniforme de 300C, o desloca-
mento horizontal do ponto B é de 3 mm, para a direita, pede-se c$.
cular o deslocamento vertical do ponto M devido à atuaçáo, unicammte,
do carregameiito indicado.
Dados: EJc = 104 tm2 ; a = ~ u ~ / ~ c.
1tlm
Fig. 1-122
5.8 - Calcular a rotaçso da tangente à elástica em A para o quadro
atirantado da Fig. 1-123, cujas barras verticais têm J =Jc e cuja barra
Fip. 1.123
curva tem J = -Jm , sendo Jm = 25,. SXo dados:
COS '#
(W,)quadro = 104 tm2
(ES) tirante = 5 x 103 t.
I CAculo de deformações em estruturas isost4ticas 93
IDesprezar o trabalho do quadro ao esforço normal, computan-
do para este fim apenas a influência do tirante.
5.9 - Calcular os deslocamentos verticais no meio do váo e na
ponta dos balanços para a viga da Fig. 1-124, cujas misulas são parabóli-
cas com Jmin= Jc e Jmax= lWc. É dado EJ, = 104 tm2
5.10 - Calcular que variação de comprimento 6' deve ser dada às
barras 1 e 2 da treliça da Fig. 1-125 durante a montagem para que, quan-
do atuar o carregamento indicado, os pontos A. B. D. E fiquem alinhados.
+2m+ 2m +2m +2m+
ES = lo4t (constante)
5.11 - Calcular, para a estrutura da Fig. 1-126, que encurtamentos
prévios devem ser dados aos tirantes para que, quando atuar o canegamen-
to indicado, os pontos D, E. permaneçam I m acima de A. 8, C
Obs: Desprezar efeitos do esforço normal no quadro.
Dados: (EJ)quadro = 2 x 103 tm2 ; (ESltirante= 103 t

94 CUROde anáiise estrutural
5.12 - Calcular os deslocamentos verticais dos pontos A das vigas-
balcão circulares, das Figs. 1-127 e 1-128, com seção transversal circular,
módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson igual a l/m.
Fig. 1-127 A Fig. 1-128
5.13 - As fibras superiores da estrutura da Fig 1.129 sofrem um
aumento de temperatura de 30 OC em relação ao dia de sua execução. Sen-
do a seção retangular, com 0,s m de altura, pede-se o deslocamento hori-
zontal de B. É dado: a = ~ O - ~ I O C .
Fig. 1-129
B
5.14 - Para a estrutura da Fig. 1-130, a temperatura no interior da
parte circular, de seção transversal retangular de altura h e coeficiente de
dilatação linear u sofre um aumento de toC, mantendese constante a
temperatura externa. Pedem-se:
a) variaçfío da corda CD;
b) rotação relativa das tangentes à elástica em A.
A
Cálculode &foma~óesem estnituns irost6ticas 95
5.15 - O interior do quadro da figura 1-131, cujas barras têm altura h,
sofre um auriiento de temperatura de t OC, mantendo-se constante a tempera
tura externa. Sendo a o coeficiente de dilatação linear do material, pedem.se:
. a) rotaçáo relativa das tangentes ê elástica em B;
b) deslocamento horizontal de C.
R
Fig 1-73?
I
5.16 - Sendo "m" uma carga momento fletor uniformemente distribuí-
da ao longo das vigas. de inércia constante, das figuras I-132-a e I-132.b, pe-
dem-se os deslocamentos verticais das seções S indicadas. São dados: E, J. m
1.132.~
1.132-b
Fig. 1-132
5.17 - Para o quadro da figura 1-133, as barras@@são encurtadas de
I 2 cm. Pedem-se:
a) deslocamento horizontal de A ;
I h) rotaçáo relativa em Bdas tangentes à elástica das barras@@
Fig. 1.133

5.18 -Para o quadroespacial da figura 1-134,cujas barras tem seçãocir.
cular com inércia ê flexão de 0,0Sm4, pedem-se:
a) rotação da corda BC nos planosxy exz;
b) deslocamento de B na direçáo z.
5.19 - Empregando o processo de Molir, obter, para a viga da figu-
ra 1-135:
a) equação da elástica;
b) flecha máxima;
c) rotação da tangente à elástica em B.
Dado: EJ= constante
I
Cdledo de deformaçõesem estruturas iswtiticas 97
1
5.20 - Calcular a rotação da tangente a elástica em C. empregando
o processo de Mo&, para a viga da Fig. 1-136 (J = constante).
i Dados: M.E, J, a, I
Fip. 1-136
5.21 - Obter a equação da elástica de uma viga biapoiada de rigi-
dez EJ e váo I, submetida a um carregamento uniformemente distribuído
"q" (EJ=constante)
5.22 - Para a viga da Fig. 1-137, que tem rigidez igual a 104tm2,
pedem-se:
a) rotações da tangente à elástica em B e D;
b) deslocamentos verticais em A, C, E.
5.23 - Empregando o processo de Mohr, obter os diagramas solici-
tantes para a viga de in6rcia constante da Fig. 1.138.
I -+I12 + 117. -r-
5.24 - Idem, para a da Fig. 1.139..
I
n- tI , Fip. 1-139
- + a -1.-

98 curso de wsuw e ~ t ~ t u i a l i Cglailo & &fornaçõesem estmtums isostútitieap 99
Fig. 1-147
5.28 - Idem, para a treliça da Fí& 1-147, devidosàs mesmas causa.
1 5.26 - Idem, para as das Figs. 1-143a 1-145 quando sofrerem os
i
recalques verticais p indicados.
5.25 - Obter os diagramas de momentos flctores para as vigas das
figuras1.140 a 1.142, que têm rigidez constante W.quando forem subme-
tidas aos recalques angulares 8 indicados.
Fig. 1-140 Fig. 1-141 Fig. 1-142
9 ,e , 9 , .e 1
I-: .-; ,.r i- 5;< , . (
Fig. 1-143 Fig. 1-144 Fig. 1-145
o r l p PI -I P o I ~
I - + - I - - - + - & l t I + - I + - C l + l +
,
I I I
5.27 - Empregando o proeesso de WiUiot, calcular os deslocamentos
dos nós E e G. da treliqa da Fig. 1.146, que tem ES = 5 x 103 t para
todas as barras e oi = IO.~/OC,devidos a cada uma das causas seguintes:
I
I
<.
u 3'
I
-
Fig. 1.146
5.29 - Empregando o teorem de Costigiinno, calcular o desloca
mento horizontal relativo das extremidades A e B do anel circular aber-
to da Fik 1-148 (Desprezar efeitos da força normal.)
Dados: P.R. E. J (constante).
5.30 - Empregando o teorema de Castigliano, calcular o deslwa-
mento horizontal do ponto B do quadm da Fig. 1-149, cujas barras têm
rigidez EJ, constante.
a) carregamento indicado;
b) aumento uniforme dc temperatura de 30 OC;
c) recaique vertical, de cima para baixo, do apoio B, igual a 2 cm.
I

I 100 Cuno de anYise estrutural
I . Cdleulo de defonna$ões em estruturas isostátiras 101 I
6 - Respostas dos problemas propostos
a) 2,93 mm (-*I ;b) 3.71 mm (1)
a.1) 7 . 5 ~ rad (tl);a,?) 13,2 mm (aumento):
b) 5,4 mm (encurtamento)
a.l) 3,84 cmfaumento) ;a.2) I ,6 mm (f) :
b.1) 4,8 mm(+) :b.2) 2 cm (e)
1,07 cm (4)
1 . 4 6 ~10-3 rad (n)
a) 0,98 cm (4) ;b) 0,17 mm (t)
Alongamento de 1,94 mm
Encurtamento de 2,14 mm
4EJ (371- 8) ] (C)
m
4.2 ,rn (+I
-
a) aumento de <r t R ( I + )
b) zero
5.17 - a) 2 6 c m (+) ;b) f l x IO-:' rad (o)
t5.1 8 - a) 0.21 x 1O-' rad (12);0,33x 1 rad (( )
b) 1mm (4)
5.22 - a) 0.133 x rad
b) 0,67 mm ( f ) ;zero ; 0,67 mm (L )

5.27 - As componentes verticais e horizontaisdos deslocamentosvalem,
em cadacaso:
i
anilo& &formafõsem estmtunis isosiatia 103
C) P~~ = 2 o m m ( ~ ) ;pEH=15mm(+); ~ ~ ~ = 1 0 m m í L ) ;
pGH= 30 mm (-+)
5,28 - componentesverticais e horizontais dos deslocamentosvalem,
em cada caso:
a) ~~~=34,6mrn(L);~~~=6,4mm(-f);~~~=17,3mm(
pGH=0
b)pEv=0,6mm(t); pEH=1,8mm(+); pGV=0,6mm(t);
pGH= 3,O mm (+)
C)pFV= 10mm(&); ~ ~ ~ = 3 , 3 m m ( - + ) ; ~ ~ ~ = ~ 6 , 7 m m ( + ) ;
pGH = 3.3 mm (+)
5.29 - Abertura de 3nPK "-EJ

CAPITULO li -HIPERESTATICA -O METODO DAS FORCAS
1 - htrodii@o -Determinação do grau hiperestático
1.1 - Hiperestaticidade externa
Seja a estrutura da Fig. 11-1, que possui 5 reações de apoio a
determinar. Para tal. dispomos, no caso, das três equaçúes universais da
Estática no plano e de mais uma (momento fletor nulo em E). Temos,
portanto, cinco incógnitas e quatro equações para determiná-las. Existe,
então, deficiência de uma equaçso para resolver o problema do cálculo
das reações de apoio. Esta deficiência é chamada grau hiperestático ex.
terno da estrutura que é, pois, igual ao número de equações suplemen-
tares necessárias ao cilculo das reações de apoio da estrutura
Fip 11-1
1.2 - Hiperestaticidade interna
Fig. 11.2
Seja, agora, a estrutura da Fig Ib2, cujas reações de apoio
são de imediata obtenção a partir das equações universais da Estática.
Isto não significa, entretanto. que a estrutura esteja resolvida pois que
o simples conhecimento das reações de apoio, não nos habilita a traçar
seus diagramas solicitantes pelo fato de ser uma estrutura fechada e não
sabermos quais são as forças da esquerda e quais as da direita. Seria
necessário "abrir" a estrutura, isto é, romper-lhe uma seção; para tal,
necessitaríamos conhecer os esforços simples atuantes nesta seção para
podermos aplicá-los, após rompê-la, na estrutura assim obtida, preservan-
do, desta forma. a igualdade estática da nova estrutura "aberta" com a
primitiva
i?
Hipc&6tica - O d t o d 0 das forps g' ' 105
reações de apoio e seus esforços simples, 0 grau hiperestático total do uma
II (x) 6 a soma de seus graus hiperestáticos externo (&) e
interno lgi).
I g = Be + 8i (11.1)
1.4 - Aplicaçk
Obter o grau hiperestático g das estruturas a seguir:
a) Quadros planos
Fig. 11-4
C .
4 &-
r; .
1'9=geXt=2 n
1.3 - Hiperesiatiadade total
Evidentemente, como resdver uma estrutura é conhecer suas
Para a determinação desses esforços não possuímos equaçw
suplementares da Estática e, sendo assim, a estrutura em questão tem
um grau hiperestático interno igual a 3.
Portanto, grau hiperesiátim interno de uma estrutura é o nú-
a = ggxt + gint '1 + 1 = 2
Fip. 11-9
Fia. 11-10 g = 5 x 3 x 3 = 45
I
mero de esforços simples cujo conhecimento nos possibilita traçar os dia 6
O
tirante
gramas solicitantes para a estrutura, conhecidas suas reações de apoio.
I O

106 Curso de anáiise estrutuml
Obsermção:
Notar que, para o quadro da Fig. 11-10. a forma mais fácil de determi.
nar seu grau hiperestático total g é rompê-lo pelas seçóes Sl, S2. e S3,
que interceptam um total de 5 x 3 = I5 seçóes suas, transformando-o
em três quadros isostáticos engastados e livres. Sendo assim, seu grau t,j.
perestátito é g = 3 X 15 = 45.
b) Treliças planas:
Fig; 11-11 Fip. 11-12
C) Grelhas:
Fig. 11-13 Fip. 11-14 Fip. 11.15
Hiperrststica -.cmétodo das forps 107
Nenhuma alteração do ponto de vista estático ocorrera se
I encararmos a estrutura sob a forma indicada na Fig. 11-17:
Na passagem da Fig. 11-16 para a Fig. 11-17, rompemos uma
quantidade de vínculos tal (no caso, 3) que transformasse a estrutura
Fip. 11-16 - Estrutura hipaenátka a rsrolver
dada numa estnitura isostática à qual chamamos sistema principal' e, para
preservar a compatibilidade estática, introduzimos os esforços (no caso,
X,, X?, X3) existentes nos vinculos rompidos, que continuam sendo
Fig. 11-17 - Sirtma principal e hiperest4tico
as incógnitas do problema, e cuja determinação implicará na resolução
da estrutura Por esta razão, chamamos a esses esforços de hiperestáticos
Observaçüo: Pensem s, agora, na compatibilidade de deformaçóeí:
Para a esttutura da Fig. 11-15 representamos apenas, os apoios perpendi- ?
çulares a seu plano, que sáo os que funcionam. no seu trabalho wmo Evidentemente, para cada vinculo rompido, na passagem daes
grelha. trutura dada (Fig. 11-16) para o sistema principal (Fig. 11-17). liberamos
uma dcformaçáo que não existe, de modo que devemos impor, à estru-
2 - O mbtodo das f o v s ' I
tura do sistema principal, a condição de serem nulos os deslocamentos
nas direçks dos hiperestátiços.
2.1 - As bases do método L
(NO caso, devemos ter na Fig. 11.17: rotação em A; rotação e
Seja a estrutura da Fig. 11-16. três vezes hiperestatica, que deslocamento horizontal de B iguais a zero.)
desqamos resolver: Com isso, para cada incógnita Xida Fig. 11-17, temos uma
1 Também chamado método dor esforços e método da flexibilidade. Estas duas
outras denominaçóes $%o,até, mais próprias dentro do esplrito do método. mas
optamos pela denominasão "método das forças" por tradi$ão histórica
-* C o n @ m veremos no Vol. I11 deste Cuno o sistema não ~Iecisa%r
necesfanamentc isostático. podendo, cm detarkinado, ea~or.ur útil trabalhar com
um SIitema principal hipcrestátira.

108 Curso de análise estrutural Hipem&tica - o método das força 109
equação dizendo que o deslocamento na direção de Xi é nulo. O pro-
blema está, então, resolvido e podemos afirniar que a resolução de uma es-
trutura n vezes hipcrestática recairá na resoluçáo de um sistema n x ,,,
em que cada equação exprimirá a condição de ser nulo o deslocamento
na direção de cada um dos hipcrestáticos.
Poderíamos, é claro, impor estas condiçaes diretamente sobre
a Fig. 11-17, mas será mais simples. para a manipulação algébrica d o
problema, empregar o princípio da superposição de efeitos da forma in-
dicada na Fig. 11-18, em que separamos o efeito do carregamento exter-
no e 0 de cada um dos hiperestáticos; no desconhecimento dos valores
corretos destes. arbitramos um valor qualquer para cada um deles (no caso,
por simplicidade. arbitramos valores unitários, embora pudessem ser valores
quaisquer) e esses valores devem ser multiplicados pelos fatores-escala
X X X tais que façam que os deslocamentos finais nas direçaes dos1, 2. , 3
hiperestat~cossejam nulos.
Sistema principal com
carregamento externo e
I hiperestáticos X,. . . .Xn
Sistema principal " Sistema principal
=[ com
carregamento externo] + 2 Chi,c0 ].i
Assim, devemos ter, indexando as deformaç6es indicadas na
Fig. 11-18 eom dois índices. o primeiro do qual se refere ao local e o
segundo à causa da deformação3, temos:
RotaçãoemA=O . . . . . . . . . . 6 ~ 0 + 6 1 1 X I + 6 1 Z X 2 + 6 1 3 X 3 = 0
RotaçãoemB= O . .. .. . .. . . 620 + 621XI + S22X2 + 623X3=0
~~slocamentohorizontal e m B = O .[ 630 + 631XI + 632X2 + 833x3 = O
A solução do sistema anterior, que 6 o sistema de equações
de compatibilidade elástica do sistema principal com a estrutura hiperes-
tática, nos fornece os valores dos hiperestáticos, a partir dos quais pode-
mos obter os esforços atuantes na estrutura.
2.2 - Observações
a) Vejamos qual a forma de obtendo dos coeficientes 6 do
sistema de equaçoes que conduz 20 cálculo dos Iuperestiticm:
Seja, por exemplo. obter 623 que, sabemos, é a deformação
na direçáo do hiperestático X2 (ou seja, rotação da tangente à elástica.
no sistema principal, em B) devida à aplicação de X3 = 1. Como se trata
do cá!culo de uma deformação numa estrutura isostática, temos:
Estado de carregamento: dado pela aplicaçáo de X, = I no-sistema principal.
Estado de deformação: dado pela aplicação de X3 = I no
sistema principal.
Por conseguinte, a23 resultará da combiriaçáo dos diagramas
trapdos, no sistema principal, para X2 = 1 e para X3 = 1.
Analogamente, um 6i0 resultará da combinação dos diagramas,
no sistema principal, devidos à aplicação do carregamento externo e do
hiperestático Xi = I.
Podemos, então, escrever:
6ii = Combinação dos diagramas resultantes da aplicação dos hiperestá-
ticos Xi e Xi no sistema principal, com os valores arbitrados.
SiO= Combinação dos diagramas resultantes da aplicação docarregamen-
to externo e do hiperestático xi (com o valor arbitrado) no sis-
tema principal.
Nota:
0 s diagramas a combinar São, evidentemente, aqueles que influenciam no
d c u l o da deformaçáo 6 de~ejada,confomeestudado no cap I deste volume.
3 O canegamento externo será simbolizado por O.Fim 11-18

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