Topografia unidade 2 planimetria

TOPOGRAFIA
Unidade II
Planimetria
Disciplina: Topografia
Profª MSc. Ana Carolina da C. Reis
acc.reis@ufma.br

 Apresentação
2.1 Ângulos, azimutes, rumos e conversões
2.2 Fundamentos e Métodos
2.3 Poligonais
2.4 Cálculo de áreas
TOPOGRAFIA
Profª MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

2.1 ÂNGULOS, AZIMUTES, RUMOS E CONVERSÕES
RUMOS  Rumo de uma linha é o ângulo horizontal entre a direção norte-sul e a
linha, medido a partir do norte ou do sul na direção da linha, porém, não
ultrapassando 90° ou 100 grd.
N
S
EW
30°
Diz que os rumos das
linhas são:
A-1 = N 70° E
A-2 = S 45° E
A-3 = S 30° W
A-4 = N 60° W
1
2
3
4

N
S
EW
D
Está errado dizer que o
rumo de CD é N 110° E;
O correto é S 70° E.

AZIMUTES  Azimute de uma linha é o ângulo que essa linha faz com a direção
norte-sul, medido a partir do norte ou do sul, para a direita ou para a esquerda e
variando de 0 a 360° ou 400grd.
N
S
 Diz que os azimutes da linha são:
Azimute à direita do norte = 240°
Azimute à esquerda do norte = 120°
Azimute à direita do sul = 60°
Azimute à esquerda do sul = 300°
2
Azimute à
esquerda do Sul
1
Azimute à
direita do Norte
Azimute à
direita do Sul
Azimute à
esquerda do
Norte
Chama-se:
 sentido à direita aquele que
gira como os ponteiros do
relógio (sentido horário)
e;
 sentido à esquerda, o
contrário (sentido anti-
horário).

 No hemisfério sul, e portanto no
Brasil, usa-se sempre medir o
azimute a partir do norte, sendo
mais comum ainda no sentido
horário, ou seja à direita;
 No hemisfério norte em alguns
países usa-se medi-los a partir
do sul.
N
S
EW
2
BRASIL: usa-se
Azimute à direita do
Norte
1
Como são muito raras as ocasiões em que será usado outro tipo de azimute, quando
não for expressamente afirmado o contrário, azimute será sempre à direita.

 EXERCÍCIOS
1. Transformar rumos em azimutes à direita do norte.
Linha Rumo
1 - 2 N 42° 15' W
2 - 3 S 0° 15' W
3 - 4 S 89° 40' E
4 - 5 S 10° 15' E
5 - 6 N 89° 40' E
6 - 7 N 0° 10' E
7 - 8 N 12° 00' W
Azimute à direita
317° 45'
180° 15'
90° 20'
169° 45'
89° 40'
0° 10'
348° 00'
RESPOSTA:

 EXERCÍCIOS
2. Transformar rumos em azimutes à esquerda do norte.
Linha Rumo
1 - 2 S 15° 05' W
2 - 3 N 0° 50' W
3 - 4 N 89° 50' W
4 - 5 S 12° 35' E
5 - 6 S 7° 50' E
6 - 7 N 89° 00' E
7 - 8 N 0° 10' E
Azimute à esquerda
164° 55'
0° 50'
89° 50'
192° 35'
187° 50'
271° 00'
359° 50'
RESPOSTA:

 O objetivo da planimetria é descrever geograficamente determinada região
da superfície terrestre;
 As formas de representação são os desenhos (plantas e mapas), sendo as
unidades gráficas pontos, segmentos de reta e polígonos.
2.2 FUNDAMENTOS E MÉTODOS

 Cabe ao topógrafo identificar os pontos mais importantes para a definição
da área a ser levantada;
 Determinar a posição (coordenadas) de um ponto na superfície terrestre
significa relacioná-lo (referenciá-lo) a um outro ponto de posição conhecida;
 A maneira mais comum de obter a posição de um ponto no campo é medir a
direção (azimute ou rumo) e o comprimento do segmento de reta;
 Levanta-se utilizando-se ângulos e distâncias (sistema polar) e então
transformar para um sistema de coordenadas retangulares.

 A obtenção das coordenadas de um ponto é feita a partir de um outro que
serve de referência;
 Os elementos topográficos devem estar sempre ‘amarrados’ a uma rede de
referência. Para um melhor entendimento do levantamento topográfico deve-se
recorrer a NBR 13.133/94.
0
1
Y (N)
X (E)
𝒅 𝟎𝟏= distância horizontal entre os
vértices 0 e 1;
𝑨 𝟎𝟏 = Azimute na direção 0-1;
ΔX = Projeção da distância 𝑑01 sobre
o eixo X;
ΔY = Projeção da distância 𝑑01 sobre
o eixo Y.
ΔX
ΔY
∆𝒀 = 𝒅 𝟎𝟏 . cos 𝑨 𝟎𝟏
∆𝑿 = 𝒅 𝟎𝟏 . sen 𝑨 𝟎𝟏

Representação de uma poligonal e suas respectivas projeções

 Conhecendo as coordenadas planimétricas de dois pontos é possível calcular
o azimute da direção formada entre eles:
0
1
2
4
3
1° QUADRANTE
2° QUADRANTE3° QUADRANTE
4° QUADRANTE ΔX = +
ΔY = +
ΔX = +
ΔY = -ΔX = -
ΔY = -
ΔX = -
ΔY = +
X = 90°
0 ~ 360°
Y
270°
180°
0
1
Y (N)
X (E)
ΔX
ΔY
𝑨 𝟎𝟏 = arctg
𝜟𝑿
𝜟𝒀
∆𝑿 = 𝑿 𝟏 - 𝑿 𝟎
∆𝑿 = 𝒀 𝟏 - 𝒀 𝟎

1. Calcular o azimute da direção 1-2 conhecendo-se as coordenadas.
2.2 EXERCÍCIOS
1
2
Y (N)
X (E)
ΔX
ΔY
W
S
𝑋1 = 459,234 m 𝑌1 = 233,786 m
𝑋2 = 778,546 m 𝑌2 = 451,263 m
RESPOSTA → 𝑨 𝟏−𝟐 = 55° 44’ 24’’

2. Calcular o azimute da direção 2-3 sendo.
2.2 EXERCÍCIOS
2
3
Y (N)
X (E)W
S
𝑋2 = 459,234 m 𝑌2 = 233,786 m
𝑋3 = 498,376 m 𝑌3 = 102,876 m
RESPOSTA → 𝑨 𝟐−𝟑 = 16° 38’ 24’’ (1° QUADRANTE)
𝑨 𝟐−𝟑 = 163° 21’ 36’’ (2° QUADRANTE)

2.2 EXERCÍCIOS
3
4
Y (N)
X (E)W
S
𝑋3 = 459,234 m 𝑌3 = 233,786 m
𝑋4 = 285,550 m 𝑌4 = 99,459 m
RESPOSTA → 𝑨 𝟑−𝟒 = 52° 16’ 48’’ (1° QUADRANTE)
𝑨 𝟑−𝟒 = 232° 16’ 48’’ (3° QUADRANTE)

2.2 EXERCÍCIOS
4
5
Y (N)
X (E)W
S
𝑋4 = 459,234 m 𝑌4 = 233,786 m
𝑋5 = 301,459 m 𝑌5 = 502,591 m
RESPOSTA → 𝑨 𝟒−𝟓 = 30° 24’ 36’’ (1° QUADRANTE)
𝑨 𝟒−𝟓 = 329° 35’ 24’’ (4° QUADRANTE)

2.3 POLIGONAIS
POLIGONAÇÃO  Constitui-se de uma série de alinhamento consecutivos, dos
quais a extensão e a direção são medidas no campo. É o ato de estabelecer no campo
os vértices de poligonais e realizar as medidas necessárias. A partir dos vértices da
poligonal são levantados os pontos de detalhes necessários para a completa descrição
da área.
Representação da projeção da distância D em X e em Y.

 POLIGONAIS SEGUNDO A NORMA 13.133/94
 Principal → poligonal que determina os pontos de apoio topográfico de
primeira ordem;
 Secundária → apoia-se na principal e determina os pontos de segunda
ordem;
 Auxiliar → poligonal usada para coletar os pontos de detalhes julgados
importantes.
As poligonais levantadas poderão ser fechadas, enquadradas ou abertas.
2.3 POLIGONAIS

 POLIGONAIS FECHADA
2.3 POLIGONAIS
Poligonal fechada: parte e retorna ao mesmo ponto. Vantagem de verificar
o erro de fechamento angular e linear.

 POLIGONAIS ENQUADRADA
2.3 POLIGONAIS
Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas conhecidas
e chega em dois pontos com coordenadas conhecidas. Permite a verificação
do erro de fechamento angular e linear.

 POLIGONAIS ABERTA
2.3 POLIGONAIS
Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas conhecidas e acaba
em um ponto cujas coordenadas deseja-se determinar. Não é possível
determinar erros de fechamento.

 Para o levantamento de uma poligonal é necessário ter no mínimo um ponto
com coordenadas conhecidas e uma orientação;
 Se forem utilizadas como apoio topográfico a rede geodésica é necessário
que pelo menos dois pontos sejam comuns.
2.3 POLIGONAIS

 Um dos elementos necessários para a definição de uma poligonal são os
ângulos formados por seus lados. Determina-se os ângulos externos e
internos da poligonal.
2.3 POLIGONAIS

2.3 POLIGONAIS

 A soma dos ângulos EXTERNOS é dada pela fórmula:
2.3 POLIGONAIS
𝑺 𝒆 = (n + 2) . 180° , onde ‘n’ é o número de lados.
𝐀 + 𝐁 + 𝐂 + 𝐃 = 𝟒 + 𝟐 . 𝟏𝟖𝟎°EXEMPLO →

 A soma dos ângulos INTERNOS é dada pela fórmula:
2.3 POLIGONAIS
𝑺𝒊 = (n - 2) . 180° , onde ‘n’ é o número de lados.
a + 𝐛 + 𝐜 + 𝐝 = 𝟒 − 𝟐 . 𝟏𝟖𝟎°EXEMPLO →

 ERRO ANGULAR DE FECHAMENTO DA POLIGONAL
 Num polígono qualquer, a diferença entre a somatória das deflexões num
sentido e no outro deve ser igual a 360°;
 Concluída a poligonal, soma-se as deflexões à direita e à esquerda, subtraindo
uma somatória da outra.
2.3 POLIGONAIS
É a diferença entre o valor medido no campo e os valores teóricos obtidos
pelas fórmulas geométricas “Si” para os ângulos internos e “Se” para os
ângulos externos.
A diferença entre o valor encontrado e 360° é, portanto, o
erro angular cometido.

 ERRO ANGULAR DE FECHAMENTO DA POLIGONAL
2.3 POLIGONAIS
𝜺 𝒂 = p . 𝒎
Onde ‘P’ é o perímetro e m’ é o número de ângulos medidos na poligonal.
Deflexão → é o ângulo formado
pelo prolongamento do
alinhamento anterior do
caminhamento e o novo
alinhamento.
 Esses ângulos podem ter
sentido à direita ou a
esquerda, conforme a direção
do novo alinhamento. Varia
entre 0° e 180°.

 AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - AZIMUTES
2.3 POLIGONAIS
𝑨𝒛 𝟐−𝟑 = 𝑨𝒛 𝟏−𝟐 + â lido – 180°
𝑨𝒛 𝟑−𝟒 = 𝑨𝒛 𝟐−𝟑 – (180° – â)
𝑨𝒛 𝟑−𝟒 = 𝑨𝒛 𝟐−𝟑 + â – 180°
𝐝𝐃 → 𝐬𝐨𝐦𝐚 − 𝐬𝐞 𝐚𝐨 𝐀𝐳 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫
𝐝𝐄 → 𝐬𝐮𝐛𝐭𝐫𝐚𝐢 − 𝐬𝐞 𝐝𝐨 𝐀𝐳 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫
â 𝐥𝐢𝐝𝐨 − 𝟏𝟖𝟎° → deflexão à direita
180° − â lido → deflexão à esquerda
𝑨𝒛 𝟐−𝟑 = 𝑨𝒛 𝟏−𝟐 + dD 𝑨𝒛 𝟑−𝟒 = 𝑨𝒛 𝟐−𝟑 + dE
𝐀𝐳 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐢𝐧𝐭𝐞 → 𝐀𝐳𝐢𝐦𝐮𝐭𝐞 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 + â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐡𝐨𝐫𝐢𝐳𝐨𝐧𝐭𝐚𝐥 𝐬𝐞𝐧𝐭𝐢𝐝𝐨 𝐡𝐨𝐫á𝐫𝐢𝐨 𝐧𝐨 𝐯é𝐫𝐭𝐢𝐜𝐞 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐢𝐧𝐭𝐞 − 𝟏𝟖𝟎°

2.3 POLIGONAIS
𝐀𝐳𝐢 , 𝐢+𝟏 = 𝐀𝐳𝐢−𝟏 , 𝐢 + ∝𝐢 - 180°
i variando de 0 a (n-1), onde n é o número de estações/pontos/vértices da poligonal;
Se i+1 > n, então i = 0;
Se i-1 < n, então i = n.

 AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS
2.3 POLIGONAIS
QUADRANTE NE

2.3 POLIGONAIS
QUADRANTE SO

2.3 POLIGONAIS
QUADRANTE NO

2.3 POLIGONAIS
QUANDO RESUMO PARA O CÁLCULO DO RUMO

2.3 POLIGONAIS
 OBSERVAÇÕES
No quadrante NE, 𝑹 𝟐−𝟑 = 𝑹 𝟏−𝟐 − 𝒅𝑬 , se dE > 𝑹 𝟏−𝟐 o resultado é negativo;
Portanto, 𝑹 𝟐−𝟑 será o módulo do valor encontrado e estará no quadrante NO.

2.3 POLIGONAIS
 OBSERVAÇÕES
No quadrante SE, 𝑹 𝟐−𝟑 = 𝑹 𝟏−𝟐 − 𝒅𝑫 , se dD > 𝑹 𝟏−𝟐 o resultado é negativo;
𝑹 𝟐−𝟑 estará no quadrante SO.

2.3 POLIGONAIS
 OBSERVAÇÕES
No quadrante SO, 𝑹 𝟐−𝟑 = 𝑹 𝟏−𝟐 + 𝒅𝑫; 𝑹 𝟏−𝟐 + dD > 90°.

 EXERCÍCIOS
1. De posse dos ângulos horizontais lidos da poligonal abaixo, calcule os
azimutes verdadeiros, deflexões e rumos.
2.3 POLIGONAIS

 EXERCÍCIOS
2. Dados os ângulos horizontais abaixo, obtidos visando-se a ré com 0°00’ e
sentido horário, calcule as deflexões.
a. 105º30’15’’ b. 320º22’05’’ c. 248º11’00’’
d. 45º36’40’’ e. 276º00’50’’ f. 51º46’30’’
g. 192º57’10’’ h. 322º26’25’’ i. 81º41’20’’
j. 77º38’00’’ k.66º10’00’’ l. 246º05’30’’
2.3 POLIGONAIS
Resp. →

 EXERCÍCIOS
3. Calcular o rumo ou azimute do alinhamento 2-3 conhecendo-se o rumo ou azimute do
alinhamento 1-2 e a deflexão de 2 para 3.
a. R12=57º32’SO d23=142º30’D b. R12=29º07’NE d23=75º28’E
c. R12=43º13’NO d23=179º04’D d. R12=08º21’SE d23=49º27’E
e. R12=54º37’SO d23=102º51’D f. Az12=19º06’ d23=91º14’D
g. Az12=321º24’ d23=164º30’E h. Az12=251º40’ d23=143º50’D
i. Az12=49º16’ d23=101º48’E j. Az12=152º08’ d23=63º18’D
2.3 POLIGONAIS
Resp. →

 EXERCÍCIOS
4. Calcular os azimutes do polígono 0-1-2-3-4-5-6-0, conhecendo-se o azimute
inicial e os ângulos horizontais. Caso exista erro angular de fechamento, qual o
seu valor.
2.3 POLIGONAIS
Resp. →

 EXERCÍCIOS
5. Com os dados de campo fornecidos pela caderneta abaixo, calcular as
deflexões e os rumos ou azimutes do polígono 0-1-2-3-4-5-6-0, sabendo-se que o
vértice anterior (ré) foi visado 0°00’00’’.
2.3 POLIGONAIS

 EXERCÍCIOS
5. (CONTINUAÇÃO)
2.3 POLIGONAIS
Resp. →

 CÁLCULO DAS COORDENADAS PRINCIPAIS
Após todos os ângulos terem sidos corrigidos e os azimutes calculados é possível
iniciar o cálculo das coordenadas parciais dos pontos.
 VERIFICAÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR
 A partir do ponto de partida, calculam-se as coordenadas dos demais
pontos até retornar ao ponto de partida;
 A diferença entre as coordenadas fornecidas e calculadas resultará no
chamado erro planimétrico ou linear;
2.3 POLIGONAIS
𝑿𝒊 = 𝑿𝒊−𝟏 + 𝒅𝒊−𝟏 ,𝒊 . sen (𝑨𝒛𝒊−𝟏 ,𝒊)
𝒀𝒊 = 𝑿𝒊−𝟏 + 𝒅𝒊−𝟏 ,𝒊 . cos (𝑨𝒛𝒊−𝟏 ,𝒊)

 O erro planimétrico pode ser decomposto em uma componente na direção “x”
e outra na direção “y”.
2.3 POLIGONAIS

A seguir é apresentado um resumo da sequência de cálculo e ajuste de uma
poligonal fechada.
 Determinação das coordenadas do ponto de partida;
 Determinação da orientação da poligonal;
 Cálculo do erro de fechamento angular;
 Distribuição do erro de fechamento angular;
 Cálculo dos azimutes;
 Cálculo das coordenadas parciais (x, y);
 Cálculo do erro de fechamento linear;
 Cálculo das coordenadas definitivas (xc, yc).
2.3 POLIGONAIS

 EXERCÍCIO
1. Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para levantamento de uma
poligonal, determinar as coordenadas dos pontos que formam a mesma. São
dados.
2.3 POLIGONAIS

 EXERCÍCIO
2. Dada a caderneta de campo abaixo, complete as informações que estão
faltando, tais quais: azimutes, projeções, correções da projeção e coordenadas
finais.
2.3 POLIGONAIS
PE PV
Âng. Int.
Medido
Âng.
Corrigido
Azimute Distância
Projeções Correções
Coordenadas
Finais
∆X ∆Y Cx Cy X Y
-- 1 1000 1000
1 2 112°00‘15'' 211°58'50'' 147,058
2 3 75°24‘35'' 110,404
3 4 202°05‘05'' 72,372
4 5 56°50‘10'' 186,583
5 1 93°40‘20'' 105,451

 GRÁFICO
 A área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas e a área final será
determinada pelo somatório de todas as áreas das figuras.
2.4 CÁLCULO DE ÁREA
Cálculo de área: é uma atividade comum dentro da topografia. Os processos
de cálculo podem ser definidos como: analíticos, gráficos, computacionais e
mecânicos.

 COMPUTACIONAL
 Forma bastante prática para o cálculo das áreas;
 Baseado no emprego de algum programa gráfico do tipo CAD, no qual são
desenhados os pontos que definem as áreas levantadas, e o cálculo é feito por
métodos analíticos pelo programa.

 MECÂNICO
 Utiliza-se um equipamento chamado de planímetro.

 ANALÍTICO
 A área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a partir de
coordenadas dos pontos que definem a feição, realizar os cálculos desejados;
 O cálculo da área de poligonais, pode ser realizado a partir da fórmula de
Gauss.

 ANALÍTICO
 Exemplo de cálculo da área de um trapézio qualquer.

 ANALÍTICO
 A área do trapézio será:
Desta forma a área 1 será
calculada por:
Da mesma forma a área 2
será calculada :
A área da poligonal será dada
por:
Desenvolvendo tem-se:

 ANALÍTICO
Rescrevendo a equação, eliminando-se o sinal negativo obtém-se:
Genericamente a equação pode ser escrita:
Ou,

 EXERCÍCIO
1. Dadas as coordenadas dos pontos de uma poligonal, calcular a área da
mesma.

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