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ESCOLA ESTADUAL PROFESSOR JOÃO CRUZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assunto: ​Leitura do livro “A espiral dourada” do autor Nuno Crato 
Tema: ​Sequência de Fibonacci 
Aluno e número: ​Gabriel Alves da Silva nº8 
Série: ​3º Ensino médio C 
Professores: ​Carlos Ossamu Cardoso Narita 
Ms Maria Piedade Teodoro da Silva 
Disciplinas: ​Língua Portuguesa e Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jacareí 
2015 
 
 
1 Introdução 
 
O estudo em questão visa a pesquisa para maior aprofundamento em um dos                         
temas apresentados no livro “A espiral dourada”, do autor Nuno Crato, proposto                       
para leitura pelos professores Ms Maria Piedade Teodoro da Silva e Carlos Ossamu                         
Cardoso Narita, da escola EE Professor João Cruz. A sequência Fibonacci é citada                         
no livro ao mesmo tempo em que faz uma análise de sua participação em outro                             
livro, “O código da Vinci” de Dan Brown. 
O estudo se direciona por meio de perguntas para pesquisa como: “Quem foi                         
Leonardo Fibonacci?”, “O que é a Sequência de Fibonacci?” e “Como a Sequência                         
Fibonacci está presente na natureza?”. A sequência de Fibonacci é um dos                       
mistérios mais fascinantes descobertos na matemática, pois, de forma misteriosa se                     
manifesta em muitos fenômenos da natureza, foi descoberta pelo italiano Leonardo                     
Fibonacci no século XII e descrita como infinita, iniciando­se com 0 e 1, sendo os                             
próximos números soma dos dois anteriores. 
   
 
2 QUEM FOI LEONARDO FIBONACCI? 
 
Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio), nascido em                     
1170, na cidade de Pisa, na Itália, e morreu em 1250. Fibonacci é considerado um                             
dos maiores matemáticos da Idade Média, teve grande influência na área por ter                         
introduzido os algarismos arábicos na Europa e descoberto a sequência que                     
carrega seu nome, a Sequência de Fibonacci. 
Filho de um grande comerciante, Bonaccio, viajou pelos países onde seu pai                       
tinha negócios, no norte da África, conhecendo Egito, Síria e Grécia, conhecendo                       
metodologias matemáticas hindus e árabes, que eram usadas nas transações e                     
comércio do Mediterrâneo, estudou com um professor muçulmano que o fez ter                       
maior contato com os métodos algébricos árabes e os numerais indo­arábicos, ao                       
voltar para a Europa, aplicou a nova metodologia e a implantou na cultura ocidental. 
Fibonacci, após resolver problemas matemáticos da corte para o imperador                   
Frederico II, ganhou proteção do mesmo, podendo aprofundar­se com maior                   
dedicação ao estudo sobre a matemática, podendo viver apenas dos estudos e                       
pesquisas. Durante esse período, Fibonacci avaliou que os algarismos arábicos                   
seriam mais eficientes que os números romanos, utilizados na época, para efetuar                       
cálculos aritméticos, inclusive os mesmos foram utilizados posteriormente até os                   
dias atuais. 
Aos 32 anos publicou a obra responsável por disseminar os algarismos                     
arábicos: "Liber Abaci" (Livro do Ábaco ou Livro de Cálculo), “O ​Liber abaci inicia­se                           
com a idéia de que a aritmética e a geometria são interligados e se auxiliam                             
mutuamente; no entanto, ele trata muito mais de números que de geometria,                       
descrevendo primeiro ​as nove cifras indianas​, juntamente com o símbolo 0,​chamado                     
zephirum em árabe​. Explica métodos de cálculo com inteiros e frações com estes,                         
cálculo de raízes quadradas e cúbicas, resolução de equações lineares e                     
quadráticas, tanto pelo método de falsa posição como por processos algébricos.”,                     
segundo Ostete e Luchetta (2003). 
Fibonacci foi importante para a disseminação dos novos algarismos                 
hindu­arábicos, apesar de apenas no século XVI o uso do ​mesmo ser comum. Além                           
de “Liber Abaci”, publicou também "Practica Geometriae" (1220), "Di minor guisa",                      
sobre aritmética comercial e "Commentário ao Livro X de 'Os Elementos', de                       
Euclides. 
Após 1228 não se tem mais registros comprovados sobre a vida do                       
matemático Fibonacci, pelos serviços prestados para sua cidade natal, Leonardo de                     
Pisa tem uma estátua em sua homenagem localizada na galeria ocidental do                       
Camposanto. 
 
 
fig. 1 ­ Estátua de Leonardo de Pisa 
fonte: Wikipédia 
Na imagem: a estátua de Leonardo de Pisa, ou Leonardo Fibonacci. 
   
 
3 O QUE É A SEQUÊNCIA FIBONACCI? 
 
Segundo Sahd (2015) é uma  
sucessão de números que, misteriosamente, aparece em             
muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século 12                   
pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0                     
e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois                     
números anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1, 2, 3, 5,                         
8, 13, 21, 34… 
De acordo com Silva (2010), está “Dentre todos os mistérios da Matemática,                       
a sequência de Fibonacci é considerada uma das mais fascinantes descobertas da                       
história.” 
Ao transformar esses números em quadrados e             
dispô­los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral                 
perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos.               
Outra curiosidade é que os termos da sequência também                 
estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na               
arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável                   
aos olhos. Seu valor é de 1,618 e, quanto mais você avança                       
na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um termo e                     
seu antecessor se aproxima desse número. Sahd (2015) 
Como mostra a figura a seguir, ao dispor os números em quadrado é possível                           
traçar uma espiral perfeita, presente, curiosamente, em muitos elementos da                   
natureza: 
 
Figura: Espiral formada pela disposição geométrica da sequencia de Fibonacci 
Fonte: Mundo Estranho 
 
A disposição geométrica como retângulos da sequência de Fibonacci é                   
chamada de Retângulo Áureo, segundo Toffoli (2005)  
Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um             
retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos                   
lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora           
outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo                 
2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a               
anexar quadrados com lados iguais ao maior dos               
comprimentos dos retângulos obtidos no passo           
anterior. A sequência dos lados dos próximos             
quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de               
Fibonacci. 
 
Figura: Retângulo Áureo 
Fonte : Matemática essencial 
 
​A sequência de Fibonacci aparece em diversos fenômenos da natureza,                   
podendo dar exemplos como a folha de bromélia: 
 
Figura: folha de bromélia 
fonte: mundo educação 
 
As espirais de um caracol: 
 
Figura: casca de caracol 
Fonte: Mundo Educação 
Nos exemplos mostrados nas figuras espirais, a sequência Fibonacci pode ser observada 
se traçada de forma com que os retângulos sejam organizados. 
 
   
 
3 CONCLUSÃO 
 
Espera­se que com a leitura desse artigo o leitor tenha sido inspirado a                         
descobrir mais sobre a Sequência de Fibonacci, que permanece em diversos                     
elementos da natureza, como os girassóis, pinhas, conchas de caramujos e                     
diversos outros animais e seres vivos, a sequência revela a perfeição da natureza,                         
que até hoje é incompreendida pelo homem. 
Com a produção do artigo em questão, foram concluídos os objetivos de                       
informar e despertar interesses aos leitores e aprofundamento no assunto, tanto no                       
descobrimento do fenômeno da Sequência Fibonacci quanto o conhecimento sobre                   
a vida do descobridor do mistério e importantíssima personagem da matemática                     
ocidental, sendo um dos primeiros a usar os algarismos hindu­arábicos e a                       
proporcionar melhores cálculos com os mesmos. 
   
 
4 REFERÊNCIAS 
 
CRATO​, Nuno; SANTOS, Carlos Pereira dos; TIRAPICOS, Luís. A                   
Espiral Dourada. Lisboa. Portugal. Gradiva, 2006 
 
 ​Luchetta, ​Valéria Ostete Jannis, disponível em:  
http://www.matematica.br/historia/fibonacci.html 
 
Disponível em :​ ​http://www.e­biografias.net/leonardo_fibonacci/ 
 
Gies​, Joseph and Frances, Leonardo of Pisa and the New Mathematics                     
of the Middle Ages (1969). 
Garland, T.H., Fascinating Fibonaccis (1987); Hoggatt, V. E., Fibonacci                 
and Lucas Numbers (1969); Vorob'ev, N. N., Fibonacci Numbers (1961;                   
repr.1983​)​http://www.somatematica.com.br/biograf/fibo.php 
 
SAHD,​ Sahd, 2015, disponível em: 
http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o­que­e­a­sequencia­de­fibon
acci 
 
SILVA, ​Marcos Noé Pedro da, 2010 , disponível em : 
http://www.mundoeducacao.com/matematica/sequencia­fibonacci.htm 
 
TOFFOLI, ​Sonia F.L.Toffoli, 2005, disponível em: 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.ht
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Sequência de Fibonacci - 3º ano C

  • 2.   1 Introdução    O estudo em questão visa a pesquisa para maior aprofundamento em um dos                          temas apresentados no livro “A espiral dourada”, do autor Nuno Crato, proposto                        para leitura pelos professores Ms Maria Piedade Teodoro da Silva e Carlos Ossamu                          Cardoso Narita, da escola EE Professor João Cruz. A sequência Fibonacci é citada                          no livro ao mesmo tempo em que faz uma análise de sua participação em outro                              livro, “O código da Vinci” de Dan Brown.  O estudo se direciona por meio de perguntas para pesquisa como: “Quem foi                          Leonardo Fibonacci?”, “O que é a Sequência de Fibonacci?” e “Como a Sequência                          Fibonacci está presente na natureza?”. A sequência de Fibonacci é um dos                        mistérios mais fascinantes descobertos na matemática, pois, de forma misteriosa se                      manifesta em muitos fenômenos da natureza, foi descoberta pelo italiano Leonardo                      Fibonacci no século XII e descrita como infinita, iniciando­se com 0 e 1, sendo os                              próximos números soma dos dois anteriores.     
  • 3.   2 QUEM FOI LEONARDO FIBONACCI?    Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio), nascido em                      1170, na cidade de Pisa, na Itália, e morreu em 1250. Fibonacci é considerado um                              dos maiores matemáticos da Idade Média, teve grande influência na área por ter                          introduzido os algarismos arábicos na Europa e descoberto a sequência que                      carrega seu nome, a Sequência de Fibonacci.  Filho de um grande comerciante, Bonaccio, viajou pelos países onde seu pai                        tinha negócios, no norte da África, conhecendo Egito, Síria e Grécia, conhecendo                        metodologias matemáticas hindus e árabes, que eram usadas nas transações e                      comércio do Mediterrâneo, estudou com um professor muçulmano que o fez ter                        maior contato com os métodos algébricos árabes e os numerais indo­arábicos, ao                        voltar para a Europa, aplicou a nova metodologia e a implantou na cultura ocidental.  Fibonacci, após resolver problemas matemáticos da corte para o imperador                    Frederico II, ganhou proteção do mesmo, podendo aprofundar­se com maior                    dedicação ao estudo sobre a matemática, podendo viver apenas dos estudos e                        pesquisas. Durante esse período, Fibonacci avaliou que os algarismos arábicos                    seriam mais eficientes que os números romanos, utilizados na época, para efetuar                        cálculos aritméticos, inclusive os mesmos foram utilizados posteriormente até os                    dias atuais.  Aos 32 anos publicou a obra responsável por disseminar os algarismos                      arábicos: "Liber Abaci" (Livro do Ábaco ou Livro de Cálculo), “O ​Liber abaci inicia­se                            com a idéia de que a aritmética e a geometria são interligados e se auxiliam                              mutuamente; no entanto, ele trata muito mais de números que de geometria,                        descrevendo primeiro ​as nove cifras indianas​, juntamente com o símbolo 0,​chamado                      zephirum em árabe​. Explica métodos de cálculo com inteiros e frações com estes,                          cálculo de raízes quadradas e cúbicas, resolução de equações lineares e                      quadráticas, tanto pelo método de falsa posição como por processos algébricos.”,                      segundo Ostete e Luchetta (2003).  Fibonacci foi importante para a disseminação dos novos algarismos                  hindu­arábicos, apesar de apenas no século XVI o uso do ​mesmo ser comum. Além                           
  • 4. de “Liber Abaci”, publicou também "Practica Geometriae" (1220), "Di minor guisa",                       sobre aritmética comercial e "Commentário ao Livro X de 'Os Elementos', de                        Euclides.  Após 1228 não se tem mais registros comprovados sobre a vida do                        matemático Fibonacci, pelos serviços prestados para sua cidade natal, Leonardo de                      Pisa tem uma estátua em sua homenagem localizada na galeria ocidental do                        Camposanto.      fig. 1 ­ Estátua de Leonardo de Pisa  fonte: Wikipédia  Na imagem: a estátua de Leonardo de Pisa, ou Leonardo Fibonacci.     
  • 5.   3 O QUE É A SEQUÊNCIA FIBONACCI?    Segundo Sahd (2015) é uma   sucessão de números que, misteriosamente, aparece em              muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século 12                    pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0                      e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois                      números anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1, 2, 3, 5,                          8, 13, 21, 34…  De acordo com Silva (2010), está “Dentre todos os mistérios da Matemática,                        a sequência de Fibonacci é considerada uma das mais fascinantes descobertas da                        história.”  Ao transformar esses números em quadrados e              dispô­los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral                  perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos.                Outra curiosidade é que os termos da sequência também                  estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na                arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável                    aos olhos. Seu valor é de 1,618 e, quanto mais você avança                        na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um termo e                      seu antecessor se aproxima desse número. Sahd (2015)  Como mostra a figura a seguir, ao dispor os números em quadrado é possível                            traçar uma espiral perfeita, presente, curiosamente, em muitos elementos da                    natureza: 
  • 6.   Figura: Espiral formada pela disposição geométrica da sequencia de Fibonacci  Fonte: Mundo Estranho    A disposição geométrica como retângulos da sequência de Fibonacci é                    chamada de Retângulo Áureo, segundo Toffoli (2005)   Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um              retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos                    lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora            outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo                  2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a                anexar quadrados com lados iguais ao maior dos                comprimentos dos retângulos obtidos no passo            anterior. A sequência dos lados dos próximos              quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de                Fibonacci.    Figura: Retângulo Áureo  Fonte : Matemática essencial 
  • 7.   ​A sequência de Fibonacci aparece em diversos fenômenos da natureza,                    podendo dar exemplos como a folha de bromélia:    Figura: folha de bromélia  fonte: mundo educação    As espirais de um caracol:    Figura: casca de caracol  Fonte: Mundo Educação  Nos exemplos mostrados nas figuras espirais, a sequência Fibonacci pode ser observada  se traçada de forma com que os retângulos sejam organizados.       
  • 8.   3 CONCLUSÃO    Espera­se que com a leitura desse artigo o leitor tenha sido inspirado a                          descobrir mais sobre a Sequência de Fibonacci, que permanece em diversos                      elementos da natureza, como os girassóis, pinhas, conchas de caramujos e                      diversos outros animais e seres vivos, a sequência revela a perfeição da natureza,                          que até hoje é incompreendida pelo homem.  Com a produção do artigo em questão, foram concluídos os objetivos de                        informar e despertar interesses aos leitores e aprofundamento no assunto, tanto no                        descobrimento do fenômeno da Sequência Fibonacci quanto o conhecimento sobre                    a vida do descobridor do mistério e importantíssima personagem da matemática                      ocidental, sendo um dos primeiros a usar os algarismos hindu­arábicos e a                        proporcionar melhores cálculos com os mesmos.     
  • 9.   4 REFERÊNCIAS    CRATO​, Nuno; SANTOS, Carlos Pereira dos; TIRAPICOS, Luís. A                    Espiral Dourada. Lisboa. Portugal. Gradiva, 2006     ​Luchetta, ​Valéria Ostete Jannis, disponível em:   http://www.matematica.br/historia/fibonacci.html    Disponível em :​ ​http://www.e­biografias.net/leonardo_fibonacci/    Gies​, Joseph and Frances, Leonardo of Pisa and the New Mathematics                      of the Middle Ages (1969).  Garland, T.H., Fascinating Fibonaccis (1987); Hoggatt, V. E., Fibonacci                  and Lucas Numbers (1969); Vorob'ev, N. N., Fibonacci Numbers (1961;                    repr.1983​)​http://www.somatematica.com.br/biograf/fibo.php    SAHD,​ Sahd, 2015, disponível em:  http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o­que­e­a­sequencia­de­fibon acci    SILVA, ​Marcos Noé Pedro da, 2010 , disponível em :  http://www.mundoeducacao.com/matematica/sequencia­fibonacci.htm    TOFFOLI, ​Sonia F.L.Toffoli, 2005, disponível em:  http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.ht m