Física I ed. 1

Física I - Mecânica Página 1
Jonathan Tejeda Quartuccio
Física I
De acordo com as aulas ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do Instituto de
Tecnologia de Massachusetts (MIT) no outono de 1999.

Jonathan Tejeda Quartuccio
Física I
De acordo com as aulas ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do Instituto de
Tecnologia de Massachusetts (MIT) no outono de 1999.

Apresentação
Atualmente, enquanto escrevo esse livro, curso Física pelo Instituto de Física Gleb
Wataghin da Universidade de Campinas (Unicamp). Esse livro é uma transcrição de aulas
online ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do MIT. Posso dizer que mesmo cursando
física eu não tinha um contato real com essa ciência (ainda não havia caído minha ficha de
como a física funciona). Quando assisti às aulas do professor, fiquei fascinado com o seu modo
de ensinar. Posso dizer que ele se tornou minha grande inspiração para a física. Para minha
alegria, tive a grande satisfação de conversar, em rápidas palavras, com o professor Lewin
através de e-mails. Pude então agradece-lo por abrir a minha mente para o verdadeiro
conhecimento da física, e é exatamente isso que pretendo nesse curso de Mecânica.
Não estão todas as aulas ministradas aqui, decidi escrever somente até o ponto que
está de acordo com Física I, curso F 128 da Unicamp.
Alunos abram suas mentes e não desistam da física.
Jonathan T. Quartuccio

Índice
Aula 01 – Unidades, Dimensões e Argumento de Escala
Aula 02 – Velocidade e Aceleração
Aula 03 – Vetores
Aula04 – Movimento de Projéteis
Aula 05 – Movimento Circular
Aula 06 – Leis de Newton
Aula 07 – Peso
Aula 08 – Atrito
Aula 09 – Revisão
Aula 10 – Lei de Hooke e Osciladores
Aula 11 – Trabalho, Energia e Gravitação Universal
Aula 12 – Forças de Resistência
Aula 13 – Equações do Movimento de Osciladores Harmônicos Simples
Aula 14 – Órbitas, Velocidade de Escape e Energia
Aula 15 – Momentum e sua Conservação
Aula 16 – Colisões Elásticas e Inelásticas
Aula 17 – Momentum de Objetos Individuais, Impulso e Foguetes
Aula 19 – Rotação de Corpos Rígidos, Momento de Inércia e Teorema dos Eixos
Aula 20 – Momento Angular
Aula 21 – Torque
Aula 22 – Leis de Kepler e Mudanças de Órbitas
Aula 23 – Efeito Doppler, Sistemas Binários, Estrelas de Nêutrons e Buracos Negros
Aula 24 – Movimento Rotacional e Giroscópios
Aula 25 – Equilíbrio Estático

Física I

Aula 01 – Unidades, Dimensões e Argumento de Escala
Em física, nós exploramos coisas que vão desde o muito pequeno até o muito
grande. Frações que compreendem o tamanho de um próton até o tamanho do
Universo. Os físicos medem 45 ordens de grandeza (um seguido de quarenta e cinco
zeros).
Para expressar as medidas adotamos unidades:
 Comprimento [L]
 Tempo [T]
 Massa [M]
Essas são as grandezas chamadas de fundamentais na mecânica.
Há um vídeo, chamado “Powers of Ten” que mostra um pouco sobre a
magnitude das grandezas medidas em física. Segue o link para acessar o vídeo:
http://www.powersof10.com/film
Agora que nós conhecemos um pouco mais sobre ordens de grandeza,
podemos introduzir as unidades de medida. Para a unidade de comprimento, temos
metros (m); para a unidade de tempo, segundo (s); para a unidade de massa, temos o
kilograma (kg). Mas essas não são as únicas unidades. Temos uma série de outras
unidades que correspondem às mesmas grandezas. Por exemplo: para o comprimento
nós temos metros, centímetros, polegadas, entre outras; para o tempo nós temos
segundos, minutos, horas, dias, meses, etc.; para a massa nós temos o kilograma,
toneladas, etc. E essas grandezas foram sofrendo alterações no decorrer do tempo até
chegarmos aos padrões atuais de medida, descritos pelo Sistema Internacional de
Unidades.
A partir das grandezas fundamentais nós podemos derivar outras grandezas.
Por exemplo:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Conhecendo essas grandezas nós podemos fazer nossas medições.
Porém, é importante conhecer o máximo possível uma medida. Para isso,
devemos conhecer, também, uma incerteza relacionada à nossa medida. Qualquer
medida que fazemos sem conhecer sua incerteza é completamente sem sentido. Essa
frase é tão importante que ela merece destaque:
“Qualquer medida que fazemos, sem conhecer a sua incerteza, é
completamente sem sentido”.
Algumas pessoas possuem uma crença popular, na qual dizem que quando
estamos deitados somos ligeiramente maiores do que quando estamos em pé. O que
faremos aqui é testar essa crença e ver se ela tem algum fundamento científico.
Primeiramente, mediremos uma barra de alumínio.
- Na vertical
L = 149.9 0.1 cm

- Na horizontal
L = 150.0 0.1 cm
O “mais ou menos” representa a minha incerteza, pois o meu instrumento de
medida pode conter algum erro, e certamente ele contém. Ou então eu posso ter
cometido algum erro na hora da medida. Mas perceba que, embora minha medida na
horizontal possa ter diferenciado da vertical, o meu erro anula essa diferença.
Agora, medindo uma pessoa.
- Na vertical
L = 183.2 0.1 cm
- Na horizontal
L = 185.7 0.1 cm
A diferença de altura é cerca de 2.5 0.2 cm
Perceba que a diferença não é muito grande, e o nosso erro é dado em
milímetros. Se o erro fosse maior ou menor, nós não seríamos tão convincentes em
nossas medidas. Da mesma maneira, se esse valor fosse dado em polegadas ou em
pés, nossa diferença de altura seria muito grande e quando saíssemos da cama
sentiríamos uma sensação muito estranha.
De qualquer forma, se não tivéssemos nossa incerteza nossa medida não faria
sentido.
Galileu Galilei fez a seguinte questão:
“Por que os grandes mamíferos não podem ser muito maiores do que seu
tamanho original?”
Segundo Galileu, se a massa desses mamíferos se torna muito maior, seus ossos
poderão se quebrar. Tomemos um animal de tamanho S e massa M.
Vamos nos fixar no fêmur do animal. O fêmur possui um comprimento l e uma
espessura d. Assim, a dimensão do fêmur é dada por:
Fêmur =

Sendo A a área da secção transversal do fêmur.
O que iremos fazer agora é utilizar uma ferramenta na qual os físicos chamam
de argumento de escala.
A pressão sobre o fêmur é dada por:
Se a pressão for maior que certo valor, os ossos vão se quebrar.
Se a massa de um animal aumenta para um fator 4 (por exemplo), para que os
ossos não se quebrem d também terá de aumentar um fator para 4.
Esse resultado mostra que se eu tenho dois animais e um é dez vezes maior que
o outro, então S é dez vezes maior, os comprimentos das pernas serão dez vezes
maiores, mas a espessura do fêmur será trinta vezes maior.
Agora usaremos outra ferramenta, conhecida como análise dimensional, para
tentar responder a seguinte questão: Digamos que uma maçã cai de uma altura h, o
tempo de queda (t) depende de quais fatores?
O valor α é desconhecido, mas se aumentamos α nós aumentamos t.
Sabemos que a maçã possui uma massa m.
Da mesma maneira, se β aumenta a maçã é mais maciça e levará menos tempo
para cair. Mas também existe a aceleração da gravidade, que nós ainda não
compreendemos muito bem.
Agora, vamos tentar encontrar os valores dos nossos expoentes. Note que do
lado esquerdo de nossa relação só existe o tempo, e ele está elevado a um. Da mesma
maneira, temos de ter do lado direito apenas o tempo.

Assim, podemos escrever:
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
Como só há M do lado direito, β deve ser zero.
Como não há L no lado esquerdo, temos:
Para T, temos:
Portanto:
O que nos dá as possíveis respostas:
Observando esses valores, nós podemos concluir que (como existem potencias
iguais a ½ e isso é uma raiz):
√ √
O valor C é uma constante, assim como g (que é a gravidade) e por essa razão
nos sobra apenas √ .
Se a maçã cai de uma altura de 8 metros e outra de uma altura de 2 metros, a
de 8 metros demorará 2 vezes mais para chegar ao chão do que a de 2 metros.
Fazendo uma experimentação...
Lançaremos um objeto de duas alturas distintas, sendo que uma é o dobro da
outra.
H1 = 3.000 0.003 m
H2 = 1.500 0.003 m

A relação de H1 para H2 é:
O que queremos é encontrar uma relação do tempo de queda, sendo que não
medimos o tempo de queda do objeto das diferentes alturas (apenas utilizamos os
valores das alturas para encontrar uma relação). Mas sabemos que:
√
Com isso, podemos obter a relação dos tempos de queda t1 e t2:
√
O que fizemos até aqui foi apenas uma predição do que esperamos ocorrer
experimentalmente. Agora, mediremos o tempo de queda do objeto das duas alturas.
Os resultados são:
t1 = 0.781 0.002 s
t2 = 0.551 0.002 s
Assim, nossa relação fica:
Perceba que o valor experimental foi muito próximo de nossa predição. Na
realidade, como estamos adotando um erro, podemos confiar em nossa experiência e
dizer que os valores coincidem.
Esse resultado nos mostra que o tempo de queda não depende da massa do
objeto, mas sim da altura que o mesmo é lançado (pois o resultado com o objeto em
queda foi o mesmo resultado analisando apenas a altura).
Essa primeira aula buscou fazer com que o aluno comece a questionar
fisicamente a natureza, pois é isso que um físico faz. Portanto, quero lhe desejar boas
vindas ao conhecimento da natureza. Isso é Física!
Indo mais além...
Unidades de Medidas
No decorrer da história, foi necessária a criação de padrões únicos de unidades
de massa e comprimento pelo fato de que os poderosos da França (por volta do século
XVIII) usufruíam mercadorias por um preço menor, e as vendiam por um preço maior.
A França estava passando por problemas, e com a decadência e a desmoralização da
monarquia, era difícil ter leis. Isso originou várias formas de opressão. Em 1790, no
início da Revolução Francesa, um decreto da Assembleia Constituinte, que assumiu o
poder da França, exigiu da Academia de Ciências uma criação de padrões únicos de
massa e comprimento. Foram esses padrões que originaram o sistema métrico,
oficializado na França em 1799. Para definir a unidade de quilograma, foi criado o
Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM). Existem mais de oitenta cópias do
BIPM pelo mundo, inclusive no Brasil.
Medir uma grandeza é atribuir-lhe um valor numérico e uma unidade. São essas
unidades muito importantes para o estudo da física, pois são elas que muitas das vezes
confundem as pessoas. Em qualquer campo de conhecimento, em especial nas ciências
e na engenharia, a interpretação e a previsão de eventos se baseiam na medição de

grandezas. A necessidade de classificar grandezas como temperatura, comprimento,
etc. nos conduziu ao desenvolvimento de unidades de medidas, os padrões de
medidas. Geralmente, os padrões de medidas seguem o Sistema Internacional de
Medidas (S.I.), mas também temos outras unidades.
Notas de Aula
A figura mostra diferentes medidas de fêmures de vários mamíferos.
Aqui temos um gráfico que relaciona as medidas obtidas com os fêmures.

Aula 02 – Velocidade e Aceleração
Vamos falar sobre velocidade e aceleração.
Temos um objeto que se move em linha reta, em um movimento
unidimensional.
A direção nós quem escolhemos, somos livres para decidir isso.
Iremos introduzir o conceito de velocidade:
〈 〉 𝑡 𝑡
𝑡 𝑡
Nesse caso, 〈 〉 𝑡 𝑡 > 0, pois 𝑡 é maior que 𝑡 . Perceba que para 〈 〉 𝑡 𝑡5 = 0,
pois a posição 𝑡 e 𝑡5 é a mesma. Para 〈 〉 𝑡 𝑡4 < 0, pois 𝑡4 é menor que 𝑡 .
𝑡 representa a posição x do objeto no tempo t, enquanto que 〈 〉 é a
velocidade média.
Se eu mudo o sentido da trajetória, eu mudo os sinais da minha velocidade.
Velocidade negativa indica que o móvel está no sentido contrário ao sentido positivo
da trajetória. Ou seja, a escolha dos sentidos determina os sinais.
Analisando nosso movimento em um gráfico, escolhemos um intervalo, nesse
caso de t2 a t3.
O que nos dá:
〈 〉
Se α é positivo, então a velocidade é positiva. Mas se α é negativo então a
velocidade é negativa, como é o caso de t4 a t5.
Existe uma grande diferença entre velocidade média e velocidade escalar
média. A velocidade escalar é definida como:

Entre t1 e t5 a velocidade média é zero, mas a velocidade escalar é diferente de
zero. Para a velocidade escalar o sinal não importa, mas sim a magnitude. Por
exemplo, se eu tenho: v1 = + 30 m/s e v2 = – 100 m/s, embora sabemos que – 100 é
menor que + 30, para a velocidade escalar só importa a magnitude, ou seja não
consideramos o sinal (100 é a velocidade maior).
Olhando novamente para o intervalo do meu gráfico:
Se eu aproximo t3 de t2 o ângulo α começa a mudar. A nossa reta t2t3 se torna
uma tangente em α no caso limite de Δt  0 (ou seja, quando meu intervalo de tempo
for muito pequeno). Assim nós definimos velocidade instantânea:
𝑡
Ou seja, a velocidade instantânea é uma derivada.
Temos que:
Pode ser maior que zero; igual à zero ou menor que zero.
Suponha que temos um projétil que vai partir do ponto I e chegar ao ponto II,
que estão separados por uma distância D.
Como sabemos, medidas sem uma incerteza é sem sentido. Em nosso caso
temos duas incertezas: à distância e o tempo que o projétil demora a ir de I até II.
A distância nós medimos e sabemos que é D.
Ao passar por I, o tempo do projétil começará a ser medido e terminará em II.
Sendo D = 148.5 0.5 cm
Se a velocidade do projétil fosse de 300 m/s, o tempo medido seria de 5
milissegundos. Adotando um erro de 20%, temos que nosso erro será 0.1 ms.
Medindo experimentalmente a velocidade do projétil:
t = 5.8 0.1 ms
Assim:

Introduziremos agora o conceito de aceleração média.
Podemos perceber que a velocidade não permaneceu constante todo o tempo.
Ela tem mudado. Assim:
〈 〉
𝑡 𝑡
Assim como a velocidade, o sinal depende da trajetória.
〈 〉
Suponha que uma bola caia no chão com uma velocidade de 5 m/s, e depois ela
retorna com a mesma velocidade.
Assim:
〈 〉
Note que a partir do gráfico de velocidade em função do tempo é possível
encontrar o valor da aceleração. Da mesma maneira que fizemos anteriormente,
podemos encontrar a aceleração em qualquer momento (aceleração instantânea)
tornando o intervalo de tempo cada vez menor, ou tendendo a zero. Portanto, temos
que:
𝑡
Assim:
Agora, analisemos o seguinte:
( )
O que nos fornece:
Ou seja, a aceleração é a segunda derivada do espaço em função do tempo. A
aceleração pode ser maior que zero, igual a zero ou menor que zero.

Se em um gráfico a velocidade é constante então a aceleração é zero. Se v > 0
então a > 0 e se v < 0 então a < 0.
Tomemos a seguinte função: .
Essa função representa o espaço percorrido por um determinando objeto em
função do tempo. Vamos lembrar uma regra básica de derivação:
Portanto, podemos derivar nossa função espacial e obter a velocidade do nosso
objeto. Assim: v = – 6 + 2t (m/s)
Derivando mais uma vez nossa função, encontramos o valor da aceleração: a =
+ 2 (m/s²)
Note que nossa função é de segundo grau e nossa aceleração é positiva. Assim,
podemos esboçar nosso gráfico.
Vamos nos focar no estudo em uma dimensão (1-D). Tomaremos o valor da
nossa aceleração constante e os valores de C são parâmetros que dependem do
tempo.
Essa é uma forma geral de escrever o espaço percorrido. Derivando temos:
Assim, ficamos com os seguintes resultados:
Para objetos sob a influencia da gravidade, existe uma aceleração constante a
qual chamamos de “g”, cujo valor é de 9.8 m/s².
Essa aceleração é independente da massa do objeto.

Vamos soltar uma bola de uma determinada altura, de maneira que o espaço
inicial é zero e a velocidade inicial é zero (a bola parta do repouso):
Assim:
Isso nos conduz à uma conclusão com respeito à primeira aula, quando
tínhamos a seguinte equação:
√
E agora, podemos concluir que:
√
Como v = gt, quando soltamos um objeto sua velocidade aumenta com o
tempo. Com o auxilio de uma foto estroboscópica podemos ver espaços cada vez
maiores entre imagens sucessivas do objeto em queda.

Aula 03 – Vetores
Algumas quantidades em física nós representamos utilizando apenas um
número e uma unidade, como a massa ou a temperatura, por exemplo. Existem,
porém, algumas grandezas na qual devemos conhecer, também, uma direção e um
sentido. Esse é o caso dos vetores.
Velocidade e aceleração são exemplos de vetores.
Nessa aula, aprenderemos a trabalhar com essas ferramentas matemáticas.
Os vetores possuem um comprimento, uma direção e um sentido. Sua
representação é:
Nós vamos estudar planos de uma maneira tridimensional. Por essa razão,
muitas vezes, nossos vetores poderão sair do plano (papel) ou entrar no plano.
Quando representamos vetores, nós podemos escrevê-los das seguintes
maneiras:
Aqui, vamos representar os vetores com negrito.
Seja O um ponto qualquer e P uma determinada localização. Digamos que eu vá
de O até P.
Imagine que o plano onde OP esteja seja uma grande mesa, e essa mesa se
move da seguinte maneira:
O ponto S será minha posição final na qual vocês verão (embora, para mim, eu
tenha permanecido em P). Portanto, haverá uma distância OS que vocês medirão.
Essa distância é calculada utilizando-se a adição de vetores:

Há várias maneiras nas quais podemos somar vetores. Dados dois vetores A e
B:
Eu posso juntar a extremidade de um vetor com a origem do outro.
Não importa qual vetor venha antes, meu resultado permanece o mesmo.
Podemos utilizar a regra do paralelogramo, que consiste em juntar as duas
origens dos vetores.
O que significa um vetor ser negativo?

Ou seja - A é igual a A, mas com o sentido contrário (possui a mesma direção e
o mesmo comprimento). Essa ideia nos conduz à subtração de vetores.
Se não conhecemos a direção e o sentido de algo, então existem várias
possibilidades para nosso resultado. Por exemplo, se temos dois vetores os quais
conhecemos apenas suas magnitudes, sem os sentidos ou direções, e sejam seus
valores iguais a 5 e 4, nosso vetor final pode ser 1 ou 9.
Vários vetores podem ser representados por um único vetor. De maneira
análoga, podemos decompor um único vetor em vários outros.
Seja um vetor A num espaço tridimensional.
Os vetores i, j e k representam os vetores unitários das coordenadas x, y e z
(respectivamente). Esses vetores nós chamamos de “versores”.
Assim eu reescrevo meu vetor A nas componentes i, j e k:

A magnitude do vetor, ou o comprimento, é calculado da seguinte maneira:
| | √
Exemplo:
A = 3i – 5j + 6k
| | √
| | √
Agora, podemos calcular o valor do ângulo que temos.
| |
Assim, nossa resposta fica:
√
Multiplicação de Vetores
 Produto Escalar (Produto Ponto)
O resultado é um número.
O ângulo θ entre os vetores deve ser encontrado projetando-se um vetor sobre
o outro, o que nos fornece a definição de produto escalar:
| || |
O sinal desse resultado depende do ângulo adotado.
Isso será melhor visto em trabalho, pois nós teremos trabalho positivo e
trabalho negativo.
Exemplo 1.
Assim, nossa resposta fica:
Exemplo 2.
A = j e B = k

 Produto Vetorial (Produto Cruz)
O resultado é um vetor.
Vamos colocar nossos vetores em uma matriz.
É importante que A venha antes, pois em nossa multiplicação ele vem antes.
Agora, copiamos as coordenas dos vetores em ambos os lados da matriz e
aplicamos a multiplicação como se fossemos encontrar o determinante.
Conhecendo dois vetores A e B, temos que:
| || |
Nós conhecemos a magnitude do vetor, mas como saberemos sua direção?
Para isso, nós utilizamos a regra da mão direita.
Os dedos apontam para o mesmo sentido de A, pois ele foi o primeiro termo a
surgir. Então você rotacional os dedos em direção à B (formando o ângulo). O polegar
apontará no sentido do vetor C.
Se o vetor entra no plano, seu sinal será positivo. O vetor é sempre
perpendicular a A e B. Portanto:
Com isso, podemos concluir que:
Exemplo:
A = i Ax = 1
B = j By = 1

Há uma dica para a multiplicação de vetores:
Assim, seguindo sempre no sentido das setas:
Caso invertemos a ordem:
Agora, vamos observar um ponto que se move em um espaço tridimensional
durante um tempo t. Seja r(t) o vetor deslocamento:
Podemos derivar essa função e encontrar a velocidade e a aceleração:
Para o ponto P se movendo:
Essas são as coordenadas em x.
De modo análogo para y e z.
Com isso decompomos um movimento tridimensional para um movimento em
uma dimensão, o que irá facilitar as coisas.
Lançando uma bola para frente sua trajetória poderá ser descrita em um plano
vertical. Por mais que a bola viaje em 3 dimensões, podemos representar sua trajetória
em apenas 2 eixos, bidimensionalmente, em x e y.
Estudaremos o trajeto da bola analisando um trajeto no eixo x independente
do eixo y. Da mesma maneira analisaremos o eixo y e então juntaremos ambos para
descrever o trajeto da bola.
Como vimos na aula anterior, em movimentos em 1-D.
Estudaremos essas equações para x e depois y.
Lançando uma bola, temos:

é a velocidade inicial no eixo x e é a velocidade inicial no eixo y.
A posição de P é dada por X(t) no eixo x no tempo t e por Y(t) no eixo y e no
tempo t. O vetor deslocamento é dado por r(t). Estudando as equações nos eixos:
Agora, em y:
Assim, nós decompomos um movimento complicado em dois movimentos
independentes. Na próxima aula nós retornaremos esses argumentos.
Observando as equações, no eixo x a velocidade não varia, pois não há
aceleração. Apenas em y a velocidade varia, pois existe a aceleração da gravidade. Isso
implica que se lançarmos uma bola numa trajetória oblíqua e continuarmos andando
no mesmo sentido com a mesma velocidade horizontal, a bola cairá em nossas mãos.
O motivo é que só existe aceleração em y, e y é independente de x. Porém, a trajetória
será uma junção de ambos os movimentos.

Um dispositivo com uma bola lançara a mesma assim que passar por um
determinado ponto. Após lançar a bola, o dispositivo continuará se movimentando
com velocidade constante, assim:

Aula 04 – Movimento de Projéteis
Nessa aula faremos algumas aplicações do que vimos na aula passada.
Tomando a trajetória de uma bola.
P é o ponto máximo (altura máxima atingida) e S é o ponto final da trajetória
(alcance).
Vamos utilizar as equações do movimento em uma direção:
Da aula anterior, temos que:
A aceleração é –g, pois aponta no sentido contrário à y.
Usando a equação 3, temos que:
Como o espaço inicial é zero o termo desaparece.
Da equação 1:
Da mesma maneira, desaparece, pois é zero.
Isolando t na equação 1:
Substituindo t na equação 3:
( )

Essa é a equação da trajetória que por sua vez é uma parábola (perceba que há
termos quadráticos). Nós usamos t da equação 1 pois ao término do movimento em x
nosso objeto completa a trajetória.
Agora, qual o tempo o nosso objeto demorará a atingir a altura máxima?
Para isso, usaremos a equação 4. Devemos nos perguntar em que momento a
velocidade em y é zero, pois na altura máxima essa velocidade é zero.
Da equação 4, temos:
Esse é o tempo que a bola demora a atingir o ponto P, ou a altura máxima.
Substituindo esse resultado na equação 3:
Com isso, podemos encontrar a altura máxima.
Agora, podemos calcular o tempo que o objeto leva para ir de O até S.
Calcularemos, portanto, seu alcance.
O tempo de subida da bola é igual ao tempo de descida, portanto o tempo total
do movimento, até chegar em S, será duas vezes o tempo para alcançar P.
O ângulo determinará a altura e o alcance.
Queremos saber a distância OS. Utilizaremos a equação 1 pois o alcance é com
relação ao eixo x.
Atirando um objeto verticalmente:
Digamos que o objeto alcance uma altura igual a 307 0.15 m.
Esses valores são experimentais (lançamos o objeto várias vezes para cima e
estamos adotando um erro de 5%). Assim, temos que:
Alterando o ângulo:
Minha predição será:
Minha predição será:

Nesse caso, adotamos um erro de 7%.
É interessante fazer essas experiências.
Se ao invés de 30° eu usasse 60°, OS não mudaria, pois
E sen60 = sen120.
Algumas pessoas possuem um hobby um tanto quanto maldoso. Trágico para
ser mais exato. Essas pessoas, como ocorre muito na África, caçam macacos.
Um caçador mira sua arma, apontando diretamente para um macaco que está
em uma árvore.
A linha tracejada representa o trajeto que o projétil faria caso não houvesse a
gravidade. A parábola representa a trajetória real do projétil (embora esteja um pouco
exagerada). Ou seja, se o caçador mira direto no macaco ele não o acertará, mas o
projétil atingirá o ponto P.
Mas, digamos que o macaco se assuste com o flash do disparo e então ele salta.
O que ocorrerá com ele?
Vamos analisar as duas trajetórias do projétil.
Sabemos que:
Portanto, o que ocasiona a mudança na trajetória é a gravidade (que é a
mesma em todo o trajeto). Com isso:

Perceba que a diferença de altura no primeiro ponto é ocasionada pelo mesmo
fator que ocasiona a diferença de altura no segundo ponto (ambos são por causa do
1/2gt²).
Ou seja, se o macaco pula no momento do disparo ele será atingido. Se a
velocidade do projétil for alta, o macaco será atingido em uma altura maior. Se a
velocidade do projétil for baixa, o macaco será atingido em uma altura menor. Mas se
a velocidade for muito baixa, o macaco não será atingido.
Agora, vamos imaginar a mesma situação só que dentro de um elevador em
queda livre.
Se o macaco não se mover ele verá o projétil vindo em direção a sua cabeça.
Mas digamos que o macaco, muito inteligente, faça um rápido cálculo. Ele
percebe que:
𝑡
√
Para nós, calculando o tempo de morte do macaco (caso ele não faça nada):
𝑡
E
√

Então:
𝑡
√ √
Ou seja, se o macaco vai viver ou morrer dependerá se os seus cálculos
estiverem certos ou errados.

Aula 05 – Movimento Circular
Nessa aula nós discutiremos sobre movimento circular uniforme.
Perceba que a velocidade é tangente à trajetória. A velocidade média está
mudando, mas a velocidade escalar não.
T = período (s)
f = frequência (rad/s) ou Hz
A velocidade angular (ω) em um movimento circular é dado por:
Há uma aceleração sobre o objeto que altera sua direção. A aceleração
centrípeta (ac) é sempre direcionada para o centro da trajetória.
| |
Um exemplo:
r: 10 cm
f: 10 Hz
T = 1/10 s
600 rpm

A aceleração centrípeta deve ser causada por algo. E é esse algo que está
mudando o sentido da velocidade. Esse algo nós chamaremos de “puxão” ou
“empurrão”.
Imaginemos uma plataforma giratória, e você está sentado em uma cadeira que
está parafusada a essa plataforma. A plataforma gira com uma velocidade angular ω.
Então você sentirá um empurrão da cadeira em suas costas em direção ao centro.
Agora, digamos que ao invés de estar sentado na cadeira você esteja em pé segurando
um cabo de vassoura na vertical (voltado para o centro da plataforma). Dessa maneira,
você sentirá que o cabo de vassoura está te puxando em direção ao centro.
O que aconteceria se o puxão ou o empurrão deixasse de agir sobre você?
Algumas pessoas acreditam que você seguiria uma trajetória descrita por uma espiral.
Mas isso não é verdade. Não é isso o que acontece.
Pelo fato da velocidade ser tangente à trajetória, se o puxão ou empurrão
deixar de agir, você sairia no sentido da velocidade.

Se você possui uma velocidade na direção x e de repente o puxão ou empurrão
deixa de agir, então você sairá na direção x. É fácil demonstrar isso
experimentalmente. Fique girando algum objeto preso a uma corda e depois solte a
corda. Você verá o objeto saindo na direção a qual você soltou a corda.
No caso dos planetas do sistema solar, o que causa esse puxão é o Sol. Se o Sol
desaparece, os planetas escapariam em linha reta ao longo da direção em que estavam
no momento em que deixaram de sentir o puxão do Sol.
Mas é claro que as órbitas dos planetas não são circulares. Como descreveu
Kepler, as órbitas são elípticas. Conhecendo-se a distância dos planetas ao Sol (que
seria o raio) e conhecendo também seus períodos, podemos adotar uma trajetória
circular para os mesmos a fim de fazer uma estimativa de suas acelerações centrípetas.
Temos uma bola de gude dentro de um tubo de vidro. Nós vamos girar esse
tubo, como mostra a figura:
O desenho mostra o trajeto circular da bola de gude. A bola necessita de uma
aceleração centrípeta para girar em torno do centro. Mas o que prova que exista algo
agindo sobre ela?

O tubo é o que ocasiona o movimento da bola, assim como o Sol dos planetas.
A posição da bola depende do tudo. Se o tubo deixa de existir repentinamente a bola
escapa no sentido de v. Essa é a ideia básica de uma centrífuga.
Se quisermos secar salada, como alface, por exemplo, podemos fazer isso
utilizando uma centrifuga para saladas. A secagem ocorre pois a água mantém seu
sentido igual ao da velocidade e escapa pelos furos presentes na centrifuga. Abaixo,
temos o exemplo de uma centrífuga para saladas.
Vamos falar sobre aceleração centrípeta e a maneira como nós percebemos a
gravidade.
Iremos coloca-lo em várias situações e ver como você sente a gravidade. Você
está segurando em uma corda. Eu te pergunto: você sente um puxão ou um
empurrão? E em que sentido você sente a gravidade?
Ou seja, você sente um puxão para cima e a gravidade no sentido oposto.
Agora, você está em pé, sobre o chão. Você sente um puxão ou um empurrão?
E em que sentido você sente a gravidade?

O chão empurra você para cima. Perceba que em ambos os casos a gravidade é
oposta ao puxão ou empurrão.
Agora, vou rodá-lo enquanto você segura na corda. Você sente um puxão ou
um empurrão? E qual o sentido da gravidade?
São esses os sentidos os quais você sentirá um puxão e a gravidade. Quanto
mais rápido eu rodá-lo, mais forte será o puxão e mais forte será a sensação de
gravidade.
Vamos viajar agora para o espaço onde você está na estação espacial
Enterprise. Não há gravidade, mas nós criaremos uma gravidade artificial.

O chão da nave está te empurrando, então você deveria sentir a gravidade no
sentido oposto. Mas uma pessoa em outro ponto da estação espacial sentiria a
gravidade em outra direção.
Queremos calcular a rotação da Enterprise a fim de imitar a aceleração da
gravidade terrestre, que é de 9.8 m/s², ou podemos arredondar o valor para 10 m/s².
Então:
| |
No centro de nossa estação espacial não há aceleração centrípeta, pois o raio é
zero.
Agora vem uma questão: nós podemos andar pelo corredor em torno da nave
sem problema algum, mas poderíamos andar nos corredores centrais?
Digamos que você quer chegar até o quarto.

Você nunca conseguiria chegar ao seu destino pois você estaria indo contra a
gravidade.
Mas, por outro lado, digamos que você acorda no quarto e decida voltar para o
corredor em torno da nave. O que aconteceria?
Você simplesmente seria jogado para fora. A medida que você começa a se
afastar do centro da Enterprise a gravidade começa a aumentar pois o raio começa a
aumentar.
Suponha que temos um líquido cheio de diminutas partículas. Essas partículas
são tão pequenas que estão misturadas no líquido, nem podemos percebe-las.
Colocamos o liquido em um tubo e o giramos em torno de um eixo.

Como há uma aceleração centrípeta, as partículas sentirão a gravidade no
sentido oposto. O líquido é sempre perpendicular a gravidade, portanto, assim que o
tudo começa a girar, temos:
Depois de um certo tempo girando, as partículas no líquido irão todas em
direção à gravidade. No final teremos:
Esse é o funcionamento de uma centrífuga de laboratório.
Vamos dar alguns valores para uma centrífuga:
Esse valor é cerca de 2000 vezes maior que a aceleração da gravidade da Terra.
Agora, voltemos ao caso em que você esteja rodando enquanto segura em uma
corda. Mas agora vou rodá-lo de uma maneira um pouco diferente.

Sabemos que:
Eu posso girá-lo cada vez mais rápido, de modo que v aumente e a aceleração
centrípeta aumente. Então, eu te pergunto: em que direção é a gravidade?
E você me responderá o seguinte (assumindo que você esteja nesse ponto):
Por mais que isso pareça ir contra nosso senso comum, é algo verdadeiro. É tão
verdadeiro que eu posso pegar um balde com água, prende-lo à uma corda e girá-lo da
mesma maneira que fiz com você de maneira que a água não caia do balde.

Com alguns dados, podemos calcular um valor para que a aceleração centrípeta
seja maior que a aceleração da gravidade.
Ou seja, se a física funciona, eu posso girar o balde com certa velocidade
(mínima) que quando o balde estiver no topo a água não cairá dele. Se minha
velocidade for baixa, então eu irei me molhar.
Notas de Aula
Esses são dados das distâncias dos planetas ao Sol, de seus períodos e de suas
acelerações centrípetas.

Perceba que foi encontrada uma relação entre as acelerações centrípetas.

Aula 06 – Leis de Newton
Na aula passada foi discutido como a aceleração é causada por um puxão ou
empurrão.
Nessa aula discutiremos melhor essa ideia com o que chamamos de Leis de
Newton.
A primeira lei foi expressa por Galileu, o qual dizia:
“Um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento
permanece em movimento com uma velocidade constante através de uma linha reta
ao menos que uma força externa aja sobre ele”.
Newton, em seu famoso livro Principia, escreveu essa lei. E aqui está da forma
como ele escreveu:
“Todo corpo mantém seu estado de repouso ou de movimento uniforme em
linha reta até que uma força externa mude seu estado”.
Essa lei é chamada de inércia.
Se um objeto fosse lançado através de uma linha reta e conseguíssemos anular
a gravidade e outras forças, como o arrasto, por exemplo, então esse objeto
permaneceria em movimento para sempre.
A inércia não serve para um referencial que está sendo acelerado. Imagine que
eu esteja me movendo em um movimento acelerado na seguinte direção.
Você iria ver minha velocidade mudando, contanto que você esteja em
repouso. De acordo com a primeira lei deve existir uma força agindo sobre mim. Se
você me perguntar se eu sinto algo me empurrando eu responderei: sim, eu sinto um
empurrão.
Agora, imagine que vocês vêm na minha direção com velocidade constante. Eu
veria vocês em movimento acelerado, pois eu estou acelerado e no sentido contrário.
Então eu diria que vocês, de acordo com a primeira lei, devem estar sentindo uma
força empurrando vocês. Mas vocês não sentem nada.
Portanto, a inércia não funciona para meu referencial que está acelerado.
A primeira lei funciona para referenciais inerciais. E nesses referenciais não
podemos levar em conta qualquer tipo de aceleração.
A sala em que você está não é um referencial inercial, pois a Terra gira ao redor
do Sol com uma aceleração centrípeta. O Sol, por sua vez, gira em torno do núcleo da
Via Láctea. E a Via Láctea gira em torno de outros aglomerados galácticos.
Podemos fazer uma estimativa da aceleração que a sala está sofrendo. Vamos
imaginar que a sala em que você está fique sobre o equador.

Assim:
Esse valor é bem menor que a aceleração da gravidade da Terra.
A primeira lei não pode ser provada, mas devemos acreditar nela.
Vamos para a segunda lei.
Tomemos uma mola, na qual a esticaremos um pouco.
Se eu estico a mola surgirá uma força de tração (ou puxão) oposta.
Agora, eu prendo um corpo de massa M1 à mola.
Eu meço a aceleração a1 do bloco M1, causada pelo puxão logo após eu soltar a
mola.

Agora, eu substituo M1 por outro corpo de massa M2, mas mantenho a mesma
deformação da mola. Assim, eu meço a2.
Experimentalmente eu vejo que, como a deformação é a mesma (o puxão é o
mesmo e, portanto, a força é a mesma):
E essa é a minha definição de força.
Assim, uma força sobre um corpo de massa 10 vezes maior daria ao mesmo
uma aceleração 10 vezes menor em relação a outro corpo.
A segunda lei é descrita como:
“A ação de uma força sobre um corpo lhe dá uma aceleração que é na direção
da força e tem magnitude dada por ma”.
O que nos fornece a seguinte equação:
[ ]
A segunda lei, assim como a primeira, só serve para referenciais inerciais e
também não pode ser provada.
Para um objeto em queda, podemos escrever:
Se m se torna maior, a força da gravidade se tornará maior.
Vamos adotar a sala como um referencial inercial. Temos uma bola na sala, e a
bola está em repouso (a bola está em minhas mãos). Como a bola está em repouso,
sua aceleração é zero e, portanto, as forças sobre ela devem ser zero.
Eu começo a levantar a bola com a mesma força de mg (ou seja, a aceleração
continua sendo nula).

Então:
Chegamos à terceira lei:
“Se um objeto exerce uma força sobre outro. O outro exerce a mesma força no
sentido contrário ao primeiro”.
Essa lei é conhecida como ação e reação.
Vamos ver um exemplo:
Vamos aplicar uma força de intensidade igual a 20 N sobre dois blocos que
estão grudados. A massa dos blocos é dada:
Podemos calcular a aceleração total do sistema:
Vamos calcular a intensidade da força aplicada no bloco 2. Sendo F(1,2) a força
que o bloco 1 aplica no bloco 2:
No bloco 1:

Mas como F(2,1) está contrário, temos que F(2,1) = – 15 N.
Assim como as outras leis, a terceira lei não pode ser provada.
Seja uma mangueira de jardim a qual está ligada a uma torneira aberta. A força
da água é na direção do jato, e na direção oposta temos uma força de reação, o que
faz a mangueira serpentear quando a soltamos.
Enchemos um balão com ar, e depois deixamos com que o ar saia.
Dessa maneira a bexiga voa loucamente pelo ar.
É essa a ideia básica de um foguete.
Agora, quero apresentar um experimento simples de ser feito. O aparato que
construiremos é conhecido como “motor de Hero” (ou “máquina de Hero”). Hero era
uma sacerdotisa de Vênus que ficava em uma torre no mar e toda noite era visitada
pelo seu amado Leandro, que atravessava nadando o mar até chegar à torre de Hero.
Um dia, Leandro se afogou e Hero se jogou ao mar para salvá-lo, mas ambos acabaram
morrendo.
Temos uma esfera de ferro com água dentro. Nós iremos aquecer a água
dentro da esfera. Ao redor da esfera existem saídas para o vapor d´agua.
À medida que o vapor começa a sair, impulsionado por uma força de pressão,
surge uma força oposta, o que faz com que a esfera comece a girar.

Podemos fazer essa experiência em casa. Utilizamos uma latinha de
refrigerante e fazemos pequenos furos próximos da base. Quatro furos já são
suficientes. Penduramos um barbante na boca da latinha e a enchemos de água. Assim
que esticarmos o barbante e levantarmos a latinha, a água começara a sair pelos furos
ocasionando a rotação da nossa “máquina de Hero caseira”.
Vamos imaginar agora que uma maçã esteja caindo na Terra de uma altura de
100 metros. Calcularemos o tempo de queda da maçã.
A maçã puxa a Terra com a mesma força que a Terra puxa a maçã.

Ou seja, a Terra “cairá” em direção à maçã.
Vamos calcular a aceleração que a Terra sofre (at). Seja Mt a massa da Terra.
4
5
4
Ou seja, a Terra se move 4
metros. Mas é claro que isso é impossível de
se medir.
Se eu jogo a maçã para cima, eu empurro a Terra para baixo. Essa é uma
consequência da terceira lei de Newton.
Agora, iremos analisar outro problema.
Penduramos um objeto em cordas da seguinte maneira.
O objeto está em repouso. Isso implica que a sua aceleração é zero e que as
forças agindo sobre ele estão em equilíbrio (como diz a primeira lei). Vamos obter as
coordenadas das forças.

Em x:
√
Em y:
√ √
Portanto:
√
√
√
√
Se m = 4 kg, temos T1 = 29.3 N e T2 = 20.7 N.
Eu tenho um bloco de massa m = 2 kg pendurado, onde na parte inferior tenho
uma corda que está apenas presa ao bloco (sem aplicar força ao mesmo).
Se eu puxo o bloco para baixo, de modo que eu não o estou acelerando, T1
deve aumentar.

Agora, eu vou aumentar a tensão sobre T2 até que uma das cordas arrebente.
Se estamos puxando T2, T1 deve aumentar.
Qual das cordas arrebentará primeiro?
Puxando rápido, a corda de baixo arrebenta.
Mas isso é muito estranho. Parece ir contra as leis de Newton, pois
aumentamos a tensão em T1 mas a corda não arrebentou.
Fazendo novamente.
Eu puxo T2 devagar e a corda de cima arrebenta.
Pense sobre isso...
Indo mais além...
Força e Primeira Lei de Newton
Em física, força é o agente capaz de alterar o estado de movimento retilíneo de
um corpo ou produzir deformações em um corpo elástico.
Na natureza, existem quatro forças as quais chamamos de fundamentais. Todas
as outras forças são derivadas dessas quatro. São elas:
 Gravitacional
 Eletromagnetismo
 Força Fraca
 Força Forte
A primeira lei de Newton relaciona a somatória de forças em um corpo com o
seu estado de movimento ou repouso.
A resultante de forças em um corpo é dada por:
Se , o corpo mantém seu estado de movimento. Matematicamente,
temos:
Assim:
Um corpo sob a ação de uma força não nula sofre aceleração.

Aula 07 – Peso
Até agora nós falamos de massa, de aceleração, de forças, mas ainda não
falamos de peso.
O que é o peso?
Você está sobre uma balança.
Fb é a força de reação da balança. Como você está em repouso, temos que,
nesse caso, Fb = mg.
É essa força de reação da balança sobre você que definimos como peso.
Agora, vou coloca-lo dentro de um elevador junto com a balança. O elevador
está subindo.
Como o elevador está subindo, Fb deve ser maior que mg. Pela segunda lei:
Ou seja, quando o elevador está subindo nosso peso aumenta. Vamos agora
acelerar o elevador para baixo.

Pela segunda lei:
Ou seja, quando o elevador está descendo nós perdemos peso.
Digamos que nós cortemos o cabo que segura o elevador. Com isso, você estará
em queda livre e o valor de a será o mesmo de g.
Assim:
Ou seja, em queda livre nós não temos peso algum.
Podemos ler seu peso utilizando uma balança presa a uma corda.
Se eu acelero esse sistema para cima T aumenta.
Não há diferença com o elevador.
Perceba que estamos utilizando cordas para medir o peso. Tomemos, então, o
seguinte sistema, conhecido como máquina de Atwood.

Estamos assumindo que m2 > m1.
A tensão na corda da esquerda deve ser igual a da direita, pois temos uma
única corda. Estamos assumindo que a corda não tem massa.
Para entender melhor como a tensão na corda é igual em todos os seus pontos,
tomemos um pedaço qualquer da corda.
Ou seja, existem forças de trações (tensões) em toda a corda, e todas com o
mesmo valor.
Como as trações são as mesmas, devo concluir que os pesos de m1 e m2 são
iguais (pois lembre-se que estamos usando as cordas para medir os pesos). Embora as
massas sejam diferentes, o peso é o mesmo.
Vamos calcular a aceleração do sistema e as trações.

Resolvendo nossas equações, temos que:
Assim, temos que:
Considerando que m2 = m1 = m  a = 0, obtemos:
Exemplo:
m1 = m2
Agora, vamos supor que m2 seja bem maior que m1.
Exemplo:

m2 >> m1
Ou seja, nesse caso não existe mais tração.
Como no elevador, se m1 está subindo ele está ganhando peso e m2 está
perdendo peso (pois está descendo). Assim:
Vamos dar alguns dados:
m1 = 1.1 kg
m2 = 1.25 kg
Ambos os corpo pesam 1.17g. Por isso:
Podemos ver então que m1 ganhou peso e m2 perdeu peso.
Voltemos à ideia de algumas aulas atrás, quando você está sendo girado preso
à uma corda num movimento circular.
Nós vamos nos fixar em dois pontos da trajetória. O ponto S é o máximo e P é o
ponto mínimo.
Quando você estiver em P, teremos:

Ou seja, em P o seu peso é maior.
Agora, você está no ponto S.
Em S, você perde peso.
Se ac é menor que g, a tração na corda teria um valor negativo e isso não possui
um significado físico. Caso isso ocorresse você simplesmente não conseguiria chegar
até o ponto S. Quando giramos o balde com água na aula sobre movimento circular, foi
necessário dar certa aceleração centrípeta para o balde. Se nossa aceleração fosse
menor que g, o balde não chegaria ao topo e não conseguiríamos girá-lo de modo a
impedir que água não caísse.
O que vimos até agora implica que um objeto quando lançado para cima ganha
peso e quando está em queda livre ele não possui peso. Eu posso pular de cima de
uma mesa segurando algo em minhas mãos. Quando eu pulo, o objeto que eu seguro
permanecerá, rapidamente, parado no ar e depois cairá em minhas mãos.
Podemos soltar uma balança com um peso preso à ela de uma determinada
altura. Durante a queda, a balança marca que o peso do objeto é zero.
A NASA se interessa por experimentos que parecem anular a gravidade. São
experimentos em condições de microgravidade.
Se você saltar de uma altura de uns 100 metros, você possuíra um pouco de
peso devido à resistência do ar. Mas se você saltar acima da atmosfera, onde a
resistência do ar é desprezível, você ficaria sem peso.
O que as pessoas tem feito é o experimento que elas chamam de “gravidade
zero”. Esse nome é um equívoco, pois a gravidade nunca se torna zero. O certo seria
“peso zero”.
Um avião (KC-135) voa a uma altitude de cerca de 30.000 pés. Em determinado
momento, o avião fica em um ângulo de 45° (por conveniência). A velocidade é cerca
de 425 milhas por hora (425 mph). As componentes da velocidade são:

Os motores são desligados e o avião entra em queda livre (através de uma
parábola).
Em P1 os motores do avião são religados. Em P2 ocorre um aumento de peso
devido à frenagem do avião. Nesse intervalo é como se você estivesse batendo no
chão, então seria necessário uma aceleração na direção oposta (para cima). Nesse
ponto, seu peso dobra. Em P3 seu peso volta ao normal e o avião se prepara para
desligar seus motores novamente.
Aqui temos um link de um vídeo desse experimento:
http://www.youtube.com/watch?v=e8Nmc_m2568

Aula 08 – Atrito
Nessa aula iremos tratar sobre atrito.
Quando aplicamos uma força sobre um objeto o mesmo não sofre uma
aceleração instantânea, pois existe uma força oposta ao movimento. Essa força nós
chamamos de atrito.
Existe uma força que é sempre perpendicular à superfície. Essa força é uma
força de reação é nós a chamamos normal. Nesse caso, a normal é igual à mg.
Se eu for aumentando a força, chegará um momento em que o objeto
começará a se mover. A força de atrito (Fat) resiste até um valor máximo.
Podemos escrever a força de atrito como:
O coeficiente de atrito é dado por . Existem dois tipos de coeficiente de atrito.
O coeficiente de atrito estático ( ) ocorre quando o objeto está parado. O coeficiente
de atrito cinético ( ) ocorre quando o objeto já está se movendo.
O coeficiente de atrito estático é maior, pois é bem mais difícil colocar um
objeto em movimento do que manter o mesmo em movimento.
Vamos analisar um plano inclinado.
Podemos aumentar o valor de α a fim que nosso bloco comece a deslizar.
No momento em que o bloco está prestes a deslizar, a segunda lei de Newton
nos fornece:

Ou seja, nós temos o ângulo crítico no qual o bloco começará a deslizar.
Perceba que o atrito não depende da massa do objeto, nem da área da superfície de
contato.
Podemos fazer vários experimentos com uma rampa utilizando diferentes
objetos para demonstrar a ideia acima.
Vamos utilizar novamente nosso plano inclinado. Mas penduraremos o objeto à
uma corda.
Como não sabemos para que lado o sistema esteja acelerando, se é que ele
está acelerando, temos de tratar essas opções independentemente.
Como eu não sei para que lado meu objeto esteja se acelerando eu não sei
aonde eu colocarei a força de atrito. A única coisa que eu sei é que:
Eu devo estudar os três possíveis casos para a aceleração.
Como vimos anteriormente, as trações na corda são as mesmas.
Vamos analisar um sistema em repouso.
Para permanecer em repouso:
Analisando outras situações:
1. O sistema está começando a se acelerar para cima (está na eminencia do
movimento).

2. O sistema está começando a se acelerar para baixo.
Se não ocorrer nem 1 e nem 2, então a aceleração do sistema é zero.
Exemplo:
m1 = 1 kg
m2 = 2 kg
Analisando os casos:
20 > 5 + 4.33, ou seja, sabemos que nesse caso a aceleração é para cima.
Agora, podemos nos perguntar qual é a aceleração e qual é a tensão.
Como meu objeto está acelerando para cima:
Vamos escrever a segunda lei de Newton na direção x:
Nesse caso eu tenho duas incógnitas (a e T).
Analisando m2.

Agora eu tenho duas equações com duas incógnitas, o que permite que eu
resolva o problema. Assim:
Agora, mudaremos apenas o valor de m2.
m2 = 0.4 kg
m2g = 4
4 > 5 + 4.33, nesse caso há um erro, pois 4 é menor e não maior que 5 + 4.33.
Vamos testar o segundo caso:
4 < 5 – 4.33, nesse caso também há um erro, pois 4 é maior e não menor que 5
– 4.33.
Ou seja, concluímos que a aceleração é zero (o objeto não será acelerado).
O atrito se ajusta de forma que a aceleração seja zero.
As pessoas tentam reduzir o atrito, pois o mesmo causa desgastes e custa
dinheiro. Pense num pneu de automóvel. O atrito desgasta os pneus.
Podemos utilizar óleos e lubrificantes para diminuir o atrito. A água é um ótimo
lubrificante.
Se uma estrada está molhada, o coeficiente de atrito da estrada com os pneus
do carro torna-se quase zero e o carro desliza. Quando o carro derrapa, nós temos a
chamada aquaplanagem.
Um Hovercraft é um veículo que se apoia em um colchão de ar. Ele é capaz de
atravessar diversos tipos de solo e também se desloca na água. O ar diminui o atrito a
um valor quase que zero. Em um Hovercraft, o ar empurra esse veículo para cima.

Essa aula destina-se à uma revisão sistemática de algumas aulas anteriores.
Está de acordo com a primeira prova do MIT. A revisão segue a seguinte ordem:
Unidades e Medidas
 Argumento de escala
 Analise Dimensional
Cinemática em uma Dimensão
 Velocidade
 Velocidade Escalar
 Aceleração
Vetores
 Produto Escalar
 Produto Vetorial
Cinemática em três Dimensões
 Posição de objetos através de vetores
 Trajetória
Movimento Circular Uniforme
 Período
 Frequência
 Velocidade Angular
 Aceleração Centrípeta
 Percepção de gravidade Artificial
 Centrífuga

Aula 10 – Lei de Hooke e Osciladores
Nessa aula falaremos sobre molas, pêndulos e osciladores harmônicos. Temos
uma mola:
Quando esticamos a mola, surge uma força contrária que a puxa para sua
posição de equilíbrio (comprimento inicial).
Há uma relação dessa força com a deformação x da mola.
| | | |
Se aumentarmos a mola 3 vezes mais, a força aumentará 3 vezes mais. Com
isso, temos a Lei de Hooke:
Onde K é a constante da mola.
O sinal negativo mostra que a deformação é oposta à força da mola. Dizemos
que essa força é uma força restauradora.
Como é possível medir a constante da mola?
Podemos usar a gravidade.
Não há aceleração, pois o sistema está em equilíbrio. Com isso podemos utilizar
diferentes pesos a fim de alterar o valor de F, e consequentemente da deformação x.
Fazendo isso e obtendo os resultados em um gráfico:

Assim, temos que:
Podemos ir colocando vários pesos sobre a mola e ao final, retirando os pesos,
a mola voltará ao seu tamanho original. Ou seja, ela se comporta de acordo com a lei
de Hooke.
Porém, podemos pegar uma mola e estica-la até o ponto em que já não se
comporte de acordo com a lei de Hooke. Se isso acontece a mola não voltará ao seu
tamanho original. Ocasionaremos uma deformação permanente em nossa mola. Ou
seja, existe um limite para a deformação.
Se nós aplicamos uma força muito grande na mola, chegará um momento em
que a força aplicada será constante e a deformação começará a aumentar. Ao soltar a
mola, ela tomará um comprimento maior do que tinha anteriormente.
Há outras maneiras de medir o valor de K.
Vamos tomar um bloco em uma superfície sem atrito.

Digamos que esse sistema comece a oscilar (entre x e x = 0).
O período de oscilação é dado por:
√
O período não depende da minha deformação (não depende do intervalo de x e
x = 0).
Estamos analisando um caso ideal, ou seja: a mola tem massa desprezível e a lei
de Hooke está presente.
Vamos escrever a segunda lei de Newton para nosso sistema:
Dividindo tudo por m:
E assim obtemos uma equação diferencial.
Se observarmos o gráfico de um objeto oscilante, teríamos algo parecido com
um senóide ou cossenóide.
Assim:
Vamos substituir essa equação na equação diferencial.
Eu tenho que:
Assim:
Portanto:
O que nos dá:
√

√
Exemplo:
√
Assim:
“A” não é zero, pois como há uma velocidade existe uma amplitude. Portanto,
tem de ser zero.
Com isso, temos as possíveis respostas:
Para a velocidade:
Se , o .
Assim:
Se escolhêssemos o , teríamos:
O que não mudaria nada. Ou seja, A e são apenas condições iniciais do
movimento.
A oscilação é independente da amplitude.
Tomemos um objeto de massa m1 que vai oscilar de um ponto á outro.
Faremos isso experimentalmente.
Nós iremos contar 10 períodos de oscilação e depois mudaremos a amplitude.
Tomando uma massa diferente:
Vamos medir 10 períodos:
√
Fazendo uma previsão:
Fazendo A = 35 cm.

Tomemos um pêndulo.
Decompondo a tensão T em y e x.
Em x:
Em y:
Resolver essas equações diferenciais acopladas é uma tarefa impossível. O que
iremos fazer é uma aproximação. Em física, quando algo oscila nós usamos os
chamados “aproximação por pequenos ângulos”. Ou seja,
Assim:
Essa é a nossa primeira consequência.
A segunda consequência: perceba que o espaço de x = 0 para x é bem maior do
que x = 0 para y (ver figura anterior). Com isso, podemos dizer que:
Ou seja, a aceleração em y é quase zero.
Portanto, na equação II:
Substituindo em I:
Esse resultado representa uma oscilação harmônica simples.
Com isso:

√
√
Ou seja, o período é proporcional ao comprimento da corda. Se eu diminuo a
corda pela metade o mesmo deve ocorrer com o período.
Vamos analisar o período de uma mola e de um pêndulo.
Mola:
√
Pêndulo:
√
Perceba que para o pêndulo, o período não depende da massa.
Temos um pêndulo de comprimento L e massa m.
√
Essa foi nossa predição. Iremos contar 10 períodos.
Ou seja, a física funciona. Eu mudei o ângulo, mas o período permaneceu igual.
Como eu disse anteriormente, o período é independente da massa do objeto. Isso
significa que eu posso sentar nessa esfera e me balançar, de forma que obterei o
mesmo período.

A física funciona! Eu já disse isso!

Aula 11 – Trabalho, Energia e Gravitação Universal
Nessa aula iremos tratar sobre trabalho e energia.
Começaremos analisando um caso unidimensional.
O trabalho que a força está fazendo para mover um objeto de A até B é:
∫
W = [N.m] = J (joule)
O trabalho pode ser maior que zero; igual a zero ou menor que zero.
Sabendo que:
Assim:
∫ ∫ |
Em física:
Que nós chamamos de Energia Cinética.
Assim, podemos escrever trabalho da seguinte maneira:
Exemplo 1.
Jogamos uma bola para cima. A gravidade a puxará para baixo (no sentido
contrário à nossa trajetória). Nós desconhecemos a altura h.
Mas a energia cinética em B é igual a zero, pois nesse ponto a velocidade é
zero. Então:

Exemplo 2.
Eu estou levantando um objeto. Como meu movimento é na direção positiva de
y, tenho que meu trabalho é positivo.
Se eu levanto um objeto do chão, eu faço um trabalho positivo. Se esse objeto
retorna para o chão, ocorre trabalho negativo. Ao final, eu não realizei trabalho algum.
Por mais que eu tenha feito esforço e tenha me cansado, meu trabalho foi zero. Não
vamos confundir cansaço com trabalho.
Analisaremos agora o trabalho em três dimensões:
∫
r é a posição no espaço tridimensional.
∫ ∫ ∫ ∫
( )
Portanto, o trabalho é a variação da energia cinética.
Voltando para a gravidade. Um objeto se move de A para B.

Queremos saber o trabalho realizado pela gravidade e estamos
desconsiderando outras forças que não sejam em y.
∫ ∫
Sempre que o trabalho é feito por uma força independente do percurso, ou
seja, só depende do ponto final e inicial nós chamamos essa força de força
conservativa. A gravidade é um exemplo desse tipo de força.
Chegamos, assim, ao que chamamos de Energia Mecânica.
A energia mecânica é sempre conservada, mas somente em casos de forças
conservativas.
O atrito é uma força não conservativa.
Em problemas envolvendo energia mecânica, se temos uma altura nós
escolhemos onde iremos ter h = 0 (é de livre escolha).
Vamos estudar uma consequência da energia mecânica.
Temos um trajeto que se assemelha à um loop. Um objeto será solto do ponto
A.

Queremos saber o menor valor que h pode ter para que o objeto, quando solto
de A, complete e loop.
Em C, o objeto atinge a velocidade máxima pois toda a energia potencial foi
transformada em energia cinética (repare que nesse ponto, h = 0). Aplicando a
conservação de energia:
Eu sei que em A, eu tenho energia cinética igual a zero, pois v é zero. Portanto,
eu posso trabalhar apenas com meus valores inicial e final.
A altura está descrita como h – y, pois não sabemos o valor de h (o que
sabemos é que seu resultado é uma diferença das alturas no eixo y, nesse caso h que é
a altura de A e y que é a altura de D).
Não sabemos o valor da velocidade em D, mas sabemos que nesse ponto existe
uma aceleração centrípeta. Com isso:
Substituindo II em I:
Ou seja, para completar o loop o objeto tem de ser abandonado de uma altura
maior ou igual a 2,5 do raio. Note que a altura em D é igual à duas vezes o raio.
Vamos analisar uma situação na qual os pontos A e B são tão afastados que a
aceleração da gravidade não é mais constante, ou seja, não podemos simplesmente
dizer que a diferença de energia potencial é mgh. Temos dois corpos, M e m separados
por uma distância r.

Ocorre uma força de atração entre esses corpos. Essa força é descrita pela Lei
da Gravitação Universal de Newton.
G é uma constante, e seu valor é:
Vamos tomar a massa da Terra. Sendo que eu estou na superfície, eu sinto a
atração da Terra. Minha massa é dada por m.
Substituindo os valores (minha única incógnita é g), tenho que:
Tomemos um ponto P bem distante de M (a distância tende a infinito).
Veremos o trabalho necessário para trazer um objeto em P até M.
Minha força é dada por:
O meu trabalho será:
∫ |
Perceba que nesse caso, não podemos escolher onde teremos altura zero, pois
não estamos próximos da superfície da Terra.
Podemos fazer um gráfico de nossa função.

Retornando para a conservação de energia mecânica.
Temos um pêndulo de massa 15 kg.
Se eu o levanto eu estarei fazendo um trabalho dado por mgh. Se eu o levanto
cerca de 1 metro, meu trabalho será de 150 J. Soltando o pêndulo, a energia potencial
é convertida em energia cinética. Se o pêndulo balança à uma altura de 1 metro e
acerta sua cabeça você morre, pois 150 J já é energia suficiente para mata-lo. As
pessoas usam dispositivos semelhantes a pêndulos, chamados guincho-bola, para
demolir edifícios.
Levantando o objeto e o soltando, você está convertendo um tipo de energia
em outro.
Se eu soltar a esfera do pêndulo de uma altura h, de uma maneira que ao voltar
ela não ultrapasse essa altura, e eu ficar no ponto de partida da esfera, eu não serei
atingido, pois existe a conservação de energia, contanto que eu não forneça uma
velocidade inicial a esfera. Eu posso por minha vida em risco, mas se a física funciona e
a conservação de energia é verdadeira, eu ficarei vivo.

A física funciona e ainda estou vivo.

Aula 12 – Forças de Resistência
Nessa aula falaremos sobre forças de resistência, fixando no que chamamos de
arrasto.
Quando você move um objeto através de um gás ou um líquido, o objeto
experimenta uma força oposta ao movimento. Essa força é a força de arrasto.
A força de arrasto depende do tamanho do objeto, da forma do objeto, do
meio no qual ele está e da velocidade do objeto.
Não vamos confundir arrasto com atrito. O atrito, a partir de certo valor, possui
um coeficiente de atrito constante enquanto que o arrasto depende da velocidade.
Podemos escrever:
O sinal é negativo, pois a força se opõe ao sentido de v.
Os valores de k dependem da forma e do tamanho do objeto.
Vamos nos concentrar no caso de esferas.
| |
( )
( )
Se a viscosidade de um meio é maior, mais pegajoso, então vai ter um valor
maior. é uma função da temperatura (quando algo esquenta ele se torna menos
viscoso).
Ainda não podemos entender a razão de existir um v², mas podemos pensar
sobre r.
Se possuímos uma esfera em um líquido, e essa esfera possui uma área
transversal A:
Temos que
Portanto, essa área da esfera sente uma pressão do líquido que é proporcional
a r.
Digamos que eu solte um objeto de uma determinada altura.

A medida que o objeto vai caindo, sua velocidade vai aumentando cada vez
mais (devido a aceleração da gravidade). Porém, em determinado momento, a força
de resistência e a força da gravidade se tornam iguais. Dessa maneira a aceleração se
anula.
Então, quando não há aceleração e o objeto cai com velocidade
constante. Essa é a chamada velocidade terminal.
Em um contexto onde , podemos obter a velocidade crítica. Essa
velocidade crítica é quando esses dois termos são iguais.
𝑡
Tomemos o seguinte caso, o qual chamaremos de regime I.
𝑡
𝑡
𝑡
Se você deixa cair objetos formados pelo mesmo material, isso é de mesma
densidade, no líquido ou no gás, temos que a massa da esfera é dada por:
Onde é a densidade do objeto.
Temos que:
𝑡
Estudando outro caso, temos o regime II.
𝑡
𝑡 √ √
Vamos medir o tempo de queda de algumas esferas em um meio viscoso.
Serão quatro esferas, com seus diâmetros dados em polegadas:

𝑡
Ao invés de utilizar 1/d², utilizarei 100/d² (o que me dará alguns valores mais
interessantes).
Em um gráfico, nós teríamos algo próximo de uma linha reta.
Não foi necessário adotar o erro das esferas, pois seu erro de diâmetro é
insignificante se comparado ao erro do tempo. Perceba que as últimas duas esferas
nós adotamos um erro maior (cerca de 0.2 s). Isso se deve ao fato delas descerem bem
mais rápido que as outras esferas.

Quanto tempo demora para o objeto atingir a velocidade terminal?
O objeto possui uma certa massa, então há uma força gravitacional sobre ele.
Estamos analisando o regime I.
Assim eu obtenho uma equação diferencial.
Nós poderemos ver que a velocidade em função do tempo irá atingir um valor
máximo, que é a velocidade terminal. Nosso gráfico fica assintótico. Caso não
houvesse a força de arrasto, a velocidade aumentaria linearmente.
O ar se comporta de uma maneira diferente, mas o princípio é o mesmo. Os
valores de C1 e C2 são muito diferentes.
O ar atmosférico a 1atm e temperatura ambiente, tem:
4
𝑡
4

Esse valor é bem menor do que em um meio pegajoso.
Estamos analisando o regime II. A maioria das esferas no ar seguirá o regime II.
Não importa o que você esteja estudando. Pode ser uma bola, um salto livre
com ou sem paraquedas, um pingo de chuva, não importa, você sempre está
dominado pela pressão, por v² e por uma velocidade terminal que é proporcional à raiz
quadrada de r.
Vamos pegar uma bola com as seguintes dimensões:
Calculando, temos:
𝑡
Se eu jogasse a bola de uma altura de 3 metros, o tempo para atingir o chão
seria:
Mas é claro que isso é uma aproximação, pois a velocidade terminal não é
alcançada instantaneamente.
Calcular o tempo para alcançar a velocidade terminal não é uma tarefa fácil,
pois requer a resolução de uma equação diferencial desagradável.
Teríamos de encontrar a aceleração:
E a força de resistência possuiria um v e um v², de modo que é impossível
resolver analiticamente.
Lançaremos a bola e poderemos encontrar um valor diferente de 1.7. Há
algumas razões para isso:
a) A esfera não é perfeita.
b) A nossa bola é elástica e no momento da queda pode sofrer oscilações.
Medindo o tempo de queda da bola, encontramos:
Em nossa ultima parte da aula, veremos como o arrasto pode influenciar na
trajetória de um objeto.
Vamos avaliar o movimento de um objeto em um líquido.
A trajetória sem o arrasto seria descrita pela curva pontilhada. A trajetória
verdadeira é dada pela curva contínua.
Esse é o regime I, pois nós estamos analisando um líquido.
Digamos que eu lance uma bola de tênis. Sem o arrasto a trajetória seria uma
parábola maior.

Ou seja, você não alcançaria a altura máxima que teria sem a resistência do ar e
nem o alcance máximo.
Notas de Aula:
Resumo de Resistividade:
Os gráficos seguintes representam estudos sobre queda de balões com e sem a
resistência do ar.

Aula 13 – Equações do Movimento de Osciladores Harmônicos Simples
Temos um objeto de massa m em um campo gravitacional.
Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever, para a força da
gravidade, simplesmente:
O sinal negativo é importante, pois ele mostra que a força é no sentido
contrário à trajetória.
Eu posso escolher um nível e adotar esse nível como minha altura inicial (ou
seja, y = 0). Nesse ponto eu tenho energia potencial gravitacional igual a zero.
Qualquer outro ponto acima me dá .
Eu posso fazer um gráfico da energia potencial gravitacional em função de y.
Se eu movo um objeto de A para B, eu estou realizando um trabalho positivo.
Se eu faço um trabalho positivo, a gravidade faz um trabalho negativo.
Se o objeto vai de A para B’, eu realizo um trabalho negativo e nesse caso a
gravidade faz um trabalho positivo.

Eu poderia ter escolhido meu ponto de energia potencial gravitacional igual à
zero em qualquer outro lugar. Eu poderia ter escolhido em B, por exemplo.
Perceba que isso não muda nada. Se eu for de A para B, meu trabalho
continuará sendo positivo.
Quando você está próximo da Terra você é livre para escolher seu ponto zero
(onde a altura é zero).
Agora, vamos para uma situação em que não estamos mais próximos da Terra.
Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever:
Em um gráfico:

Se eu mover um objeto de A para B, minha energia potencial está aumentando
e meu trabalho é positivo.
Perceba que, a força da gravidade é sempre oposta ao sentido positivo da
energia potencial.
Agora usaremos uma mola, de comprimento l.
Como eu estou puxando a mola no ponto B, eu crio uma força contrária à força
elástica. Eu posso calcular o trabalho para aumentar o tamanho da mola de A para B.
∫ ∫
Esse valor é o que chamamos de energia potencial da mola.
Aqui nós também podemos escolher onde colocaremos a energia potencial
igual à zero.
Fazendo um gráfico.

Em A e B temos as forças indo no sentido contrário ao aumento da energia
potencial. Portanto, temos uma força restauradora.
As forças sempre vão no sentido contrário à energia potencial. A força conduz o
objeto a diminuir sua energia potencial.
Agora surge uma pergunta: se nós conhecemos a energia potencial, nós
podemos encontrar a força? E a resposta é sim.
Utilizaremos nossa mola:
Mas a força da mola é negativa, então:
Com isso, temos:
Se tivermos uma situação tridimensional, tanto a força quanto a energia
potencial estão em função de nossas três coordenadas. Assim:
Essas derivadas são chamadas de derivadas parciais, e são representadas por .
Voltemos à situação próximo a Terra.
Agora não estamos mais próximos da Terra:
Assim, sempre que temos uma energia potencial em função do espaço nós
podemos encontrar as três componentes da força.
Vamos supor que eu tenha uma superfície curva.

Há pontos em que . São eles: a, b, c, d, e.
Isso significa que:
Nesses pontos o objeto está parado.
Porém há uma diferença entre os pontos “a” e “b”, por exemplo. Digamos que
eu coloque uma bola de gude em a. Se eu fizer uma força, por menor que seja, a bola
de gude vai cair para algum lado, ela vai diminuir sua energia potencial. Se a bola de
gude estiver em b, e nós aplicarmos uma força à ela, a mesma voltará à b, pois sua
energia potencial é menor. Em b, nós temos o que chamamos de equilíbrio estável e
em a nós temos o equilíbrio instável.
Retornemos à mola.
Podemos utilizar a energia potencial da mola e mostrar que um objeto que
oscila na mola segue um movimento harmônico simples.
Temos um objeto oscilando entre um x máximo positivo e um x máximo
negativo.
( )
( )

( ) ( )
E esse resultado nós sabemos que representa um movimento harmônico
simples.
Temos assim:
√
Iremos analisar uma oscilação através de uma pista circular perfeita.

( )
Utilizando a aproximação por pequenos ângulos, podemos tomar um valor que
nos dará um bom resultado. Então:
Então:
( )
( ) ( ) ( )
E essa equação é uma oscilação harmônica simples.
Assim:
√ √
E como podemos ver isso é bem parecido com um pêndulo.
A força da gravidade é a que faz trabalho. Por mais que exista uma tensão,
como é o caso do pêndulo, ou uma força normal (que é o caso de um corpo num
movimento circular), será que apenas a gravidade faz trabalho?
Quando eu quase me matei com o pêndulo, eu estava crente na conservação
de energia que acabei ignorando a tensão.
É possível a tensão fazer trabalho? Se for esse o caso eu poderia ter morrido. E
a normal? É possível que ela faça trabalho?
A resposta é não!
Essas forças são sempre perpendiculares à direção do movimento. Uma vez que
o trabalho é o produto escalar entre a força e a direção do movimento, nem a tensão
nem a força normal faz qualquer trabalho.
Temos uma pista circular. Seu raio é de 115 metros, com um erro de
aproximadamente 5 metros.
Podemos calcular o período de oscilação de um objeto nessa pista. A parte da
pista na qual o objeto vai oscilar possui 5 metros de comprimento. Meia pista nos dá
cerca de 2,5 metros. Pelo fato da pista ser grande, é um pouco difícil notar sua
curvatura. Assim:

Como disse anteriormente, nossa pista é grande o que dificulta nossa
percepção da mesma em ser circular. Vamos tentar reduzir o máximo possível o atrito
presente na pista. Haverá ar saindo por pequenos orifícios da pista, o que diminuirá o
atrito do objeto com a mesma.
Como encontramos um ângulo pequeno, podemos fazer uma predição de seu
período:
√
Medindo 3 oscilações:
As setas indicam que o objeto está oscilando entre os pontos extremos da
pista.
Tomando agora uma trajetória de raio igual à 85 centímetros, vamos utilizar
uma esfera.
O comprimento da pista é cerca de 40 centímetros. Portanto, temos que nosso
ângulo máximo será:
Fazendo uma predição:
Mediremos 10 oscilações:
ISSO ESTÁ ERRADO!
Nosso resultado deveria ser algo em torno de 18 segundos.
Há algo de errado com a conservação de energia ou existe algo a mais?
Uma coisa é certa: não é o atrito que causa isso, pois seu valor é tão baixo que
podemos desconsiderá-lo.
Qual a diferença entre o primeiro experimento e o segundo?
Pense nisso...

Aula 14 – Órbitas, Velocidade de Escape e Energia
Você está em pé na superfície da Terra.
Vamos assumir que não há atmosfera. Digamos que eu lhe dê um chute bem
forte de maneira que você comece a subir e não volte para a Terra. Ou seja, você irá
escapar da atração gravitacional da Terra.
Para que isso ocorra, você deve adquirir certa velocidade.
Enquanto você esta na Terra, sua energia mecânica é, como sabemos, a soma
da energia cinética com a energia potencial. Portanto:
Se você for aumentando a distância à Terra, a energia mecânica vai se
conservar, portanto nossa equação é dada por (assumindo que você está em uma
posição em R):
Se a distância aumenta, com r tendendo ao infinito:
Assim, .
Perceba que a energia potencial gravitacional no infinito é zero, pois o valor de
r é infinitamente grande. Para que eu mantenha uma conservação de energia eu vou
assumir que sua velocidade no infinito também será zero, caso contrário você
continuaria se movendo cada vez para mais longe. Assim, pela conservação de energia:
Dessa maneira, nós podemos encontrar a velocidade necessária para que você
escape da atração gravitacional da Terra. Essa velocidade é chamada de velocidade de
escape.
√

No caso da Terra, substituindo os respectivos valores temos que a velocidade
de escape é de aproximadamente 11.2 km/s.
Se a energia total for maior ou igual a zero, você chegará ao infinito com uma
energia cinética um pouco maior do que zero. Se a energia é menor que zero, você
nunca irá escapar da atração gravitacional.
Assim:
Falaremos agora de órbitas circulares.
Temos a Terra e ao redor dela temos um objeto de massa m, um satélite, que
se desloca numa trajetória circular.
Estamos assumindo que a massa do satélite seja bem menor que a da Terra,
assim m <<< MT.
A força gravitacional que mantém o satélite em órbita é exatamente a mesma
que a força centrípeta.
𝑡
Assim, podemos encontrar a velocidade orbital:
√
O período será:
√
Nós podemos utilizar essas equações para outros planetas, bastando substituir
o valor da massa da Terra.
Perceba que tanto a velocidade orbital quanto o período independe da massa
do satélite.
Reescrevendo a conservação de energia:
Substituindo a velocidade na equação pela velocidade orbital:

Perceba que os termos são semelhantes. O sinal negativo torna-se crucial e
também temos ½ no primeiro termo. Assim:
Agora, iremos partir para algo totalmente diferente. Falaremos de potência e
abandonaremos completamente as órbitas circulares.
Potência é o trabalho feito em uma certa quantidade de tempo.
[P] = J/s = Watt (W)
Não vamos confundir a unidade de potência (W) com trabalho.
Sendo:
Assim:
Ou seja, potência pode ser escrita como o produto escalar da força com a
velocidade.
Eu estou em minha bicicleta com uma velocidade constante.
A força que eu faço busca superar a força de resistência do ar.
Para me mover eu empurro os pedais para trás e eles me empurram no sentido
contrário, pois a força de ação é igual a “menos” reação. Ou seja, não há força
resultante na bicicleta, pois elas se cancelam (com os pedais e meus pés). Nós
chamamos essas forças de internas.
Agora, o pedal empurra a corrente que por sua vez empurra a roda e a bicicleta
começa a se mover.
Então, a roda empurra o chão para trás e o chão empurra a bicicleta para
frente. Portanto há uma força de atrito que coincide com a força que eu aplico.

A potência é uma função da velocidade.
Lembrando daquilo que chamamos de regime II, o qual temos a pressão
envolvida, obtemos:
Existe também a energia térmica, a qual expressamos de um modo diferente.
Nós a expressamos em termos de calorias, que é a energia necessária para aumentar
um grama de água em um grau centígrado.
Assim, escrevemos:
Onde c é o calor específico (cal/g°C)
Q é medido em caloria (cal)
O físico James Joule mostrou que 1 cal = 4,2 J
Quando queimamos alguma coisa há uma reação química envolvida que produz
calor. Gasolina, por exemplo, produz algo em torno de cem milhões de joules.
Nosso corpo produz um calor de aproximadamente 100 W.
Nas notas de aula há alguns dados interessantes sobre isso.
Podemos usar uma queda d’agua para transformar energia mecânica em
elétrica, e essa por sua vez em térmica.
A energia nuclear pode ser convertida em calor, que pode ser convertida em
energia mecânica e novamente em elétrica.
Energia química pode ser convertida em calor, que é convertida em
eletricidade.
Existem baterias que convertem energia química em elétrica. Essas baterias são
ácidas, como às dos automóveis.

Com isso podemos acender uma pequena lâmpada.
O Sol possui uma potência de 6
, o que faz dele uma grande fonte de
energia. Mas para utilizar essa energia seria necessário obter mecanismos do tamanho
da Inglaterra ou da França, por exemplo. E isso não é muito viável para a economia
mundial.
A fissão nuclear também nos dá energia, mas devido há acidentes e à produção
de bombas as pessoas tem receio desse meio de obter energia.
A fusão nuclear é diferente da fissão, pois não quebramos um átomo, mas
juntamos núcleos de deutério, produzindo uma grande quantidade de energia. Essa
energia é bem maior do que a produzida pela fissão. O Sol, em seu núcleo, assim como
todas as outras estrelas, funde núcleos de deutério produzindo elementos mais
pesados e liberando uma grande quantidade de energia. Nosso Sol possui
aproximadamente 5 bilhões de anos de vida, isso quer dizer que ele possui mais 5
bilhões de anos de existência antes de aumentar de tamanho, engolir todos os
planetas rochosos (inclusive a Terra) e depois morrer. Portanto, nossas preocupações
para obter energia vão durar apenas por mais 5 bilhões de anos, se não formos
extintos antes disso.
Indo mais além...
Fissão e Fusão Nuclear
Após fazer a descoberta da relação entre energia e massa, Einstein despertou em
outros cientistas a vontade de experimentar essa quantidade de energia. A fissão nuclear é o
mecanismo usado em bombas como as que explodiram sobre as cidades de Hiroshima e
Nagasaki, em 1945.
Com uma grande massa de Urânio (U-235), é possível gerar uma grande quantidade de
energia. O que foi feito, foi usar nêutrons como sendo balas e assim disparando-os contra um
núcleo de U-235. O nêutron iria despedaçar o núcleo, formando dois outros núcleos e
liberando mais dois nêutrons. Esses dois nêutrons iriam fissionar esses dois núcleos, gerando
quatro nêutrons que fissionam oito núcleos, que geram mais dezesseis nêutrons e assim por
diante.

Esse efeito é chamado de reação em cadeia. Se a reação em cadeia ocorrer de uma
forma descontrolada, uma grande quantidade de energia será criada ocasionando uma
enorme explosão.
Quando um grupo de cientistas percebeu a potência da fissão nuclear, eles
convenceram Einstein a escrever uma carta ao presidente Roosevelt em 1939. Isso exortou os
Estados Unidos a construírem um programa de pesquisa nuclear, gerando o projeto
Manhattan.
Bomba Atômica
Mas não podemos culpar Einstein das mortes ocasionadas devido ás bombas atômicas,
pois o físico nunca desejou isso a ninguém, era apenas para ser uma pesquisa científica e não
uma arma de destruição em massa.
Mas as pesquisas nucleares continuaram, levando a criação da arma mais letal já
construída: a bomba de hidrogênio. Também podemos chamá-la de bomba de fusão nuclear.
Diferente da fissão nuclear, que divide os núcleos pesados para gerar energia, a fusão nuclear
funde os núcleos leves em núcleos mais pesados. Isso é o que ocorre dentro das estrelas,
como o nosso Sol.

A fusão se inicia com o hidrogênio, o elemento mais leve. Quando dois núcleos se fundem eles formam um
núcleo de Hélio, liberando um nêutron, formando novos núcleos e assim por diante.
Bomba de Hidrogênio
Essas energias não são usadas apenas para destruir, mas podem ser usadas para nos
auxiliar, só precisamos ter um controle. Graças à fusão nuclear das estrelas você está aqui,
lendo esse livro.
O certo é que se ocorrer uma terceira guerra mundial, o homem se autodestruirá e
todas essas pesquisas serão jogadas no lixo. Portanto, se não deixarmos de existir por um fator
natural (lembrando que podemos ser atingidos por um asteroide igual ao que dizimou os
dinossauros), iremos deixar de existir devido ao desejo de poder que tomam muitas pessoas.
Eu espero, e creio que todos também, que não cheguemos ao ponto de uma terceira
guerra. Mas o fato é que, com guerra ou sem, não permaneceremos aqui para sempre. Antes
que um Big-Crunch, um Big-Chill ou um Big-Rip aconteça, nosso Sol não irá mais brilhar como
faz nos dias de hoje. O tempo de vida do nosso Sol é de 10 bilhões de anos, ou seja, ele
brilhará por mais uns 5 bilhões de anos antes de transformar-se em uma estrela insignificante.
Ao fim de sua vida, nosso Sol irá expandir suas camadas externas e todo seu combustível irá
começar a acabar. Até que seu brilho não será suficiente para manter a vida em nossa Terra, e
por fim, nosso pequeno Sol irá deixar de brilhar.

Notas de Aula

Aula 15 – Momentum e sua conservação
Falaremos de algo completamente novo. Discutiremos o momentum.
Em física, momentum (ou quantidade de movimento) é um vetor, dado por:
Ou seja, é o produto da massa pela velocidade. Sua unidade é kgm/s.
Sabemos que:
Ou seja, força é igual a dp/dt, o que significa que se uma partícula mudou seu
momentum é porque uma força agiu sobre ela. Vamos supor que temos uma grande
quantidade de partículas que estão interagindo umas com as outras. Tomemos duas
partículas as quais chamaremos de mi e mj. Existe uma força exterior agindo sobre
elas.
Mas como dissemos anteriormente, elas estão interagindo entre si, portanto a
partícula i sente uma força da partícula j e vice e versa.
De acordo com a terceira lei de Newton, tem a mesma intensidade de .
Chamamos essas forças de forças internas. Essas são as forças de interação entre as
partículas. Mas como existem inúmeras partículas, existem inúmeras forças internas.
Portanto, podemos dizer que a força total será a soma de todas as forças internas. O
momentum total do sistema será a soma dos momenta individuais de cada partícula:
𝑡 𝑡

Tomando a derivada, temos:
𝑡 𝑡
𝑡 𝑡
Agora vem algo importante: todas as forças internas se anulam. Se você
observa uma única partícula isso não ocorre, mas para um sistema de partículas, as
forças internas se anulam, o que nos fornece a conclusão de que a força total nada
mais é do que a força total externa:
𝑡 𝑡 𝑡 𝑡
Ou seja, podemos esquecer completamente as forças internas. Isso significa
que se a força externa for zero, então o momentum não mudará, ele se conservará.
Assim temos a chamada conservação do momentum, que só é válida se todas as forças
externas forem zero.
Vamos nos voltar para um exemplo simples (unidimensional). Temos dois
objetos de massas m1 e m2, com velocidade v1 e v2, respectivamente. O sentido
positivo de x é dado.
Assim que um tocar no outro eles permanecerão juntos, como se houvesse cola
em algum deles. Antes da colisão eu tenho uma certa quantidade de força. Estamos
desconsiderando quaisquer forças de atrito ou arrasto. Antes da colisão, eu tenho:
Após a colisão, os objetos se unem, portanto eu tenho que a massa total será
m1+m2 e a velocidade final será dada por v’. Agora, nós podemos aplicar a
conservação do momentum:
Dando alguns valores para nosso problema:
m1 = 1 kg v1 = 5 m/s
m2 = 2 kg v2 = 3 m/s
Perceba que o sentido de ambos os objetos é o mesmo, então não mudamos o
sinal da velocidade. Com isso, encontramos que v’ = 11/3 m/s.
Ou seja, a conservação do momentum nos dá a velocidade após uma colisão.
Como determinamos uma única velocidade final, pois os objetos saíram juntos,
grudados, após a colisão temos a chamada colisão inelástica.
Temos uma energia cinética antes da colisão:
𝑡
Calculando teremos um valor igual a 21,5 J.
E o que dizer da energia cinética após a colisão?
A energia cinética após a colisão será:
Calculando teremos um valor igual a 20,2 J.
Ou seja, a energia cinética diminui após a colisão.
Vamos tomar agora outro caso, mas a velocidade de v2 estará no sentido
contrário.

O momentum do objeto 1 será + 5, pois está no sentido positivo da trajetória. O
momentum do objeto 2 será – 6, pois está no sentido oposto à trajetória. Ou seja,
temos que o momentum total será:
𝑡 𝑡
Como o resultado é negativo, eu sei que o sentido final da trajetória será no
sentido oposto à x. Assim:
Agora, qual será a energia cinética após a colisão?
Ou seja, a energia cinética foi quase que totalmente destruída.
A conclusão que temos é que a energia cinética pode ser destruída, mas o
momentum não. O momentum das partículas individuais se alterou, mas o momentum
total não.
Eu posso criar uma colisão na qual toda a energia cinética seja destruída.
Seja o seguinte sistema:
O momentum desse sistema será zero. Após a colisão as partículas
permanecerão grudadas.
Analisemos agora um problema bidimensional.
Após a colisão dos corpos, temos um vetor resultante que nos dá o momentum
total. Assim temos que:
𝑡 𝑡 𝑡 𝑡
Todos esses casos que vimos correspondem à colisões inelásticas, pois os
objetos saem grudados após a colisão. Nesses tipos de colisões sempre ocorrerá perda
de energia cinética, podendo ser total ou parcial.
Em uma colisão podemos ter o aumento de energia cinética?

Tomemos um exemplo simples. Usaremos um bloco de massa m onde há uma
bomba em seu interior. Antes de a bomba explodir a velocidade do bloco é zero então
seu momentum é zero. Após a explosão, diversos pedaços voarão pelo espaço. Vamos
nos fixar em dois pedaços quaisquer.
Claramente, o momentum deve ser conservado. A explosão é uma força
interna. Adotando o sentido da figura, temos que é negativo. Sabemos que o
momentum total nunca vai mudar:
𝑡 𝑡
Nitidamente, a energia cinética aumentou. Por isso, não devemos confundir
momentum com energia. O momentum se conservou, mas a energia cinética não. A
energia cinética pode crescer ou diminuir.
Devido à conservação de momentum podemos fazer o seguinte experimento:
digamos que, após a explosão, nós medimos o tempo que dois objetos de massas
iguais demoram a percorrer espaços iguais. Percebemos que para massas iguais, o
tempo será o mesmo. Agora, se um dos objetos tiver uma massa maior, seu tempo
será maior, pois sua velocidade é menor. Portanto, devido à conservação de
momentum, temos:
Portanto, um objeto de massa duas vezes maior terá uma velocidade duas
vezes menor.
Trataremos agora de um assunto que, a princípio, parece não estar muito
relacionado com essa matéria. Veremos o conceito de centro de massa de um sistema.
Temos um objeto qualquer, o qual seu centro de massa (CM) está definido.
Vamos adotar um sistema de referência, o qual iremos escolher um ponto para
ser a origem (não importa qual ponto seja). Existirá um vetor que parte da origem
e chega ao centro de massa. Esse vetor determinará a posição do centro de massa. Da
mesma maneira, existirá outro vetor que determina a posição de uma partícula
(mi) no objeto.

O centro de massa será definido como a massa total de nosso objeto (a soma
de infinitas massas mi) multiplicada pela posição do centro de massa. Assim:
𝑡 𝑡
Assim, tomando as derivadas:
Sendo M a massa total do objeto. Com isso, encontramos a velocidade. Perceba
que a nossa equação anterior pode ser escrita como:
𝑡 𝑡
Agora, podemos nos atentar para outra regra importante da física.
𝑡 𝑡
Se derivarmos essa equação:
𝑡 𝑡
𝑡 𝑡
Perceba que isso diz que F = ma.
Portanto, podemos dizer que o centro de massa se comporta de tal maneira
que é como se toda a massa do corpo estivesse contida no centro de massa. Se
tivermos um objeto, um tubo, por exemplo, e o jogamos pelo espaço com certa
velocidade, seu centro de massa apresentará uma velocidade constante caso nenhuma
força externa haja sobre o mesmo. Isso implica como já vimos anteriormente, que a
aceleração é zero. Não importa a forma do corpo, se formos analisar a trajetória com
respeito ao centro de massa, teremos uma trajetória conhecida.

Perceba que embora o tube gire ao ser lançado, seu centro de massa percorre
uma trajetória parabólica. Ou seja, como já disse, é como se toda a matéria estivesse
concentrada nesse ponto.
Vamos tomar um exemplo para ver como calculamos o centro de massa.
Tomemos três objetos (m, 2m e m) ligados por três hastes de comprimento L
como mostra o desenho.
A pergunta é: como determinar o centro de massa?
Para quem tem um bom senso de espaço, pode perceber que temos uma
espécie de triângulo equilátero, portanto o centro de massa deveria estar no meio.
Mas como um objeto é mais pesado que os outros dois, o centro de massa deve estar
um pouco mais próximo dele. Assim:
Podemos fazer alguns cálculos agora. Sabemos que a massa total do nosso
sistema é 4m, assim:

Aqui temos uma soma vetorial, e quando temos uma soma vetorial o melhor a
fazer é obter uma soma em x e outra em y.
Na direção x, temos:
O primeiro termo do lado direito da equação é zero, pois um de nossos objetos
está sobre a origem, portanto , pois o vetor está sobre a origem (sua
distância da origem ao objeto é zero). Nosso segundo termo é 2mL, pois sua massa é
2m e a distância dele à origem é L. Por fim, nosso terceiro termo é 1/2mL pois esse
objeto encontra-se na metade do comprimento de L (com relação ao eixo x).
Cancelando todos os termos m, temos:
Agora, na direção y:
√
Perceba que para y, tanto o primeiro m quanto 2m estão sobre o eixo y = 0.
Portanto, esses termos são nulos. Para calcular o comprimento de y em m, usamos
uma relação triangular. Perceba que:
Assim:
( )

√
Com isso, obtemos nosso valor anterior:
√
O que nos fornecerá:
√
Portanto analisando um pouco melhor podemos ver que:
E assim podemos determinar o centro de massa.

Aula 16 – Colisões Elásticas e Inelásticas
Na aula passada nós falamos exclusivamente de colisões inelásticas. Nessa aula,
trataremos de colisões de um modo mais geral. Tomaremos um caso unidimensional.
Temos dois objetos com massas m1 e m2 e velocidades v1 e v2. Para facilitar
um pouco as coisas, vamos assumir que v2 seja igual à zero.
Após a colisão, m2 terá uma velocidade e m1 terá uma velocidade . Não
sabemos se m1 vai bater em m2 e retornar, ou bater e continuar no mesmo sentido.
Qualquer uma dessas opções é possível. Para encontrar e precisaremos de duas
equações. Se não houver nenhuma força externa sobre os objetos durante a colisão,
então o momentum é conservado. Assim, podemos escrever:
Como nós vimos anteriormente, existe uma conservação de momentum,
embora possa haver perda de energia cinética. Em uma colisão de carros, por exemplo,
existe atrito interno entre eles e a energia cinética pode se dissipar em forma de calor.
Assim, pode escrever:
Onde K representa a energia cinética antes da colisão, Q representa certo
número e K’ é a energia cinética após a colisão. Se conhecermos o valor de Q, então
obteremos uma nova equação. Se Q é maior que zero, então houve ganho de energia
cinética, e chamamos esse tipo de colisão de super elástica. Poderia ser uma explosão,
por exemplo.
Q também pode ser igual a zero. Nesse caso, temos uma colisão perfeitamente
elástica.
Por fim, Q pode ser menor que zero o que nos fornece as colisões inelásticas.
Assim:
Vamos tomar um caso de uma colisão perfeitamente elástica. Assim temos que
Q é zero, então temos uma conservação de momentum e de energia cinética.
Portanto, a energia cinética antes da colisão, deverá ser igual a energia cinética após a
colisão. Estamos estudando o caso inicial de nossa aula, onde a velocidade do objeto
m2 é zero.
Portanto, escrevemos nossas duas equações:
Resolvendo:
( )
( )

Perceba de é na mesma direção de . Isso ocorre, pois nosso objeto m2
estava em repouso. Ou seja, nesse caso, nunca haverá uma reversão de sinais. Já no
caso de pode ocorrer a reversão. Se você faz com que uma bola de pingue-pongue
colida com uma bola de bilhar que esteja em repouso, a bola de pingue-pongue irá
bater e voltar. Se, no entanto, a bola de bilhar colidir com uma bola de pingue-pongue
que esteja em repouso, então as duas bolas sairão no mesmo sentido.
Tomemos três casos.
1° Caso: , de modo que .
É como se uma bola de boliche colidisse com uma de pingue-pongue. Se
olharmos para a equação de então temos que é zero.
Ou seja, ao colidir com a bola de pingue-pongue, a bola de boliche iria
continuar em seu sentido de movimento, desprezando a existência da bola de pingue-
pongue. Vamos observar a equação de , como é zero, temos:
2° Caso: , de modo que .
Substituindo nas respectivas equações, de primeiro:
Isso é obvio, pois a bola de pingue-pongue bate na bola de boliche e
claramente a primeira retorna. Observado a equação de :
3° Caso: .
Substituindo nas respectivas equações, temos:
Todos nós já vimos esses casos com o pêndulo de Newton.
Vamos nos voltar para o centro de massa de um sistema. Na ausência de forças
externas sobre um corpo, seu centro de massa terá sempre velocidade constante. Se o
seu centro de massa está com uma velocidade constante, então o momentum das
partículas no centro de massa é zero. O momentum é zero antes e depois da colisão.
Isso dá certas propriedades ao centro de massa. Primeiro, temos uma partícula m1 e
uma partícula m2 e entre elas temos o centro de massa. As massas m1 e m2 possuem

velocidades u1 e u2, respectivamente, no sentido do centro de massa. As velocidades
dadas por u estão no sistema de referência do centro de massa. Em nosso caso,
estamos assumindo uma colisão perfeitamente elástica, ou seja, temos Q = 0. Após a
colisão, m2 apresenta uma velocidade u2’ e m1 tem uma velocidade u1’.
Eu sei que o momentum é zero, então eu posso escrever, para esse caso:
Perceba que quando tratamos de problemas unidimensionais, não é necessário
escrever os vetores. Como a colisão é perfeitamente elástica a energia cinética é
conservada. Então temos que:
O resultado é que, no centro de massa temos:
Isso significa que no centro de massa as velocidades revertem as direções, mas
as velocidades escalares permanecem as mesmas. Se você quiser se mover para o
centro de massa, você deve saber qual é a velocidade do centro de massa. Como
podemos calcular essa velocidade? Anteriormente, nós definimos o centro de massa:
𝑡 𝑡
A velocidade será:
Mas agora, vamos retornar ao sistema de referência como o centro de massa,
onde a velocidade é dada por u.
Mas lembre-se que no centro de massa, o momentum é zero. Independente de
a colisão ser elástica ou não, o momentum é zero.
Faremos uma colisão completamente inelástica, ou seja, após a colisão os
objetos permanecerão juntos. Vamos assumir que nossa segunda partícula tem
velocidade igual a zero.
Após a colisão:
Como não há forças externas o momentum é conservado.
Podemos calcular a diferença da energia cinética após a colisão e antes da
colisão.

( )
Ou seja, ocorre uma perda de energia, e Q é expresso como calor.
Agora, trataremos o mesmo caso, mas adotando o referencial como o centro
de massa.
( )
Mas nós vimos que é zero.
( )
Calculando a energia cinética no centro de massa:
Isso é o que temos antes da colisão. Calculando:
( )
Esse valor expressa a energia cinética interna do sistema.
Para terminar, quero que pense no funcionamento de um pêndulo de Newton.
Se tivermos um pêndulo com oito bolas, se uma bola bate de um lado ela ficará parada
e uma bola subirá do outro lado. Se batermos duas bolas de um lado, essas duas bolas
ficarão paradas e duas bolas subirão do outro lado. Se eu bater cinco bolas de um lado,
cinco bolas subirão do outro. Como descrever isso quantitativamente? Pense nisso.

Aula 17 – Momentum de Objetos Individuais, Impulso e Foguetes
Em uma das nossas primeiras aulas nós medimos a velocidade de um projétil.
Um método de medir a velocidade de um projétil é utilizar o chamado pêndulo
balístico. Temos um pêndulo de comprimento L com um objeto muito pesado na
extremidade da corda (bloco de massa M). Temos um projétil, de massa m, que entra
com uma velocidade v no bloco e fica preso a ele. Temos, então, uma colisão
inelástica.
Após a colisão, o pêndulo terá uma velocidade v’. O momentum é conservado,
então temos que:
Então, se podemos medir v’, nós podemos medir a velocidade do projétil. Como
fazemos para medir v’? Vamos esperar que o pêndulo, após a colisão, sofra uma
elevação. Sua velocidade nesse ponto será zero.
Logo no momento em que o projétil entra no bloco, temos que a energia
potencial gravitacional é zero, pois a altura nesse ponto é zero:
Durante o movimento do pêndulo temos a energia cinética sendo transformada
em energia potencial gravitacional até chegar ao ponto final, onde v = 0. Então temos:
Cancelando os termos semelhantes:
√

Porém, não é muito fácil medir a altura. Vamos supor que nosso ângulo seja
apenas 2°. Assim, temos que:
Mas nós podemos não medir o valor de h, mas medir o valor do deslocamento
x.
Para um comprimento de corda igual a 1 m, temos uma altura igual a 0.6 mm
(aproximadamente). Para um ângulo de 2° o valor do deslocamento em x é cerca de
3.5 cm. Podemos fazer uma aproximação da altura, de forma que teremos:
Em outras palavras, podemos escrever:
Assim, temos que:
( ) √
Assim, podemos ter uma predição da velocidade do projétil. Vamos tomar um
projétil e medir sua velocidade.
Os dados que temos são:
A incerteza da massa do projétil é de 10%. Para o comprimento temos uma
incerteza de 2% e para o bloco a incerteza é insignificante. Utilizando a equação que
temos, podemos calcular a velocidade do projétil (embora ainda não saibamos o valor
de x). Calculando temos:
Experimentalmente, encontramos que o valor de x é aproximadamente 5.2 cm.
Assim, encontramos o valor da velocidade do projétil igual a 244 m/s.
Nós temos energia cinética no projétil antes dele atingir o pêndulo. Como nós
descobrimos a velocidade do projétil, nós podemos calcular essa energia. Da mesma
maneira, podemos calcular a energia cinética do projétil com o bloco. Se você for fazer
uma comparação, você verá que cerca de 99.98% da energia cinética foi perdida na
colisão e transformada em calor.
Agora, vamos tratar sobre o conceito de impulso. O impulso é um conceito não
muito diferente do que vimos até agora. Quando você chuta alguém, por exemplo,

você está fazendo um impulso. O projétil deu um impulso em nosso bloco. O impulso
(I) é um vetor, definido como:
∫
𝑡
Temos que:
∫ ∫
𝑡
Ou seja, temos que o impulso á igual a variação do momentum:
O impulso muda o momentum. Podemos dizer que o momentum é uma força
que atua num período de tempo pequeno (mas ás vezes o tempo é um pouco mais
longo, como é o caso de foguetes).
Se temos um objeto de massa m e o soltamos de uma altura h ele irá bater no
chão com uma determinada velocidade v que é dada por √ . Se essa colisão fosse
completamente elástica a bola iria voltar para cima com a mesma velocidade. Ou seja,
existe um impulso dado, tanto pela bola no chão quanto pelo chão na bola, que é:
Agora, digamos que a colisão é completamente inelástica. A bola iria bater no
chão e não retornaria (como se fosse uma bola de massinha que se prende ao chão).
Dessa maneira o impulso seria apena .
Temos duas bolas iguais, de massa . Elas serão abandonadas de
uma altura de cerca de um metro e meio. E a velocidade quando baterem no chão será
de 5.5 m/s.
Assim temos o seguinte:
〈 〉
O impacto dura 2 milissegundos (isso é possível medir com uma câmera
especial), então:
〈 〉
Utilizaremos uma bola de basquete e uma bola de tênis. Colocarei a bola de
tênis em cima da bola de basquete e as soltarei, de modo que elas caiam juntas. A
pergunta é: ao soltarmos as bolas, a bola de tênis irá pular após o impacto (juntamente
com a de basquete), a altura que ela atingir será maior que a altura que a soltamos,
será igual ou será menor?
Quando soltamos as bolas, após o impacto a bola de tênis “voa” para longe.
Falaremos um pouco sobre foguetes.
Mas antes, vamos no fixar num problema que envolve vários tomates sendo
jogados no chão. Quando o tomate atinge o chão ele estoura, então temos uma
colisão inelástica. O momentum do tomate é , então se temos n tomates temos
que o momentum será . Isso é uma variação do momentum, então:
〈 〉
Então, o chão sentirá uma força direcionada para baixo (e o tomate sentirá a
mesma força para cima). Podemos escrever essa força de outra maneira:

Agora, pegarei um tomate, ou vários tomates, e jogarei contra seu rosto. Isso é
algo desagradável de fazer. Para ser mais desagradável, jogarei tomates podres. O
tomate possui, inicialmente, uma velocidade igual a zero. Digamos que o tomate vá até
você na direção x, então ele apresentará uma velocidade igual a . O tomate vai te
atingir, podendo ficar grudado em seu rosto ou escorregar. De qualquer maneira, a
velocidade vai ser cancelada ( . Você vai sentir uma força em seu rosto a
medida que os tomates vão lhe atingindo. A força irá ao sentido de encontro ao seu
rosto. Analisando isso como um problema de simetria, perceba que ao final (quando
você é atingido) a velocidade do tomate vai de para . No início (quando eu
jogo o tomate) a velocidade vai de para . Então, eu devo sentir uma força no
sentido contrário.
Pense em um recuo de uma arma de fogo. Quando você dá um tiro, com um
7.62 ou com uma 12 (por exemplo) você sente uma força contrário, que é o recuo. Ou
seja, quando eu jogar o tomate eu sentirei a mesma força que você só que no sentido
contrário. É essa a ideia por detrás de um foguete. O foguete está expelindo gás em
uma direção, de modo que ele sente uma força na direção oposta.
Quanto maior a velocidade do gás expelido, maior será a força sentida no
foguete. Essa força é o impulso do foguete.
Então, temos um foguete no espaço que expele gás com uma velocidade . O
foguete sente uma força oposta, chamada de empuxo ( ), que é dada pela
equação:
Para o foguete Saturno (também chamado de foguete lunar), usado nas
missões Apollo e Skylab tinha uma velocidade , ou seja o gás saia com

essa velocidade do foguete. A quantidade de gás era cerca de 15 toneladas por
segundo. Ou seja:
Isso daria uma força ao foguete:
6
Se não tivéssemos essa força, o foguete não subiria. A partir que o foguete
começa a queimar combustível (tempo de queima), o mesmo começa a perder massa,
pois muito combustível está sendo eliminado. Portanto, a aceleração durante a
queima aumenta.
Digamos que você esteja observando um foguete subir. Temos que a força é
dada, como vimos:
Lembre-se que agora a velocidade do foguete é dada por .
Em nosso quadro de referência, durante um tempo t o foguete sobe com uma
velocidade . Em um determinado tempo o foguete aumenta sua velocidade
para e sua massa é (pois ele expele uma de suas partes). A parte do
foguete que é expelida sai com uma velocidade com relação ao foguete. Então, para
nosso quadro de referência essa parte do foguete que é expelida (chamaremos de )
possui uma velocidade .
Faremos uma comparação da quantidade de movimento antes e depois que o
foguete começa a expelir suas partes. Vamos considerar que não há forças externas
agindo sobre o foguete. O momentum deve ser, então, conservado.
No tempo t, o momentum é:
𝑡
O momentum no tempo será:
𝑡 𝑡
Perceba que embora o foguete perca massa, e sua velocidade aumente,
estamos assumindo o momentum do sistema. Portanto, o momentum se conserva.
𝑡 𝑡
Haverá um produto entre com , mas os valores são tão pequenos
que podemos ignorá-los. Então:
Podemos tomar a derivada dessa equação:
O que vemos aqui nada mais é que:
Isso é verdade se não existir forças externas sobre o sistema. Mas é
interessante analisar um caso real de lançamento a partir da Terra. Então, temos o
foguete subindo em uma determinada direção ( ) e a força da gravidade é na direção
oposta ( ).

Nesse caso, nossa equação deve ser ajustada:
Mas lembre-se, apenas se tivermos um lançamento vertical na Terra.
Portanto, temos:
( )
Onde e são velocidades finais e iniciais do foguete. O termo é usado
somente para casos onde o lançamento é na superfície da Terra. O tempo é o tempo
de queima do combustível. Digamos que tenhamos um lançamento, mas o foguete
não existe, então o termo ( ) não existe. Assim temos:
E essa equação nós vimos no início do curso.
Lançamos um foguete, e sua velocidade inicial é zero. Para saber a velocidade
final, temos que ter ( ) como um número positivo. Mas como obter isso
sendo que temos um sinal de menos? Bom, lembre-se de que a massa final é sempre
menor que a massa inicial ( ), portanto o logaritmo sempre será negativo. Com
isso, todo nosso termo será positivo.
Vamos tomar um exemplo com alguns dados. O tempo de queima do
combustível será de 100 segundos. A velocidade inicial será zero e m/s. A
relação de massa é .
Agora podemos encontrar a velocidade final.
Se não houvesse gravidade, a velocidade do foguete seria 2300 m/s.
Quando você queima certa quantidade de combustível por um certo período de
tempo, você obtém uma variação constante na velocidade.

Notas de Aula

Essa aula destina-se à uma revisão sistemática de algumas aulas anteriores.
Está de acordo com a segunda prova do MIT. A revisão segue a seguinte ordem:
Leis de Newton
 Leis de Newton
 Peso, percepção da gravidade
 Atrito
Lei de Hooke
 Molas
 Pêndulos
 Movimento harmônico simples
Trabalho
 Trabalho
 Energia Cinética e Potêncial
 Teorema da Energia Mecânica
 Forças Conservativas
Gravitação
 Lei da Gravitação Universal
Forças de Resistência
 Arrasto
 Velocidade Terminal
 Velocidade de Escape
 Orbitas Circulares
Potência
Momentum
 Conservação do Momentum

Aula 19 – Rotação de Corpos Rígidos, Momento de Inércia e Teorema dos Eixos
Vamos lembrar sobre movimentos circulares. Temos um objeto, com certa
velocidade, percorrendo uma trajetória circular.
Podemos fazer algo que antes não tínhamos feito. Nós podemos dar ao objeto
uma aceleração. Dessa maneira, não é necessário manter a velocidade constante.
Assim:
Posso encontrar a aceleração tangencial:
𝑡
Chamamos de aceleração angular, que é medida em rad/s².
Não confunda aceleração tangencial com aceleração centrípeta. Os dois
existem em nosso exemplo (a aceleração centrípeta existe, pois caso não existisse o
objeto não estaria em uma trajetória circular). Nós podemos fazer uma relação das
equações que tínhamos no movimento linear com as equações do movimento circular.
Assim, podemos utilizar as equações que já conhecemos, contanto que mudemos
nossos valores. Portanto:
Como exemplo, temos a equação:
Para o movimento circular ela se torna da seguinte maneira:
Para a velocidade:
Temos:
Se nós temos um disco girando, podemos nos perguntar qual é a energia
cinética presente nesse disco. Até então nós estávamos trabalhando com problemas

lineares mas não com objetos em rotação. Faremos isso agora. Temos um disco com
centro C que gira a uma velocidade angular que pode mudar com o tempo. O disco
possui uma massa m e um raio R.
Eu quero saber qual a energia cinética de rotação presente nesse disco. Vou
tomar um pedaço qualquer do disco, e esse pedaço que eu tomar possuirá uma massa
e um raio .
A energia cinética desse pedaço do disco será:
A velocidade de é na seguinte direção (faz um ângulo de 90° com o raio ):
Agora, o que sempre vale para objetos em rotação. Então eu posso
escrever:

Então, qual será a energia cinética de rotação de todo o disco? Podemos
escrever:
Ou seja, temos de somar todas as partículas presentes no disco. Se não
somarmos todas essas partículas estaremos assumindo que a massa de nossa equação
nada mais é do que o centro de massa, mas no centro de massa a energia cinética de
rotação é zero. O termo nós chamamos de momento de inércia e
representamos pela letra I.
Assim, nossa equação fica:
Retornando ás nossas relações de equações lineares, temos:
Para calcular a energia cinética de rotação, devemos conhecer o momento de
inércia, o que pode dar um pouco de trabalho. É preciso recorrer à matemática, pois o
cálculo do momento de inércia envolve muito mais matemática do que física. É preciso
recorrer às integrais. Para nosso caso, como temos um disco o momento de inércia
será:
O momentum de inércia depende do objeto que temos. Depende também do
eixo ao qual iremos girar nosso objeto. Se tivermos uma esfera, uma esfera sólida:
Onde R é o raio da esfera e m é a massa da esfera.
Têm-se uma haste, e ela gira ao redor de um eixo que passa pelo centro (esse
eixo é perpendicular à haste). Temos que a massa da haste é m e o comprimento é L.
Então, seu momento de inércia é:

Ao final desse capítulo, teremos uma demonstração de alguns cálculos de
momentum de inércia. Vamos estudar dois teoremas que nos ajudarão a calcular os
momentos de inércia na maioria dos casos. Temos um disco em rotação onde a
rotação é feita sobre o centro de massa. O eixo de rotação nós chamaremos de L, e ele
é perpendicular ao disco.
O momento de inércia nós já sabemos o valor. Vamos tomar um segundo ponto
em nosso disco, por onde passa um eixo L’ que é paralelo a L. Vamos forçar nosso
disco a girar em torno desse eixo. Vamos introduzir o Teorema dos Eixos Paralelos.
Esse teorema diz que o momento de inércia de rotação sobre o eixo L’, contanto que L’
seja paralelo a L, é igual ao momento de inércia de um objeto que gira sobre o eixo L
através do centro de massa mais a massa do disco vezes a distância dos eixos ao
quadrado.
Existe um segundo teorema, que serve quando temos objetos finos. Esse
teorema é chamado de Teorema dos Eixos Perpendiculares. Vamos tomar um ponto
sobre uma placa irregular (mas fina), e por ele vai passar um eixo, o qual chamaremos
de eixo z. Esse eixo está indo em sua direção, está saindo do plano. Agora, eu posso
desenhar qualquer outro eixo x ou y passando por z em qualquer lugar do plano, de
forma que eles formem um ângulo de 90°.
Lembrando que se utilizarmos a regra da mão direita, temos que . Ou
seja, o eixo z vem em nossa direção. Agora, podemos girar nossa placa em torno desse
eixo. Também podemos girar a placa em torno de y e em torno de x.

O teorema dos eixos perpendiculares diz que para a rotação em torno de z:
Existem certas aplicações em que a energia cinética é temporariamente
armazenada num disco rotativo, e nós os chamamos de “flywheels”. A energia cinética
de rotação pode ser consumida em pouco tempo, o que é bastante econômico. Essa
energia cinética pode ser convertida em eletricidade, por exemplo, ou em outras
formas de energia.
Vamos ver um exemplo de um carro que está descendo uma montanha. A
estrada é bastante perigosa, possui muitas curvas, um ziguezague. Dessa maneira, o
condutor do carro deve ir um pouco devagar. A velocidade máxima não pode passar de
4 metros por segundo. A massa do carro é de 10³ kg. A altura é cerca de 500 metros e
após descer a montanha você chega ao ponto P. Logo após chegar ao ponto P você
sobe novamente à montanha até o ponto Q. A pergunta é: qual a sua energia cinética
em P?
Pois bem, sua velocidade é cerca de 4 m/s. No ponto P sua energia cinética é:
Compare esse valor com o trabalho realizado pela gravidade, que é dada por
.
6
Ou seja, é um número muito grande. Toda essa diferença de valor foi
convertida em calor utilizando os freios do veículo. Também existe o desgaste dos
pneus. A questão é: podemos diminuir a perda dessa energia? A resposta é sim.

Nós podemos instalar discos nas rodas de nosso carro de modo que
convertamos energia potencial gravitacional em energia cinética de rotação. Vamos
supor que em seu carro tenha um disco de raio igual a meio metro ( ). A massa do
automóvel é de 200 kg. O momento de inércia é .
O que queremos fazer é converter toda essa energia potencial gravitacional em
energia cinética do disco. Então:
6
A frequência do disco será:
Ou seja, durante a descida, à medida que você freia você não estará aquecendo
seus pneus, nem seus freios, você estará, de alguma forma, convertendo energia para
o disco giratório. Então a frenagem é feita, agora, devido a uma conversão de sua
velocidade linear, que vem da energia potencial gravitacional, na rotação do disco. Se
todos os cinco milhões de joules pudessem ser convertidos novamente para o veículo,
você poderia subir para o ponto Q sem necessitar de combustível extra.
Mas nosso exemplo cita um caso para uma montanha. Podemos usar esse
dispositivo nas cidades? E novamente, a resposta é sim.
Nota Extra
Flywheel
"Flywheel" - é um vocábulo inglês que à letra quererá dizer roda que voa. Até a
uns tempos atrás este "vocábulo" referia-se a "grandes" rodas pesadas que fizessem, e
ainda fazem, parte de algumas máquinas rotativas, e que têm a função de "guardar" e
regular a rotação destas (motores) de forma a trabalharem a uma velocidade
controlada (sem sobressaltos). Não é por acaso que aquando da Revolução Industrial
(com máquinas a vapor) muitas das máquinas tinham rodas "gigantescas", que no
fundo eram "Flywheel’s".
Resumindo, uma "Flywheel" é uma roda feita de um material pesado (aço,
fibras de carbono especial, etc.) que tem a função de "armazenar" e controlar uma
certa quantidade de movimento (Energia Cinética).
Freio ABS
A vantagem do freio ABS se baseia num conhecimento da física. Quando as
rodas ainda não estão em movimento, elas sofrem com a superfície na qual deslizam
com uma força chamada de atrito estático. Quando derrapam, elas sofrem uma força
de atrito cinético. Como a força máxima de atrito estático tem sempre um valor maior
do que a força máxima de atrito cinético é mais vantajoso para a frenagem que a roda
diminua sua rotação em movimento do que simplesmente travar.
Talvez no futuro os carros venham com dispisitivos capazes de reutilizar uma
parte da energia perdida.
Esses discos em rotação podem utilizar da energia cinética para produzir
campos magnéticos muito fortes. Em outras palavras, eles convertem energia
mecânica de rotação em energia magnética. Esse assunto será visto em outra frente da
física.

Essa enorme quantidade de energia cinética de rotação deve ser armazenada
em planetas e estrelas, pois eles apresentam uma rotação. Vamos nos fixar nesse
assunto por um instante. Vamos analisar primeiramente o Sol e a Terra e ver o quanto
de energia cinética de rotação é armazenada nesses dois corpos. Nas notas de aula nós
temos alguns dados que utilizaremos, como a massa do Sol e a da Terra e o raio deles.
Com esses dados, nós podemos calcular o momento de inércia. Da mesma maneira,
nós podemos calcular o valor da energia cinética de rotação. Se olharmos para o valor
da energia cinética de rotação do Sol, podemos pensar que a energia que recebemos é
devida a sua rotação. Mas se isso fosse verdade, a energia duraria apenas 125 anos, o
que invalida essa ideia. Agora sabemos que a energia proveniente do Sol é devido à
fusão nuclear.
Existe um objeto astronômico, não um objeto palpável, chamado de pulsar do
caranguejo. É uma estrela de nêutrons localizada na nebulosa do caranguejo. Essa
nebulosa é resultado de um supernova que foi presenciada por volta de 1054 por
astrônomos chineses. Vamos nos concentrar nas estrelas de nêutrons. Nas notas de
aula também temos os dados do pulsar do caranguejo. O momento de inércia é
pequeno se comparado ao Sol, pois o raio do pulsar é bem menor que o do Sol. No
entanto, se olharmos para a energia cinética de rotação a situação é completamente
diferente. A estrela de nêutrons gira em torno de seu eixo num tempo igual a 33
milissegundos. Sua velocidade angular é muito alta.
O pulsar do caranguejo está irradiando uma grande quantidade de raios-x e de
raios gama. Existem jatos de gás ionizado saindo da estrela. Toda a energia que esse
objeto está expelindo vem da sua energia cinética de rotação.
Nebulosa do Caranguejo

Se calcularmos toda a energia que o pulsar do caranguejo dissipa,
encontraremos uma potência aproximadamente igual a . O pulsar consegue
gerar energia cerca de 150.000 vezes mais que o Sol.
O período de rotação de um pulsar, adotando algo bem próximo do real, é
cerca de 0.0335028583 segundos. Mas esse valor está começando a abrandar. Isso
significa que está começando a diminuir.
O pulsar recebe esse nome pois seu brilho parece variar. Isso se deve ao fato de
que o jato que emana do pulsar sai pelas regiões de campo magnético mais fraco. À
medida que a estrela de nêutrons gira, o jato aponta em nossa direção
periodicamente, alternando o brilho. Existem outros tipos de pulsares, como é o caso
de Mira. A estrela Mira muda de brilho periodicamente no céu, isso ocorre pelo fato
da combinação de oxigênio e titânio (elementos presentes em sua atmosfera). Esses
elementos se combinam e formam óxido de titânio, o mesmo usado em protetores
solares. Uma nuvem negra é formada em volta da estrela, diminuindo assim o seu
brilho. Porém, Mira não para de liberar radiação, a estrela continua a aquecer até que
as moléculas da nuvem se rompam e assim o brilho volta a ser intenso.

A companheira de
Mira atrai boa parte do vento
estelar da companheira. Isso
cria uma ponte gasosa entre
as duas formando um disco
de acreção.
Indo mais além...
Cálculo de momento de inércia
Momento de inércia de uma distribuição de massas pontuais
Temos que calcular a quantidade
Onde xi é à distância da partícula de massa mi ao eixo de rotação.
Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. São
colocadas 5 massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um
dos extremos. Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo
perpendicular a varinha que passa através de:
 Um extremo
 Da segunda massa
 Do centro de massa
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular
a varinha e que passa pela primeira partícula é
IA=1·02
+1·0.252
+1·0.52
+1·0.752
+1·12
=1.875 kgm2
a varinha e que passa pela segunda partícula é
IB=1·0.252
+1·02
+1·0.252
+1·0.52
+1·0.752
=0.9375 kgm2
a varinha e que passa pela terceira partícula (centro de
massas) é

IC=1·0.52
+1·0.252
+1·02
+1·0.252
+1·0.52
=0.625 kgm2
Em vez de calcular de forma direta os momentos de inércia, podemos calcular
de forma indireta empregando o teorema de Steiner. Conhecido IC podemos calcular IA
e IB, sabendo as distâncias entre os eixos paralelos AC=0.5 m e BC=0.25 m.
A fórmula que temos que aplicar é:
 IC é o momento de inércia do sistema relativo a um eixo que passa pelo
centro de massa
 I é o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior
 M é a massa total do sistema
 d é a distância entre os dois eixos paralelos.
IA=IC+5·0.52
=0.625+1.25=1.875 kgm2
.
IB=IC+5·0.252
=0.625+0.3125=0.9375 kgm2
.
Momento de inércia de uma distribuição contínua de massa
Passamos de uma distribuição de massas pontuais a uma distribuição contínua
de massa. A fórmula que temos que aplicar é
∫
dm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotação
Resolveremos vários exemplos divididos em duas categorias
 Aplicação direta do conceito de momento de inércia
 Partindo do momento de inércia de um corpo conhecido
Momento de inércia de uma varinha (haste)
Vamos calcular o momento de inércia de uma varinha de massa M e
comprimento L relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa pelo centro de
massas.
A massa dm do elemento de comprimento da varinha compreendido entre x e
x+dx é:
O momento de inércia da varinha é:
∫
Momento de inércia de um disco
Vamos calcular o momento de inércia de um disco de massa M e raio R relativo
a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa por seu centro.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é
um anel de raio x e de largura dx. Se recortamos o anel e o estendemos, é convertido
em um retângulo de comprimento 2px e largura dx, cuja massa é:
O momento de inércia do disco é:
∫
Momento de inércia de um cilindro
Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M, raio R e
comprimento L relativo a seu eixo.
Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é
uma camada cilíndrica cujo raio interno é x, externo x+dx, e de comprimento L, tal
como é mostrada na figura. A massa dm que contém esta camada é:
O momento de inércia do cilindro é:
∫ ∫
Momento de inércia de uma placa retangular
Vamos calcular o momento de inércia de uma placa retangular delgada de
massa M de lados a e b relativo ao eixo que passa pela placa.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento
é um retângulo de comprimento a de largura dx. A massa deste retângulo é:
O momento de inércia da placa retangular é:
∫
Momento de inércia de um disco
Vamos calcular o momento de inércia de um disco
de massa M e raio R, relativo a um de seus diâmetros.
Tomamos um elemento de massa que dista x do
eixo de rotação. O elemento é um retângulo de
comprimento 2y de largura dx. A massa deste retângulo é:
O momento de inércia do disco é:
∫
Fazendo a mudança de variável:
x=R·cos
y=R·sen
Chegamos a integral:
∫ 4
∫
∫
Momento de inércia de uma esfera
Vamos calcular o momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R
relativo a um de seus diâmetros

Dividimos a esfera em discos de raio x e de espessura dz. O momento de inércia
de cada um dos discos elementares é:
A massa de cada um dos discos é:
O momento de inércia da esfera, é a soma dos momentos de inércia de todos
os discos elementares.
∫ ∫ ∫ 4
Para resolver a integral temos que relacionar a variável x com a z. Como vemos
na figura x2
+z2
=R2
∫ ∫ 4 4
Momento de inércia de um cilindro
Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M, raio R e
comprimento L, relativo a um eixo perpendicular a sua geratriz e que passa por seu
centro.
Dividimos o cilindro em discos de raio R e espessura dx. O momento de inércia
de cada um dos discos relativo a um de seus diâmetros é:
Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia deste disco,
relativo a um eixo paralelo situado a uma distância x.

( ) ( )
O momento de inércia do cilindro é:
∫ ( )
Momento de inércia de um paralelepípedo
Vamos calcular o momento de inércia de um paralelepípedo de massa M e de
lados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas faces.
Dividimos o paralelepípedo em placas retangulares de lados a e b e de
espessura dx. O momento de inércia de cada uma das placas relativo seu eixo de
simetria é:
Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia desta placa
relativo a um eixo paralelo situado a uma distância x é:
( ) ( )
O momento de inércia do sólido em forma de paralelepípedo é:
∫ ( )
Fonte:
http://www.fisica.ufs.br/egsantana/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica

Notas de Aula
Dados do Sol, Terra e Pulsar do Caranguejo.

Imagem de Raios-X do Pulsar do Caranguejo (Chandra X-ray Observatory)

Aula 20 – Momento Angular
É preciso dizer que o assunto desta aula, e de outras que virão, necessita de
uma atenção extra. O assunto sobre momento angular e torque se torna, muitas das
vezes, mal compreendido pelos alunos. Por essa razão algumas aulas serão voltadas
para tais assuntos.
Vamos iniciar estudando o momento angular. Eu tenho um objeto de massa m
que possui uma velocidade v.
Então, claramente nós temos um momentum p.
O momento angular eu posso tomar em relação a qualquer ponto, o qual eu
chamarei de Q. Então existirá um vetor que determinará a posição do objeto com
relação a Q. Um ângulo é formado pelo vetor com a velocidade.
Assim, o momento angular com relação a Q ( ) é dado por:
A magnitude do momento angular em relação a Q é:
| |
Muitas das vezes podemos utilizar uma notação abreviada para , a qual
escrevemos simplesmente . Ou seja, r é a distância perpendicular com relação a Q.
Assim:

A direção do momento angular é fácil de achar, nós já vimos isso. Utilizando a
regra da mão direita veremos que a direção do momento, dado por , é entrando
no plano ( ). Agora, digamos que eu escolha qualquer ponto da linha de p. Chamarei
esse ponto de C.
Em relação a C o momento angular é zero ( ). Isso é verdade, pois o vetor
posição e o vetor velocidade encontram-se, nesse caso, na mesma direção. Ou seja, o
ângulo é zero e seno de zero é zero. Percebemos com isso que o momento angular não
é uma propriedade intrínseca do objeto em movimento, ao contrário do momentum.
Se você observa um objeto se movendo e você conhece sua velocidade então você
pode encontrar seu momentum. Mas para calcular o momento angular você deverá
escolher um referencial. Se você escolhesse um ponto diferente de Q, digamos um
ponto D, então a direção do momento angular seria para fora do plano ( ). Basta
utilizar a regra da mão direita.
Vamos analisar uma situação em que a velocidade de um objeto está mudando,
mas o momento angular permanece o mesmo. Vamos tomar a Terra (m), que gira ao

redor do Sol (C). A distância é dada pelo vetor . A Terra possui uma velocidade
tangencial. A velocidade em si muda, mas a velocidade escalar nunca muda.
Agora, vamos para o momento angular da Terra, ao redor do Sol, ou seja, com
relação a C. Tomando o ponto C. Perceba que a direção do momento angular é saindo
do plano.
| | | |
Perceba que o ângulo da velocidade com o vetor posição é de 90°, ou seja, o
seno é igual a um e portanto não é necessário escreve-lo. Então, podemos escrever:
| |
Se Tomarmos a Terra em outra posição veremos que o nosso momento angular
permanecerá o mesmo. Isso ocorre devido à existência da velocidade tangencial. Em
qualquer momento a Terra apresenta uma velocidade tangencial que é perpendicular
ao vetor posição. Portanto, em qualquer momento o ângulo é 90° e o seno é igual a
um.
Portanto, a velocidade está mudando mas o momento angular em relação a C
não muda. Suponha que eu tenha escolhido um ponto Q ao invés do ponto C.

Em determinado momento a Terra passa pelo ponto Q, então o momentum
angular com relação a Q é zero (quando a Terra está nele), pois o vetor posição é zero.
O momento angular só não mudará se adotarmos nossa referencia como o ponto C.
Em outras palavras, para esse caso, o momento angular se conserva somente no caso
de nossa referencia ser o ponto C. Analisemos isso de um modo mais geral. Vamos
tomar nossa referencia como um ponto Q.
Vamos derivar essa equação:
O termo
𝑡
nós sabemos que é a velocidade do objeto que por sua vez é na
mesma direção de p. Portanto o termo
𝑡
é igual à zero. O termo
𝑡
é a força.
Então, temos:
E assim temos o chamado torque, que representamos por que é um vetor.
No caso de nossa referencia ser o ponto Q, teremos:
Analisando essa equação podemos ver que se ocorre uma variação da
quantidade de momento angular é porque temos um torque agindo sobre o objeto. Se
não existir torque, então o momento angular será conservado.
No exemplo que vimos sabemos que existe uma força (força da gravidade)
apontada para C. Ou seja, essa força é contrário ao sentido do vetor posição, o que nos
dá . Ou seja, não existe torque com relação a C. Portanto, não importa em
que posição a Terra esteja no círculo, o produto da força da gravidade vezes a posição
será sempre zero. Mas se tomarmos outro ponto, como foi o caso de Q então existirá
um torque. Portanto se existir o torque haverá mudança no momento angular.
Vamos expandir a ideia do momento angular. Tomemos um objeto se movendo
pelo espaço. Esse objeto pode ser um disco, ou uma esfera. Ele está em rotação em
torno de seu centro de massa. Vamos usar um disco de massa M e raio R. O centro de
massa do disco é dado por C. O disco gira com uma velocidade angular .

Eu quero saber o valor de . A direção do momento angular é trivial. Vamos
tomar um ponto qualquer nesse disco e sua massa será . Nós teremos um raio
que é à distância do centro ao ponto e teremos que apresenta uma velocidade ( )
que forma um ângulo reto com .
O sentido do momento angular está saindo do plano. Mas qual será a
magnitude do disco como um todo? Primeiro vamos calcular o momento angular de
em relação a C. Vamos tratar apenas da magnitude, então:
A velocidade vai depender de quão longe você está do centro, pois no centro o
raio é zero e isso anula sua velocidade (no caso a do objeto). Mas, por mais que as
velocidades dos diversos pontos no disco possam ser diferentes, a velocidade angular
vai ser sempre a mesma. Então:
Então, nossa equação fica:
Com isso, podemos calcular o momento angular do disco em relação a C:
E novamente temos que é o momento de inércia.
Então podemos escrever:
Se existe uma rotação em torno do centro de massa, eu posso escolher
qualquer outro ponto para colocar meu objeto que o valor do momento angular será
sempre o mesmo. Poderia escolher um ponto fora do disco, mas meu momento
angular seria o mesmo.

O chamado spin é uma propriedade intrínseca do objeto. É a rotação em torno
de seu centro de massa. Independe do ponto que você escolher para calcular o
momento angular. Então, quando um objeto gira em torno do seu centro de massa
não é necessário especificar o ponto que escolheu como origem. A Terra está girando
ao redor de seu centro de massa, então a Terra possui um momento angular intrínseco
de spin.
Vamos fazer uma experiência que nos permitirá entender um pouco de ballet
no gelo. Temos uma plataforma giratória. Uma pessoa está em cima dela e nós iremos
girar a plataforma e logicamente a pessoa vai girar junto. A pessoa segura um peso em
cada mão. Eles pesam cerca de 1.8 kg. A massa total da pessoa, incluindo os pesos e a
plataforma, é de 75 kg. Quando a pessoa começar a girar ela estará com os braços
esticados (abertos):
A pessoa está girando em torno de seu centro de massa. O vetor do momento
angular é direcionado para cima. Existe também a força da gravidade atuando sobre a
pessoa, mas ela possui o mesmo valor da força normal que é oposta, então não
precisamos nos preocupar com isso. A medida que a pessoa começar a girar ela vai
fechar os braços, trazendo eles mais perto do corpo:
Não existe torque agindo na pessoa durante o movimento. Nós apenas
empurramos a pessoa no início para que ela começasse a girar, mas durante o
movimento não houve torque algum. Como não existe torque, o momento angular
deve ser conservado. Então:
Quando a pessoa puxar os pesos, ou seja, trouxer os braços para mais perto do
corpo, o momento de inércia deverá diminuir. Se o momento de inércia diminui então,
para que o momento angular permaneça conservado, o valor de deve subir. Quando
a pessoa abre os braços, o momento de inércia aumenta então deve diminuir.

Assim, com os braços abertos a pessoa gira mais devagar e com os braços fechados a
pessoa gira mais rapidamente. Vamos, para simplificar um pouco as coisas, imaginar o
corpo da pessoa como uma superfície cilíndrica de modo que possamos calcular o
momento de inércia mais facilmente. O cilindro possui um raio de 20 cm, que é
próximo do raio da pessoa com os braços fechados.
Podemos agora calcular o momento de inércia. Então, o momento de inércia
quando a pessoa está com os braços fechados será:
Agora, a pessoa vai abrir os braços, de modo que o comprimento dos braços,
que seria o raio, é cerca de 90 cm. Como aumentamos o valor do raio, então o
momento de inércia deve aumentar.
Quando um patinador no gelo começa a girar e fecha seus braços, então ele
começa a girar mais rapidamente, pois como vimos com os braços abertos o momento
de inércia é maior mas o momento angular é constante, pois não há torque, então
quando o momento de inércia aumenta a velocidade angular diminui e vice-versa.
Podemos fazer essa experiência em cima de uma plataforma giratória ou então
em cima de uma cadeira giratória.

Se nós temos muitos pontos juntos, como já discutimos anteriormente com
momentum, esses pontos interagem uns com os outros. Esses pontos podem ser
estrelas que interagem gravitacionalmente ou podem ser objetos ligados por molas. O
certo é que eles tem uma interação interna, eles colidem, se despedaçam, há atrito,
qualquer uma dessas situações. Então, eu posso tomar dois desses pontos e eles irão
sofrer uma atração de mesma intensidade, pois ação é igual a menos reação. Se não
existir uma força externa sobre eles, o momento angular se conservará. Da mesma
maneira, todos os torques internos se cancelam.
Nós podemos fazer uma comparação da conservação do momento angular com
a conservação da quantidade de movimento. No caso da conservação de momento nós
tínhamos um sistema de objetos e na ausência de uma força externa sobre o sistema
como um todo o momentum era conservado. Agora nós temos um conjunto de
partículas onde não há qualquer tipo de torque externo agindo então o momento
angular é conservado. Voltando para o caso de um patinador no gelo, quando ele
fecha os braços ele diminui seu momento de inércia e aumenta a velocidade. Quando
uma estrela encolhe, ou seja, seu raio diminui, seu momento de inércia diminui e
portanto a velocidade angular da estrela aumenta.
O que determina o tamanho de uma estrela?
Dentro de uma estrela nós temos uma fornalha, o núcleo da estrela onde
ocorrem fusões nucleares que transformam elementos mais leves em elementos mais
pesados. O calor produz pressão na estrela, de maneira que faz com que a mesma
comece a expandir. Por outro lado, existe a gravidade que busca conter essa expansão
estelar. A gravidade tenta colapsar a estrela.

A natureza busca uma maneira de equilibrar a gravidade com a pressão
produzida pela fusão. Chega um momento, porém, que a fusão nuclear deixa de
ocorrer, pois todo o material para isso (combustível) foi consumido. Para o Sol, a fusão
continuará ocorrendo por mais cinco bilhões de anos. O tempo total de vida do Sol é
de dez bilhões de anos, ou seja, ele está na metade de sua vida. Uma vez que todo o
combustível da estrela é queimado ela pode ter seu fim de três maneiras distintas,
dependendo de seu tamanho. Assim, teremos:
1) Anã Branca: seu raio é aproximadamente igual ao da Terra ( 4
).
Sua massa é cerca da metade da massa do Sol ( ). Sua
densidade será de 6
. Nosso Sol se tornará uma anã branca.
2) Estrela de Nêutrons: seu raio é aproximadamente . Sua massa é
cerca de . Sua densidade é cerca de 4
.
3) Buraco Negro: não vamos nos ficar ainda nesses objetos. Seu raio é ,
sua massa é cerca de três vezes maior do que a massa do sol, ou seja,
. A densidade de um buraco negro é infinitamente grande.
Como vimos o que determinará se uma estrela se transformará em um desses
objetos é sua massa. Ao final de sua vida, o Sol irá expandir suas camadas externas e
seu núcleo vai colapsar e formar uma anã branca.
Quando uma estrela colapsa uma grande quantidade de energia potencial
gravitacional é liberada em forma de energia cinética. A energia por sua vez se
converte em calor e radiação. Além de liberar uma grande quantidade de energia, a
estrela começa a girar, pois seu raio diminui e a velocidade angular aumenta (pois seu
momento de inércia diminui). Vamos tomar alguns valores. Quero colapsar uma
grande estrela, de maneira que ao final eu tenha uma estrela de nêutrons. Então:
5
A massa é cerca de:
Quando a estrela colapsar, uma grande quantidade de energia potencial
gravitacional será liberada. Seu valor será:
46
Esse valor é convertido em energia cinética e depois em calor. Para se ter uma
ideia desse valor, toda a energia que o Sol produz em seus 10 bilhões de anos é cerca
de cem vezes menor do que 46
. Assim quando um colapso acontece e essa grande
quantidade de energia é liberada nós temos a chamada supernova. As camadas

externas da estrela são lançadas para fora com uma velocidade de 10.000 quilômetros
por segundo.
A foto a seguir mostra uma imagem de uma supernova. Uma supernova pode
ser mais brilhante do que todas as estrelas de sua galáxia.
Em 1987, Ian Shelton descobriu a nebulosa conhecida como 1987A. Ele
percebeu que uma estrela na Grande Nuvem de Magalhães (uma pequena galáxia
satélite cuja distância de nós é cerca de 160.000 anos luz) estava um tanto quanto
estranha. Aquela estrela não deveria estar lá. A nebulosa 1987A foi a remanescente de
uma supernova.

Aula 21 – Torque
Na aula anterior nós vimos a respeito de momento angular e torque. Como foi
dito, esses conceitos necessitam de uma atenção extra, pois são conceitos complicados
de se estudar. Para compreender esse assunto é necessário um pouco de treino e não
fique aborrecido se demorar um pouco para entender o assunto.
Lembrando nossa definição de momento angular (com relação a um ponto Q):
O torque em relação a Q é:
Devemos nos lembrar de que o torque conduz a uma mudança no momento
angular:
Se não há torque então o momento angular é conservado.
Vamos tomar um exemplo da Terra (m) se movendo ao redor do Sol (C). Nós
temos a força da gravidade direcionada para o centro.
Vamos partir da equação do momento angular com relação a C:
| |
O seno é um, pois o ângulo formado é de 90° e o sentido do vetor momento
angular é para fora do plano. Podemos escrever o momento angular como:
| |
O momento de inércia com relação ao ponto C pode ser calculado:
O que coincide com . Observando a seguinte equação:
Ela nos diz que se escolhermos o ponto C, e somente esse ponto, então o
torque é zero. Isso ocorre pois a força e o vetor posição formam um ângulo de
180°entre si. Ou seja, com relação ao ponto C o momento angular é conservado.
Qualquer outro ponto que escolhermos existirá um torque envolvido, fazendo
com que o momento angular não seja conservado. Mas podemos tomar um exemplo
no qual o momento angular seja conservado em relação a apenas um ponto mas não
para qualquer outro ponto. Tomemos uma barra, ou uma haste, de massa M e
comprimento L com seu centro de massa dado em C. Nós iremos forçar essa barra a

girar em torno de um ponto P. A distância de C a P é dado por d. Vamos pensar em
uma situação sem atrito e nossa barra gira com uma velocidade .
Vamos supor que existe um prego em P, então a barra gira ao redor de P. Eu
quero saber qual é a magnitude do momento angular com relação ao ponto P:
| |
Vamos nos recordar do teorema dos eixos paralelos, pois eu tenho um eixo no
centro de massa e tenho um eixo em P.
O momento de inércia passando pelo centro de massa da barra é:
Então, o teorema dos eixos paralelos me diz que:
Assim eu tenho que:
| | ( )
Vou afirmar que no ponto P deve existir uma força agindo sobre ele, a qual é na
seguinte direção:
Vamos analisar melhor esse caso observando uma haste sem massa, mas com
dois objetos de massas iguais em suas extremidades. Elas irão girar ao redor de um
eixo que passa pelo centro. Haverá forças centrípetas (partindo dos objetos)
apontando para o centro da haste. Essas forças possuem a mesma intensidade, mas
sentidos opostos e por essa razão elas se anulam.
Mas agora, digamos que eu tenha a mesma haste, mas vou girá-la em torno de
outro ponto, descrito na figura:
Então, a força centrípeta do objeto da direita é maior do que o da esquerda.
Existe uma assimetria nesse sistema. Haverá uma força da haste sobre o ponto
no qual a haste gira e vice-versa. Mas essas forças não me interessam, pois iremos
analisar apenas o torque sobre a haste. Quando existe um torque, como é o caso da

haste com os pontos P e C, qualquer força através do ponto P (como é o caso) não tem
efeito algum, pois o vetor posição é zero. Mas existe uma força.
Se eu tomar o torque com relação a P, eu não me preocuparei com a outra
força agindo em P. O torque com relação a P é zero:
| |
Então o momento angular sobre esse ponto deve ser conservado. Podemos
pegar qualquer outro ponto que o momento angular não será mais conservado. Agora,
faremos uma rotação em torno do centro de massa. Vamos utilizar a mesma barra,
mas dessa vez o giro será em torno de C (centro de massa).
Não existe nenhuma força sobre C devido à simetria. Se não existe força, então
o torque, com relação a qualquer ponto, deve ser zero. Isso ocorre porque se a força é
zero então não importa qual ponto nós peguemos, sempre teremos e como
vimos, .
O momento angular com relação ao centro de massa será:
| |
Vamos para algumas aplicações. Na verdade existem inúmeras aplicações,
umas mais intuitivas e outras nem tanto. Temos uma haste sobre uma mesa horizontal
sem atrito. A haste tem massa M e comprimento L e seu centro de massa é dado por C.
Eu darei um impulso perpendicular à direção da haste. Existe uma distância do centro
de massa até o sentido do impulso.
A pergunta é: o que irá acontecer com esse objeto?
Bom, certamente nossa haste vai se mover para a direita, pois ela sofreu um
empurrão nessa direção. Mas, existe rotação? E se existe, sobre qual ponto ela vai
girar? O giro deve ser em torno do centro de massa. Mas para que isso ocorra, é
necessário dar uma velocidade ao centro de massa, que nunca mudará, e também ter
uma velocidade angular em torno do centro de massa.

Com o passar do tempo, essa haste irá se mover para frente, mas seu centro de
massa nunca mudará, assim como sua velocidade e sua velocidade angular. Para o
centro de massa, sempre teremos:
Para uma força que atua em certo período de tempo, temos que sua magnitude
é:
𝑡
O que nada mais é do que o impulso:
𝑡
Como a velocidade antes de eu aplicar o impulso era zero, temos que
. Então temos que o impulso será:
E assim podemos calcular a velocidade da haste. Perceba que esse resultado é
independente do valor de d, ou seja: não importa onde aplicamos o impulso, o centro
de massa sempre se comportará de uma forma pontual, então a velocidade dependerá
apenas do valor do impulso e da massa do objeto.
Agora, veremos outra aplicação do uso de torques. Essa aplicação está
relacionada com osciladores harmônicos simples. Nós conseguimos calcular o período
de oscilação de um pêndulo, o que não foi muito difícil. Mas agora imagine que temos
uma régua, com um furo em uma de suas extremidades. Nós penduraremos essa
régua em um suporte e então a soltaremos, de maneira que ela irá oscilar como se
fosse um pêndulo. Como calcular o período de oscilação dessa régua?
A massa possui uma massa M e um comprimento L. Seu centro de massa está
como descrito na imagem. A régua vai girar em torno de um ponto P, que será o furo
da régua. A distância do centro de massa ao ponto P eu chamarei de b.

Existe também um ângulo formado entre o CM e o ponto P.
Com certeza haverá uma força em P, mas não precisamos nos preocupar com
isso. Eu vou tomar o torque com relação ao ponto P, de maneira que eu me livre de
todas as forças que estão nesse ponto. Assim temos:
Então, a magnitude do torque, que estará mudando com o tempo, será:
| 𝑡| 𝑡
Esse meu resultado deve ser igual ao meu momento de inércia em P:
| 𝑡| 𝑡
Eu tenho que é minha aceleração angular. Porém, há algo muito importante a
notar: esse torque é um torque de restauração, ou seja, ele busca retornar o objeto a
posição de equilíbrio. E por essa razão, nós precisaremos de um sinal de menos em
nossa equação:
| 𝑡| 𝑡
Podemos escrever:
Aqui podemos usar a aproximação por pequenos ângulos. Assim:

( )
E esse resultado nos descreve uma oscilação harmônica simples. O que nos da à
resposta:
𝑡
O dessa ultima equação nada tem a ver com o da primeira equação. Na
primeira equação é a velocidade angular e nessa última equação ele é a frequência
angular. A frequência angular nunca muda, mas a velocidade angular está mudando o
tempo todo. Assim temos:
√
√
Utilizando o teorema dos eixos paralelos, temos:
O que nos fornece:
√
Agora que tratamos o problema com respeito a uma régua, ou uma haste,
vamos analisar um objeto um pouco diferente. Vamos tomar um bambolê. Nós vamos
fazer a mesma coisa com o bambolê. Teremos um pino (no ponto P) no bambolê. O
centro de massa é dado por C. Depois de certo tempo o bambolê vai oscilar, e teremos
uma nova posição do centro de massa. Um ângulo será formado entre o centro de
massa e a nova posição do centro de massa após o bambolê se deslocar. A massa do
bambolê é M e seu raio é R. Eu sei que existem forças que passam pelo ponto P, mas
eu não preciso me preocupar com elas. O que eu devo levar em consideração é a força
peso e o vetor posição .
Então:

| |
O momento de inércia do ponto P será descrito pelo teorema dos eixos
paralelos:
Assim:
O que nos da uma oscilação harmônica simples. Assim temos que o período
será:
√ √
E isso é semelhante a um pêndulo. Se eu tivesse um pêndulo de comprimento
2R eu encontraria o mesmo resultado.

Aula 22 – Leis de Kepler e Mudanças de Órbitas
Nessa aula iremos estudar órbitas elípticas e as famosas Leis de Kepler. Vamos
apenas nos lembrar do que vimos sobre órbitas circulares:
Temos um objeto, como a Terra, se movendo através de uma órbita circular.
Assim, podemos obter as equações de nosso movimento:
√
√
As órbitas dos planetas no sistema solar são próximas de um movimento
circular, mas não são circulares. A forma mais geral é dizer que suas órbitas são
elípticas. No início do século XVII, Kepler formulou três importantes leis. A primeira lei
diz que a órbita dos planetas são elípticas. Nesse modelo, os planetas giram ao redor
do Sol, e o Sol, por sua vez, ocupa um dos focos da elipse. Essa lei é conhecida como lei
das órbitas.
A segunda lei de Kepler parece ser um pouco mais bizarra. Essa lei é conhecida
como lei das áreas. Se tomarmos uma elipse e colocarmos o Sol em um de seus focos,
e o planeta vai do ponto um ao ponto dois em certo período de tempo teremos uma
área formada entre esses dois pontos e o Sol. Se tomarmos o mesmo período de
tempo, mas agora o planeta indo do ponto três ao ponto quatro, teremos outra área.
A segunda lei de Kepler diz que essas áreas são iguais.

Assim, para a segunda lei temos que as áreas são iguais para tempos iguais. De
alguma maneira, essa lei tem algo com conservação de momento angular.
Sua terceira lei diz que se tomarmos o quadrado do período orbital ao redor de
uma elipse, ele será proporcional á distância média ao Sol na potência de três.
Nas notas de aula temos alguns dados obtidos por Kepler. Perceba que a
distância média da Terra ao Sol é dada por 1 AU (ou 1 UA). Isso significa unidade
astronômica. A relação da distância ao cubo dos planetas conhecidos na época de
Kepler dividido por seus períodos ao quadrado nos dá valores quase que constantes.
Assim, temos que a terceira lei pode ser escrita como:
Em que K é a constante de Kepler.
Portanto, no geral, as órbitas planetárias são elipses. Vamos nos fixar por um
instante nas elipses. Temos om objeto ao redor de um corpo, que pode ser a Terra ou
o Sol. Vamos assumir que seja a Lua ao redor da Terra. A distância entre os extremos
mais afastados da elipse (perigeu e apogeu) nós chamamos de 2a. Perigeu é o ponto
onde a Lua está mais próxima da Terra (que se encontra no ponto Q, que é um dos
focos) e apogeu é o ponto mais afastado.
Se ao invés da Lua e da Terra tivéssemos a Terra e o Sol, esses pontos seriam
chamamos de periélio e afélio. Temos então uma massa menor m girando ao redor de
M com uma velocidade dada por v. Podemos então tomar algumas equações para
nosso movimento:
𝑡 𝑡

√ 𝑡 𝑡
Perceba que as equações do movimento circular e do movimento elíptico são
bem parecidas.
Vamos supor que temos mais de uma órbita elíptica que possuem o mesmo
eixo maior, de maneira que o período é o mesmo. Temos uma órbita maior, que se
aproxima de um círculo, e uma órbita menor.
A distância de 1-2 é a mesma distância de 3-4. Isso quer dizer que de acordo
com as equações 5 e 6 ambas possuem a mesma excentricidade e a mesma energia
mecânica, e ambas possuem o mesmo período.
Um objeto de massa m está em uma órbita elíptica e queremos obter todas as
informações possíveis de nossa elipse. Temos nossa elipse de um objeto que gira ao
redor da Terra (M), então o ponto P será o perigeu e o ponto A será o apogeu. A
distância AP será igual a 2a, que nada mais é do que nosso semieixo maior. A distância
de m até M é dada por . Vamos imaginar isso como sendo no tempo zero. O objeto
apresenta uma velocidade e o ângulo entre a velocidade e o vetor posição é dado
por .
A partir de M, , e podemos descobrir o tempo que nosso objeto leva
para completar uma volta? Podemos descobrir o que é QP? Podemos descobrir o que
é o semieixo maior? Podemos descobrir a velocidade do ponto P e no ponto A? A
resposta é sim. Vamos nos voltar a equação 5, que é a conservação da energia
mecânica.
𝑡 𝑡

Então, podemos usar a equação 6 e calcular quanto tempo o objeto demora
para dar uma volta completa. Vamos ver um exemplo para qual a Terra está no foco.
4
Através da equação 5, podemos encontrar . Isso nos mostra
que 2a = 10.000 km. E por que essa distância é tão grande? A resposta para essa
questão está em analisar a velocidade de escape:
√
Usando a equação número 6 nós podemos encontrar o tempo que m leva para
dar uma volta completa ao redor de M.
Agora, queremos saber a situação no perigeu e no apogeu. Podemos calcular a
distância QP, a velocidade em P e em A. Vamos aplicar a conservação de momento
angular para esse sistema. O momento angular é conservado com relação ao ponto Q
e apenas com relação a esse ponto. Assim:
| |
Essa é a situação do objeto no ponto D.
No ponto P a velocidade será perpendicular à linha QP, de modo que o seno do
ângulo será um:
Então eu posso igualar os momenta em D e em P:
| |
Da mesma maneira, podemos fazer com relação ao ponto A ao invés de P. Aqui
temos uma equação com duas incógnitas ( e ), assim precisamos de outra
equação.

Mas temos que nos lembrar de que existe a conservação de energia mecânica.
Portanto, temos que a energia total deve ser conservada:
𝑡 𝑡
Que nada mais é do que nossa equação 5. Dessa maneira você irá obter duas
soluções. Um , ou seja, uma velocidade em P que te dará a distância QP e
, ou seja, uma velocidade em A que te dará a distância QA.
Com os dados que tínhamos anteriormente encontraremos:
4
Assim:
5
Agora, vamos falar de um assunto um pouco mais complicado. O assunto é
sobre mudanças de órbitas. Vamos estudar o caso de um foguete, que começa em
uma órbita circular. Vamos lançar o foguete de maneira que a velocidade irá aumentar
tangencialmente à trajetória. Nossa trajetória circular possui um raio R e o ponto X é
onde iremos lançar o foguete.
A primeira coisa que faremos é aumentar a energia cinética. Então nós iremos
expelir o gás do foguete de maneira que ele (o foguete) vá na direção da trajetória
circular. Ou seja, vamos fazer com que o gás vá na direção oposta ao movimento:
A velocidade do foguete irá aumentar, pois eu aumento a energia cinética,
então teremos uma nova velocidade que será maior:

Se a velocidade do foguete aumentou, a energia cinética aumentou. Estamos
considerando que a queima de combustível do foguete é tão curta que após a queima
o foguete continua em X, portanto a energia cinética aumentou mais a energia
potencial permaneceu a mesma de modo que a energia total aumentou. Assim:
𝑡 𝑡 𝑡 𝑡
Então:
Agora estamos entrando em uma órbita elíptica, pois a nova velocidade não é
mais a velocidade certa para uma órbita circular. Então, o que está ocorrendo é:
E claramente , pois a energia total é maior. Isso também significa que
o período da órbita elíptica deve ser maior que o da órbita circular. Agora, vamos
expelir o gás do foguete na direção oposta (na mesma direção do movimento circular),
de maneira que iremos diminuir a energia cinética e consequentemente a velocidade
do foguete. Após a explosão do combustível minha velocidade será menor:
Quando eu fizer isso teremos:

𝑡 𝑡 𝑡 𝑡
Então, nossa nova órbita será:
Notas de Aula:

Aula 23 – Efeito Doppler, Sistemas Binários, Estrelas de Nêutrons e Buracos Negros
A velocidade do som no ar é de aproximadamente 340 m/s. Esse valor depende
também da temperatura. Quando você está conversando com alguém a voz dessa
pessoa chega aos seus ouvidos com a velocidade 340 m/s. Quando você fala, você
produz uma certa frequência, certas oscilações por segundo.
Um diapasão oscila 440 vezes por segundo. Quando batemos num diapasão
nosso tímpano oscila 440 vezes por segundo. Se você ficar parado e eu mover o
diapasão de várias maneiras diferentes, em várias direções, você ouvirá frequências
diferentes do mesmo objeto. Isso é o que chamamos de Efeito Doppler.
Se a fonte de som se aproxima de você, então você ouvirá uma frequência
que é maior que a frequência do objeto em questão ( ). Agora, se o objeto se
move para longe de você, ou seja, a fonte está se afastando, então você ouvirá uma
frequência que é menor que a frequência do objeto ( ).
Pense em uma sirene de ambulância quando se aproxima de você. Quando a
ambulância está mais perto o som é mais agudo e à medida que ela vai se afastando o
som vai ficando mais grave.
Temos um transmissor de som cuja velocidade é 𝑡 . O transmissor se
aproxima de você, de maneira que você ouvirá:
O valor mostra que é uma parte de 340 m/s (pois a velocidade é 1 m/s).
Se o transmissor se afasta você ouvirá:
Imagine que agora eu irei rodar uma fonte de som ao redor de um círculo. A
frequência que você irá receber chegará aos seus ouvidos de uma maneira senoidal (a
mudança de som seguirá um senóide).
Ou seja, quando a fonte estiver vindo em sua direção à frequência ouvida será
máxima, e na direção contrária ela será mínima. Esse é o chamado efeito Doppler.
Então, à medida que eu rodar a fonte você ouvirá o som de uma maneira senoidal.

Se você fizer:
𝑡
A distância de duas cristas sucessivas nos fornece o período de rotação de
nossa fonte transmissora.
Uma vez que:
𝑡
Onde R é o raio do meu movimento circular.
Ondas eletromagnéticas podem viajar na velocidade da luz, que é cerca de
300.000 km/s, e para tratar de coisas rápidas desse tipo seria necessário recorrer à
relatividade especial. Quando falamos sobre o som, vimos que existe uma maneira de
você perceber diferentes frequência emitidas caso a fonte de som esteja se movendo
em sua direção ou na direção oposta. Vimos que o som pode parecer mais agudo ou
mais grave. No caso de ondas eletromagnéticas não faz tanto sentido essa questão. O
que vamos levar em consideração é nosso quadro de referência. A velocidade da luz,
de acordo com a relatividade, permanece sempre a mesma não importando o
movimento que fazemos (diferente do som). A radiação eletromagnética compreende
a luz visível, infravermelho, raios-X, raios gama, ultravioleta, etc.
Se a velocidade do transmissor da radiação eletromagnética é bem menor que
a velocidade da luz ( <<< ) então é fácil prever a mudança na frequência devido ao
efeito Doppler. Temos o transmissor que emite uma frequência e um receptor, que
recebe uma frequência . A velocidade da fonte de transmissão é 𝑡 . Há um ângulo
entre a velocidade e a distância até o receptor:

O termo é a componente radial. Assim:
( )
Ou seja, se o ângulo é menor que 90° então a frequência recebida é maior que
a frequência emitida. Caso o ângulo seja maior, a frequência recebida é menor. De
acordo com nossa equação, se o ângulo formado é de 90°, temos que nossa
componente radial é zero e .
Quando lidamos com o som existe algo oscilando, existe uma vibração. No caso
da radiação eletromagnética, elétrons estão vibrando com certa frequência e possuem
um período de oscilação:
Podemos nos perguntar até onde a luz consegue viajar, o quão distante ela
consegue ir. A radiação eletromagnética, claramente, viaja na velocidade da luz (c),
então:
Essa equação nós definimos como o comprimento de onda da radiação
eletromagnética. Podemos escrevemos essa equação como:
Podemos tomar alguns exemplos:
5 7
5 7
Em astronomia, não medimos o período ou a frequência da luz, tudo o que
podemos medir é o comprimento de onda. Assim, para utilizar nossa equação teremos
de fazer algumas mudanças:
Quando eu faço isso, eu obtenho:
( )
Para chegar a esses valores é necessário utilizar aproximação por pequenos
ângulos e expansão de Taylor.
Se o objeto vem em sua direção o comprimento de onda será menor, assim
temos que quando o objeto está se aproximando, então e assim
temos o chamado blueshift. As ondas de luz movem-se no sentido azul do espectro.
Caso o objeto está se afastando, então e assim temos o chamado
redshift. Quando você analisa o espectro de uma estrela você pode fazer isso com o
auxilio de prismas (ou outros meios). A intensidade do brilho é uma função do
comprimento de onda. Quando analisamos o espectro, podemos ver algo levemente

contínuo, mas existem certas linhas (pretas) de absorção no espectro. Elas linhas de
absorção correspondem aos elementos da atmosfera da estrela. Observando as linhas
de absorção podemos detectar os elementos presentes na estrela. Cada elemento
possui sua linha de absorção característica:
Muitas etrelas que vemos são sistemas binários. Uma estrela gira em torno da
outra, ou seja, ocorre o efeito Doppler, pois em determinado momento elas giram em
sua direção e depois giram na direção contrária. Dessa maneira, podemos medir a
velocidade das estrelas, os raios e os períodos.
Vamos nos fixar em sistemas binários. Nossa primeira estrela, possui um raio
, uma massa e uma velocidade . A segunda estrela possui o mesmo centro de
massa da primeira estrela. Nossa seguna estrela possui um raio , uma massa e
uma velocidade .
Podemos, então, definir o centro de massa como:

Você observa esse sistema binário. Então:
Você mede o efeito Doppler da estrela 1 em função do tempo, obtendo o
período, a velocidade e o raio. Da mesma maneira você faz com a estrela 2. Se você
conhece os raios, então:
Então podemos partir da terceira lei de Kepler. Conhecendo os períodos nós
podemos encontrar as massas das estrelas.
Vamos discutir uma aplicação de raios-X na astronomia. Temos os raios-X
binários. Temos uma estrela, igual ao Sol e outro corpo em órbita, que vamos
começando supondo que seja uma estrela de nêutrons. Vamos supor que as massas
dessas estrelas sejam a mesma, então existirá um ponto entre elas em que a atração
gravitacional de ambas será a mesma. Chamamos esse ponto de ponto de Lagrange. Se
você estivesse nesse ponto, a estrela de nêutrons te puxaria para um lado e a outra
estrela te puxaria com a mesma força para o outro lado. Digamos que o ponto de
Lagrange vá para dentro da estrela maior. Então essa estrela deveria ser atraída pela
estrela de nêutrons, pois a força da estrela de nêutrons se tornaria maior.
Mas como esse sistema é binário, uma gira em torno da outra de modo que a
estrela maior é atraída pela estrela de nêutrons não de uma maneira retilínea, mas sim
no formato de uma espiral, o qual chamamos de disco de acreção.

Quando isso ocorre, uma grande quantidade de energia é liberada. Vamos
supor que um objeto é lançado para uma estrela de nêutrons. Qual a velocidade que
esse objeto irá atingir a estrela? Temos que:
Em que e são, respectivamente, a massa e o raio da estrela de
nêutron. A velocidade é a velocidade em que o objeto atinge a estrela. Então:
√
Essa equação nada mais é do que a da velocidade de escape. Quando o objeto
atinge a estrela, a energia cinética é liberada e transformada em calor. Para
imaginarmos a grande energia de uma estrela de nêutrons, digamos que o objeto que
caia na estrela possua uma massa de apenas 10 gramas. A energia liberada será
próxima a da bomba atômica que explodiu sobre Hiroshima. A razão para isso é que a
velocidade do objeto se torna muito grande. Durante a queda, temos energia potencial
gravitacional sendo transformada em energia cinética e ao final em calor.
A taxa de transferência de uma estrela para outra é dada por:
4

Assim, a potência da estrela de nêutrons se torna:
Isso é cerca de 5.000 vezes maior que a potência do Sol. A temperatura de uma
estrela de nêutrons, devido à grande quantidade de energia liberada, é:
7
Essas estrelas liberam grandes quantidades de raios-X.
Todas as massas de estrelas que vimos até agora, em sistemas binários e
estrelas de nêutrons, são cerca de 1.4 da massa solar. Há uma razão para isso. Em
1930, o físico Chandrasekhar previu que as anãs brancas não poderiam existir se suas
massas fossem maiores que 1.4 da massa solar. Ele utilizou de um cálculo da mecânica
quântica e recebeu o premio Nobel em 1983. Imagine que temos uma anã branca e
então comecemos a ceder massa para essa estrela de modo que ela ultrapasse 1.4 da
massa solar. Quando isso ocorrer, a estrela colapsa numa estrela de nêutrons. Quando
medimos as massas de estrelas de nêutrons temos uma surpresa: todas são próximas
de 1.4 da massa solar. Se pudéssemos adicionar mais matéria para uma estrela de
nêutrons chegaria um ponto em que ela iria se tornar tão massiva quanto três vezes a
massa solar. Dessa maneira, a estrela de nêutrons não poderia mais se sustentar e
então se tornaria um buraco negro.
Os buracos negros tem tomado conta da imaginação dos cientistas e das
pessoas que os conhecessem. É um objeto astronômico fascinante, mas é melhor
manter distância deles. Um buraco negro é desprovido de tamanho, diferente de uma
estrela. Ele não possui tamanho, mas possui uma massa três vezes maior que a do Sol
(ou dez vezes maior, ou cem vezes maior, etc.). Ao redor do buraco negro temos uma
esfera de raio R, a qual chamamos de horizonte de eventos.
Digamos que você esteja sobre o horizonte de eventos. Qual a velocidade
necessária para você escapar da atração do buraco negro? A resposta nós sabemos,
basta calcular a velocidade de escape:
√
O raio do horizonte de eventos será:
A velocidade de escape possui um valor máximo o qual pode atingir. Esse valor
é c, que é o valor da velocidade da luz. Essa velocidade diz respeito a você, ou qualquer
outro objeto, que esteja no horizonte de eventos o qual possui um raio R que vai

desde o buraco negro até a borda do horizonte. Por essa razão, nossa equação do raio
do horizonte de eventos apresenta um , pois é o valor máximo que podemos
atingir.
Se você ultrapassar o horizonte de eventos então você jamais conseguirá
escapar da atração do buraco negro. Para isso, seria necessário que sua velocidade
fosse maior do que a velocidade da luz. Portanto, nada escapa da atração de um
buraco negro.
A questão é: se nada pode escapar de um buraco negro, nem mesmo qualquer
tipo de radiação, podemos detectar raios-X do mesmo?
Claramente nós podemos detectar raios-X vindos de buracos negros. Isso é
possível porque enquanto a matéria cai no buraco negro ela começa a girar em torno
do horizonte de eventos, e a matéria é aquecida, pois a energia potencial gravitacional
está sendo liberada, e então temos raios-X sendo liberado.
Não existe efeito Doppler para um buraco negro, pois o mesmo, diferente de
uma estrela de nêutrons, não possui superfície. Como os astrônomos conseguem
estimar, então, a massa de um buraco negro? Eles fazem isso analisando outro corpo
que está perdendo massa para o buraco negro. Eles conseguem analisar o raio desse
corpo, sua massa, tudo através do efeito Doppler. Assim, eles conseguem uma
estimativa da massa do buraco negro.
Cygnus X-1 é um sistema binário. Possui um período orbital de 5.6 dias. As
medições da estrela que está perdendo massa (a doadora) foram feitas utilizando os
deslocamentos de Doppler. Os astrônomos, observando as linhas de absorção do
espectro, conseguiram prever que a massa da doadora era cerca de 30 massas solares.
Com esses dados, a massa mais o efeito Doppler, foi possível encontrar a massa do
buraco negro que é cerca de 15 massas solares.

Indo mais além...
Radiação Hawking
A mecânica quântica faz predições de que no universo partículas subatômicas podem
surgir espontaneamente. Em outras palavras, essas partículas surgem do “nada” e
desaparecem instantaneamente. Essas partículas surgem em pares, sendo que uma delas tem
massa negativa e a outra tem massa positiva. Porém, a existência dessas partículas não pode
durar muito tempo.
O professor Stephen Hawking propôs que ao redor de um buraco negro as coisas
podem ser um pouco diferentes. Na região do horizonte de eventos, um par dessas partículas
écriada mas a partícula de massa negativa cai dentro do buraco negro, enquanto que a outra é
expelida para além do horizonte.
A partícula de massa positiva é lançada para longe do buraco negro em forma de
radiação. Esse fenômeno é chamado de Radiação Hawking e é a causa dos buracos negros não
serem totalmente escuros, mas apresentarem um brilho muito forte.
As partículas de massa negativa lentamente consomem a massa no interior do buraco
negro. Após um longo período, toda a massa interna do buraco negro é consumida o que leva
o mesmo a um colapso seguido de uma enorme explosão. Embora isso nunca tenha sido
observado, acredita-se que esse será o fim de quase todos os buracos negros.

Aula 24 – Movimento Rotacional e Giroscópios
Nosso conhecimento de torque e momento angular está completo. Assim, podemos
passar a estudar objetos que apresentam um rolamento. Vamos imaginar um cilindro, ou uma
esfera, descendo por um plano inclinado. Temos um ângulo , um coeficiente de atrito e
nosso objeto vai rolar para baixo com uma aceleração .
Vamos analisar essa situação, de maneira que temos um rolamento puro, ou seja, o
objeto não está derrapando nem escorregando. Para entendermos um rolamento puro, vamos
tomar o seguinte sistema, no qual um cilindro está rolando. O cilindro tem um raio R e um
centro Q. Assim que o cilindro der uma volta completa ele terá percorrido uma distância igual
a . E assim, nós temos um rolamento puro:
Quando temos um rolamento puro, a velocidade no ponto Q e a velocidade da
circunferência são as mesmas:
Se tivéssemos um deslizamento, poderíamos imaginar que o cilindro estivesse girando
mas sempre no mesmo lugar (o ponto Q nunca iria mudar sua posição).
Agora, vamos calcular a aceleração que o cilindro irá obter, a medida que ele desce
uma rampa. Temos três dados importantes para isso: a massa , o comprimento e o raio .
Vamos supor que existam dois cilindro, que possuem a mesma massa, o mesmo
comprimento, mas raios diferentes. Imagine que queremos fazer uma corrida entre esse dois
cilindros e assim determinar qual chegará primeiro ao fim da rampa.
Coloquemos as forças que conhecemos sobre nosso sistema:

A velocidade angular está mudando com o tempo, assim como a velocidade do
centro, que chamaremos . Então:
Tomando a derivada, temos que:
E é a aceleração angular. Portanto, essa é a nossa condição para um rolameno puro.
Vamos tomar o torque com relação ao ponto Q:
𝑡
Tanto a normal, quanto o peso passam pelo ponto Q, portanto, a força de atrito é a
única que está ocasionando o torque. Utilizando a regra da mão direita, temos que o vetor é
dado para dentro, entrando no plano. Temos então:
𝑡
Essa nossa equação apresenta duas incógnitas, pois temos uma força e uma
aceleração. Portanto, precisamos de outra equação. Partindo da segunda lei de Newton:
𝑡
Agora nós temos duas equações com duas incógnitas.
Então, resolvendo, encontramos:
( )
Multiplicando ambos os lados por :
Mas devemos nos lembrar que esse resultado só é válido para um rolamento puro.
Substituindo os valores que temos para um cilindro sólido:
Substituindo em nossa equação de aceleração:
Perceba que no meu resultado não há massa, não há raio e não há comprimento. Se
eu tenho dois cilindros sólidos, com massas, raios e comprimentos diferentes, nenhum deles
ganhará a corrida através de nosso plano inclinado. Mas isso vale apenas para cilindros sólidos.
Podemos alterar a massa de um desses cilindros, mas eles descerão a rampa no mesmo
tempo.
Agora, vamos tomar um cilindro oco, ou vazado. Temos que sua massa é bem próxima
da casca do cilindro, então:
Sua aceleração será:

Perceba que a aceleração do cilindro oco é menor que o cilindro sólido.
Chegamos agora a parte menos intuitiva de nosso curso. Essa talvez seja a parte mais
dificil de toda a física, e por essa razão será necessário ter muita atenção. Iremos tratar a
respeito de giroscópios.
Imagine que estejamos no espaço, sem gravidade e sem nenhuma força externa.
Suponha que temos uma roda de bicicleta.
No ponto D está a minha mão direita e no ponto E está a minha mão esquerda. Eu
seguro a roda pelo seu eixo de rotação. Eu darei um torque com minha mão direita, ou seja,
empurrarei o eixo de rotação para a frente. Ao empurrar o eixo para frente, minha mão
esquerda irá para trás.
Após fornecer o torque à roda, eu irei soltá-la, então a mesma permanecerá girando.
A roda continuará girando para sempre. Se eu aplicasse o torque em qualquer outro
sentido, a roda iria girar nesse sentido eternamente. Isso não é tão dificil de perceber. É
bastante intuitivo. Agora, vamos para uma parte nada intuitiva. Eu vou girar a roda da bicicleta
em sua direção (até então a roda não estava girando sobre seu eixo de rotação).

Novamente, eu darei um torque com a minha mão direita. A questão é: o que vai
acontecer agora?
Nossa intuição poderia nos dizer que a roda ficaria rodando e girando eternamente.
Mas isso não pode ocorrer. Perceba que se a roda gira em torno do seu eixo, então existe um
momento angular, dado na seguinte direção:
Se aplicarmos um torque e depois soltarmos a roda, então ela ficaria girando da
seguinte maneira:
Ou seja, o momento angular continuaria sempre mudando. Mas temos de lembrar que
o momento angular só muda quando está sobre a ação de algum torque. Acontece que eu
apliquei um torque apenas no começo, e depois deixei de aplicar o torque. Como a natureza
reage, então, em uma situação como essa?
Vamos analisar um pouco melhor essa caso:

Esse é o caso geral de uma roda girando em sua direção. Em A eu tenho minha mão
direita e em B eu tenho minha mão esquerda. A distância de A até B eu chamo de b. Então, o
torque que estou aplicando é dado por . O sentido do momento angular está dado em
L. A força que eu aplico, eu aplico por um determinado tempo, bem curto, . Quando eu fizer
isso, um momento ângular será dado na seguinte direção:
Eu aplico a força por um curto período de tempo e então eu paro. Isso quer dizer que,
após eu parar de aplicar o torque, o momento angular como um todo deixa de mudar.
Portanto, para resolver nosso problema a natureza inclina a roda.
A roda está girando em seu sentido.
Com isso, o momento angular está direcionado para sua direita (para a esquerda do
professor Lewin). Ao aplicar o torque com a mão direita, ou seja, a mão do professor está indo
em sua direção enquanto que a mão esquerda está indo na direção contrário, ocorrerá o
seguinte:

Caso nós apliquemos um torque com a mão esquerda, ocorrerá o seguinte:
O momento angular (spin) sempre se move na direção do torque externo. Agora,
vamos tomar a mesma roda, mas ao invés de aplicar o torque para a frente ou para trás,
vamos aplicar o torque para cima ou para baixo, da seguinte maneira:

Nós vamos colocar a roda da bicicleta em rotação, de maneira que ela gire bem rápido.
Depois, sentarei num banquinho (o que gira sobre sua base) e irei aplicar um torque sobre a
roda de acordo com a seguinte figura:
Quando sentar sobre o banquinho e o torque for aplicado, o banquinho começará a
girar:

Quando estamos sentados apenas segurando a roda, não há torque algum, portanto
temos que nosso momento angular é zero (não estamos girando). Quando aplicamos um
torque sobre a roda de modo que o vetor momento angular da roda aponte para cima, nosso
corpo começa a girar de modo que nosso vetor momento angular aponte para baixo:
Quando invertemos o sentido do vetor momento angular da roda, o sentido de nosso
momento angular também muda:
Isso ocorre devido á conservação total do momento angular do sistema. Chamamos
esse tipo de movimento de precessão.
Vamos estudar outro tipo de precessão, um pouco mais intrigante. Temos uma corda,
e iremos prender em sua ponta a roda da bicicleta.
Devido à gravidade, a roda irá permanecer na seguinte posição:
Mas nós iremos girar essa roda antes de soltá-la. O eixo de rotação preso à corda
possui um tamanho dado por r. A roda possui um raio R. O centro da roda é dado por Q. Nós
daremos um giro sobre a roda, denotado por . Assim, com a regra da mão direita, podemos
determinar o sentido do momento angular. Ao girar a roda, teremos:

Temos uma força agindo sobre a roda, dado por , onde M é a massa da roda e g é a
aceleração da gravidade.
Em relação ao ponto P, existe um torque, dado por:
Utilizando a regra da mão direita nós podemos determinar o sentido do torque, pois
temos :
Em outras palavras, o torque é entrando no plano. Dessa maneira o torque é
perpendicular ao momento angular. A natureza fará com que o momento angular sempre “vá
atrás” do torque:

Assim, o torque também começará a mudar. Dessa maneira, a roda começará a girar
em torno da corda.
Mas você pode pensar que é impossível a roda permanecer nessa posição, pois existe
uma força agindo sobre a roda dada por , então a roda tem de ir na direção da
aceleração. Acontece que não existe uma única força sobre a roda, temos a tensão aplicada na
corda, e a tensão é exatamente igual a Ma, assim: .
Então, temos:
É importante conhecer a chamada frequência angular de precessão, que é dado
por:
O período de precessão é:
Analisando a roda da bicicleta:
Girando nossa roda:
Quando calculamos o período de precessão, estamos calculando o tempo no
qual a roda demora para dar uma volta completa em torno da corda. Se prendermos
um peso à nossa roda veremos que o período diminui.
Giroscópios, ou objetos que giram, possuem um efeito estabilizador. Se
subirmos em uma bicicleta e não fizermos nada (não pedalarmos) então iremos cair da
bicicleta. Mas, se a roda da bicicleta estiver rodando, devido ao momento angular, ela

não irá cair. Da mesma maneira, podemos fazer uma moeda girar por um bom tempo
sem cair. O momento angular possui uma propriedade de estabilizar as coisas.
Giroscópios são utilizados em aviões, navios e até mesmo alguns mísseis. Por
mais que um avião, por exemplo, mude sua direção seu giroscópio permanecerá
sempre apontando para o mesmo sentido.

Aula 25 – Equilíbrio Estático
Até agora, podemos ver uma vasta gama de um conteúdo envolvendo
rotações, torques e movimentos circulares como um todo. Abaixo segue um anexo
com conversões de unidades que podem ser muito uteis na hora de estudar tais
assuntos, pois não será necessário decorar inúmeras fórmulas se simplesmente
conseguimos fazer conversões de nossas unidades.
Nessa aula trataremos de objetos em equilíbrio estático. Para um objeto estar
em perfeito equilíbrio estático, devemos ter:

Ou seja, todas as forças devem ter sua resultante nula. Da mesma maneira,
para qualquer ponto que escolhermos, devemos ter:
E são essas condições que usaremos de base para a aula de hoje. Temos um
objeto qualquer no espaço, em que o seu centro de massa CM está determinado.
Existem duas forças sendo aplicadas ao objeto em sentidos opostos mas com a
mesma magnitude.
Existe um torque em nosso objeto:
O torque é dado por:
Como existe um torque, nosso objeto vai girar em torno do centro de massa.
Portanto, nesse caso não temos um equilíbrio estático.
Temos uma rampa (que pode ser uma escada apoiada em uma parede, por
exemplo), como na figura a seguir:

No ponto P, temos a escada encostada na parede. E no ponto Q temos a escada
encostada no chão. O atrito em P é nulo, assim:
No ponto Q, teremos:
Temos que M é a massa da escada e é o seu comprimento.
O ponto c é o centro de massa da escada e a mesma forma um ângulo com o
chão. É fácil notar que (já vimos isso muitas vezes no dia-dia) se o ângulo for muito
pequeno a escada vai deslizar. Tentaremos compreender qual o valor do ângulo a fim
de que a escada não deslize. As forças que agem sobre a escada são dadas na figura:
No centro de massa temos a força da gravidade agindo sobre a escada. Caso a
escada deslize, temos uma força de atrito no sentido oposto. No ponto Q temos uma
normal e em P, como não há atrito, temos, também, uma normal.
Assim:

O que significa que a normal de P deve ser igual ao atrito. Então:
𝑡
Como as forças em y devem ser zero:
Temos que:
Não importa o ponto que escolhemos, podemos escolher um ponto na parede,
na escada ou em qualquer outro lugar. Por simplicidade, escolhemos o ponto Q, então:
𝑡
Não queremos que nossa escada deslize. Então, devemos ter:
𝑡 𝑡
Assim:
Esses dois valores obtidos nos dão a condição para que nossa escada fique
estável. Esses valores nos dizem que quanto maior o menor é o ângulo. Então, se o
ângulo é muito pequeno, a escada começa a deslizar. Vamos treinar nossa intuição.
Suponha que temos um determinado ângulo, que é o ângulo crítico (ou seja, a escada
está na eminência do deslizamento). Agora, vamos supor que alguém comece a subir
pela escada, partindo do ponto Q e indo até o ponto P. O que ocorrerá? A escada vai
deslizar assim que o sujeito começar a andar por ela? Ou então a escada ficará mais
estável?
Vamos colocar uma pessoa de massa m na escada. Vamos supor que ela esteja
a uma distância d do ponto Q.
Existe uma força agindo sobre a pessoa. Vamos refazer todos nosso
cálculos. Então:

𝑡
𝑡
Mas agora nós temos um terceiro elemento, que é o vetor posição, dado por d.
Assim:
[ ] [ ] 𝑡
Perceba que a força de atrito está aumentando, pois estamos somando , que
não tínhamos anteriormente. Se o atrito aumenta, e nossa escada estava no limite de
deslizar, então você pode pensar que a mesma começará a deslizar. O atrito máximo
também aumentou. Portanto devemos fazer uma comparação. A melhor maneira de
fazer essa comparação é adotar d igual à zero. A pessoa começa a subir a escada a
partir do ponto Q. Quando d é igual à zero, a força de atrito final é igual à força de
atrito inicial. Porém, o atrito máximo altera, pois ele apresenta o termo m (estamos
somando ). O valor do atrito máximo é independente da distância. Se o atrito
máximo aumenta, mas o atrito permanece o mesmo, então a escada fica mais estável.
Portanto, no ponto Q a escada não irá deslizar, pelo contrário, ela ficará mais firme.
Mas a medida que a pessoa começa a subir, nossa força de atrito vai mudando, pois o
valor de d vai aumentando. Porém, o atrito máximo permanece sempre o mesmo.
Então, chega um momento em que 𝑡 𝑡 . Quando isso ocorre, a escada
desliza. Portanto, de uma maneira geral, a escada não deslizará quando:
𝑡 𝑡
Esse é o caso quando:
[ ]
Vamos discutir aqui uma importante aplicação desse conceito de atrito. Iremos
ver como é possível sustentar algo pesado por um bom tempo sem fazer muita força.
Vamos enrolar uma corda em torno de uma haste, por exemplo, e usaremos o atrito
entre elas para sustentar nosso objeto. Vamos passar uma corda por uma haste e em
uma ponta da corda colocaremos um peso de massa M e na outra um peso de massa
m. As tensões na corda são dadas como mostrado na figura:

Se não houver tração na barra, então T1 será igual ou próximo de T2. Mas se
recorrermos ao atrito, então poderemos ter uma situação de equilíbrio estático, de
modo que nenhuma bloco irá se mover. Assim, poderemos ter T1 >>> T2.
Vamos analisar melhor esse caso. Temos que R é o raio de nossa haste:
Estamos supondo que o puxão em T2 é bem maior que em T1. Então, a corda irá
deslizar no seguinte sentido:
Imagine agora que a corda seja dividida em vários pedacinhos. Como a corda
está deslizando, cada pedacinho (logicamente) está deslizando junto. Sendo assim,
existe um atrito na direção contrária, um atrito em cada pedacinho da corda.

Como existe um atrito, podemos imaginar que essa força auxilia T1 a segurar o
peso em T2. Para calcular esse atrito, devemos tomar uma integral de todos os valores
dos atritos na corda. Existe um ângulo formado entre os extremos dos pedacinhos
da corda. Quando resolvemos nossa integral e nossas derivações encontramos:
Suponhamos que temos uma corda, na qual serão dadas três voltas em torno
da haste. Então, temos que . Vamos supor que . Assim, temos que:
Ou seja, a força do lado de T1 é 40 vezes menor que T2, ou seja, podemos
aplicar uma força 40 vezes menor que o peso aplica de modo que sustentemos o
mesmo. Se dermos seis voltas, nosso valor final será 2.000. Isso significa que se de um
lado temos um peso igual a 10.000 kg, do outro lado podemos colocar um peso de 5 kg
que manteremos o equilíbrio (na eminência de deslizamento).
Agora, digamos que eu queira levantar os 10.000 kg puxando a corda com uma
força um pouco maior que 50 N. Seria possível fazer isso?
De forma alguma eu conseguirei puxar o peso de 10.000 kg para cima. Se eu
tento fazer isso, eu inverto completamente a situação e coloco o atrito a favor dos
10.000 kg. Em outras palavras, T1 se torna T2, o que nos fornecerá:
Desse modo, se eu quero levantar os 10.000 kg dando seis voltas com a corda
em torno da haste, eu terei de fazer uma força 2.000 vezes maior que 10.000 kg.
Assim, eu precisarei de 20 milhões de quilogramas.
Podemos enrolar a corda em torno de uma haste até chegar um ponto em que
o próprio peso da corda segurará o peso do outro lado, sem a necessidade de
segurarmos.
Temos um objeto qualquer, e vamos fixa-lo (pode ser numa parede) num ponto
P. O centro de massa é dado por CM. Então:

Temos que é a força peso agindo sobre o centro de massa e é o vetor
posição do ponto P. Dessa maneira, temos que o objeto sofrerá um giro em torno de P.
Então:
Onde é a aceleração angular.
Sabemos que para ter uma situação de equilíbrio estático, devemos ter:
𝑡
A natureza resolve esse problema, colocando sempre o centro de massa numa
mesma linha vertical que P.
Dessa maneira, não importa qual ponto escolhemos. Pode ser um ponto dentro
do objeto, ou pode ser um ponto fora do objeto, como P e CM estão na mesma linha, o
torque é nulo.
Temos que para um objeto estar em equilíbrio, além do torque, a soma das
forças devem ser zero. Perceba que:

Assim, a soma das forças é zero.
Pense em um pêndulo, por exemplo:
O pêndulo está em equilíbrio estático.
O centro de massa do objeto sempre estará abaixo do ponto de suspensão.
Vamos pensar agora num equilibrista em cima de uma corda.
O centro de massa do equilibrista encontra-se próximo de seu peito. Então,
existe uma distância do centro de massa até a corda, que vamos adotar sendo de um
metro. A massa do equilibrista é cerca de 70 kg. O equilibrista segura duas barras
verticais em suas mãos, com um peso de 5 kg na ponta de cada uma.

A massa das barras é desprezível e vamos imaginar que cada barra mede 10
metros de comprimento (contando a partir da corda). Temos que 70 kg estão em cima
da corda e 10 kg estão 10 metros abaixo da corda. O centro de massa total do sistema
ficará um pouco abaixo da corda. Por essa razão o equilibrista mantém seu equilíbrio.

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Física I ed. 1

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