Automação - Sistema de controle

Automação IV
Análise e Projeto de Sistemas Controle pelo
Método do Lugar das Raízes e pela
Resposta em Freqüência
- Notas de Aula -
José Carlos Borim
Revisão Janeiro de 2004

Índice
Capítulo 1 – Revisão em Sistemas de Controle com
Realimentação Negativa
(Não incluído neste texto).
Capítulo 2 – Análise da Estabilidade dos Sistemas de Controle
2.1 Introdução
2.2 Critério Geral de Estabilidade
2.3 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Capítulo 3 – Método do Lugar das Raízes
3.1 Introdução
3.2 Conceito de Lugar das Raízes
3.3 Técnicas Básicas para a Construção do Lugar das Raízes
3.4 Técnicas Adicionais para a Construção do Lugar das Raízespo Discreto
Capítulo 4 – Análise da Resposta em Freqüência
4.1 Introdução
4.2 Resposta Estacionária a Entradas Senoidais
4.3 Gráficos de Resposta em Freqüência
4.4 Diagramas de Bode
Capítulo 5 – Análise da Estabilidade no Domínio da Freqüência
5.1 Introdução
5.2 Critério de Estabilidade de Nyquist
5.3 Aplicações do Critério de Nyquist na Análise da Estabilidade
5.4 Estabilidade Relativa e o Diagrama de Bode
Capítulo 6 – Projeto de Sistemas de Controle com
Realimentação Negativa
(Não incluído neste texto).
Bibliografia
(a) Richard C. Dorf e Robert H. Bishop – ‘Sistemas de Controle Moderno’.
(b) Charles L. Phillips e Royce D. Harbor – ‘Feedback Control Systems’
(c) Katsuhiko Ogata – ‘Engenharia de Controle Moderno’
(d) Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar e Duncan A. Mellichamp – ‘Process Dynamics and
Control’
(e) P. L. Lee, R. B. Newell e I. T. Cameron – ‘Process Control and Mangement’

Cap. 3 – Método do Lugar das Raízes
José Carlos Borim 5
Capítulo 2
Análise da Estabilidade dos Sistemas de Controle
2.1 Introdução
Uma conseqüência importante da utilização de controle por realimentação negativa é que
este pode provocar uma resposta oscilatória no sistema. Se a oscilação tiver pequena
amplitude e decair rapidamente, então, a performance do sistema de controle é, geralmente,
considerada satisfatória. No entanto, sob certas circunstâncias, as oscilações podem se
tornar não amortecidas ou, até mesmo, crescerem em amplitude com o tempo até que um
limite físico seja atingido, como por exemplo, uma válvula de controle totalmente aberta ou
fechada. Nestas situações, o sistema em malha fechada é considerado instável.
Neste capítulo são analisadas as características de estabilidade de um sistema de controle
em malha fechada e são apresentados diversos critérios para se determinar se um sistema é
estável ou não.
Inicialmente, será considerado um exemplo ilustrativo de um sistema de controle que pode
se tornar instável.
Exemplo 2.1
Considere o sistema de controle por realimentação mostrado na figura 5.1, com as seguintes
funções de transferência:
)1.2(
1
1
15
1
12
1
+
=
+
=
+
==
s
G
s
G
s
GKG mpvcc

em que R(s) e C(s) são, respectivamente, a entrada e a saída do sistema de controle.
Mostre que o sistema em malha fechada pode produzir uma resposta instável dependendo
do ganho do controlador, Kc.
Solução:
Para se determinar o efeito do ganho Kc na resposta transitória em malha fechada c(t),
iremos considerar uma mudança em degrau unitário no setpoint, R(s) = 1/s. A função de
transferência em malha fechada do sistema de controle apresentado na figura 5.1 é:
Substituindo-se (2.1) em (2.2) e reordenando-se os termos tem-se:
Se Kc for especificado, c(t) pode ser calculado pela transformada inversa de Laplace da
equação (2.3). Naturalmente, as raízes do polinômio cúbico em s devem ser determinadas
antes de se fazer a expansão de (2.3) em frações parciais para, finalmente, utilizar a tabela
de transformadas de Laplace. A solução de (2.2), apresentada na figura 5.2, demonstra que,
a medida que Kc aumenta, a resposta se torna mais oscilatória, tornando-se instável para Kc
= 15.
A resposta instável do exemplo 2.1 é
uma oscilação em que a amplitude
cresce a cada novo ciclo. Nos
sistemas físicos, no entanto, a
amplitude irá aumentar até que um
limite seja atingido. Como,
geralmente, o elemento final de
controle tem limites de saturação, a
resposta instável de um sistema irá
se manifestar como uma oscilação
com uma amplitude constante. Este
tipo de oscilação também pode
ocorrer sem que o elemento final de
controle atinja algum limite de
saturação.
Claramente, a condição de estabilidade deve ser um pré-requisito para um controle
satisfatório. Conseqüentemente, é de muita importância prática o conhecimento das
condições para as quais um sistema de controle se torna instável. Por exemplo, quais
valores dos parâmetros Kc, τI e τD, do controlador PID (proporcional+integral+derivativo)
mantêm o controle do processo estável?
)2.2(
1)(
)(
)(
pvcm
pvc
GGGG
GGG
sR
sC
sT
+
==
)3.2(
1
181710
)1(
)()()( 23
sKsss
sK
sRsTsC
c
c
++++
+
==

2.2 Critério Geral de Estabilidade
A grande maioria dos processos industriais é estável sem realimentação negativa. Por este
motivo, eles são chamados de estáveis em malha aberta ou auto-regulados. Um processo
estável em malha aberta irá retornar ao seu estado estacionário após a ocorrência de um
distúrbio transitório. Existem alguns processos, no entanto, que podem ser instáveis em
malha aberta. Estes processos são extremamente difíceis de se operar sem controle por
realimentação negativa.
Antes de se apresentar alguns critérios de estabilidade, deve-se introduzir o conceito de
sistema estável:
Definição de Estabilidade: Um sistema é estável se a resposta da saída for limitada
para toda e qualquer entrada também limitada. De outra forma ele é instável.
Uma entrada limitada significa que a variável de entrada permanece entre limites de mínimo
e máximo ao longo do tempo.
Exemplo 2.2
Um sistema de armazenamento de líquido está mostrado na figura 5.3. Mostre que este
processo não é auto-regulado.
Solução:
A função de transferência que relaciona o
nível do tanque h com a diferença entre as
vazões de entrada qi e de saída q, pode
ser expressa por:
em que ∆Q(s) = Qi(s) – Q(s) e A é a área
de seção quadrada do tanque. Se considerarmos, a partir de uma condição de equilíbrio,
uma entrada em degrau, em Qi(s), de amplitude M, o nível é dado por:
Tomando a transformada inversa de Laplace, tem-se a resposta temporal de h(t):
A resposta é, portanto, não limitada para uma entrada em degrau (que é limitada). Podemos
concluir que este processo não é auto-regulado (ou estável em malha aberta).
)4.2(
1
)(
)(
)(
AssQ
sH
sG =
∆
=
2
)(
As
M
sH =
t
A
M
th =)(

Equação característica do sistema:
Como ponto de partida para a análise da estabilidade de um sistema de controle, considere
o diagrama de blocos da figura 5.4.
A função de transferência em malha
fechada pode ser facilmente determinada
empregando-se álgebra de diagramas de
blocos:
Se G(s) e Gm(s) são relações de
polinômios em s, então a função de
transferência em malha fechada, T(s), também é uma relação de polinômios em s. T(s) pode
ser fatorada em termos de pólos e zeros como:
onde K' é uma constante selecionada para dar o ganho estático correto ao sistema. Para
que o sistema possa ser realizável fisicamente, o número de pólos deve ser maior ou igual
ao número de zeros, isto é, n ≥ m.
Comparando-se as equações (2.5) e (2.6) pode-se afirmar que os pólos são, também, as
raízes da seguinte equação, que é chamada de equação característica do sistema em malha
fechada:
A equação característica é decisiva na determinação da estabilidade do sistema, como será
provado em seguida.
Para uma mudança em degrau unitário no setpoint, R(s) = 1/s, a saída C(s) pode ser
determinada por:
Se não existirem pólos repetidos, então a expansão de (2.8) em frações parciais tem a
seguinte forma:
)5.2(
)()(1
)(
)(
)(
)(
sGsG
sG
sR
sC
sT
m+
==
)6.2(
))...()((
))...()((
)(
21
21'
n
m
pspsps
zszszs
KsT
−−−
−−−
=
)7.2(0)()(1 =+ sGsGm
)8.2(
))...()((
))...()((
)(
21
21
'
n
m
pspsps
zszszs
s
K
sC
−−−
−−−
=
)9.2(...)(
2
2
1
10
n
n
ps
A
ps
A
ps
A
s
A
sC
−
++
−
+
−
+=

sendo que {A}, os resíduos de C(s) nos pólos, podendo ser determinado pelo método de
Heaveside. Tomando a transformada inversa de Laplace da equação (2.9), tem-se:
Se supormos que um dos pólos é um número real positivo, isto é, pk > 0, então se pode
concluir, pela equação (2.10), que c(t) não será limitada a um novo valor para uma entrada
em degrau, isto é, uma entrada limitada. Pode-se afirmar, neste caso, que o sistema de
controle da figura 5.4 é instável. Se pk for um número complexo, pk = ak + jbk, com uma parte
real positiva (ak > 0), então o sistema também é instável. Em contraste, se todos os pólos
forem negativos (ou se possuírem parte real negativa), então o sistema é estável.
Estas considerações podem ser resumidas no seguinte critério de estabilidade:
Critério Geral de Estabilidade: Um sistema de controle é estável se todas as raízes da
equação característica são negativas ou têm partes reais negativas.
De outra forma o sistema é instável.
A figura 5.5 traz uma representação gráfica do critério
de estabilidade. Note que todas as raízes da equação
característica do sistema em malha fechada devem
estar do lado esquerdo do eixo imaginário do plano
complexo de s para que o sistema seja estável.
Do ponto de vista matemático, o critério geral de
estabilidade apresentado acima é uma condição
necessária e suficiente. Portanto, a estabilidade de
sistemas lineares é completamente determinada
pelas raízes da equação característica.
Um sistema será marginalmente estável se a
equação característica possuir raízes simples sobre o
eixo imaginário (eixo jω), com todas as demais raízes
no semiplano da esquerda do plano s. Para estes
sistemas, a saída, em regime permanente, será
oscilatória com amplitude limitada para uma entrada
também limitada, a menos que a entrada seja uma
sinoide cuja freqüência seja igual à magnitude das raízes no eixo jω. Neste caso a saída
será ilimitada (sistema instável).
Exemplo 2.3
Considere um processo de 1ª ordem que tem a função de transferência:
e, portanto é instável em malha aberta (pólo p1 = 1). Se H(s) for considerado igual a 1,
determine se um controlador proporcional pode estabilizar o sistema em malha fechada.
)10.2(...)( 21
210
tp
n
tptp n
eAeAeAAtc ++++=
1
2,0
−
=
s
Gp

Solução:
A função de transferência em malha fechada é dada por:
e a equação característica do sistema é:
que tem uma única raiz em s = 1 – 0,2Kc. Se o requisito de estabilidade é que s < 0, então Kc
> 5. Este exemplo ilustra o importante fato que um sistema de controle por realimentação
negativa pode ser utilizado para estabilizar um processo que não é estável naturalmente.
Exemplo 2.4
Determine, para cada um dos sistemas representados pelas funções de transferência
abaixo, se são estáveis ou não. Justifique a resposta.
Solução:
(a) O sistema é estável, pois as raízes da equação característica (s+1)(s+2) = 0, são s = -1
e s = -2, estando, portanto, localizadas no semiplano esquerdo do plano s.
(b) Este sistema é instável porque o pólo em s = 3 está localizado no semiplano direito do
plano s.
(c) Os pólos do sistema estão localizados em s = ± j, isto é, sobre o eixo imaginário do
plano s. Sistemas desta natureza são ditos marginalmente estáveis e exibem uma
resposta senoidal não amortecida (com amplitude constante). No entanto, se a entrada
de tais sistemas for senoidal e na mesma freqüência da oscilação natural, a saída não
será limitada, tornando, nestas condições, o sistema instável.
Nos exemplos 2.3 e 2.4, as equações características são de 1ª ou de 2ª ordem, o que torna
possível se obter as raízes por métodos analíticos. Nos casos de polinômios de ordem
superior, não é possível utilizar o método analítico e então técnicas numéricas para
obtenção das raízes devem ser aplicadas. Felizmente, uma alternativa atrativa, o método de
Routh-Hurwitz, permite a avaliação da estabilidade de um sistema, sem se calcular as raízes
de sua equação característica.
12,0
2,0
)(
−+
=
c
c
Ks
K
sT
012,0 =−+ cKs
1
1
)()(
)4)(3)(1(
)4,2(10
)()(
)2)(1(
2
)()( 2
+
=
+−+
+
=
++
=
s
sTc
sss
s
sTb
ss
sTa

2.3 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
O critério de Routh-Hurwitz é um procedimento analítico para se determinar se todas as
raízes de um polinômio possuem partes reais negativas e é utilizado na análise de
estabilidade dos sistemas lineares invariantes no tempo. O critério de Routh-Hurwitz só pode
ser aplicado em sistemas em que a equação característica é um polinômio em s.
O critério de Routh-Hurwitz é baseado em uma equação característica da forma:
Pode-se assumir, arbitrariamente, que an > 0, caso contrário, basta multiplicar a equação
(2.11) por –1 para gerar uma nova equação que satisfaz esta premissa. Uma condição
necessária (mas não suficiente) para que o sistema seja estável é que todos os coeficientes
(a0, a1, ..., an) da equação característica sejam positivos. Se qualquer coeficiente for negativo
ou zero, então pelo menos uma raiz estará localizada no semiplano direito do plano s ou
sobre o eixo imaginário, e o sistema é instável. Se todos os coeficientes são positivos, o
próximo passo para se aplicar o critério de Routh-Hurwitz é construir o seguinte arranjo,
chamado de arranjo de Routh:
Linha
1 an an-2 an-4 . . .
2 an-1 an-3 an-5 . . .
3 b1 b2 b3 . . .
4 c1 c2 . . .
. .
. .
. .
n+1 z1
O arranjo de Routh tem n+1 linhas, onde n é a ordem da equação característica, equação
(2.11). O arranjo tem uma estrutura quase triangular com um único elemento na última linha.
As duas primeiras linhas são formadas pelos coeficientes de s da equação característica,
arranjados de acordo com a tabela acima. Os elementos restantes nas demais linhas são
calculados por um método conveniente. A linha b é calculada a partir das duas linhas
diretamente acima, a linha c a partir das duas linhas diretamente acima, e assim por diante.
As equações dos coeficientes são:
Uma vez tendo sido construído o arranjo, o critério de Routh-Hurwitz pode ser expresso
como:
Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz: Uma condição necessária e suficiente para
que todas as raízes da equação característica de um sistema tenham partes reais negativas
é que todos os elementos da coluna da esquerda do arranjo de Routh sejam positivos.
)11.2(0... 01
1
1 =++++ −
− asasasa n
n
n
n
)12.2(...
...
1
3151
2
1
2131
1
1
541
2
1
321
1
b
baab
c
b
baab
c
a
aaaa
b
a
aaaa
b
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
−−−−
−
−−−
−
−−−
−
=
−
=
−
=
−
=

De acordo com o critério de Routh-Hurwitz, o número de raízes no semiplano da direita do
plano s, é igual ao número de mudanças de sinal dos elementos na primeira coluna do
arranjo.
Os seguintes exemplos demonstram como o critério de Routh-Hurwitz pode ser aplicado.
Exemplo 2.5
Determine a estabilidade de um sistema que possui a seguinte equação característica:
Solução:
Se não existe um termo em s, seu coeficiente é zero. Então o sistema é instável. Conforme
já estabelecido, uma condição necessária (mas não suficiente) para a estabilidade é que
todos os coeficientes na equação característica devem ser positivos e diferentes de zero.
Exemplo 2.6
Considere um sistema cuja equação característica é dada por:
Determine se o sistema é estável ou não.
Solução:
O arranjo de Routh é:
1 1 2
2 1 8
3 -6
4 8
onde:
Como existe um elemento negativo na primeira coluna, o sistema é, então, instável. Podem-
se identificar duas mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna e, portanto, duas
raízes do polinômio estão localizadas no semiplano da direita.
O exemplo 2.6 demonstra como o critério de Routh-Hurwitz é aplicado. Note, no entanto,
que apenas a estabilidade do sistema é determinada. Se a localização das raízes da
equação característica não é definida pelo método, então a resposta transitória de um
sistema estável não pode ser determinada pela aplicação deste método.
0135 234
=+++ sss
08223
=+++ sss
8
6
48
6
1
82
1
2131
1
1
321
1 =
−
−
=
−
=−=
−
=
−
= −−
−
−−−
b
baab
c
a
aaaa
b nn
n
nnnn

Exemplo 2.7
Determine os valores do ganho do controlador Kc que fazem com que o sistema de controle
do exemplo 2.1 seja estável.
Solução:
Da equação (2.3), a equação característica do sistema de controle é:
A primeira condição para que o sistema seja estável é que todos os coeficientes sejam
positivos, isto é, 1 + Kc > 0 ou Kc > -1.
O arranjo de Routh é:
1 10 8
2 17 1+Kc
3 b1 b2
4 c1
onde
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da 1ª coluna do arranjo devem ser
positivos, portanto:
Podemos concluir que o sistema será estável se:
Nota: O método de construção do arranjo de Routh requer que todos os elementos da 1ª
coluna sejam diferentes de zero, pois, de outra forma, não seria possível completar o cálculo
dos demais elementos do arranjo (divisão por zero). A presença de um zero na 1ª coluna já
indica a existência de, pelo menos, uma raiz no semiplano da direita do plano s, o que
implica, portanto, que o sistema é instável. Na literatura fornecida poderão ser encontrados
alguns métodos para a construção do arranjo de Routh nestes casos.
0181710 23
=++++ cKsss
c
c
c
c
K
b
Kb
cbK
K
b +=
−+
==−=
+−
= 1
)0(17)1(
0588,041,7
17
)1(10)8(17
1
1
121
1016,120588,041,7 −>→>+<→>− cccc KKKK
6,121 <<− cK

Capítulo 3
Método do Lugar das Raízes
3.1 Introdução
A localização das raízes da equação característica, ou os pólos da função de transferência,
define a natureza da resposta transitória e a estabilidade do sistema de controle.
O diagrama do lugar das raízes provê um método gráfico para se conhecer como as raízes
da equação característica mudam quando um parâmetro em particular do sistema muda.
3.2 Conceito de Lugar das Raízes
O conceito de lugar das raízes será apresentado através de um exemplo.
Exemplo 3.1
Considere o sistema de controle em malha fechada da figura 3.1, em que H(s) = 1.
A função de transferência em malha fechada do sistema é:
)1.3(
2)(1
)(
)(
)(
)( 2
Kss
K
sKG
sKG
sR
sC
sT
++
=
+
==
Portanto, a equação característica da função de transferência é dada por:
)2.3(022
=++ Kss

Observando-se (3.2) pode-se afirmar que o sistema é estável para qualquer K > 0 (sistema
de 2ª ordem com todos os coeficientes positivos e diferentes de zero).
A questão de interesse é: como o valor de K afeta a resposta transitória da variável
controlada?
O diagrama do lugar das raízes da equação característica, conforme será demonstrado a
seguir, nos ajuda a responder esta questão.
O diagrama representa o lugar das raízes da equação característica da função de
transferência, equação (3.2), no plano s para K variando de zero a infinito.
As raízes da equação (3.2) são:
)3.3(11
2
442
K
K
s −±−=
−±−
=
Tabela 3.1 – Raízes da equação característica do exemplo 3.1
Parâmetro
variável
Raízes Resposta transitória
K = 0 s = 0 e -2 Sistema instável em malha aberta.
0 < K < 1 Raízes reais e negativas. Sistema sobre amortecido.
K = 1
Raízes iguais, reais e
negativas.
Sistema criticamente amortecido.
K > 1 11 −±−= Kjs Sistema sub amortecido.
A figura 3.2 apresenta a localização das raízes da equação (3.2) no plano s, para K variando
de zero a infinito. Este gráfico é chamado de Diagrama do Lugar das Raízes e é
amplamente empregado na análise e no projeto de sistemas de controle.

Pode ser observado na figura 3.2 que, para qualquer K > 1, as raízes da equação
característica são pares complexos conjugados e a constante de tempo do sistema, ζωn, é
igual a -1.
Na região do lugar das raízes em que 1 < K < ∞, é possível afirmar que a constante de
amortecimento, ζ, diminui e a freqüência natural, ωn, aumenta com o aumento do ganho K
do controlador. A resposta transitória será, portanto, mais oscilatória com o aumento de K.
Pode também ser observado que a parte real das raízes nunca será positiva, o que indica
que o sistema é estável para qualquer valor de K.
Condição para que um ponto no plano s pertença ao lugar das raízes da função de
transferência:
Se considerarmos o sistema de controle da figura 3.3,
A equação característica do sistema é:
)4.3(0)()(1 =+ sGsKH
Pode-se afirmar que s1 é um ponto no lugar das raízes se e somente se s1 satisfazer a
equação (3.4) para um valor real de K, tal que 0 ≤ K < ∞.
A equação (3.4) pode ser rescrita na forma:
)5.3(
)()(
1
1)()(
sGsH
K
sGsKH
−=
−=
Como s é uma variável complexa, (3.5) pode ser rescrita na forma polar:
)7.3(,3,1),180()()(
)6.3(
)()(
1
L±±==∠
=
rrsGsH
Argumento
sGsH
K
Módulo

A equação (3.6) é chamada de ‘critério da magnitude do lugar das raízes’. Ela é sempre
satisfeita para qualquer valor de s (sempre irá existir um K positivo e real).
A equação (3.7) é chamada de ‘critério do ângulo do lugar das raízes’. s tem que satisfazer
(3.7) para ser um ponto do lugar das raízes.
O critério do ângulo está ilustrado na figura 3.4, para a função em malha aberta:
)8.3(
))((
)(
)()(
21
1
psps
zsK
sGsKH
−−
−
=
Suponhamos que o ponto s1 deve ser testado para se
determinar se ele pertence ao lugar das raízes do sistema da
equação (3.8). O ângulo do fator (s1 – z1) é θ1, do fator (s1 – p1)
é θ2 e do fator (s1 – p2) é θ3.
Pelo critério do ângulo, equação (3.7), s1 é um ponto no lugar
das raízes se θ1 - θ2 - θ3 = ±180°.
Se s1 pertencer ao lugar das raízes, o valor de K que coloca o lugar das raízes passando
pelo ponto s1 é, equação (3.6):
)()(
1
sGsH
K =
Do desenvolvimento mostrado anteriormente, baseado na equação (3.7), pode ser também
afirmado que a condição para que um ponto no plano s pertença ao lugar das raízes é:
( ) ( ) )9.3(,3,1)180( L±±=°=− ∑∑ rrpólosngulos dostodos os âzerosngulos dostodos os â
Para o sistema da figura 3.3, o produto KH(s)G(s) é chamado de função em malha aberta. A
função em malha aberta é definida tal que a equação característica do sistema é obtida
somando-se um a esta função e igualando-se a zero. Se F(s) é a função em malha aberta,
então a equação característica é 1 + F(s) = 0.
Muitos procedimentos de análise e projeto que serão apresentados neste texto são
baseados no uso da função em malha aberta.
Exemplo 3.2
Considere o lugar das raízes obtido no exemplo 3.1. Deseja-se demonstrar que qualquer
ponto na bissetriz do segmento -2 a 0 pertence ao lugar das raízes da equação
característica, conforme apresentado na figura 3.5.
A função em malha aberta do sistema do exemplo 3.1 é:

)2(
)()(
+
=
ss
K
sGsKH
O critério do ângulo do lugar das raízes é:
°±=−−
°±=+∠−∠−
°±=
+
∠=∠
180
180)2(
180
)2(
1
)()(
21
1
θθ
ss
ss
sGsH
Examinando-se a figura 3.5, se s1 está na bissetriz podemos afirmar que:
21 180 θθ −°=
( ) °−=−−°− 180180 22 θθ
Portanto, qualquer s na bissetriz do segmento -2 a 0 pertence ao lugar das raízes do
sistema.
O valor de K para um dado s = s1 na bissetriz pode ser calculado pela equação (3.6). Por
exemplo, se s1 = -1 ± j2, então o valor de K será:
5
5212
52)1(
2)2(
)()(
1
22
1
22
1
11
=
=+=+
=+−=
+=+==
K
s
s
ssss
sGsH
K

Como os pólos são sempre pares complexos conjugados, o valor de K pode ser obtido com
qualquer um deles.
Exemplo 3.3
Para um sistema de controle com função de malha aberta
∞<≤
++
= K
sss
K
sGsKH 0
)2)(1(
)()(
Verifique, utilizando o critério do ângulo, se os seguintes pontos pertencem ao lugar das
raízes:
jsdjscsbsa +−==−=−= 1)(414,1)(5,1)(5,0)(
Resposta: (a) pertence, (b) não pertence, (c) pertence, (d) não pertence.
Atualmente existem programas de computador especialmente desenvolvidos para o cálculo
e construção do lugar das raízes (MATLAB, por exemplo).
No entanto, um bom conhecimento das regras e técnicas de construção do lugar das raízes
proporciona uma rápida avaliação dos efeitos da mudança de parâmetros e da inclusão de
pólos e zeros no sistema de controle.
3.3 Técnicas Básicas para a Construção do Lugar das Raízes
As regras que serão apresentadas para a construção do lugar das raízes são baseadas no
critério do ângulo, equações (3.7) e (3.9). Estas regras não serão provadas. O leitor
interessado na demonstração poderá consultar um dos livros textos sugeridos na
bibliografia.
1ª regra: O lugar das raízes é simétrico com respeito ao eixo real.
Esta regra se aplica, pois raízes complexas de polinômios com coeficientes reais, premissa
já assumida, sempre aparecem na forma de pares complexos conjugados.
2ª regra: O lugar das raízes se origina nos pólos de H(s)G(s), para K = 0, e termina nos
zeros de H(s)G(s), para K → ∞, incluindo os zeros no infinito (número de pólos maior que o
número de zeros).
A equação característica do sistema da figura 3.3 pode ser expressa da forma:

)10.3(0
)())((
)())((
1)()(1
21
21
=
−−−
−−−
+=+
n
m
pspsps
zszszsK
sGsKH
L
L
A equação (3.10) pode ser rearranjada para eliminar as frações:
)11.3(0)())(()())(( 2121 =−−−+−−− mn zszszsKpspsps LL
Para K = 0, as raízes da equação característica são simplesmente os pólos da função em
malha aberta H(s)G(s).
Quando K tende a infinito, mas as raízes permanecem finitas, os ramos do lugar das raízes
se aproximam dos zeros da função em malha aberta.
Se a função em malha aberta possui zeros no infinito, isto é, mais pólos do que zeros, ou n >
m (o que ocorre na maioria dos casos práticos), os ramos do lugar das raízes irão também
tender a estes zeros quando K tende a infinito.
A diferença α = n – m dá o número de ramos que tendem ao infinito quando K → ∞.
3ª regra: Se a função em malha aberta possui α zeros no infinito, α ≥ 1, o lugar das raízes
aproxima-se de α assíntotas quando K → ∞. Os ângulos que as assíntotas fazem com o eixo
real do plano s são:
)12.3(,3,1
)180(
L±±=
°
= r
r
α
θ
Tabela 3.2 – Ângulos das
assíntotas
α Ângulos
0 Nenhuma assíntota
1 180°
2 ±90°
3 ±60°, 180°
4 ±45°, ±135°
As assíntotas interceptam o eixo real no ponto:
)13.3(
rosmero de zepólos - núnúmero de
zerospólos
A
∑∑ −
=σ
Na equação (3.13) apenas os pólos e zeros finitos devem ser considerados. A equação
(3.13) só tem sentido para α ≥ 2, pois, para α = 1, a única assíntota estará sobre o eixo real.
Alguns exemplos são agora apresentados para demonstrar a utilização das três primeiras
regras de construção do lugar das raízes de um sistema.

Exemplo 3.4
Considere, novamente, o sistema discutido no exemplo 3.1, cuja função em malha aberta é:
)2(
)()(
+
=
ss
K
sGsKH
Se na equação (3.10), m (número de zeros finitos) é zero e n (número de pólos finitos) é
dois, então:
2=−= mnα
Existem dois zeros no infinito. Portanto, existem duas assíntotas, com ângulos de ±90° em
relação ao eixo real do plano s, equação (3.12) e tabela 3.2.
O ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real pode ser obtido pela equação (3.13),
3ª regra. A função em malha aberta exibe nenhum zero finito e dois pólos finitos, em s = 0 e
s = -2. O ponto de intersecção é:
[ ] 1
02
0)2(0
−=
−
−−+
=Aσ
As duas assíntotas podem ser vistas na figura 3.2, que é o diagrama do lugar das raízes
obtido algebricamente no exemplo 3.1. Neste exemplo, o lugar das raízes sobrepõe
exatamente as assíntotas.
Exemplo 3.5
Considere o sistema com função em malha aberta igual a:
3
)()(
s
K
sGsKH =
Se a função tem três zeros no infinito, o lugar das raízes tem três assíntotas, com ângulos
de ±60° e 180°. Para este sistema as raízes podem ser calculadas analiticamente. A
equação característica é:
0)()(1 3
=+=+ KssGsKH
As raízes são, portanto:
( ) ( ) ( ) ( ) °∠°−∠°∠=−= 180,60,60
1111
ssss KKKKs
Note que as raízes da equação característica incluem, além de números reais negativos,
qualquer número complexo que, quando elevado ao cubo, possui parte real negativa.
O ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é, pela equação (3.13):
0
03
00
=
−
−
=Aσ

O lugar das raízes é mostrado na figura 3.6. Este sistema é instável para qualquer valor de
K, pois o sistema em malha fechada tem dois pólos no semiplano da direita do plano s, para
todos valores de K.
Nos sistemas dos exemplos anteriores, o lugar das raízes sobrepôs exatamente as
assíntotas. Em muitos casos o lugar das raízes só se aproxima das assíntotas quando s
tende a infinito.
Exemplo 3.6
Para este exemplo, a função em malha aberta é dada por:
)3)(2)(1(
)()(
++−
=
sss
K
sGsKH
Da regra três, o lugar das raízes tem três assíntotas, nos ângulos ±60° e 180°. As assíntotas
interceptam o eixo real em:
3
4
03
0)321(
−=
−
−−−
=Aσ
Nós iremos completar este lugar das raízes mais tarde, após serem apresentadas algumas
regras adicionais. Será visto que o lugar aproxima das assíntotas quando K → ∞.
Na próxima seção serão apresentadas duas regras adicionais que irão nos permitir desenhar
o lugar das raízes de alguns sistemas com mais precisão.

3.4 Técnicas Adicionais para a Construção do Lugar das Raízes
Inicialmente será desenvolvida uma regra para a parte real do lugar das raízes, usando o
critério do ângulo, equação (3.9). Este requerimento é:
( ) ( ) L,3,1)180( ±±=°=− ∑∑ rrpólosngulos dostodos os âzerosngulos dostodos os â
Considere a função em malha aberta, ilustrada na figura 3.7(a), com dois pólos e um zero tal
que:
)((
)(
)()(
21
1
psps
zsK
sGsKH
−−
−
=
Primeiramente, vamos testar um ponto s no eixo real à direita do pólo p1. Observando-se a
figura 3.7(b), pode-se afirmar que o ângulo dos fatores (s – z1), (s – p1) e (s – p2) são todos
0° e, portanto, o critério do ângulo não é satisfeito.
Considere agora um ponto s entre o pólo p1 e o zero z1. O fator (s – p1) tem um ângulo de
180°, como mostrado na figura 3.7(c). No entanto, os ângulos do zero z1 e do pólo p2 ainda
são 0°. O critério do ângulo é satisfeito e qualquer ponto entre p1 e z1 está no lugar das
raízes.
É fácil observar que um ponto s entre z1 e p2 não pertence ao lugar das raízes. Já para um
ponto à esquerda de p2, os ângulos de todos os fatores é 180° e o critério de ângulo é
satisfeito.
O lugar das raízes resultante é apresentado na figura 3.7(d).
Desta análise podemos concluir que uma freqüência crítica real (pólo ou zero) à esquerda de
um ponto de teste, contribui com um ângulo de 0° para o critério de ângulo. Uma freqüência
crítica real à direita do ponto de teste contribui com um ângulo de 180°. Portanto, se o
número de freqüências à direita do ponto for impar, o ponto está no lugar das raízes. Caso

contrário o ponto não está no lugar das raízes. Este conceito pode ser sumarizado na
seguinte regra:
4ª regra: O lugar das raízes inclui todos os pontos no eixo real do plano s à esquerda de um
número impar de freqüências críticas reais (pólos e zeros no eixo real).
Esta regra será ilustrada através de um exemplo.
Exemplo 3.7
Considere a função em malha aberta do exemplo 3.6,
)3)(2)(1(
)()(
++−
=
sss
K
sGsKH
Foi determinado naquele exemplo que existem três assíntotas, em ±60° e 180°,
interceptando o eixo real em s = - 4/3, como mostrado na figura 3.8. Da regra 4, as partes do
eixo real entre 1 e -2 e à esquerda de -3 estão no lugar das raízes. Como o lugar se origina
nos pólos para K = 0, a direção do lugar está mostrada pelas setas na figura.
O lugar segue a assíntota a 180° para o infinito, como mostrado. Se o lugar deixa os pólos
em 1 e -2, tem que existir um ponto no qual o mesmo deixa o eixo real nas proximidades das
assíntotas em ±60°. Este ponto é chamado de ponto de quebra. O método para identificar o
ponto de quebra do lugar das raízes será apresentado na regra 5. Este exemplo poderá,
então, ser completado.
Uma regra ainda é necessária para se esboçar, com mais precisão, o lugar das raízes.
Trata-se de se determinar o ponto no plano s em que dois, ou mais, ramos saem do eixo
real. A partir deste ponto as raízes serão pares complexos conjugados.
Pode-se calcular o ponto de saída, ou de quebra, de forma gráfica ou analítica. Optamos por
apresentar a 2ª opção. O leitor interessado em conhecer a solução gráfica pode consultar
um dos livros sugeridos.
5ª regra: Os pontos de quebra, ou de saída, do lugar das raízes podem ser obtidos pelas
raízes do polinômio:

[ ]
0
0
)()(
=
=
N'(s)D(s)N(s)D'(s)-
ntea equivaleou de form
ds
sGsHd
onde N(s) e D(s) são, respectivamente, o numerador e o denominador de H(s)G(s).
Esta regra será demonstrada através de um exemplo.
Exemplo 3.8
Novamente será considerado o sistema dos exemplos 3.6 e 3.7, que tem a seguinte função
em malha aberta:
64)3)(2)(1(
)()( 23
−++
=
++−
=
sss
K
sss
K
sGsKH
O ponto de quebra será calculado utilizando a regra 5. Os demais fatores do lugar das raízes
já foram obtidos nos exemplos anteriores: assíntotas em ±60° e 180°, ponto de intersecção
com o eixo real em -4/3, e as partes do eixo real entre 1 e -2 e à esquerda de -3 estão no
lugar das raízes.
Utilizando a regra 5, pode-se determinar o ponto de quebra dos ramos:
( ) 018364)()(')(')( 223
=++=−++=− sssss
ds
d
sDsNsDsN
As raízes do polinômio ocorrem em s = -0,13 e s = -2,54. Observando-se a figura 3.9,
podemos ver que o ponto s = -2,54 não pertence ao lugar das raízes e pode ser ignorado. O
ponto s = -0,13 está no lugar das raízes e é o ponto de quebra. O lugar das raízes completo
está mostrado na figura 3.9.

Note que o sistema em malha fechada é instável para valores pequenos de K (uma raiz real
no semiplano da direita) e para grandes valores de K (duas raízes complexas no semiplano
da direita).
Os valores de K que garantem um sistema de controle estável é mais facilmente obtido
utilizando o critério de Routh-Hurwitz, apresentado no capítulo anterior.
Uma última regra que é geralmente apresentada nos livros texto indicados na referência
bibliográfica diz respeito ao ângulo com que um ramo do lugar das raízes deixa o pólo
(ângulo de partida) ou se aproxima do zero (ângulo de chegada). No presente texto esta
regra não será apresentada por se tratar de um refinamento na precisão do esboço do
diagrama do lugar das raízes, quase sempre não necessário.
As regras aqui apresentadas são suficientes para a construção rápida de diagramas do lugar
das raízes de sistemas de baixa ordem. Nos casos de sistemas mais complexos é
recomendado o uso de um programa de computador.
Para encerrar este estudo, serão apresentados alguns exemplos de construção do lugar das
raízes para a fixação dos conceitos que foram introduzidos. Adicionalmente, algumas
questões relativas ao regime transitório da resposta do sistema a uma entrada em degrau
também serão abordadas.
Exemplo 3.9
Considere o sistema de controle que tem a função em malha aberta dada por
2
)1(
)()(
s
sK
sGsKH
+
=
Deseja-se obter (a) o lugar das raízes do sistema de controle em malha fechada e (b) a faixa
de valores de K que assegura uma resposta não oscilatória para uma entrada em degrau.
Solução:
(a) A função em malha aberta
tem dois pólos em s = 0 e um
zero em s = -1. Portanto, pela
regra 3, a única assíntota está no
eixo real negativo (180°). Pela
regra 4, a parte do eixo real
negativo à esquerda de -1 está
no lugar das raízes. Finalmente,
pela regra 5, os pontos de
quebra são:
2''0'
0)2())(1()2)(1(
0)()(')(')(
2
−==
=+=−+
=−
ss
sssss
sDsNsDsN

As duas raízes desta equação estão no lugar das raízes do sistema e ambas são pontos de
quebra. A figura 3.10 apresenta o diagrama. Note que o ponto de quebra em s = 0 é óbvio
porque o eixo real nas proximidades deste ponto não é parte do lugar das raízes (regra 4).
(b) Examinando-se o lugar das raízes do sistema de controle em malha fechada da figura
3.10, é evidente que a resposta será não oscilatória (raízes reais e negativas) para valores
de ganho K ≥ K1, onde K1 é o ganho cujas raízes da equação característica são iguais a s’1 =
s’’1 = -2. Pela equação (3.6):
44
)1()()(
1
1
2
1
≥→=
+
== K
s
s
sGsH
K
Exemplo 3.10
Dado o sistema de controle da figura 3.11, em que a função em malha aberta é dada por
)2(
)1(
)( 2
+
+
=
ss
sK
sF
Faça um esboço do lugar das raízes do sistema.
Solução:
A função em malha aberta tem 3 pólos, dois em s = 0 e um em s = -2, e um zero em s = -1.
Portanto, pela regra 3, existem duas assíntotas em ±90° e o ponto de intersecção das
assíntotas com o eixo real é:
5,0
2
)1()2(
−=
−−−
=Aσ
O eixo real à esquerda do ponto -1
pertence ao lugar das raízes (regra
4).
Pela regra 5, os pontos de quebra
são:
66,025,1'''66,025,1''
0'0)452(
04522473
0)2)(1()43)(1(
0)()(')(')(
2
232323
232
jsjs
ssss
ssssssss
sssss
sDsNsDsN
−−=+−=
==++
=++=−−++
=+−++
=−
Somente a raiz s = 0 está no lugar das raízes, sendo este o único ponto de quebra. A figura
3.12 apresenta o lugar das raízes do sistema de controle.

Exemplo 3.11
Considere o sistema de controle da figura 3.13.
(a) Faça um esboço do lugar das raízes.
(b) Determine a faixa de valores de K que assegura uma resposta não oscilatória (raízes
reais e negativas).
Solução:
(a) A função em malha aberta tem 2 pólos, um em s = 0 e um em s = -1, e um zero em s = -
3. Portanto, pela regra 3, existe uma única assíntota em 180°.
Pela regra 4, o segmento do eixo real, entre os pontos 0 e -1, e o segmento à esquerda do
ponto -3 pertencem ao lugar das raízes.
Pela regra 5, os pontos de quebra são:
45,5''56,0'
02,14,24,0
04,04,02,14,24,08,0
0))(4,0()12)(2,14,0(
0)()(')(')(
2
22
2
−=−=
=++
=−−+++
=+−++
=−
ss
ss
sssss
ssss
sDsNsDsN
As duas raízes desta equação estão
no lugar das raízes do sistema e
ambas são pontos de quebra. A figura
3.14 apresenta o diagrama.
(b) Os valores de K que asseguram
uma resposta não oscilatória podem
ser obtidos da equação (3.6) e as
raízes nos pontos de quebra:
455724560250
)3(4,0
)1(
)()(
1
,-para s,K,-para s,K
s
ss
sGsH
K ====→
+
+
==
Portanto, a faixa de K para uma resposta não oscilatória é 0 < K ≤ 0,25 e K ≥ 24,7.

Capítulo V – Análise da Estabilidade no Domínio da Freqüência
Capítulo 4
Análise da Resposta em Freqüência
4.1 Introdução
Os métodos de análise da resposta em freqüência são uns dos mais usados na análise e
projeto de sistemas de controle.
Os métodos de análise se complementam. O método do lugar das raízes oferece uma
excelente forma de análise da resposta transitória. No entanto, é necessário um bom modelo
matemático para se utilizar esta técnica.
Os métodos de resposta em freqüência não precisam, necessariamente, de uma função de
transferência (modelo matemático) para a sua utilização.
A análise da resposta em freqüência da função de transferência é uma ferramenta poderosa
no projeto de sistemas de controle.
Vários métodos gráficos foram desenvolvidos para a representação da resposta em
freqüência dos sistemas de controle.
4.2 Resposta Estacionária a Entradas Senoidais
No método de análise do lugar das raízes e nos estudos de sistemas de controle
realimentados, foi considerada a resposta transitória (temporal) dos sistemas lineares
invariantes no tempo.
Nesta seção será avaliada a resposta estacionária de um sistema para uma entrada
senoidal, que é chamada resposta em freqüência.
Os conceitos serão introduzidos em um exemplo.
Exemplo 4.1
Suponhamos um sistema G(s) sendo excitado por uma entrada senoidal r(t), conforme a
figura 4.1.
)1.4()()( 22
ω
ω
ω
−
==
s
A
sRoutAsentr

Deseja-se determinar C(s), a resposta do sistema.
Solução:
A resposta do sistema, C(s), pode ser expressa como:
)2.4()()()()( 22
ω
ω
+
==
s
A
sGsRsGsC
G(s) é uma razão de polinômios em s, tal que:
)3.4(
)(
)(
)(
sD
sN
sG =
Substituindo-se (4.3) em (4.2) tem-se:
22
)(
)(
)(
ω
ω
+
=
s
A
sD
sN
sC
Fazendo-se a expansão de C(s) em frações parciais, tem-se:
)4.4(
)()()(
)( 21
2
2
1
1
ωω js
a
js
a
ps
b
ps
b
ps
b
sC
n
n
−
+
+
+
+
++
+
+
+
= L
onde bi e ai são os resíduos nos pólos. Observando-se (4.4) pode-se concluir que os termos
em b dependem do sistema (função de transferência) e a1 e a2 dependem da entrada.
A resposta temporal, c(t), pode ser obtida tomando-se a transformada inversa de C(s):
)5.4()( 2121
21 tjtjtp
n
tptp
eaeaebebebtc n ωω
+++++= −−−−
L
Os termos bie-pt
, na equação (4.5), definem o regime transitório e tendem a zero quando t
tende a infinito (para um sistema estável).
A resposta em regime será, portanto:
)6.4()( 21
tjtj
eaeatc ωω
+= −
O próximo passo é calcular os resíduos a1 e a2. Da expressão (4.2) tem-se que:
)7.4(
)()())((
)(
)( 21
ωωωω
ω
js
a
js
a
jsjs
AsG
sC
−
+
+
=
−+
=

Empregando-se, por exemplo, o método de Heaveside, os resíduos podem ser
determinados em (4.7):
)8.4(
2
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
2
1
j
jAG
jsjs
AsG
a
j
jAG
jsjs
AsG
a
ω
ωω
ω
ω
ωω
ω
=
=+
=
−
−=
−=−
=
Os resíduos formam um par complexo conjugado. Substituindo-se (4.8) em (4.6), tem-se:
)9.4(
2
)(
2
)(
)( tjtj
e
j
jAG
e
j
jAG
tc ωω ωω
+
−
−= −
G(jω) é uma variável complexa e pode ser expressa na forma polar:
)10.4()()(
)()(
θ
θ
ωω
ωω
j
j
ejGjG
ejGjG
−
=−
=
Substituindo-se (4.10) em (4.9), tem-se:
( ) ( )
)11.4(
2
)()(
2
)(
2
)(
)(





 −
=
+−=
+−+
−
−
j
ee
jGAtc
ee
j
jGA
e
j
ejGA
tc
tjtj
tjjtj
j
θωθω
ωθω
θ
ω
ωω
Aplicando-se a identidade de Euler em (4.11), tem-se:
( )
( )
)12.4()()(
,)(
)()(
θωω
θω
θωω
=∠=
+=
+=
jGejGAC
ondetCsentc
outsenjGAtc
Da expressão de c(t), equação (4.12), pode-se concluir que:
A saída de um sistema linear e estável, quando excitado por uma entrada senoidal, é
também uma senoide de mesma freqüência, independentemente da complexidade da
função de transferência.
A amplitude e o deslocamento de fase de c(t) estão relacionados com a freqüência ω do
sinal senoidal de entrada.
O ganho (ou atenuação) e o deslocamento de fase de um sistema, para uma entrada
senoidal, são determinados pela função de transferência, avaliada em s = jω.

Exemplo 4.2
Um sistema, representado pela função de transferência
23
2
)( 2
++
=
ss
sG
é excitado por uma entrada dada por e(t) = 8 sen2t. Determine a saída c(t).
Solução:
Avaliando-se G(s) em s = j2, tem-se:
°−==
+−
=
++
=
=
10832,0)2(
62
2
2)2(3)2(
2
2
)( 2
θ
ω
jG
jjjjs
jG
A saída em regime estacionário será, portanto:
)1082(56,2)1082()32,0.8()( °−=°−= tsentsentc
A resposta em freqüência de um sistema pode ser obtida avaliando-se G(jω) para 0 ≤ ω < ∞.
G(jω) é uma variável complexa, portanto, para um certo ω, dois números são necessários
para especificar G(jω), a amplitude e o ângulo, parte real e parte imaginária, etc.
Normalmente, G(jω) x ω é demonstrado de uma forma gráfica padrão. Duas destas formas
serão apresentadas neste texto.
4.3 Gráficos de Resposta em Freqüência
Normalmente a resposta em freqüência G(jω) x ω de um sistema é mostrada de forma
gráfica. Duas formas de representação gráfica serão apresentadas através de um exemplo
bem simples.
A função de transferência de um circuito RC, conforme mostrado na figura 4.2 pode ser
expressa como:
)13.4(
1
1
)(
)(
)(
+
==
RCssEi
sEo
sG
Suponhamos, por simplicidade, que o circuito tem uma
constante de tempo τ = RC = 1 segundo.
A equação (4.13) torna-se, portanto:

)14.4(
1
1
)(
+
=
s
sG
A resposta em freqüência do circuito deve ser avaliada para s = jω. A função de
transferência da equação (4.14) fica, portanto:
( ) )15.4(tan1
1
1
)( 12
1
2
ωω
ω
ω −
−
−∠+=
+
=
j
jG
Um dos métodos usuais de se mostrar a resposta em freqüência é na forma de um gráfico
polar. A amplitude e o ângulo função de transferência (ou as partes real e imaginária) são
plotados em um plano complexo, variando-se a freqüência ω.
Para construirmos um gráfico polar da resposta em freqüência, equação (4.15), nós
inicialmente calculamos G(jω) para diversos valores de ω. A tabela 4.1 apresenta os valores
obtidos.
Tabela 4.1 – Resposta em
freqüência do circuito RC
ω G(jω)
0 °∠01
0,5 °−∠ 6,2689,0
1,0 °−∠ 4571,0
1,5 °−∠ 3,5656,0
2,0 °−∠ 4,6345,0
3,0 °−∠ 6,7132,0
5,0 °−∠ 7,7820,0
10,0 °−∠ 3,8410,0
Finalmente, estes valores são plotados em um plano complexo, como mostrado na figura
4.3. No gráfico polar, a freqüência ω parece como um parâmetro.

Outra forma de mostrar a resposta em freqüência é plotar a amplitude, ou ganho, de G(jω) x
ω, e o ângulo de G(jω) x ω. Estes gráficos de freqüência estão mostrados na figura 4.4. Note
que o comportamento do ganho do sistema quando a freqüência aumenta é mais facilmente
observado nesta forma de representação do que no gráfico polar.
Pela análise do gráfico da figura 4.4 pode-se afirmar que o circuito RC é um filtro passa-
baixas. Esta forma de gráfico é normalmente empregada para mostrar a resposta em
freqüência de filtros.
Análise pelos vetores de G(jω)
Uma outra forma de análise da resposta em freqüência de um sistema descrito por sua
função de transferência, a análise pelos vetores de G(jω), será apresentada.
Vamos considerar uma função de transferência de 1ª ordem em sua forma padrão:
)16.4(
1
)(
+
=
s
K
sG
τ
A função de resposta em freqüência é dada por:

)17.4(
11
)(
ω
τ
τ
ωτ
ω
j
K
j
K
jG
+
=
+
=
O termo no denominador pode ser representado por um vetor que se origina no pólo -1/τ e
termina no ponto jω no plano s, figura 4.5(a).
Quando ω varia de 0 até infinito, o comprimento do vetor varia de 1/τ até ∞ e, por
conseqüência, o ganho de G(jω) decresce de K até 0. O ângulo de G(jω) decresce de 0 até -
90°, porque o ângulo do vetor no denominador tende a 90°, quando ω → ∞. Nós podemos
obter as características de resposta em freqüência da equação (4.17) no vetor da figura
4.5(a).
O conceito de vetores pode ser estendido para sistemas de ordem superior. Considere um
sistema de 2ª ordem com pólos reais:
( )( )
)18.4(
1111
)(
21
21
21






+





+
=
++
=
ω
τ
ω
τ
ττ
ωτωτ
ω
jj
K
jj
K
jG
Os dois fatores do denominador são iguais aos vetores mostrados na figura 4.5(b). Quando
ω → ∞, os comprimentos dos vetores tendem a infinito e o ganho de G(jω) tende a zero. O
ângulo de G(jω) vai de 0° a -180°, quando ω varia de 0 a infinito, porque o ângulo de cada
um dos vetores tende a +90°.
A figura 4.5(c) apresenta os dois vetores do denominador para a situação em que os pólos
são pares complexos conjugados. O comportamento do ângulo de G(jω), quando ω varia de
0 a infinito, é igual ao caso de dois pólos reais.

O comportamento da magnitude de G(jω) pode ser bem diferente. O vetor (p1 + jω), para ω
variando de 0 até ∞, encontra um mínimo e depois cresce sem limite. Assim o módulo de
G(jω) terá um máximo e depois decresce até 0, conforme ilustrado na figura 4.6. Este efeito
é conhecido por ressonância e ocorre sempre que a função de transferência possui um par
de pólos complexos conjugados.
Obviamente, se a função de transferência
possui um zero, este vetor irá contribuir
em G(jω) com uma amplitude que tende a
infinito quando ω → ∞. O ângulo deste
vetor irá crescer de 0° a 90° quando ω →
∞.
O método da análise da resposta em
freqüência a partir do diagrama de pólos e
zeros serve para uma primeira
aproximação e uma análise preliminar. Se
um gráfico preciso é requerido, então a
resposta em freqüência deve ser
calculada utilizando um computador.
4.4 Diagramas de Bode
Esta seção apresenta um método para a representação gráfica da resposta em freqüência
de funções de transferência. Os gráficos de resposta em freqüência obtidos por este
método, conhecidos como diagramas de Bode, são muito empregados na análise e projeto
de sistemas de controle.
Os diagramas de Bode apresentam a resposta em freqüência em dois gráficos, o de
amplitude x freqüência e o de fase x freqüência. A escala do eixo de freqüência é
logarítmica. A amplitude, ou módulo de G(jω), é calculado em decibéis. A principal vantagem
do diagrama de Bode, em relação aos outros tipos de gráficos de resposta em freqüência, é
que análise do efeito da adição de um pólo ou zero na função de transferência pode ser feita
facilmente, não sendo necessário recalcular as contribuições dos demais pólos e zeros já
existentes na função de transferência. Este aspecto é bastante vantajoso no projeto de
sistemas de controle.
Nós iremos desenvolver um diagrama de Bode usando como exemplo uma função de
transferência de 2ª ordem:
( )
( )( )
)19.4(
11
1
11
1
)(
21
3
21
3






+





+






+
=
++
+
=
ωω
ω
ττ
τ
ss
s
K
ss
sK
sG

É assumido neste exemplo que os pólos e o zero são reais e negativos. Note que nós
definimos uma constante ωi igual ao recíproco de τi, que é a constante de tempo para os
termos do denominador. Nós iremos chamar ωi de freqüência de quebra, por uma razão que
será explicada posteriormente.
Para a análise da resposta em freqüência, tomamos s = jω. A equação (4.19) fica, portanto:
)20.4(
11
1
)(
21
3






+





+






+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
jj
jK
jG
A amplitude de G(jω) é:
)21.4(
11
1
)(
21
3
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
jj
jK
jG
++
+
=
A unidade decibel é definida como sendo:
adB log20=
onde a é um ganho. No diagrama de Bode, a amplitude em função da freqüência é plotada
em decibéis, isto é, nós plotamos 20log| G(jω)|. Para a função de transferência de (4.21),
)22.4(1log201log201log20log20)(log20
213 ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω jjjKjG +−+−++=
O efeito de plotar em decibéis é que os fatores do numerador são somados na amplitude
total e os fatores do denominador são subtraídos da amplitude total.
Considere, agora, um termo genérico dependente da freqüência da equação (4.22):
)23.4(1log201log20
2
1
2














+=+=
ii
i jdB
ω
ω
ω
ω
Se plotarmos o termo da equação (4.23) para 0 ≤ ω < ∞, obtém-se o gráfico da figura 4.7.

Note que o valor do termo de (4.23) na freqüência ωi (chamada freqüência de quebra) é igual
a:
( ) 0103,32log20 2
1
==idB
Normalmente este valor é aproximado para 3 dB. De forma geral, para um termo de 1ª
ordem no numerador, em ω = ωi, a contribuição na amplitude de G(jω) é de 3 dB e, no
denominador, - 3 dB.
Para uma freqüência ω = 10ωi, a amplitude do termo é 20 dB (20,04), conforme mostrado na
figura 4.7. Se considerarmos ω = 100ωi, então a amplitude do termo será de 40 dB. Ou seja,
para um termo de 1º grau no numerador, a amplitude cresce 20 dB por década.
Aproximações para os termos de 1ª ordem:
Vamos demonstrar as aproximações que podem ser feitas para os termos de 1ª ordem na
construção dos diagramas de Bode da resposta em freqüência. Considere, novamente, o
termo dependente da freqüência, equação (4.23).
( )[ ] )24.4(1log20 2
1
2
iidB ωω+=
Para freqüências muito pequenas, se comparadas com a freqüência de quebra ωi, tem-se:
)25.4(0)1log(20 iidB ωω <<=≈
Para freqüências muito altas, se comparadas com ωi, tem-se:
)26.4(log20log20log20 ii
i
idB ωωωω
ω
ω
>>−=





≈
Para baixas freqüências, equação (4.25), o termo é aproximado por uma reta sobre o eixo ω.
Para altas freqüências, a equação (4.26) é uma função de log ω e também pode ser
aproximada por uma reta. A inclinação da reta é de 20 dB por década. As duas retas se
interceptam em ω = ωi.

O resultado das aproximações está apresentado
na figura 4.8. Pode-se observar que a curva exata
aproxima-se das linhas retas de forma assintótica.
O erro máximo da aproximação ocorre na
freqüência de quebra ω = ωi, e é de 3 dB. ωi é
chamada de freqüência de quebra por causa da
quebra da inclinação na nesta freqüência.
Se for necessário um diagrama de Bode mais preciso, então um computador digital deve ser
empregado. No entanto, existem situações em que estes diagramas aproximados são úteis.
Quando se desejar avaliar o tipo do compensador a ser empregado em uma planta em
particular e para se avaliar os efeitos de pólos e zeros, os diagramas de Bode são muito
empregados.
As aproximações são boas, como será demonstrado, para funções de transferência com
pólos e zeros reais. Pólos e zeros complexos podem ter uma aproximação muito ruim.
Construção dos diagramas de Bode
Na construção de gráficos de resposta em freqüência, cinco tipos de fatores podem ser
encontrados nas funções de transferência:
1. Ganho constante
2. Pólos e zeros na origem
3. Pólos e zeros reais não na origem
4. Pólos e zeros complexos conjugados
5. Retardos puros de tempo
Nós consideraremos cada um dos fatores listados acima para a construção dos diagramas
de Bode.
Ganho constante
No caso de um ganho constante,
KdB log20=
A magnitude deste termo não varia com a freqüência.
Duas possibilidades estão mostradas na figura 4.9. Se
|K| é maior que a unidade, dB é positivo e a fase é 0°;
se |K| é menor que a unidade, dB é negativo e a fase é
180°. Em qualquer caso a amplitude é plotada como
uma reta com inclinação zero.

Pólos e Zeros na Origem
Para o caso em que a função de transferência tem um zero na origem, a magnitude deste
termo é dada por
ωω log20log20 == jdB
O gráfico deste termo é uma reta, com inclinação de 20dB/década, e intercepta o eixo ω em
ω = 1, conforme apresentado na figura 4.10(a). Para este caso, a linha de aproximação
coincide exatamente com a curva exata. Na figura 4.10(b) é mostrado o caso em que o
termo é um pólo na origem.
Se a ordem do pólo ou zero na origem for N, então dB = N20logω, e a inclinação da reta
será N20dB/década.
Com respeito à fase, para um zero na origem na função de transferência, o ângulo de fase é
90°, pois:
°∠==
=
90ωω
ω
j
js
s
De maneira similar, um pólo na origem contribui com um ângulo de -90°:
°−∠==
=
90
111
ωωω jjss
Para os dois termos, o ângulo independe da freqüência.

Pólos e zeros reais não na origem
O termo zero real não na origem já foi considerado anteriormente:
( )[ ]
ii
i
iijdB
ωωωω
ωω
ωωωω
>−≈
≤≈
+=+=
,log20log20
,0
1log201log20 2
1
2
A aproximação para um zero real não na origem está mostrada na figura 4.11(a) e na
4.12(b) para um pólo.
Suponhamos que o termo de 1ª ordem é repetido,
isto é, que a função de transferência tenha um
termo de ordem:
( )N
is ω+1
A magnitude deste termo é dada por:
22
1log20
N
i
idB














+=
ω
ω
Realizando-se a aproximação para o gráfico de
Bode, para ω ≤ ωi, dBi = 0. Para ω > ωi, dBi =
N20log(ω/ωi). Portanto, a inclinação da reta será,
neste caso de N20dB/década.
A contribuição na fase de G(jω) de zeros e pólos reais não origem pode ser aproximada por
uma reta. Vejamos o caso de um zero:






=→+=
=
+
iii
arctgj
js
s
ω
ω
θ
ω
ω
ωω
11
A reta que aproxima a contribuição de um
zero real não na origem quebra em 0° na
freqüência ω = 0,1ωi, e quebra novamente
para um valor constante de 90°, na
freqüência ω = 0,1ωi. A figura 4.12 ilustra a
aproximação. O erro pode ser considerável,
mas, ainda assim, é um método conveniente
para uma primeira aproximação.
Note que a característica de fase de um pólo
é o negativo da característica de fase de um
zero.

Exemplo 4.3
Considere um sistema, representado pela função de transferência:
110
1
)(
110
1
)10(
)1(10
)(
+
+
=
+
+
=
+
+
=
ω
ω
ωjG
s
s
s
s
sG
Vamos demonstrar a utilização da técnica apresentada para a construção dos diagramas de
Bode.
Examinando-se a função de transferência G(js), pode-se afirmar que a mesma possui um
zero, localizado em s = -1 e um pólo localizado em s = -10. Portanto a freqüência de quebra
no numerador é ω = 1 e do denominador ω = 10.
A figura 4.13 apresenta o termo do numerador, o termo do denominador e a magnitude total,
que é a soma dos dois termos.
Podem-se testar os limites de
amplitude de G(jω):
dB
j
j
jG
dBjG
2010
10
lim)(lim
01)(lim
0
===
==
∞→∞→
→
ω
ω
ω
ω
ωω
ω
Os limites conferem com o diagrama
da figura 4.13.
A aproximação da característica de
fase do zero tem um ponto de quebra
em ω = 0,1 e outro em ω = 10. A
característica de fase do pólo quebra
em ω = 10 e em ω = 100. Estas linhas
de aproximação e o diagrama de fase
resultante estão mostrados na figura
4.14.
De forma similar, os limites de fase de
G(jω) também podem ser testados.
O exemplo mostra que o esboço da
resposta em freqüência pode ser

facilmente construído para funções simples com a do exemplo.
Exemplo 4.4
Como um segundo exemplo, considere a função de transferência do exemplo anterior, com
a diferença de um ganho constante e um pólo adicional em s = 10, que foram
acrescentados.
22
)101(
)1(2
)10(
)1(200
)(
s
s
s
s
sG
+
+
=
+
+
=
O diagrama de Bode tem três termos. O primeiro termo é um ganho constante, que soma um
ganho de 6 dB em todas as freqüências. O segundo termo é um zero com freqüência de
quebra ω = 1. O terceiro termo é um pólo de 2ª ordem em s = 10. Os três termos estão
plotados na figura 4.15 em conjunto com diagrama da amplitude total (a soma dos três
termos).
O diagrama de amplitude de Bode
confere com os limites de freqüência:
ω
ω
ω
200
)(lim
62)0(
=
==
∞→
jG
dbG
O diagrama de Bode tem uma inclinação
de -20dB/década em altas freqüências.
A característica de fase de cada um dos
termos e a fase total da função de
transferência estão mostradas na figura
4.16.
Exemplo 4.5
Um último exemplo de construção do
diagrama de Bode da resposta em
freqüência de uma função de
transferência será apresentado. Neste
caso a função de transferência incorpora
todos os termos vistos até agora.
Considere:
)501)(1(
)31(5
)5)(12(
)3(1000
)(
sss
s
sss
s
sG
++
+
=
++
+
=

O ganho constante, que é igual a 5, foi obtido de:
5
)50)(12(
)3)(1000(
=
A função de transferência tem cinco termos: um ganho constante de 14 dB, um zero real em
ω = 3, um pólo na origem, um pólo em ω = 12 e um pólo em ω = 50. A figura 4.17 apresenta
os cinco termos e a amplitude total.
Em baixas freqüências, a amplitude é dada por:
ω
ω
ω
5
)(lim
0
=
→
jG
A amplitude tem uma inclinação de -20dB/década nos extremos de baixa freqüência. Em
altas freqüências, a amplitude é dada por:
2
1000
)(lim
ω
ω
ω
=
∞→
jG
A amplitude tem uma inclinação de -40dB/década nos extremos de alta freqüência. O cálculo
destes limites coincide com o diagrama apresentado na figura 4.17.

A contribuição de cada um
dos termos e fase total da
função de transferência está
mostrada na figura 4.18.
A característica de fase em
baixas freqüências é dada
por:
°−∠==
→
90
55
)(lim
0 ωω
ω
ω j
jG
Portanto, a fase em baixas freqüências é de -90°. Para altas freqüências:
°−∠==
∞→
180
1000
)(
1000
)(lim 22
ωω
ω
ω j
jG
Estes valores são os mesmos que os obtidos graficamente na figura 4.18.
Pares de pólos e zeros complexos conjugados
Raízes complexas aparecem em funções de transferência na forma de pares complexos
conjugados, tanto no numerador quanto no denominador, na forma:
)27.4(102
22
<≤++ ζωζω nn ss
Da mesma forma que foi feita na última seção, para conveniência na plotagem nestes
termos, nós normalizamos o fator da equação (4.27) para que o mesmo tenha um ganho DC
unitário. Isto é conseguido fatorando-se ωn
2
em (4.27). Portanto o fator que estamos
considerando é:
)28.4(21
2






+





+
nn
ss
ωω
ζ
A magnitude e a fase da expressão (4.28), para s = jω, dependem do fator de amortecimento
ζ e, em geral, não se obtém aproximações satisfatórias utilizando retas, como será
demonstrado nesta seção.
Para os casos em que ζ = 1, os sistemas criticamente amortecidos, vale a análise de dois
pólos ou dois zeros reais.

Substituindo-se s por jω na expressão (4.28), tem-se:
)29.4(2121
22






+





−=





−





+
nnnn
jj
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ζ
De uma forma geral, a amplitude de um par de zeros complexos conjugados é:
)30.4(21log10
21log20
222
2
1
222














+














−=














+














−=
nn
i
nn
i
dB
dB
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
ω
ω
E a fase é:
)31.4(
1
2
tan 2
1






−






= −
n
n
ω
ω
ω
ω
ζ
θ
Se adotarmos uma freqüência normalizada u, tal que u = ω/ωn, a equação (4.30) fica:
( )[ ] )32.4(41log10 2222
uudBi ζ+−=
E a equação (4.31) fica:
)33.4(
1
2
tan 2
1
u
u
−
= − ζ
θ
As equações (4.32) e (4.33) determinam de forma exata a contribuição em magnitude e fase
de um pólo ou zero complexo conjugado, em função da freqüência.
Quando u << 1, a magnitude pode ser aproximada por:
dBdBi 0)1log(10 ==
e o ângulo de fase tende a 0°. Quando u >> 1, a magnitude tende a
uudBi log40log10 4
==
o que resulta em uma curva com inclinação de 40dB/década. O ângulo de fase, para u >> 1,
tende a 180°.

As assíntotas de magnitude se cruzam em ω = ωn, contudo o erro em relação à magnitude
real pode ser muito grande, dependendo do fator de amortecimento ζ. Os diagramas de
Bode, com as curvas exatas, de um fator quadrático no numerador, estão mostrados na
figura 4.19 para diversos valores do fator de amortecimento ζ.
Pode-se observar na figura 4.19 que o erro da aproximação por retas que se intersectam em
ω = ωn, pode ser muito elevado, dependendo do fator de amortecimento. No entanto, nunca
é demais lembrarmos que os diagramas aproximados de Bode devem ser usados apenas
para se obter uma idéia preliminar das características de um sistema; para uma análise mais
precisa os diagramas exatos de Bode devem ser calculados usando-se um computador
digital.
Os gráficos de Bode da figura 4.19 são para zeros complexos. Naturalmente, as figuras
devem ser invertidas para pólos complexos.
O valor máximo da resposta em freqüência, Mp, ocorre na freqüência de ressonância ωr.
Quando o fator de amortecimento ζ tende a zero, então ωr tende a ωn, a freqüência natural
do sistema. A freqüência de ressonância é obtida derivando-se o módulo de G(jω), em
relação a u, e igualando-se a zero. A freqüência de ressonância é, portanto:
)34.4(707,021 2
≤−= ζζωω nr
e o valor máximo da magnitude de | G(jω)| é:

)35.4(
12
1
(
2
ζζ
ω
−
== rp jGM
Exemplo 4.6
Considere a função de transferência
22
1010
)2,0(21
)1(2
1004
)1(200
)(






++
+
=
++
+
=
ss
s
ss
s
sG
Para os pólos complexos conjugados, ζ = 0,2 e a aproximação dos diagramas de Bode por
retas não será muita precisa nas proximidades de ωn = 10. A aproximação por retas e a
curva exata estão mostradas na figura 4.20. O máximo erro em magnitude é da ordem de 8
dB, o que é bastante considerável. Note que o erro para a aproximação da fase também é
elevado.

Retardo puro de tempo
Nas plantas industriais é bastante freqüente encontrarmos sistemas e processos que exibem
um fenômeno conhecido por atraso puro de tempo. Situações em que o atraso puro de
tempo pode ocorrer são, por exemplo, nas análises de laboratório em que o resultado de
uma adição de um componente só é conhecido após a sua análise em laboratório. Este
atraso pode ser da ordem de segundos até de horas. Nos processos que envolvem
transporte de energia ou massa também podem ser encontrados atrasos puros de tempo.
Se um atraso puro de tempo está incorporado a um sistema de controle, podem-se prever
grandes dificuldades em sua sintonia (por causa do atraso de fase introduzido).
Matematicamente, a função de transferência de um atraso puro de tempo pode ser
representada como:
)36.4()( sto
esG −
=
em que to é a quantidade de atraso de tempo. Note que esta função de transferência é
diferente de todas já consideradas até então, não sendo uma relação de polinômios em s.
Este fato torna a análise do sistema de controle mais complexa. Por exemplo, o critério de
estabilidade de Routh-Hurwitz não pode ser empregado neste caso.
A resposta em freqüência de uma função de transferência do tipo definido em (4.36) é obtida
substituindo-se s por jω. Desta forma
)37.4(1)( o
tj
tejG o
ωω ω
−∠== −
Portanto, a magnitude da função de transferência é unitária, e a fase é uma função linear da
freqüência. O atraso de fase introduzido por um atraso puro de tempo aumenta sem limites
enquanto a freqüência aumenta.
O diagrama de Bode da função de
transferência de um atraso puro de
tempo está mostrado na figura
4.21. A magnitude é, obviamente,
0 dB, e a fase, em degraus, é dada
por:
)38.4(3,57 otωθ −=

Exemplo 4.7
Considere um sistema que contém um atraso puro de tempo em sua função de transferência
da seguinte forma:
)1(
)(
2,0
+
=
−
ss
e
sG
s
Os dois pólos, um na origem
e outro em s = -1,
contribuem para o diagrama
de Bode na forma já
apresentada anteriormente.
O atraso puro de tempo de
0,2 segundos contribui com
0 dB para o termo de
magnitude e uma fase de -
11,46ω, em graus. O
resultado é mostrado na
figura 4.22.

Capítulo 5
Análise da Estabilidade no Domínio da Freqüência
5.1 Introdução
Método de Routh-Hurwitz: equação característica do sistema em malha fechada
expressa em termos da variável s.
Método do Lugar das Raízes: método gráfico também baseado na variável complexa s.
Não se aplica quando a função de transferência possui atraso puro de tempo.
A resposta em freqüência fornece informação suficiente sobre a estabilidade relativa de
um sistema, sem a necessidade de se ter um modelo matemático do mesmo.
Para se determinar a estabilidade relativa de um sistema em malha fechada, como o
apresentado na figura 5.1, deve-se investigar a equação característica do sistema. Para
que o sistema seja estável é necessário que as raízes da equação característica estejam
no semiplano da esquerda do plano s.
)()()(
:abertamalhaemFunção
)(1)(
:sistemadoticacaracterísEquação
sGsHsL
sLsF
=
+=

5.2 Critério de Estabilidade de Nyquist
No método do lugar das raízes, a função em malha aberta é dada por H(s)G(s).
No domínio da freqüência, H(jω)G(jω) é a função em malha aberta utilizada para se obter os
diagramas de Nyquist e os gráficos de Bode.
Nesta seção será investigada a estabilidade de um sistema em malha fechada a partir da
resposta em freqüência da função em malha aberta H(jω)G(jω).
O método que será apresentado é baseado no critério de Nyquist.
O diagrama de Nyquist, já estudado no capítulo anterior, é uma representação polar da
característica da resposta em freqüência de um sistema.
Critério de Estabilidade de Nyquist: Se N é o número de vezes que o diagrama polar de
Nyquist envolve o ponto (-1,0) no plano-s no sentido horário, e P é o número de pólos em
malha aberta que estão no semiplano da direita, então Z = N + P é o número de raízes
instáveis da equação característica do sistema em malha fechada (raízes estas que estão no
semiplano da direita).
De acordo com o critério de Nyquist, Z na equação (5.1)
deve ser zero para que o sistema em malha fechada
seja estável.
N é o número de vezes que o diagrama de Nyquist
envolve o ponto (-1,0) no plano-s.
P é o número de pólos da função em malha aberta,
H(s)G(s), no semiplano da direita. Portanto, P indica a estabilidade do sistema se este é
operado em malha aberta.
No diagrama de Nyquist da figura 5.2, o mapeamento envolve o ponto (-1,0) duas vezes e,
portanto,
Como P é o número de pólos, da função em malha aberta, no semiplano s da direita, ele não
pode ser um número negativo. Portanto, no sistema da figura 5.2, Z é maior ou igual a 2 e o
sistema em malha fechada é instável.
Alguns comentários podem ser feitos sobre o critério de Nyquist:
1. A razão do ponto (-1,0) ser tão importante vem da equação característica 1 + H(s)G(s) =
0, que pode ser escrita como H(s)G(s) = -1. Esta condição corresponde a uma função de
transferência com ganho 1 e ângulo de fase de –180°.
)1.5(PNZ +=
PZ += 2

2. Tipicamente, sistemas em malha aberta são estáveis, então P = 0, ou seja, nenhum pólo
no semiplano da direita. Para estes casos, Z = N e o sistema em malha fechada será
instável se o diagrama de Nyquist envolver o ponto (-1,0) uma ou mais vezes.
3. Um valor negativo de N indica que o envolvimento do ponto (-1,0) se dá no sentido anti-
horário.
4. O critério de Nyquist pode ser empregado para se determinar se um processo, instável
em malha aberta, pode ser estabilizado por realimentação negativa.
O seguinte exemplo ilustra o critério de Nyquist.
Exemplo 5.1
Considere um sistema com uma função em malha aberta
A função foi avaliada para alguns valores de ω e o resultado está mostrado na tabela 5.1.
Tabela 5.1 – Resposta em freqüência do exemplo 5.1
ω 1 + jω G(jω)
0 1∠0° 5∠0°
0,5 1,118∠26,6° 3,58∠-79,8°
1,0 1,414∠45° 1,77∠-135°
1,5 1,80∠56,3° 0,85∠-169°
2,0 2,24∠63,4° 0,45∠-190,3°
5,0 5,10∠78,7° 0,038∠-236,1°
20,0 20,0∠87,1° 0,0006∠-261,3°
O diagrama de Nyquist da função está apresentado
na figura 5.3.
O ganho DC, H(0)G(0), é igual a 5 e está mostrado
no ponto I. A curva sólida, parte II, é obtida
diretamente dos valores da tabela 5.1.
Para ω → ∞,
sendo o ponto III no diagrama.
Para valores negativos de ω, nós usamos o complexo
conjugado dos valores obtidos na tabela 5.1. Esta
parte do diagrama de Nyquist, parte IV, está
33
)1(
5
)()(
)1(
5
)()(
ω
ωω
j
jGjHou
s
sGsH
+
=
+
=
0)()(lim =
∞→s
sGsH

mostrada como uma curva tracejada.
Para se determinar se o diagrama de Nyquist da função H(jω)G(jω) envolve o ponto (-1,0), é
necessário se conhecer o ponto de interceptação do eixo real (-180°), no semiplano da
esquerda. A magnitude e a freqüência de H(jω)G(jω), neste ponto, não são evidentes na
figura 5.3.
O ponto onde o lugar de H(jω)G(jω) intercepta o eixo real negativo pode ser determinado
fazendo-se a parte imaginária de H(jω)G(jω) igual a zero. Tem-se
A freqüência na qual o diagrama de Nyquist intercepta o eixo real é, portanto, 1,73 rd/s. A
amplitude do vetor neste ponto é
Pelo resultado obtido, é possível afirmar que o diagrama de Nyquist não envolve o ponto (-
1,0).
A equação para a aplicação do critério de Nyquist é
O valor de P é zero, pois H(s)G(s) não tem pólos no semiplano da direita. Do diagrama de
Nyquist da figura 5.3 pode-se afirmar que o número de envolvimentos do ponto (-1,0), N, é
também zero. Então, o sistema em malha fechada não possui pólos no semiplano da direita
e é, portanto, estável.
Um comentário adicional deve ser feito com respeito à análise da estabilidade usando o
critério de Nyquist. Suponhamos que o diagrama de Nyquist intercepta o ponto (-1,0) para
uma certa freqüência ω = ω1. Então.
Isto indica que o sistema em malha fechada tem um pólo em s = jω1, isto é, o sistema é
marginalmente estável e oscila na freqüência ω1, se os demais pólos da função de
transferência em malha fechada estiverem no semiplano da esquerda.
Um ponto final relacionado ao critério de Nyquist é evidente se observarmos o diagrama da
figura 5.3. A parte II do diagrama de Nyquist é um gráfico da resposta em freqüência da
PNZ +=
0)()(1 11 =+ ωω jGjH
73,130)3(
)3()31(
5
221
5
)()(
2
32
322
±=±=→=−→
−+−
=
−−+−+
=
ωωω
ωωω
ωωωωω
ωω
j
jjj
jGjH
625,0
73,1)31(
5
)()( 2
−=
=−
=
ωω
ωω jGjH

função em malha aberta. De fato, o diagrama de Nyquist pode ser totalmente construído a
partir da resposta em freqüência de H(jω)G(jω), pois as partes I e III também podem ser
obtidas da resposta em freqüência e a parte IV é o complexo conjugado da mesma resposta.
Portanto, o diagrama de Nyquist pode ser construído a partir de dados experimentais da
resposta em freqüência, sem o prévio conhecimento do modelo matemático do processo.
5.3 Aplicações do Critério de Nyquist na Análise da Estabilidade
Antes de apresentarmos alguns exemplos da aplicação do critério de Nyquist na
determinação da estabilidade dos sistemas de controle em malha fechada, o procedimento
para a construção do diagrama de Nyquist é revisado.
O contorno do diagrama de Nyquist pode ser quebrado em
quatro partes, conforme já foi apresentado no exemplo 5.1.
As quatro partes estão mostradas na figura 5.4 e são as
seguintes:
I. Esta parte do diagrama é o ponto ω = 0, ou a origem do
plano H(jω)G(jω). A função em malha aberta avaliada
neste ponto, H(0)G(0), dá o ganho DC do sistema.
II. Este trecho é a resposta em freqüência da função em
malha aberta, H(jω)G(jω), avaliada para 0 < ω < ∞.
III. Este é o ponto em que ω tende a infinito. Como os
processos físicos são naturalmente passa-baixa, este ponto quase sempre estará na
origem do plano H(jω)G(jω).
IV. Esta seção do diagrama de Nyquist é o complexo conjugado da função em malha aberta
avaliada na seção II do diagrama. A seção IV é quase sempre omitida nos diagramas de
Nyquist.
Dois exemplos são dados em seguida. Por simplicidade, foi adotado H(s) = 1, e a função em
malha aberta é, portanto, G(s).
Exemplo 5.2
Considere um sistema com a função em malha aberta
O ganho DC é G(0) = 5, e a parte I do diagrama de Nyquist da figura 5.5 mapea este ponto.
Para a parte II do diagrama, tem-se:
2
)1(
5
)(
+
=
s
sG

)1)(1(
5
)(
ωω
ω
jj
jG
++
=
Cada fator no denominador, (1 + jω), tem uma magnitude que aumenta do valor unitário até
o valor infinito, quando ω cresce de zero até o infinito. Desta forma, a magnitude de G(jω)
decresce de 5 até 0. Adicionalmente, o ângulo de cada termo no denominador cresce de 0°
até 90°. Então, o ângulo de G(jω) decresce de 0° até –180°. O diagrama de Nyquist deste
sistema está mostrado na figura 5.5.
Note que o ângulo de G(jω) não pode ser mais negativo
que –180° e, portanto, o diagrama de Nyquist não pode
cruzar o eixo real negativo. Se um ganho K é adicionado
ao sistema tal que a equação característica seja
O diagrama de Nyquist não pode ser forçado para envolver
o ponto (-1,0) aumentando-se K (Por que?).
Pelo critério de Nyquist,
N é zero porque o diagrama de Nyquist não pode envolver o ponto (-1,0), e P é zero porque
G(s) não tem pólos no lado direito do plano s. Desta forma, o sistema em malha fechada é
estável para todos os valores possíveis para K.
Exemplo 5.3
Considere neste exemplo o sistema com a seguinte função em malha aberta
Note que é o mesmo sistema do exemplo 5.2, com
um pólo adicionado. O ponto I do diagrama de
Nyquist, o ganho DC, é G(0) = 5. A resposta em
freqüência, contorno II do diagrama, é obtida da
função G(s) avaliada para s = jω.
2
)1(
5
1)(1
s
K
sKG
+
+=+
000 =+=+= PNZ
)10()1(
50
)( 2
++
=
ss
sG
)10()1(
50
)( 2
ωω
ω
jj
jG
++
=

Os fatores no denominador crescem sem limite com o crescimento da freqüência, e a
amplitude de G(jω) decresce até zero quando ω tende a infinito. O ângulo de cada fator no
denominador cresce de 0° a 90° e, desta forma, o ângulo de G(jω) decresce de 0° a -270°
com o crescimento de ω.
Um esboço do diagrama de Nyquist está apresentado na figura 5.6. A parte do diagrama
relativa à resposta complexa conjugada (freqüência negativa) foi omitida para simplificar o
desenho.
O ponto onde o lugar de G(jω) intercepta o eixo real negativo, G(jω1), pode ser calculado
fazendo-se a parte imaginária de G(jω) igual a zero. Tem-se
A parte imaginária de G(jω) é zero quando ω = 4,583. O valor do módulo nesta freqüência é,
portanto.
Neste exemplo, P = 0 e N = 0 e, então, Z = 0. O sistema é estável.
Exemplo 5.4
Outra forma de se conhecer o ponto em que o lugar de G(jω) intercepta o eixo real negativo
é empregando o critério de Routh-Hurwitz. Considere o exemplo 5.3. Inicialmente, nós
acrescentamos um ganho K em G(s) e determinamos a equação característica.
Resolvendo pelo método de Routh-Hurwitz, tem-se que o sistema é estável para K < 4,84.
Para K = 4,84, o diagrama de Nyquist intercepta o ponto (-1,0), então 4,84G(jω1) = -1. Desta
forma, G(jω1) = -1 / 4,84 = -0,207. Este valor confere com o obtido no exemplo 5.3.
A freqüência em que o diagrama de Nyquist da função em malha aberta intercepta o eixo
real negativo é:
050102112
0
)10()1(
50
1)(1
23
2
=++++
=
++
+=+
Ksss
ss
K
sKG
583,4021
)21()1210(
50
)(
122110
50
2102010
50
)(
)10)(21(
50
)10()1(
50
)(
1
3
32
32322
22
±=→=−→
−+−
=
−−+
=
−−+−+
=
+−+
=
++
=
ωωω
ωωω
ω
ωωωωωωωω
ω
ωωωωω
ω
j
jG
jjjjj
jG
jjjj
jG
207,0
)25210(
50
583,4
)( −=
−
=
=ω
ωjG

58,4207,0
1210
5
)( 2
±=→−=
−
= ω
ω
ωjG
O critério de estabilidade de Nyquist apresenta algumas dificuldades gráficas para a sua
aplicação. Com os modernos softwares de análise de sistemas de controle, disponíveis no
mercado, esta tarefa se tornou bastaste simplificada. Os alunos interessados em mais
informações relativas à aplicação do critério de Nyquist na análise da estabilidade dos
sistemas de controle poderão consultar C. L. Phillips e R. D. Harbor 'Feedback Control
Systems'.
5.4 Estabilidade Relativa e o Diagrama de Bode
Na seção anterior, o critério de Nyquist foi usado para determinar se um sistema é estável
ou não. Naturalmente, um sistema deve ser estável para que se possa utilizá-lo. Geralmente
nós requeremos que um sistema não seja simplesmente estável, mas que seja estável com
uma certa margem de segurança.
Por esta razão nós definimos a estabilidade relativa de um sistema. A estabilidade relativa é
determinada por dois termos, a margem de ganho e a margem de fase.
Margem de Ganho: é o fator pelo qual o ganho em malha aberta de um sistema estável
deve ser multiplicado para tornar o sistema marginalmente estável.
Um sistema marginalmente estável, segundo o critério de Nyquist, ocorre quando o lugar de
H(jω)G(jω), intercepta o eixo real negativo em
(-1,0). Se o ponto de cruzamento é, por
exemplo, -α, então a margem de ganho é 1 / α.
Margem de Fase: é o ângulo mínimo que o
diagrama de Nyquist deve ser rotacionado de
forma a interceptar o ponto (-1,0).
A margem de estabilidade pode ser obtida
diretamente do diagrama de Nyquist. No
entanto, ela é mais usualmente obtida do
diagrama de Bode. O diagrama de Bode traz a
mesma informação de resposta em freqüência
do diagrama de Nyquist, mas com outras
coordenadas. Pode-se descrever o critério de
estabilidade, baseado no diagrama de Bode,
como sendo:
Critério de Estabilidade de Bode: Um
sistema de controle em malha fechada é
instável se a resposta em freqüência da função
em malha aberta, H(jω)G(jω), tem um ganho
maior que um na freqüência crítica ωc. De outra forma, ele é estável.

A freqüência crítica, ω1 na figura 5.7, é definida como sendo a freqüência na qual a fase da
função em malha aberta é -180°.
Observando-se a figura 5.7, algumas considerações sobre o critério de estabilidade de Bode
podem ser formuladas:
1. Quando o ganho é unitário na freqüência crítica, o sistema é dito marginalmente estável
e produz uma oscilação de amplitude constante na saída.
2. O sinal (-) no comparador da malha de controle também produz um deslocamento de
fase de –180°.
3. Se o ganho for maior que 1 em ωc o sistema é instável.
4. O critério de Bode só pode ser aplicado em sistemas que exibem uma única freqüência
crítica, que é a maioria dos casos. Nos outros casos deve-se aplicar o critério de Nyquist.
O próximo exemplo mostra uma aplicação do critério de estabilidade de Bode.
Exemplo 5.5
Deseja-se avaliar a estabilidade de um sistema de controle em que a função em malha
aberta é dada por
As constantes de tempo e o atraso têm unidades de minuto. O sistema em questão é de
primeira ordem, com um pólo em s = -0,2 e um atraso puro de tempo de 1 minuto.
A figura 5.8 apresenta o diagrama de Bode
do sistema.
A freqüência crítica, em que a fase é -180°,
pode ser extraída do diagrama, sendo ωc =
1,69 rd/min.
O ganho do sistema nesta freqüência é Kc =
0,235. A margem de ganho é, portanto 1 /
Kc = 4,255.
A fase em que o ganho é 1, pode ser obtida
do gráfico de Bode, sendo -86°. A margem
de fase é, portanto, de 180° - 86° = 94°.
O diagrama de Bode trás mais informações que o diagrama de Nyquist porque a freqüência
ω é mostrada de forma explícita. Adicionalmente, ele facilita a análise em um faixa mais
ampla, por causa da escala logarítmica na abscissa.
15
8
)()(
+
=
−
s
e
sGsH
s

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