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TAREFA 01 – TÓPICOS ESPECIAIS EM AUTOMAÇÃO
1)
Primeiramente foi esquematizado o enunciado da questão.
Figura 01 – Diagrama de blocos do sistema
𝐺( 𝑠) =
(𝑠+11)
( 𝑠+4)∗( 𝑠+7)∗( 𝑠+9)∗(𝑠+12)
; 𝑢( 𝑡) = 1
Aplicando a transformada de Laplace para as entradas fornecidas:
𝑅1( 𝑡) = 5 ∗ 𝑢( 𝑡)  𝑅1( 𝑠) =
5
𝑠
𝑅2( 𝑡) = 5 ∗ 𝑡 ∗ 𝑢(𝑡)  𝑅2( 𝑠) =
5
𝑠2
𝑅3( 𝑡) = 5 ∗ 𝑡2
∗ 𝑢(𝑡)  𝑅2( 𝑠) =
10
𝑠3
A equação do erro em regime permanente para um sistema com realimentação negativa
desse tipo é dada por:
𝑒(∞) = lim
𝑠→0
𝑠 ∗ 𝑅(𝑠)
1 + 𝐾 ∗ 𝐺(𝑠)
Com o auxílio de um algoritmo desenvolvido no matlab foram obtidos os resultados.
Figura 02 – Script utilizado para resolução da questão
Para R1(t): 𝒆(∞) =
𝟏𝟓𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟏∗𝑲+𝟑𝟎𝟐𝟒
Para R2(t): 𝒆(∞) → ∞
Para R3(t): 𝒆(∞) → ∞
2)
Para as questões dois e três foram utilizados os mesmos procedimentos da questão
um, mudando somente o G(s) do algoritmo.
R1(t): 𝒆(∞) = 𝟎
R2(t): 𝒆(∞) =
𝟏𝟓𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟏∗𝑲
R3(t): 𝒆(∞) → ∞
3)
R1(t): 𝒆(∞) = 𝟎
R2(t): 𝒆(∞) = 𝟎
R3(t): 𝒆(∞) =
𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎
𝟏𝟏∗𝑲
4) Para determinar quais valores de K garantem estabilidade ao sistema optou-se
utilizar o critério de Routh-Hurwitz para o sistema da primeira questão e o SISOTOOL
do matlab para os outros dois.
A priori, deve ser obtida a função de transferência de malha aberta, que para esse sistema
é dada pela equação:
𝑇( 𝑠) =
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾 ∗ 𝐺(𝑠)
1 + 𝐾 ∗ 𝐺(𝑠)
𝑇( 𝑠) =
𝐾 ∗ 𝐺 ∗ ( 𝑠 + 4) ∗ ( 𝑠 + 7) ∗ ( 𝑠 + 9) ∗ (𝑠 + 12)
( 𝑠 + 4) ∗ ( 𝑠 + 7) ∗ ( 𝑠 + 9) ∗ ( 𝑠 + 12) + 𝐾 ∗ (𝑠 + 11)
Como para determinar a estabilidade somente o denominador (pólos) interessa pelo
critério de Routh, só ele será desenvolvido.
( 𝑠 + 4) ∗ ( 𝑠 + 7) ∗ ( 𝑠 + 9) ∗ ( 𝑠 + 12) + 𝐾 ∗ ( 𝑠 + 11)
= 𝑠4
+ 32𝑠3
+ 367𝑠2
+ (1776+ 𝐾) 𝑠 + (3024 + 11𝐾)
A partir desse polinômio, pode ser montada a tabela de Routh.
s4 1 367 3024 + 11 ∗ 𝐾
s3 32 1776+K 0
s2 9968 − 𝐾
32
3024 + 11 ∗ 𝐾 0
s1
−𝐾2
− 3072 ∗ 𝐾 + 14606592
9968 − 𝐾 0 0
s0 3024+11*K 0 0
Tabela 01 – Tabela de routh para um polinômio de quarto grau
Para que o sistema seja estável, a primeira coluna da tabela não pode apresentar mudança
de sinais, e, portanto:
Para a linha s2  K < 9968.0
Para a linha s0  K > -274.9
Para a linha s1  K > -5655.0 e K < 2583.0
Como os valores de K negativos não importam, as únicas condições relevantes para a
estabilidade são K < 9968.0 e K < 2583.0; todavia, se K for menor que 2583.0 ele
necessariamente será menor que 9968.0.
Portanto, para que o sistema da questão um seja estável, o K deve ser menor do que
2583.0.
Figura 03 – Local das raízes para o sistema da questão 01
Quando esse valor de K foi adotado no SISOTOOL para a função de transferência do
sistema da questão 01, pôde-se notar que os pólos foram deslocados para o eixo y,
tornando o sistema, na melhor das hipóteses, marginalmente estável.
Para os outros dois sistemas (questão 2 e 3), os valores aproximados de C que tonariam o
sistema estável foram obtidos computacionalmente.
Figura 04 – Local das raízes para o sistema da questão 02
Para o sistema da questão dois a constante K deve sermantida abaixo de 1621.9 para
manter o sistema estável.
Figura 04 – Local das raízes para o sistema da questão 02
Para o sistema da questão 03 o sistema será instável para qualquer valor de K acima
de 0, pois sempre haverá polos no semiplano direito.

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Tarefa 01

  • 1. TAREFA 01 – TÓPICOS ESPECIAIS EM AUTOMAÇÃO 1) Primeiramente foi esquematizado o enunciado da questão. Figura 01 – Diagrama de blocos do sistema 𝐺( 𝑠) = (𝑠+11) ( 𝑠+4)∗( 𝑠+7)∗( 𝑠+9)∗(𝑠+12) ; 𝑢( 𝑡) = 1 Aplicando a transformada de Laplace para as entradas fornecidas: 𝑅1( 𝑡) = 5 ∗ 𝑢( 𝑡)  𝑅1( 𝑠) = 5 𝑠 𝑅2( 𝑡) = 5 ∗ 𝑡 ∗ 𝑢(𝑡)  𝑅2( 𝑠) = 5 𝑠2 𝑅3( 𝑡) = 5 ∗ 𝑡2 ∗ 𝑢(𝑡)  𝑅2( 𝑠) = 10 𝑠3 A equação do erro em regime permanente para um sistema com realimentação negativa desse tipo é dada por: 𝑒(∞) = lim 𝑠→0 𝑠 ∗ 𝑅(𝑠) 1 + 𝐾 ∗ 𝐺(𝑠) Com o auxílio de um algoritmo desenvolvido no matlab foram obtidos os resultados. Figura 02 – Script utilizado para resolução da questão Para R1(t): 𝒆(∞) = 𝟏𝟓𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟏∗𝑲+𝟑𝟎𝟐𝟒 Para R2(t): 𝒆(∞) → ∞ Para R3(t): 𝒆(∞) → ∞
  • 2. 2) Para as questões dois e três foram utilizados os mesmos procedimentos da questão um, mudando somente o G(s) do algoritmo. R1(t): 𝒆(∞) = 𝟎 R2(t): 𝒆(∞) = 𝟏𝟓𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟏∗𝑲 R3(t): 𝒆(∞) → ∞ 3) R1(t): 𝒆(∞) = 𝟎 R2(t): 𝒆(∞) = 𝟎 R3(t): 𝒆(∞) = 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎 𝟏𝟏∗𝑲 4) Para determinar quais valores de K garantem estabilidade ao sistema optou-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz para o sistema da primeira questão e o SISOTOOL do matlab para os outros dois. A priori, deve ser obtida a função de transferência de malha aberta, que para esse sistema é dada pela equação: 𝑇( 𝑠) = 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 ∗ 𝐺(𝑠) 1 + 𝐾 ∗ 𝐺(𝑠) 𝑇( 𝑠) = 𝐾 ∗ 𝐺 ∗ ( 𝑠 + 4) ∗ ( 𝑠 + 7) ∗ ( 𝑠 + 9) ∗ (𝑠 + 12) ( 𝑠 + 4) ∗ ( 𝑠 + 7) ∗ ( 𝑠 + 9) ∗ ( 𝑠 + 12) + 𝐾 ∗ (𝑠 + 11) Como para determinar a estabilidade somente o denominador (pólos) interessa pelo critério de Routh, só ele será desenvolvido. ( 𝑠 + 4) ∗ ( 𝑠 + 7) ∗ ( 𝑠 + 9) ∗ ( 𝑠 + 12) + 𝐾 ∗ ( 𝑠 + 11) = 𝑠4 + 32𝑠3 + 367𝑠2 + (1776+ 𝐾) 𝑠 + (3024 + 11𝐾) A partir desse polinômio, pode ser montada a tabela de Routh.
  • 3. s4 1 367 3024 + 11 ∗ 𝐾 s3 32 1776+K 0 s2 9968 − 𝐾 32 3024 + 11 ∗ 𝐾 0 s1 −𝐾2 − 3072 ∗ 𝐾 + 14606592 9968 − 𝐾 0 0 s0 3024+11*K 0 0 Tabela 01 – Tabela de routh para um polinômio de quarto grau Para que o sistema seja estável, a primeira coluna da tabela não pode apresentar mudança de sinais, e, portanto: Para a linha s2  K < 9968.0 Para a linha s0  K > -274.9 Para a linha s1  K > -5655.0 e K < 2583.0 Como os valores de K negativos não importam, as únicas condições relevantes para a estabilidade são K < 9968.0 e K < 2583.0; todavia, se K for menor que 2583.0 ele necessariamente será menor que 9968.0. Portanto, para que o sistema da questão um seja estável, o K deve ser menor do que 2583.0. Figura 03 – Local das raízes para o sistema da questão 01
  • 4. Quando esse valor de K foi adotado no SISOTOOL para a função de transferência do sistema da questão 01, pôde-se notar que os pólos foram deslocados para o eixo y, tornando o sistema, na melhor das hipóteses, marginalmente estável. Para os outros dois sistemas (questão 2 e 3), os valores aproximados de C que tonariam o sistema estável foram obtidos computacionalmente. Figura 04 – Local das raízes para o sistema da questão 02 Para o sistema da questão dois a constante K deve sermantida abaixo de 1621.9 para manter o sistema estável.
  • 5. Figura 04 – Local das raízes para o sistema da questão 02 Para o sistema da questão 03 o sistema será instável para qualquer valor de K acima de 0, pois sempre haverá polos no semiplano direito.