O documento apresenta exemplos de sistemas adaptativos tirados do livro Adaptive Control de Astrom e Wittenmark. Dois exemplos tratam da adaptação de um ganho feedforward e de um sistema de primeira ordem usando o método de referência modelo. Um terceiro exemplo mostra uma possível falha na convergência dos parâmetros adaptativos. Diagramas de blocos e simulações são apresentados para ilustrar o comportamento dos sistemas.

1. Instituto Federal do Pará
Campus Belém
Professor: André Maurício Damasceno Ferreira
Graduação em Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Controle Adaptativo
Atividade Acadêmica de Controle Adaptativo:
Exemplos do Capítulo 5 do Livro Adaptive Control escrito por Karl J.
Astrom & Bjorn Wittenmark
Arthur Coelho Pereira
Jean Rafael Nonato Neves
Pedro Barata Piquia Junior
Renan Paraense Godinho
Belém – PA
2016

2. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará
Campus Belém
Professor: André Maurício Damasceno Ferreira
Graduação em Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Controle Adaptativo
Turma: C310-8MM
Arthur Coelho Pereira
Jean Rafael Nonato Neves
Pedro Barata Piquia Junior
Renan Paraense Godinho
Matrícula:2011310003
Matrícula: 2011310033
Matrícula: 2010310025
Matrícula: 2009310028
Atividade Acadêmica de Controle Adaptativo:
Exemplos do Capítulo 5 do Livro AdaptiveControl escrito por Karl J.
Astrom e Bjorn Wittenmark
Atividade acadêmica desenvolvido
para a disciplina Controle
Adaptativo, do curso de Engenharia
de Controle e Automação, sob
orientação do professor André
Maurício Damasceno Ferreira
como parte integrante da nota
correspondente à 2ª Avaliação.
Belém – PA
2016

3. EXEMPLO 5.1 ADAPTAÇÃO DE UM GANHO FEEDFORWARD
Considere um sistema estável de uma entrada e uma saída (SISO)
𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢(𝑡))
onde
 𝑦(𝑡) é a saída do sistema
 𝐺(𝑝) é uma função de transferência conhecida e estável
 𝑢(𝑡) é o sinal de entrada
 𝑘 é um ganho constante desconhecido
o problema é encontrar o controlador 𝑢(𝑡) =
𝑇(𝑝)
𝑅(𝑝)
𝑢 𝑐 para seguir
𝑦 𝑚(𝑡) = 𝐺 𝑚(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡))
onde k0 é um ganho constante
se 𝑘 fosse conhecida poderíamos resolver o problema
𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢(𝑡)) → 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡))
usando um simples controlador proporcional
𝑢(𝑡) = 𝜃𝑢 𝑐(𝑡)
Isto , de fato, funciona porque se 𝜃 é escolhida como
𝜃 =
𝑘0
𝑘
então
𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)( 𝜃𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑘𝐺(𝑝) (
𝑘0
𝑘
𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑦 𝑚(𝑡)
agora devemos utilizar algum recurso para adaptar o valor de θ, vamos
considerar o erro entre a saída real e a saída simulada
𝑒(𝑡, 𝜃) = 𝑦(𝑡) − 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)( 𝜃(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡)) – 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡))
vamos atualizar 𝜃(𝑡) de um jeito que 𝑒(𝑡, 𝜃) fique mínimo, vamos considerar a
função custo que mede o valor de 𝑒(𝑡, 𝜃)
𝐽(𝑡, 𝜃) = |𝑒(𝑡, 𝜃)|²
Sua derivada em função do tempo é dada pela regra da cadeia

4. 𝑑𝐽
𝑑𝑡
=
𝑑𝐽
𝑑𝑡
+
𝑑𝐽
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Sua derivada deveria ser negativa
𝑑𝐽
𝑑𝑡
= . . . +
𝑑𝐽
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
→
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= -γ[
𝑑𝐽
𝑑𝜃
]
𝑑𝐽
𝑑𝑡
= . . . + 2𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
→
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= -γ[2𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝜃
]
Calculando a derivada parcial do erro em função de 𝜃 temos
𝑑𝑒
𝑑𝜃
=
𝑑
𝑑𝜃
[ 𝑘𝐺( 𝑝)(θ(t)uc(t)] = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢𝑐(𝑡)) =
𝑘
𝑘0
𝑘0𝐺(𝑝)(𝑢𝑐(𝑡)) =
𝑘
𝑘0
𝑦𝑚(𝑡)
Então a lei de atualização para θ se torna
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= −γ [2𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝜃
] = −𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡)𝑒(𝑡, θ)
Onde 𝛾𝑛 > 0, é arbitrário desde que 𝛾𝑛 = 𝛾
𝑘
𝑘0
com um valor arbitrário de 𝛾 > 0
Lembrando que: 𝐽(・) = |𝑒(・)| →
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= − 𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡). 𝑠𝑖𝑔𝑛[𝑒(𝑡, 𝜃)].
A função de transferência utilizado no exemplo é:
𝐺(𝑠) =
1
𝑠 + 1
E
𝑘 = 1, 𝑘0 = 2
A lei de atualização para θ
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= -γ[2𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝜃
] = −𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡)𝑒(𝑡, 𝜃)
Foi feita simulações com os valores de gamma
𝛾 = 0.5, 1, 2
o sinal de entrada é igual 𝑢 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

5. Figura 1: diagrama de blocos do MRAS do exemplo 1
Fonte: Autores
Figura 2: comportamento de y e ym para gama = 0.5
Fonte: Autores
Figura 3: comportamento de 𝑦 e 𝑦 𝑚 para gama = 1
Fonte: Autores

6. Figura 4: comportamento de y e ym para gama = 2
Fonte: Autores
Figura 5: parâmetros do controlador quando o ganho adaptativo 𝛾 = 0.5; 1; 2
Fonte: Autores
EXEMPLO 5.2 MRAS PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
Suponha que a dinâmica do sistema é
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑎𝑦 + 𝑏𝑢, 𝑦 =
𝑏
𝑝+𝑎
𝑢
Enquanto a dinâmica desejada para o sistema em malha fechada é
𝑑
𝑑𝑡
𝑦 𝑚
= −𝑎 𝑚 𝑦 𝑚
+ 𝑏 𝑚 𝑢 𝑐 → 𝑦 𝑚
=
𝑏 𝑚
𝑝 + 𝑎 𝑚
𝑢 𝑐
O controlador proporcional que resolve esse problema é dado por
𝑢(𝑡) =
𝑇(𝑝)
𝑅(𝑝)
𝑢𝑐(𝑡) −
𝑆(𝑝)
𝑅(𝑝)
𝑦(𝑡) = 𝜃1𝑢𝑐(𝑡) – 𝜃2𝑦(𝑡)
onde os ganhos para garantir a resposta do sistema desejado são

7. 𝜃1 = 𝜃1
0
=
𝑏𝑚
𝑏
, 𝜃 2 = 𝜃2
0
=
𝑎𝑚−𝑎
𝑏
introduzindo o sinal do erro
𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) =
𝑏𝜃1
𝑝 + 𝑎 + 𝑏𝜃2
𝑢 𝑐(𝑡) −
𝑏𝜃1
𝑝 + 𝑎 + 𝑏𝜃2
calculando a derivada parcial do erro em função de 𝜃1 e 𝜃2, temos
𝜕𝑒
𝜕θ1
=
𝑏
𝑝+𝑎+𝑏θ2
𝑢 𝑐(𝑡)
𝜕𝑒
𝜕θ2
= −
𝑏θ1b
(𝑝+𝑎+𝑏θ2)²
𝑢 𝑐(𝑡)=
−𝑏
𝑝+𝑎+𝑏θ2
y(t)
Ambas as fórmulas podem ser não usadas para atualizar os valores de 𝜃1 e
𝜃2, entretanto as constantes 𝑎 e 𝑏 não são conhecidas, nada pode ser feito,
então assumiremos que podemos inicializar o valor de 𝜃2 arredondando o seu
valor nominal
𝜃2 ≈ 𝜃2
0
=
𝑎𝑚−𝑎
𝑏
→ (𝑎 + 𝑏𝜃2) ≈ 𝑎 𝑚
𝑑
𝑑𝑡
𝜃2 ≈ −𝛾𝑛 𝑒(𝑡) [
𝑎𝑚
𝑠+𝑎𝑚
𝑢 𝑐(𝑡)]
𝑑
𝑑𝑡
𝜃2 ≈ −𝛾𝑛 𝑒(𝑡) [
𝑎𝑚
𝑠+𝑎𝑚
𝑦(𝑡)]
Onde
𝛾𝑛 = 𝛾
𝑏
𝑎 𝑚

8. Figura 6: diagrama de blocos de um controlador modelo-referência para um processo de primeira
ordem
Fonte: Autores
Figura 7: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para 𝑔𝑎𝑚𝑎 = 0.2
Fonte: Autores

9. Figura 8: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para gama = 1
Fonte: Autores
Figura 9: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para gama = 5
Fonte: Autores

10. Figura 10: parâmetros dos tetas 1 e 2 para gama = 0.2, 1, 5
Fonte: Autores
EXEMPLO 5.3 FALHA NA CONVERGÊNCIA DOS PARÂMETROS
Considere o sistema estático com um ganho desconhecido 𝑘:
𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡), 𝐺(𝑠) = 1
e o problema de amplificar o sinal uc(t) foi escolhido
𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡)
com 𝑢(𝑡) = 𝜃𝑢 𝑐(𝑡) introduzimos o erro
𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘(𝜃𝑢 𝑚(𝑡)) – 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡) = 𝑘(𝜃 – 𝜃0)𝑢 𝑐(𝑡)
com 𝜃0 = 𝑘0/𝑘
𝑑
𝑑𝑡
𝜃(𝑡) = −𝛾𝑘²(𝑢 𝑐(𝑡))²( 𝜃(𝑡) − 𝜃0)
𝑑
𝑑𝑡
(𝜃(𝑡) − 𝜃0)= −𝛾𝑛 𝑘(𝑢 𝑐(𝑡))²( 𝜃(𝑡) − 𝜃0)
( 𝜃(𝑡) − 𝜃0) = 𝑒𝑥𝑝 {−𝛾𝑛 𝑘 ∫(𝑢 𝑐(𝑡))²𝑑𝑡
𝑡
0
} ( 𝜃(0) − 𝜃0)
𝑒(𝑡) = 𝑘 exp {−𝛾𝑛 𝑘 ∫ (uc(t))
2
dt
t
0
} ( 𝜃(0) − 𝜃0
)⏟
𝜃(𝑡) − 𝜃0
u(t)
para o sistema e o modelo dado por
𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡), 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡)

11. defini-se 𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) e obtemos
𝑢(𝑡) = 𝜃(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡),
𝑑
𝑑𝑡
𝜃(𝑡) = −𝛾𝑛 𝑢 𝑐(𝑡)𝑒(𝑡)
como resultado obtemos
𝜃(𝑡) = 𝜃0
+ 𝜎(𝑡) , 𝑒(𝑡) = 𝑘 𝜎(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡)
𝜎(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝{−𝛾𝑛 𝑘2
𝐼𝑡}( 𝜃(0) − 𝜃0), 𝐼𝑡 = ∫ (𝑢 𝑐(𝜏))
2
𝑑𝜏
𝑡
0
se 𝜃(0) ≠ 𝜃0
o erro sempre irá convergir para zero quando 𝑡 ⟶ ∞, porque a
integral 𝐼𝑡 diverge ou 𝑢 𝑐(𝑡) ⟶ 0. Os valores limites do parâmetro 𝜃 dependem
das propriedades do sinal de entrada. É comum o erro tornar-se nulo sem que
os parâmetros convirjam para seus corretos valores, uma característica de todo
sistema adaptativo. Além disso, o sinal de entrada deve apresentar
determinadas propriedades para que ocorra a convergência desses
parâmetros, ou seja, o sinal de entrada do processo deve ser persistentemente
excitante.
𝑒𝑥𝑝{−𝛾𝑛 𝑘 𝐼𝑡} → 0 ou 𝑢 𝑐 → 0 ou It = ∫ (uc(t))
2
dt
t
0
→ ∞
Figura 11: diagrama de blocos do exemplo 5.3
Fonte: Autores

12. Figura 12: comportamento de erro e convergência dos parâmetros
Fonte: Autores
Podemos perceber que neste exemplo proposto, os parâmetros tiveram suas
convergências completadas, isso se deve ao fato da amplitude do sinal de
entrada ser pequeno.
EXEMPLO 5.4 ESCOLHA DO GANHO DE ADAPTAÇÃO
Reaproveitando a função do exemplo 5.1
𝐺(𝑠) =
1
𝑠+1
, 𝑘 = 1, 𝑘0 = 2
A equação característica é
𝑠 + 𝜇
1
𝑠 + 1
= 0 ↔ 𝑠² + 𝑠 + 𝜇 = 0
tem um zero estável se e somente se:
𝜇 = 𝛾𝑘𝑦 𝑚
0
𝑢0 𝑐 = 𝛾(𝑘0 𝐺(0)𝑢0 𝑐)𝑢0 𝑐 = 2𝛾(𝑢0 𝑐)² > 0
então γ > 0 funcionará, perceba, entretanto, que o transitório depende de 𝑢 𝑐
0
o amortecimento relativo é ζ ≈
1
2√ 𝜇
=
1
2√2γ
(𝑢 𝑐
0
)-1
μ ≈ 1 é razoável ← sendo γ ≈ 0.5 para 𝑢 𝑐
0
≈ 1 em média

13. Seguindo a equação 5.13 do livro, o sistema adaptativo será instável se a
função de transferência G(s) tiver um pólo em excesso maior que 1 e o
parâmetro μ na equação 5.14 for suficientemente grande. O parâmetro μ é
grande se os sinais forem grandes ou se o ganho de adaptação for grande. O
comportamento do sistema depende drasticamente do nível do sinal.
Figura 13: diagrama de blocos do exemplo 5.4
Fonte: Autores
Figura 14: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e θ para um sinal de entrada uc = 1
Fonte: Autores

14. Figura 15: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e 𝜃 para um sinal de entrada 𝑢 𝑐 = 2
Fonte: Autores
Figura 16: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e 𝜃 para um sinal de entrada 𝑢 𝑐 = 5
Fonte: Autores

15. EXEMPLO 5.5 ESTABILIDADE DEPENDENDO DA AMPLITUDE DO SINAL
Considere o sistema estável com grau relativo = 2
𝐺(𝑠) =
1
𝑠² + 𝑎1𝑠 + 𝑎2
; 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0
A equação característica
𝑠 + 𝜇
1
𝑠² + 𝑎1𝑠 + 𝑎2
= 0 ↔ 𝑠³ + 𝑎1𝑠² + 𝑎2𝑠 + 𝜇 = 0
tem zeros estáveis se e somente se
𝜇 > 0 e 𝑎1 𝑎2 > 𝜇 = 𝛾𝑘𝑦 𝑚
0
𝑢0 𝑐
com qualquer escolha de 𝛾 > 0, a estabilidade é perdida para magnitudes
suficientemente grandes do sinal de referencia 𝑢 𝑐
0
. Nesta simulação foi inserido
um valor para 𝜇 = 0.0001, obedecendo a condição acima.
Figura 17: diagrama de blocos do exemplo 5.5
Fonte: Autores

16. Figura 18: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 0.1
Fonte: Autores
Figura 19: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 1
Fonte: Autores

17. Figura 20: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 1
Fonte: Autores
A Figura acima mostra claramente que a convergência da saída depende da
amplitude do sinal de entrada, sendo muito lenta quando a amplitude é baixa
ou se tornando instável quando ela é relativamente alta. Para se resolver este
problema a regra MIT foi alterada para não ser mais dependente da amplitude
do sinal de entrada.
Reescrevendo-se a Regra MIT, tem-se:
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝛾𝜑𝑒
Onde 𝜑 = −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ . Introduz-se então, a seguinte regra de ajuste denominada
Regra MIT Normalizada, onde a equação abaixo é a derivada de sensibilidade
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝛾𝜑𝑒
𝛼 + 𝜑 𝑇 𝜑
onde 𝛼 > 0 para evitar problemas quando 𝜑 for pequeno.
Desta forma, a estabilidade passa a ser avaliada pela equação:
𝑠 + 𝛾
𝜑 𝑜
𝑢 𝑐
𝑜
𝛼 + 𝜑 𝑇 𝜑
𝑘𝐺(𝑠) = 0

18. Obs: de acordo com o livro 𝜑 = −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ , onde: 𝜕𝑒 𝜕𝜃 =⁄ k/k0 𝑦 𝑚, como neste
exemplo k = k0 = 1, para simulação foi considerado −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ = 𝑦 𝑚
Como 𝜑 𝑜
é proporcional a 𝑢 𝑐
𝑜
, a raiz da equação acima não irá sofrer grandes
alterações com a variação da amplitude do sinal.
Os gráficos da Figura 5 foram gerados com as mesmas condições que os
gráficos da Figura 4, ou seja, 𝑘 = 𝑎1 = 𝑎2 = 1 e 𝛾 = 0,1, neste caso temos o
acréscimo do parâmetro 𝑎 = 0.001. Isto deixa claro que a regra MIT
normalizada obtém respostas bem mais satisfatórias a qualquer que seja a
amplitude do sinal de entrada, do que a regra MIT convencional.
Figura 21: Diagrama de blocos do exemplo 5.5 para regra MIT normalizada
Fonte: Autores
Figura 22: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 0.1
Fonte: Autores

19. Figura 23: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para uc = 1
Fonte: Autores
Figura 24: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para uc = 3.5
Fonte: Autores