Apostila juliano eme905

UNIVERSIDADE FEDERAL DE DE ITAJUBÁ

INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

NOTAS DE AULA DE EME12

Controle de Sistemas Mecânicos

Autor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior

08/2007

Sumário

1 Introdução aos Sistemas de Controle 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Revisão Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Deﬁnições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Exemplos de Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.1 Sistema de Controle de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.2 Sistema de Controle de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.3 Conﬁguração de um Sistema de controle de retroação . . . . . . . . 4
1.4.4 Sistema de Controle de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Transformada de Laplace 7
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Pólos e Zeros de X(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Função Impulso Unitário δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Função Degrau Unitário u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . 10
2.4 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting) . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.3 Deslocamento no Domínio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling) . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.5 Reverso do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.6 Diferenciação no Domínio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.7 Diferenciação no Domínio de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.8 Integração no Domínio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.9 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Fórmula de Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace . . . . . . . . 14

Prof. José Juliano de Lima Jr.

ii SUMÁRIO

2.5.3 Expansão em Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 A função do Sistema ou Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.1 Função do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.2 Caracterização de um Sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.3 Função do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equações
Diferenciais Lineares de Coeﬁciente Constantes . . . . . . . . . . . 20
2.6.4 Interconexões entre Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Análise Dinâmica de Processos 25
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Modelo Matemático Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Solução de um sistema com excitação harmônica . . . . . . . . . . . 29
3.3 Modelagem no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Sistemas de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.2 Exemplo de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.3 Constante de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.2 Exemplos de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6.3 Combinação de dois sistemas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . 51
3.7 Linearização de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear - Função de
uma Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7.2 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear - Função de
duas Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7.3 Exemplo de Linearização de uma Equação Não-Linear . . . . . . . . 56

4 Modelos Matemáticos de Sistemas 59
4.1 Sistema de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


Lista de Figuras

1.1 Sistema de Controle de Velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sistema de Controle de Nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Diagrama de Blocos do Sistema de Nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Sistema de Controle com Realimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . 5
1.7 Evolução da temperatura após um incremento r no valor da referência da
temperatura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10
e atraso=0,025. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Representação no Plano s de X(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Função Transferência do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Sistema em Série no Domínio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Sistema em Série no Domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Sistema em Paralelo no Domínio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Sistema em Paralelo no Domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Sistema de 1a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Função Transferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Modelo de Estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Comparação entre as Respostas da Equação do Sistema de Nível de Lí-
quido Não-Linear e Linearizada - hss : resposta em regime permanente; h0 :
altura do nível em regime permanente; ∆Qi : pequena variação na vazão de
entrada; Qi0 : vazão de regime permanente; ∆h: pequena variação do nível
e ∆Qi ≤ 0, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Qi0
3.6 Linearizãção da Curva Q0 (t) × H(t) em torno do ponto (H,Q). . . . . . . . 38
3.7 Sistema de Aquecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Curva de Resposta com Excitação Degrau Unitário - Constante de Tempo. 42
3.9 Função Transferência de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . 46
3.10 Modelo de Estados de Espaço de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . 47


iv LISTA DE FIGURAS

3.11 Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . 47
3.12 Sistema Massa-Mola com Excitação Impulso Unitário. . . . . . . . . . . . . 48
3.13 Redutor de Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.14 Sistemas de 1a Ordem Gerando um Sistema de 2a. Ordem; sem e com
efeito de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.15 Sistemas de 2a. Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.16 Resposta da Vazão a uma Excitação Degrau de Reservatórios em Série c/
e s/ Interação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Vazão de Saída em Regime Estacionário em Função da Pressão da Altura
da Coluna de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Capítulo 1

Introdução aos Sistemas de Controle

1.1 Introdução
O controle automático tem desempenhado um papel vital no avanço da engenharia,
com aplicações em:

• Veículos espaciais;

• Sistema de guiamento de mísseis;

• Sistemas robóticos;

• Processos industriais e

• Sistemas de manufatura - máquinas ferramentas de comando numérico.

A teoria de controle e os sistemas de controle automático propiciam meios para atingir:

• Desempenho ótimo de sistemas dinâmicos;

• Melhoria na produtividade e

• Alívio de trabalho enfadonho de muitas operações manuais repetitivas e muito mais.

Os engenheiros e cientistas, em sua maioria, devem possuir um bom conhecimento
deste campo.

1.2 Revisão Histórica
• No século XVIII, James Watt construiu um controlador centrífugo para o controle
de velocidade de uma máquina a vapor;


2 Introdução aos Sistemas de Controle

• Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automáticos para pilotar navios
e mostrou como poderia determinar sua estabilidade a partir da representação do
sistema através de equações diferenciais;

• Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento relativamente simples para deter-
minar a estabilidade de sistema a malha fechada com base na resposta estacionária
de sistemas a malha aberta a excitações senoidais;

• Em 1934, Hazen discutiu o projeto de servomecanismo a relé capaz de seguir, de
muito perto, uma excitação variável no tempo;

• Durante a década de 1940, os métodos de resposta em frequência tornaram possível
aos engenheiros projetar sistemas de controle a malha fechada satisfazendo requisitos
de desempenho;

• No ﬁnal da década de 1940 até o início dos anos 50 desenvolveu-se completamente
o método do lugar das raízes graças a Evans (Teoria Clássica de Controle - SISO);

• A partir de 1960, com a disponibilidade dos computadores digitais, tornou-se pos-
sível a análise no domínio do tempo de sistemas complexos (Teoria Moderna de
Controle - MIMO - variáveis de estados);

• Durante o período de 1960 a 1980, foram investigados os controles ótimos de sistemas
determinísticos e estocásticos bem como o controle adaptativo e o controle com
aprendizado;

• De 1980 aos dias de hoje, os desenvolvimentos na teoria moderna de controle têm
se concentrado no controle robusto, no controle H∞ e tópicos associados.

1.3 Deﬁnições
Variável controlada: é a grandeza ou a condição que é medida e controlada. É normal-
mente a variável de saída do sistema.

Variável manipulada: é a grandeza ou condição variada pelo controlador de modo a
afetar o valor da variável controlada.

Distúrbio: é caracterizado por um sinal que tende a afetar de modo adverso o valor da
variável de saída de um sistema.

Sistema: é uma combinação de componentes que agem juntos e constituem um conjunto
para atingir objetivos.


1.4 Exemplos de Sistemas de Controle 3

Controle por Realimentação: é uma operação que na presença de perturbações, tende
a reduzir a diferença entre a saída do sistema e a entrada de referência.

Sistema de controle por realimentação: é aquele que tende a manter uma relação
pré-determinada entre saída e entrada pela comparação destas e é empregando a
diferença como meio de controle.

Servomecanismo: é um sistema de controle por realimentação em que a saída é: posição
mecânica, velocidade ou aceleração.

Sistema Regulador Automático: é um sistema de controle por realimentação em que
a entrada (referência) ou a saída é sempre constante.

Sistema de controle de processo: é um sistema de regulador automático em que a
saída é uma variável como: temperatura, pressão, ﬂuxo, nível de líquido ou pH.

Sistema de Controle por Malha Fechada (closed loop): é aquele em que o sinal
de saída tem uma atuação direta sobre a ação controle

Sistema de Controle por Malha Aberta (open loop): é aquele em que a saída não
tem efeito sobre a ação de controle.

1.4 Exemplos de Sistemas de Controle
1.4.1 Sistema de Controle de Velocidade
O princípio básico do regulador de Watt para controlar a velocidade de um motor de
combustão interna é ilustrado no diagrama esquemático da ﬁgura (1.1). A quantidade de
combustível admitida no motor é ajustada de acordo com a diferença entre a velocidade
desejada e a velocidade real do motor.

Figura 1.1: Sistema de Controle de Velocidade.



1.4.2 Sistema de Controle de Nível de Líquido
A figura (1.2) mostra um sistema automático de controle de nível onde a vazão de
entrada do fluido no reservatório é controlada em função do nível do reservatório através
de um sistema de medição de nível, cuja leitura é enviada ao controlador, que envia o
sinal de controle a válvula pneumática de controle de vazão.

Figura 1.2: Sistema de Controle de Nível.

A figura (1.3) apresenta o diagrama de blocos correspondente ao sistema de controle
de nível apresentado na figura(1.2).

Figura 1.3: Diagrama de Blocos do Sistema de Nível.

1.4.3 Configuração de um Sistema de controle de retroação
A figura (1.4) apresenta a estrutura de um sistema de controle automático por retro-
ação. A retroação provê, um sistema, com a capacidade de se adaptar as variações do
ambiente. Quando a refer encia é um sinal normalmente constante, se está diante de um
sistema regulador. Se a referência é variável, como acontece, por exemplo, em um radar
de rastreamento de aeronaves, se está ante a um servossistema.

Figura 1.4: Sistema de Controle com Realimentação.


1.4 Exemplos de Sistemas de Controle 5

1.4.4 Sistema de Controle de temperatura
Na figura (1.5) apresenta-se um sistema cujo objetivo é manter a temperatura de uma
estufa num valor preestabelecido. A estufa é aquecida à custa de uma circulação forçada
de ar quente, cuja velocidade é determinada por um ventilador.

Figura 1.5: Sistema de Controle de Temperatura.

Em virtude da velocidade finita de circulação de ar quente, qualquer variação de
temperatura no queimador será detectada pelo termômetro colocado na estufa, apenas L/v
segundos mais tarde (L é o comprimento da tubulação e v velocidade do ar na tubulação).
Se, no instante t = 0, a referência for incrementada de r, o erro sofrerá imediatamente esse
acréscimo e manter-se-á nesse valor durante L/v segundos, começando então a diminuir,
e acabando por mudar de sinal num instante posterior, que designar-se-à por tc .

Figura 1.6: Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura.

Quando isso acontece, o controlador ordena a redução do calor fornecido a estufa.
Contudo, isso só se fará semtir também L/v segundos mais tarde. Até lá, o ar que foi
atravessando a estufa transportou mais calor do que o necessário, pelo que a temperatura
da estufa no instante tc + L/v estará acima do valor desejado. Consequentemente, o
mesmo padrãp irá se repetir, mas agora com o sinal contrário, e assim sucessivamente. A
temperatura oscilará com período aproximado de 4L/v, conforme ilustrado na figura (1.7)
curva (a). Reduzindo o valor de K (procedimento cauteloso), figura (1.6), pode-se evitar
as oscilações - mas à custa da precisão e velocidade de resposta. Este fato é patente na



curva (b) da ﬁgura (1.7), onde se pode ver a temperatura convergir muito lentamente, e
de forma monótona, para um valor mais baixo.

Figura 1.7: Evolução da temperatura após um incremento r no valor da referência da tem-
peratura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10 e atraso=0,025.

Numa tentativa de conseguir uma resposta que fosse simultameamente rápida e precisa,
quadriplicou-se a velocidade do ar, ﬁxando-se o ganho no mesmo valor da curva (a). Isto
resultou numa melhoria drástica do desempenho conforme se constata da curva (c).


Capítulo 2

Transformada de Laplace

2.1 Introdução
A Transformada de Laplace é uma das mais importantes ferramentas disponíveis para
a análise e projeto de sistemas lineares. É um método operacional que pode ser usado
vantajosamente par resolver equações diferenciais lineares invariantes no tempo. Sua
vantagem principal é que a diferenciação de uma função no tempo corresponde a multipli-
cação da transforma por uma variável complexa s, e assim a equação diferencial no tempo
torna-se uma equação algébrica em s. A solução da equação diferencial pode ser então
encontrada usando uma tabela de transformada de Laplace ou pela técnica da expan-
são em frações parciais. Outra vantagem da Transformada de Laplace é que ao resolver
a equação diferencial, as condições iniciais são automaticamente levadas em conta, e as
soluções particular e complementar são obtidas simultaneamente.

2.2 A Transformada de Laplace
A função X(s) na equação (2.1) é chamada de transformada de Laplace de x(t). Para
x(t) contínuo no tempo, a transformada de Laplace é deﬁnida como:

∞

X(s) = x(t)e−st dt (2.1)
−∞

A variável s é geralmente complexa e expressa como:

s = σ + jω (2.2)

A transformada de Laplace deﬁnida na equação (2.1) é freqüentemente chamada de


8 Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Bilateral (ou de dois lados) em contraste com a seguinte defini-
ção:

∞

XI (s) = x(t)e−st dt (2.3)
0−

onde

0− = lim (0 − ε)
ε→0

Claramente a transformadas bilateral e unilateral são equivalentes somente se x(t) = 0
para t < 0.
A equação (2.1) é algumas vezes considerada um operador que transforma um sinal
x(t) em uma função X(s), simbolicamente representada por:

X(s) = L {x(t)} (2.4)

e o sinal x(t) e sua transformada de Laplace X(s) são ditas que formam um par da
transformada de Laplace, escrita como:

x(t) ↔ X(s) (2.5)

2.2.1 Pólos e Zeros de X(s)
Normalmente X(s) é uma função racional em s, isto é:

b0 sm + b1 sm−1 + ... + bm b0 (s − z1 )...(s − zm )
X(s) = = (2.6)
a0 sn + a1 sn−1 + ... + an a0 (s − p1 )...(s − pn )

Os coeficientes ak e bk são constantes reais, e m e n são inteiros positivos. X(s) é
chamada de função racional própria se n > m e imprópria se n ≤ m.
As raízes do polinômio do numerador, zk , são chamadas de zeros de X(s), porque
X(s) = 0 para esses valores do s. Da mesma maneira, as raízes do polinômio do denomi-
nador, pk , são chamadas de pólos de X(s), porque X(s) é infinito para esses valores de
s.
Exceto por um fator de escala b0 /a0 , X(s) pode ser completamente especificado pelos
seus pólos e zeros.


2.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns 9

Assim, uma representação muito compacta de X(s) no plano s é mostrar a localização
dos pólos e zeros em conjunto com a ROC.
Tradicionalmente, um “x” é usado para indicar cada localização do pólo e “o” para
indicar cada zero.
Por exemplo, se

2s + 4 (s + 2)
X(s) = =2 Re(s) > −1
s2 + 4s + 3 (s + 1) (s + 3)

Observe que X(s) tem um zero para s = −2 e dois pólos s = −1 e s = −3 com fator
de escala de 2.

Figura 2.1: Representação no Plano s de X(s).

2.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns

2.3.1 Função Impulso Unitário δ(t)
Com auxílio das equações (2.7) e (2.8) temos:

∞

X(s) = x(t)e−st dt (2.7)
−∞

∞

φ(t)δ(t)dt = φ(0) (2.8)
−∞

tem-se:



∞

L {δ (t)} = δ (t) e−st dt = 1 ∀ s (2.9)
−∞

2.3.2 Função Degrau Unitário u(t)
A transformada de Lapace de u(t) é dada pela equação (2.10), como:

∞ ∞
∞
−st −st 1 1
L {u (t)} = u (t) e dt = e dt = − e−st = Re(s) > 0 (2.10)
s 0+ s
−∞ 0+

onde 0+ = lim (0 + ε)
ε →0

2.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns
Na tabela 2.1 são apresentados alguns pares de transformada de Laplace com as res-
pectivas regiões de convergência.

Tabela 2.1: Pares de Algumas Transformadas de Laplace.
x(t) X(s) ROC
δ(t) 1 ∀s
1
u(t) s
Re(s) > 0
1
−u(−t) s
Re(s) < 0
1
tu(t) s2
Re(s) > 0
k k!
t u(t) sk + 1
Re(s) > 0
1
e−at u(t) s+a
Re(s) > - Re(a)
1
−e−at u(−t) s+a
Re(s) < - Re(a)
−at 1
te u(t) (s + a)2
Re(s) > - Re(a)
−at 1
−te u(−t) (s + a)2
Re(s) < - Re(a)
s
cos ω0 tu(t) s2 +ω0 2 Re(s) > 0
ω0
senω0 tu(t) s2 +ω0 2 Re(s) > 0
s +a
e−at cos ω0 tu (t) (s + a)2 + ω2 Re(s) >– Re(a)
0
ω0
e−at sen ω0 t u (t) (s + a )2 + ω0
2 Re(s) > - Re(a)

2.4 Propriedades da Transformada de Laplace
As principais propriedades são apresentadas a seguir:


2.4 Propriedades da Transformada de Laplace 11

2.4.1 Linearidade
Se

x1 (t) ↔ X1 (s) com ROC = R1

x2 (t) ↔ X2 (s) com ROC = R2

então

a1 x1 (t) + a2 x2 (t) ↔ a1 X1 (s) + a2 X2 (s) R ⊃ R1 ∩ R2 (2.11)

A ⊃ B ⇒ que A contém B e A ∩ B ⇒ A interseção com B.

2.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting)
Se

x(t) ↔ X(s) com ROC = R

então

x(t − t0 ) ↔ e−st0 X(s) com R = R (2.12)

A equação (2.12) indica que a ROC antes e depois da operação de deslocamento no
tempo são as mesmas.

2.4.3 Deslocamento no Domínio s
Se


então

es0 t x(t) ↔ X(s − s0 ) com R = R + Re(s0 ) (2.13)



2.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling)
Se


então

1 s
x(at) ↔ X com R = aR (2.14)
|a| a

A equação (2.14) indica que um escalonamento de variável do tempo t por um fator a
causa um escalonamento inverso de variável s por 1/a, como também, um escalonamento
da amplitude de X(s/a) por 1/|a|.

2.4.5 Reverso do Tempo
Se


então

x (−t) ↔ X(−s) com R = −R (2.15)

Assim, um reverso no tempo x(t) produz um reverso de ambos os eixos σ- e jω− no
plano s. A equação (2.15) é realmente obtida fazendo a = −1 na equação(2.14).

2.4.6 Diferenciação no Domínio do Tempo
Se


então

dx(t)
↔ sX(s) − x(0±) R ⊃ R (2.16)
dt
d2 x(t)
2
↔ s2 X(s) − sx(0±) − x(0±) R ⊃ R
˙ (2.17)
dt

O efeito da diferenciação no tempo é a multiplicação da correspondente transformada
de Laplace por s. A ROC associada é inalterada a menos que exista um cancelamento
dos pólos e zeros em s = 0.


2.4 Propriedades da Transformada de Laplace 13

2.4.7 Diferenciação no Domínio de s
Se


então

dX(s)
− tx(t) ↔ R =R (2.18)
ds

2.4.8 Integração no Domínio do Tempo
Se


então

t
1
x(τ ) dτ ↔ X(s) R = R ∩ {Re (s) > 0} (2.19)
s
0+

2.4.9 Convolução
Se

x1 (t) ↔ X1 (s) com ROC = R1

x2 (t) ↔ X2 (s) com ROC = R2

então

x1 (t) ∗ x2 (t) ↔ X1 (s)X2 (s) com R ⊃ R1 ∩ R2 (2.20)

Essa propriedade de convolução é uma regra importante na analise e projeto de siste-
mas LTI contínuos no tempo.



Tabela 2.2: Propriedades da Transformada de Laplace.
Propriedade Sinal Transformada ROC
x(t) X(s) R
x1 (t) X1 (s) R1
x2 (t) X2 (t) R2
Linearidade a1 x1 (t) + a2 x2 (t) a1 X1 (s) + a2 X2 (s) R ⊃ R1 ∩ R2
Deslocamento no Tempo x(t − t0 ) e−st0 X(s) R =R
s0 t
Deslocamento em s e x(t) X(s − s0 ) R = R + Re(s0 )
1
Escalonamento no Tempo x(at) |a|
X(s) R = aR
Reverso no Tempo x(−t) X(−s) R = −R
dx(t)
Diferenciação em t dt
sX(s) − x(0±) R ⊃R
dX(s)
Diferenciação em s −tx(t) ds
R =R
t
1
Integração x(τ )dτ s
X(s) R ⊃ R ∩ {Re(s) > 0}
0+
Convolução x1 ∗ x2 X1 (s)X2 (s) R ⊃ R1 ∩ R2

2.5 Transformada Inversa de Laplace
A inversão da transformada do Laplace para encontrar o sinal x(t) através de sua
transformada X(s) é chamada de Transformada inversa de Laplace e é simbolicamente
escrita como:

x(t) = L −1 {X(s)} (2.21)

2.5.1 Fórmula de Inversão
Existe um procedimento que é aplicável a todas as classes de transformada de funções
que envolvem o cálculo da integral de linha no plano complexo, isto é,

c+j ∞
1
x(t) = X(s) est ds (2.22)
2πj c−j ∞

Nesta integral, o c é escolhido como real, tal que se a ROC do X(s) é σ1 < Re(s) < σ2 ,
então σ1 < c < σ2
O cálculo da integral da transformada inversa requer um conhecimento de teoria de
variáveis complexas.

2.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace
No segundo método para inversão de X(s), nós temos que expressar X(s) como uma
soma


2.5 Transformada Inversa de Laplace 15

X(s) = X1 (s) + X2 (s) + ... + Xn (s) (2.23)

onde X1 (s), X2 (s),...,Xn (s) são funções com transformadas inversas conhecidas x1 (t),
x2 (t),...,xn (t).
Da propriedade de linearidade (2.11) segue que:

x(t) = x1 (t) + x2 (t) + ... + xn (t) (2.24)

2.5.3 Expansão em Frações Parciais
Se X(s) é uma função racional, isto é da forma:

N (s) (s − z1 ) ... (s − zm )
X(s) = = k (2.25)
D (s) (s − p1 ) ... (s − pn )

Uma técnica simples baseada na expansão das frações parciais pode ser usada para a
inversão do X(s).

a. Quando X(s) é uma função racional própria, isto é, m < n

• Pólo Simples
Se todos os pólos de X(s), isto é, todos os zeros de D(s), são simples (ou
distintos), então X(s) pode ser escrito como:

c1 cn
X(s) = + ... + (2.26)
s − p1 s − pn

onde os coeﬁcientes ck são dados por:

ck = (s − pk ) X (s)|s = pk (2.27)

Por exemplo:

2s + 4 (s + 2) c1 c2
X (s) = = 2 = +
s2 + 4s + 3 (s + 1) (s + 3) s+1 s+3



2 (s + 2) 2 (− 1 + 2) 2
c1 = (s + 1) X (s) |s = − 1 = |s = − 1 = = = 1
(s + 3) (− 1 + 3) 2

2 (s + 2) 2 (− 3 + 2) −2
c2 = (s + 3) X (s) |s = − 3 = |s = − 3 = = = 1
(s + 1) (− 3 + 2) −2

então:

1 1
X (s) = + Re(s) > - 1
s+1 s+3

x (t) = e− t u (t) + e− 3 t u (t) = e− t + e− 3 t u (t)

x(t) = e−t + e−3t u(t)

• Múltiplos Pólos
Se D(s) tem múltiplas raízes, isto é, se ele contém fatores na forma (s − pi )r
diz-se que pi é o pólo múltiplo de X(s) com multiplicidade r.
Então a expansão do X(s) irá consistir dos termos na forma, com n pólos não
repetidos e r pólos repetidos:

c1 cn λ1 λ2 λr
X(s) = +...+ + + 2 + ... + (2.28)
s − p1 s − pn s − pi (s − pi ) (s − pi )r

onde

1 dk
λr−k = [(s − pi )r X(s)] (2.29)
k! dsk s = pi ; k = 0, . . . , r − 1

Por exemplo:

s2 + 2s + 5 c1 λ1 λ2
X(s) = 2
= + +
(s + 3)(s + 5) s + 3 s + 5 (s + 5)2


2.5 Transformada Inversa de Laplace 17

onde:

s2 + 2s + 5 9−6+5 8
c1 = (s + 3)X(s) |s=−3 = 2
|s=−3 = 2
= =2
(s + 5) (−3 + 5) 4

Fazendo r = 2 e k = 0 tem-se:

1 d0 s2 + 2s + 5 25 − 10 + 5
λ2 = (s + 5)2 X(s) s=−5
= |s=−5 = = −10
0! ds0 s+3 −2

Fazendo r = 2 e k = 1 tem-se:

1 d d s2 + 2s + 5
λ1 = (s + 5)2 X(s) s=−5
=
1! ds ds s+3 s=−5

(2s + 2)(s + 3) − (s2 + 2s + 5)1 25 − 30 + 1
= = = −1
(s + 3)2 s=−5 4

Logo

2 1 10
X(s) = − − Re(s) > −3
s + 3 s + 5 (s + 5)2

x(t) = 2e−3t u(t) − e−5t u(t) − 10te−5t u(t) = 2e−3t − e−5t − 10te−5t u(t)

b. Quando X(s) é uma função racional imprópria, isto é, m ≥ n

Se m ≥ n, por várias divisões podemos escrever X(s) na forma:

N (s) R (s)
X (s) = = Q (s) + (2.30)
D (s) D (s)

onde N (s) é o numerador e D(s) o denominador, os quais são polinômios em s de
X(s).

O quociente Q(s) é um polinômio em s com grau m−n, o resto R(s) é um polinômio
em s com grau estritamente menor de n.



A transformada inversa de Laplace do X(s), então pode ser determinada pela trans-
formada inversa do Q(s) e de R(s)/D(s), com R(s)/D(s) são funções polinomiais
próprias.

A transformada inversa de Laplace de Q(s) pode ser calculada usando o par de
transformada:

dk δ (t)
k
↔ sk k = 1, 2, 3... (2.31)
dt

2.6 A função do Sistema ou Função de Transferência

2.6.1 Função do Sistema

Sabe-se que a saída y(t) de um sistema LTI contínuo no tempo é igual a convolução
de entrada x(t) com a resposta impulsiva h(t), isto é,

y(t) = x(t) ∗ h(t) (2.32)

Aplicando a propriedade de convolução, equação (2.20), obtém-se:

Y (s) = X(s)H(s) (2.33)

onde Y (s), X(s) e H(s) são as transformadas de Laplace de y(t), x(t) e h(t) respectiva-
mente.
A equação (2.33) pode ser expressa como:

Y (s)
H(s) = (2.34)
X(s)

A transformada de Laplace H(s) de h(t) é chamada de Função do Sistema ou Função
Transferência do Sistema.
Pela equação (2.34), a função do sistema H(s) pode ser deﬁnida como a razão entre
transformada de Laplace da saída y(t) e a transformada de Laplace de entrada x(t).
A função do sistema H(s) caracteriza completamente o sistema, porque a resposta ao
impulso h(t) caracteriza completamente o sistema.


2.6 A função do Sistema ou Função de Transferência 19

Figura 2.2: Função Transferência do Sistema.

2.6.2 Caracterização de um Sistema LTI

Muitas propriedades de um sistema LTI contínuo no tempo são diretamente associadas
com as características de H(s) nos plano s, em particular com a localização de pólos da
ROC (relação entre causa e efeito).

Causalidade

Para um sistema LTI contínuo no tempo, temos:

h(t) = 0 t < 0 (2.35)

Como h(t) é um sinal colocado à direita (right-sided), o requisito correspondente de
H(s) é que a sua ROC deve ser da forma:

Re(s) > σmax (2.36)

Isto é, a ROC é a região no plano s à direita de todos os pólos do sistema.
Da mesma forma, se o sistema é anticausal, então

h(t) = 0 t > 0 (2.37)

e h(t) é um sinal colocado à esquerda. Assim, a ROC de H(s) deve ser de forma:

Re(s) < σmin (2.38)

Isto é, a ROC é a região no plano s à esquerda de todos os pólos do sistema.



Estabilidade

Um sistema LTI contínuo no tempo é BIBO estável se e somente se:

∞
|h(t)|dt < ∞ (2.39)
−∞

A exigência correspondente sobre H(s) é que a ROC de H(s) contém o eixo jω, isto,
s = jω.

Sistema Causal e Estável

Se o sistema é causal e estável, então todos os pólos de H(s) devem ficar na metade
esquerda do plano s; isto é, todos possuem parte real negativa porque a ROC é da forma
Re(s) > σmax e desde que o eixo jω está incluído na ROC, nós devemos ter σmax < 0.

2.6.3 Função do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equa-
ções Diferenciais Lineares de Coeficiente Constantes

Considera-se um sistema LTI contínuo no tempo para o qual a entrada x(t) e a saída
y(t) satisfazem a equação diferencial linear de coeficientes constantes na forma:

N M
dk y(t) dk x (t)
ak = bk (2.40)
k=0
dtk k=0
dtk

Aplicando a transformada de Laplace e usando a propriedade de diferenciação, equação
(2.16), da transformada de Laplace, obtemos:

N M
k
ak s Y (s) = bk sk X(s)
k=0 k=0

ou

N M
k
Y (s) ak s = X(s) bk sk (2.41)
k=0 k=0

Assim



M
bk sk
Y (s) k=0
H(s) = = (2.42)
X(s) N
ak sk
k=0

Conseqüentemente H(s) é sempre racional. A ROC de H(s) não foi especiﬁcada pela
equação (2.42) mas deve ser determinada com exigências adicionais sobre o sistema como
a causalidade ou estabilidade.
Por exemplo:
Encontre a solução x(t) da equação diferencial

x(t) + 3x(t) + 2x(t) = 0,
¨ ˙ x(0) = a, x(t) = b
˙

onde a e b são constantes.
Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial, tem-se:

L {x(t)} = sX(s) − x(0)
˙

L {¨(t)} = s2 − sx(0) − x(0)
x ˙

Então a Transformada de Laplace da equação diferencial, é:

s2 X(s) − sx(0) − x(0) + 3 [sX(s) − x(0)] + 2X(s) = 0
˙

Substituindo as condições iniciais dadas, vem:

s2 X(s) − as − b + 3 [sX(s) − a] + 2X(s) = 0

ou

s2 + 3s + 2 X(s) = as + b + 3a

Resolvendo esta última equação para X(s), tem-se:



as + b + 3a as + b + 3a 2a + b a + b
X(s) = 2 + 3s + 2
= = −
s (s + 1)(s + 2) s+1 s+2

A transformada inversa de Laplace de X(s) é:

2a + b a+b
x(t) = L −1 {X(s)} = L −1 − L −1
s+1 s+2

= (2a + b)e−t − (a + b)e−2t

Então a solução é:

x(t) = (2a + b)e−t − (a + b)e−2t t≥0

x(t) = (2a + b)e−t − (a + b)e−2t u(t)

2.6.4 Interconexões entre Sistemas
Para dois sistemas LTI, com h1 (t) e h2 (t), respectivamente, em cascata, a resposta ao
impulso global h(t) é dada por:

h(t) = h1 (t) ∗ h2 (t)

Assim as funções do sistema correspondentes são relacionadas pelo produto:

H(s) = H1 (s)H2 (s) (2.43)

Figura 2.3: Sistema em Série no Domínio de t.



Figura 2.4: Sistema em Série no Domínio de s.

De forma similar, a resposta ao impulso da combinação em paralelo de dois sistemas
LTI é dada por:

h(t) = h1 (t) + h2 (t)

Assim,

H(s) = H1 (s) + H2 (s) (2.44)

Figura 2.5: Sistema em Paralelo no Domínio de t.

Figura 2.6: Sistema em Paralelo no Domínio de s.


Capítulo 3

Análise Dinâmica de Processos

3.1 Introdução
Com o objetivo de estudar o comportamento da dinâmica de um processo, visto que, de
maneira geral as características dinâmicas são mais importantes do que as características
estáticas, pois estas últimas apresentam respostas invariantes no tempo, lança-se mão das
equações diferencais lineares ordinárias.

3.2 Modelo Matemático Geral
A equação diferencial linear com coeficientes constantes é a ferramenta mais utilizada
para representar matematicamente os sistemas de engenharia, como por exemplo, os que
aparecem na:

• teoria da vibração;

• teoria dos circuitos elétricos;

• teoria de controle automático e outros.

É necessário estabeler a relação entre um determinado sinal de entrada (input) e um
sinal de saída (output). A entrada pode ser desejável, modificadora ou indesejável.
Adotando algumas hipóteses simplificadoras, pode-se escrever:

dn y(t) dn−1 y(t) dy(t) dm u(t)
an + an−1 + . . . + a1 + a0 y(t) = bm + . . . + b0 u(t) (3.1)
dtn dtn−1 dt dtm

onde: u(t) é a quantidade de entrada ou excitação do sistema, y(t) a quantidade de saída
ou resposta do sistema, ai e bi são coeficientes invariantes ao longo do tempo e t o tempo.
Para simplificar a escrita é conveniente definir o operador diferencial, como sendo:


26 Análise Dinâmica de Processos

d
D= (3.2)
dt

Logo a equação ( 3.1 ) pode ser escrita na seguinte forma:

an Dn + an−1 Dn−1 + . . . + a1 D + a0 y(t) = (bm Dm + . . . + b1 D + b0 ) u(t) (3.3)

A solução completa para este tipo de equação diferencial ordinária linear é a soma das
soluções complementar e particular e pode ser obtida usando a Transformada de Laplace.

y(t) = yh (t) + yp (t) (3.4)

A solução complementar ou homogênea ou resposta à excitação nula ou resposta na-
tural ou resposta transitória ou resposta livre tem n constantes arbitrárias determinadas
pelas condições iniciais.
A solução particular ou resposta forçada não depende das condições iniciais e não tem
constantes arbitrárias.
Quando o sistema possui uma entrada diferente de zero, ou seja, existe uma excitação
externa, é comum considerar as condições iniciais nulas, e nesse caso a resposta forçada é
também chamada de resposta de estado nulo.
Para encontrar a solução complementar deve-se resolver a equação homegênea:

an Dn + an−1 Dn−1 + . . . + a1 D + a0 y(t) = 0 (3.5)

Tomando-se a liberdade matemática de considerar o operador D como uma variável
livre, deve-se encontrar as raízes do polinônio:

an Dn + an−1 Dn−1 + . . . + a1 D + a0 = 0 (3.6)

Este polinômio é chamado de polinômio caracterísitco do sistema ou equação caracte-
rística, e suas raízes são também chamada de pólos ou autovalores do sistema.
A equação carcterística é portanto uma equação básica que descreve o comportamento
do sistema.
A solução da equação homogênea, (3.5), é da forma:


3.2 Modelo Matemático Geral 27

yh (t) = Ceλt (3.7)

onde: C e λ são constantes.
Substituindo a solução (3.7) na equação (3.6) pode-se determinar as n raízes λ’s e
escrever a solução complementar:

yh (t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t + . . . + Cn eλn t (3.8)

Dependendo dos valores das raízes λ, tem-se:

a. raízes reais e distintas

A soluçao tem a forma:

yh (t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t + . . . + Cn eλn t (3.9)

Por exemplo: se as raízes são: −1, 2; 3, 4; −0, 4 e 0, então a resposta é: yh (t) =
C1 e−1,2t + C2 e3,4t + C3 e−0,4t + C4 .

b. raízes reais repetidas

Para cada raiz k que aparece r vezes, a parcela correspondente da solução é escrita
como:

C1 + C2 t + C3 t2 + . . . + Cr tr−1 ekt (3.10)

Por exemplo: se as raízes são: −1; −1; 4; 4 e 10 então a solução é: yh (t) =
(C1 + C2 t) e−t + (C3 + C4 t) e4t + C5 e10t .

c. raízes complexas distintas

Cada raiz complexa tem a sua cojugada; Para a ± ib a parcela correspondente da
solução é:

Ceat sen(bt + φ) (3.11)



sendo C e φ constantes arbitrárias.
Por exemplo: se as raízes são 4±5i; −4±7i, 5 e 4 a solução é: yh (t) = C1 e4t sen(5t+
φ1 ) + C2 e−4t sen(7t + φ2 ) + C3 e5t + C4 e4t .

d. raízes complexas repetidas
Para cada raiz (a ± ib) que aparece r vezes, tem-se a aparcela da solução:

C1 eat sen(bt + φ1 ) + C2 eat tsen(bt + φ2 ) + . . .
+Cr−1 eat tr−2 sen(bt + φr−1 ) + Cr eat tr−1 sen(bt + φr ) (3.12)

Por exemplo: se as raizes são: −1 ± 4i; −1 ± 4i; −9 e 0 a solução é: yh (t) =
C1 e−t sen(4t + φ1 ) + C2 e−t t sen(4t + φ2 ) + C3 e−9t + C4

A solução particular não tem um método que resolva todos os casos. Essa solução
depende da forma da função de entrada u(t) ou função forçante.
Se u(t) for restrito às funções normais de engenharia, a solução particular yp (t) pode ser
obtida por um método relativamente simples: o método dos coeficientes indeterminados.
Esse método não funciona para todos os casos, e então, é precisso testar se a função
u(t) é passível de solução.
Existem três possibilidades:

a. após uma determinada ordem de derivação, as derivadas superiores se anulam;

b. após uma determinada ordem de derivação, as derivadas superior têm a mesma
forma funcional do que as derivadas inferiores;

c. após repetidas derivações continuam aparecer novas formas funcionais.

O método dos coeficientes indeterminados não funciona para o terceiro caso.
Se o método é aplicável a solução yp (t) é imediatamente escrita como:

yp (t) = Af (t) + Bf (t) + Cf (t) + . . . (3.13)

onde o lado direito inclui um termo para cada forma funcional diferente verificada em
todas as derivadas de f (t).
Substituindo a equação (3.13) na equação (3.3) tem-se um sistema de equações simul-
tâneas em número igual ao número de incógnitas A, B, C, etc.


3.2 Modelo Matemático Geral 29

3.2.1 Solução de um sistema com excitação harmônica

Seja a equação diferencial:

d2 y(t) dy(t)
a2 + a1 + a0 y(t) = u(t)
dt2 dt

Se u(t) for uma função forçante harmônica do tipo:

u(t) = F0 cos ωdr t

A solução segundo a equação (3.13) é do tipo:

yp (t) = A cos ωdr t + Bsenωdr t

A equação diferencial que descreve o comportamento de um sistema massa, mola e
amortercedor com excitação harmônica é:

d2 y(t) dy(t)
m 2
+c + ky(t) = F0 cos ωdr t
dt dt

Dividindo essa equação diferencial por m, tem-se:

y + 2ζω y + ω 2 y = f0 cos ωdr t
¨ ˙

onde: ω = k/m, ζ = c/(2mω) e f0 = F0 /m.
Tomando as derivadas primeira e segunda de yp (t), tem-se:

y(t) = −ωdr Asenωdr t + ωdr B cos ωdr t
˙
2
y (t) = −ωdr (A cos ωdr t + Bsenωdr t)
¨

Substituindo yp (t), yp (t) e yp (t) na equação diferencial de movimento, tem-se:
˙ ¨

−ωdr A + 2ζωωdr B + ω 2 A − f0 cos ωdr t
2

+ −ωdr B − 2ζωωdr A + ω 2 B senωdr t = 0
2



Como senωdr t e cos ωdr t são diferentes de zero, então seus coeﬁcientes devem ser iguais
a zero.
Logo

(ω 2 − ωdr ) A + (2ζωωdr ) B = f0
2
(3.14)
(−2ζωωdr ) A + (ω 2 − ωdr ) B = 0
2

Resolvendo esse sistema de equações encontra-se:

(ω 2 − ωdr ) f0
2
A= 2
(ω 2 − ωdr ) + (2ζωωdr )2
2

(2ζωωdr ) f0
B= 2
(ω 2 − ωdr ) + (2ζωωdr )2
2

√
Fazendo r = ωdr /ω, A0 = A2 + B 2 e φ = tg−1 A/B, escreve-se:

yp (t) = A0 cos (ωdr t − φ)

onde:

f0
A0 =
ω2 (1 − r2 )2 + (2ζr)2

2ζr
φ = tg−1
1 − r2

3.3 Modelagem no Espaço de Estados
A tendência atual dos sistemas de engenharia é no sentido de aumentar sua comple-
xidade em função, principalmente, da necessidade de realizar tarefas complexas e com
requisitos de boa precisão. Sistemas complexos podem ter múltiplas entradas e saídas.
A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigorosos quando ao desempenho de
sistemas de controle e a facilidade de acesso aos computadores desenvolveram a teoria de
controle moderno.
O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de varáveis, chamadas de va-


3.3 Modelagem no Espaço de Estados 31

riáveis de estado, de modo que o conhecimento destes valores em t = t0 , junto com o
conhecimento dos valores do sinal de entrada em t ≥ t0 , determina completamente o
comportamento do sistema em qualquer instante t ≥ t0 .

As equações de estado lineares invariantes no tempo para o estado e para a saída são:

{x(t)} = [A] {x(t)} + [B] {u(t)}
˙ (3.15)
{y(t)} = [C] {x(t)} + [D] {u(t)} (3.16)

onde: [A] é a matriz de estados com dimensão n×n, [B] a matriz de entrada com dimensão
n × m, [C] a matriz de saída com dimensão p × n, [D] a matriz de transmissão direta com
dimensão p × m, n número de variáveis de estado, m número de entradas e p número de
saídas.

Considere o sistema de ordem n descrito pela equação(3.1) transcrito para efeito de
clareza:

dn y(t) dn−1 y(t) dy(t)
an n
+ an−1 n−1
+ . . . + a1 + a0 y(t) = b0 u(t) (3.17)
dt dt dt

Deﬁnindo-se as seguintes variáveis de estado:

dy dn−1 y
x1 = y, x2 = , . . . , xn = n−1 (3.18)
dt d t

e

a0 an−1 b0
x1 = x2 , x2 = x3 , . . . , xn−1 = xn , xn = −
˙ ˙ ˙ ˙ x1 − . . . − xn + u (3.19)
an an an

ou

{x} = [A] {x} + [B] {u}
˙ (3.20)
{y} = [C] {x} + [D] {u} (3.21)

onde:



     
x1 0 1 0 ... 0 0
     
 x2  0 0 1 ... 
0 0
     
  .
.  .
. .
. .
. .. 
.
. .
{x} =   , [A] = 
. . . . . ,
. [B] =  .  (3.22)
    .
x   0 0 0 ... 1  0
 n−1     
a0 a1 a2 an−1 b0
xn − an − an − an . . . − an an

e

[C] = 1 0 0 . . . 0 , [D] = 0 (3.23)

3.4 Sistemas de Ordem Zero
Quando todos os coeficientes ai e bi são nulos exceto a0 e b0 , a equação (3.1) torna-se:

a0 y(t) = b0 u(t) (3.24)

Qualquer sistema ou instrumento que obedeça a equação (3.24) em sua faixa de ope-
ração é definido como sistema de ordem zero.
Se

b0
y(t) = u(t) = Ku(t) (3.25)
a0

onde K é chamado de sensibilidade estática ou ganho de regime permanente.
Quando u(t) varia no tempo a saída y(t) segue perfeitamente a entrada sem nenhuma
distorção e sem qualquer atraso, de forma que esse sistema representa o comportamento
dinâmico perfeito.

3.5 Sistemas de Primeira Ordem
Quando todos os coeficientes ai e bi na equação (3.1) são nulos exceto a0 , a1 e b0 a
derivada de maior ordem é a primeira e então:

dy(t)
a1 + a0 y(t) = b0 u(t) (3.26)
dt


3.5 Sistemas de Primeira Ordem 33

deﬁne um sistema de primeira ordem com resposta y(t) e uma excitação u(t).
Dividindo a equação (3.26) por a0 , obtém-se:

a1 dy(t) b0
+ y(t) = u(t) (3.27)
a0 dt a0

ou

dy(t)
τ + y(t) = Ku(t) (3.28)
dt

Escrevendo a equação (3.28) com auxílio do operador D, equação (3.2), encontra-se:

(τ D + 1)y(t) = Kx(t) (3.29)

cuja equação característica é:

τD + 1 = 0 (3.30)

A raiz da equação cacterística (3.30) é:

1
λ1 = − (3.31)
τ

então, segundo a equação (3.9), a solução complementar ou homogênea é:

yh (t) = C1 eλ1 t
yh (t) = C1 e−t/τ (3.32)

Para t = 0 ⇒ C1 = y(0), então

yh (t) = y(0)e−t/τ (3.33)

onde: y(0) é a condição inicial.



3.5.1 Outras formas de representar o sistema
função transferência

Passando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação (3.28) e consi-
derando condições iniciais nulas, tem-se a função transferência de um sistema de primeira
ordem.

Y (s) b0
= (3.34)
U (s) a1 s + a0
Y (s) K
= (3.35)
U (s) τs + 1

com: τ = a1 /a0 o tempo de resposta ou constante de tempo do sistema e K = b0 /a0 a
sensibilidade estática ou ganho estático.

espaço de estados

Colocando o sistema de primeira ordem na representação de espaço de estados, pode-se
escrever:

x = ax + bu
˙ (3.36)
y = cx + du (3.37)

com: a, b e c são escalares.
Tomando a equação (3.28) e fazendo x(t) = y(t), tem-se:

τ x + x = Ku
˙
1 K
x = − x+ u
˙ (3.38)
τ τ
y = x (3.39)

onde: a = 1/τ , b = K/τ , c = 1 e d = 0.
Outra forma equivalente de escrever, é:

a1 x + a0 x = b0 u
˙
a0 b0
x = − x+ u
˙ (3.40)
a1 a1
y = x (3.41)



diagramas de blocos

Figura 3.1: Sistema de 1a Ordem.

Outra forma de representar um sistema é através de diagrama de blocos, conforme
apresentado na figura (3.1), o qual é composto por integradores, somadores e ganhos.
Para a sua construção é necessário isolar o diferencial de mais alta ordem da equação
de comportamento do sistema, neste caso, segunda ordem, que sai de um somando e
integrando até se obter o sinal de saída y(t) do sistema.

Figura 3.2: Função Transferência.

A função transferência, conforme a figura (3.2), é obtida passando-se a transformada
de Laplace em ambos os membros da equação diferência do sistema. No caso da figura
(3.2), considerou-se condições iniciais nulas.
Finalmente a figura (3.3) representa o diagrama de blocos do modelo em estados de
espaço.

Figura 3.3: Modelo de Estados.



3.5.2 Exemplo de sistemas de primeira ordem
nível de líquido

Figura 3.4: Nível de Líquido.

Na figura (3.4) tem-se as seguintes variáveis:

Q : valor de vazão em regime permanente, m3 /s;

qi : pequeno desvio da vazão de entrada em relação ao seu valor de regime, m3 /s;

q0 : pequeno desvio da vazão de saída em relação ao seu valor de regime, m3 /s;

H : altura do nível em regime permanente, m

h : pequeno desvio da altura do nível em relação ao seu valor de regime, m;

R : resistência ao fluxo de líquido na restrição definida como a variação na diferença de
nível necessária para causar uma variação unitária na vazão, (m)/(m3 /s);

C : capacitância do reservatório definida como sendo a variação na quantidade de líquido
armazenado necessário para causar uma variação unitária na altura do nível de
líquido, m3 /m;

Aplicando a Lei da conservação da massa no sitema de nível de líquido observa-se que
a massa que entra no sistema menos a massa que sai do sistema deve ser igual a massa
acumulada.
Na forma matemática pode-se escrever:

dH(t)
ρQi (t) − ρQ0 (t) = ρC (3.42)
dt



dH(t)
C = Qi (t) − Q0 (t) (3.43)
dt

A velocidade de saída do fluido do tanque pode ser obtida aplicando-se a equação de
Bernoulli em dois pontos, a saber: superfície livre do nível e ponto de saída do escoamento.

2
v1 p1 g v 2 p2 g
+ + gh1 = 2 + + gh2 (3.44)
2 ρ 2 ρ

Para a superfície livre do líquido v1 = 0, p1 = patm e para o ponto de saída do
escoamento v2 = v e p2 = Patm .
Então

v= 2g(h2 − h1 ) = 2gH(t) (3.45)

Q0 (t) = kor Aor 2gH(t) = kor Aor 2g H(t) = kd H(t) (3.46)

com: kor - coeficiente do orifício (kor = 0, 6), Aor - área do orífico (Aor = 645 × 10−6 m2 )
e kd - o coeficiente de descarga do orifício. 1
Então a equação (3.43) é rescrita com o valor obtido pela equação (3.46).

dH(t)
C + kd H(t) = Qi (t) (3.47)
dt

A equação (3.47) é a equação não-linear que representa o comportamento do sistema
de nível de líquido.
A equação (3.46) pode ser linearizada, conseqüentemente linearizando a equação do
sistema de nível de líquido, equação (3.47), para pequenas variações em torno da vazão
de reigme permanente e altura do nível de líquido de regime permanente.
A equação linearizada é obtida com a aplicação da série de Taylor em torno do ponto
(H,Q).

f (x) f (x)
f (x) = f (x) + (x − x) + (x − x)2 + . . . (3.48)
1! 2!
1
Eckman (1962), p. 19: Para um comprimento de tubo à fórmula usualmente empregada é kor =
1/ f L/D, com f - fator de atrito, L - comprimento equivalente do tubo e D - diâmetro interno do tubo.



Figura 3.5: Comparação entre as Respostas da Equação do Sistema de Nível de Líquido
Não-Linear e Linearizada - hss : resposta em regime permanente; h0 : altura do nível em
regime permanente; ∆Qi : pequena variação na vazão de entrada; Qi0 : vazão de regime
permanente; ∆h: pequena variação do nível e ∆Qi ≤ 0, 2.
Qi0

Q (t) 3.5
0

Linearização

3
Ponto de Tangência

_ q
Q 2.5
q

2

h h
1.5

1
1 2 3 4 5 6
_ 7 8 9 10
H H(t)

Figura 3.6: Linearizãção da Curva Q0 (t) × H(t) em torno do ponto (H,Q).



fazendo x = H, h = (x − x).
Então

f (x) = kd H (3.49)
kd
f (x) = √ (3.50)
2 H

Com a aplicação da equação (3.48) obtém-se a linearização da equação (3.46).

kd
Q0 (t) = kd H + √ h(t) (3.51)
2 H
kd
Q0 (t) = Q + √ h(t) (3.52)
2 H

Substituindo a equação linearizada da vazão de saída na equação (3.47) e considerando
também as pequenas variações, vem:

d kd
C (H + h(t)) + Q + √ h(t) = Q + q0 (t) (3.53)
dt 2 H
dh(t) kd
C + √ h(t) = q0 (t) (3.54)
dt 2 H

Fazendo

h(t)
q0 (t) = (3.55)
√R
2 H
R= (3.56)
kd

obtém-se as equações diferenciais, linearizadas em torno do ponto (H, Q), para o sistema
de nível de líquido da ﬁgura (3.4).

dh(t)
RC + h(t) = Rqi (t) (3.57)
dt

ou

dq0 (t)
RC + q0 (t) = qi (t) (3.58)
dt



com: RC é a constante de tempo τ do sistema.
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros das equações (3.57) e
(3.58), supondo condições iniciais nula, obtém-se as funções transferências para o sistema
de nível de líquido.

H(s) R
= (3.59)
Qi (s) RCs + 1
Q0 (s) 1
= (3.60)
Qi (s) RCs + 1

onde: H(s) = L [h(t)], Qi (s) = L [qi (t)] e Q0 (s) = L [q0 (t)]

sistemas térmicos

Figura 3.7: Sistema de Aquecimento.

No sistema térmico representado pela figura (3.7) tem-se as seguintes variáveis:

Θ : temperatura em regime permanente do líquido, ◦ C;

θi : pequena variação na temperatura do líquido na entrada, ◦ C;

θ0 : pequena variação na temperatura de saída, ◦ C;

m : vazão mássica de regime permanente, kg/s;
˙

m : massa do líquido no reservatório, kg;

c : calor específico do líquido, kcal/kg ◦ C;

R : resistência térmica que é definida pela relação entre a variação na diferença de tem-
peratura e a variação na taxa de fluxo de calor, ◦ C s/kcal;

C : capacitância térmica que é a relação entre a variação no calor armazenado e a variação
na temperatura, kcal/◦ C;



Q : taxa de ﬂuxo de calor de entrada em regime, kcal/s;

qi : pequena variação na taxa de ﬂuxo de calor de entrada em regime, kcal/s.

A equação diferencial para este sistema para um valor constante de R é a seguinte:

dθ0
RC + θ0 = Rqi (3.61)
dt

onde: RC = m/m é a constante de tempo τ do sistema.
˙
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação (3.61), supondo
condições iniciais nula, obtém-se:

Θ(s)0 R
= (3.62)
Qi (s) RCs + 1

com: Θ(s) = L [θ0 (t)] e Qi (s) = L [qi (t)]

3.5.3 Constante de tempo

Seja o sistema de primeira ordem representado por sua função transferência conforme
equação (3.63):

Y (s) 1
= (3.63)
U (s) τs + 1

Quando aplica-se uma excitação ou entrada do tipo degrau unitário, na equação (3.63),
sendo u(t) = 1, cuja transformada de Laplale é igual a L [u(t)] = U (s) = 1/s, obtém-se:

1 1
Y (s) = (3.64)
τs + 1 s

Y (s) é expandido em frações parciais próprias com numerador igual a a1 e a2 , que
são determinados aplicando-se a equação (2.27) para frações racionais próprias com pólos
simples.



a1 a2
Y (s) = + (3.65)
s τs + 1
1
a1 = s |s=0 = 1 (3.66)
(τ s + 1)s
1
a2 = (τ s + 1) |s=− 1 = −τ (3.67)
(τ s + 1)s τ

1 −τ
Y (s) = − (3.68)
s (τ s + 1)

1 1
Y (s) = − (3.69)
s s + (1/τ )

Tomando a transformada inversa de Laplace da equação (3.69), obtém-se:

y(t) = 1 − e−t/τ , t≥0 (3.70)

A equação (3.70) estabelece que inicialmente, a saída y(t) é nula e ﬁnalmente torna-se
unitária. Uma das características importantes desta curva de resposta exponencial y(t)
é que no instante t = τ o valor de y(t) é 0,632, ou seja, o valor y(t) alcançou 63,2 % da
condição de regime. Nota-se que, quanto menor for a constante de tempo τ , mais rápida
será a resposta do sistema.

Figura 3.8: Curva de Resposta com Excitação Degrau Unitário - Constante de Tempo.


3.6 Sistemas de Segunda Ordem 43

3.6 Sistemas de Segunda Ordem
Quando todos os coeficientes ai e bi , na equação (3.1), são nulos exceto a2 , a1 , a0 e
para efeto de simplificação sem perda da generalidade b0 , a derivada de mais alta ordem
é a segunda, então:

d2 y(t) dy(t)
a2 2
+ a1 + a0 y(t) = b0 u(t) (3.71)
dt dt

define um sistema de segunda ordem com resposta y(t) e excitação u(t).
Dividindo ambos os membros da equção (3.71) por a0 , obtém-se:

a2 d2 y(y) a1 dy(t) b0
+ + y(t) = u(t) (3.72)
a0 dt2 a0 dt a0

Fazendo-se:

a0
ω2 = (3.73)
a2
a1
ζ= √ (3.74)
2 a0 a2
b0
K= (3.75)
a0

onde: ω é a freqência circular natural não amortecida do sistema, ζ o fator de amorteci-
mento e K a sensibildade estática.
Substituindo essas constantes na equação (3.72), tem-se;

1 d2 y(y) 2ζ dy(t)
+ + y(t) = Ku(t) (3.76)
ω 2 dt2 ω dt

Escrevendo a equação (3.76) com auxílio do operador D, equação (3.2), encontra-se:

1 2 2ζ
D + D+1 = Ku(t) (3.77)
ω2 ω

cuja equação característica é:

D2 + 2ζωD + ω 2 = 0 (3.78)

As raízes da equação característica (3.78) são:



λ1,2 = −ζω ± ω ζ2 − 1 (3.79)

O comportamento dinâmico dos sistemas de segunda ordem pode ser descrito em fun-
ção dos parâmetros ζ e ω. Se 0 < ζ < 1, os pólos a malha fechada são complexos
conjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano s. O sistema então é dito suba-
mortecido, e a resposta transitória é oscilatória. Se ζ = 1, o sistema é dito criticamente
amortecido. Sistemas superamortecidos correspondem a ζ > 1. A resposta transitória de
sistemas amortecidos criticamente e superamortecidos não oscila. Se ζ = 0, a resposta
transitória não decai.

• caso superamortecido (ζ > 1)
As raízes são reais e simples:

λ1,2 = −ωζ ± ω ζ2 − 1 (3.80)

Então a solução da equação homogênea (3.78) é:

yh (t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t (3.81)

Levando em consideração as condições iniciais (t = 0) pode-se determinar o valor
das constantes C1 e C2 da equação (3.81), cujos valores são:

1
C1 = ζωy(0) + ω ζ 2 − 1y(0) + y(0)
˙ (3.82)
2ω ζ2 − 1
−1
C2 = ζωy(0) − ω ζ 2 − 1y(0) + y(0)
˙ (3.83)
2ω ζ2 −1

Então a solução homogênea ﬁca:

1 √
ζ 2 −1
yh (t) = ζωy(0) + ω ζ 2 − 1y(0) + y(0) e−ζω+ω
˙
2ω ζ2 −1
1 √
−ζω−ω ζ 2 −1
− ζωy(0) − ω ζ2 − 1y(0) + y(0) e
˙ (3.84)
2ω ζ2 −1



• caso criticamente amortecido (ζ = 1)
As raízes são reais e repetidas , as quais são:

λ1,2 = −ω (3.85)

Então a solução homogênea é escrita como:

yh (t) = C1 e−ωt + C2 te−ωt (3.86)

Com auxílio das condições iniciais (t = 0) pode-se determinar os valores das cons-
tantes C1 e C2 .
Então:

C1 = y(0), C2 = ωy(0) + y(0)
˙ (3.87)

Finalmente a solução homogênea, equação (3.86), com auxílio da equação (3.87) é:

yh (t) = y(0)e−ωt + (ωy(0) + y(0)) te−ωt
˙ (3.88)

• caso subamortecido (0 < ζ < 1)
As raízes são conjugadas e complexas, dadas pela equação (3.89):

λ1,2 = −ζω ± j ω 1 − ζ2 (3.89)

onde ωd é a frequência circular natural amortecida.
A solução da equação homogênea escreve-se como:

yh (t) = Ce−ζωt sen (ωd t + φ) = C1 e−ζωt sen (ωd t) + C2 e−ζωt cos (ωd t) (3.90)

As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições iniciais (t = 0), cujos valores
são:



y(0) + y(0)ζω
˙
C1 = , C2 = y(0) (3.91)
ωd

Substituindo a equação (3.91) na equação (3.90), obtém-se:

y(0) + y(0)ζω
˙
yh (t) = e−ζωt sen (ωd t) + y(0)e−ζωt cos (ωd t) (3.92)
ωd

3.6.1 Outras formas de representar o sistema
função transferência

Passando a Transformada de Laplace em ambos os membros da equação (3.77) e
considerando as condições iniciais nulas, tem-se a função transferência de um sistema de
segunda ordem, apresentado pela equação (3.93).

Y (s) ω2K
= 2 (3.93)
U (s) s + 2ζωs + ω 2
Y (s) b0
= 2+a s+a
(3.94)
U (s) a2 s 1 0

onde o tempo de resposta de um sistema subamortecido de segunda ordem é: τ =
1/|Re(λ)| = 1/(ζω)
A função transferência, em termos de diagrama de blocos, e apresentada conforme a
ﬁgura (3.9)

Figura 3.9: Função Transferência de um Sistema de 2a Ordem.

espaço de estados

Para representar o sistema de segunda ordem, equação (3.71), na forma de espaço de
estados deﬁne-se: x1 = y; x2 = y.
˙
Então



a0 a1 b0
x1 = x2 , x2 = −
˙ ˙ x1 − x2 + u(t) (3.95)
a2 a2 a2

A equação de estado é escrita como:

x1
˙ 0 1 x1 0
= + u(t) (3.96)
x2
˙ −a0 /a2 −a1 /a2 x2 b0 /a2

Representando na forma de diagrama de blocos, tem-se:

Figura 3.10: Modelo de Estados de Espaço de um Sistema de 2a Ordem.

diagrama de blocos

Outras formas de representar um sistema é através de diagrama de blocos conforme
apresentado na ﬁgura (3.11).

Figura 3.11: Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem.

3.6.2 Exemplos de sistemas de segunda ordem
sistema mecânico vibratório

Considera-se o sistema mecânico mostrado na ﬁgura (3.12). Supõe-se que o sistema
esteja inicialmente em repouso, x(0) = 0 e x(0) = 0, e que no instante t = 0, o sistema é
˙
posto em movimento através de um impulso unitário de força.



Figura 3.12: Sistema Massa-Mola com Excitação Impulso Unitário.

Aplicando a 2a Lei de Newton a equação dinâmica de movimento é obtida.

m¨(t) + kx(t) = δ(t)
x (3.97)

com: m massa do sistema em kg; k rigidez do sistema em N/m e δ(t) força impulso
unitário em N.
Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os membros da equação (3.97) resulta
em:

m s2 X(s) − sx(0) − x(0) + kX(s) = 1
˙ (3.98)

Substituindo-se as condições iniciais e explicitando o valor de X(s), obtém-se:

1
X(s) = (3.99)
ms2 +k

A transformada de Laplace da equação (3.99) deve ser colocada na forma:

ωn
X(s) = (3.100)
s2 + ωn
2

que possui transformada inversa de Laplace tabela, cujo valor é:

x(t) = sen ωn t (3.101)

Dividindo-se a equação (3.99) por m e arranchado o resultado, obtém-se:

1
X(s) = 2 (3.102)
k
s2 + m



k
Multiplicando o numerador e denominador da equação (3.102) por m
, vem:

k
1 m
X(s) = √ 2 (3.103)
mk s2 + k
m

cuja a transformada de Laplace inversa de X(s) conduz a

1 k
x(t) = √ sen t (3.104)
mk m
√
A oscilação é um movimento harmônico simples. A amplitude de oscilação é 1/ mk.

sistema mecânico torcional

A ﬁgura (3.13) apresenta de forma esquemática um redutor de velocidades.

Figura 3.13: Redutor de Velocidades.

A equação que descreve o comportamento do sistema é obtida aplicando-se a 2a. Lei
de Newton:

1
J2 eq ω2 + b2 eq ω2 + TL =
¨ ˙ Tm (3.105)
n

onde:

J1 momento de inércia de massa do eixo 1, kgm2 ;



J2 momento de inércia de massa do eixo 2, kgm2 ;

ω1 frequência circular do eixo 1, rad/s;

ω2 frequência circular do eixo 2, rad/s;

T1 torque no eixo 1, Nm;

T2 torque no eixo 2, Nm;

Tm torque de entrada aplicado pelo motor elétrico, Nm;

TL torque aplicado na carga, Nm;

n1 velocidade de rotação do eixo 1, rpm;

n1 velocidade de rotação do eixo 2, rpm;

J1 eq momento de inércia equivalente no eixo 1, kgm2 ;

J2 eq momento de inércia equivalente no eixo 2, kgm2 ;

b1 eq coeﬁciente de atrito visco equivalente do tem de engrenagens referenciados ao eixo
1, Nm/s2 ;

b2 eq coeﬁciente de atrito visco equivalente do tem de engrenagens referenciados ao eixo
2, Nm/s2 ;

Sendo que:

2
n1
b1 eq = b2 eq (3.106)
n2
2
n2
b2 eq = b2 + b1 (3.107)
n1
2
n1
J1 eq = J2 eq (3.108)
n2
2
n2
J2 eq = J2 + J1 (3.109)
n1
n1
n= (3.110)
n2



3.6.3 Combinação de dois sistemas de 1a. Ordem
Os sistemas de segunda ordem também aparecem quando dois sistemas de primeira
ordem são unidos em série para formar um sistema maior. Na ligação em série a saída de
um é a entrada do outro, conforme ilustrado na (3.14).
Para a ﬁgura (3.14) tem-se o seguinte tratamento matemático:

Y1 1
= (3.111)
U1 τ1 s + 1
Y2 1
= (3.112)
U2 τ2 s + 1
U2
Y2 = (3.113)
τ2 s + 1
U 2 = Y1 (3.114)
Y1
Y2 = (3.115)
τ2 s + 1
U1
Y2 = (3.116)
(τ1 s + 1)(τ2 s + 1)
Y2 1
= (3.117)
U1 (τ1 s + 1)(τ2 s + 1)
Y2 1
= 2 + (τ + τ )s + 1
(3.118)
U1 τ1 τ2 s 1 2

que é a forma típica de um sistema de segunda ordem.

Figura 3.14: Sistemas de 1a Ordem Gerando um Sistema de 2a. Ordem; sem e com efeito
de carga.

Um erro deste procedimento e desprezar a drenagem de potência que o segundo sis-
tema aplica ao primeiro e que não foi considerada na função de transferência original. A
função transferência Y1 /U1 é diferente quando o segundo sistema é conectado e a função



transferência global Y2 /U1 não é apenas o produto das duas funções. Este efeito é cha-
mado efeito de carga ou loading effect que se for pequeno pode ser desprezado mas em
outros casos exige a reformulação do problema a partir do esquema já combinado.

Por exemplo, vai-se analisar um sistema líquido ligado em série conforme a figura
(3.15).

A função transferência do reservatório 1 e 2 relacionando a vazão de entrada Q com a
altura do reservatório H é segundo a equação (3.59):

H1 (s) R1
= (3.119)
Q(s) C1 R1 s + 1
H2 (s) R2
= (3.120)
Q1 (s) C2 R2 s + 1

Como deve-se obter a relação entre a vazão de entrada do reservatório 1, Q, e a altura
do reservatório 2, H2 , é interessante escrever a função transferência do reservatório 1 em
função das vazões de entrada e saída, usando-se a relação equação (3.121):

H1 (s)
Q1 (s) = (3.121)
R1

onde: Q1 é a vazão de saída do reservatório 1.

Logo, tem-se:

Q1 (s) 1
= (3.122)
Q(s) C1 R1 s + 1

Finalmente a função de transferência dos reservatórios sem interação é:

H2 (s) R2
= 2 + (C R + C R ) + 1
(3.123)
Q(s) C1 R1 C2 R2 s 1 1 2 2

Com o sistema de nível de líquido com interação a função de transferência do sistema
não é o produto das duas funções de trasnferência de primeira ordem.

Para o sistema com interação da figura (3.15(b)) escreve-se as equações para o reser-
vatório 1:



(a) Tanque sem Interação. (b) Tanque com Interação.

Figura 3.15: Sistemas de 2a. Ordem.

H1 − H2
Q1 = (3.124)
R1
Q Q1
C1 H1 s = Q − Q1 ⇒ H1 = − (3.125)
C1 s C1 s
H1 H2 Q Q1 H2
Q1 = − ⇒ Q1 = − − (3.126)
R1 R1 C1 R1 s C1 R1 s R1

Q C1 s
Q1 = − H2 (3.127)
C1 R1 s + 1 C1 R1 s + 1

Já para o reservatório 2, escreve-se:

C2 H2 s = Q1 − Q2 (3.128)
H2
Q2 = (3.129)
R2
H2
C2 H2 s + = Q1 (3.130)
R2

C2 R2 H2 s + H2 = R2 Q1 (3.131)

Substituindo-se o valor de Q1 obtido na equação (3.127) na equação (3.131) obtém-se
a função de transferência.

H2 (s) R2
= (3.132)
Q(s) C1 R1 C2 R2 s2 + (C1 R1 + C2 R2 + C1 R2 ) s + 1

ou



Qo (s) 1
= 2 + (C R + C R + C R ) s + 1
(3.133)
Qi (s) C1 R1 C2 R2 s 1 1 2 2 1 2

Observe-se a similaridade e a diferença entre a função de transferência dada pela
equação (3.123) e aquela dada pela equação (3.132). O termo R2 C1 que aparece no
denominador da equação (3.132) exempliﬁca a interação entre os dois reservatórios.

Reservatórios em Série
1

0.9
s/ interação
c/interação
0.8

0.7
vazão de Saída (m3/s)

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1 C1=C2=2 (m2) e R1=R2=0,5 (s/m2)

0
0 5 10 15
tempo (s)

Figura 3.16: Resposta da Vazão a uma Excitação Degrau de Reservatórios em Série c/ e
s/ Interação.

3.7 Linearização de Modelos
Um sistema é não-linear se o príncipio da superposição não se aplica a ele. Na en-
genharia de controle, uma operação normal do sistema pode ser em torno do ponto de
equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio, en-
tão é possível aproximar o sistema não-linear por um sistema linear. Esse sistema linear
é equivalente ao sistema não-linear considerado dentro de um conjunto limitado de ope-
rações. Esse modelo linearizado, modelo linear, invariante no tempo, é muito importante
na engenharia de controle.
O processo de linearização tem como base o desenvolvimento da função não-linear em
uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a retenção somente do termo linear.
Em virtude de desprezarmos os termos de ordem elevada da expansão da série de Taylor,
esses termos desprezados devem ser suﬁcientemente pequenos; isto é, as variáveis devem
se desviar apenas ligeramente das condições de operação.


3.7 Linearização de Modelos 55

3.7.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear -
Função de uma Entrada
Para obter um modelo matemático linear de um sistema não-linear, admitimos que as
variáveis desviem apenas ligeiramente de alguma condsição de operação.
Considere um sistema em que a entrada é x(t) e a saída é y(t). A relação entre y(t) e
x(t) é dada por:

y = f (x) (3.134)

Se a condição de operação normal corresponde a x, y, então a equação (3.134) pode
ser expandida em uma série de Taylor em torno desse ponto.

df (x) 1 d2 f (x)
y = f (x) + |x=x (x − x) + 2
|x=x (x − x)2 + . . . (3.135)
dx 2! dx

Se a variação de (x − x) for prquena, podemos desprezar os termos de ordem mais
elevada em (x − x), escrevendo-se a equação (3.135), como:

y = y + K(x − x) (3.136)

com:

df (x)
y = f (x) e K = |x=x
dx

A equação (3.136) pode ser reescrita como:

y − y = K(x − x) (3.137)

A equação (3.137) fornece um modelo matematicamente linear para o sistema não-
linear dado pela equação (3.134) próximo do ponto de operação (x − x), (y − y).

3.7.2 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear -
Função de duas Entradas
Considere o sistema não-linear cuja saída y é uma função de duas entradas x1 e x2 ,
tal que:



y = f (x1 , x2 ) (3.138)

Para obter uma aproximação linear desse sistema não-linear expande-se a equção
(3.138) em uma série de Taylor em torno do ponto normal de operação x1 e x2 .

∂f (x1 , x2 ) ∂f (x1 , x2 )
y = f (x1 , x2 )+ |x1 =x1 ,x2 =x2 (x1 − x1 ) + |x1 =x1 ,x2 =x2 (x2 − x2 ) +
∂x1 ∂x2
1 ∂ 2 f (x1 , x2 ) 2 ∂ 2 f (x1 , x2 )
2
|x1 =x1 ,x2 =x2 (x1 − x1 ) + 2
|x1 =x1 ,x2 =x2 (x2 − x2 )2 + . . .
2! ∂x1 ∂x2
(3.139)

Nas proximidades do ponto normal de operação, os termos de ordem mais elevada
podem ser desprezados. O modelo matemático linear desse sistema não-linear, nas proxi-
midades das condições normais de operação, é então:

y − y = K1 (x1 − x1 ) + K2 (x2 − x2 ) (3.140)

com

∂f (x1 , x2 ) ∂f (x1 , x2 )
y = f (x1 , x2 ), K1 = |x1 =x1 ,x2 =x2 e K2 = |x1 =x1 ,x2 =x2
∂x1 ∂x2

3.7.3 Exemplo de Linearização de uma Equação Não-Linear

Seja linearizar a equação

z = xy (3.141)

na região 5 ≤ x ≤ 7, 10 ≤ y ≤ 12.
Com a região de linearização deﬁnida seleciona-se x = 6 e y = 11. Como z = x y = 66.
Expandindo e equação não-linear (3.141) em uma série de Taylor próximo do ponto
x = x, y = y e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos:

z − z = a(x − x) + b(y − y) (3.142)


3.7 Linearização de Modelos 57

com
∂(xy)
a = |x=x,y=y = y = 11 (3.143)
∂x
∂(xy)
b = |x=x,y=y = x = 66 (3.144)
∂y

Então a equação linearizada é:

z − 66 = 11(x − 6) + 6(y − 11)
z = 11x + 6y − 66 (3.145)

Quando x = 5 e y = 10, o valor de z dado pela equação linearizada, equação (3.142),
é:

z = 11 × 5 + 6 × 10 = 49

Já o valor exato é dado pelo equação (3.141).

z = 5 × 10 = 50

Assim o erro é de (50 − 49)/50 = 0, 02, que representa um erro de 2%.


Capítulo 4

Modelos Matemáticos de Sistemas

Neste capítulo iremos modelar principalmente sistemas dinâmicos contínuos através
de equações diferencais lineares ordinárias. Se o modelo resultante for uma equação a
derivadas parciais, então esta será normalmente discretizada na sua variável espacial de
forma a obter uma descrição mais simples apesar de menos detalhada.

4.1 Sistema de Nível de Líquido
Considera-se um reservatório com uma seção reta de área A conforme indicado na
(4.1), com as seguintes variáveis 1 :

Figura 4.1: Nível de Líquido.

Qi valor de vazão de entrada, m3 /s;

Qo valor de vazão de saída, m3 /s

Q valor de vazão em regime permanente, m3 /s;
1
CARVALHO, J. L. M. de (2000), Sistemas de Controle Automático, LTC editora, Rio de Janiro, RJ,
p. 14 a 16.


60 Modelos Matemáticos de Sistemas

qi pequeno desvio da vazão de entrada em relação ao seu valor de regime, m3 /s;

q0 pequeno desvio da vazão de saída em relação ao seu valor de regime, m3 /s;

H altura do nível, m

H altura do nível em regime permanente, m

h pequeno desvio da altura do nível em relação ao seu valor de regime, m;

ρ densidade do fluido, kg/m3 ;

R resistência ao fluxo de líquido na restrição definida como a variação na diferença de
nível necessária para causar uma variação unitária na vazão, (m)/(m3 /s);

C capacitância do reservatório definida como sendo a variação na quantidade de líquido
armazenado necessário para causar uma variação unitária na altura do nível de
líquido, m3 /m;

A Lei da conservação de massa diz-nos que, num curto intervalo de tempo, a diferença
entre a vazão mássica de entrada e a de saída é igula ao aumento de massa de líquido
armazanado, isto é massa que entra menos massa que saí é igual a acumulação. Então

dH
ρQi − ρQo = ρA (4.1)
dt

onde: Qi = Q + qi , Qo = Q + qo e H = H + h.
É conhecido que a vazão através de um orifício é normalmente uma função da raiz
quadrada da queda de pressão através deste; para o caso de uma descarga para a atmosfera,
a queda de pressão é proporcional a H. Temos portanto, considerando uma abertura
pequena e constante,

√
Qo = K t H (4.2)

√
onde: Kt coeficiente do oifício (válvula) - Kt = Cd A 2g com Cd sendo o coeficiente de
descarga da válvula.
Devería-se também ser considerado a queda de pressão na linha de descarga que, para
umaregime turbulento, é aproximadamente proporcional ao quadrado da vazão.
Substituindo a equação (4.2) na equação (4.1) e reacrupando os termos, obtem-se o
seguinte modelo:

dH √
A + K t H = Qi (4.3)
dt


4.1 Sistema de Nível de Líquido 61

que é uma equação diferencial não linear. Obviamente, equações lineares são mais
fáceis de resolver; portanto deve-se tentar uma simplificação. Na maior parte das situações
se quer manter H constante, igual a H, e se o sistema de controle estiver funcionando
normalmente apenas permitirá pequenos desvios h ao redor do valor de equilíbrio H.
Pode-se linearizar a equação(4.3) ao redor do ponto de funcionamento H. Designa-se por
Q o valor em regime permanete da vazão, tanto de entrada como de saída.
Se Qi for subtamente aumentado de uma pequena quantidade constante qi , excitação
degrau, Qo aumentará gradualmente até Q + qi .
Exprimindo as variáveis da equação (4.1) em termos das suas componentes em regime
estacionário e dos seus desvios obtém-se:

d
A H + h = Q + qi − Q + qo (4.4)
dt

que é equivalente a

dh
A = qi − qo (4.5)
dt

Por outro lado,

Kt
qo = √ h + f (h2 ) (4.6)
2 H

onde: f (h2 ) são diferenciais de segunda ordem e superiores que serão desprezados na
linearização de H + h.
Substituindo a equação (4.6) na equação (4.5) chega-se a

√
2A H dqo (t)
+ qo (t) = qi (t) (4.7)
Kt dt

Definindo resistência dinâmica, R, como sendo a resistência ao fluxo de líquido na
restrição

√
2 H
R= (4.8)
Kt

a equação (4.7) é escrita como:


62 Modelos Matemáticos de Sistemas

dqo (t)
RA + qo (t) = qi (t) (4.9)
dt

Pode-se representa também a equação (4.9) em função da variável h. Da equação (4.6)
com a deﬁnição da equação (4.8) chega-se a:

h = Rqo (4.10)

Substituindo a equação (4.10) na equação (4.9), obtem-se:

dh(t)
RA + h(t) = Rqi (t) (4.11)
dt

As equações (4.9) e (4.11) são as equações lineares desejadas.
√
Vejamos agora como a equação (4.6) resultou da equação (4.2). Desenvolvendo H
em série de Taylor ao redor de H, obtém-se:

h h2 1
(H + h) = H+ √ − √ + ...
2 H 8 H
h
= H + √ + f (h2 ) (4.12)
2 H

Para pequenos valores de h pode-se desprezar os termos não-lineares f (h2 ) = 0.
Substituindo a equação (4.12) na equação (4.6) tem-se:

h
Qo + qo = Kt H+ √ (4.13)
2 H
√
como Qo = Kt H, então:

Kt h
qo = √ + K t H − Qo (4.14)
2 H

Kt
qo = √ h (4.15)
2 H


4.1 Sistema de Nível de Líquido 63

O valor de Kt pode ser determinado, sem diﬁculdades, por via experimental, através
da representação gráﬁca do valor de H, em regime permanente, para cada valor de Qi .

Figura 4.2: Vazão de Saída em Regime Estacionário em Função da Pressão da Altura da
Coluna de Líquido.


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