(1) Pede para classificar equações diferenciais em ordem e linearidade. (2) Pede para verificar soluções de equações diferenciais. (3) Pede para encontrar soluções de equações diferenciais de 1a ordem com condição inicial.

1. Universidade Federal da Bahia
MATA04 C´alculo C 2019.1
Lista de Exerc´ıcios 1- (EDO)
(1) Nos itens abaixo, determine a ordem da equa¸c˜ao diferencial e classifique em linear ou n˜ao-linear.
(a) t2 d2
y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sen t.
(b) (1 + y2
)
d2
y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et
.
(c)
d4
y
dt4
+
d3
y
dt3
+
d2
y
dt2
+
dy
dt
+ y = 1.
(d)
dy
dt
+ ty2
= 0.
(e)
d2
y
dt2
+ sen(t + y) = sen t.
(f)
d3
y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2
t)y = t3
.
(2) Nos itens abaixo, verique que a fun¸c˜ao (ou fun¸c˜oes) dada(s) ´e (s˜ao) solu¸c˜ao (solu¸c˜oes) da equa¸c˜ao diferencial.
(a) y − y = 0; y1(t) = et
y2 = cosh t.
(b) y + 2y − 3y = 0; y1(t) = e−3t
y2(t) = et
.
(c) ty − t = t2
; y = 3t + t2
.
(d) y + 4y + 3y = t; y1(t) =
t
3
y2(t) = e−t
+
t
3
.
(e) 2t2
y + 3ty − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2
y2(t) = t−1
.
(f) t2
y + 5ty + 4y = 0, t > 0; y1(t) = t−2
y2(t) = t2
ln t.
(g) y + y = sec t, 0 < t < π
2 ; y = (cos t) ln cos t + t sen t.
(h) y − 2ty = 1; y = et2
t
0
e−s2
ds + et2
.
(3) Encontre a solu¸c˜ao da EDO linear de 1a
ordem com condi¸c˜ao inicial.
(a) y − y = 2te2t
, y(0) = 1.
(b) y + 2y = te−2t
, y(1) = 0.
(c) ty + 2y = t2
− t + 1, t > 0, y(1) = 1/2.
(d) y +
2
t
y =
cos(t)
t2
, t > 0, y(π) = 0.
(e) y − 2y = e2t
, y(0) = 2.
(f) ty + 2y = sen(t), t > 0, y(π/2) = 1.
(g) t3
y + 4t2
y = e−t
, t > 0, y(−1) = 0.
(h) ty + (t + 1)y = t, t > 0, y(ln(2)) = 1.
(4) Um pequeno lago cont´em, inicialmente, 1.000.000 de gal˜oes (aproximadamente 4.550.000 litros) de ´agua e
uma quantidade desconhecida de um produto qu´ımico indesej´avel. O lago recebe ´agua contendo 0,01 grama
dessa mesma substˆancia por gal˜ao a uma taxa de 300 gal˜oes por minuto. A mistura sai a mesma taxa,
de modo que a quantidade de ´agua no lago permanece constante. Suponha que o produto qu´ımico est´a
distribu´ıdo uniformemente no lago.
(a) Escreva uma equa¸c˜ao diferencial cuja solu¸c˜ao ´e a quantidade de produto qu´ımico no lago em um
instante qualquer.
(b) Determine a solu¸c˜ao geral para a equa¸c˜ao diferencial.
(5) Mostre que a EDO ´e separ´avel e encontre a solu¸c˜ao.
(a) y =
x2
y
.
(b) y + y2
sen(x) = 0.
(c) y = (cos2
(x))(cos2
(2y)).
(d)
dy
dx
=
x − e−x
y + ey
.
(e) y = (1 − 2x)y2
, y(0) = −1/6.
(f)
dr
dθ
=
r2
θ
, r(1) = 2.
1

2. 2
(g) y =
2x
1 + 2y
, y(2) = 0. (h) y =
e−x
− ex
3 + 4y
, y(0) = 1.
(6) Mostre que a EDO ´e homogˆenea e encontre a solu¸c˜ao.
(a)
dy
dx
=
x2
+ xy + y2
x2
.
(b)
dy
dx
=
x2
+ 3y2
2xy
.
(c)
dy
dx
=
4y − 3x
2x − y
.
(d)
dy
dx
= −
4x + 3y
2x + y
.
(e)
dy
dx
=
x + 3y
x − y
.
(f) (x2
+ 3xy + y2
) dx − x2
dy = 0.
(g)
dy
dx
=
x2
− 3y2
2xy
.
(h)
dy
dx
=
3y2
− x2
2xy
.
(7) Mostre que a EDO ´e exata e encontre a solu¸c˜ao.
(a) 2x + 3 + (2y − 2)y = 0.
(b) 3x2
− 2xy + 2 + (6y2
− x2
+ 3)
dy
dx
= 0.
(c) 2xy2
+ 2y + (2x2
y + 2x)y = 0.
(d)
dy
dx
= −
ax + by
bx + cy
(e) (ex
sen(y) − 2y sen(x))dx + (ex
cos(y) + 2 cos(x))dy = 0.
(f) (yexy
cos(2x) − 2exy
sen(2x) + 2x)dx + (xexy
cos(2x) − 3)dy = 0
(g)
y
x
+ 6x dx = (2 − ln(x))dy, x > 0.
(h)
x
(x2 + y2)3/2
dx +
y
(x2 + y2)3/2
dy = 0.
(8) Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solu¸c˜ao.
(a) (3x2
y + 2xy + y3
)dx + (x2
+ y2
)dy = 0.
(b) y = e2x
+ y − 1.
(c) dx + (x/y − sen(y)) dy = 0.
(d) y + (2xy − e−2y
)y = 0.
(9) Encontre a solu¸c˜ao da EDO de Bernoulli.
(a) x
dy
dx
+ y = y−2
, x = 0.
(b)
dy
dx
= y(xy3
− 1), x = 0.
(c) t2 dy
dt
+ y2
= ty, t = 0.
(d) t2
y + 2ty − y3
= 0, t > 0.

3. 3
Respostas
(1) (a) segunda ordem, linear
(b) segunda ordem, n˜ao-linear
(c) quarta ordem, linear
(d) primeira ordem, n˜ao-linear
(e) segunda ordem, n˜ao-linear
(f) terceira ordem, linear
(2) (a) sim e sim
(b) sim e sim
(c) n˜ao
(d) sim e sim
(e) sim e sim
(f) sim e n˜ao
(g) sim
(h) sim
(3) (a) y = 3et
+ 2(t − 1)e2
t
(b) y = (t2
− 1)e−2t
/2
(c) y = (3t4
− 4t3
+ 6t2
+ 1)/12t2
(d) y = (sen(t))/t2
(e) y = (t + 2)e2t
(f) y = t−2
(π2
/4) − 1 − t cos(t) + sen(t)
(g) y = −(1 + t)e−t
/t4
(h) y = (t − 1 + 2e−t
)/t
(4) (a)
dq
dt
= 300(10−2
− q10−6
)
(b) q(t) = Ce−3·10−4
t
(5) (a) 3y2
− 2x3
= c, y = 0
(b) y = 0 ou y−1
+ cos(x) = c se y = 0
(c) y = ±(2n + 1)π/4 ou 2 tg(2y) − 2x − sen(2x) = c se cos(2y) = 0
(d) y2
− x2
+ 2(ey
− e−x
) = c; para y + ey
= 0
(e) y = 1/(x2
− x − 6)
(f) r = 2/ [1 − 2 ln(θ)]
(g) y = −1
2 + 1
2
√
4x2 − 15
(h) y = −3
4 + 1
4
√
65 − 8ex − 8e−x
(6) (a) arctg(y/x) − ln |x| = C
(b) x2
+ y2
− cx3
= 0
(c) |y − x| = c|y + 3x|5
ou y = −3x
(d) |y + x|(y + 4x)2
= c
(e) y = −x ou 2x/(x + y) + ln |x + y| = c
(f) y = −x ou x/(x + y) + ln |x| = c
(g) |x3
||x2
− 5y2
| = c
(h) c|x3
| = |y2
− x2
|
(7) (a) x2
+ 3x + y2
− 2y = c
(b) x3
− x2
y + 2x + 2y3
+ 3y = c
(c) x2
y2
+ 2xy = c
(d) ax2
+ 2bxy + cy2
= k
(e) y = 0 ou ex
sen(y) + 2y cos(x) = c
(f) exy
cos(2x) + x2
− 3y = c
(g) y ln(x) + 3x2
− 2y = c
(h) x2
+ y2
= c
(8) (a) µ(x) = e3x
; (3x2
y + y3
)e3x
= c
(b) µ(x) = e−x
; y = cex
+ e2x
+ 1
(c) ν(y) = y; xy + y cos(y) − sen(y) = c
(d) ν(y) = e2y
y ; y = 0 e xe2y
− ln |y| = c
(9) (a) y = 3
√
1 + cx−3
(b) y−3
= x + 1
3 + ce3x
(c) et/y
= ct
(d) y = ± 5t/(2 + 5ct5
)
1/2