Este documento apresenta os conceitos de coordenadas polares e curvas paramétricas no plano, incluindo: 1) a definição de coordenadas polares e suas relações com coordenadas retangulares; 2) exemplos de curvas como retas, circunferências e caracóis de Pascal em coordenadas polares; 3) problemas propostos e suas soluções envolvendo estas noções.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
O documento discute conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) monômios e polinômios são expressões algébricas formadas por termos; 2) o grau de um polinômio é dado pelo maior expoente de um termo; 3) operações como adição, subtração e multiplicação de polinômios.
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de funçãoDiego Oliveira
1) O documento apresenta 9 exemplos resolvidos de problemas de máximos e mínimos utilizando cálculo.
2) Os exemplos envolvem encontrar áreas, volumes e distâncias máximas dadas certas restrições e funções objetivo.
3) As soluções utilizam derivadas de primeira e segunda ordem, testes de pontos críticos e análise de gráficos para localizar extremos.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
O documento descreve as principais relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência. 1) No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 2) Outras relações envolvem a altura, projeções e produtos dos lados. 3) Essas relações podem ser aplicadas para calcular diagonais, alturas e diagonais de figuras.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
O documento discute conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) monômios e polinômios são expressões algébricas formadas por termos; 2) o grau de um polinômio é dado pelo maior expoente de um termo; 3) operações como adição, subtração e multiplicação de polinômios.
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de funçãoDiego Oliveira
1) O documento apresenta 9 exemplos resolvidos de problemas de máximos e mínimos utilizando cálculo.
2) Os exemplos envolvem encontrar áreas, volumes e distâncias máximas dadas certas restrições e funções objetivo.
3) As soluções utilizam derivadas de primeira e segunda ordem, testes de pontos críticos e análise de gráficos para localizar extremos.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
O documento descreve as principais relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência. 1) No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 2) Outras relações envolvem a altura, projeções e produtos dos lados. 3) Essas relações podem ser aplicadas para calcular diagonais, alturas e diagonais de figuras.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
Este documento explica o Teorema de Rolle e fornece dois exemplos resolvidos de sua aplicação. Resume que o Teorema de Rolle diz que se uma função contínua em um intervalo tem o mesmo valor nos extremos, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde sua derivada é nula.
1) O documento explica o domínio de várias funções reais definidas por equações ou expressões algébricas.
2) Pede para determinar o conjunto imagem de uma função dada o seu domínio.
3) Pede para calcular o valor de uma função para um determinado valor de entrada.
4) Pede para calcular o valor de um parâmetro m de funções dadas, equacionando-as.
5) Apresenta diagramas e pede para identificar qual representa uma função.
1) O documento discute limites de funções e continuidade. Primeiramente reescreve o expoente de uma expressão e calcula valores de constantes e limites.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
O documento apresenta 15 exercícios resolvidos de matemática, com problemas envolvendo proporções, porcentagens e operações com frações. Os exercícios abordam tópicos como torneiras enchendo tanques, divisão de heranças, gastos com compras e idades.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
1. O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Inclui cálculos de potências com inteiros e fracionários, propriedades de potenciação, simplificação de expressões e transformação em radical.
2. Os exercícios abordam temas como cálculo de potências, propriedades para simplificar expressões, uso de propriedades de forma inversa e fatoração do tipo fator comum.
3. A resolução requer aplicar propriedades de potenciação, como leis de exponenciação e igualdade de
O documento descreve funções de primeiro grau, incluindo sua forma geral como y = ax + b, onde a é a taxa de variação e b é o termo independente. Ele explica como calcular a raiz ou zero de uma função, que é o valor de x que torna y igual a zero. Também discute como determinar se uma função é crescente ou decrescente com base no sinal de a, e como identificar uma função de primeiro grau a partir de seu gráfico.
geometriaplana exercciosresolvidos-crbrasil-140305081241-phpapp02Madjard de Sousa
Este documento contém 25 exercícios resolvidos de geometria plana. Os exercícios envolvem cálculos com segmentos de reta, triângulos (equiláteros, isósceles e escalenos) e ângulos. As soluções fornecem os passos de raciocínio e cálculos para encontrar os valores solicitados.
1) A função exponencial e a função logarítmica representam variações de grandezas que crescem ou decrescem em taxas constantes.
2) A função exponencial f(x) = ax representa crescimento exponencial, enquanto a função logarítmica f(x) = logb(x) representa seu inverso.
3) Essas funções possuem propriedades importantes como monotonicidade e inversibilidade que permitem resolver equações e inequações exponenciais e logarítmica
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
Este documento apresenta a resolução de exercícios de cálculo de funções de várias variáveis. Os exercícios incluem encontrar funções para expressar relações geométricas e físicas, determinar domínios e conjuntos imagem de funções, e representar graficamente funções.
Exercícios Resolvidos: Volume dos sólidos de revoluçãoDiego Oliveira
O documento fornece exemplos resolvidos de como calcular o volume de sólidos de rotação. Explica as fórmulas para rotação em torno dos eixos x e y e como determinar o raio de rotação. Também discute casos onde o sólido é maciço ou oco e como calcular cada um.
O documento apresenta o cálculo de uma viga contínua com dois vãos, utilizando os fatores de carga e a equação geral dos três momentos. Os valores dos fatores de carga são calculados para cada vão e a equação é resolvida, obtendo-se os momentos fletores nos apoios e no ponto de inflexão.
O documento discute pontos no plano cartesiano, incluindo pares ordenados, quadrantes, eixos x e y, e como localizar pontos. Exemplos e exercícios são fornecidos para reforçar os conceitos ensinados.
O documento descreve equações do segundo grau, definindo seus elementos e características, como tendo a forma geral ax2 + bx + c = 0 e possuindo dois coeficientes (a e b) e um termo independente (c). Também explica como encontrar as raízes de uma equação quadrática.
Mat exercicios resolvidos – superficies quadricastrigono_metria
Este documento apresenta diferentes tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides elípticos e cônicas. Fornece as equações para cada superfície e explica graficamente suas características. Resolve exemplos passo a passo para identificar superfícies a partir de suas equações.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES E A EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIACarlos Campani
1) O documento descreve o sistema de coordenadas cartesiano retangular, no qual pontos em um plano são representados por pares ordenados (x, y) em relação aos eixos x e y.
2) Explica como calcular a distância entre dois pontos e a inclinação de uma reta passando por dois pontos no plano cartesiano.
3) Apresenta a dedução da equação geral de uma circunferência a partir da fórmula de Pitágoras e como verificar se uma equação representa ou não uma circunferência.
Este documento explica o Teorema de Rolle e fornece dois exemplos resolvidos de sua aplicação. Resume que o Teorema de Rolle diz que se uma função contínua em um intervalo tem o mesmo valor nos extremos, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde sua derivada é nula.
1) O documento explica o domínio de várias funções reais definidas por equações ou expressões algébricas.
2) Pede para determinar o conjunto imagem de uma função dada o seu domínio.
3) Pede para calcular o valor de uma função para um determinado valor de entrada.
4) Pede para calcular o valor de um parâmetro m de funções dadas, equacionando-as.
5) Apresenta diagramas e pede para identificar qual representa uma função.
1) O documento discute limites de funções e continuidade. Primeiramente reescreve o expoente de uma expressão e calcula valores de constantes e limites.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
O documento apresenta 15 exercícios resolvidos de matemática, com problemas envolvendo proporções, porcentagens e operações com frações. Os exercícios abordam tópicos como torneiras enchendo tanques, divisão de heranças, gastos com compras e idades.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
1. O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Inclui cálculos de potências com inteiros e fracionários, propriedades de potenciação, simplificação de expressões e transformação em radical.
2. Os exercícios abordam temas como cálculo de potências, propriedades para simplificar expressões, uso de propriedades de forma inversa e fatoração do tipo fator comum.
3. A resolução requer aplicar propriedades de potenciação, como leis de exponenciação e igualdade de
O documento descreve funções de primeiro grau, incluindo sua forma geral como y = ax + b, onde a é a taxa de variação e b é o termo independente. Ele explica como calcular a raiz ou zero de uma função, que é o valor de x que torna y igual a zero. Também discute como determinar se uma função é crescente ou decrescente com base no sinal de a, e como identificar uma função de primeiro grau a partir de seu gráfico.
geometriaplana exercciosresolvidos-crbrasil-140305081241-phpapp02Madjard de Sousa
Este documento contém 25 exercícios resolvidos de geometria plana. Os exercícios envolvem cálculos com segmentos de reta, triângulos (equiláteros, isósceles e escalenos) e ângulos. As soluções fornecem os passos de raciocínio e cálculos para encontrar os valores solicitados.
1) A função exponencial e a função logarítmica representam variações de grandezas que crescem ou decrescem em taxas constantes.
2) A função exponencial f(x) = ax representa crescimento exponencial, enquanto a função logarítmica f(x) = logb(x) representa seu inverso.
3) Essas funções possuem propriedades importantes como monotonicidade e inversibilidade que permitem resolver equações e inequações exponenciais e logarítmica
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
Este documento apresenta a resolução de exercícios de cálculo de funções de várias variáveis. Os exercícios incluem encontrar funções para expressar relações geométricas e físicas, determinar domínios e conjuntos imagem de funções, e representar graficamente funções.
Exercícios Resolvidos: Volume dos sólidos de revoluçãoDiego Oliveira
O documento fornece exemplos resolvidos de como calcular o volume de sólidos de rotação. Explica as fórmulas para rotação em torno dos eixos x e y e como determinar o raio de rotação. Também discute casos onde o sólido é maciço ou oco e como calcular cada um.
O documento apresenta o cálculo de uma viga contínua com dois vãos, utilizando os fatores de carga e a equação geral dos três momentos. Os valores dos fatores de carga são calculados para cada vão e a equação é resolvida, obtendo-se os momentos fletores nos apoios e no ponto de inflexão.
O documento discute pontos no plano cartesiano, incluindo pares ordenados, quadrantes, eixos x e y, e como localizar pontos. Exemplos e exercícios são fornecidos para reforçar os conceitos ensinados.
O documento descreve equações do segundo grau, definindo seus elementos e características, como tendo a forma geral ax2 + bx + c = 0 e possuindo dois coeficientes (a e b) e um termo independente (c). Também explica como encontrar as raízes de uma equação quadrática.
Mat exercicios resolvidos – superficies quadricastrigono_metria
Este documento apresenta diferentes tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides elípticos e cônicas. Fornece as equações para cada superfície e explica graficamente suas características. Resolve exemplos passo a passo para identificar superfícies a partir de suas equações.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES E A EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIACarlos Campani
1) O documento descreve o sistema de coordenadas cartesiano retangular, no qual pontos em um plano são representados por pares ordenados (x, y) em relação aos eixos x e y.
2) Explica como calcular a distância entre dois pontos e a inclinação de uma reta passando por dois pontos no plano cartesiano.
3) Apresenta a dedução da equação geral de uma circunferência a partir da fórmula de Pitágoras e como verificar se uma equação representa ou não uma circunferência.
O documento descreve os sistemas de coordenadas cartesianas e polares. Explica como representar pontos no plano usando cada sistema e fornece as equações de transformação entre os sistemas. Também apresenta as equações polares das principais cônicas - circunferência, elipse, hipérbole e parábola - em termos da distância polar ρ e do ângulo polar θ.
O documento descreve conceitos básicos de geometria analítica, incluindo distância entre pontos, ponto médio de um segmento de reta, equação geral da reta, posições relativas entre retas, distância entre ponto e reta e área do triângulo. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios no final aplicam esses conceitos.
O documento apresenta os principais sistemas de coordenadas no plano e no espaço, incluindo:
- Coordenadas retangulares no plano e no espaço tridimensional
- Coordenadas polares no plano
- Coordenadas cilíndricas no espaço, que estendem as polares para três dimensões
- Coordenadas esféricas no espaço, representando distância, ângulo zenital e ângulo azimutal
Este documento apresenta uma proposta de prova modelo de Matemática A para o 12o ano de escolaridade. A prova é constituída por dois cadernos, com duração total de 150 minutos. O Caderno 1 contém 7 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos. O Caderno 2 contém 5 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos, não sendo permitido o uso de calculadora. Cada questão possui uma cotação específica e o total da prova é de 200 pontos
Este documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano e na reta, equações de retas e cônicas, e posições relativas entre retas e circunferências. Dividido em cinco partes, o documento aborda tópicos como coordenadas cartesianas, equações de retas, parábolas, elipses, hipérboles, e lugares geométricos.
Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo C.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) O documento discute identificação de curvas do segundo grau no plano, incluindo elipses, hipérboles e parábolas. 2) Fornece as definições geométricas dessas curvas e deriva suas equações algébricas canônicas por meio de mudanças de coordenadas. 3) Explica como os coeficientes nas equações se relacionam com características geométricas como focos, vértices e assíntotas.
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.numerosnamente
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano, incluindo referenciais ortonormados, distância entre pontos, equações de retas e circunferências, e conceitos básicos sobre vetores.
2. São definidos conceitos como ponto médio de um segmento, mediatriz de um segmento, elipses, semiplanos definidos por retas, círculos e suas partes, vetores, operações com vetores e coordenadas de vetores.
3. São apresentadas fórmulas e exemplos para calcular dist
1) O vértice E do paralelepípedo pertence à reta r de equação z2yx −=−= . As coordenadas de E são determinadas como (10,12,12).
2) Sabendo que o vértice B tem coordenadas (0,1,1) e que A(0,0,1) são vértices consecutivos de um quadrado no plano 01z2yx: =−+−α , as coordenadas dos outros dois vértices são determinadas como (0,2,1) e (0,3,3).
3) Uma equação do plan
O documento descreve:
1) Os eixos de coordenadas no espaço (x, y, z) e planos coordenados.
2) Interseções de planos, que resultam em retas.
3) Exemplos de representação analítica de objetos geométricos no espaço como paralelepípedos, esferas e retas.
1) Uma circunferência trigonométrica é uma circunferência unitária centrada na origem de um sistema cartesiano.
2) Ela define convenções para a medição de arcos, como o ponto A como origem dos arcos e os quadrantes.
3) A função seno e cosseno são periódicas e mapeiam ângulos para valores entre -1 e 1 baseado na ordenada e abscissa dos pontos na circunferência.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
Este documento descreve como determinar a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos, um ponto e a inclinação, ou um ponto e o ângulo com o eixo x. Explica que dois pontos determinam uma única reta e como alinhar um ponto genérico para obter a equação. Também mostra como calcular a inclinação e como usar um ponto e a inclinação para encontrar a equação geral e reduzida de uma reta.
Este documento descreve as seções cônicas, que são curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone circular reto. As seções cônicas incluem parábolas, elipses, hipérboles e circunferências, e podem ser representadas por equações quadráticas. O documento também explica como translações e rotações de eixos podem ser usadas para simplificar essas equações.
O documento discute as seções cônicas, curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. Apresenta breve histórico sobre o estudo destas curvas desde a Grécia Antiga, destacando contribuições de Arquimedes, Apolônio, Galileu e Newton. Em seguida, define e apresenta as equações das principais seções cônicas: elipse, hipérbole, parábola e circunferência.
1) O documento descreve as características de uma circunferência trigonométrica, incluindo sua definição, convenções e propriedades.
2) As funções seno e cosseno são definidas e suas propriedades de período, sinal e gráficos são explicadas.
3) A influência dos parâmetros a, b, c e d nas funções do tipo y=a+bsen(cx+d) e y=acos(bx+c)+d é descrita.
O documento descreve fórmulas para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância mínima entre objetos e ângulo mínimo formado. Fornece exemplos numéricos ilustrando o cálculo de distâncias entre pontos, retas e planos.
Semelhante a 7 coordenadas polares e curvas paramétricas (20)
1. MATEMÁTICA II
(Módulo de Análise Matemática)
Apontamentos das aulas
Problemas propostos
Soluções dos problemas propostos
Mestrado Integrado em Engenharia Química
FEUP
João M. M. Mendonça
2.
3. Capítulo # 7
COORDENADAS POLARES E
CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
7.1 Coordenadas polares no plano
7.2 Curvas paramétricas no plano
7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas”
4.
5. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
1
7.1 Coordenadas polares no plano
A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas
coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo o pólo,
e uma semi-recta com origem em O como sendo o eixo polar. A coordenada
radial r representa a distância do ponto P ao pólo O, enquanto que a coordenada
angular θ representa o ângulo que o segmento
OP faz com o eixo polar:
Por definição, o sentido positivo para a marcação da coordenada angular ou
ângulo polar é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O valor de θ é
arbitrário para o pólo O, já que este é o único ponto do plano cuja coordenada
radial é igual a zero.
6. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
As coordenadas polares de um ponto, ao contrário das suas coordenadas
rectangulares, não têm um valor único, pois o ponto P(r,θ) também pode ser
representado por P(r, θ + 2kπ), com k ∈ Z.
Por vezes, é conveniente utilizar coordenadas radiais negativas, definidas da
seguinte forma: (r,θ) e (– r, θ + π) são representações alternativas do mesmo
ponto em coordenadas polares. Como iremos ver mais à frente, esta definição é
particularmente útil quando lidamos com curvas em coordenadas polares.
7.1.1 Relações entre coordenadas polares e rectangulares
Em muitos problemas, há necessidade de utilizar simultaneamente coordenadas
polares e coordenadas rectangulares no plano. Quando tal acontecer, considera-
-se por convenção que o pólo do sistema de coordenadas polares é coincidente
com a origem do sistema de coordenadas rectangulares, e que o eixo polar é
coincidente com a parte positiva do eixo Ox:
Utilizando esta convenção, resultam imediatamente da figura as seguintes
relações entre os dois sistemas de coordenadas:
2
7. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
3
x = r cos θ
y = r sen θ
⎧
⎨
⎩
e
r2 = x2 + y2
tg θ = y
x
, se x ≠ 0
θ = ± π/2 , se x = 0 e y ≠ 0
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Se x 0, o ponto P estará situado no 1º ou no 4º quadrantes, e então podemos
escrever que θ = arctg (y/x); porém, se x 0, o ponto P estará situado no 2º ou
no 3º quadrantes, e deveremos escrever θ = π + arctg (y/x), já que, como é
sabido, o contradomínio da função arctg é o intervalo ]– π/2, π/2[.
Como a coordenada θ não está definida para a origem das coordenadas, este
ponto pode ser representado em coordenadas polares por (0, θ), em que o ângulo
θ é arbitrário.
Exemplo 7.1 Escrever todas as representações possíveis em coordenadas
polares do ponto com coordenadas rectangulares (1,
3).
x = 1
y = 3
⎧
⎨
⎩
⇒
r2 = 4
tg θ = 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
r = ± 2
θ = π/3 ∨ θ = 4π/3
⎧
⎨
⎩
Como o ponto em causa é do 1º quadrante (x 0 ∧ y 0), se utilizarmos o
valor positivo para a coordenada radial, a correspondente coordenada angular
deverá ser π/3:
(2, π/3) ou, mais geralmente, (2, π/3 + 2kπ), com k ∈ Z.
Se, porém, utilizarmos o valor negativo para a coordenada radial, então a
correspondente coordenada angular deverá ser 4π/3:
(– 2, 4π/3) ou, mais geralmente, (– 2, 4π/3 + 2kπ), com k ∈ Z.
8. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
7.1.2 Curvas em coordenadas polares
Algumas curvas têm equações muito mais simples em coordenadas polares do
que em coordenadas rectangulares, o que justifica a utilização de coordenadas
polares em muitos problemas que envolvam essas curvas.
O gráfico da equação F(r,θ) = 0 é definido como sendo o conjunto de todos os
pontos do plano Oxy em que cada ponto tem pelo menos um par de coordenadas
polares (r,θ) que satisfaz aquela equação. Em muitos casos, verifica-se que a
equação F(r,θ) = 0 pode ser resolvida em ordem a r, isto é, pode ser escrita na
chamada forma explícita, r = f(θ).
A curva correspondente poderá ser esboçada se prepararmos uma tabela com
alguns valores de (r,θ) que satisfaçam a equação dada. Apresentamos a seguir
três testes de simetria que poderão ser utilizados com vantagem para esboçar os
gráficos de curvas em coordenadas polares.
4
7.1.2.1 Testes de simetria
Se a equação não se alterar
quando se substitui θ por – θ,
o gráfico é simétrico com
respeito ao eixo Ox:
9. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
5
Se a equação não se alterar
quando se substitui θ por
π – θ, o gráfico é simétrico
com respeito ao eixo Oy:
Se a equação não se alterar
quando se substitui r por – r,
o gráfico é simétrico com
respeito à origem:
Estas são condições suficientes de simetria, mas não são necessárias; isto
significa que as simetrias referidas podem ocorrer mesmo que estas condições
não sejam satisfeitas.
10. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
7.1.2.2 Rectas em coordenadas polares
As únicas rectas que têm uma representação simples em coordenadas polares
são as rectas verticais, as rectas horizontais e as rectas que passam pela origem
das coordenadas:
6
A recta vertical que passa
pelo ponto de coordenadas
rectangulares (a, 0) tem a
seguinte equação em
coordenadas polares:
r cos θ = a
ou
r = a sec θ
em que θ ∈ ]– π/2, π/2[.
A recta horizontal que passa
pelo ponto de coordenadas
rectangulares (0, a) tem a
seguinte equação em
coordenadas polares:
r sen θ = a
ou
r = a cosec θ
em que θ ∈ ]0, π[.
11. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
7
Uma recta que passe pela
origem das coordenadas e que
faça um ângulo θo com a
parte positiva do eixo Ox tem
a seguinte equação em
coordenadas polares:
θ = θo
em que r ∈ ]– ∞, ∞[.
7.1.2.3 Circunferências em coordenadas polares
As únicas circunferências com equações simples em coordenadas polares são as
circunferências centradas na origem, e as circunferências centradas num dos
eixos e tangentes ao outro eixo na origem das coordenadas
Uma circunferência com
centro na origem e de raio
igual a
a tem a seguinte
equação em coordenadas
polares:
r = a
em que θ ∈ [0, 2π].
12. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
8
Uma circunferência com
centro no ponto (a, 0) e de
raio igual a
a tem a seguinte
equação em coordenadas
polares:
r = 2a cos θ
em que θ ∈ [– π/2, π/2].
Uma circunferência com
centro no ponto (0, a) e de
raio igual a
a tem a seguinte
equação em coordenadas
polares:
r = 2a sen θ
em que θ ∈ [0, π].
13. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
Exemplo 7.2 Mostre que a curva polar de equação r = – 4 sen θ é uma
circunferência, obtendo a sua equação em coordenadas
rectangulares; em seguida, calcule as coordenadas polares de
alguns pontos e faça um esboço da curva.
r = – 4 sen θ ⇒ r2 = – 4 r sen θ ⇒ x2 + y2 = – 4y ⇒ x2 + (y + 2)2 = 4
A equação r = – 4 sen θ representa uma circunferência de raio 2 centrada no
ponto (0, – 2); calculemos as coordenadas polares de alguns pontos do gráfico:
θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π
r 0 – 2 – 2
9
3 – 4 – 2
3 – 2 0
Se considerarmos o intervalo [π, 2π], obtemos exactamente os mesmos pontos:
θ π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π
r 0 2 2
3 4 2
3 2 0
A circunferência é gerada quando θ percorre qualquer intervalo [α, π + α]:
14. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
7.1.2.4 Caracóis de Pascal
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:
r = a + b cos θ ou r = a + b sen θ
Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer o
intervalo [0, 2π]. A forma do caracol de Pascal é determinada apenas pelo valor
absoluto do quociente a/b:
10
⎧
⎨
0 a /b 1: caracol de Pascal com laço
a /b = 1: cardióide
1 a /b 2 : caracol de Pascal com reentrância
a /b 2 : caracol de Pascal convexo
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Quanto à posição do caracol de Pascal em relação aos eixos coordenados, ela
depende de a/b ser positivo ou negativo, e de aparecer cos θ ou sen θ na equação
respectiva:
Caracol com laço de equação r = 1 + 2 cos θ:
a /b = 1/2
15. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
Cardióide de equação r = 2 + 2 cos θ:
11
a /b = 1
Caracol com reentrância de equação r = 3 + 2 cos θ:
a /b = 3/2
16. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Caracol convexo de equação r = 5 + 2 cos θ:
12
a /b = 5/2
A resolução analítica de duas equações simultâneas em coordenadas polares
nem sempre produz todos os pontos de intersecção dos respectivos gráficos,
devido ao facto de cada ponto ter múltiplas representações em coordenadas
polares. Assim, a única forma certa de visualizar todos os pontos de intersecção
de duas curvas polares consiste em traçar os gráficos dessas curvas.
Exemplo 7.3 Determine as coordenadas polares de todos os pontos de
intersecção dos cardióides de equações r = 1 + cos θ e
r = 1 – cos θ.
Comecemos por determinar as coordenadas polares de todos os pontos que
satisfazem simultaneamente as duas equações dadas:
1 + cos θ = 1 – cos θ ⇒ 2 cos θ = 0 ⇒ θ = π/2 ∨ θ = 3π/2 ⇒ r = 1
As soluções encontradas algebricamente são portanto as seguintes, utilizando
coordenadas polares:
A(1, π/2) e B(1, 3π/2)
17. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
A única forma certa de verificar se existem mais pontos de intersecção consiste
em traçar as duas curvas no mesmo gráfico:
Claramente, há um terceiro ponto de intersecção, que é a origem. Porém, as
coordenadas polares deste ponto não podem ser obtidas por métodos algébricos,
já que essas coordenadas são (0, π) para o cardióide de equação r = 1 + cos θ,
mas são (0, 0) para o cardióide de equação r = 1 – cos θ.
13
7.1.2.5 As rosáceas
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:
r = a cos nθ ou r = a sen nθ
em que n ∈ IN . Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ
percorrer o intervalo [0, 2π] quando n for par, ou o intervalo [0, π] quando n for
ímpar. A posição da rosácea em relação aos eixos coordenados, depende de a ser
positivo ou negativo, e de aparecer cos nθ ou sen nθ na equação.
18. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Se n for par, as rosáceas apresentam 2n “laços”, igualmente espaçados em torno
da origem (em termos angulares); se n for ímpar, as rosáceas só apresentam n
“laços”, também igualmente espaçados. O comprimento do diâmetro de cada
um dos “laços”, medido a partir da origem até à sua extremidade, é igual a
14
a :
Rosácea de 4 laços de equação r = 2 cos 2θ
Rosácea de 3 laços de equação r = 2 cos 3θ
19. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
Rosácea de 8 laços de equação r = 2 cos 4θ
Rosácea de 5 laços de equação r = 2 cos 5θ
15
20. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
16
7.1.2.6 As espirais
Este é o nome genérico que é dado a todas as curvas polares abertas que dão
infinitas “voltas” em torno da origem à medida que θ aumenta ou diminui.
Há vários tipos diferentes de espirais, dos quais mencionaremos apenas os três
exemplos mais conhecidos:
• Espirais de Arquimedes:
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = aθ, em
que θ ≥ 0 ou θ ≤ 0, e a ∈ IR {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em
torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ:
Espiral de Arquimedes de equação r = 2θ, com θ ≥ 0
• Espirais logarítmicas:
Estas são curvas que se obtêm como gráfico da equação r = eaθ, em que θ ∈ IR ,
e a ∈ IR {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem
depende apenas do sinal de a:
21. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
Espiral logarítmica de equação r = eθ/5
17
• Espirais hiperbólicas:
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = a/θ , em
que θ 0 ou θ 0, e a ∈ IR {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em
torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ:
Espiral hiperbólica de equação r = 10/θ, com θ 0 (notar a assímptota y = 10)
22. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Note-se que a recta de equação y = a é uma assímptota horizontal do gráfico da
espiral hiperbólica de equação r = a/θ, já que:
18
lim
θ→0
y =
lim
θ→0
r sen θ =
lim
θ→0
(a/θ) sen θ = a
lim
θ→0
sen θ
θ = a (1) = a.
7.1.2.7 As lemniscatas (de Bernoulli)
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:
r2 = ± a2 cos 2θ ou r2 = ± a2 sen 2θ
Trata-se de curvas fechadas “em forma de hélice”, que podem ser traçadas
fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π/2, e considerando apenas os
pontos em que r2 ≥ 0. A posição da lemniscata com respeito aos eixos
coordenados depende de o sinal de a2 ser positivo ou negativo, e de aparecer
cos 2θ ou sen 2θ na equação:
A lemniscata de equação r2 = 4 cos 2θ, com θ ∈ [– π/4, π/4]
23. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
A lemniscata de equação r2 = 4 sen 2θ, com θ ∈ [0, π/2]
7.1.2.8 As curvas “em forma de oito”
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:
r2 = ± a2 cos θ ou r2 = ± a2 sen θ
Trata-se de curvas fechadas “em forma de oito”, que podem ser traçadas
fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π, e considerando apenas os
pontos em que r2 ≥ 0.
A posição destas curvas com respeito aos eixos coordenados depende apenas de
aparecer cos θ ou sen θ na equação:
19
24. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
A curva “em forma de oito” de equação r2 = 4 cos θ, com θ ∈ [– π/2, π/2]
A curva “em forma de oito” de equação r2 = 4 sen θ, com θ ∈ [0, π]
20
25. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
7.1.3 Área em coordenadas polares
Para deduzir a fórmula integral que nos permite calcular a área delimitada por
uma curva polar utiliza-se a conhecida expressão da área de um sector circular
de raio r e ângulo-ao-centro Δθ, ou seja:
* ∈ [θi–1, θi], em que i = 1, ..... , n:
21
Área do sector circular =
1
2
r2 Δθ
Seja r = f(θ) uma função contínua e não-negativa de θ, em que α ≤ θ ≤ β e
0 β – α ≤ 2π. Começamos por fazer uma partição regular de [α, β] em n sub-
-intervalos todos iguais, de comprimento Δθ =
β − α
n
. Em seguida, escolhemos
um ponto qualquer θ
i
É evidente da figura junta que quanto maior for n e menor for Δθ, mais as
regiões obtidas com esta partição se assemelharão a sectores circulares.
26. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Portanto, se Δθ ≈ 0, podemos afirmar que a área de cada uma dessas regiões é
praticamente igual à área de um sector circular de raio f
nΣ
22
θi *
( ) e ângulo-ao-centro
Δθ, ou seja:
ΔAi ≈
1
2
⎡ ( )
⎢⎣
f θi *
⎤
⎥⎦
2
Δθ ⇒ A =
i=1
ΔAi ≈
nΣ
i=1
1
2
⎡ ( )
⎢⎣
f θ i *
⎤
⎥⎦
2
Δθ
No limite, quando n
→ ∞ e Δθ
→ 0, esta soma de Riemann dá-nos o valor
exacto da área delimitada pela curva polar de equação r = f(θ) no intervalo
α ≤ θ ≤ β, valor esse que pode ser calculado por meio do seguinte integral:
A =
∫
β α
1
2
[f(θ)]2
dθ =
∫
β α
1
2
r2 dθ
Frequentemente, a aplicação prática desta fórmula é facilitada se se entrar em
linha de conta com as possíveis simetrias do gráfico da equação r = f(θ) que
delimita a região cuja área se pretende calcular.
Como regra geral, o intervalo de integração [α, β] deverá ser o intervalo mais
pequeno que permita calcular a área pretendida; note-se em particular a restrição
β – α ≤ 2π.
Deverá ainda ter-se especial cuidado nos casos em que r2 for negativo, o que
obviamente não faz qualquer sentido.
Exemplo 7.4 Calcule a área interior ao caracol de Pascal de equação
r = 3 + 2 cos θ.
Já vimos atrás que o caracol de Pascal é uma curva fechada que é
completamente traçada quando θ percorre o intervalo [0, 2π[:
θ 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
r 5 3+
2 3 3–
2 1 3–
2 3 3+
2 5
27. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
π ∫ (9 + 12 cos θ + 4
π ∫ (11 + 12 cos θ + 2 cos 2θ) dθ =
π ∫ cos 2θ dθ = 0
π ∫ 11 dθ = 11π
23
A =
∫
2π 0
1
2
(3 + 2 cos θ)2 dθ = (por simetria) = 2
∫
π 0
1
2
(3 + 2 cos θ)2 dθ =
=
∫ π (9 + 12 cos θ + 4 cos2 θ) dθ =
0
0
1 + cos 2θ
2
) dθ =
=
0
⎛
⎝
∫ π cos θ dθ =
0
0
⎞
⎠
=
0
Acontece muitas vezes que a curva que delimita a região cuja área se pretende
calcular “começa” na origem das coordenadas. Neste caso, o valor do ângulo α
terá de ser determinado por resolução da equação r = f(θ) = 0. Se esta equação
tiver mais do que uma solução, deverá ser escolhida aquela que for adequada,
atendendo à posição no plano Oxy da região cuja área se pretende calcular.
28. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Considerações análogas são válidas para a determinação do ângulo β, quando a
curva “acabar” na origem das coordenadas, ou então para a determinação dos
dois limites, quando a curva “começar” e “acabar” na origem das coordenadas:
24
α é uma solução da equação f(θ) = 0
β é uma solução da equação f(θ) = 0
Se r = f(θ) e r = g(θ) forem as equações de duas curvas polares contínuas tais
que 0 ≤ g(θ) ≤ f(θ) no intervalo α ≤ θ ≤ β, com 0 β – α ≤ 2π, a área da região
delimitada pelas duas curvas naquele intervalo será dada pela diferença entre as
áreas das regiões delimitadas pela curva mais afastada da origem, r = f(θ), e pela
curva mais próxima da origem, r = g(θ), ou seja:
A =
∫
β α
1
2
[f(θ)]{ 2 − [g(θ)]2} dθ
29. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
Todas as considerações feitas para o caso anterior são ainda aplicáveis neste
caso, nomeadamente no que diz respeito a:
• possíveis simetrias dos gráficos;
• intervalo de integração [α, β] mais adequado, sempre com β – α ≤ 2π;
• casos em que r2 for negativo.
Exemplo 7.5 Calcule a área interior ao caracol de Pascal de equação
r = 1 + 2 cos θ e exterior à circunferência r = 2.
Comecemos por fazer um esboço da região cuja área se quer obter, fazendo θ
percorrer o intervalo [0, 2π[:
θ 0 π/3 π/2 2π/3 π 4π/3 3π/2 5π/3 2π
r 3 2 1 0 – 1 0 1 2 3
É possível observar a simetria com respeito ao eixo Ox da região cuja área se
pretende calcular:
Neste caso, os dois pontos de intersecção podem ser obtidos algebricamente:
r = 1 + 2 cos θ = 2 ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3 (θ = – π/3)
25
30. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Devido à simetria com respeito ao eixo Ox, a área pretendida será dada por:
π/3 ∫ (1 + 4 cos θ + 4 cos2 θ – 4) dθ =
π/3 ∫ (1 + 4 cos θ + 4
π/3 ∫ (– 1 + 4 cos θ + 2 cos 2θ) dθ =
26
A =
π/3 ∫
− π/3
1
2
{(1 + 2 cos θ)2 − 22} dθ =
= 2
∫
π/3 0
1
2
{(1 + 2 cos θ)2 − 22} dθ =
=
0
=
0
1 + cos 2θ
2
– 4) dθ =
=
0
15 3 − 2π
6
.
Problemas propostos / Secção 7.1
1. Determine as coordenadas rectangulares dos pontos cujas coordenadas
polares são:
(a) (1, – π/3);
(b) (– 2, 2π/3);
(c) (– 2, – 7π/6).
2. Determine duas representações em coordenadas polares, uma com r 0 e
outra com r 0, para os pontos cujas coordenadas rectangulares são:
(a) (– 1, – 1);
(b) (
3, – 1);
(c) (– 3,
3).
3. Exprima cada uma das equações seguintes em coordenadas polares:
(a) x = 3y;
(b) xy = 1;
(c) y = x2.
31. 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
4. Exprima cada uma das equações seguintes em coordenadas rectangulares:
27
(a) r = – 5 cos θ;
(b) r = 1 – cos 2θ;
(c) r = 3 sec θ.
5. Esquematize o gráfico de cada uma das curvas polares indicadas a seguir,
referindo possíveis simetrias com respeito aos eixos principais ou à
origem:
(a) r = 2 cos θ;
(b) r = 1 + cos θ;
(c) r = 2 + 4 cos θ;
(d) r2 = 4 sen 2θ;
(e) r = 2 sen 2θ;
(f) r = 3 cos 3θ.
6. Determine todos os pontos de intersecção das curvas polares a seguir
indicadas:
(a) r = 2 e r = cos θ;
(b) r = sen θ e r = cos 2θ;
(c) r = 1 – cos θ e r2 = 4 cos θ.
7. Determine a área delimitada pelas curvas polares a seguir indicadas:
(a) r = 1 + cos θ;
(b) r = 2 – cos θ;
(c) r = – 4 cos θ;
(d) r = 2 cos 2θ;
(e) r2 = 4 sen 2θ.
8. Determine a área das regiões do plano abaixo descritas:
(a) Interior a r = cos θ e a r =
3 sen θ;
(b) Interior a r = 3 + 2 cos θ e exterior a r = 4;
(c) Interior a r2 = cos 2θ e a r2 = sen 2θ.
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.1
1. (a) (1/2, –
3/2);
(b) (1, –
3);
32. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
28
(c) (
3, – 1).
2. (a) (
2, 5π/4) e (–
2, π/4);
(b) (2, 11π/6) e (– 2, 5π/6);
(c) (2
3, 5π/6) e (– 2
3, 11π/6).
3. (a) θ = arctg
1
3
;
(b) r2 sen 2θ = 2, com θ ∈ ]0, π/2[;
(c) r = tg θ sec θ, com θ ∈ [0, π/2[ ∪ ]π/2, π].
4. (a) (x + 5/2)2 + y2 = (5/2)2;
(b) (x2 + y2)3 = 4y4;
(c) x = 3.
5. (a) Circunferência de raio 1 e centro em (1, 0); simetria com respeito
ao eixo Ox;
(b) Cardióide; simetria com respeito a Ox;
(c) Caracol de Pascal com laço; simetria com respeito a Ox;
(d) Lemniscata; simetria com respeito à origem;
(e) Rosácea de 4 pétalas; simetrias com respeito a Ox, Oy e à origem;
(f) Rosácea de 3 pétalas; simetria com respeito a Ox.
35. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
31
7.2 Curvas paramétricas no plano
Qualquer curva no plano Oxy pode sempre ser representada analiticamente se
exprimirmos as coordenadas rectangulares x e y como funções contínuas de uma
terceira variável t, normalmente designada por parâmetro, o qual toma valores
num dado intervalo I ⊆ IR :
x = f(t)
y = g(t)
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ I ⊆ IR
O conjunto de todos os pontos do plano Oxy que satisfazem estas duas equações
simultâneas é designado por curva paramétrica plana, e as equações acima
escritas são chamadas equações paramétricas dessa curva plana.
Se o intervalo I for um intervalo fechado do tipo [a, b], os pontos A
(f(a),g(a)) e
B
(f(b),g(b)) são chamados pontos terminais da curva. Se estes dois pontos
coincidirem, a curva plana diz-se fechada. Se a curva não tiver pontos onde se
auto-intersecta, dizemos que é uma curva simples.
7.2.1 Orientação de uma curva paramétrica
A mesma curva plana pode ser representada por infinitos pares de equações
paramétricas do tipo {x = f(t), y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}. É costume dizer-se que
cada uma destas representações constitui uma parametrização diferente da
mesma curva. Portanto, quando nos referimos a uma curva paramétrica plana,
estamos a falar de uma curva plana com uma parametrização bem definida.
Definição: A orientação de uma curva paramétrica plana é o sentido em
que a curva é percorrida quando o parâmetro da curva aumenta.
A orientação de uma curva está intimamente associada à parametrização
utilizada para descrever essa curva, e poderá ser invertida se utilizarmos uma
parametrização diferente para a mesma curva.
36. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Se for possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas, perde-se a
informação acerca da orientação da curva, e pode mesmo acontecer que a
extensão do gráfico da curva seja alterada.
7.2.2 Equações paramétricas da recta
Qualquer recta do plano Oxy pode sempre ser representada pelas suas equações
paramétricas, que exprimem x e y como funções lineares do parâmetro t:
32
x = xo + a t
y = yo + b t
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ IR
em que (xo, yo) são as coordenadas rectangulares de um ponto arbitrário da
recta, e em que a e b são duas constantes relacionadas com o seu declive:
Se a ≠ 0 e b ≠ 0, o parâmetro t pode ser facilmente eliminado daquelas duas
equações, obtendo-se a equação da recta em coordenadas rectangulares:
x − xo
a
= y − yo
b
⇒ y − yo = b
a
(x − xo)
37. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
pelo que o declive da recta é exactamente igual a
33
b
a
. Se a = 0 e b ≠ 0, obtém-se
a recta vertical x = xo; se a ≠ 0 e b = 0, obtém-se a recta horizontal y = yo.
7.2.3 Equações paramétricas da elipse (circunferência)
Qualquer elipse de semieixos paralelos aos eixos coordenados pode sempre ser
representada pelas equações paramétricas
x = x o + a cos t
y = y o + b sen t
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ [0, 2π], a 0 e b 0
em que a e b representam o comprimento dos semieixos da elipse na direcção
dos eixos Ox e Oy, respectivamente, e (xo, yo) são as coordenadas rectangulares
do seu centro. A orientação associada a esta representação paramétrica equivale
a percorrer a elipse no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio:
O parâmetro t pode agora ser eliminado utilizando a identidade fundamental da
Trigonometria, obtendo-se a equação em coordenadas rectangulares de uma
elipse centrada em (xo, yo) e com os eixos paralelos a Ox e a Oy:
38. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
34
cos2 t + sen2 t = 1 ⇒
(x − xo)2
a2
+
(y − yo)2
b2
= 1
Se a = b, as equações acima escritas (quer as equações paramétricas, quer a
equação em coordenadas rectangulares) representam uma circunferência de raio
a centrada no ponto de coordenadas rectangulares (xo, yo).
Exemplo 7.6 Orientação associada a duas parametrizações diferentes da
circunferência de raio 1 centrada na origem, de equação
x2 + y2 = 1:
Se utilizarmos a parametrização
x = cos t
y = sen t
⎧
⎨
⎩
, 0 ≤ t ≤ 2π, a circunferência é
descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido contrário ao dos
ponteiros do relógio:
t 0 π/2 π 3π/2 2π
x 1 0 – 1 0 1
y 0 1 0 – 1 0
Se, porém, utilizarmos a parametrização
x = cos t
y = − sen t
⎧
⎨
⎩
, 0 ≤ t ≤ 2π, a mesma
circunferência é descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido dos
ponteiros do relógio:
t 0 π/2 π 3π/2 2π
x 1 0 – 1 0 1
y 0 – 1 0 1 0
39. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
7.2.4 Equações paramétricas do ciclóide
O ciclóide é a curva descrita por um ponto fixo P da periferia de um círculo de
raio a, quando esse círculo roda sem deslizar ao longo do eixo Ox:
As equações paramétricas do ciclóide são (ver exemplo seguinte):
35
x = a (t − sen t)
y = a (1 − cos t)
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ IR e a ∈ IR+
Exemplo 7.7 Dedução geométrica das equações paramétricas do ciclóide:
40. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
As equações paramétricas do ciclóide podem ser deduzidas geometricamente se
interpretarmos o parâmetro t como sendo o ângulo de rotação do círculo,
expresso em radianos (ver figura anterior):
–1
36
1. arco
PT =
OT, porque o círculo roda sem deslizar, e o ponto P
encontrava-se inicialmente em O;
2. arco
PT = at, porque é o comprimento de um arco de circunferência de
raio a e ângulo-ao-centro t;
3.
PQ =
OT –
Ox = at – x (evidente da figura);
4.
PQ = a sen t, do triângulo rectângulo PQC;
5. at – x = a sen t ⇒ x = at – a sen t = a (t – sen t), de 3. e 4.;
6.
CQ =
Oa –
Oy = a – y (evidente da figura);
7.
CQ = a cos t, do triângulo rectângulo PQC;
8. a – y = a cos t ⇒ y = a – a cos t = a (1 – cos t), de 6. e 7.
É possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas e relacionar
directamente x com y, mas o resultado que se obtém por este processo é muito
mais complicado do que as equações paramétricas acima escritas.
7.2.5 Funções definidas por representações paramétricas
Definição: Uma curva plana representada pelo par de equações paramétricas
{x = f(t),y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}, diz-se uma curva suave (ou
curva lisa) se as derivadas
dx
dt
e
dy
dt
forem contínuas e não se
anularem simultaneamente para nenhum valor de t ∈ I.
Mostremos que uma curva paramétrica suave pode sempre ser considerada
como sendo o gráfico de uma função do tipo y = F(x) numa certa vizinhança de
qualquer ponto da curva onde
dx
dt
≠ 0:
dx
dt
0 (ou 0), ∀t ∈ I ⇒ x = f(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒
⇒ Existe a função inversa t = f
(x) ⇒ y = g(t) = g(f
–1
(x)) = F(x)
41. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]:
37
Repare-se bem que, se
dx
dt
≠ 0, apenas podemos garantir que a função y = F(x)
existe, mas isso não significa que possamos saber qual é essa função! Para isso
acontecer, teríamos de ser capazes de eliminar o parâmetro t das duas equações
paramétricas, o que na maior parte dos casos é impossível.
7.2.5.1 Derivação de funções do tipo y = F(x)
definidas por representações paramétricas
Se for verificada a condição
dx
dt
≠ 0 num intervalo contido em I, a derivada da
função y = F(x) nesse intervalo poderá ser obtida directamente das equações
paramétricas, sem que seja necessário eliminar o parâmetro t para conhecer a
função y = F(x).
De facto, se
dx
dt
≠ 0, mostrámos acima que t = f
–1
(x) ⇒ y = g(f
–1
(x)) = F(x).
Aplicando as conhecidas regras de derivação da função composta e da função
inversa, obtém-se o seguinte resultado para a derivada de F(x):
F´(x) =
⎡ g (f−1(x))
⎢⎣
⎤
⎥⎦
′
=
g′ f( −1(x))
f( −1(x))′
=
g′ f( −1(x))
1
f ′ f( −1(x)) =
g′ f( −1(x))
f ′ f( −1(x))
42. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
38
–1
Substituindo agora f
(x) por t na última expressão, vem o resultado pretendido:
F´(x) =
g′(t)
f ′(t)
, se f´(t) ≠ 0
Repare-se que nesta fórmula o símbolo de derivação se refere à variável x no 1º
membro e à variável t no 2º membro! Se utilizarmos a notação diferencial para
as derivadas, o resultado é muito mais “intuitivo” e fácil de memorizar:
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
, se
dx
dt
≠ 0
Para calcularmos F´´(x), basta repetir o procedimento anterior, derivando
g′(t)
f ′(t)
em ordem a x por intermédio de t:
F´´(x) =
d
dx
g′(t)
f ′(t)
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠ =
d
dt
g′(t)
f ′(t)
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
dx
dt
=
g′(t)
f ′(t)
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
′
f ′(t)
, se f´(t) ≠ 0
Este resultado também pode ser escrito utilizando apenas a notação diferencial:
d2y
dx2
=
d
dx
dy
dx
⎛
⎝
⎞
⎠ =
d
dt
dy/dt
dx/dt
⎛
⎝
⎞
⎠
dx
dt
, se
dx
dt
≠ 0
Exemplo 7.8 Considere a curva paramétrica seguinte:
x = 2t2 + 1
y = 3t3 + 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
, com t ∈ IR .
(a) Escreva a equação da tangente à curva no ponto onde
o parâmetro t toma o valor 1;
(b) Determine o sinal da concavidade no mesmo ponto.
43. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
39
(a)
dx
dt
= 4t
dy
dt
= 9t2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⇒
dy
dx
=
9t2
4t
=
9 t
4
, se t ≠ 0
Para t = 1, obtém-se x = 3, y = 5 e
dy
dx
⎛
⎝
⎞
⎠ t = 1
=
9
4
, logo a equação da tangente à
curva no ponto correspondente a t = 1 será: (y – 5) =
9
4
(x – 3).
(b)
d2y
dx2
=
d
dx
9 t
4
⎛
⎝
⎞
⎠ =
d
dt
9 t
4
⎛
⎝
⎞
⎠
dx
dt
=
9
4
4t
=
9
16 t
, se t ≠ 0 ⇒
⇒
d2y
dx2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟
t = 1
=
9
16
0 ⇒ concavidade positiva.
7.2.5.2 Integração de funções do tipo y = F(x)
definidas por representações paramétricas
Suponhamos que era dada a curva paramétrica suave de equações {x = f(t),
y = g(t)}, com a ≤ t ≤ b; para garantir que esta curva representa o gráfico de uma
função não-negativa y = F(x) no intervalo [c,d] correspondente, vamos admitir
que
dx
dt
≠ 0 e que y = g(t) ≥ 0 em [a,b]:
Podemos então calcular directamente a área delimitada pelo gráfico de y = F(x)
e pelo eixo Ox entre c e d, utilizando as equações paramétricas da curva, mesmo
sem conhecermos a função F(x):
44. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
d ∫ [F(x)]2 dx = π
40
A =
∫ d F(x) dx =
c
∫ d y dx =
c
y = g(t)
dx = dx
dt
dt
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟ =
** ∫ y(t)
*
dx
dt
dt
em que a notação y(t), aqui utilizada pela primeira vez, significa que devemos
exprimir y em função de t (y = g(t)) para calcularmos o integral, e em que * = a
e ** = b se
dx
dt
0, mas * = b e ** = a se
dx
dt
0, como se depreende facilmente
das duas figuras abaixo representadas:
Note-se pois que a integração com respeito a t poderá ser feita de a para b ou de
b para a, conforme a orientação da curva paramétrica que representa o gráfico
de y = F(x); em qualquer dos casos, independentemente dessa orientação, isto
corresponde a uma integração com respeito a x feita de c para d.
O volume dos sólidos de revolução que se obtêm por rotação da mesma região
do plano em torno de Ox ou de Oy também pode ser calculado directamente a
partir da representação paramétrica, sem termos de eliminar o parâmetro t:
• Rotação em torno de Ox (método das secções rectas):
Vx = π
c
∫ d y2 dx =
c
=
y = g(t)
dx = dx
dt
dt
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟ = π
** ∫ [y(t)]2
*
dx
dt
dt
45. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
• Rotação em torno de Oy (método das cascas cilíndricas):
d ∫ x F(x) dx = 2π
2π ∫ (1 – cos t) (1 – cos t) dt =
41
Vy = 2π
c
∫ d x y dx =
c
=
x = f(t)
y = g(t)
dx = dx
dt
dt
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= 2π
** ∫ x(t) y(t)
*
dx
dt
dt
Nestes integrais, mais uma vez, a notação x(t) e y(t) significa que devemos
exprimir estas duas variáveis em função do parâmetro t, e os limites * e ** têm
o significado já explicado: * = a e ** = b se
dx
dt
0, ou * = b e ** = a se
dx
dt
0.
Exemplo 7.9 Calcule a área delimitada pelo arco de ciclóide de equações
paramétricas {x = t – sen t, y = 1 – cos t, 0 ≤ t ≤ 2π} e pelo
eixo Ox, e o volume que se obtém rodando essa região do
plano Oxy em torno do eixo Ox.
x = t − sen t
y = 1 − cos t
⎧
⎨
⎩
, com 0 ≤ t ≤ 2π
dx
dt
= 1 – cos t
A =
∫ 2π y(t)
0
dx
dt
dt =
0
46. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
2π ∫ (
2π ∫ (1 – cos t)2 (1 – cos t) dt =
2π ∫ (1 – 3 cos t + 3 cos2t – cos3t) dt =
** ∫
42
=
∫ 2π (1 – 2 cos t + cos2t) dt =
0
0
3
2
– 2 cos t +
1
2
cos 2t) dt = 3π
Vx = π
∫ 2π [y(t)]2
0
dx
dt
dt = π
0
= π
0
2π ∫ (
cos t dt = 0
∫
2π 0
⎟
⎟
⎟⎟
cos3 t dt = 0
∫
2π 0
⎛
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎞
⎠
=
= π
∫ 2π (1 + 3 cos2t) dt = π
0
0
5
2
+
3
2
cos 2t) dt = 5π2
Podemos calcular o comprimento do arco de curva suave, que constitui o gráfico
da função y = F(x) em [c,d], sem eliminar t das equações {x = f(t), y = g(t)}:
s =
∫
d c
1 + [F′(x)]2 dx =
∫
d c
1 + dy
dx
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dx =
=
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
; dx = dx
dt
dt
⎛
⎜
⎜⎜
⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
=
*
dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
+ dy
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dx
dt
dt =
=
** ∫
*
dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
+ dy
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dx
dt
dx
dt
dt =
∫
b a
dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
+ dy
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dt
A justificação da última passagem é a seguinte: (* = a e ** = b) se
dx
dt
0 ⇒
⇒
dx
dt
=
dx
dt
, mas (* = b e ** = a) se
dx
dt
0 ⇒
dx
dt
= –
dx
dt
. Portanto,
neste caso, a integração é sempre feita de a para b, quer
dx
dt
0, quer
dx
dt
0.
47. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Exemplo 7.10 Calcule o comprimento do arco de ciclóide de equações
paramétricas {x = t – sen t, y = 1 – cos t}, em que 0 ≤ t ≤ 2π.
43
x = t − sen t
y = 1 − cos t
⎧
⎨
⎩
, com 0 ≤ t ≤ 2π
dx
dt
= 1 – cos t ;
dy
dt
= sen t
s =
∫
2π 0
dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
+ dy
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dt =
∫
2π 0
(1 − cos t)2 + (sen t)2 dt =
=
∫
2π 0
2 − 2 cos t dt = [porque 1 – cos t ≡ 2 sen2 (t/2)]
=
∫
2π 0
4 sen2 (t /2) dt =
∫ 2π 2
0
sen (t /2) dt =
[porque 0 ≤ t ≤ 2π ⇒ 0 ≤ t/2 ≤ π ⇒
⇒ sen (t/2) ≥ 0 ⇒
sen (t /2) = sen (t/2)]
= 2
∫ 2π sen (t/2) dt = 8
0
48. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
7.2.5.3 Derivação e integração de funções do tipo x = G(y)
definidas por representações paramétricas
Uma curva paramétrica suave de equações {x = f(t), y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}
pode sempre ser considerada como sendo o gráfico de uma função do tipo x =
= G(y) numa certa vizinhança de qualquer ponto da curva onde
44
dy
dt
≠ 0:
dy
dt
0 (ou 0), ∀t ∈ I ⇒ y = g(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒
⇒ Existe a função inversa t = g–1(y) ⇒ x = f(t) = f(g–1(y)) = G(y)
Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]:
É possível escrever fórmulas análogas às que deduzimos atrás para calcular
derivadas ou integrais (por exemplo áreas, ou volumes de sólidos de revolução,
ou comprimentos de arcos de curva), sem termos necessidade de eliminar o
parâmetro t, ou seja, sem termos de conhecer a função x = G(y).
Por exemplo, a derivada da função x = G(y) será agora dada pela fórmula:
dx
dy
=
dx
dt
dy
dt
, se
dy
dt
≠ 0
49. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
d ∫ x dy =
45
Se
dy
dt
0 ou
dy
dt
0, e se adicionalmente for x = f(t) ≥ 0 em [a,b], a área que é
delimitada pelo gráfico de x = G(y) em [c,d] e pelo eixo Oy é dada por:
A =
∫ d G(y) dy =
c
c
x = f(t)
dy = dy
dt
dt
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟ =
** ∫ x(t)
*
dy
dt
dt
em que (* = a e ** = b) se
dy
dt
0, mas (* = b e ** = a) se
dy
dt
0. As fórmulas
para o cálculo de volumes de sólidos de revolução e comprimentos de arcos de
curva no caso em que x = G(y) podem ser facilmente deduzidas.
7.2.6 Representação paramétrica de curvas
em coordenadas polares
Uma curva plana também pode ser representada se exprimirmos as coordenadas
polares (r, θ) de um ponto “corrente” da curva como funções contínuas de um
parâmetro t qualquer:
r = r(t)
θ = θ(t)
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ I ⊆ IR
Esta representação paramétrica em coordenadas polares pode sempre ser
transformada numa representação paramétrica da mesma curva em coordenadas
rectangulares, com a mesma parametrização:
x = r cos θ = r(t) cos (θ(t)) = f(t)
y = r sen θ = r(t) sen (θ(t)) = g(t)
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ I ⇒
⇒
dx
dt
= dr
dt
cos (θ(t)) − r(t) sen (θ(t))
dθ
dt
dy
dt
= dr
dt
sen (θ(t)) + r(t) cos (θ(t))
dθ
dt
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
50. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Supondo que as equações paramétricas acima escritas definem uma função
y = F(x) (ou x = G(y)) num intervalo contido em I, podemos agora utilizar as
expressões de x = f(t), y = g(t),
46
dx
dt
e
dy
dt
acima obtidas para calcular derivadas
e/ou integrais (áreas, volumes, etc.) envolvendo essa função, sem termos de
saber exactamente qual é a função, conforme foi explicado atrás.
Exemplo 7.11 A trajectória de uma partícula material no plano Oxy pode
ser representada pelas equações paramétricas
r = cos t
θ = 1
2
t
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
com t ≥ 0, em que t é o tempo. Qual a forma da trajectória da
partícula? Quais as componentes da velocidade segundo os
eixos Ox e Oy em cada instante t?
r = cos t
θ = 1
2
t
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ t = 2θ ⇒ r = cos 2θ (rosácea de 4 laços)
A partícula inicia o seu movimento no instante t = 0 no ponto de coordenadas
rectangulares (1, 0), e percorre a rosácea de 4 laços representada na figura junta,
voltando ao ponto de partida quando t = 4π (θ = 2π), e recomeçando novamente
a percorrer a mesma trajectória.
51. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
As componentes da velocidade da partícula em cada instante t são
47
dx
dt
e
dy
dt
:
x = r cos θ = cos t cos
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
y = r sen θ = cos t sen
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⇒
⇒
dx
dt
= − sen t cos
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠ − 1
2
cos t sen
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
dy
dt
= − sen t sen
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠ + 1
2
cos t cos
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
7.2.7 Utilização da coordenada θ como parâmetro
Sempre que uma curva polar puder ser representada por uma equação explícita
do tipo r = r(θ), a escolha mais natural para o parâmetro t da curva polar é a
própria coordenada angular θ:
r = r(θ) ⇒
x = r cos θ = r(θ) cos θ = f(θ)
y = r sen θ = r(θ) sen θ = g(θ)
⎧
⎨
⎩
⇒
⇒
dx
dθ
= dr
dθ cos θ − r(θ) sen θ
dy
dθ
= dr
dθ sen θ + r(θ) cos θ
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Supondo que a curva polar de equação r = r(θ) representa uma função y = F(x)
(ou x = G(y)) no intervalo considerado, podemos agora utilizar as expressões
acima obtidas para calcular derivadas e/ou integrais (áreas, volumes, etc.)
envolvendo essa função, sem termos de saber exactamente qual é a função. Por
exemplo, se quisermos calcular
dy
dx
= F´(x):
52. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
48
dy
dx
=
dy
dθ
dx
dθ
=
dr
dθ sen θ + r(θ) cos θ
dr
dθ cos θ − r(θ) sen θ
desde que
dx
dθ ≠ 0, ou seja,
dr
dθ cos θ ≠ r(θ) sen θ.
Exemplo 7.12 Obtenha as coordenadas polares dos pontos do cardióide de
equação r = 1 – cos θ onde a tangente ao gráfico é vertical.
Tangente vertical ⇒
dy
dx
→ ± ∞ ⇒
dx
dy
= 0
x = r cos θ = (1 − cos θ) cos θ
y = r sen θ = (1 − cos θ) sen θ
⎧
⎨
⎩
⇒
dx
dθ
= sen θ (2 cos θ − 1)
dy
dθ
= cos θ − cos 2θ
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
dx
dy
=
dx
dθ
dy
dθ
= 0 ⇒
dx
dθ = 0 ∧
dy
dθ ≠ 0 ⇒
53. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
⇒ sen θ (2 cos θ – 1) = 0 ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒
⇒ (sen θ = 0 ∨ cos θ = 1/2) ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒
⇒ (θ = 0 ∨ θ = π ∨ θ = 2π ∨ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3) ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒
⇒ θ = π/3 (r = 1/2) ∨ θ = π (r = 2) ∨ θ = 5π/3 (r = 1/2)
Se a curva polar de equação r = r(θ) passar pela origem das coordenadas quando
θ = θo (isto é, se r(θ) = 0 ⇒ θ = θo), e se
49
dr
dθ ≠ 0 no mesmo ponto, então,
substituindo r(θ) = 0 e θ = θo na equação
dy
dx
=
dr
dθ sen θ + r(θ) cos θ
dr
dθ cos θ − r(θ) sen θ
e
simplificando, obtemos imediatamente
dy
dx
⎛
⎝
⎞
⎠ r = 0
= tg θo, o que significa que a
recta θ = θo é tangente à curva polar r = r(θ) na origem (r = 0):
Exemplo 7.13 A rosácea de equação r = 2 cos 3θ, com 0 ≤ θ ≤ π, passa três
vezes pela origem das coordenadas. Calcule o declive das
três rectas tangentes à rosácea na origem.
Na origem das coordenadas, r = 0 ⇒ cos 3θ = 0 ⇒ 3θ = (2k + 1)
π
2
, k ∈ Z ⇒
⇒ θ = (2k + 1)
π
6
, k ∈ Z. Como 0 ≤ θ ≤ π, as três soluções possíveis são:
54. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
50
θ =
π
6
(k = 0) ; θ =
3π
6
=
π
2
(k = 1) ; θ =
5 π
6
(k = 2)
Verifiquemos se
dr
dθ ≠ 0 em cada um destes três pontos:
dr
dθ = – 6 sen 3θ ⇒
dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠ θ = π/6
= − 6 sen (π/2) = − 6 ≠ 0
dr
dθ
⎪
⎪
⎪⎪
⎛
⎝
⎞
⎠ θ = π/2
= − 6 sen (3π/2) = 6 ≠ 0
dr
dθ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎛
⎝
⎞
⎠ θ = 5π/6
= − 6 sen (5 π/2) = − 6 ≠ 0
⎧
⎨
⎩
Podemos então concluir que as rectas de equações θ =
π
6
, θ =
π
2
e θ =
5 π
6
são
tangentes à rosácea de equação r = 2 cos 3θ na origem das coordenadas:
A fórmula que permite calcular o comprimento de um arco de curva suave tem
um aspecto muito simples para uma curva polar de equação explícita r = r(θ):
dx
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
+
dy
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
=
⎛
dr
⎝
θ − θ) θ dθ cos r(sen ⎞
⎠
2
+
⎛
dr
⎝
θ + θ) θ dθ sen r(cos ⎞
⎠
2
55. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Desenvolvendo o 2º membro e simplificando (verificar!), obtém-se:
2π ∫ 2 sen (θ/2) dθ = [– 4 cos (θ/2)]
51
dx
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
+
dy
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
= [r(θ)]2 +
dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
Substituindo este resultado na fórmula que foi obtida atrás para o cálculo do
comprimento de um arco de uma curva paramétrica suave, com t = θ, a = α e
b = β, obtém-se a fórmula pretendida:
s =
∫
β α
[r(θ)]2 + dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
dθ
Exemplo 7.14 Calcular o comprimento do cardióide de equação r = 1 – cos θ.
r(θ) = 1 – cos θ ⇒
dr
dθ = sen θ ⇒
⇒ [r(θ)]2 +
dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
= (1 – cos θ)2 + (sen θ)2 = 2 – 2 cos θ =
= 2 (1 – cos θ) = [1 – cos θ ≡ 2 sen2 (θ/2)] = 4 sen2 (θ/2) ⇒
⇒
[r(θ)]2 + dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
= 2 sen2 (θ/2) = 2 sen (θ/2)
0 ≤ θ ≤ 2π ⇒ 0 ≤ θ/2 ≤ π ⇒ sen (θ/2) ≥ 0 ⇒
[r(θ)]2 + dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
= 2 sen (θ/2)
s =
0
2π
0
= – 4 cos π + 4 cos 0 = 8.
56. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Problemas propostos / Secção 7.2
1. Em cada caso, elimine o parâmetro t e represente graficamente a
correspondente curva, indicando qual a sua orientação:
(a) x = 3t – 4, y = 6t + 2, t ∈ IR ;
(b) x = 2 cos t, y = 5 sen t, 0 ≤ t ≤ 2π;
(c) x = t2, y = t3, t ∈ IR ;
(d) x = t2, y = 2 ln t, t ≥ 1.
2. Para cada uma das curvas paramétricas abaixo referidas, escreva a
equação da tangente à curva no ponto indicado, e verifique em seguida se
a concavidade é positiva ou negativa no mesmo ponto, tudo isto sem
eliminar o parâmetro t:
(a) x = 2t3 + 2 , y = 3t2 + 1, quando t = 1;
(b) x = t sen t, y = t cos t, quando t = π/2;
52
(c) x =
3t
1 + t3
, y =
3t2
1 + t3
, quando t = 1.
3. Em cada caso, determine a área delimitada pela curva paramétrica dada e
pelo eixo Ox, e calcule em seguida o volume que se obtém ao rodar essa
região em torno do eixo Ox:
(a) x = t3, y = 2t2 + 1, – 1 ≤ t ≤ 1;
(b) x = e3t, y = e–t, 0 ≤ t ≤ ln 2;
(c) x = cos t, y = sen2 t, 0 ≤ t ≤ π;
(d) x = cos t, y = et, 0 ≤ t ≤ π.
4. Em cada caso, determine o comprimento da curva paramétrica dada:
(a) x = 2t, y =
2
3
t3/2, 5 ≤ t ≤ 12;
(b) x =
1
2
t2, y =
1
3
t3, 0 ≤ t ≤ 1;
(c) x = sen t – cos t, y = sen t + cos t, π ≤ 4t ≤ 2π;
(d) x = et sen t, y = et cos t, 0 ≤ t ≤ π.
57. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
5. Para cada uma das curvas polares abaixo referidas, escreva a equação da
tangente à curva no ponto indicado:
(a) r = exp (
53
3θ), quando θ = π/2;
(b) r = sen 3θ, quando θ = π/6;
(c) r =
1
θ , quando θ = 2.
6. Determine as coordenadas rectangulares de todos os pontos da curva
polar r = 1 – 2 sen θ em que a tangente à curva é horizontal.
7. Em cada caso, determine o comprimento da curva polar dada:
(a) r = eθ/2, 0 ≤ θ ≤ 4π;
(b) r = θ, 2π ≤ θ ≤ 4π.
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.2
1. (a) y = 2x + 10;
(b) 25 x2 + 4 y2 = 100;
(c) y2 = x3;
(d) y = ln x, x ≥ 1.
58. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
2. (a) y = x e concavidade negativa;
54
(b) y =
π
2
π
2
− x
⎛
⎝
⎞
⎠ e concavidade negativa;
(c) y = – x + 3 e concavidade negativa.
3. (a)
22
5
e
358π
35
;
(b)
9
2
e 3π;
(c)
4
3
e
16π
5
;
(d)
1
2
(eπ + 1) e
π
5
(e2π + 1).
59. 7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
55
4. (a)
74
3
;
(b)
1
3
(2 2 − 1);
(c)
2 π
4
;
(d)
2 e( π − 1).
5. (a) y = e
3 π/2
–
3 x;
(b) y = 2 –
3 x;
(c)
y − sen 2
2
⎛
⎝
⎞
⎠ =
tg 2 − 2
2 tg 2 + 1
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
x − cos 2
2
⎛
⎝
⎞
⎠ .
61. 7.A: CURVAS PLANAS DO 2º GRAU OU “CÓNICAS”
________________________________________________________________
7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas”
Se exceptuarmos os chamados “casos degenerados” (por exemplo, x2 + y2 = 0,
ou y2 – x2 = 0) há apenas três tipos de curvas planas do 2º grau, que também
são chamadas (secções) “cónicas”: a parábola, a elipse (de que a circunferência
é um caso particular), e a hipérbole.
Iremos aqui recordar a representação analítica destas três curvas do 2º grau, mas
apenas no caso mais simples em que os eixos de simetria são paralelos aos eixos
coordenados no plano Oxy. Se for este o caso, pode-se mostrar que não aparece
o termo em xy na equação da curva do 2º grau, ou seja, ela será do tipo seguinte:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0.
57
7.A.1 Parábola
A equação
(x – h)2 = ± 4p (y – k)
representa uma parábola com
vértice em (h,k) e eixo de
simetria paralelo a Oy,
“abrindo” na direcção positiva
ou na direcção negativa do eixo
Oy, conforme o sinal ± no 2º
membro.
O número positivo p, que aparece nesta equação e na seguinte, representa a
distância entre o vértice e o foco da parábola, em que ambos os pontos estão
situados sobre o eixo de simetria da parábola.
62. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
58
A equação
(y – k)2 = ± 4p (x – h)
representa uma parábola com
vértice em (h,k) e eixo de
simetria paralelo a Ox,
“abrindo” na direcção positiva
ou na direcção negativa do eixo
Ox, conforme o sinal ± no 2º
membro.
7.A.2 Elipse
A equação
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
com a 0 e b 0, representa
uma elipse com centro em (h,k)
e semieixos de comprimentos a
e b, na direcção dos eixos Ox e
Oy, respectivamente.
No caso particular em que a = b, resulta uma circunferência com centro em
(h,k), de raio a = b, cuja equação é (x – h)2 + (y – k)2 = a2.
63. 7.A: CURVAS PLANAS DO 2º GRAU OU “CÓNICAS”
________________________________________________________________
59
7.A.3 Hipérbole
A equação
(y − k)2
b2
–
(x − h)2
a2
= 1
com a 0 e b 0, representa
uma hipérbole com centro em
(h,k) e eixo focal paralelo a Oy,
sendo a distância dos vértices
ao centro da hipérbole igual a
b.
O eixo focal duma hipérbole é a recta sobre a qual estão situados os dois focos,
assim como os dois vértices e o centro da hipérbole.
A equação
(x − h)2
a2
–
(y − k)2
b2
= 1
com a 0 e b 0, representa
uma hipérbole com centro em
(h,k) e eixo focal paralelo a Ox,
sendo a distância dos vértices
ao centro da hipérbole igual a
a.
64. CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
Para decidirmos qual destas curvas é que é representada por uma equação do
tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, temos em 1º lugar de “completar o
quadrado” nas variáveis x e/ou y, para em seguida podermos comparar com as
equações acima escritas:
Exemplo 7A.1 Descreva de forma sucinta o gráfico no plano Oxy das
equações do 2º grau a seguir indicadas:
(a) y2 – 8x – 6y – 23 = 0;
(b) 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0;
(c) x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0.
(a) y2 – 8x – 6y – 23 = 0 ⇒ y2 – 6y = 8x + 23 ⇒
⇒ y2 – 6y + 9 = 8x + 32 ⇒ (y – 3)2 = 8 (x + 4).
Esta equação representa uma parábola com vértice em (– 4, 3) e eixo de simetria
paralelo a Ox, “abrindo” na direcção positiva do eixo Ox.
(b) 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0 ⇒ 16 (x2 – 4x) + 9 (y2 – 6y) = – 1 ⇒
⇒ 16 (x2 – 4x + 4) + 9 (y2 – 6y + 9) = – 1 + 64 + 81 ⇒
⇒ 16 (x – 2)2 + 9 (y – 3)2 = 144 ⇒
60
(x − 2)2
9
+ (y − 3)2
16
= 1.
Esta equação representa uma elipse com centro em (2, 3) e com semieixos de
comprimentos 3 e 4 na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente.
(c) x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0 ⇒ (x2 – 4x) – (y2 – 8y) = 21 ⇒
⇒ (x2 – 4x + 4) – (y2 – 8y + 16) = 21 + 4 – 16 ⇒
65. 7.A: CURVAS PLANAS DO 2º GRAU OU “CÓNICAS”
________________________________________________________________
61
⇒ (x – 2)2 – (y – 4)2 = 9 ⇒
(x − 2)2
9
− (y − 4)2
9
= 1.
Esta equação representa uma hipérbole com centro em (2, 4) e eixo focal
paralelo a Ox, sendo a distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 3.
Problemas propostos / Secção 7.A
Descreva de forma sucinta o gráfico no plano Oxy das equações do 2º grau a
seguir indicadas:
(a) x2 – 4x + 2y = 1;
(b) x2 + 9y2 + 2x – 18y + 1 = 0;
(c) 4x2 – 9y2 – 16x – 54y – 29 = 0;
(d) y2 – 6y – 2x + 1 = 0;
(e) 5x2 + 9y2 + 20x – 54y = – 56;
(f) x2 – 4y2 + 2x + 8y – 7 = 0.
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.A
(a) Parábola com vértice em (2, 5/2) e eixo de simetria paralelo a Oy,
“abrindo” na direcção negativa do eixo Oy;
(b) Elipse com centro em (– 1, 1) e com semieixos de comprimentos 3 e 1 na
direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente;
(c) Hipérbole com centro em (2, – 3) e eixo focal paralelo a Oy, sendo a
distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 2;
(d) Parábola com vértice em (– 4, 3) e eixo de simetria paralelo a Ox,
“abrindo” na direcção positiva do eixo Ox;
(e) Elipse com centro em (– 2, 3) e com semieixos de comprimentos 3 e
5,
na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente;
(f) Hipérbole com centro em (– 1, 1) e eixo focal paralelo a Ox, sendo a
distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 2.