O documento discute conceitos básicos de probabilidade, como espaço amostral, eventos, probabilidade condicional, independência de eventos e aplicações destes conceitos em problemas.

1. Probabilidade
Candidato: Arnaldo Cesar Almeida Oliveira

2. Probabilidade
• Experimentos aleatórios: Resultados dependem da sorte, do acaso.
Ex. Jogar uma moeda.
Aleatório: do latim alea, que significa sorte.
Alea jacta est. (Júlio Cesar)
A sorte está lançada.
Experimento determinístico: Resultados são conhecidos antes mesmo
da realização do experimento.
Ex. soltar uma caneta de uma certa altura.

3. Conceitos - Modelos Probabilísticos
• Espaço Amostral: Conjunto de todos resultados possíveis do
experimento aleatório.
Ex.1: Jogar uma moeda para o alto e verificar a face que fica voltada
para cima.
Ω={cara,coroa}
Ex.2: Lançar um dado e verificar a face voltada para cima.
Ω={1,2,3,4,5,6}

4. Evento
• Subconjunto do espaço amostral.
Ao lançar uma moeda os eventos são:
∅, {cara},{coroa},{cara, coroa}.
Um evento ocorre quando o resultado da experiência pertence ao
evento.

5. Eventos Especiais
• Evento Impossível: Cardinalidade nula.
Ex.: Lançamento de um dado comum sair face maior que 6.
Evento Certo: Sempre ocorre. Evento=Espaço Amostral.
Ex.: Lançamento de um dado sair menor que 7.
Eventos Mutuamente Excludentes: A ocorrência de um evento impede
a ocorrência de outro.
Ex.: Ocorrer evento {Cara} e {Coroa} no mesmo lançamento de uma moeda. (mutuamente
excludentes)
Ocorrer evento número par e evento múltiplo de 3 em um lançamento de dado. (não são
mutuamente excludentes)

6. Função de Probabilidade
• Associa a cada evento um número: Probabilidade do Evento.
• A cada evento A, associamos P(A), tal que:
𝑖 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1
𝑖𝑖 𝑃 Ω = 1
𝑖𝑖𝑖 𝑆𝑒 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙 → 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
(Axiomas)
Ex.: Probabilidade de Botafogo ganhar o próximo jogo é 60% e de o botafogo empatar 10%. Logo A
probabilidade de o Botafogo ganhar ou empatar é 70%.

7. Como atribuir Probabilidades?
• Modelo Equiprobabilístico (Modelo de Laplace):
Resultados individuais são equiprováveis.
Ex.: Lançamento de um dado:
P(um)=P(dois)=P(três)=P(quatro)=P(cinco)=P(seis)=p;
𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 = 1;
6𝑝 = 1;
𝑝 =
1
6
Cuidado: Probabilidade Evento=
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
somente para eventos individuais equiprováveis.

8. Como atribuir Probabilidades?
• Modelo Frequentista: Probabilidade é dada pela frequência relativa
com que determinado evento ocorre.
Evento C: Sortear uma pessoa
com olho castanho.
𝑃 𝐶 =
500
4000
=
1
8
Cor dos Olhos Número de
Pessoas
Azul 1500
Verde 2000
Castanho 500
Total 4000

9. Propriedades das Probabilidades
• (i) 𝑃 𝜙 = 0
Prova: 𝑃 Ω = 1; 𝜙 ∩ Ω = 𝜙; 𝑠ã𝑜 𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑃 𝜙 ∪ Ω = 𝑃 𝜙 + 𝑃 Ω ;
𝑃 𝜙 ∪ Ω = 𝑃 𝜙 + 1;
como 0 ≤ 𝑃 𝜙 ∪ Ω ≤ 1; logo 𝑃 𝜙 = 0 ∎
Ex.: A probabilidade de sair face maior que 7 em dado comum é zero.

10. Propriedades das Probabilidades
• (ii) 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 A ;
Prova:
𝑃 Ω = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴 ;
1= 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴)∎

11. Aplicação
Ex.: Qual a probabilidade de em uma sala com 40 alunos, dois alunos
fazerem aniversário no mesmo dia?
Probabilidade de dois alunos não fazerem aniversário no mesmo dia é:
𝑃 𝐴 =
365∙364∙363…∙326
365∙365∙365⋯365
40 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
≅ 10,9%,
logo a probabilidade de dois alunos fazerem aniversário no mesmo dia é
100%-10,9%=89,1%.

12. Propriedades das Probabilidades
• (iii) 𝑃 𝐴 − 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵);
Prova:
𝑃 𝐴 = 𝑃[ 𝐴 − 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 ]
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 − 𝐵 ] + 𝑃[ 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝐵 ∎

13. Propriedades das Probabilidades
• 𝑖𝑣 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Prova:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃[ 𝐴 − 𝐵 ∪ 𝐵 ]; como (A-B) e B são disjuntos;
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝐵 + 𝑃 𝐵 ; mas 𝑃 𝐴 − 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Assim, 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃(𝐵) = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∎

14. Probabilidade Condicional
• Considere, novamente, o lançamento de um dado (honesto).
Qual a probabilidade de sair face seis?
A= {seis}; Ω ={um, dois, três, quatro, cinco, seis} logo, 𝑃 𝑠𝑒𝑖𝑠 =
1
6
Qual a probabilidade de sair “seis” sabendo que saiu face par?
A={seis}; Ω𝑛𝑜𝑣𝑜 = {𝑑𝑜𝑖𝑠, 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜, 𝑠𝑒𝑖𝑠}, logo 𝑃 𝑠𝑒𝑖𝑠|𝑝𝑎𝑟 =
1
3

15. Probabilidade Condicional
Se 𝑃 𝐴 ≠ 0, 𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐵∩𝐴)
𝑃(𝐴)

16. Probabilidade Condicional
• Corolário:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴)

17. Problema de Aplicação
• Uma urna contém 10 bolas de mesmo tamanho, sendo 6 pretas e 4
brancas. Duas bolas serão retiradas , uma após a outra, com
reposição. Determine a probabilidade de as duas bolas sorteadas
serem pretas.
𝑃1: 𝐵𝑜𝑙𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎çã𝑜
𝑃2: 𝐵𝑜𝑙𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎çã𝑜
𝑃 𝑃1 ∩ 𝑃2 = 𝑃 𝑃1 ∙ 𝑃 𝑃2 𝑃1 =
6
10
6
10
=
36
100

18. Eventos Independentes
• Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um
deles não afeta a ocorrência do outro.
𝑃 𝑃2 𝑃1 = 𝑃2
𝑃 𝑃1 𝑃2 = 𝑃1
Nesse caso, 𝑃(𝑃1 ∩ 𝑃2) = 𝑃1 ∙ 𝑃2

19. Problema de aplicação
• Uma urna contém 10 bolas de mesmo tamanho, sendo 6 pretas e 4
brancas. Duas bolas serão retiradas sucessivamente, sem reposição.
A)Qual a probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas?
𝑃 𝑃1 ∩ 𝑃2 =
6
10
∙
5
9
=
30
90
=
1
3

20. Problema de aplicação
• Uma urna contém 10 bolas de mesmo tamanho, sendo 6 pretas e 4
brancas. Duas bolas serão retiradas sucessivamente sem reposição.
A)Qual a probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas?
B) Qual a probabilidade de a segunda bola ser preta?
𝑃 𝑃2 = 𝑃[ 𝑃2 ∩ 𝑃1 ∪ (𝐵1 ∩ 𝑃2)]
𝑃 𝑃2 = 𝑃 𝑃2 ∩ 𝑃1 + 𝑃[(𝐵1 ∩ 𝑃2)]
𝑃 𝑃2 = 𝑃 𝑃1 ∙ 𝑃2|𝑃1 + 𝑃(𝐵1) ∙ (𝑃2|𝐵1)]
𝑃 𝑃2 =
6
10
∙
5
9
+
4
10
∙
6
9
=
3
5

21. Diagrama de árvores
B2
B2
P2
P2
4/10
6/10
5/9
4/9
3/9
6/9
B1
P1
Uma urna contém 10 bolas de
mesmo tamanho, sendo 6 pretas e
4 brancas. Duas bolas serão
retiradas sucessivamente sem
reposição.
A)Qual a probabilidade de as duas
bolas retiradas serem pretas?
6
10
∙
5
9
=
1
3
B) Qual a probabilidade de a
segunda bola ser preta?
4
10
∙
6
9
+
6
10
∙
5
9
=
3
5

22. Problema de Aplicação
• Uma urna contém 10 bolas de mesmo tamanho, sendo 6 pretas e 4
brancas. Duas bolas serão retiradas sucessivamente sem reposição.
A)Qual a probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas?
B) Qual a probabilidade de a segunda bola ser preta?
C)Se a segunda bola é preta, qual a probabilidade de a primeira ser
preta?
𝑃 𝑃1|𝑃2 =
𝑃[ 𝑃2 ∩ 𝑃1 ]
𝑃(𝑃2)
=
1
3
3
5
=
5
9

23. Problema de Aplicação
• Um baralho consiste de 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-
se dois cartões ao acaso (sem reposição). A probabilidade de que a
soma dos cartões seja 100 é igual a quanto?
𝑃 =
98
100
∙
1
99
=
98
9900
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜
𝑃 =
49
𝐶100,2
=
98
9900
𝑠𝑒𝑚 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜

24. Exemplo ENEM
O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato
mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua
caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em
cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade
de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10. Para isso, decide aumentar a
quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.
Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de
dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
A)2.
B) 4.
C)6.
D)9.
E)10.
Probabilidade de errar 𝑛 lançamentos é 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑎𝑟𝑛 =
1
2
⋅
1
2
⋅ … ⋅
1
2
𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠
=
1
2
𝑛
Probabilidade de ele acertar pelo menos um lançamento :
𝑃 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟1 = 1 − 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑎𝑟𝑛 = 1 −
1
2
𝑛
≥
9
10
1 −
9
10
≥
1
2
𝑛
⇒
1
10
≥
1
2
𝑛

25. ENEM 2022
A senha de um cofre é uma sequência formada por oito dígitos, que são
algarismos escolhidos de 0 a 9. Ao inseri-la, o usuário se esqueceu dos dois últimos
dígitos que formam essa senha, lembrando somente que esses dígitos são distintos.
Digitando ao acaso os dois dígitos esquecidos, a probabilidade de que o
usuário acerte a senha na primeira tentativa é
a) 2/8
b) 1/90
c) 2/90
d) 1/100
e) 2/100