O documento introduz conceitos básicos de probabilidade, como espaço amostral, eventos, probabilidade condicional e independência. Aborda exemplos de experimentos aleatórios e determinísticos, além de operações entre eventos usando a teoria dos conjuntos.
O documento apresenta 10 exercícios de estatística envolvendo distribuição de frequência, medidas de tendência central, probabilidade e outros conceitos. Os exercícios solicitam o cálculo de medidas como média, mediana, moda, quartis, probabilidades e índices numéricos com base em tabelas de dados sobre pesos de jogadoras, notas de alunos, vendas de produtos, salários e outros.
O documento contém 20 exercícios de juros simples com diferentes taxas e períodos de aplicação. Os exercícios envolvem cálculos para determinar taxas, períodos, montantes e capitais iniciais. O gabarito com as respostas está listado no final.
[1] O documento discute o conceito de desenvolvimento sustentável e como promover o equilíbrio entre o progresso e a preservação dos recursos naturais para as gerações futuras.
[2] É definido como atender as necessidades do presente sem comprometer o futuro e minimizar impactos ambientais, preservando os recursos naturais para não faltarem.
[3] A educação ambiental é apontada como a principal ferramenta para mudar posturas e construir uma sociedade mais justa e equilibrada na relação com o meio ambiente
O documento discute conceitos básicos de estatística, incluindo que estatística é a análise de dados para tomar decisões com base em evidências, dividida em estatística descritiva e inferencial. População e amostra são definidas, assim como variáveis qualitativas e quantitativas, dados brutos, distribuição de frequências e classes.
(1) O documento apresenta 14 questões sobre formas geométricas e sólidos geométricos como cubos, pirâmides, cilindros e esferas. (2) As questões testam o reconhecimento destas formas em imagens e situações do mundo real. (3) A resolução das questões exige identificar características como número de lados, vértices e faces de figuras planas e sólidos para escolher a alternativa correta.
Este documento discute testes de hipóteses para médias e proporções. Ele explica o processo de testes de hipóteses, incluindo a formulação de hipóteses nulas e alternativas, a seleção de um nível de significância, a coleta e análise de dados amostrais, e a tomada de decisões sobre a aceitação ou rejeição da hipótese nula. Exemplos ilustram testes bilaterais, unilaterais à direita e à esquerda para médias e proporções.
Aula 18: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. 2 Pa...Adriano Silva
Este documento descreve a resolução da equação de Schrödinger para duas situações tridimensionais: (1) uma partícula em uma caixa cúbica, cujos níveis de energia apresentam degenerescência relacionada à simetria do potencial, e (2) um oscilador harmônico tridimensional, cuja equação pode ser separada em coordenadas cartesianas assim como no caso unidimensional.
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre estatística descritiva de uma disciplina de probabilidade e estatística. 2. Os exercícios abordam conceitos como população, amostra, estatística descritiva, distribuição de frequência e gráficos. 3. As questões pedem para identificar conceitos, sugerir tipos de amostragem, construir tabelas e gráficos de distribuição de frequência e analisar dados.
O documento apresenta 10 exercícios de estatística envolvendo distribuição de frequência, medidas de tendência central, probabilidade e outros conceitos. Os exercícios solicitam o cálculo de medidas como média, mediana, moda, quartis, probabilidades e índices numéricos com base em tabelas de dados sobre pesos de jogadoras, notas de alunos, vendas de produtos, salários e outros.
O documento contém 20 exercícios de juros simples com diferentes taxas e períodos de aplicação. Os exercícios envolvem cálculos para determinar taxas, períodos, montantes e capitais iniciais. O gabarito com as respostas está listado no final.
[1] O documento discute o conceito de desenvolvimento sustentável e como promover o equilíbrio entre o progresso e a preservação dos recursos naturais para as gerações futuras.
[2] É definido como atender as necessidades do presente sem comprometer o futuro e minimizar impactos ambientais, preservando os recursos naturais para não faltarem.
[3] A educação ambiental é apontada como a principal ferramenta para mudar posturas e construir uma sociedade mais justa e equilibrada na relação com o meio ambiente
O documento discute conceitos básicos de estatística, incluindo que estatística é a análise de dados para tomar decisões com base em evidências, dividida em estatística descritiva e inferencial. População e amostra são definidas, assim como variáveis qualitativas e quantitativas, dados brutos, distribuição de frequências e classes.
(1) O documento apresenta 14 questões sobre formas geométricas e sólidos geométricos como cubos, pirâmides, cilindros e esferas. (2) As questões testam o reconhecimento destas formas em imagens e situações do mundo real. (3) A resolução das questões exige identificar características como número de lados, vértices e faces de figuras planas e sólidos para escolher a alternativa correta.
Este documento discute testes de hipóteses para médias e proporções. Ele explica o processo de testes de hipóteses, incluindo a formulação de hipóteses nulas e alternativas, a seleção de um nível de significância, a coleta e análise de dados amostrais, e a tomada de decisões sobre a aceitação ou rejeição da hipótese nula. Exemplos ilustram testes bilaterais, unilaterais à direita e à esquerda para médias e proporções.
Aula 18: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. 2 Pa...Adriano Silva
Este documento descreve a resolução da equação de Schrödinger para duas situações tridimensionais: (1) uma partícula em uma caixa cúbica, cujos níveis de energia apresentam degenerescência relacionada à simetria do potencial, e (2) um oscilador harmônico tridimensional, cuja equação pode ser separada em coordenadas cartesianas assim como no caso unidimensional.
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre estatística descritiva de uma disciplina de probabilidade e estatística. 2. Os exercícios abordam conceitos como população, amostra, estatística descritiva, distribuição de frequência e gráficos. 3. As questões pedem para identificar conceitos, sugerir tipos de amostragem, construir tabelas e gráficos de distribuição de frequência e analisar dados.
Este documento apresenta os conceitos e métodos de Análise de Variância (ANOVA), incluindo como comparar médias de várias populações, estimar variâncias entre e dentro de amostras, e testar hipóteses sobre diferenças entre médias populacionais usando os valores estatísticos F e p. Exemplos ilustram como aplicar a ANOVA para comparar médias em estudos com um ou mais fatores classificatórios.
1) O documento discute razões, proporções e divisões em partes direta e inversamente proporcionais.
2) Ele define razões e proporções, apresenta suas propriedades e exemplos de sequências direta e inversamente proporcionais.
3) Também mostra como dividir números em partes direta e inversamente proporcionais usando razões e proporções.
1) O documento contém orientações para uma prova de avaliação geral e 15 questões objetivas sobre conceitos básicos de química, incluindo estrutura atômica e propriedades.
2) As orientações incluem ler atentamente cada questão, não usar corretivo, interpretar as questões e não copiar dos colegas.
3) As questões abordam tópicos como partículas fundamentais do átomo, propriedades físicas, número atômico, número de massa, densidade e equações químicas.
1. Define razão e proporção matemáticas, explicando que razão é o quociente entre dois números e proporção é a igualdade entre duas razões.
2. Apresenta exemplos numéricos para ilustrar o cálculo de razões e proporções.
3. Explica que o documento contém exercícios sobre cálculo de razões e proporções em diversos contextos como geometria, física e porcentagem.
Atividade de português, dirigida aos alunos do 8º ano, visa ao estudo dos advérbios, por meio do texto Atchin! É gripe?. Por meio da leitura desse texto, você vai aprender a diferenciar a gripe do resfriado!
O documento apresenta as regras de arredondamento de números segundo a Resolução no 886/66 da Fundação IBGE. São descritas as condições para arredondar números para cima ou para baixo dependendo do algarismo que precede os números após a casa decimal a ser desconsiderada. Exemplos ilustram como aplicar corretamente as regras de arredondamento.
Lista de exercícios - Separação de misturas.docxJooPauloGaldino3
Este documento é uma lista de exercícios de ciências sobre processos de separação de misturas para alunos do 6o ano do ensino fundamental. A lista contém questões sobre identificar processos de separação como filtração, decantação e peneiração. Também inclui exercícios sobre mudanças de estado da matéria como evaporação e solidificação.
O documento discute os mecanismos de difusão atômica em sólidos, incluindo difusão por substituição, intersticial e em anel. A difusão depende de fatores como temperatura, estrutura cristalina, defeitos e energia de ativação. A difusão em sólidos porosos e de eletrólitos em soluções também é abordada.
Relatorio de química analítica ii determinação da acidez total do vinagreDhion Meyg Fernandes
É comum associar o termo ácido a compostos altamente perigosos, letais, corrosivos, de extrema periculosidade. Até certo ponto isto está correto, mas vale ressaltar que, não obstante da realidade científica, isto não é uma verdade absoluta.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre números inteiros para alunos do 7o ano. Inclui exercícios sobre representação de situações usando números positivos e negativos, operações com números inteiros como oposto e simétrico, expressões numéricas, sucessor e antecessor de números inteiros, e operações como soma, subtração, multiplicação e divisão.
2) Fornece também exercícios sobre a localização de um elevador em diferentes andares considerando o térreo como origem dos números inteiros.
3
O documento apresenta uma série de questões resolvidas sobre Termodinâmica, incluindo conceitos como 1a e 2a Lei da Termodinâmica, Energia Interna, Ciclo de Carnot e trabalho de um gás. As questões abordam cálculos envolvendo esses conceitos, como cálculo de energia interna, trabalho realizado por um gás, rendimento de máquinas térmicas e refrigeradores de Carnot.
O documento fornece exercícios de ângulos inscritos em circunferências, pedindo para determinar a medida de ângulos ou arcos. Explica que em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares.
O documento apresenta estratégias para ensinar conceitos de reta numérica para alunos do ensino fundamental, incluindo preencher retas numéricas com números faltantes, comparar posições em retas numéricas, e identificar a direção de movimento ao longo da reta.
1. A prova contém 60 questões e dura 4 horas. Os alunos devem ler as instruções atentamente.
2. As fábulas de Esopo e Millôr Fernandes sobre a raposa e as uvas são analisadas, com ênfase no fato de a raposa conseguir ou não alcançar as uvas no final.
3. Exercícios de matemática, língua portuguesa e ciências compõem o resto da prova.
Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)Otávio Sales
1) O documento apresenta problemas de probabilidade e contagem envolvendo lançamento de moedas, dados, cartas e outros eventos aleatórios. Calcula probabilidades de resultados específicos e enumera possibilidades.
2) Inclui problemas de contagem envolvendo caminhos, placas de carros, combinações de roupas, senhas e outras situações de escolha. Determina o número máximo de possibilidades em cada caso.
3) Apresenta a árvore de probabilidades para diversos exemplos como lançamento de moedas e formação de números ou có
Este documento fornece uma ficha de avaliação para um trabalho interdisciplinar realizado por alunos do 1o ano do Colégio Militar de Campo Grande sobre os livros "Os Lusíadas" e outros textos literários. A ficha lista critérios como conteúdo, relevância dada aos textos, criatividade, domínio do conteúdo e adequação da linguagem, adequação do tempo, postura e participação.
O documento apresenta 11 exercícios de matemática envolvendo cálculos geométricos e de progressões aritméticas. Os exercícios incluem cálculos de número de arestas, faces e vértices de poliedros, áreas e volumes de prisma triangular e quadrangular, soma de termos de PAs, e determinação de medidas a partir de informações sobre volume.
Este documento contém 29 questões de matemática sobre tópicos como porcentagem, razão, proporção, geometria e álgebra. As questões variam de cálculos simples a problemas mais complexos e a maioria requer o cálculo de porcentagens, razões ou proporções para chegar à resposta correta. O documento também fornece o gabarito com as respostas para cada questão.
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre solo e plantas para alunos de 6o e 7o ano. A lista inclui questões sobre nutrientes do solo, importância do húmus, decompositores, processo de fotossíntese e reprodução das briófitas.
Este documento descreve o procedimento para determinar a dureza total da água usando EDTA como agente quelante. Inclui a preparação das soluções de EDTA e indicador, a titulação da amostra de água da torneira com EDTA, e cálculos para obter os resultados de dureza total. O documento também discute conceitos importantes como ponto de equivalência e fatores que afetam a precisão da titulação complexométrica.
O documento descreve experimentos aleatórios e conceitos probabilísticos básicos como espaço amostral, eventos, probabilidade, probabilidade condicional e independência. É apresentado um exemplo numérico sobre distribuição de sexo e alfabetização para ilustrar cálculos de probabilidade.
O documento discute probabilidades em genética, incluindo cálculos de probabilidade, regras de probabilidade como "e" e "ou", e exemplos de problemas genéticos. Aborda conceitos como alelos dominantes e recessivos, heterozigotos, homozigotos, cruzamentos e quadros de Punnett.
Este documento apresenta os conceitos e métodos de Análise de Variância (ANOVA), incluindo como comparar médias de várias populações, estimar variâncias entre e dentro de amostras, e testar hipóteses sobre diferenças entre médias populacionais usando os valores estatísticos F e p. Exemplos ilustram como aplicar a ANOVA para comparar médias em estudos com um ou mais fatores classificatórios.
1) O documento discute razões, proporções e divisões em partes direta e inversamente proporcionais.
2) Ele define razões e proporções, apresenta suas propriedades e exemplos de sequências direta e inversamente proporcionais.
3) Também mostra como dividir números em partes direta e inversamente proporcionais usando razões e proporções.
1) O documento contém orientações para uma prova de avaliação geral e 15 questões objetivas sobre conceitos básicos de química, incluindo estrutura atômica e propriedades.
2) As orientações incluem ler atentamente cada questão, não usar corretivo, interpretar as questões e não copiar dos colegas.
3) As questões abordam tópicos como partículas fundamentais do átomo, propriedades físicas, número atômico, número de massa, densidade e equações químicas.
1. Define razão e proporção matemáticas, explicando que razão é o quociente entre dois números e proporção é a igualdade entre duas razões.
2. Apresenta exemplos numéricos para ilustrar o cálculo de razões e proporções.
3. Explica que o documento contém exercícios sobre cálculo de razões e proporções em diversos contextos como geometria, física e porcentagem.
Atividade de português, dirigida aos alunos do 8º ano, visa ao estudo dos advérbios, por meio do texto Atchin! É gripe?. Por meio da leitura desse texto, você vai aprender a diferenciar a gripe do resfriado!
O documento apresenta as regras de arredondamento de números segundo a Resolução no 886/66 da Fundação IBGE. São descritas as condições para arredondar números para cima ou para baixo dependendo do algarismo que precede os números após a casa decimal a ser desconsiderada. Exemplos ilustram como aplicar corretamente as regras de arredondamento.
Lista de exercícios - Separação de misturas.docxJooPauloGaldino3
Este documento é uma lista de exercícios de ciências sobre processos de separação de misturas para alunos do 6o ano do ensino fundamental. A lista contém questões sobre identificar processos de separação como filtração, decantação e peneiração. Também inclui exercícios sobre mudanças de estado da matéria como evaporação e solidificação.
O documento discute os mecanismos de difusão atômica em sólidos, incluindo difusão por substituição, intersticial e em anel. A difusão depende de fatores como temperatura, estrutura cristalina, defeitos e energia de ativação. A difusão em sólidos porosos e de eletrólitos em soluções também é abordada.
Relatorio de química analítica ii determinação da acidez total do vinagreDhion Meyg Fernandes
É comum associar o termo ácido a compostos altamente perigosos, letais, corrosivos, de extrema periculosidade. Até certo ponto isto está correto, mas vale ressaltar que, não obstante da realidade científica, isto não é uma verdade absoluta.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre números inteiros para alunos do 7o ano. Inclui exercícios sobre representação de situações usando números positivos e negativos, operações com números inteiros como oposto e simétrico, expressões numéricas, sucessor e antecessor de números inteiros, e operações como soma, subtração, multiplicação e divisão.
2) Fornece também exercícios sobre a localização de um elevador em diferentes andares considerando o térreo como origem dos números inteiros.
3
O documento apresenta uma série de questões resolvidas sobre Termodinâmica, incluindo conceitos como 1a e 2a Lei da Termodinâmica, Energia Interna, Ciclo de Carnot e trabalho de um gás. As questões abordam cálculos envolvendo esses conceitos, como cálculo de energia interna, trabalho realizado por um gás, rendimento de máquinas térmicas e refrigeradores de Carnot.
O documento fornece exercícios de ângulos inscritos em circunferências, pedindo para determinar a medida de ângulos ou arcos. Explica que em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares.
O documento apresenta estratégias para ensinar conceitos de reta numérica para alunos do ensino fundamental, incluindo preencher retas numéricas com números faltantes, comparar posições em retas numéricas, e identificar a direção de movimento ao longo da reta.
1. A prova contém 60 questões e dura 4 horas. Os alunos devem ler as instruções atentamente.
2. As fábulas de Esopo e Millôr Fernandes sobre a raposa e as uvas são analisadas, com ênfase no fato de a raposa conseguir ou não alcançar as uvas no final.
3. Exercícios de matemática, língua portuguesa e ciências compõem o resto da prova.
Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)Otávio Sales
1) O documento apresenta problemas de probabilidade e contagem envolvendo lançamento de moedas, dados, cartas e outros eventos aleatórios. Calcula probabilidades de resultados específicos e enumera possibilidades.
2) Inclui problemas de contagem envolvendo caminhos, placas de carros, combinações de roupas, senhas e outras situações de escolha. Determina o número máximo de possibilidades em cada caso.
3) Apresenta a árvore de probabilidades para diversos exemplos como lançamento de moedas e formação de números ou có
Este documento fornece uma ficha de avaliação para um trabalho interdisciplinar realizado por alunos do 1o ano do Colégio Militar de Campo Grande sobre os livros "Os Lusíadas" e outros textos literários. A ficha lista critérios como conteúdo, relevância dada aos textos, criatividade, domínio do conteúdo e adequação da linguagem, adequação do tempo, postura e participação.
O documento apresenta 11 exercícios de matemática envolvendo cálculos geométricos e de progressões aritméticas. Os exercícios incluem cálculos de número de arestas, faces e vértices de poliedros, áreas e volumes de prisma triangular e quadrangular, soma de termos de PAs, e determinação de medidas a partir de informações sobre volume.
Este documento contém 29 questões de matemática sobre tópicos como porcentagem, razão, proporção, geometria e álgebra. As questões variam de cálculos simples a problemas mais complexos e a maioria requer o cálculo de porcentagens, razões ou proporções para chegar à resposta correta. O documento também fornece o gabarito com as respostas para cada questão.
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre solo e plantas para alunos de 6o e 7o ano. A lista inclui questões sobre nutrientes do solo, importância do húmus, decompositores, processo de fotossíntese e reprodução das briófitas.
Este documento descreve o procedimento para determinar a dureza total da água usando EDTA como agente quelante. Inclui a preparação das soluções de EDTA e indicador, a titulação da amostra de água da torneira com EDTA, e cálculos para obter os resultados de dureza total. O documento também discute conceitos importantes como ponto de equivalência e fatores que afetam a precisão da titulação complexométrica.
O documento descreve experimentos aleatórios e conceitos probabilísticos básicos como espaço amostral, eventos, probabilidade, probabilidade condicional e independência. É apresentado um exemplo numérico sobre distribuição de sexo e alfabetização para ilustrar cálculos de probabilidade.
O documento discute probabilidades em genética, incluindo cálculos de probabilidade, regras de probabilidade como "e" e "ou", e exemplos de problemas genéticos. Aborda conceitos como alelos dominantes e recessivos, heterozigotos, homozigotos, cruzamentos e quadros de Punnett.
Este documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo: 1) Acontecimentos e modelos de probabilidade; 2) A lei de Laplace para calcular probabilidades; 3) Diferença entre experiências aleatórias e determinísticas.
O documento discute os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experiências aleatórias versus deterministas, espaço amostral, tipos de eventos, a lei de Laplace para calcular probabilidades e alguns esquemas auxiliares para contagem como tabelas de dupla entrada e diagramas de árvore e Venn.
Estudos de Caso de Probabilidade - Prof.Dr. Nilo SampaioNilo Sampaio
Este documento apresenta estudos de caso sobre probabilidade, incluindo cálculos de probabilidade de ganhar na Mega-Sena, probabilidade genética, probabilidade de hipertensão e distribuições de Poisson e binomial.
Este documento introduz conceitos básicos de probabilidade e bioestatística. Apresenta definições de experimento aleatório, espaço amostral, probabilidade, eventos exclusivos e não exclusivos. Explica as regras da adição e multiplicação para cálculo de probabilidades. Por fim, descreve o teste estatístico qui-quadrado e seus conceitos associados.
O documento descreve o sistema urinário e seus componentes. O sistema inclui os rins, que produzem a urina, os ureteres que transportam a urina para a bexiga, e a uretra que expel a urina do corpo. Cada rim contém aproximadamente 1 milhão de néfrons, que são as unidades funcionais responsáveis pela produção da urina. A urina flui dos rins para a bexiga através dos ureteres, e da bexiga para fora do corpo através da uretra.
O documento descreve o sistema urinário e seus componentes. O sistema inclui os rins, que produzem a urina, os ureteres que transportam a urina para a bexiga, e a uretra que expel a urina do corpo. Cada rim contém aproximadamente 1 milhão de néfrons, que são as unidades funcionais responsáveis pela produção da urina. A urina flui dos rins para a bexiga através dos ureteres, e da bexiga para fora do corpo através da uretra.
O documento introduz conceitos básicos de distribuições de probabilidade discretas e contínuas, com foco na distribuição normal. Discute como representar graficamente distribuições de probabilidade, a noção de densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas e as propriedades da distribuição normal. Apresenta exemplos numéricos de cálculo de probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão.
O documento introduz conceitos básicos de distribuições de probabilidade discretas e contínuas, com foco na distribuição normal. Explica como calcular probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando a densidade de probabilidade e a tabela da distribuição normal padrão.
Este documento apresenta 5 exercícios de probabilidade e estatística relacionados a saúde. Os exercícios envolvem cálculos de probabilidade para doenças, resultados de testes e distribuições de amostras populacionais.
O documento introduz conceitos básicos de distribuições de probabilidade discretas e contínuas, com foco na distribuição normal. Discute como representar graficamente distribuições de probabilidade, a noção de densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas e as propriedades da distribuição normal. Apresenta exemplos numéricos para ilustrar o cálculo de probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão.
O sistema urinário tem como principais funções controlar a composição do sangue através da filtragem dos rins e eliminar substâncias tóxicas. Os rins filtram o sangue, sintetizam substâncias importantes e regulam a pressão arterial. A urina produzida contém principalmente água e uréia e é armazenada na bexiga antes da eliminação.
2. Probabilidade
• Sua origem está relacionada a jogos de azar;
• Exemplo:
• Jogar um dado;
• Retirar uma carta de um baralho;
• Lançar uma moeda;
• ...
3. Probabilidade
• Normalmente é impossível identificar com certeza o resultado
de um evento futuro:
• Qual lado da moeda vai sair,
• A carta que vou puxar do baralho será de qual naipe,
• Com quantos anos determinada pessoa vai morrer,
• De qual sexo será o primeiro filho de determinado casal,
• Determinada pessoa vai desenvolver diabetes,...
• Usando a teoria da probabilidade, é possível quantificar a
chance de um evento futuro ocorrer com base em
informações obtidas de eventos passados.
4. Experimentos Aleatórios ou
Determinísticos
• Experimento aleatório:
• Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições,
produzem diferentes resultados:
• Jogar um dado numa superfície plana;
• Retirar uma carta de um baralho;
• Lançar uma moeda.
• Experimento determinístico:
• Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições,
produzem resultados iguais:
• Ao deixarmos uma pedra cair de determinada altura, o tempo de
queda será sempre igual;
• Ao nível do mar, a água entra em ebolição sempre que atinge 100ºC.
5. Espaço Amostral
• O conjunto de resultados possíveis, relacionado a um
experimento, é denominado espaço amostral.
• Exemplos:
• Lançamento de um dado (Existem 6 resultados possíveis)
• Espaço amostral: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
• Retirar uma carta de um baralho (Existem 52 resultados possíveis
- são 13 cartas de cada naipe e 4 naipes).
• Espaço amostral: Ás de Copas, Ás de Ouros, ..., Rei de Paus, Rei de
Espadas.
• Lançar uma moeda (Existem 2 resultados possíveis).
• Espaço amostral: Cara, Coroa.
6. Eventos
• Um evento pode se referir a um único resultado, ou a um
subconjunto de resultados, pertencente à um espaço
amostral;
• Exemplo:
• Lançamento de um dado:
• Evento 1 = sair 5;
• Evento 2 = sair um valor menor do que 3.
• Retirar uma carta de um baralho:
• Evento 1 = Sair um 3 de espadas;
• Evento 2 = Sair uma carta de paus.
• Lançar uma moeda:
• Evento 1 = sair cara;
• Evento 2 = sair coroa.
7. Exercício 1
• Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes
experimentos aleatórios:
• Num hospital, conta-se o número de pacientes atendidos num
intervalo de uma hora;
• Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a
configuração segundo o sexo;
• Mede-se a duração de tubos de oxigênio, até que se esvaziem.
8. Como Estudar a Probabilidade de
um Evento
• Definir o objetivo do estudo;
• Definir o objeto do estudo, aquilo que deverá ser repetido;
• Descrever todos os resultados possíveis;
• Repetir o experimento o maior número de vezes que puder;
• Relatar todos os resultados obtidos;
• Estudar a regularidade com a qual cada resultado ocorreu.
9. Exemplo - Rh
• Em 1977 um pesquisador chamado Garcia se interessou pelo
estudo da probabilidade dos indivíduos de São José do Rio
Preto apresentarem Rh – ou +, em seus tipos sanguineos.
• Objeto de estudo: moradores de São José do Rio Preto;
• Resultados possíveis: Rh negativo ou Rh positivo;
• Foram coletadas informação de 820 indivíduos:
Rh Frequência Absoluta Freq. Relativa
Positivo 737 0,8988
Negativo 83 0,1012
Total 820 1
10. Definição Frequentista de
Probabilidade
• Se um experimento é repetido ݊ vezes sob condições
essencialmente iguais e se o evento ܣ ocorre ݉ vezes, então,
conforme ݊ aumenta, a razão
⁄ se aproxima de um limite
fixado, denominado probabilidade de :ܣ
• ܲ ܣ ൌ
;
• ݊ ݉ 0, logo, a probabilidade de um evento ocorrer é
dada por um valor entre 0 e 1;
• Se ܲ ܣ ൌ 0, ܣ é chamado de evento nulo ou impossível, e
pode ser representado por ∅;
• Se ܲ ܣ ൌ 1, ܣ é chamado de evento certo, e pode ser
representado por ܵ, em que ܵ representa o espaço amostral.
11. Exemplo - Rh
• Evento A = o indivíduo apresentar Rh – em seu tipo sanguíneo;
• ܲ ܣ ൌ
଼ଷ
଼ଶ
ൌ 0,1012;
• Evento B = o indivíduo apresentar Rh + em seu tipo sanguíneo;
• ܲ ܤ ൌ
ଷ
଼ଶ
ൌ 0,8988.
Rh Frequência Absoluta
Positivo 737
Negativo 83
Total 820
12. Exemplo: Evento Nulo e Evento
Certo
• Lançamento de um dado:
• Evento 1 = sair um número menor ou igual a 6 – Evento Certo;
• Evento 2 = sair um valor menor do que 1 – Evento Nulo.
• Retirar uma carta de um baralho:
• Evento 1 = Sair uma carta de paus, ou de ouros ou de espadas ou de
copas – Evento Certo;
• Evento 2 = Sair um 14 de paus – Evento Nulo.
• Lançar uma moeda:
• Evento 1 = sair cara ou coroa – Evento Certo;
• Evento 2 = sair o número 13 – Evento Nulo.
13. Operações entre Eventos – Teoria
dos Conjuntos
• A reunião de dois eventos é denotada por: ܣ ∪ ;ܤ
• A interseção entre dois eventos é dada por: ܣ ∩ ;ܤ
• O complementar do evento ,ܣ denotado por ܣ
, é o evento
que ocorre quando ܣ não ocorre;
• ܣ ∪ ܤ ∩ ܥ ൌ ܣ ∩ ܥ ∪ ܤ ∩ ܥ ;
• ܣ ∩ ܤ ∪ ܥ ൌ ܣ ∪ ܥ ∩ ܤ ∪ ܥ ;
• ܣ ∪ ܤ
ൌ ܣ
∩ ܤ
;
• ܣ ∩ ܤ ൌ ܣ ∪ ܤ.
14. Operações entre Eventos – Teoria
dos Conjuntos
ܣ ∪ ܤ ܣ ∩ ܤܣ
ܣ
ܣܣ
ܤ
ܣ
ܤ
15. Exercício 2
• Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral
“traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as
seguintes situações:
• Pelo menos um dos eventos ocorre;
• O evento A ocorre, mas B não;
• Nenhum deles ocorre;
• Exatamente um dos eventos ocorre.
18. Eventos Mutuamente
Exclusivos
• Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que jamais
podem ocorrer ao mesmo tempo.
• Exemplo:
• Lançamento de um dado: Evento A = sair 2; Evento B = sair um
valor maior do que 4.
ܣ ܤ
ܣ ∩ ܤ ൌ ∅
20. Exemplo - Rh
• Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, já que um
indivíduo não pode apresentar Rh – e Rh +, em seu tipo
sanguíneo, ao mesmo tempo;
• ܲ ܣ ൌ
଼ଷ
଼ଶ
ൌ 0,1012;
• ܲ ܤ ൌ
ଷ
଼ଶ
ൌ 0,8988;
• ܲ ܣ ∩ ܤ ൌ 0;
• ܲ ܣ ∪ ܤ ൌ ܲ ܣ ܲ ܤ ൌ 0,1012 0,8988 ൌ 1;
• ܣ
ൌ ;ܤ
• ܤ
ൌ .ܣ
21. Exercício 3
• Em uma universidade, 2000 estudantes do curso de medicina,
em determinado ano, foram classificados de acordo com o
tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 260
estudantes, natação por 185 estudantes e musculação por 210
estudantes, sendo que alguns estudantes praticam mais de
um desses esportes. Assim, tem-se 42 estudantes que
praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18
futebol e natação e 3 praticam as três modalidades. Se um
desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade
de:
• Praticar somente musculação;
• Praticar pelo menos um destes esportes;
• Praticar pelo menos dois destes esportes;
• Não praticar nenhum destes esportes.
22. Probabilidade Condicional
• Muitas vezes existe o interesse em determinar a probabilidade
de um evento ,ܤ dado que já se conhece o resultado de um
outro evento A;
• A probabilidade de ocorrer o evento ,ܤ dado que ocorreu o
evento A ܲ ܣ|ܤ é dada pela seguinte expressão:
• ܲ ܣ|ܤ ൌ
∩
, desde que ܲ ܣ ് 0.
24. Exercício 4
• Em um estudo feito com 15 pessoas, foram coletadas
informações sobre o estilo de vida de cada um (sedentário ou
não) e sobre o peso de cada um (obeso ou não). Foi
observado 5 pessoas obesas e 9 sedentárias; dentre as 5
pessoas obesas, 4 foram classificadas como sedentárias.
• Qual a probabilidade de:
• Um indivíduo ser obeso e sedentário;
• Um indivíduo ser obeso ou sedentário;
• Um indivíduo ser obeso dado que ele é sedentário;
• Um indivíduo ser sedentário dado que ele é obeso;
25. Regra Multiplicativa
• Sai diretamente da probabilidade condicional:
• ܲ ܣ ∩ ܤ ൌ ܲ ܤ|ܣ ܲ ܤ ൌ ܲ ܣ|ܤ ܲ ܣ .
• Essa regra é de grande utilidade na verificação de
dependência entre os eventos envolvidos.
26. Eventos Independentes
• Dois eventos são considerados independentes quando a
ocorrência de um não influencia na ocorrência ou não-
ocorrência do outro;
• Logo, se dois eventos, ܣ e ,ܤ são independentes tem-se:
• ܲ ܤ|ܣ ൌ ܲ ܣ e ܲ ܣ|ܤ ൌ ܲ ܤ ;
• Ou seja, ܲ ܣ ∩ ܤ ൌ ܲ ܣ ൈ ܲ ܤ .
• OBS: Os termos mutuamente exclusivos e independentes não
são sinonimos; basta lembrar que eventos mutuamente
exclusivos não possuem interseção.
27. Exercício 5
• Considere as situações dadas abaixo. Identifique se os eventos
são mutuamente exclusivos ou independentes.
• Evento A: O primeiro filho de um casal ser menina; Evento B: O
segundo filho de um casal ser menina.
• Evento A: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo
sanguíneo A; Evento B: Um indivíduo, de determinada população,
ter o tipo sanguíneo O.
• Considere dois eventos, A e B, dado que ܲ ܣ ൌ 0,8, ܲ ܤ ൌ 0,5
e ܲ ܣ ∩ ܤ ൌ 0,4.
28. Partição do Espaço Amostral
• Uma partição do espaço amostral é dada por um conjunto de
eventos mutuamente exclusivos que quando unidos formam o
espaço amostral:
• ܵ ൌ ⋃ ܤ
଼
ୀଵ
ܤଵ
ܤଶ
ܤଷ
ܤସ
ܤହ
ܤ
ܤ
ܤ଼
29. Exemplo – Debilidade Auditiva
• O Levantamento Nacional de Entrevistas de Saúde de 1980 –
1981 fornece informações sobre as debilidades auditivas
devido a lesões registradas por indivíduos de 17 anos de idade
e mais velhos.
• Os entrevistados foram divididos em 3 grupos:
• A: Atualmente empregados, ܲ ܣ ൌ 0,6063;
• B: Atualmente desempregados, ܲ ܤ ൌ 0,0457;
• C: Fora da força de trabalho, ܲ ܥ ൌ 0,3480.
• Os eventos A, B e C representam uma partição do
Espaço Amostral?
30. Teorema da Probabilidade
Total
• Dado um evento ܣ e uma partição do espaço amostra
ܤଵ, … , ܤ tem-se:
• ܲ ܣ ൌ ∑ ܲ ܣ ∩ ܤ
ୀଵ ൌ ∑ ܲ ܤ|ܣ ܲ ܤ
ୀଵ
ܤଵ
ܤଶ
ܤଷ
ܤସ
ܤହ
ܤ
ܤ
ܤ଼
ܣ
31. Exemplo – Debilidade Auditiva
• O levantamento Nacional de Entrevistas de Saúde de 1980 –
1981 nos fornece as seguintes informações sobre a ausência
(evento ܰ) e presença (evento ܵ) de debilidade auditiva
devido a lesões:
• ܲ ܵ|ܣ ൌ 0,0056;
• ܲ ܵ|ܤ ൌ 0,0036;
• ܲ ܵ|ܥ ൌ 0,0065;
• Qual a probabilidade de um indivíduo retirado aleatoriamente
da população apresentar debilidade auditiva?
32. Teorema de Bayes
• Dado um evento ܣ e uma partição do espaço amostra
ܤଵ, … , ܤ tem-se:
• ܲ ܤ|ܣ ൌ
ೖ∩
ൌ
ೖ ೖ|
∑ |ೖ ೖ
ೖసభ
ܤଵ
ܤଶ
ܤଷ
ܤସ
ܤହ
ܤ
ܤ
ܤ଼
ܣ
33. Exemplo – Debilidade Auditiva
• Uma informação que não foi dada, que pode ser de interesse,
é a probabilidade de um indivíduo pertencer ao grupo de fora
da força de trabalho dado que ele apresenta debilidade
auditiva ܲ ܥ|ܵ , por exemplo.
• Calcule:
• ܲ ܣ|ܵ ;
• ܲ ܤ|ܵ ;
• ܲ ܥ|ܵ .
34. Testes de Diagnóstico
• O teorema de Bayes é muito útil quando se deseja realizar um
teste de diagnóstico ou triagems;
• Triagem consiste na aplicação de um teste em indivíduos
assintomáticos, visando classificá-los quanto a chance de
apresentarem ou desenvolverem determinada doença;
• Aqueles indivíduos que apresentam resultados positivos na
triagem possuem uma probabilidade maior de apresentar
determinada doença, sendo assim eles são, usualmente,
direcionados a procedimentos de diagnóstico adicionais, ou a
tratamentos.
35. Terminologia
• Suponha que temos o interesse em dois eventos mutuamente
exclusivos e exaustivos:
• ܦା = o indivíduo apresenta determinada doença;
• ܦି
= o indivíduo não apresenta determinada doença. (ܦା
)
• Seja ܶାa representação de um resultado positivo em um teste
de triagem;
• Estamos interessados na probabilidade do indivíduo
realmente apresentar a doença, dado que o resultado foi
positivo:
• ܲ ܦା|ܶା .
36. Terminologia
• Prevalência da doença é a probabilidade de que um indivíduo,
escolhido ao acaso da população, apresente a doença em
questão;
• Falso negativo: ocorre quando o exame feito em uma mulher
com câncer fornece um resultado negativo;
• Sensibilidade do teste: probabilidade do teste dar positivo,
dado que o indivíduo está realmente doente;
• Falso positivo: ocorre quando o teste feito em um indivíduo
saudável fornece um resultado positivo;
• Especificidade do teste: probabilidade do teste dar um
resultado negativo quando o indivíduo está saudável;
• Acuidade do teste: probabilidade do teste dar um resultado
negativo e o indivíduo estar saudável ou do teste dar positivo
e o indivíduo estar doente (probabilidade de acerto).
37. Câncer do Colo do Útero
• Alta chance de remissão desde que detectado no início;
• O Papanicolau é um procedimento de triagem altamente
aceito e utilizado;
• Um teste de proficiência, conduzido em 1972, 1973 e 1978,
avaliou a competência dos técnicos que analizavam o
Papanicolau para anormalidades.
• Os técnicos de 306 laboratórios de citologia em 44 estados
foram avaliados (EUA);
38. Câncer do Colo de Útero
• 16,25% dos testes realizados em mulheres com câncer
resultaram em falsos negativos;
• (ܲ ܶି ܦା ൌ 0,1625);
• Os outros 100 െ 16,25 ൌ 83,75% das mulheres que tinham
câncer no colo do útero apresentaram resultados positivos
(ܲ ܶା
ܦା
ൌ 0,8375, sensibilidade do teste);
• 18,64% dos testes realizados em mulheres com câncer
resultaram em falsos positivos;
• ܲ ܶା
|ܦି
ൌ 0,1864 → 18,64% das mulheres cujos testes
deram positivo não apresentavam a doença.
• Os outros 100 െ 18,64 ൌ 81,36% das mulheres que não
tinham câncer no colo do útero apresentaram resultados
negativos (ܲ ܶି
|ܦି
ൌ 1 െ 0,1864 ൌ 0,8136, especificidade
do teste).
39. Aplicações do Teorema de
Bayes
• Sabemos a probabilidade do teste ser positivo ou negativo
dado que a paciente tenha ou não câncer de colo de útero;
• Apesar de serem informações importantes, a informação de
maior interesse é saber a probabilidade de uma mulher
realmente ter câncer de colo de útero dado que o exame deu
positivo.
• Tenho:
• ܲ ܶା
|ܦା
; ܲ ܶି
|ܦା
; ܲ ܶା
|ܦି
e ܲ ܶି
|ܦି
.
• Quero:
• ܲ ܦା|ܶା .
40. Aplicação do Teorema de Bayes
• Teorema de Bayes:
• ܲ ܦା|ܶା ൌ
శ∩்శ
்శ ൌ
శ ்శ|శ
శ ்శ|శ ା ష ்శ|ష ;
• Preciso dos valores de ܲ ܦା e ܲ ܦି ;
• ܲ ܦା
é a probabilidade de que uma mulher sofra de câncer
do colo de útero, ou a prevalência da doença em determinada
época;
• Posso calcular ܲ ܦା
com base em dados coletados nas
últimas pesquisas na área.
• Uma fonte registrou que a taxa desse câncer em mulheres
estudadas de 1983 a 1984 foi de 8,3 por 100.000.
41. Aplicação do Teorema de Bayes
• Com base nessa base de dados coletada em 1983-1984, tenho
que ܲ ܦା ൌ
଼,ଷ
ଵ
ൌ 0,000083;
• Logo:
• ܲ ܦି
ൌ 1 െ 0,000083 ൌ 0,999917.
• Inserindo todos os valores no teorma de Bayes tem-se:
• ܲ ܦା
|ܶା
ൌ
,଼ଷൈ,଼ଷହ
,଼ଷൈ,଼ଷହା,ଽଽଽଽଵൈ,ଵ଼ସ
ൌ 0,000373;
42. Aplicação do Teorema de Bayes
• Ou seja, a chance de uma mulher estar doente, dado que o
Papanicolau foi positivo é de 0,0373%; em outras palavras
apenas 373 mulheres, em 100.000 que forneceram resultados
positivos, apresentam a doença.
• Vale notar que 0,000373 é aproximadamente 4,5 vezes maio
do que 0,000083, ou seja, um Papanicolau positivo indica uma
probabilidade 4,5 vezes maior de ter câncer de colo de útero
do que uma mulher tirada aleatóriamente da população.
43. Aplicação do Teorema de Bayes
1.000.000 de Mulheres
Câncer no Colo Uterino
83
Sem Câmcer no Colo Uterino
999.917
Teste +
70
Teste +
186.385
Teste –
13
Teste –
813.532
Teste +
186.455
Teste –
813.545
Prevalência
= 0,000083
Sensibilidade
= 0,8375
Especificidade
= 0,8136
Resultados observados no
teste