pentagono

1. Professor Doraci Gabriel www.doraci.com.br
Seno e Cosseno de 18º e de 36º através do pentágono regular de lado unitário
a) Como o ΔABC é isósceles e é semelhante ao ΔCAD, então podemos escrever:
1
=
=
= AC
AD
BD
b) Seja CD = m, logo:
1
5
2
2
1
5
0
1
1
1
1
2
−
=
→
−
=
→
=
−
+
→
+
=
→
= m
m
m
m
m
m
AB
AC
AC
CD
c) Vamos encontrar o valor exato do cos36° usando a Lei dos Senos no ΔACD:
4
1
5
º
36
os
1
5
1
º
36
os
2
1
º
36
os
º
36
cos
º
36
2
1
º
36
º
72
º
36
+
=
→
−
=
→
=
→
=
→
= c
c
m
c
sen
sen
m
sen
AC
sen
CD
d) Agora, vamos calcular o valor exato do sen18°. Seja E o ponto médio do segmento CD, então fica determinado o
triângulo retângulo AED. Assim,
4
1
5
º
18
4
2
º
18
1
2
/
º
18
−
=
→
=
→
= sen
m
sen
m
sen
e) Finalmente, fazer realizar o cálculo do sen36° e do cos18°:
4
5
2
10
º
36
16
5
2
6
1
º
36
º
36
cos
1
º
36 2 −
=
→
+
−
=
→
−
= sen
sen
sen
4
5
2
10
º
8
1
os
8
5
5
º
8
1
os
2
º
36
cos
1
º
8
1
os
+
=
→
+
=
→
+
= c
c
c
A B
C
D