1) O documento discute gráficos em escalas logarítmicas, incluindo monologarítmicas e dilogarítmicas. 2) Escalas monologarítmicas têm uma escala logarítmica e uma linear, e são úteis para funções exponenciais e comparar crescimentos relativos. 3) Escalas dilogarítmicas têm duas escalas logarítmicas e transformam parábolas e hipérboles em retas, úteis para testar se variáveis obedecem funções potência.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Gráficos em escalas logarítmicas
 Professor: Josué Gomes da Silva
 Acadêmicos:
 Denison Naino Moreira Gandra
 Ednelson Oliveira Santos
 Joaquim Araújo Costa Neto
 Nelson Poerschke
 Vitor Thawa Arruda Mateus
 Wellington Kennedy Gomes da Silva

2. Introdução
A apresentação de dados em uma escala
logarítmica é útil quando os dados cobrem uma grande
gama de valores – o logaritmo reduz a representação a
uma escala mais fácil de ser visualizada e manejada.
Na escala linear, duas graduações cuja diferença
vale 10 estão a uma distância constante.
Na escala logarítmica, duas graduações cuja
razão vale 10 estão a distância constante.

3. Gráficos em escalas logarítmicas
 Monologarítmicas
- apresentam uma escala logarítmica e uma escala linear.
 Dilogarítmicas.
- apresentam duas escalas logarítmicas.

4. Se o gráfico dos valores tabelados em uma
experiência for uma curva, a sua função pode não ser de fácil
determinação. Algumas vezes, funções deste tipo podem ser
determinadas pelo uso adequado dos papéis logarítmicos:
papel mono-logarítmico (mono-log); e
papel dilogarítmico (log-log).
O papel monolog possui escala linear no eixo das
abscissas e escala logarítmica no eixo das ordenadas.
Já o papel log-log possui escala logarítmica nos dois
eixos.
O melhor papel a ser utilizado dependerá dos dados
obtidos experimentalmente.

5. Numa escala linear (papel milimetrado), a distância entre
os traços consecutivos representa sempre o mesmo intervalo da
grandeza a ser representada.
Numa escala logarítmica, isto não acontece. As distâncias
entre os traços não são lineares, ou seja, o passo é variável. A
escala logarítmica é constituída de DÉCADAS.
Uma década é uma escala contida em um comprimento L,
iniciando pelo número 10N e terminando no número 10N+1, sendo
N um número inteiro negativo, nulo ou positivo.
Entre estes números são colocados os algarismos inteiros
de 2 a 9, representando os múltiplos de 10N.

6. No papel logaritmo, os pontos estarão
representando os logaritmos dos números,
portanto, para se construir o gráfico basta marcar
diretamente os pontos correspondentes aos
valores de x e y nos eixos logarítmicos.
Então, com o uso do papel logarítmico
não é necessário extrair os logaritmos dos
valores de x e y.

7. Escalas Monologarítmicas
 São usadas para evidenciar as comparações relativas
entre dois ou mais fatos.
 São denominadas monologarítmicas por apresentarem
uma escala logarítmica e uma linear.
 São também úteis para o estudo de funções
exponenciais que se linearizam por uma transformação
logarítmica.

8. Exemplo 1
 Y = ABX (exponencial)
 - aplicando logaritmo temos:
Y = log A + X log B
 - chamando:
log Y de Y’
log A de A’
log B de B’
* - teremos:
Y’=A’+B’X (reta)

9. Exemplo 2
Deseja-se verificar a evolução relativa da
produção de café entre o País X e o Estado Y que
apresentaram os seguintes números:

10. Se utilizarmos uma escala linear ou aritmética, teremos o
seguinte gráfico:
Gráfico 1

11. Se utilizarmos uma escala logarítmica, teremos o
seguinte gráfico:
Gráfico 2

12.  A observação do Gráfico 1 dá a impressão que o
crescimento da produção do País X foi muito maior que
a do Estado Y quando na realidade a produção cresceu
exatamente na mesma porcentagem.
 Desta forma verifica-se que a escala linear não se presta
para acompanhar a evolução de séries, sendo mais
apropriada a escala monologarítmica.
 Ao convertermos os dados para a escala
monologarítmica, no gráfico 2, verifica-se que a
fidelidade do gráfico com os dados da tabela.

13. Papel monologarítmico

17.  Conforme se pode observar no papel monologaritmo, o eixo
das ordenadas está dividido em camadas logarítmicas. Elas
são denominadas deck ou década.
 Como a escala é logarítmica, os valores crescem de uma
década para a outra em potências da base utilizada,
normalmente a base 10.
 Exemplo:
1ª década – valores de 1 a 10 100
2ª década – valores de 10 a 100 101
3ª década – valores de 100 a 1000 102
4ª década – valores de 1000 a 10000 103
 O valor inicial da escala pode ser adequado às necessidades
impostas pelos dados que se quer representar.

18.  Observe que no gráfico monologarítmico a escala do
eixo das abscissas permanece linear.
 Voltando ao exemplo da comparação relativa entre as
produções do País X e do Estado Y, vimos que os dados
foram representados em uma escala linear, no eixo das
abscissas, e em uma escala logarítmica, no eixo das
ordenadas.
 Verificando aquele gráfico, nota-se que os segmentos de
reta que unem os pontos são paralelos, confirmando o
fato de crescerem a uma mesma razão.

19. Escalas Dilogarítmicas
 Essas escalas têm uma aplicação mais restrita que
as monologarítmicas, uma das quais é o teste
gráfico, que é feito para saber se uma variável de
nosso interesse obedece a uma função potência.
 Isso pode ser feito, pois a escala dilogarítmica
transforma as parábolas e hipérboles em retas.

20. Exemplo 1
 Y = AXB (parábola)
 - aplicando logaritmo temos:
log Y = log A + B log X
 - chamando:
log Y de Y’
log A de A’
log X de X’
* - teremos:
Y’=A’+BX’ (reta)

21. Exemplo 2
 (hipérbole)
 - aplicando logaritmo temos:
log Y = log A - B log X
 - chamando:
log Y de Y’
log A de A’
log X de X’
* - teremos:
Y’=A’-BX’ (reta)

22. Exemplo 3
 Representando em uma escala dilogarítmica a seguinte
função: X=f(Y) expressa por X=5Y2, para valores de Y
compreendidos entre 0,1 e 1,3.
 Realizando os cálculos chegamos à seguinte tabela:
 A variável Y ocupará 2 décadas:
1ª - de 0,1 a 1,0
2ª - de 1,0 a 10
 A variável X ocupará 3 décadas:
1ª - de 0,01 a 0,1
2ª - de 0,1 a 1,0
3ª - de 1,0 a 10