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Números Complexos
Os números naturais, inteiros, racionais e irracionais onde com a união destes conjuntos temos
os números reais. Porém com o longo do processo evolutivo da Matemática, atendendo as
necessidades da sociedade, onde buscando novas descobertas, os matemáticos esbarraram
em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau.
Exemplo:
                                       x2 + 2x + 5 = 0
Onde aplicando o teorema de bháskara obtemos a seguinte raiz:



                           x=
Note que ao desenvolvermos o teorema nos deparamos com a raiz
quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução
dentro do conjunto dos reais, pois não existe número negativo que
elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo.
   A resolução destas raízes só foi possível com a criação e
adequação dos números complexos, por Leonhard Euler. Os
números Complexos são representados pela letra C e mais
conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse
conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1.
Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das raízes de
números negativos, pois com a utilização do termo i² = -1, também
conhecido como número imaginário, é possível extrair a raiz
quadrada de números negativos. Observe o processo:




Logo assim observamos que na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o
conjunto que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções.
Exemplo:
                                         2x + 7 = 0
Vamos ter com resultado a seguinte solução dada por x = -7/2. Assim, o conjunto da solução
será S = {7/2}
Porém se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução
será o conjunto vazio, isto é: S = Ǿ = {}
De forma análoga, ao tentar obter o conjunto solução para a equação x2 + 2x + 5 = 0 sobre o
conjunto dos números reais, obteremos como resposta o conjunto vazio. O que
significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -16, mas
se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns obteremos.
                                      x = R [-16] =
Onde R[-16] é a raiz quadrada do número real -4. Isto parece não ter significado prático e foi
esta a razão que este número foi chamado de imaginário, mas o simples fato de substituir R
[-16] é fatorando e acrescentando o -1 na raiz para que seja substituído pela letra i (unidade
imaginaria) e realizar operações como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e
isto não leva á teoria dos números complexos.
Definição:
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma:
                                           Z = a + bi
Onde a e b são números reais e i é a unidade imaginaria. O número real a é a parte real do
número complexo z e o número real b é a parte imaginaria do número complexo z, denotadas
por:
                                   a = Re(z) e b = lm(z)

                    Número complexo        Parte real     Parte imaginaria
                    2 + 3i                 2              3
                    2                      2              0
                    -3                     0              -3


 Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto
dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número
complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais
está contido no conjunto dos números complexos.

Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número
complexo denotado por z*=a-bi, isto é:


                                    z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i

       O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i.

Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações
fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:


                              z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
                             z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Observação: Tais operações lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição
é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação
(a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:
a+bx
c+dx X
_________________
ac + bcx
   adx + bdx²
______________________
ac + (bc+ad)x + bdx²

De forma que devemos substituir x2 por -1.

Exemplos:

      1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i.
      2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i.



       Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores muito simples
       para as potências de i:
        Potência                   i2      i3   i4  i5  i6     i7   i8   i9
        Valor                      -1      -i   1   i   -1     -i   1    i

       Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são
       múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente
       decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa
       forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o
       resto da divisão do expoente por 4.

       Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998. Como
       exemplo: i402=i400.i2 = 1.(-1) = -1

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  • 1. Números Complexos Os números naturais, inteiros, racionais e irracionais onde com a união destes conjuntos temos os números reais. Porém com o longo do processo evolutivo da Matemática, atendendo as necessidades da sociedade, onde buscando novas descobertas, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau. Exemplo: x2 + 2x + 5 = 0 Onde aplicando o teorema de bháskara obtemos a seguinte raiz: x= Note que ao desenvolvermos o teorema nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro do conjunto dos reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler. Os números Complexos são representados pela letra C e mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1. Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das raízes de números negativos, pois com a utilização do termo i² = -1, também conhecido como número imaginário, é possível extrair a raiz quadrada de números negativos. Observe o processo: Logo assim observamos que na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Exemplo: 2x + 7 = 0 Vamos ter com resultado a seguinte solução dada por x = -7/2. Assim, o conjunto da solução será S = {7/2} Porém se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é: S = Ǿ = {}
  • 2. De forma análoga, ao tentar obter o conjunto solução para a equação x2 + 2x + 5 = 0 sobre o conjunto dos números reais, obteremos como resposta o conjunto vazio. O que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -16, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns obteremos. x = R [-16] = Onde R[-16] é a raiz quadrada do número real -4. Isto parece não ter significado prático e foi esta a razão que este número foi chamado de imaginário, mas o simples fato de substituir R [-16] é fatorando e acrescentando o -1 na raiz para que seja substituído pela letra i (unidade imaginaria) e realizar operações como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto não leva á teoria dos números complexos. Definição: Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma: Z = a + bi Onde a e b são números reais e i é a unidade imaginaria. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginaria do número complexo z, denotadas por: a = Re(z) e b = lm(z) Número complexo Parte real Parte imaginaria 2 + 3i 2 3 2 2 0 -3 0 -3 Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos. Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z*=a-bi, isto é: z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i. Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma: z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i Observação: Tais operações lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:
  • 3. a+bx c+dx X _________________ ac + bcx adx + bdx² ______________________ ac + (bc+ad)x + bdx² De forma que devemos substituir x2 por -1. Exemplos: 1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i. 2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i. Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i: Potência i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4. Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998. Como exemplo: i402=i400.i2 = 1.(-1) = -1