O documento define o corpo dos números complexos, detalhando operações de adição e multiplicação entre pares ordenados. Ele explica as propriedades dessas operações, como comutatividade e distributividade, apresentando exemplos práticos. Também aborda a forma algébrica dos números complexos, bem como a representação de números reais e imaginários puros.

1. Definição do corpo dos números complexos
Comecemos por recordar a definição de IR2.
 IR2 ={(a,b):a,b  IR}
Exemplos:
(1, 2), (2,1), (-1, 0) e (√2​, -3) são quatro elementos
pertencentes a IR2.

2. Exemplos de elementos pertencentes a IR2
(1, 2), (2,1), (-1, 0) e (√2​, -3)
são elementos pertencentes a IR2.

3. Operações em IR2 - Multiplicação
Vamos definir, em IR2, as operações aditiva + e
multiplicativa x.
Para números reais a, b, c e d:
 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
 (a,b)×(c,d)=(ac−bd,ad+bc)
O conjunto IR2, quando munido destas duas operações,
designa-se por corpo dos números complexos, e
representa-se por � ℂ.

4. Exemplos de operações em IR2
(1,2)+(2,3)=(3,5)

5. Exemplos de operações em IR2 - Adição
(1,2)×(2,3) =
=(1×2−2×3,1×3+2×2) =
=(−4,7)

6. Propriedades das operações em IR2
 As operações + e  em IR2 são associativas e
comutativas.
 Exemplo de justificação para a comutatividade:
 Comutatividade de “+”:
 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b)
 Comutatividade de “”:
 (a,b)×(c,d)=(ac−bd,ad+bc)=(ca−db,da−cb)=(c,d)×(a,
b)

7. Elemento neutro da adição
 (0, 0) é o elemento neutro de «+», em IR2.
 De facto,
 (a, b) +(0, 0) =(a+0, b+0)=(a, b)

8. Elemento neutro da multiplicação
 (1, 0) é o elemento neutro de «x», em IR2:
 (a, b) (1, 0) =(a1—b0,a0+b1)=(a, b)

9. Propriedade distributiva da multiplicação
 A operação «» é distributiva relativamente à operação
«+»:
 (a, b)  [(c, d) +(e, )] =(a, b)  (c+e,d+f)=
 =(a(c+e)—b(d+f), a(d+f) +b(c+e))=
 =(ac+ae— (bd + bf), ad +af+(be+ be)) =
 =((ac— bd) + (ae — bf) , (ad + be) + (af +be)) =
 =(ac—bd , ad +be) + (ae— bf, af+ be) = (a, b) x (c,d) +(a,
b)x(e, f)

10. Demonstração da distributividade
 Dados a,c  IR:
 (a, 0) +(c, 0)=(a+c, 0+0) =(a+c, 0)
 (a, 0)(c, 0) =(ac—00, ax0+0c) =(ac, 0)

11. Relação entre os números reais e complexos
 Então:
 IR é um subconjunto de ℂ (IR  ℂ )
 Associamos cada x  R ao par ordenado (x, 0)  ℂ e
representamos, portanto, o número complexo (x, 0) por x.

12. Exemplo
 O número complexo (2, 0) é o numero real 2.
 Foi Euler que introduziu, pela primeira vez, a notação
i.
 Representamos o número complexo (0, 1) por i e
designamo-lo por unidade imaginária.

13. Demonstração
 De acordo com a construção que estamos a fazer:
 i2 = -1
 i2 = (0,1)×(0,1)=(0×0−1×1,0×1+1×0)= (-1,0) =-1

14. Forma algébrica de um número complexo - Adição
e multiplicação
 Dado um número complexo z, existe um único número
real a e um único número real b tais que z=a+bi

15. Demonstração
 Seja z = (a, b) ∈ IR2. Então:
 (a,b)=(a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)×(0,1)=a+bi

16. Conclusão
 z = a + bi designa-se por forma algébrica do número
complexo z = (a, b).
 Os números reais a e b designam-se, respetivamente,
por parte real de z e por parte imaginária de z.
Simbolicamente: a=Re(z) e b=Im(z).

17. Slide 1: Exemplo
 O número z = (-2, 3) representa-se, na forma algébrica,
por z = -2 + 3i.
 Re(z) = -2 e Im(z) = 3.

18. Slide 2: Propriedades dos números complexos
escritos na forma algébrica
 Fixamos, a seguir, propriedades dos números
complexos escritos na forma algébrica.
 Um número complexo z, não real, tal que Re(z)=0 diz-
se imaginário puro.

19. Slide 3: Demonstração
 Seja z = a ∈ ℝ > z = (a, 0) ∈ ℂ > z = a + 0i & Im(z) = 0.
 Por outro lado:
 Um número complexo z, não real, tal que Re(z)=0 diz-
se imaginário puro.
 Exemplos: i, 2i e -3i são números imaginários puros.
 Estamos agora em condições de verificar que esta
construção dos números complexos satisfaz as
condições prévias que estabelecemos na página 50,
acerca das operações.

20. Slide 4: Demonstração (continuação)
 Dados números complexos z = a + bi e w = c + di,
temos:
 z+w=(a+bi)+(c+di)=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+0)+(b
+d)i
 z×w=(a+bi)×(c+di)=(a,b)×(c,d)=(ac−bd,ad+bc)=(ac
−bd)+(ad+bc)i

21. Slide 5: Exemplos
 Podemos fixar:
 Adição e multiplicação na forma algébrica:
 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
 (a+bi) × (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

22. Slide 5: Exemplos
 (2−3i) + (1+i) = (2+1) + (−3+1)i = e −2i
 (2−3i)×(2+i)=(2×2−(−3)×1)+(2×1+(−3)×2)i=7−4i