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NÚMEROS COMPLEXOS
 Introdução
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de ∆ ( b² - 4ac) na
resolução de equação de 2º grau, nos deparamos com
um valor negativo (∆<0). Neste caso, sempre dizemos
que não existe solução no campo dos números reais.
Uma equação que tirou o sono de muitos matemáticos do
século XV, foi a equação x² +1 = 0, uma vez que não
existe no campo dos reais raiz quadrada de número
negativo (x = √-1).
Para que as equações sempre fosse possíveis, houve a
necessidade de ampliar o universo dos números.
Criou-se, então, um número cujo quadrado é -1.
Esse número, representado pela letra i, denominado
unidade imaginária, é definido por:

i² = -1
A partir dessa definição, surge um novo conjunto de
números, denominado conjunto dos números
complexos, que indicamos por C.
Dados dois números reais a e b , define-se o
número complexo z como sendo:

•

z = a + bi
•

onde

i = √-1 é a unidade imaginária .
Potencias de i
i 0 = 1 , pois todo número ou letra elevando
à zero é um.
i 1 = i , pois todo número elevado a 1 é ele
mesmo.
i 2 = -1
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i.

• Quando o expoente do “i” for maior do que 4, podemos
dividir esse expoente por 4 e tomar o resto como expoente
Exemplo:

5 i³ - 9 i² - 3 i 0
5. (-i) – 9.(-1) – 3
-5 i + 9 – 3
6- 5i
Conjugado:
Adição e subtração :
Basta somar a parte real de um com a parte real do outro
e proceder da mesma forma com a parte imaginária.

Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1
+ 2i e z3 = 2 – 3i, calcule:
a)

z1 + z 2 =
(5 + 8i) + (1 + 2i)
(5 + 1) + (8 + 2)i =
6 + 10i
b)

z2 + z 3 =
(1 + 2i) + (2 – 3i)
(1 + 2) + (2 – 3)i
3–i
Multiplicação:
A multiplicação de dois números complexos se dá de
acordo com a regra de multiplicação de binômios e
lembrando que i²=1,temos:
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci – bd
(a+bi)(c+di)=(ac – bd)+(ad+bc)i
Ex:
(2+4i)(1+3i)=2+6i+4i+12i²
(2+4i)(1+3i)=2+6i+4i - 12
(2+4i)(1+3i)=(2-12)+(6+4)i
(2+4i)(1+3i)= -10+10i
Divisão :
A divisão de dois números complexos pode ser
obtida escrevendo-se o quociente sob a forma de
fração; a seguir, procedendo-se de modo análogo
ao utilizado na racionalização do denominador de
uma fração, multiplicam-se ambos os termos da
fração pelo número complexo conjugado do
denominador.
Exemplo:
=

=
Nomes :
Isabela Garcia
Luana Cristina
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Números complexos

  • 2.  Introdução Quantas vezes, ao calcularmos o valor de ∆ ( b² - 4ac) na resolução de equação de 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (∆<0). Neste caso, sempre dizemos que não existe solução no campo dos números reais. Uma equação que tirou o sono de muitos matemáticos do século XV, foi a equação x² +1 = 0, uma vez que não existe no campo dos reais raiz quadrada de número negativo (x = √-1). Para que as equações sempre fosse possíveis, houve a necessidade de ampliar o universo dos números. Criou-se, então, um número cujo quadrado é -1.
  • 3. Esse número, representado pela letra i, denominado unidade imaginária, é definido por: i² = -1 A partir dessa definição, surge um novo conjunto de números, denominado conjunto dos números complexos, que indicamos por C.
  • 4. Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: • z = a + bi • onde i = √-1 é a unidade imaginária .
  • 5.
  • 6. Potencias de i i 0 = 1 , pois todo número ou letra elevando à zero é um. i 1 = i , pois todo número elevado a 1 é ele mesmo. i 2 = -1 i 3 = i2 . i = -1 . i = - i i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1 i 5 = i4 . i = 1 . i = i i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1. i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. • Quando o expoente do “i” for maior do que 4, podemos dividir esse expoente por 4 e tomar o resto como expoente
  • 7. Exemplo: 5 i³ - 9 i² - 3 i 0 5. (-i) – 9.(-1) – 3 -5 i + 9 – 3 6- 5i
  • 9. Adição e subtração : Basta somar a parte real de um com a parte real do outro e proceder da mesma forma com a parte imaginária. Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1 + 2i e z3 = 2 – 3i, calcule: a) z1 + z 2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 10i
  • 10. b) z2 + z 3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) (1 + 2) + (2 – 3)i 3–i
  • 11. Multiplicação: A multiplicação de dois números complexos se dá de acordo com a regra de multiplicação de binômios e lembrando que i²=1,temos: (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi² (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci – bd (a+bi)(c+di)=(ac – bd)+(ad+bc)i Ex: (2+4i)(1+3i)=2+6i+4i+12i² (2+4i)(1+3i)=2+6i+4i - 12 (2+4i)(1+3i)=(2-12)+(6+4)i (2+4i)(1+3i)= -10+10i
  • 12. Divisão : A divisão de dois números complexos pode ser obtida escrevendo-se o quociente sob a forma de fração; a seguir, procedendo-se de modo análogo ao utilizado na racionalização do denominador de uma fração, multiplicam-se ambos os termos da fração pelo número complexo conjugado do denominador. Exemplo: = =
  • 13. Nomes : Isabela Garcia Luana Cristina Victor Ramos Jack Pontes