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![Propriedade distributiva da
multiplicação
A operação «» é distributiva relativamente à
operação «+»:
(a, b) [(c, d) +(e, f)] =(a, b) (c+e,d+f)=
=(a(c+e)—b(d+f), a(d+f) +b(c+e))=
=(ac+ae— (bd + bf), ad +af+(be+ be)) =
=((ac— bd) + (ae — bf) , (ad + be) + (af +be))
=
=(ac—bd , ad +be) + (ae— bf, af+ be) =
=(a, b) x (c,d) +(a, b)x(e, f)](https://image.slidesharecdn.com/definiodocorpodosnmeroscomplexos-240423210250-0da7b974/85/Definicao-do-corpo-dos-numeros-complexos-pptx-10-320.jpg)
Definição do corpo dos números complexos.pptx
- 1. Introdução: definição deIR2 IR2 ={(a,b):a,b IR}
- 2. Exemplos de elementos pertencentesa IR2 (1, 2), (2,1), (-1, 0) e (√2, -3)
- 3. Operações em IR2 Vamosdefinir, em IR2, as operações aditiva + e multiplicativa x. Para números reais a, b, c e d: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)×(c,d)=(ac−bd,ad+bc)
- 4. Exemplos de operaçõesem IR2 - Adição (1,2)+(2,3)=(3,5)
- 5. Exemplos de operaçõesem IR2 - Multiplicação (1,2)×(2,3) = =(1×2−2×3,1×3+2×2) = =(−4,7)
- 6. Definição do corpodos números complexos O conjunto IR2, quando munido destas duas operações (aditiva + e multiplicativa x), designa-se por corpo dos números complexos, e representa-se por � ℂ.
- 7. Propriedades das operações emIR2 As operações + e em IR2 são associativas e comutativas. Exemplo de justificação para a comutatividade: Comutatividade de “+”: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b) Comutatividade de “”: (a,b)×(c,d)=(ac−bd,ad+bc)=(ca−db,da−cb)=(c,d)×( a,b)
- 8. Elemento neutro daadição (0, 0) é o elemento neutro de «+», em IR2. De facto, (a, b) +(0, 0) =(a+0, b+0)=(a, b)
- 9. Elemento neutro da multiplicação (1, 0) é o elemento neutro de «x», em IR2: (a, b) (1, 0) =(a1—b0,a0+b1)=(a, b)
- 10. Propriedade distributiva da multiplicação A operação «» é distributiva relativamente à operação «+»: (a, b) [(c, d) +(e, f)] =(a, b) (c+e,d+f)= =(a(c+e)—b(d+f), a(d+f) +b(c+e))= =(ac+ae— (bd + bf), ad +af+(be+ be)) = =((ac— bd) + (ae — bf) , (ad + be) + (af +be)) = =(ac—bd , ad +be) + (ae— bf, af+ be) = =(a, b) x (c,d) +(a, b)x(e, f)
- 11. Demonstração da distributividade Dadosa,c IR: (a, 0) +(c, 0)=(a+c, 0+0) =(a+c, 0) (a, 0)(c, 0) =(ac—00, ax0+0c) =(ac, 0)
- 12. Relação entre osnúmeros reais e complexos Então: IR é um subconjunto de ℂ (IR ℂ ) Associamos cada x R ao par ordenado (x, 0) ℂ e representamos, portanto, o número complexo (x, 0) por x.
- 13. Exemplo O númerocomplexo (2, 0) é o numero real 2. Foi Euler que introduziu, pela primeira vez, a notação i. Representamos o número complexo (0, 1) por i e designamo-lo por unidade imaginária.
- 14. Demonstração De acordocom a construção que estamos a fazer: i2 = -1 i2 = (0,1)×(0,1)=(0×0−1×1,0×1+1×0)= (-1,0) =-1
- 15. Forma algébrica deum número complexo - Adição e multiplicação Dado um número complexo z, existe um único número real a e um único número real b tais que z=a+bi
- 16. Demonstração Seja z= (a, b) ∈ IR2. Então: (a,b)=(a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)×(0,1)=a+bi
- 17. Conclusão z =a + bi designa-se por forma algébrica do número complexo z = (a, b). Os números reais a e b designam-se, respetivamente, por parte real de z e por parte imaginária de z. Simbolicamente: a=Re(z) e b=Im(z).
- 18. Slide 1: Exemplo O número z = (-2, 3) representa-se, na forma algébrica, por z = -2 + 3i. Re(z) = -2 e Im(z) = 3.
- 19. Slide 2: Propriedadesdos números complexos escritos na forma algébrica Fixamos, a seguir, propriedades dos números complexos escritos na forma algébrica. Um número complexo z, não real, tal que Re(z)=0 diz-se imaginário puro.
- 20. Slide 3: Demonstração Seja z = a ∈ ℝ > z = (a, 0) ∈ ℂ > z = a + 0i & Im(z) = 0. Por outro lado: Um número complexo z, não real, tal que Re(z)=0 diz-se imaginário puro. Exemplos: i, 2i e -3i são números imaginários puros. Estamos agora em condições de verificar que esta construção dos números
- 21. Slide 4: Demonstração (continuação) Dados números complexos z = a + bi e w = c + di, temos: z+w=(a+bi)+(c+di)=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d )=(a+0)+(b+d)i z×w=(a+bi)×(c+di)=(a,b)×(c,d)=(ac−bd,a d+bc)=(ac−bd)+(ad+bc)i
- 22. Slide 5: Exemplos Podemos fixar: Adição e multiplicação na forma algébrica: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi) × (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
- 23. Slide 5: Exemplos (2−3i) + (1+i) = (2+1) + (−3+1)i = e −2i (2−3i)×(2+i)=(2×2−(−3)×1)+(2×1+(−3)×2)i= 7−4i
Notas do Editor
- #2 Comecemos por recordar a definição de IR2. Vamos agora explorar a definição do corpo dos números complexos, mas antes, vamos relembrar a definição de �IR2 (lê-se erre 2), o conjunto dos pares ordenados de números reais." "A definição de �IR2 é simples: consiste em todos os pares ordenados (a, b), onde 'a' e 'b' são números reais." "Para ficar mais claro, aqui estão alguns exemplos de pares ordenados que pertencem a �IR2."
- #4 "Agora que entendemos o que é IR2, vamos definir as operações aditiva e multiplicativa neste conjunto." "A adição de dois pares ordenados simplesmente adiciona suas componentes correspondentes, enquanto a multiplicação segue uma regra um pouco mais complexa.“ "É interessante notar que quando aplicamos essas operações em �IR2, obtemos o que chamamos de corpo dos números complexos, denotado por �C."
- #5 "Vamos agora praticar um pouco com as operações em �2R2 com alguns exemplos concretos." "Veja como a adição e multiplicação são realizadas em pares ordenados, como (1, 2) e (2, 3)." "Esses exemplos nos ajudam a visualizar como as operações se comportam no contexto dos números complexos."
- #6 "Vamos agora praticar um pouco com as operações em �2R2 com alguns exemplos concretos." "Veja como a adição e multiplicação são realizadas em pares ordenados, como (1, 2) e (2, 3)." "Esses exemplos nos ajudam a visualizar como as operações se comportam no contexto dos números complexos."
- #8 "Finalmente, vamos examinar algumas propriedades importantes dessas operações em �IR2." "É crucial entender que tanto a adição quanto a multiplicação são associativas e comutativas neste contexto (em IR2)." "Para ilustrar a comutatividade, vamos realizar algumas justificações simples, mostrando que a ordem das operações não importa."
- #9 Começamos nossa análise com uma observação fundamental: o par ordenado (0, 0) atua como o elemento neutro da adição em �2R2. Essa propriedade é essencial para entender as operações neste contexto. Ao explorar a adição de um par ordenado (a, b) com o elemento neutro (0, 0), percebemos que o resultado é simplesmente o próprio par ordenado (a, b)." Isso demonstra a importância do elemento neutro na adição
- #10 Mudando nosso foco para a multiplicação, encontramos um elemento neutro diferente: o par ordenado (1, 0)." : "Novamente, quando multiplicamos qualquer par ordenado por (1, 0), o resultado é o próprio par ordenado
- #11 Agora, vamos explorar uma propriedade importante: a distributividade da multiplicação em relação à adição." Narrador: "Essa propriedade nos permite entender como as operações se relacionam entre si e são fundamentais em diversos contextos matemáticos."
- #12 Comprovamos a distributividade da multiplicação sobre a adição através de exemplos e demonstrações passo a passo." Narrador: "Essa propriedade nos permite simplificar cálculos complexos e é amplamente utilizada em diversos campos da matemática."
- #13 Concluindo nossa análise, destacamos a relação entre os números reais (IR) e os números complexos (ℂ )." Narrador: "Cada número real 'a' pode ser associado ao par ordenado (a, 0) em ℂ , simplificando-o como um número complexo." Narrador: "Essa relação nos permite compreender melhor a estrutura dos números complexos e sua relação com os números reais."
- #14 Vamos agora observar um exemplo concreto de números complexos e sua relação com os números reais." Narrador: "No exemplo apresentado, temos o número complexo (2, 0) que pertence aos números reais, sendo representado simplesmente pelo número real 2." Narrador: "Além disso, é importante destacar que foi Euler quem introduziu a notação 'i', representando a unidade imaginária como o número complexo (0, 1)."
- #15 Vamos agora demonstrar uma operação fundamental envolvendo números complexos: a multiplicação." Narrador: "De acordo com a construção que estamos fazendo, multiplicamos o número complexo (0, 1) por si mesmo para obter seu resultado." Narrador: "Esta demonstração nos ajuda a entender melhor as propriedades dos números complexos e sua relação com as operações matemáticas."
- #16 Agora, vamos explorar a forma algébrica de um número complexo e suas partes constituintes." Narrador: "Um número complexo z pode ser expresso na forma a + bi, onde 'a' e 'b' são números reais e 'i' representa a unidade imaginária." Narrador: "Essa forma nos permite compreender melhor a estrutura dos números complexos e simplificar cálculos envolvendo-os."
- #17 Continuando nossa demonstração, vamos multiplicar outro número complexo por (0, 1) e observar o resultado." Narrador: "Utilizando a propriedade da multiplicação de números complexos, podemos calcular o produto e analisar suas componentes.
- #18 Concluímos nossa análise destacando a importância da forma algébrica na representação de números complexos." Narrador: "A parte real e a parte imaginária de um número complexo são essenciais para compreender suas propriedades e aplicações." Narrador: "Com isso, encerramos nossa exploração sobre os números complexos e sua relação com os números reais."
- #19 Vamos agora analisar um exemplo concreto de número complexo na forma algébrica e explorar suas partes constituintes." Narrador: "No exemplo apresentado, o número complexo z = (-2, 3) é representado na forma algébrica como z = -2 + 3i." Narrador: "A parte real de z é -2 e a parte imaginária é 3, conforme demonstrado
- #20 Agora, vamos fixar algumas propriedades dos números complexos expressos na forma algébrica." Narrador: "Essas propriedades são fundamentais para compreender as operações e características dos números complexos.
- #21 Na demonstração apresentada, estamos mostrando a construção dos números complexos na forma algébrica." Narrador: "Isso nos permite entender como os números complexos são representados e como suas partes real e imaginária são determinadas
- #22 Continuando nossa demonstração, estamos explorando as operações de adição e multiplicação entre números complexos na forma algébrica. Essas operações seguem as propriedades estabelecidas anteriormente, como podemos ver nos exemplos apresentados.
- #23 Finalizamos nossa análise com alguns exemplos práticos de operações com números complexos na forma algébrica. Esses exemplos nos ajudam a visualizar como as operações são realizadas e como as partes real e imaginária são combinadas