O documento descreve o uso do método de Lagrange para resolver a função q(x,y,z)= 2x^2+2y^2-2z^2+4xy-4xz+8yz. Através de mudanças de variáveis, a função é reduzida a Q(x,y,z) = 2s^2-4t^2+9y^2, onde s=x+y-z e t=z-y.

1. Usando o método de Lagrange
Seja q(x,y,z)= 2x²+2y²-2z²+4xy-4xz+8yz
Completando o quadrado, vemos que a soma das parcelas que contêm o fator x se escreve
como:
2x² +4xy – 4xz = 2[x²+2x(y-z) ]
= 2[x²+2x(y-z)+(y-z)²] – 2(y-z)²
= 2(x+y-z)² - 2(y-z)²
A mudança de variáveis s=x+y-z nos dá então,
q(x,y,z) = 2s²-2(y-z)²+2y²-2z²+8yz
= 2s²-4z²+12yz
Novamente completando quadrado, agora na soma das parcelas que contêm z, e obtemos:
-4z²+12yz = -4(z²-2z. )
= -4(z²-2z. . + y²) +9y²
= -4(z- y)²+9y²
A mudança de variáveis t= z- y nos dá portanto,
Q(x,y,z) = 2s²-4t²+9y²
Este exemplo é do livro Álgebra Linear de Elon Lages Lima.

2. Resolução da questão 4 da página 113
i) q( ) = = .
Sendo , obtemos:
q(y) = y².
ii) q( ) = =
Sendo encontramos:
q(y) = y²
iii) q( ) =( =(
=
Sendo e , chegamos a
q( )=