1) O exercício calcula várias integrais de linha e de superfície usando o Teorema de Stokes.
2) É analisada a interseção de superfícies geométricas como esferas, cilindros e planos.
3) São calculadas circulações em curvas obtidas a partir dessa interseção e trabalhos realizados por campos de força.
1) O exercício 1 calcula o valor da integral independente do caminho I ao longo de uma curva fechada C dada por γ(t) = (1 + cos t, sen t).
2) O exercício 2 calcula o valor da integral I ao longo de uma curva γ(t) = (t2, (t - 1)(t - 3), πt3) entre 0 e 1, usando o fato de que o campo é conservativo.
3) O exercício 3 calcula o valor da integral ao longo de uma curva fechada C, usando o Teorema de Green
1) O exercício 1 calcula o fluxo de um campo vetorial através de duas superfícies: um cilindro e uma esfera.
2) O exercício 2 calcula o fluxo de um campo vetorial através de uma meia-esfera superior.
3) O exercício 3 calcula o fluxo de um campo constante negativo no z através de parte de uma esfera.
1) A superfície é parametrizada por φ(u,v)=(vcosu,vsinu,1-v2), com 0≤u≤2π e v≥0, o que identifica a superfície como um paraboloide circular.
2) Encontra as equações da reta normal e do plano tangente em φ(0,1)=(1,0,0), sendo a reta dada por x=1-2λ e o plano por 2x+z-2=0.
3) Resolve exercícios de cálculo vetorial envolvendo parametriza
1) O documento apresenta 6 exercícios de cálculo sobre cálculo de áreas, volumes e momentos de inércia de superfícies geométricas como cilindros, cones e esferas.
2) Nas soluções, são utilizadas técnicas de parametrização de superfícies, mudança de variáveis e integrais duplas para resolver as questões propostas.
3) Diversos gráficos e figuras geométricas são apresentadas para auxiliar na visualização e compreensão dos problemas.
O documento apresenta 6 exercícios de cálculo envolvendo o cálculo de trabalho realizado por campos de força em diferentes curvas planas e superfícies. As soluções envolvem a parametrização das curvas, cálculo de derivadas e integrais de linha.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo com soluções detalhadas. O primeiro exercício pede para esboçar um sólido e escrever integrais iteradas equivalentes. Os demais exercícios calculam volumes e massas de sólidos usando integrais triplos.
O documento descreve cálculo de funções de várias variáveis, incluindo:
1) Definição de funções de duas e três variáveis e exemplos de domínio e imagem
2) Conceito de curvas de nível para funções de duas variáveis
3) Limites e continuidade de funções de duas variáveis
4) Introdução às derivadas parciais de funções de duas variáveis
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
1) O exercício 1 calcula o valor da integral independente do caminho I ao longo de uma curva fechada C dada por γ(t) = (1 + cos t, sen t).
2) O exercício 2 calcula o valor da integral I ao longo de uma curva γ(t) = (t2, (t - 1)(t - 3), πt3) entre 0 e 1, usando o fato de que o campo é conservativo.
3) O exercício 3 calcula o valor da integral ao longo de uma curva fechada C, usando o Teorema de Green
1) O exercício 1 calcula o fluxo de um campo vetorial através de duas superfícies: um cilindro e uma esfera.
2) O exercício 2 calcula o fluxo de um campo vetorial através de uma meia-esfera superior.
3) O exercício 3 calcula o fluxo de um campo constante negativo no z através de parte de uma esfera.
1) A superfície é parametrizada por φ(u,v)=(vcosu,vsinu,1-v2), com 0≤u≤2π e v≥0, o que identifica a superfície como um paraboloide circular.
2) Encontra as equações da reta normal e do plano tangente em φ(0,1)=(1,0,0), sendo a reta dada por x=1-2λ e o plano por 2x+z-2=0.
3) Resolve exercícios de cálculo vetorial envolvendo parametriza
1) O documento apresenta 6 exercícios de cálculo sobre cálculo de áreas, volumes e momentos de inércia de superfícies geométricas como cilindros, cones e esferas.
2) Nas soluções, são utilizadas técnicas de parametrização de superfícies, mudança de variáveis e integrais duplas para resolver as questões propostas.
3) Diversos gráficos e figuras geométricas são apresentadas para auxiliar na visualização e compreensão dos problemas.
O documento apresenta 6 exercícios de cálculo envolvendo o cálculo de trabalho realizado por campos de força em diferentes curvas planas e superfícies. As soluções envolvem a parametrização das curvas, cálculo de derivadas e integrais de linha.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo com soluções detalhadas. O primeiro exercício pede para esboçar um sólido e escrever integrais iteradas equivalentes. Os demais exercícios calculam volumes e massas de sólidos usando integrais triplos.
O documento descreve cálculo de funções de várias variáveis, incluindo:
1) Definição de funções de duas e três variáveis e exemplos de domínio e imagem
2) Conceito de curvas de nível para funções de duas variáveis
3) Limites e continuidade de funções de duas variáveis
4) Introdução às derivadas parciais de funções de duas variáveis
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
O documento apresenta 7 exercícios resolvidos sobre cálculo de derivadas de funções de várias variáveis. No primeiro exercício, calcula-se as derivadas parciais de uma função no ponto (1,0). No segundo, deriva-se uma função quadrática em pontos específicos. Nos demais exercícios, calculam-se derivadas direcionais e tangentes de funções.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo que envolvem integrais em diferentes coordenadas. O exercício 1 calcula o volume de uma região cilíndrica entre planos utilizando coordenadas cilíndricas. O exercício 2 calcula outro volume utilizando coordenadas esféricas. O exercício 3 calcula a massa de um sólido com densidade dada em função das coordenadas. Os exercícios 4 e 5 calculam volumes, centróides e momentos de inércia de outros sólidos.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO IIRenatho Sousa
O documento fornece dicas para resolver 8 questões de uma tarefa de Cálculo II que envolvem cálculo de comprimento de curvas, área de superfícies e volumes gerados pela rotação de curvas. As dicas incluem identificar as fórmulas apropriadas para cada caso e como calcular as derivadas e integrar para obter a solução. Exemplos similares foram trabalhados em aula anterior.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
1) O documento descreve funções de duas variáveis, definindo-as como funções cujo domínio é um subconjunto de R2 e cujo contradomínio é R. Apresenta exemplos de funções lineares, polinomiais e racionais.
2) Em seguida, discute como representar graficamente o domínio de funções de duas variáveis, apresentando exemplos com diferentes tipos de domínios como R2, R2-{(0,0)} e conjuntos definidos por desigualdades.
3) Por fim, aborda a construção de
1) Uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões.
2) Existem propriedades gerais de equações como reflexividade, simetria e transitividade.
3) Há diferentes tipos de equações como lineares, quadráticas e modulares que possuem métodos específicos para solucioná-las.
O documento define e explica funções polinomiais, incluindo sua forma geral, exemplos, comportamento para valores extremos de x, raízes, divisão longa de polinômios e teoremas sobre restos e fatoração.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
O documento apresenta exercícios de cálculo sobre curvas planas e no espaço, incluindo parametrizações diferenciáveis e cálculo de integral de linha. O exercício 4 pede para determinar o valor de R tal que a integral de linha sobre uma curva seja igual a 81√3/2. A solução encontra R = 6.
1) A integral indefinida representa a operação inversa da derivação e fornece as primitivas de uma função.
2) Existem regras para calcular integral indefinidas de funções somadas, multiplicadas por constantes e funções elementares.
3) A integral indefinida de uma função representa geometricamente uma família de curvas com tangentes paralelas.
O documento apresenta três exemplos de funções racionais analisando suas assintotas e descontinuidades. O Exemplo 1 mostra uma função com assintota vertical em x=1/2 e horizontal em y=3/2. O Exemplo 2 apresenta duas assintotas verticais em x=-2 e x=2 e uma horizontal em y=-2. Já o Exemplo 3 simplifica a função para mostrar uma assintota vertical em x=2 e uma descontinuidade removível em x=-2.
1) O documento apresenta a resolução de seis exercícios de cálculo que envolvem o cálculo de integrais duplas e triplas em diferentes regiões. 2) No primeiro exercício, é calculada uma integral dupla sobre uma região limitada por curvas, obtendo-se uma expressão analítica para o valor da integral. 3) Nos demais exercícios, são calculados valores numéricos de integrais ou expressas integrais em diferentes coordenadas.
1) O exercício calcula a integral dupla de uma função sobre uma região limitada no primeiro quadrante. A mudança de variáveis transforma a região em um retângulo no novo sistema de coordenadas.
2) A solução usa mudança de variáveis para transformar a integral dupla em uma integral simples em coordenadas polares.
3) A região é descrita em coordenadas polares e a integral é calculada nesse sistema.
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
O documento apresenta 7 exercícios resolvidos sobre cálculo de derivadas de funções de várias variáveis. No primeiro exercício, calcula-se as derivadas parciais de uma função no ponto (1,0). No segundo, deriva-se uma função quadrática em pontos específicos. Nos demais exercícios, calculam-se derivadas direcionais e tangentes de funções.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo que envolvem integrais em diferentes coordenadas. O exercício 1 calcula o volume de uma região cilíndrica entre planos utilizando coordenadas cilíndricas. O exercício 2 calcula outro volume utilizando coordenadas esféricas. O exercício 3 calcula a massa de um sólido com densidade dada em função das coordenadas. Os exercícios 4 e 5 calculam volumes, centróides e momentos de inércia de outros sólidos.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO IIRenatho Sousa
O documento fornece dicas para resolver 8 questões de uma tarefa de Cálculo II que envolvem cálculo de comprimento de curvas, área de superfícies e volumes gerados pela rotação de curvas. As dicas incluem identificar as fórmulas apropriadas para cada caso e como calcular as derivadas e integrar para obter a solução. Exemplos similares foram trabalhados em aula anterior.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
1) O documento descreve funções de duas variáveis, definindo-as como funções cujo domínio é um subconjunto de R2 e cujo contradomínio é R. Apresenta exemplos de funções lineares, polinomiais e racionais.
2) Em seguida, discute como representar graficamente o domínio de funções de duas variáveis, apresentando exemplos com diferentes tipos de domínios como R2, R2-{(0,0)} e conjuntos definidos por desigualdades.
3) Por fim, aborda a construção de
1) Uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões.
2) Existem propriedades gerais de equações como reflexividade, simetria e transitividade.
3) Há diferentes tipos de equações como lineares, quadráticas e modulares que possuem métodos específicos para solucioná-las.
O documento define e explica funções polinomiais, incluindo sua forma geral, exemplos, comportamento para valores extremos de x, raízes, divisão longa de polinômios e teoremas sobre restos e fatoração.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
O documento apresenta exercícios de cálculo sobre curvas planas e no espaço, incluindo parametrizações diferenciáveis e cálculo de integral de linha. O exercício 4 pede para determinar o valor de R tal que a integral de linha sobre uma curva seja igual a 81√3/2. A solução encontra R = 6.
1) A integral indefinida representa a operação inversa da derivação e fornece as primitivas de uma função.
2) Existem regras para calcular integral indefinidas de funções somadas, multiplicadas por constantes e funções elementares.
3) A integral indefinida de uma função representa geometricamente uma família de curvas com tangentes paralelas.
O documento apresenta três exemplos de funções racionais analisando suas assintotas e descontinuidades. O Exemplo 1 mostra uma função com assintota vertical em x=1/2 e horizontal em y=3/2. O Exemplo 2 apresenta duas assintotas verticais em x=-2 e x=2 e uma horizontal em y=-2. Já o Exemplo 3 simplifica a função para mostrar uma assintota vertical em x=2 e uma descontinuidade removível em x=-2.
1) O documento apresenta a resolução de seis exercícios de cálculo que envolvem o cálculo de integrais duplas e triplas em diferentes regiões. 2) No primeiro exercício, é calculada uma integral dupla sobre uma região limitada por curvas, obtendo-se uma expressão analítica para o valor da integral. 3) Nos demais exercícios, são calculados valores numéricos de integrais ou expressas integrais em diferentes coordenadas.
1) O exercício calcula a integral dupla de uma função sobre uma região limitada no primeiro quadrante. A mudança de variáveis transforma a região em um retângulo no novo sistema de coordenadas.
2) A solução usa mudança de variáveis para transformar a integral dupla em uma integral simples em coordenadas polares.
3) A região é descrita em coordenadas polares e a integral é calculada nesse sistema.
1) O exercício calcula o centro de massa de uma chapa triangular homogênea.
2) Também calcula a massa, centro de massa e momento de inércia de uma lâmina com forma irregular e densidade variável.
3) Mostra que o momento de inércia de um disco circular em relação a um diâmetro é igual a sua massa vezes o raio ao quadrado dividido por 4.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso do Teorema Fundamental do Cálculo.
3. As técnicas apresentadas permitem calcular integrais de funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e hiperbólicas.
(1) O documento descreve técnicas de integração por partes, incluindo a fórmula geral e exemplos de sua aplicação. (2) A integração por partes permite transformar uma integral desconhecida em outra mais simples. (3) Os exemplos ilustram como a técnica pode ser usada repetidamente para resolver integrais mais complexas.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo de integrais e aplicações, incluindo integrais duplas, triplas e em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
2. São solicitados cálculos de volumes de sólidos, áreas de regiões planas e integrais iteradas e suas representações geométricas.
3. As respostas são fornecidas no final, com os resultados das integrais calculadas.
1) O documento apresenta três questões sobre cálculo de áreas e volumes de regiões planas e sólidos de revolução.
2) Na primeira questão, o aluno calcula áreas sob curvas definidas por funções explícitas e implícitas.
3) Na segunda questão, o aluno calcula volumes de sólidos de revolução gerados pelo giro de regiões planas em torno dos eixos.
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...Bowman Guimaraes
1) O documento apresenta a resolução de cinco exercícios que envolvem o cálculo de integrais de linha de campos vetoriais ao longo de diferentes curvas no espaço.
2) No primeiro exercício, calcula-se o integral de linha de um campo vetorial definido em R3 ao longo de uma espiral.
3) Nos exercícios seguintes calculam-se integrais de linha de campos vetoriais definidos em R2 ao longo de curvas como circunferências e elipses, utilizando técnicas como o Teorema de
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
1. O documento apresenta vários cálculos matemáticos, incluindo potenciação, radiciação, divisão, multiplicação e expressões algébricas.
2. São resolvidos valores numéricos de expressões envolvendo variáveis, números reais e operações.
3. As respostas fornecem os resultados exatos ou aproximados dos cálculos realizados a partir das expressões dadas.
O documento discute propriedades de continuidade e derivabilidade de funções. Resume-se:
1) A função f é contínua nos intervalos ]-∞,2[ e ]2,+∞[, mas não é contínua no ponto x=2. Logo, f é contínua em R\{2}.
2) A função g tem uma única assíntota vertical na reta x=0 e não possui assíntotas oblíquas.
3) A função f possui uma única assíntota oblíqua cuja equação é y=(
1. O documento apresenta exercícios de geometria analítica resolvidos. Os exercícios incluem cálculos de projeções de vetores, determinação de equações de retas e planos, e encontro de equações de circunferências.
2. As respostas são fornecidas para cada um dos cinco exercícios propostos, com os cálculos e raciocínios demonstrados de forma detalhada.
3. Além disso, é apresentada a resolução de um teste extra de geometria analítica, contendo seis
1. O documento apresenta a resolução de nove exercícios de matemática do 10o ano sobre expoentes.
2. Inclui cálculos para encontrar equações de retas, esferas e circunferências tangentes a objetos geométricos.
3. Demonstra propriedades de funções polinomiais e analisa a validade de proposições lógicas.
Este documento contém notas de aula sobre cálculo vetorial. Abrange os tópicos de integrais de linha, campos conservativos, teorema de Green, integrais de superfície, divergente, rotacional, e teoremas de Gauss e Stokes.
1) A função y = f(x) é exponencial, com f(0) = 0.
2) A função y = f(x) é proporcional a x, com f(1) = 1.
3) O documento lista 9 problemas de cálculo envolvendo integrais, funções e movimento de partículas.
Integr com subst_trigonometricas__calculoBruna Lamas
1) O resumo calcula a integral I = ∫1/x3 - x2/9 dx aplicando substituição trigonométrica. O resultado é I = 1/54arctg(-x2/93) + 1/18x2 - x2/9.
2) O resumo calcula a integral I = ∫12x3 + 2x2/7 dx aplicando substituição trigonométrica. O resultado é I = -2x2 + 2x2/714 + 2x2/7.
3) O resumo calcula a integral I = ∫-x2/2x3 +
O documento apresenta 45 exemplos resolvidos de equações do segundo grau. As equações variam em grau de complexidade e são apresentadas de forma passo a passo com as soluções encontradas. O objetivo é servir como material de revisão para alunos aprenderem a resolver diferentes tipos de equações quadráticas.
1. O documento apresenta os principais conceitos da Mecânica dos Sólidos II, incluindo análise de tensões e deformações em estados tri-axiais, bi-axiais, uni-axiais e planos. 2. É descrito o método analítico para análise de tensões em estados planos, incluindo cálculo de tensões principais, máximas e nos planos principais. 3. Também é apresentado o método gráfico do Círculo de Mohr para análise de estados planos de tensão.
O documento apresenta exercícios sobre curvas paramétricas, integral de linha e teorema de Green no plano. Nos exercícios 4.1A-E são propostos esboços de curvas paramétricas e verificação de regularidade. O exercício 4.1F pede para esboçar dois caminhos e analisar a relação entre eles. Nos exercícios 4.2A-G são propostos cálculos de integrais de linha ao longo de diversos caminhos. Por fim, os exercícios 4.3A-N abordam a aplicação
Este documento apresenta conceitos básicos de mecânica dos fluidos e fenômenos de transporte. Discute escopo da disciplina, unidades do SI, propriedades de fluidos como massa específica, pressão e viscosidade. Apresenta exemplos numéricos simples para ilustrar os conceitos.
O documento discute a desigualdade de renda no Brasil ao longo do tempo. Analisa como programas de transferência de renda e investimentos em educação contribuíram para uma queda recente na desigualdade. Também compara a situação brasileira com países nórdicos que possuem uma distribuição mais equitativa.
1. O documento descreve o ciclo termodinâmico de Rankine, que é um ciclo reversível utilizado em centrais termelétricas.
2. São apresentadas as leis da termodinâmica para sistemas fechados e abertos, e sua aplicação para análise de ciclos termodinâmicos e termomecânicos.
3. São descritos os componentes básicos do ciclo de Rankine, como o gerador de vapor, turbina a vapor, condensador e bomba, e feitos os balanços
O documento descreve um livro didático sobre topografia aplicada à engenharia civil. Apresenta os principais tópicos abordados no livro, incluindo levantamentos planimétricos, sistemas de coordenadas, medições de ângulos horizontais, divisão de terras, determinação do norte verdadeiro e curvas de concordância e transição.
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilBowman Guimaraes
1. O debate teórico sobre a distribuição de renda no Brasil se iniciou nas décadas de 1960 e 1970, conhecido como "Controvérsia de 70". As principais teorias eram a compressão salarial de Fishlow, o efeito Kuznets e ineficiência do sistema educacional de Langoni, e a abertura do leque salarial de Bacha.
2. Na década de 1990, o debate se concentrou na elevada desigualdade pessoal da renda no mercado de trabalho, segundo Ricardo Paes de Barros, que e Langoni considerav
O documento discute a desigualdade de renda no Brasil ao longo do tempo. Analisa como programas de transferência de renda e investimentos em educação contribuíram para uma queda recente na desigualdade. Também compara a situação brasileira com países nórdicos que possuem uma distribuição mais equitativa.
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilBowman Guimaraes
1. This document discusses income inequality and education in Brazil from the 1970s onwards. It examines the theoretical debate around income distribution and analyzes the effects of expanding education on inequality.
2. It presents a preliminary empirical analysis of income inequality, education levels, and economic growth across Brazilian regions from 1995 to 2008. The analysis indicates that higher education levels contributed to the fall in income inequality, despite limitations.
3. It concludes that while expanding education could help reduce inequality, Brazil faces impediments in using education as a tool for greater equality, leaving inequality levels still high.
1. O documento descreve o ciclo termodinâmico de Rankine, usado em centrais termelétricas.
2. O ciclo de Rankine envolve a expansão isentrópica do vapor na turbina, seguida pela condensação e bombeamento do líquido de volta ao gerador de vapor.
3. O documento apresenta as equações da primeira e segunda lei da termodinâmica para análise de ciclos termodinâmicos e de plantas a vapor, e aplica as equações para calcular parâmetros como ef
Este documento apresenta os fundamentos da topografia, abordando conceitos como sistemas de coordenadas, medição de distâncias e ângulos, levantamento planialtimétrico e nivelamento. Inclui também revisões sobre trigonometria, escalas, normalização, equipamentos e técnicas topográficas.
O capítulo descreve métodos para determinar a interseção de retas em levantamentos topográficos. A interseção de retas oblíquas é calculada igualando equações trigonométricas que relacionam os azimutes e coordenadas dos pontos conhecidos com as coordenadas do ponto de interseção desconhecido. A interseção de retas perpendiculares é obtida geometricamente a partir das coordenadas dos pontos e da distância entre eles. Exemplos elucidativos são fornecidos.
O documento discute a desigualdade de renda no Brasil ao longo do tempo. Analisa como programas de transferência de renda e investimentos em educação contribuíram para uma queda recente na desigualdade. Também compara a situação brasileira com países nórdicos que possuem uma distribuição mais equitativa.
Este documento apresenta um guia didático para o curso de Materiais de Construção Básicos. O guia descreve os objetivos do curso, a metodologia de ensino, a avaliação e a programação das atividades ao longo do semestre. O curso abordará os principais materiais de construção, suas propriedades e usos mais adequados.
Este documento apresenta os fundamentos da topografia, abordando conceitos como sistemas de coordenadas, medição de distâncias e ângulos, levantamento planialtimétrico e nivelamento. Inclui também revisões sobre trigonometria, escalas, normalização, orientação e representação do relevo.
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Bowman Guimaraes
1. O documento apresenta indicações para projetos estruturais de edifícios de concreto armado, abordando concepção estrutural, ações, escolha da forma, análise estrutural e projeto de lajes maciças.
2. São descritos elementos estruturais lineares, bidimensionais, tridimensionais e sistemas compostos, além de subsistemas horizontais e verticais comuns em edifícios.
3. O capítulo 6 apresenta um exemplo de projeto de pavimento-tipo, com escolha da forma estr
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilBowman Guimaraes
1. O debate teórico sobre a distribuição de renda no Brasil se iniciou nas décadas de 1960 e 1970, conhecido como "Controvérsia de 70". As principais teorias eram a compressão salarial de Fishlow, o efeito Kuznets e ineficiência do sistema educacional de Langoni, e a abertura do leque salarial de Bacha.
2. Na década de 1990, o debate se concentrou na elevada desigualdade pessoal da renda no mercado de trabalho, segundo Ricardo Paes de Barros, que e Langoni considerav
1) O documento apresenta notas de aula sobre conjuntos numéricos e funções reais para o pré-cálculo diferencial e integral. 2) Aborda tópicos como noção de conjunto, operações com conjuntos, sistemas de coordenadas e relações e funções no plano cartesiano. 3) Tem o objetivo de auxiliar os estudantes na revisão de conteúdos básicos para o estudo do cálculo diferencial e integral.
O documento descreve os diferentes tipos de projetos necessários para a construção de um prédio, incluindo o projeto básico, projeto executivo e projeto como construído. Também detalha os passos iniciais para a elaboração de projetos, como estudos preliminares do terreno, limpeza, levantamento topográfico e reconhecimento do subsolo.
1. O documento descreve o ciclo termodinâmico de Rankine, usado em centrais termelétricas.
2. O ciclo de Rankine envolve a expansão isentrópica do vapor na turbina, seguida pela condensação e bombeamento do líquido de volta ao gerador de vapor.
3. O documento apresenta as equações da primeira e segunda lei da termodinâmica para sistemas fechados e abertos, e sua aplicação na análise dos componentes do ciclo de Rankine.
1. O documento discute os conceitos básicos e métodos de topografia para engenheiros e arquitetos.
2. Apresenta as definições de topografia, geodésia e seus objetivos, além dos tipos de levantamentos topográficos.
3. Detalha os processos e instrumentos utilizados em levantamentos topográficos, medições de distâncias, ângulos, nivelamento e representação gráfica do relevo.
1. Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica
Departamento de Matem´atica Aplicada
C´alculo 3A – Lista 13
Exerc´ıcio 1: Verifique o Teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado, para
−→
F (x, y, z) = (y, −x, 0), S o parabol´oide z = x2
+ y2
, com 0 ≤ z ≤ 1, e −→n apontando para
fora de S.
Solu¸c˜ao: Devemos verificar a seguinte igualdade:
∂S+
−→
F · d−→r =
S
rot
−→
F · −→n dS .
Os esbo¸cos de S e ∂S est˜ao representados a seguir.
x
y
z
D
−→n
∂S
1
1
1
O bordo de S, ∂S, ´e a circunferˆencia de raio 1, centrada em (0, 0, 1), contida no plano z = 1. Para
que ∂S fique orientada positivamente com rela¸c˜ao a S, devemos orient´a-lo no sentido hor´ario quando
visto de cima. Temos ent˜ao que ∂S−
´e dado por x = cos t, y = sen t e z = 1, com 0 ≤ t ≤ 2π
donde dx = − sen t, dy = cos t e dz = 0. Ent˜ao:
2. C´alculo 3A Lista 13 194
∂S+
−→
F · d−→r = −
∂S−
−→
F · d−→r = −
∂S−
y dx − x dy + 0 dz =
= −
2π
0
(sen t)(− sen t) − (cos t)(cos t) dt =
=
2π
0
sen2
t + cos2
t dt = 2π .
Temos S : z = x2
+ y2
f(x,y)
, com (x, y) ∈ D : x2
+ y2
≤ 1 donde um vetor normal a S ´e
−→
N =
(−fx, −fy, 1) = (−2x, −2y, 1) e dS = 1 + 4x2 + 4y2 dxdy. Como −→n aponta para baixo, ent˜ao
−→n =
(2x, 2y, −1)
1 + 4x2 + 4y2
. Temos tamb´em que rot
−→
F = (0, 0, −2). Ent˜ao:
S
rot
−→
F · −→n dS =
D
(0, 0, −2) · (2x, 2y, −1) dxdy =
=
D
2 dxdy = 2A(D) = 2π
verificando neste caso o teorema de Stokes.
Exerc´ıcio 2: Calcule a circula¸c˜ao do campo
−→
F (x, y, z) = y
−→
i + xz
−→
j + z2−→
k
ao redor da curva C fronteira do triˆangulo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no
sentido hor´ario quando vista da origem.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co de C est´a representado na figura que se segue.
x
y
z
C
1
1
1
UFF IME - GMA
3. C´alculo 3A Lista 13 195
Se C est´a orientada no sentido hor´ario quando vista da origem ent˜ao C est´a orientada no sentido
anti-hor´ario quando vista do eixo y positivo. Calculemos a integral de linha pelo Teorema de Stokes.
Seja ent˜ao a superf´ıcie S, por¸c˜ao do plano x+y +z = 1, limitada por C, conforme a figura a seguir.
x
y
z
C = ∂S
S −→n
1
1
1
A superf´ıcie S ´e dada por S : z = 1 − x − y
=f(x,y)
, com (x, y) ∈ D, onde D ´e a proje¸c˜ao de S sobre o
plano xy.
x
y
x + y = 1
y = 1 − x
y = 0
D
1
1
Temos
−→
N = (−fx, −fy, 1) = (1, 1, 1). De acordo com a orienta¸c˜ao de C = ∂S, devemos tomar −→n
apontando para cima. Logo, −→n =
(1, 1, 1)
√
3
e dS =
√
3 dxdy. Pelo Teorema de Stokes, temos:
C
−→
F · d−→r =
S
rot
−→
F · −→n dS
onde
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y xz z2
= (−x, 0, z − 1) .
UFF IME - GMA
4. C´alculo 3A Lista 13 196
Logo:
C
−→
F · d−→r =
D
(−x , 0 , 1 − x − y − 1) ·
(1, 1, 1)
√
3
·
√
3 dxdy =
=
D
(−x − x − y) dxdy = −
D
(2x + y) dxdy =
= −
1
0
1−x
0
(2x + y) dydx = −
1
0
2xy +
y2
2
1−x
0
dx =
= −
1
0
2x − 2x2
+
1 − 2x + x2
2
dx =
= −
1
2
1
0
4x − 4x2
+ 1 − 2x + x2
dx =
= −
1
2
1
0
2x − 3x2
+ 1 dx = −
1
2
x2
− x3
+ x
1
0
= −
1
2
.
Exerc´ıcio 3: Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha ´e igual ao valor dado,
indicando a orienta¸c˜ao da curva C.
C
(3y + z) dx + (x + 4y) dy + (2x + y) dz = −
3
√
2 πa2
4
onde C ´e a curva obtida como interse¸c˜ao da esfera x2
+ y2
+ z2
= a2
com o plano y + z = a.
Solu¸c˜ao: Calculemos a interse¸c˜ao das superf´ıcies:
x2
+ y2
+ z2
= a2
z = a − y
⇒ x2
+ y2
+ (y − a)2
= a2
⇒ x2
+ 2 y −
a
2
2
=
a2
2
⇒
x2
a
√
2
2
2 +
y − a
2
2
a
2
2 = 1
que ´e uma elipse de centro 0,
a
2
e semi-eixos
a
√
2
2
e
a
2
. Esta elipse ´e a proje¸c˜ao de C sobre o
plano xy. A curva C com a orienta¸c˜ao escolhida pode ser visualizada na figura que se segue.
UFF IME - GMA
5. C´alculo 3A Lista 13 197
x
y
z
a
a
a
a/2
C
Considere a superf´ıcie S, por¸c˜ao do plano z = a − y, limitada por C, que pode ser vista na figura a
seguir.
x
y
z
a
a
a
a/2
S
−→n
C = ∂S
D
A proje¸c˜ao de S sobre o plano xy ´e a regi˜ao D dada por
x2
a
√
2
2
2 +
y − a
2
2
a
2
2 ≤ 1 .
De acordo com a orienta¸c˜ao de C = ∂S, segue que −→n aponta para cima. Ent˜ao −→n =
−→
N
−→
N
, onde
−→
N = −
∂z
∂x
, −
∂z
∂y
, 1 = (0, 1, 1). Logo −→n =
(0, 1, 1)
√
2
e dS =
√
2 dxdy. Temos:
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
3y + z x + 4y 2x + y
= (1, 1 − 2, 1 − 3) = (1, −1, 2) .
Do teorema de Stokes, temos:
C
−→
F · d−→r =
S
rot
−→
F · −→n dS =
D
(1 − 1, 2) ·
(0, 1, 1)
√
2
·
√
2 dxdy =
=
D
(−3) dxdy = −3 · A(D) = −3π ·
a
√
2
2
·
a
2
= −
3
√
2 πa2
4
.
UFF IME - GMA
6. C´alculo 3A Lista 13 198
Exerc´ıcio 4: Calcule o trabalho realizado pelo campo de for¸ca
−→
F (x, y, z) = xx
+ z2 −→
i + yy
+ x2 −→
j + zz
+ y2 −→
k
quando uma part´ıcula se move sob sua influˆencia ao redor da borda da esfera x2
+ y2
+ z2
= 4 que
est´a no primeiro octante, na dire¸c˜ao anti-hor´ario quando vista por cima.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co de C est´a representado na figura que se segue.
x
y
z
C
2
2
2
Seja S a por¸c˜ao da esfera no primeiro octante, limitada por C. Ent˜ao ∂S = C.
x
y
z
C = ∂S
2
2
2
−→n
S
Com a orienta¸c˜ao de ∂S, temos que −→n aponta para cima. Logo, −→n =
(x, y, z)
a
=
(x, y, z)
2
. Temos
W =
C
−→
F · d−→r =
S
rot
−→
F · −→n dS
onde
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
xx
+ z2
yy
+ x2
zz
+ y2
= (2y, 2z, 2x)
Ent˜ao
W =
S
(2y, 2z, 2x) ·
(x, y, z)
2
dS =
S
(xy + yz + xz) dS .
UFF IME - GMA
7. C´alculo 3A Lista 13 199
Para calcular esta ´ultima integral, devemos parametrizar S. Temos
S : ϕ(φ, θ) = (2 sen φ cos θ, 2 sen φ sen θ, 2 cos φ)
com (φ, θ) ∈ D :
0 ≤ φ ≤ π/2
0 ≤ θ ≤ π/2
. Temos dS = a2
sen φ dφ dθ = 4 sen φ dφ dθ. Logo:
W =
=
D
4 sen2
φ cos θ sen θ + 4 sen φ cos φ sen θ + 4 sen φ cos φ cos θ 4 sen φ dφ dθ =
= 16
D
sen3
φ cos θ sen θ + sen2
φ cos φ sen θ + sen2
φ cos φ cos θ dφ dθ =
= 16
π/2
0
π/2
0
sen3
φ cos θ sen θ + sen2
φ cos φ sen θ + sen2
φ cos φ cos θ dθ dφ =
= 16
π/2
0
sen3
φ ·
sen2
θ
2
π/2
0
+ sen2
φ cos φ(− cos θ)
π/2
0
+ sen2
φ cos φ sen θ
π/2
0
dφ =
= 16
π/2
0
sen3
φ
2
+ 2 sen2
φ cos φ dφ =
= 8
π/2
0
1 − cos2
φ sen φ dφ + 32
π/2
0
sen2
φ cos φ dφ =
= 8 − cos φ +
cos3
φ
3
π/2
0
+ 32
sen3
φ
3
π/2
0
= 16 .
Exerc´ıcio 5: Calcule
I =
C
e−x3/3
− yz dx + e−y3/3
+ xz + 2x dy + e−z3/3
+ 5 dz
onde C ´e a circunferˆencia x = cos t, y = sen t e z = 2, com t ∈ [0, 2π].
Solu¸c˜ao: Calcular diretamente a integral ser´a muito trabalhoso e como
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
e−x3/3
− yz e−y3/3
+ xz + 2x e−z3/3
+ 5
=
= (−x, −y, z + 2 + z) = (−x, −y, 2 + 2z) =
−→
0
ent˜ao
−→
F n˜ao ´e conservativo. Assim, s´o nos resta aplicar o teorema de Stokes. De C : x = cos t,
y = sen t e z = 2, com t ∈ [0, 2π], conclu´ımos que C ´e dada por x2
+ y2
= 1 e z = 2, isto ´e, C ´e
UFF IME - GMA
8. C´alculo 3A Lista 13 200
x
y
z
C
1
1
2
x
y
z
S
C = ∂S
2
a curva de interse¸c˜ao do cilindro x2
+ y2
= 1 com o plano z = 2, orientada no sentido anti-hor´ario
quando vista de cima.
Observemos que C ´e o bordo da por¸c˜ao S do plano z = 2, limitada por C. De acordo com a
orienta¸c˜ao de C = ∂S, devemos tomar −→n =
−→
k . Temos S : z = 2, com (x, y) ∈ D : x2
+ y2
≤ 1 e
dS = dxdy. Como rot
−→
F = = (0, 0, 2 + 2z) = (0, 0, 6) em S, ent˜ao, pelo teorema de Stokes, temos:
I =
S
rot
−→
F ·
−→
k dS =
S
(0, 0, 6) · (0, 0, 1) dS =
= 6
S
dS = 6A(S) = 6 π12
= 6π .
Exerc´ıcio 6: Calcule
C
(z − y)dx + ln 1 + y2
dy + ln 1 + z2
+ y dz
sendo C dada por γ(t) = (4 cos t, 4 sen t, 4 − 4 cos t), com 0 ≤ t ≤ 2π.
Solu¸c˜ao: Da parametriza¸c˜ao de C, temos x = 4 cos t, y = 4 sen t e z = 4−4 cos t, com 0 ≤ t ≤ 2π
donde x2
+ y2
= 16 e z = 4 − x. Logo, C ´e a curva interse¸c˜ao do cilindro x2
+ y2
= 16 com o plano
z = 4 − x, orientada no sentido anti-hor´ario quando vista de cima.
Seja S a por¸c˜ao do plano z = 4 − x, limitada por C.
Da regra da m˜ao direita, vemos que −→n aponta para cima. A superf´ıcie S pode ser descrita por
S : z = 4 − x = f(x, y), com (x, y) ∈ D : x2
+ y2
≤ 16. Temos
−→
N = (−fx, −fy, 1) = (1, 0, 1),
UFF IME - GMA
9. C´alculo 3A Lista 13 201
x y
z
C
4
4
4
x
y
z
C
4
4
4S
−→n
donde −→n =
(1, 0, 1)
√
2
e dS =
√
2 dxdy. Temos:
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
z − y ln(1 + y2
) ln(1 + z2
) + y
= (1, 1, 1) .
Logo, do teorema de Stokes, temos:
C
−→
F · d−→r =
S
rot
−→
F · −→n dS =
D
(1, 1, 1) · (1, 0, 1)dxdy =
=
D
(1 + 1)dxdy = 2 A(D) = 2 · π · 42
= 32π .
UFF IME - GMA
10. C´alculo 3A Lista 13 202
Exerc´ıcio 7: Calcule
C
−→
F · d−→r , onde
−→
F (x, y, z) = − 2y + esen x
, −z + y, x3
+ esen z
e C ´e a
interse¸c˜ao da superf´ıcie z = y2
com o plano x + z = 1, orientada no sentido do crescimento de y.
Solu¸c˜ao: Esbo¸cando o cilindro parab´olico z = y2
e o plano x + z = 1, vemos que os pontos A1, A2
e A3 s˜ao comuns `as duas superf´ıcies. Ligando-os, temos um esbo¸co de C.
x
y
z
C
A1
A2
A3
1
1
Observe que calcular
C
−→
F · d−→r pela defini¸c˜ao ´e uma tarefa extremamente complicada. Temos:
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−2y + esen x
−z + y x3
+ esen z
= 1, −3x2
, 2 =
−→
0 .
Logo,
−→
F n˜ao ´e conservativo. Para aplicar o teorema de Stokes, devemos fechar C utilizando o
segmento de reta C1 que liga A3 a A2.
x
y
z
S
C
C1
A1
A2
A3
1
1
−→n
Seja S a por¸c˜ao do plano x + z = 1, limitada por C = C ∪ C1 e que se projeta no plano yz segundo
a regi˜ao D cujo esbo¸co se segue.
UFF IME - GMA
11. C´alculo 3A Lista 13 203
y
z
D
z = 1
z = y2
−1
1
1
Descrevemos S por S : x = 1 − z = f(y, z), com (y, z) ∈ D : −1 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ y2
.
Considerando a orienta¸c˜ao de C = ∂S, segue que a normal a S est´a voltada para cima. Um vetor
normal a S ´e
−→
N = (1, −fy, −fz) = (1, 0, 1). Logo, −→n =
(1,0,1)
√
2
e dS =
√
2 dydz. Pelo teorema
de Stokes, temos:
C
−→
F · d−→r =
S
rot
−→
F · −→n dS =
D
(1, −3(1 − z)2
, 2) · (1, 0, 1)dydz =
=
D
(1 + 2)dydz = 3
D
dydz = 3
1
−1
1
y2
dzdy = 3
1
−1
1 − y2
dy =
= 3 y −
y3
3
1
−1
= 6 1 −
1
3
= 4 .
ou
C
−→
F · d−→r +
C1
−→
F · d−→r = 4 .
C´alculo de
C1
−→
F · d−→r
Temos C−
1 : z = 1, com x = 0 e −1 ≤ y ≤ 1 donde dz = dx = 0. Ent˜ao:
C1
−→
F · d−→r = −
C−
1
−→
F · d−→r = −
C−
1
Q(0, y, 1) dy =
= −
1
−1
(−1 + y)dy = − −y +
y2
2
1
−1
= 2 .
Logo:
C
−→
F · d−→r = 4 − 2 = 2 .
Exerc´ıcio 8: Calcule
∂S
−→
F · d−→r , onde
−→
F (x, y, z) = (y − z)
−→
i + ln 1 + y2
+ yz
−→
j + −xz + z20 −→
k
UFF IME - GMA
12. C´alculo 3A Lista 13 204
e S consiste das cinco faces do cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] que n˜ao est˜ao no plano xy, com −→n
apontando para fora de S.
Solu¸c˜ao: A superf´ıcie aberta de S e seu bordo ∂S est˜ao representados na figura que se segue.
x
y
z
−→n −→n
−→n
∂S
1
1
1
x
y
z
C = ∂S
1
1
Como −→n ´e exterior, vemos que C = ∂S tem orienta¸c˜ao no sentido anti-hor´ario quando vista de
cima. Pelo teorema de Stokes, temos que:
S
rot
−→
F · −→n dS =
∂S
−→
F · d−→r .
Observemos que a curva C = ∂S ´e tamb´em bordo de outra superf´ıcie S1, por¸c˜ao do plano z = 0,
limitada pela curva C. Ent˜ao C = ∂S1 e portanto:
∂S
−→
F · d−→r =
∂S1
−→
F · d−→r .
x
y
z
S1
C = ∂S1
−→n1
1
1
UFF IME - GMA
13. C´alculo 3A Lista 13 205
Como C = ∂S1 est´a orientada no sentido anti-hor´ario, ent˜ao pela regra da m˜ao direita, deduzimos
que −→n1 aponta para cima: −→n1 =
−→
k . Aplicando o teorema de Stokes, para calcular
∂S1
−→
F ·d−→r , temos:
∂S1
−→
F · d−→r =
S1
rot
−→
F · −→n1 dS
onde
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y − z ln (1 + y2
) + yz −xz + z20
= (−y, −1 + z, −1) .
Como a equa¸c˜ao de S1 ´e z = 0 com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 ent˜ao rot
−→
F = = (−y, −1, −1) em S1.
Assim:
∂S1
−→
F · d−→r =
S1
(−y, −1, −1) · (0, 0, 1) dS =
=
S1
(−1) dS = −A (S1) = −12
= −1 .
Finalmente:
S
rot
−→
F · −→n dS =
∂S
−→
F · d−→r =
∂S1
−→
F · d−→r = −1 .
Exerc´ıcio 9: Seja C a curva sobre o cilindro x2
+ y2
= 1 que come¸ca no ponto (1, 0, 0) e termina
no ponto (1, 0, 1), como mostra a figura que se segue. Calcule
C
−→
F·d−→r , onde
−→
F (x, y, z) ´e dado por
−→
F (x, y, z) = y(x − 2)
−→
i + x2
y
−→
j + z
−→
k .
Solu¸c˜ao: Seja C = C ∪ C1, onde C1 ´e o segmento de reta que liga (1, 0, 1) a (1, 0, 0). Ent˜ao uma
parametriza¸c˜ao de C1 ´e dada por σ(t) = (1, 0, 1 − t), 0 ≤ t ≤ 1. Consideremos uma superf´ıcie S
cujo bordo seja C. Seja S = S1 ∪ S2 onde S1 ´e a por¸c˜ao do cilindro entre z = 0 e a curva C e S2 ´e
a por¸c˜ao do plano z = 0, limitada por x2
+ y2
= 1.
De acordo com a orienta¸c˜ao de C, devemos tomar −→n1 e −→n2 apontando para dentro do cilindro, isto
´e, −→n1 = (−x, −y, 0) e −→n2 =
−→
k . Temos:
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y(x − 2) x2
y z
= (0, 0, 2xy − x + 2) .
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14. C´alculo 3A Lista 13 206
x
y
z
C
1
1
1
(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
x
y
z
C
1
1
1
(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
S1
C1
S2
−→n1
−→n2
Do teorema de Stokes, temos:
C=∂S+
−→
F· d−→r =
S
rot
−→
F· −→n dS =
S1
rot
−→
F· −→n1 dS +
S2
rot
−→
F· −→n2 dS =
=
S1
(0, 0, 2xy − x + 2) · (−x, −y, 0) dS +
S2
(0, 0, 2xy − x + 2) · (0, 0, 1) dS =
=
S1
0 dS +
S2
(2xy − x + 2) dS =
=
D:x2+y2≤1
2xy dxdy
= 0 (∗)
−
D
x dxdy
= 0 (∗)
+2
D
dxdy = 2 A(D) = 2π .
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15. C´alculo 3A Lista 13 207
Logo:
C
−→
F· d−→r +
C1
−→
F· d−→r = 2π .
Mas
C1
−→
F· d−→r =
1
0
F σ(t) · σ′
(t) dt =
=
1
0
(0, 0, t) · (0, 0, −1) dt = −
1
0
t dt = −
1
2
.
Ent˜ao:
C
−→
F · d−→r =
1
2
+ 2π .
(∗) por simetria em integral dupla.
Exerc´ıcio 10: Calcule a integral do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = x + y + z, z + x + e−y2/2
, x + y + e−z2/2
ao longo da curva interse¸c˜ao da superf´ıcie
x2
4
+
y2
9
+ z2
= 1, z ≥ 0, com o plano y = −1, orientada
no sentido do crescimento de x.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co de C est´a representado na figura a seguir.
x
y
z
A
B
−3
−1
1
2 3
Para y = −1 e z = 0, temos
x2
4
+
1
9
= 1, donde A = −
4
√
2
3
, −1, 0 e B =
4
√
2
3
, −1, 0 . Vemos
que rot
−→
F = (1 − 1, 1 − 1, 1 − 1) =
−→
0 e que dom
−→
F = R3
´e um conjunto simplesmente conexo.
Ent˜ao, pelo Teorema das Equivalˆencias em R3
, a integral
C
−→
F · d−→r n˜ao depende do caminho que
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16. C´alculo 3A Lista 13 208
liga o ponto A ao ponto B. Assim, consideremos o segmento de reta AB, dado por C1 : y = −1 e
z = 0, com
−4
√
2
3
≤ x ≤
4
√
2
3
. Temos que dy = dz = 0. Ent˜ao:
C
−→
F · d−→r =
C1
−→
F · d−→r =
C1
P(x, −1, 0) dx =
=
4
√
2/3
−4
√
2/3
(x − 1 + 0) dx =
x2
2
− x
4
√
2/3
−4
√
2/3
= −
8
√
2
3
.
Exerc´ıcio 11: Calcule
C
y2
cos x + z3
dx − (4 − 2y sen x) dy + 3xz3
+ 2 dz
sendo C a h´elice x = cos t, y = sen t e z = t, com t ∈ [0, 2π].
Solu¸c˜ao: Fazendo
−→
F (x, y, z) = y2
cos x + z3 −→
i + (−4 + 2y sen x)
−→
j + 3xz3
+ 2
−→
k
temos que:
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y2
cos x + z3
−4 + 2y sen x 3xz3
+ 2
=
= (0, 3z2
− 3z2
, 2y cos x − 2y cos x) =
−→
0 .
Como dom
−→
F = R3
que ´e um conjunto simplesmente conexo, ent˜ao pelo teorema das equivalˆencias
em R3
, temos que
−→
F ´e conservativo. Portanto,
−→
F admite uma fun¸c˜ao potencial ϕ(x, y, z) que
satisfaz
∂ϕ
∂x
= y2
cos x + z3
(1)
∂ϕ
∂y
= −4 + 2y sen x (2)
∂ϕ
∂z
= 3xz2
+ 2 (3) .
Integrando (1), (2) e (3) em rela¸c˜ao a x, y e z, respectivamente, encontramos:
ϕ(x, y, z) = y2
sen x + xz3
+ f(y, z) (4)
ϕ(x, y, z) = −4y + y2
sen x + g(x, z) (5)
ϕ(x, y, z) = xz3
+ 2z + h(x, y) (6) .
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17. C´alculo 3A Lista 13 209
Para encontrar a mesma express˜ao para ϕ(x, y, z) devemos tomar f(y, z) = = −4y + 2z, g(x, z) =
xz3
+ 2z e h(x, y) = y2
sen x − 4y. Substituindo em (4), (5) e (6) encontramos ϕ(x, y, z) =
y2
sen x+ xz3
−4y + 2z. Assim, pelo teorema fundamental do c´alculo para integrais de linha, temos
C
−→
F · d−→r = ϕ (γ(2π)) − ϕ (γ(0))
onde γ(t) = (cos t, sen t, t). Como γ(2π) = (1, 0, 2π) e γ(0) = (1, 0, 0), temos:
C
−→
F · d−→r = ϕ(1, 0, 2π) − ϕ(1, 0, 0) =
= (0 + (2π)3
− 0 + 2 · 2π) − (0 + 0 − 0 + 0) =
= 8π3
+ 4π = 4π (2π2
+ 1) .
Exerc´ıcio 12: Seja
−→
F (x, y, z) = (yz + x2
, xz + 3y2
, xy).
a) Mostre que
C
−→
F · d−→r ´e independente do caminho.
b) Calcule
C
−→
F · d−→r , onde C ´e a curva obtida como interse¸c˜ao da superf´ıcie z = 9 − x2
− y2
,
z ≥ 4 com o plano y = 1, orientada no sentido do crescimento de x.
Solu¸c˜ao:
a) Temos que dom
−→
F = R3
que ´e um conjunto simplesmente conexo. Al´em disso,
rot
−→
F =
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
yz + x2
xz + 3y2
xy
= (x − x, y − y, z − z) =
−→
0 .
Ent˜ao pelo teorema das equivalˆencias, segue que
C
−→
F · d−→r ´e independente do caminho.
b) De z = 9 − x2
− y2
, y = 1 e z = 4 temoa 4 = 9 − x2
− 1 donde x2
= 4. Logo, x = ±2. Assim, o
ponto inicial de C ´e A = (−2, 1, 4) e o ponto final ´e B = (2, 1, 4). O esbo¸co de C est´a representado
na figura que se segue.
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18. C´alculo 3A Lista 13 210
x
y
z
C
C1A
B
3
31
4
9
Como I n˜ao depende de C, ent˜ao consideremos o segmento C1 que liga A a B. Temos que C1 ´e
dado por C1 :
−2 ≤ x ≤ 2
y = 1
z = 4
. Logo, dy = 0 e dz = 0. Ent˜ao:
C
−→
F · d−→r =
C1
−→
F · d−→r =
2
−2
P(x, 1, 4) dx =
2
−2
4 + x2
dx =
= 4x +
x3
3
2
−2
= 2 8 +
8
3
=
64
3
.
Exerc´ıcio 13: A integral
C
2xe2y
dx + 2 x2
e2y
+ y cos z dy − y2
sen z dz
´e independente do caminho? Calcule o valor da integral para a curva C obtida como interse¸c˜ao da
superf´ıcie z = 9 −x2
−y2
, com z ≥ 5 com o plano x = 1, orientada no sentido de crescimento de y.
Solu¸c˜ao: O campo
F = (P, Q, R) = 2xe2y
, 2 x2
e2y
+ y cos z , −y2
sen z
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19. C´alculo 3A Lista 13 211
´e de classe C1
em R3
, que ´e um conjunto simplesmente conexo. Como
rot F =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
2xe2y
2 (x2
e2y
+ y cos z) −y2
sen z
=
= (−2y sen z + 2y sen z, 0, 4xe2y
− 4xe2y
) = 0
ent˜ao, pelo teorema das equivalˆencias, a integral
C
F · dr n˜ao depende de C.
De z = 9 − x2
− y2
, z = 5 e x = 1 temos 5 = 9 − 1 − y2
donde y2
= 3 e y ±
√
3 . Considerando
que C est´a orientada no sentido de crescimento de y, conclu´ımos que o ponto inicial de C ´e o
ponto A = (1, −
√
3 , 5) e o ponto final de C ´e B = (1,
√
3 , 5). Como
C
F · dr n˜ao depende de
C, ent˜ao vamos substituir C por C1, segmento de reta que liga A a B. Ent˜ao temos C1 : x = 1,
z = 5, −
√
3 ≤ y ≤
√
3 donde dx = 0 e dz = 0. Ent˜ao:
C
F · dr =
C1
F · dr =
C1
P(1, y, 5) dx + Q(1, y, 5) dy + R(1, y, 5) dz
(∗)
=
(∗)
=
C1
Q(1, y, 5) dy =
√
3
−
√
3
2 12
e2y
+ y cos 5 dy =
= 2
√
3
−
√
3
e2y
+ y cos 5 dy = 2
e2y
2
+
y2
2
cos 5
√
3
−
√
3
=
= e2
√
3
+
3
2
cos 5 − e−2
√
3
+
3
2
cos 5 = e2
√
3
− e−2
√
3
.
Em (∗) temos que dx = 0 e dz = 0.
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