Matemática aplicada
Prof.: Augusto Junior
Conteúdo programático
• Definição e Operações com conjuntos
• Regra de três (Simples e Composta)
• Unidade de Medida
• Por...
Definição e Operações
com Conjuntos
A noção de Conjunto
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos.
Exemplos:
•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste:...
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são considerados
iguais quando tem a mesma quantidade de
elementos e esses ele...
Universo de Referência
Quando falamos de um conjunto, é
necessário especificar um universo de
referência (conjunto univers...
Operações sobre
conjuntos
Operações sobre conjuntos
Operações sobre conjuntos nos permitem construir
novos conjuntos a partir de conjuntos dados, do...
Operações entre conjuntos
União ( ): Sendo A e B dois conjuntos não
vazios,definimos a união de A com B da
seguinte maneir...
União
A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B }
A B
U
A∪B
Intersecção ( ): Dados dois conjuntos A e B
não vazios, definimos a intersecção de A com
B da seguinte forma:
A intersecçã...
Interseção
A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B }
A B
U
A ∩ B
Diferença ( - ): São aqueles elementos que são
exclusivos de um determinado conjunto. Sendo
A e B dois conjuntos não vazio...
Diferença entre conjuntos
A−B = { x | x ∈ A e x ∉ B }
A
B
U
A−B
Propriedades das operações:
I)
II)
III)
IV) =
V) =
VI) =
VII) =
A A A
A A A
A A
A
A A
A A
A
φ
φ φ
φ
φ
φ φ
∪ =
∩ =
∪ =
∩
−
...
Complemento
Dado um conjunto A, subconjunto de um certo
conjunto Universo U, chama-se complementar de A
em relação a U o c...
Complemento
A
U
A
{ / }A x x U e x A U A= ∈ ∉ = −
Exercícios:
1) Sendo dados os conjuntos abaixo, determine o resultado
de cada uma das operações a seguir.
A = { -2, -1, 0,...
2) Lembrando da definição das operações entre conjuntos,
determine em cada um dos desenhos abaixo, qual é a
região corresp...
3) Sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 } e B = { x / x é natural e x <
10 }, determine então o conjunto resultante de cada
operaç...
É correto afirmar que:
( )
(Lei de DeMorgan)
A B A A B
A B A B
A B A B
• − = − ∩
• ∩ = ∪
• ∪ = ∩
Identidades via Venn
Muitas vezes é mais simples entender essas
identidades por meio de Diagramas de Venn-
Euler. Por exem...
DeMorgan Visual
A:
B:
DeMorgan Visual
A: B:
A∪B :
DeMorgan Visual
A: B:
A∪B :
:BA∪
DeMorgan Visual
A:
B:
DeMorgan Visual
A: B:
A: B:
DeMorgan Visual
A: B:
A: B:
:BA∩
DeMorgan Visual
=
=∩ BA
=∪ BA
Conjuntos Numéricos
I) Conjunto do conjuntos Naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4...}
N* = {1, 2, 3, 4...}
II) Conjunto dos números...
Conjuntos Numéricos
III) Conjunto dos números Racionais
ou seja números que podem ser escritos em forma de fração.
IV) Con...
Conjuntos Numéricos
V) Conjunto dos números Reais
Importante:
/
Pertence
Não Pertence
Tal que
Está Contido
Não Está Contido
Contém
Não Contém
Para Todo
∈=
∉=
=
⊂=
⊄=
⊃=
⊃=
...
Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se
verificar a audiência dos programas de televisão,
os seguintes resultados fo...
a. Quantas famílias assistem A ou B ou C?
b. Quantas famílias não assistem nenhum desses
programas?
c. Quantas famílias as...
Exercício Resolvido
a. Quantas famílias assistem A ou B ou C?
b. Quantas famílias não assistem nenhum desses programas?
c....
Exercícios
Unidades de Medida
Conversões
L5 38
Grandeza
• É tudo aquilo que podemos
comparar com um padrão
–Comprimento, massa, peso, tempo,
temperatura...
L5 39
Sistema de medidas
• Os padrões utilizados para comparação de
grandezas devem ser os mesmos, em
qualquer situação.
• Um me...
Sistema de medidas
Unidades básicas do (SI)
L5 41
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento Metro m
Tempo Segundo s
Massa Quilo...
L5 42
Sistema de medidas
Unidades Suplementares do (SI)
Grandeza Unidade Símbolo
Ângulo Radiano rad
Energia Joule J
Carga ...
L5 43
Sistema de medidas
Unidades Derivadas do (SI)
Grandeza Unidade Símbolo
Velocidade metros por segundo m/s
Aceleração
...
Prefixodasunidades
L5 44
Sistema Inglês de Unidades
L5 45
Grandeza Unidade Símbolo Equivalência
Comprimento Polegada in 0,0254m = 2,54cm
Compriment...
Curiosidades
• A velocidade da luz, no vácuo, é de 300.000
km/s
• O Ano-luz (lv) não é uma unidade do SI
– Distância perco...
Exercício de fixação
L5 47
Razão, Proporção, Porcentagem
e Grandezas diretamente e
inversamente proporcionais
L5 48
Razão
É a divisão de dois números
5 1
20 4
=
1
2
2 1
10 5
=
De cada 10 alunos, 2 gostam
de Matemática
Um dia de sol, para ...
Exemplo - Razão
A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A
Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou
com 5 fa...
Exercícios – Razão
1. A distância entre duas cidades num mapa de escala
1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre
es...
Proporção
É a igualdade entre duas razões
d
c
b
a
= ou ( a : b = c : d )
lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”
Proporção
d
c
b
a
=
MeiosExtremo
s
( a : b = c : d )
Meios
Extremo
s
Propriedade Fundamental:
O produto dos meios é igual ...
Exemplo - Proporção
Numa escola a proporção entre o número de professores e o
número de auxiliares é de 16 para 2.
Sabendo...
Exercícios - Proporção
1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem
um problema hidráulico em um prédio, se...
Porcentagem
Forma Percentual Forma Unitária
Exercícios – Calcule:
1) 10% de 29 + 4,2% de 17
2) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7
3) 0,4% de 125 + 16% de 234,25
4) 4% de 1.4...
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis são diretamentediretamente
proporcionaisproporcionais quando,...
Exemplo
Grandezas Diretamente Proporcionais
Num supermercado comum:
1 pacote de biscoito = R$ 2,00
2 pacotes de biscoito...
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamenteinversamente
proporcionaisproporcionais quando, aument...
Exemplo
Grandezas Inversamente Proporcionais
Um automóvel para percorrer 120 km, gasta:
1 hora rodando a 120 km/h
2 hora...
Regra de Três
Simples e Composta
Regra de três simples
• Processo prático para resolver problemas que
envolvam 4 valores, de duas variáveis
diferentes, ond...
Regra de três
Passos utilizados no cálculo
1. Construir uma tabela, agrupando as
grandezas da mesma espécie em colunas e
m...
Exemplo 1
• Com uma área de absorção de raios
solares de 1,2m², uma lancha com
motor movido a energia solar
consegue produ...
Exemplo 1: Resolução
Identificação do tipo de relação
L5 66
Exemplo 1: Resolução
• Inicialmente colocamos uma seta
para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).
• Observe que: Aum...
• Como as palavras correspondem
aumentando - aumenta
Podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais.
• Ass...
L5 69
Exemplo 1: Resolução
Exemplo 2
• Um trem, deslocando-se a uma
velocidade média de 400Km/h,
faz um determinado percurso em
3 horas. Em quanto te...
Exemplo 2: Resolução
L5 71
Exemplo 2: Resolução
• Aumentando a velocidade, o tempo do percurso
diminui.
• Como as palavras são contrárias
aumentando ...
Exemplo 2: Resolução
L5 73
Exercícios de Fixação
1. Bianca comprou 3 camisetas e pagou
R$120,00. Quanto ela pagaria se
comprasse 5 camisetas do mesmo...
Regra de três composta
• Utilizada em problemas que envolvem mais
de 2 grandezas.
– Sejam elas diretamente ou inversamente...
Exemplo 1
Em 8 horas, 20 caminhões
descarregam 160m³ de
areia. Em 5 horas, quantos
caminhões serão necessários
para descar...
Exemplo 1: Resolução
• Colocamos uma seta para baixo na
coluna que tem o “x”
L5 77
Exemplo 1: Resolução
• Observe que:
– Aumentando o número de horas de trabalho, podemos
diminuir o número de caminhões. Po...
Exemplo 1: Resolução
L5 79
Exemplo 2
Numa fábrica de brinquedos, 8
homens montam 20 carrinhos
em 5 dias. Quantos carrinhos
serão montados por 4 homen...
Exemplo 2: Resolução
1. Colocaremos a seta para baixo na coluna em
que estiver a grandeza que queremos saber
valor (“x”);
...
Exemplo 2: Resolução
Temos que:
L5 82
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Exercícios de Fixação
1. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro
com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e
au...
1. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18
dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo
levará uma tu...
Respostas
1. 12 dias
2. 6 horas
3. 35 dias
4. 15 dias
5. 10 horas por dia
6. 2025 metros
L5 85
Área e Volume de Sólidos
• Sólidos são conjuntos de pontos cujas posições
relativas são invariáveis, com os quais
construí...
Classificação dos Sólidos
• Poliedros:
– Limitados por superfícies planas.
• Paralelepípedo retângulo;
• Octaedro;
• Não-p...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
RETÂNGULO
a
b
Área = a . b
“A área do retângulo é dada pela
multiplicação do comprimento a pe...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
QUADRADO
a
a
Área = a . a
“A área do quadrado é dada pela
multiplicação de lado vezes lado.”
...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
a
h
TRIÂNGULO “A área do triângulo é dada pela
multiplicação da medida da base a
pela medida ...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Área =
8 . 4
2
Observe:
a
Área =
32
2
=16
Área = 16 unidades²
h
Área =
a . h
2
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Você sabe por que dividimos por 2 após multiplicarmos a medida
da base do triângulo pela medi...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
PARALELOGRAMO
Área = a . h
a
b hbb
“A área do paralelogramo é obtida
através da multiplicação...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
h
Observe:
b
a
Área = 5 . 3
Área = 15
Área = 15 unidades²
Área = a . h
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
(B+b) .h
2
b
B
c d
TRAPÉZIO
Área =
h
“A área do trapézio é obtida adicionando
a base B (maior...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
(B+b) .h
2
h
b
B
(7+3 ). 3
2
Área =
(10) . 3
2
Área =
30
2
=15Área =
Observe:
Área = 15 unida...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
d
D
a
a
a
a
D . d
2
Área =
LOSANGO
“A área do losango é obtida
multiplicando a diagonal D (ma...
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
d
D
12. 4
2
Área =
48
2
=24Área =
Área = 24 unidades²
D . d
2
Área =
Observe:
ÁREA 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
CÍRCULO
r
Área = π . r²
“A área do círculo é obtida
multiplicando o valor do π (Pi =
3,14), p...
VOLUME 
UNIDADES DE VOLUME
a
a
a
CUBO
Volume = a . a . a
Volume = a³
“A medida do volume de um cubo é
obtida multiplicando...
VOLUME 
UNIDADES DE VOLUME
a
b
c
PARALELEPÍPEDO
Volume = a . b . c
“A medida do volume de um
paralelepípedo é obtida multi...
VOLUME 
UNIDADES DE VOLUME
ESFERA
Volume =
“A medida do volume de uma esfera é
igual a quatro terços do produto de π (
Pi ...
VOLUME 
UNIDADES DE VOLUME
CILINDRO
Volume = π . r² . h
“A medida do volume é dado através da
multiplicação da área da bas...
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Matemática aplicada aula01

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Reunião de alguns materiais coletados aqui, no Slideshare, para a parte de introdução à Matemática.

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Matemática aplicada aula01

  1. 1. Matemática aplicada Prof.: Augusto Junior
  2. 2. Conteúdo programático • Definição e Operações com conjuntos • Regra de três (Simples e Composta) • Unidade de Medida • Porcentagem • Figuras planas, áreas e volumes dos principais sólidos • Polinômios • Estudo das funções • Função Quadrática e outras funções • Progressões • Matrizes • Probabilidade
  3. 3. Definição e Operações com Conjuntos
  4. 4. A noção de Conjunto Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Exemplos: •Conjunto dos estados da região Centro-Oeste: C = {Goiás, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito Federal} •Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…} •Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros}
  5. 5. Igualdade de conjuntos Dois conjuntos A e B são considerados iguais quando tem a mesma quantidade de elementos e esses elementos são os mesmos. Em termos de símbolos, temos: Sendo A = B , temos que se x A x B.∈ ∈⇒
  6. 6. Universo de Referência Quando falamos de um conjunto, é necessário especificar um universo de referência (conjunto universo - U). Mesmo quando um conjunto é definido pelos elementos que ele contém, esses elementos não podem ser arbitrários.
  7. 7. Operações sobre conjuntos
  8. 8. Operações sobre conjuntos Operações sobre conjuntos nos permitem construir novos conjuntos a partir de conjuntos dados, do mesmo modo que conectivos lógicos nos permitem construir novas fórmulas a partir de fórmulas mais simples. Dados conjuntos A e B, definimos novos conjuntos por: – União (∪) – Interseção (∩) – Diferença (−) – Complemento (“—”) obtendo A ∪B, A ∩ B, A -B eA .
  9. 9. Operações entre conjuntos União ( ): Sendo A e B dois conjuntos não vazios,definimos a união de A com B da seguinte maneira: Exemplo: Considere A = { 1, 2, 3, 5 } e B = { 0, 4, 5 }, então podemos dizer que: ∪ }BxouAx/x{BA ∈∈=∪ }5,4,3,2,1,0{BA =∪
  10. 10. União A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B } A B U A∪B
  11. 11. Intersecção ( ): Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos a intersecção de A com B da seguinte forma: A intersecção é formada por elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B. Exemplo: Considerando os conjuntos A e B tais que A = { -1, 0 , 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4, 6 }, podemos dizer que: ∩ }BxeAx/x{BA ∈∈=∩ }4,3,2{BA =∩
  12. 12. Interseção A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B } A B U A ∩ B
  13. 13. Diferença ( - ): São aqueles elementos que são exclusivos de um determinado conjunto. Sendo A e B dois conjuntos não vazios, definimos a diferença entre A e B da seguinte forma: Exemplo: Considerando A = { 0,1, 2, 4, 6 } e B = { 1, 3, 4, 5, 7 }, temos que: A – B = { 0, 2, 6 } e B – A = { 3, 5, 7 } { / }A B x x A e x B− = ∈ ∉
  14. 14. Diferença entre conjuntos A−B = { x | x ∈ A e x ∉ B } A B U A−B
  15. 15. Propriedades das operações: I) II) III) IV) = V) = VI) = VII) = A A A A A A A A A A A A A A φ φ φ φ φ φ φ ∪ = ∩ = ∪ = ∩ − − − VIII) qdo IX) X) A A B B A A B A B B A A B B − = − = ∪ = ∪ ∩ = ∩ Onde A e B são considerados conjuntos quaisquer e não vazios.
  16. 16. Complemento Dado um conjunto A, subconjunto de um certo conjunto Universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. { / }C A UA A C x x U e x A U A= = = ∈ ∉ = −
  17. 17. Complemento A U A { / }A x x U e x A U A= ∈ ∉ = −
  18. 18. Exercícios: 1) Sendo dados os conjuntos abaixo, determine o resultado de cada uma das operações a seguir. A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }, B = { 0,1, 3, 6, 7 } e C = { -1, 0, 3, 4 }. =∩− =∩ =− =∪∪ =∩∩ )CB(A)e CA)d BA)c CBA)b CBA)a
  19. 19. 2) Lembrando da definição das operações entre conjuntos, determine em cada um dos desenhos abaixo, qual é a região correspondente à operação indicada: )CB(A ∪− )CB(A −∩ A B C A B C
  20. 20. 3) Sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 } e B = { x / x é natural e x < 10 }, determine então o conjunto resultante de cada operação abaixo: ) ) ) ) ) ( ) ) a A B b B A c A B d A B e A B A f A φ − = − = ∪ = ∩ = − ∩ = − =
  21. 21. É correto afirmar que: ( ) (Lei de DeMorgan) A B A A B A B A B A B A B • − = − ∩ • ∩ = ∪ • ∪ = ∩
  22. 22. Identidades via Venn Muitas vezes é mais simples entender essas identidades por meio de Diagramas de Venn- Euler. Por exemplo, a Lei de DeMorgan: pode ser visualizada do seguinte modo: BABA ∩=∪
  23. 23. DeMorgan Visual A: B:
  24. 24. DeMorgan Visual A: B: A∪B :
  25. 25. DeMorgan Visual A: B: A∪B : :BA∪
  26. 26. DeMorgan Visual A: B:
  27. 27. DeMorgan Visual A: B: A: B:
  28. 28. DeMorgan Visual A: B: A: B: :BA∩
  29. 29. DeMorgan Visual = =∩ BA =∪ BA
  30. 30. Conjuntos Numéricos I) Conjunto do conjuntos Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4...} N* = {1, 2, 3, 4...} II) Conjunto dos números Inteiros Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...}
  31. 31. Conjuntos Numéricos III) Conjunto dos números Racionais ou seja números que podem ser escritos em forma de fração. IV) Conjunto dos números Irracionais Número irracional é um número que NÃO pode ser representado em forma de fração. { / ; *} p x x p e q q = = ∈ ∈¤ ¢ ¢
  32. 32. Conjuntos Numéricos V) Conjunto dos números Reais
  33. 33. Importante: / Pertence Não Pertence Tal que Está Contido Não Está Contido Contém Não Contém Para Todo ∈= ∉= = ⊂= ⊄= ⊃= ⊃= ∀ =
  34. 34. Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: -510 famílias assistem ao programa A; -305 assistem ao programa B; -386 assistem ao programa C; -180 assistem aos programas A e B; -60 assistem aos programas B e C; -25 assistem aos programas A e C; -10 assistem aos três programas. Exercícios
  35. 35. a. Quantas famílias assistem A ou B ou C? b. Quantas famílias não assistem nenhum desses programas? c. Quantas famílias assistem somente ao programa A? d. Quantas famílias assistem somente ao programa B? e. Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?
  36. 36. Exercício Resolvido a. Quantas famílias assistem A ou B ou C? b. Quantas famílias não assistem nenhum desses programas? c. Quantas famílias assistem somente ao programa A? d. Quantas famílias assistem somente ao programa B? e. Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B? 10 15 50 170315 75 311 AA BB CC 311+54=365 A=510 B=305 C=386 A e B=180 B e C= 60 A e C= 25 A, B e C= 10 Total de famíliasTotal de famílias entrevistadas= 1000entrevistadas= 1000
  37. 37. Exercícios
  38. 38. Unidades de Medida Conversões L5 38
  39. 39. Grandeza • É tudo aquilo que podemos comparar com um padrão –Comprimento, massa, peso, tempo, temperatura... L5 39
  40. 40. Sistema de medidas • Os padrões utilizados para comparação de grandezas devem ser os mesmos, em qualquer situação. • Um metro deve ter o mesmo comprimento em qualquer lugar do mundo; • Um segundo deve ter a mesma duração; • Um quilograma deve ter a mesma massa... L5 40
  41. 41. Sistema de medidas Unidades básicas do (SI) L5 41 Grandeza Unidade Símbolo Comprimento Metro m Tempo Segundo s Massa Quilograma Kg Volume Litro l ou L Temperatura Kelvin K
  42. 42. L5 42 Sistema de medidas Unidades Suplementares do (SI) Grandeza Unidade Símbolo Ângulo Radiano rad Energia Joule J Carga elétrica Coulomb C Força Newton N Frequência Hertz Hz
  43. 43. L5 43 Sistema de medidas Unidades Derivadas do (SI) Grandeza Unidade Símbolo Velocidade metros por segundo m/s Aceleração metros por segundo ao quadrado m/s² Pressão Newton por metro quadrado N/m² Impulso Newton por segundo N/s
  44. 44. Prefixodasunidades L5 44
  45. 45. Sistema Inglês de Unidades L5 45 Grandeza Unidade Símbolo Equivalência Comprimento Polegada in 0,0254m = 2,54cm Comprimento Pé ft 12in = 0,3048m = 30,48cm Comprimento Jarda jd 3ft = 0,9144m = 91,44cm Comprimento Milha mi 1,609km = 1609m Volume Galão gal 3,79L Volume Barril - 158,99L
  46. 46. Curiosidades • A velocidade da luz, no vácuo, é de 300.000 km/s • O Ano-luz (lv) não é uma unidade do SI – Distância percorrida pela luz em um ano, no vácuo, e em linha reta. – Equivale a três milhões de quilômetros!!! (1 lv = 3.000.000 km) L5 46
  47. 47. Exercício de fixação L5 47
  48. 48. Razão, Proporção, Porcentagem e Grandezas diretamente e inversamente proporcionais L5 48
  49. 49. Razão É a divisão de dois números 5 1 20 4 = 1 2 2 1 10 5 = De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática Um dia de sol, para cada dois de chuva De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos RazãoComparação 3 ou 3:5 5 4,5 ou 4,5:2 2 AntecedenteAntecedente ConsequenteConsequente
  50. 50. Exemplo - Razão A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou com 5 fatias. Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o número de fatias do João? Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).
  51. 51. Exercícios – Razão 1. A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades? 2. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho? 3. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?
  52. 52. Proporção É a igualdade entre duas razões d c b a = ou ( a : b = c : d ) lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”
  53. 53. Proporção d c b a = MeiosExtremo s ( a : b = c : d ) Meios Extremo s Propriedade Fundamental: O produto dos meios é igual ao produto dos
  54. 54. Exemplo - Proporção Numa escola a proporção entre o número de professores e o número de auxiliares é de 16 para 2. Sabendo que o número total de funcionários é de 108, quantos professores e quantos auxiliares existem na escola?
  55. 55. Exercícios - Proporção 1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa? 2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.
  56. 56. Porcentagem Forma Percentual Forma Unitária
  57. 57. Exercícios – Calcule: 1) 10% de 29 + 4,2% de 17 2) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7 3) 0,4% de 125 + 16% de 234,25 4) 4% de 1.439,25 + 30% de 17.432 5) 45% de 208 – 15% de 23 + 80% de 12
  58. 58. Grandezas Diretamente Proporcionais Duas grandezas variáveis são diretamentediretamente proporcionaisproporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão. x y ou x y↑ ↑ ↓ ↓
  59. 59. Exemplo Grandezas Diretamente Proporcionais Num supermercado comum: 1 pacote de biscoito = R$ 2,00 2 pacotes de biscoito = R$ 4,00 3 pacotes de biscoito = R$ 6,00 4 pacotes de biscoito = R$ 8,00 5 pacotes de biscoito = R$ 10,00 Quantidade e gasto são grandezas diretamenteQuantidade e gasto são grandezas diretamente proporcionaisproporcionais Quando aumento a quantidade, aumento o gastoQuando aumento a quantidade, aumento o gasto
  60. 60. Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas são inversamenteinversamente proporcionaisproporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. x y ou x y↑ ↓ ↓ ↑
  61. 61. Exemplo Grandezas Inversamente Proporcionais Um automóvel para percorrer 120 km, gasta: 1 hora rodando a 120 km/h 2 horas rodando a 60 km/h 3 horas rodando a 40 km/h 4 horas rodando a 30 km/h 6 horas rodando a 20 km/h Velocidade e tempo são grandezas inversamenteVelocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionaisproporcionais Quando aumento a velocidade, diminuo o tempoQuando aumento a velocidade, diminuo o tempo
  62. 62. Regra de Três Simples e Composta
  63. 63. Regra de três simples • Processo prático para resolver problemas que envolvam 4 valores, de duas variáveis diferentes, onde conhecemos 3 desses valores. • Determinação do valor que falta, tendo como base os 3 já conhecidos. L5 63
  64. 64. Regra de três Passos utilizados no cálculo 1. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência; 2. Identificar se as grandezas são DIRETAMENTE ou INVERSAMENTE proporcionais; 3. Montar a proporção e resolver a equação. L5 64
  65. 65. Exemplo 1 • Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida? L5 65
  66. 66. Exemplo 1: Resolução Identificação do tipo de relação L5 66
  67. 67. Exemplo 1: Resolução • Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). • Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. L5 67
  68. 68. • Como as palavras correspondem aumentando - aumenta Podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. • Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. • Montando a proporção e resolvendo a equação temos: L5 68 Exemplo 1: Resolução
  69. 69. L5 69 Exemplo 1: Resolução
  70. 70. Exemplo 2 • Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? L5 70
  71. 71. Exemplo 2: Resolução L5 71
  72. 72. Exemplo 2: Resolução • Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. • Como as palavras são contrárias aumentando – diminui Podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. • Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. • Montando a proporção e resolvendo a equação temos: L5 72
  73. 73. Exemplo 2: Resolução L5 73
  74. 74. Exercícios de Fixação 1. Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? 2. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? L5 74
  75. 75. Regra de três composta • Utilizada em problemas que envolvem mais de 2 grandezas. – Sejam elas diretamente ou inversamente proporcionais. L5 75
  76. 76. Exemplo 1 Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³? L5 76
  77. 77. Exemplo 1: Resolução • Colocamos uma seta para baixo na coluna que tem o “x” L5 77
  78. 78. Exemplo 1: Resolução • Observe que: – Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). – Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). • Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. L5 78
  79. 79. Exemplo 1: Resolução L5 79
  80. 80. Exemplo 2 Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? L5 80
  81. 81. Exemplo 2: Resolução 1. Colocaremos a seta para baixo na coluna em que estiver a grandeza que queremos saber valor (“x”); 2. Observamos que: 1. Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). 2. Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). 3. Igualamos a razão que contém o termo “x” com o produto das outras razões.L5 81
  82. 82. Exemplo 2: Resolução Temos que: L5 82 Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16
  83. 83. Exercícios de Fixação 1. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? 2. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? 3. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? L5 83
  84. 84. 1. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? 2. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 3. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25L5 84 Exercícios de Fixação
  85. 85. Respostas 1. 12 dias 2. 6 horas 3. 35 dias 4. 15 dias 5. 10 horas por dia 6. 2025 metros L5 85
  86. 86. Área e Volume de Sólidos • Sólidos são conjuntos de pontos cujas posições relativas são invariáveis, com os quais construímos símbolos das mesmas formas. • Todos os sólidos geométricos são tridimensionais, ou seja, têm comprimento, altura e largura. • Exemplos: – Cubo; – Pirâmide; – Paralelepípedo; – Esfera.L5 86
  87. 87. Classificação dos Sólidos • Poliedros: – Limitados por superfícies planas. • Paralelepípedo retângulo; • Octaedro; • Não-poliedros: – Limitados por superfícies curvas ou superfícies planas e curvas, simultaneamente. • Cone; • Esfera. L5 87
  88. 88. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS RETÂNGULO a b Área = a . b “A área do retângulo é dada pela multiplicação do comprimento a pela altura b.” Observe: a b No exemplo abaixo temos um retângulo com 5 unidades de comprimento por 3 unidades de altura. Vamos aplicar a fórmula. Área = 5 . 3 = 15 unidades²
  89. 89. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS QUADRADO a a Área = a . a “A área do quadrado é dada pela multiplicação de lado vezes lado.” No exemplo abaixo temos um quadrado com medida de 3 unidades por 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula. Observe: Área = 3 . 3 = 9 unidades² a a
  90. 90. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS a h TRIÂNGULO “A área do triângulo é dada pela multiplicação da medida da base a pela medida da altura h, dividido por 2”. No exemplo a seguir, temos um triângulo com base de medida 8 unidades e altura de medida 4 unidades. Vamos aplicar a fórmula.Área = a . h 2
  91. 91. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS Área = 8 . 4 2 Observe: a Área = 32 2 =16 Área = 16 unidades² h Área = a . h 2
  92. 92. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS Você sabe por que dividimos por 2 após multiplicarmos a medida da base do triângulo pela medida da sua altura, para obtermos a medida de sua área? Se dividirmos um quadrilátero pela sua diagonal, obteremos 2 (dois) triângulos, por esta causa dividimos por dois, caso contrário estaríamos calculando a área de um quadrilátero. Observe: Compreendeu o por que da divisão por 2, no cálculo da área do Triângulo?
  93. 93. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS PARALELOGRAMO Área = a . h a b hbb “A área do paralelogramo é obtida através da multiplicação do comprimento a, pela altura h.” No exemplo a seguir, temos um paralelogramo com comprimento a = 5 unidades e altura h = 3 unidadess. Vamos aplicar a fórmula.
  94. 94. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS h Observe: b a Área = 5 . 3 Área = 15 Área = 15 unidades² Área = a . h
  95. 95. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS (B+b) .h 2 b B c d TRAPÉZIO Área = h “A área do trapézio é obtida adicionando a base B (maior), com a base b (menor), multiplicada pela altura h e dividido por 2 (dois). No exemplo a seguir, temos um trapézio com B = 7 unidades, b = 3 unidades e altura h = 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula.
  96. 96. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS (B+b) .h 2 h b B (7+3 ). 3 2 Área = (10) . 3 2 Área = 30 2 =15Área = Observe: Área = 15 unidades² Área =
  97. 97. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS d D a a a a D . d 2 Área = LOSANGO “A área do losango é obtida multiplicando a diagonal D (maior), pela diagonal d (menor), dividido por 2 (dois). No exemplo a seguir temos um losango com medida D = 12 e medida d = 4. Vamos aplicar a fórmula.
  98. 98. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS d D 12. 4 2 Área = 48 2 =24Área = Área = 24 unidades² D . d 2 Área = Observe:
  99. 99. ÁREA  ÁREA DE FIGURAS PLANAS CÍRCULO r Área = π . r² “A área do círculo é obtida multiplicando o valor do π (Pi = 3,14), pela medida do raio. No exemplo a seguir, temos uma circunferência com raio de medida r = 4. Vamos aplicar a fórmula. Área = 3,14 . 4² Área = 3,14 . 16 Área =50,24u²
  100. 100. VOLUME  UNIDADES DE VOLUME a a a CUBO Volume = a . a . a Volume = a³ “A medida do volume de um cubo é obtida multiplicando suas arestas por si mesma 3 vezes.” No exemplo a seguir, temos um cubo de arestas medindo 4 unidades. Vamos aplicar a fórmula.4 4 4 Volume = 4 . 4 . 4 Volume = 64 unidades³
  101. 101. VOLUME  UNIDADES DE VOLUME a b c PARALELEPÍPEDO Volume = a . b . c “A medida do volume de um paralelepípedo é obtida multiplicando-se a medida do comprimento a, pela medida da largura b, pela altura c.” 5 2 3 No exemplo a seguir, temos um paralelepípedo de comprimento 5 unidades, largura 2 unidades e altura 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula. Volume = 5 . 2 . 3 Volume = 15 unidades³
  102. 102. VOLUME  UNIDADES DE VOLUME ESFERA Volume = “A medida do volume de uma esfera é igual a quatro terços do produto de π ( Pi ) = 3,14, pelo cubo da medida do raio.”r 4 3 3,14 . 2³ No exemplo a seguir, temos uma esfera de raio r = 2 unidades. Vamos aplicar a fórmula. 2 Volume = 4 3 3,14 . 8 Volume = 100,48 3 Volume = 34,5 u³ Volume = 4 3 π . r³
  103. 103. VOLUME  UNIDADES DE VOLUME CILINDRO Volume = π . r² . h “A medida do volume é dado através da multiplicação da área da base no formato circular, pela medida da altura.” π ( Pi ) = 3,14. r Área da base = π . r² h 2 4 No exemplo a seguir, temos um cilindro de altura 4 unidades e raio da base 2 unidades. Vamos aplicar a fórmula. Volume = 3,14 . 2² . 4 Volume = 3,14 . 4 . 4 Volume = 50,24 u³

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