Tcc ra129642 rui_sussumo_miashiro

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  1. 1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA RUI SUSSUMO MIASHIRO RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS SEMELHANTES UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA DETERMINAR AS ALTURAS DE CORPOS POR MEIO DO ESTUDO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PROPOSTO POR G. POLYA. 2012
  2. 2. RUI SUSSUMO MIASHIRO RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS SEMELHANTES Uma proposta de ensino para determinar as alturas de corpos por meio do estudo da resolução de problemas proposto por G. Polya. Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, Unicamp, como requisito parcial para a conclusão do curso de especialização em Matemática, sob a supervisão de redação do Prof. Douglas Mendes. Campinas 2012 i
  3. 3. ii
  4. 4. iii
  5. 5. RESUMO Mais do que nunca a sociedade se transforma numa velocidade cada vez maior, estas mudanças exigem adequações no ensino pedagógico. O aluno não pode mais ser um mero expectador, deve sim, ser um agente edificador de seu próprio repertório de conhecimentos e habilidades. A participação pró-ativa do aluno na construção de sua própria aprendizagem é a melhor forma de lhe embutir um conhecimento mais significativo e que talvez perdure mais tempo do que apenas o simples momento da aula. O presente trabalho apresenta resumidamente atividades práticas desenvolvidas com alunos de uma oitava série (9º ano) da “E.M. Maria da Conceição Lucas Mieldazis”, em Capão Bonito, cujas atividades práticas aqui descritas, visam à resolução de problemas de matemática pela aplicação da metodologia de Polya, que Consiste em compreender o problema, traçar estratégias para solucioná-lo, colocá-las em prática e analisar os resultados obtidos. Palavras-chave: Polya, resolução de problemas, aprendizagem, alturas. iv
  6. 6. ABSTRACT More than ever, society becomes an ever-increasing rate, these changes require adjustments in teaching pedagogy. The student can not be a mere spectator, but must be an agent builder of his own repertoire of knowledge and skills. The proactive participation of the student in the constructing of their own learning is the best way to embed a knowledge more meaningful and perhaps that lasts longer than just a simple moment of class. This paper summarizes practical activities developed with an eighthgrade students (9th grade) from "E.M. Maria da Conceição Lucas Mieldazis " in Capão Bonito, whose practical activities described here, aimed at solving math problems by applying the methodology Polya, which is to understand the problem, devise strategies to solve them, put them into practice and analyze the results. Keywords: Polya, problem solving, learning, heights. v
  7. 7. LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 01: Esquema de Tales para a determinação da altura da pirâmide de Quéops 20 Figura 02: Para quê determinar alturas....................................................................... 21 Figura 03: Inclinação proporcional e diferença de visada............................................ 28 Figura 04: Tabela trigonométrica................................................................................. 30 Figura 05: Instrumentos de trabalho e fichas de anotação .......................................... 33 Figura 06: Objeto escolhido pelos alunos para ser usado é medido ........................... 40 Figura 07: Medidas são tomadas e anotadas ............................................................. 40 Figura 08: Improvisação de um teodolito .................................................................... 41 Figura 09: Determinação de medida de ângulo com o uso do nosso “teodolito” ......... 42 Figura 10: Determinação de alturas por trigonometria simples ................................... 42 Figura 11: Uma determinação com complicadores...................................................... 43 Figura 12: Discussões sobre cálculos e preenchimento de fichas............................... 44 Figura 13: Determinação de altura de um poste pela semelhança de triângulos......... 44 vi
  8. 8. LISTA DE TABELAS Tabela 01: Medidas em centímetros obtidas com o uso da fita métrica....................... 45 Tabela 02: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um lápis........................... 45 Tabela 03: Medidas em centímetros obtidas com o uso da palma de mão.................. 45 Tabela04: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um estojo.......................... 46 Tabela 05: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um primeiro objeto de livre escolha (OBJETO)...................................................................................................... 46 Tabela 06: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um segundo objeto de livre escolha (OBJETO) ..................................................................................................... 46 Tabela 07: Medidas em metros obtidas por meio da determinação da tangente ou pela semelhança de triângulos retângulos............................................................................47 vii
  9. 9. SUMÁRIO Introdução................................................................................................................... 10 1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: AS QUATRO FASES DE POLYA......................... 13 1.1 O que são situações-problema?..............................................................................13 1.2 Uma rápida passagem pelo cenário da resolução de problemas” ......................... 14 1.3 O papel do aluno na resolução de problemas ....................................................... 14 1.4 O papel do professor na resolução de problemas ................................................ 15 1.5 Lenda ou verdade? O que importa é a lição a ser aprendida de como pode ser respondido um problema...............................................................................................16 1.6 As quatro fases da resolução de um problema ..................................................... 16 2 POR QUE MEDIR ALTURAS?...... ........................................................................... 19 2.1 Contextualização histórica da determinação de alturas ........................................ 19 2.2 Proposta de estudo: determinação da altura de corpos ........................................ 20 2.3 PLANOS DE AULA ............................................................................................... 22 2.3.1 Primeiro plano de aula ...................................................................................... 22 2.3.2 Segundo plano de aula ...................................................................................... 26 3 Mãos a obra................................................................................................................31 3.1 Formação dos grupos de trabalho ....................................................................... 31 3.1.1 Transcrição da mediação para a formação dos grupos de trabalho .................. 31 3.1.2 Fornecimento de instrumentos de manipulação e informação............................ 34 viii
  10. 10. 3.1.3 Transcrição de parte da mediação buscando o nivelamento de conhecimentos prévios ........................................................................................................................ 34 3.2.Compreendendo o problema – parte I................................................................... 36 3.3 Estabelecendo um plano de ação – parte I ........................................................... 36 3.4.Compreendendo o problema – parte II.................................................................. 37 3.5 Estabelecendo um plano de ação – parte II .......................................................... 38 3.6 Executando o plano .............................................................................................. 39 3.7 Resultados............................................................................................................ 45 3.7.1.Retrospectiva..................................................................................................... 47 Considerações finais................................................................................................... 48 Referências bibliográficas ........................................................................................... 50 ix
  11. 11. INTRODUÇÃO O presente trabalho propõe realizar estudos de geometria por intermédio de ações práticas e aplicadas visando culminar no desenvolvimento de uma eventual competência para determinar alturas de corpos a partir de algumas propriedades dos triângulos semelhantes. A constante necessidade do ser humano de encontrar respostas para problemas com os quais ele lida de alguma forma, fez com que a Matemática surgisse e se desenvolvesse no transcorrer da história. O espírito matemático, portanto está intimamente relacionado à resolução de problemas. O estudo da Matemática não pode então se prender a conhecer apenas o que lhe é apresentado de forma passiva. É necessário que haja também uma postura pró-ativa por parte do aluno para que o mesmo participe da construção e edificação de seus próprios conhecimentos. Há que se ter certa pitada de curiosidade e criatividade para ir à busca de soluções. Métodos prontos e sistemáticos devem ser abolidos em prol do desenvolvimento de uma percepção, abstração e generalização muito mais ampla. O aluno que com esforço, paciência, foco e perseverança busca a resolução de problemas poderá elaborar suas próprias conjecturas sobre os eventos estudados. A maioria dos problemas propostos pelos livros didáticos desvincula o aluno da realidade. Na maioria das vezes, os exercícios não passam de meros exercícios de fixação de conteúdos com resoluções atreladas a procedimentos mecânicos e sistemáticos de como executar a tarefa. Infelizmente, a resolução de problemas ainda encontra certa resistência para ser aplicada, tendo ainda como outro empecilho o fato de alguns professores não aceitarem versões de raciocínio lógico alternativo apresentado pelos alunos. A proposta da resolução de problemas visa justamente corrigir esta desorientação. “A resolução de problemas é a coluna vertebral da instrução matemática desde o papiro de Rhind.” (POLYA apud DANTE, 1997, p.7), de fato, existem indivíduos que apesar de
  12. 12. oficialmente apresentarem um baixo nível de formação educacional, resolvem situações que, por vezes, exigem um elevado potencial de saber matemático. Eles conseguem realizar tais feitos por utilizarem conhecimentos adquiridos por meio de suas experiências ao longo da vida. Os repertórios de habilidades e competências destas pessoas permitem a elas resolver diversos problemas com relativa maestria. Cabe ao professor, na função de mediador do processo de ensino-aprendizagem do aluno, fazer uso da resolução de situações-problema em suas aulas. Isto deverá propiciar ao aluno uma compreensão mais significativa dos conceitos matemáticos, permitindo ao aluno relacionar a sua realidade e o conhecimento construído na escola. Uma vez que o aluno tenha incorporado o conteúdo ele poderá posteriormente usar a mesma linha de raciocínio como apoio para resolver outras situações similares. Aprender matemática por meio da resolução de problemas é uma forma eficaz de estimular o raciocínio e a lógica, uma vez que tal disciplina auxilia na construção de conceitos, procedimentos e atitudes pró-ativas, cujo estudo pode, inclusive, ser prazeroso quando a busca de uma resolução for bem aceita pelo corpo discente. O professor está ajudando o aluno a pensar sozinho ao propor-lhe um ou mais problemas. De fato, já que os problemas exercem um papel importante na aprendizagem do aluno, pois fazem com que os mesmos se deparem com questionamentos que exigem com que eles dêem respostas elaboradas a partir de suas próprias concepções. A resolução de problemas deve ainda ajudar a quebrar a falta de interesse dos alunos evitando assim que nos anos seguintes os professores passem boa parte do ano revendo conceitos e conteúdos básicos que deveriam ter sido compreendidos e assimilados em anos anteriores. Muitos alunos declaram possuir uma verdadeira aversão e, por que não dizer, um verdadeiro pavor no que tange o estudo da disciplina. A lacuna deixada pela não aplicação de resolução de problemas no ensino e aprendizagem matemática, pode ser considerada um dos grandes fatores que contribuem para tal situação, afinal é de se esperar que a falta de vínculo com o cotidiano ou com suas expectativas desestimule o aluno a estudar aquilo que não lhe faz o menor sentido. A conseqüência natural é notarmos que a falta de posturas pró-ativas faz com que os alunos muitas vezes apresentem severas defasagens de compreensão de leituras sendo até mesmo classificados posteriormente como analfabetos funcionais. A falta de problemas para fins de estudos limita a elevação das capacidades intelectuais tão necessárias para o desenvolvimento das potencialidades dos alunos. 11
  13. 13. Este trabalho é baseado nos ensinamento de Polya e tem por objetivo destacar a importância da resolução de problemas como instrumento motivador para o aprendizado da matemática. Espera-se que os professores, em especial os do ensino fundamental, sejam instigados com ele a apresentarem problemas para os alunos pensarem, estabelecerem conjecturas e assim encontrarem caminhos que possam conduzi-los a resolver os mais diversos problemas. Espera-se que a proposta de resolver problemas também estimule o raciocínio do aluno e colabore para contemplar diferentes abordagens mediadas pelo professor, contribuindo para o entendimento do estudo de matemática. Deseja-se, finalmente, que o aluno passe a enxergar a matemática como um ingrediente a mais que permita a sua inclusão em grupos de maior capacidade de compreensão, cooperação e resolução de situações mais complexas. 12
  14. 14. 1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: AS QUATRO FASES DE POLYA. A primeira idéia que uma criança precisa ter é a da diferença entre o bem e o mal. E a principal função do educador é cuidar para que ela não confunda o bem com a passividade e o mal com a atividade. Maria Montessori, pedagoga italiana 1.1 O que são situações-problema? Inúmeras podem ser as interpretações sobre o que venha a ser situações-problema, em matemática. Em síntese, podemos dizer que uma situação-problema é um desafio que requer uma atenção especial do indivíduo diante dela, sua concentração. A resolução de problemas funciona como um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem, através da qual o aluno é conduzido a elaborar estratégias em que ele se utiliza de conhecimentos prévios para promover transposições e retificações de seus pensamentos iniciais. A resolução de problemas promove o despertar de um raciocínio lógico que deve estar presente para gerar uma opinião. Nem sempre a resolução nos parecerá fácil, mas esta é a graça de um desafio: encarar os desafios que a vida nos dá com garra e obstinação. O prazer encontrado ao se descobrir uma solução é de enorme satisfação pessoal por aqueles que obstinaram em buscar ou colaboraram para que um melhor resultado possível fosse encontrado. 13
  15. 15. 1.2 Uma rápida passagem pelo no cenário da resolução de problemas Nos dias atuais muitas são as pessoas que compram rotineiramente publicações especializadas em trazer desafios na forma de problemas. Esta busca de aceitar ser desafiado já era uma prática muito antiga, que remonta a Antiga Grécia: os filósofos gregos adoravam encarar problemas para estimularem o seu pensamento. Sócrates, por exemplo, destacava que o caminho para resolver problemas era baseado em uma série de perguntas lógicas encadeadas. Descartes, mais tarde, argumentou a respeito da importância do raciocínio e o apoio no estudo das ciências para justificar as respostas. Dizia este último: “só se pode aceitar o que se pode ver ou deduzir com clareza”. Quando se trata de aprendizagem matemática, pode se dizer que os problemas exercem um papel fundamental neste processo, pois fazem com que o aluno se coloque diante deles com um questionamento que o obriga a pensar por meios próprios de que forma resolveria o problema. Sendo assim, o uso sistemático de fórmulas prontas e acabadas pode dar lugar a um raciocínio sofisticado, não necessariamente pela complexidade de como se propõe a resolver determinado problema, mas sim pela concepção da valorização da participação do aluno na discussão da busca de uma solução. 1.3 O papel do aluno na resolução de problemas Espera-se que o aluno tenha uma postura pró-ativa perante um problema, afinal de contas ele é o ator principal deste processo educacional. A dedicação em tentar responder os problemas deverá contribuir para que o aluno elabore suas próprias conjecturas, entenda conceitos, procedimentos, domine um linguajar matemático e crie desenvoltura para discutir o desenvolvimento de questões que por vezes trilham os caminhos da abstração. O aluno participativo em seu processo de ensino-aprendizagem terá um maior desenvolvimento de pensamentos conectivos e treinará a constante prática da transposição de conhecimentos para novas aplicações. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam que o aluno deve ser conduzido a auto-questionar suas próprias respostas e a ser co-responsável pelo seu próprio aprendizado. Neste sentido os alunos devem corroborar para que o ambiente de estudo permita o desenvolvimento da competência leitora, interpretativa e de produção de textos. Estas posturas ajudarão não somente ao próprio aluno, mas também os seus companheiros de sala, 14
  16. 16. que encontrarão condições favoráveis para a prática de estudos e, por conseguinte, da resolução de problemas. 1.4 O papel do professor na resolução de problemas O professor deve estabelecer a ponte de ligação que une a teoria e a prática, deixar claro os objetivos de cada problema e, sempre que possível construir conjuntamente com os alunos as novas propostas de problemas para que, deste modo, o estudo seja mais atrativo. O professor é o responsável pela intencionalidade do estudo, uma vez que suas propostas devem conduzir o aluno à importância do estudo. De um modo geral, a participação do professor no processo de resolução de problemas é de suma importância e a ele cabe o papel de estimular, mediar e instigar a curiosidade do aluno. O professor deve auxiliar, nem de mais nem de menos, mas de tal modo que ao estudante caiba uma parcela razoável do trabalho. George Polya O professor pode e deve inserir em sua programação de aulas curiosidades matemáticas, breve discussões acerca da história da matemática e de seus construtores, etc., pois ao estimular a leitura e a compreensão de textos relacionados a disciplina, o aluno tende a apresentar uma maior familiarização e capacidade de resolver problemas. O ideal é que situações-problema possam ser propostas com uma maior freqüência na escola. Apesar de ser mais trabalhoso para todos os envolvidos, o aumento de interação entre professor-aluno-escola permite um estudo mais prazeroso, uma estruturação do aprendizado e o colaborativismo entre todos. Finalmente, os erros dos alunos devem ser respeitados, conforme nos diz o dito popular “é errando que se aprende. Assim, o aluno deve ser incentivado a compreender a sua falha, para que posteriormente não volte a cometer os mesmos erros novamente. Jamais o professor deve exaltar somente o erro, sob pena de criar um sentimento de repulsa à disciplina e a si próprio. A tentativa de acerto deve ser parabenizada pelo esforço de buscar uma solução para o problema. 15
  17. 17. 1.5 Lenda ou verdade? O que importa é a lição a ser aprendida de como pode ser respondido um problema. Um sábio de nome Arquimedes certa vez teria recebido a incumbência de descobrir se o ourives contratado pelo rei não roubaria parte do ouro que havia lhe sido entregue para confeccionar uma coroa. A desconfiança era de que o ourives poderia substituir parte do ouro por prata, ficando, assim, com parte da preciosa carga. Um belo dia, enquanto estava envolto em seus pensamentos de como conseguiria inocentar ou culpar o ourives, Arquimedes mergulhou em uma tina de água para se banhar e daí percebeu algo que lhe despertou os mais profundos sentimentos de satisfação: descobrira como elucidar o desafio. Tamanha teria sido sua alegria que dizem que Arquimedes teria saído correndo nú pelas ruas gritando “Eureka! Eureka!”, que dizer “Descobri! Descobri”. Lenda ou verdade, não se sabe ao certo, mas é fato que a demonstração da solução do problema é perfeitamente aceitável por todos nós, sendo a seguinte: no dia da prova, Arquimedes teria pegado um vasilhame com água e inserido uma porção de ouro com o mesmo peso da coroa que o rei estaria por receber e anotado o volume de água que teria sido deslocado. Quando o ourives entregou a coroa ao rei, o mesmo procedimento fora repetido. Notou-se, contudo, que o deslocamento da água não era o mesmo. A densidade do ouro é maior do que o da prata, razão pela qual o ouro deve ocupar um volume menor que o da prata. Assim, pela leitura diferenciada dos deslocamentos de água, Arquimedes comprovou que o ourives tentara roubar o rei. Este é um método de resolução de problemas conhecido como heurística, cuja etimologia é a mesma da palavra “eureka”. Enquanto vivo, George Polya foi o principal difusor deste método de resolução de problemas de sua época. 1.6 As quatro fases da resolução de um problema Em sua obra, Polya sugere ao professor atuante como mediador do processo de construção do conhecimento do aluno que inicie seu trabalho indagando-o acerca de questões aparentemente generalizadas a respeito de algum problema matemático, mas que na realidade façam parte de um mais elaborado, que visa instigar o aluno a conhecer situações que envolvam aquele. Os alunos ao responderem os questionamentos do professor buscam em suas memórias conhecimentos prévios que potencialmente poderá auxiliá-los na resolução da situação-problema descrita pelo professor. Quando um primeiro aluno expõe a sua ideia de 16
  18. 18. como resolver tal situação, ele inicia um processo natural de debates de aceitação ou contestação de idéias, as quais acabam sendo ratificadas por seus colegas de classe ou são derrubadas após alguns contra-argumentos que mostram a inviabilidade de se seguir por dado caminho. Ao final desta etapa tem-se um plano concebido para a resolução do problema, que deverá ser executado. Os resultados obtidos deverão então ser analisados e todo o problema repensado, buscando-se uma simplificação para o mesmo ou outras aplicações para o raciocínio desenvolvido para a sua resolução. Questionamentos por parte do professor podem e devem ser feitos tantas vezes quanto forem necessários, de modo a ajudar o aluno a desenvolver independentemente seu raciocínio. Mesmo sofrendo o direcionamento de orientação do professor, o aluno deve ser conduzido de maneira a sempre acreditar no seu potencial. Eventualmente, nas situações em que os questionamentos não despertem recordações que culminem em idéias ou planos de ação, o próprio professor poderá sugerir caminhos que levem a resolução do problema, desde que deixando ao aluno o trabalho de buscar aquela informação ou resultado que trará a maior contribuição para a sua resolução. A arte de resolver um problema consiste em encarar um desafio e em realizar descobertas, afinal uma mesma situação-problema pode ser solucionada de mais de uma forma (POLYA, 1995). O autor enumera quatro fases a serem seguidas na busca de uma resolução para um problema de matemática. São elas: da resolução: • Compreensão do problema: como não poderia deixar de ser, este é o pontapé inicial para se resolver qualquer problema que se tenha em mãos. O aluno deve inicialmente interpretar a situação-problema. Após uma leitura atenta, questões devem ser formuladas e respondidas, tais como: Quais dados estão sendo fornecidos? Eles são o bastante para se encontrar a solução do problema? Existem valores não explícitos que devam ser determinados? Quais são as relações matemáticas que se estabelecem entre os valores fornecidos pelos dados? Existe alguma informação a ser extraída de gráficos ou das ilustrações apresentadas? É possível construirmos uma tabela que nos auxilie? É possível elaborar um diagrama que evidencie a situação descrita no problema? Esta situação fica mais fácil de ser compreendida se um gráfico com os valores elencados for construído? E, logicamente, a pergunta mais fundamental dentre todas: O que exatamente o problema quer que seja determinado? De outro modo: Qual é a incógnita do problema? 17
  19. 19. • Estabelecimento de um plano de ação: o aluno deve traçar estratégias que possam colaborar para que ele consiga realizar ou determinar o que se pede. Nesta fase é importante que ele busque em suas recordações conceitos e situações anteriores que estabeleçam uma ponte de ligação entre os conteúdos estudados e o que agora se deseja resolver. Se anteriormente fora percebido que gráficos, tabelas, esquemas ou diagramas favoreceriam a resolução, este é o momento para empregá-los ou para terminar de elaborá-los. Por vezes, problemas mais complexos exigem a sua resolução por partes. • Execução do plano: Uma vez estabelecidas estratégias para a resolução do problema, estas devem ser colocadas em prática. A execução deve ser levada a cabo nos moldes estabelecidos no plano de ação. Excepcionalmente, algumas adaptações justificáveis podem ser postas em prática, como por exemplo, o aluno poderia ter programado a medição de uma sombra de um objeto e no dia da prática as condições climáticas impediram o aparecimento do Sol. Neste caso, se for possível, podemos impor ao objeto uma luz artificial e dar prosseguimento ao estudo. • Retrospectiva do processo desenvolvido: é o momento de revisar se o que fora solicitado inicialmente foi atendido, buscando-se por falhas que possam ter ocorrido e comprometido o resultado final. É também o momento oportuno para se localizar uma outra aplicação para o método de resolução desenvolvido. Algumas questões pertinentes a esta etapa são: O plano foi adequado? Houve falhas na execução? Os cálculos estavam corretos? Enfim, a solução apresentada estava correta? Conseguimos visualizar outras maneiras de resolver o problema? Será que podemos usar a técnica ou procedimento proposto para resolver outros problemas? Reflexões como estas ajudarão o aluno a edificar os seus conhecimentos. Elaboraremos alguns planos de aula no capítulo seguinte sob o ponto de vista da metodologia de Polya aqui apresentada, a partir dos quais colheremos resultados que serão posteriormente discutidos. 18
  20. 20. 2 POR QUE MEDIR ALTURAS? Não é possível afirmar com precisão, mas com certeza a medida de alturas deve ser uma das necessidades humanas mais antigas que existe para subsidiar a tomada de decisões que resolvam problemas do cotidiano, afinal é necessário saber, por exemplo, a altura de uma construção para saber se, com uma dada escada, poderemos subir ao seu topo. Outro exemplo: conhecer a altura (que aqui podemos também chamar de profundidade) entre o espelho d’água de um poço e a superfície em que se encontra este poço em um sítio também é uma informação básica para escolha da corda que permitirá alçar um balde cheio d’água. Ainda: a altura em que se encontram os frutos em uma árvore é relevante na escolha de uma vara que permita derrubá-los do pé e colhê-los sem ter que propriamente escalar a árvore. 2.1 Contextualização histórica da determinação de alturas Tales viveu na cidade grega de Mileto por volta de 600 a. C., tendo sido um bem sucedido mercador que dizem ter usufruído parte de sua riqueza estudando e buscando contato com inúmeros outros povos. Dizem que em uma de suas viagens ao Egito, Tales teria sido desafiado a conseguir determinar a altura da pirâmide de Quéops.1 Tales teria conseguido determinar a altura da pirâmide medindo as sombras da pirâmide e do bastão num mesmo instante. A ele é atribuído uma das aplicações mais famosas do estudo de razão e proporção, o conhecido teorema de Tales. Tales teria feito esta observação simples e ao mesmo tempo geniosa, ao notar que a razão entre a altura medida de um objeto e o 1 A pirâmide de Quéops foi construída no séc. XXVI a.C. para servir de tumba ao faraó de mesmo nome. Apresentava originalmente 146,60 metros de altura, mas atualmente apresenta pouco mais de 138 metros, pois o tempo tratou de lhe podar parte da cobertura de seu topo. 19
  21. 21. respectivo comprimento de sua sombra resultava sempre no mesmo valor que obteria se calculasse a razão da altura de qualquer outro objeto e sua correspondente sombra no mesmo instante da medição. Tal proeza teria feito inclusive com que Tales recebesse o prestígio do faraó Amásis. Esquematicamente podemos representar o raciocínio de Tales na figura abaixo. Figura 1: Esquema de Tales para a determinação da altura da pirâmide de Quéops. Notamos nesta figura os triângulos semelhantes VHB e ABC. Como os lados desses triângulos são proporcionais, Tales pôde determinar a altura VH da pirâmide através da proporção: VH está para AB, assim como HB está para BC. O teorema de Tales é ainda hoje muito empregado no ambiente escolar como regra simples para a resolução de problemas pela igualdade de duas razões. No Ensino Superior, é bastante utilizado em áreas de Engenharia, dentre outras. 2.2 Proposta de estudo: determinação da altura de corpos Como argumentamos anteriormente, a determinação da altura de corpos ainda se encontra intimamente presente nas atividades do homem contemporâneo. Diferentemente deles, entretanto, não dispomos de instrumentos de precisão equipados com miras laser, leituras 20
  22. 22. eletrônicas e processadores de última geração. A questão que surge é então: como poderemos fazer para determinar as alturas de corpos que estejam presentes no nosso dia-a-dia? Por exemplo, para pintar a lateral de um prédio podemos alugar um andaime para atingir as partes mais altas com segurança, mas como poderíamos determinar a altura desta parede, estimando em seguida a quantidade necessária de tinta para pintá-la? Figura 2: Para quê determinar alturas? Segundo Polya (1975, p.3), “o professor que deseja desenvolver nos alunos o espírito solucionador e a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e de praticar.” Sendo assim, propomos então a execução prática da aplicação do teorema de Tales para determinar a altura estimada de objetos que partirão inicialmente do porte aproximado de um homem adulto até objetos de alturas inatingíveis, quando desconsiderados o uso de equipamentos especiais. Em um primeiro momento, apresentamos propostas para a estimação de tais alturas com relativa precisão, mesmo a partir de instrumentos não padronizados para medidas, como lápis, estojos ou qualquer outro objeto disponível que permita a comparação e a mensuração da altura. Em uma segunda atividade, utilizamos o tradicional transferidor de uso escolar em substituição ao sofisticado teodolito empregado pelos topógrafos para medir a altura dos objetos mais altos. 21
  23. 23. 2.3 PLANOS DE AULA 2.3.1 Primeiro plano de aula CONTEÚDO: Determinação de alturas por intermédio de medições não padronizadas. PÚBLICO ALVO: Alunos da 8ª série (9º Ano) do Ensino Fundamental. JUSTIFICATIVA: Muitas vezes nos vemos obrigados a estimar alturas de objetos, mas não dispomos no momento de quaisquer instrumentos padronizados, tais como réguas, trenas ou fitas métricas, para efetuar a medição. Aqui discutimos uma maneira de como contornar esta situação. OBJETIVOS GERAIS: Esta tarefa tem por objetivo instrumentar o aluno na sua capacidade de fazer determinações aproximadas de altura de corpos ou distâncias por meio do uso de outros objetos cujo tamanho é conhecido ou de comprimento estimado, porém com baixa margem de erro. Esta competência tem grande relevância tanto para o entendimento de conteúdos escolares bem como também para a própria vivência de mundo do aluno. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Contribuir para que o aluno perceba a existência de uma margem de erro na determinação de medidas. METODOLOGIA: O aluno fará estudos por meio de atividades práticas e orientadas pelo professor. O professor apresentará aos alunos objetos que terão que ter as suas alturas estimadas em sala de aula. O aluno anotará os dados levantados em quadros que posteriormente poderão ser analisados em busca de conclusões. O aluno será instruído a desenvolver a atividade seguindo as quatro etapas de resolução de problemas proposto por Polya. O aluno primeiramente deverá perceber que o que se quer é conseguir mensurar alturas de objetos usando outros corpos como referência. Em certo momento, alguns objetos serão impostos para uso na medição a ser efetuada, e em outro, o aluno terá a liberdade para escolher outros objetos que lhe pareçam mais adequados ou mais acessíveis como parâmetros de comparação. 22
  24. 24. Durante o estabelecimento de ação, como o trabalho será feito em grupo, estratégias e distribuição de tarefas terão de ser pensadas e atribuídas de forma que todos os componentes do grupo possam ser colaboradores. As limitações pessoais de cada um devem ser respeitadas. Idéias e opiniões devem ser consideradas e debatidas para se chegar a um consenso geral de como melhor executar a tarefa. Já na execução do plano, uma vez a distribuição de afazeres, é hora de por em prática as estratégias desenvolvidas. Impedimentos ou percalços são comuns nesta etapa e devem fazer com que o grupo debata meios de contorná-los. Por fim, durante a retrospectiva da resolução, uma revisão dos procedimentos atitudinais, anotações e cálculos deve ser feita. Se for do consenso do grupo, os resultados poderão ser transcritos para uma folha de dados e posteriormente apresentados ao professor e demais colegas de classe, socializando e ampliando o conhecimento desta forma. Estimativa de tempo necessário para a realização da atividade: uma aula dupla. MATERIAIS DE APOIO: Troféu, esqueleto do laboratório de ciências, fita métrica, lápis, estojos e outros materiais que estejam à mão. Ficha a ser preenchida pelos alunos. AVALIAÇÃO: Perceber se os alunos se interessaram em realizar as tarefas, se conseguiram superar as dificuldades iniciais, se houve a ajuda dos companheiros de grupo e se demonstraram terem ganhado novos conhecimentos. MODELO DE FICHA A SER PROPOSTA PARA OS ALUNOS Esta ficha deve ser utilizada da seguinte forma: primeiramente são fornecidos objetos variados no nosso caso, a “Josefina” – uma maquete de esqueleto para uso nas aulas de Ciências–, o troféu da Olimpíada Municipal de Esportes conquistada pela escola, a altura da porta da sala de aula e a parte superior da lousa da sala e, em seguida, são efetuadas medições dos objetos selecionados em unidades de instrumentos variados não padronizados, tais como: unidades de um lápis, unidades da palma de uma mão, unidades de um estojo escolar e outras propostas mais que possam ser dadas pelos próprios alunos (pelo menos cinco delas). Anotar em uma tabela o objeto de comparação e quantas unidades deste instrumento foram medidas. É proibido o uso de instrumentos com graduação direta, como fitas métricas e réguas. 23
  25. 25. Objeto Unidades de um lápis Unidades da palma de uma mão Unidades de um estojo Unidades de __________ Unidades de __________ “Josefina” Troféu Altura da porta Altura da lousa Determinar o comprimento do instrumento de medida utilizado com uma régua graduada ou fita métrica, convertendo em seguida o objeto medido para centímetros. Comprimento do lápis (cm) Comprimento da palma de uma mão (cm) Comprimento do estojo (cm) Comprimento do ____ (cm) Comprimento do ______ (cm) Explicar com suas palavras o porquê das diferenças entre as variações percebidas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 24
  26. 26. Fazer uma medição dos objetos com um instrumento padronizado (régua, fita métrica ou trena) e anotar a diferença entre as medidas obtidas pelo instrumento padronizado e pelo alternativo. Objeto e sua medida conferida pelo instrumento padronizado Diferença percebida pelo uso das unidades de um lápis Diferença percebida pelo uso das unidades da palma de uma mão Diferença percebida pelo uso das unidades de um estojo Diferença percebida pelo uso das unidades de ___________ Diferença percebida pelo uso das unidades de ___________ “Josefina” (___cm) Troféu (___cm) Altura da porta (___cm) Altura da lousa (___cm) Exercício extra: converter a medida obtida por intermédio do instrumento padronizado para outras medidas padronizadas importantes, como o metro, o quilômetro e o milímetro. Objeto Medida em centímetros Convertido para metro Convertido para quilômetro Convertido para milímetro “Josefina” Troféu Altura da porta Altura da lousa Discuta com o grupo e responda a questão: Vocês acharam este estudo importante? Por quê? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 25
  27. 27. BIBLIOGRAFIA: POLYA, George. A Arte de Resolver Problemas. Trad. Heitor Lisboa de Araújo – 2ª. reimp. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1995. 196p. Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/~michel/inicmat2010/livros/polya.pdf Acessado em 16 JUL 2012 15:20 2.3.2 Segundo plano de aula CONTEÚDO: Determinação de alturas por intermédio de semelhança de triângulos. PÚBLICO ALVO: Alunos da 8ª série (9º Ano) do Ensino Fundamental. JUSTIFICATIVA: Muitas vezes nos vemos obrigados a estimar alturas de objetos cuja altura elevada ou proporções irregulares dificultam tal aferição por meio do uso simples e direto de ferramentas padronizadas, como réguas, trenas ou fitas métricas. Aqui discutimos uma maneira de como contornar esta situação. OBJETIVOS GERAIS: Esta tarefa tem por objetivo instrumentar o aluno na sua capacidade de determinar alturas de corpos ou distâncias por meio do uso da propriedade de proporcionalidade existente nos triângulos retângulos semelhantes. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Espera-se desenvolver a habilidade de utilizar o transferidor, medir distâncias com o uso de uma trena ou instrumento similar, determinar, experimentalmente, a tangente de um ângulo e utilizar a tangente para determinar uma altura inacessível. METODOLOGIA: O aluno fará estudos por meio de atividades práticas e teóricas, tendo o professor como um colaborador que exercerá a função de orientador da aprendizagem. O professor, em comum acordo com os seus alunos, selecionará corpos cujas alturas terão de ser estimadas. O aluno será informado do contexto histórico no qual se contempla o uso prático de conhecimentos prévios que permitem a resolução do problema. A menção à história da matemática assume aqui a função de motivar o aluno, mostrando-lhe a importância e a funcionalidade do domínio do conhecimento a ser trabalhado. 26
  28. 28. Uma revisão de semelhança de triângulos retângulos e a determinação do cateto oposto a um ângulo a partir da fórmula da tangente também será apresentada ao aluno. Segundo as quatro etapas de resolução de problemas proposto por Polya, instruí-se primeiramente o aluno a: Compreender o problema, determinando as alturas de objetos cuja própria altura muitas vezes é o maior empecilho que dificulta o cumprimento da tarefa. O aluno tem a liberdade de fazer uso de instrumentos a ele fornecidos ou mesmo de improvisar o uso de outras ferramentas que viabilizem seus procedimentos. Em seguida um plano de ação deve ser estabelecido, que inclua, dentre outras coisas, a elaboração de estratégias e a distribuição de tarefas entre os membros de um mesmo grupo de alunos. Impedimentos ou percalços podem ocorrer durante a execução do plano determinado, requerendo uma rápida reunião com o objetivo de replanejar as estratégias anteriormente discutidas. Por fim, as anotações e os cálculos feitos até aqui devem ser revistos, sendo necessário reobtê-los na presença de erros graves. As conclusões individuais deverão ser socializadas. Estimativa de tempo necessário para a realização da atividade: uma aula dupla. MATERIAIS DE APOIO: Fita métrica, trena, barbante, transferidor de ângulos, tabela trigonométrica e calculadora (se necessário). Vídeo no You Tube: http://www.youtube.com/watch?v=cWkU6fGoYA8&feature=related AVALIAÇÃO: Perceber se os alunos se interessaram em realizar as tarefas, se conseguiram superar as dificuldades iniciais, se houve a ajuda dos companheiros de grupo e se apresentaram ganho de novos conhecimentos. MODELO DE FICHA A SER PROPOSTA PARA OS ALUNOS Efetuar as medições planejadas dos objetos selecionados pelo professor e pelos alunos. Lembre-se que objetos dispostos perpendicularmente em relação a um plano podem ser representados como uma construção triangular onde a altura e a projeção da sombra assumem a função de dois dos lados destes triângulos. Estes triângulos são semelhantes e, portanto apresentam ângulos iguais e lados homólogos proporcionais. A relação métrica de semelhança 27
  29. 29. é a razão proporcional apresentada pelos lados homólogos. Discuta com seus colegas de grupo como a relação de semelhança poderá lhe ajudar a determinar a altura inacessível desconhecida. Objeto a ter sua altura determinada Sombra do objeto (cm) Sombra da régua de 102 cm do professor (cm) Relação métrica de semelhança Medida estimada da altura do objeto (cm) Conversão para metros (m) Efetuar as medições planejadas dos objetos selecionados. Já vimos em aulas anteriores que o cálculo da tangente é determinada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Estudamos também, que em uma situação real, objetos de alturas diferentes uns dos outros apresentam a mesma leitura de inclinação se entre eles adotarmos uma seqüência de afastamento proporcional entre a sua base e o ponto de observação, conforme ilustra a figura a seguir: Figura 3: Inclinação proporcional e diferença de visada. 28
  30. 30. A altura a ser somada, refere-se a diferença entre o solo e o olho do observador. Procure discuta com os seus colegas uma maneira de estimar as alturas inacessíveis. Objeto a ter sua altura determinadas Graus de inclinação verificada no teodolito (cm) Distância do teodolito até o objeto Diferença de altura a ser somada Medida estimada da altura do objeto (cm) Conversão para metros (m) Explicar com suas palavras o porquê das diferenças entre as variações percebidas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Discuta com o grupo e responda a questão: Vocês acharam este estudo importante? Por quê? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 29
  31. 31. Figura 4: Tabela trigonométrica BIBLIOGRAFIA: POLYA, George. A Arte de Resolver Problemas. Trad. Heitor Lisboa de Araújo – 2ª. reimp. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1995. 196p. Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/~michel/inicmat2010/livros/polya.pdf Acessado em 16 JUL 2012 15:20. 30
  32. 32. 3 3.1 Mãos a obra Formação dos grupos de trabalho A primeira decisão a ser tomada diz respeito a montagem dos grupos de trabalho. Naturalmente, em todo grupo de pessoas encontra-se indivíduos com maior aptidão para executar determinadas tarefas. Isto precisa ser levado em conta durante a formação dos grupos de trabalho, pois, se a formação ficar única e exclusivamente a critério dos próprios alunos, estes normalmente farão a composição com os indivíduos mais “chegados” a eles, o que não raramente instauraria um grupo de “elite” formado pelos alunos que mais se sobressaem em sala de aula, situação na qual aqueles alunos com maiores dificuldades de interrelacionamento ou mesmo excluídos pelas dificuldades de aprendizado. Cabe então a primeira intervenção do professor como mediador: ele deve discutir com os alunos uma forma de composição de grupos de trabalho que respeite a personalidade de todos, mas que contemple a formação de grupos heterogêneos. 3.1.1 Transcrição da mediação para a formação de grupos de trabalho Professor: Pessoal, vamos dar início a formação dos grupos de trabalho. Não quero impor a formação fechada dos grupos, mas também não acho justo não intervir e deixar formar apenas um ou dois grupos que trabalharão e o restante ficará sem fazer nada. Em qualquer ambiente de trabalho o indivíduo deve se adaptar ao grupo no qual ele foi inserido e deve esforçar-se para colaborar para que o resultado almejado seja alcançado. Assim é natural ter a companhia de alguns colegas com maior ou menor capacidade de resolver determinados desafios. Na vida podemos estar, até mesmo por uma questão de destino, em um grupo tecnicamente muito forte, muito fraco ou heterogêneo. Para evitar a formação de “panelinhas” ou a exclusão de alguns alunos vocês me ajudarão na montagem dos grupos, certo? Alunos: Certo! Professor: Vejamos inicialmente quantos alunos freqüentes possuímos nesta turma? 31
  33. 33. Professor: Grupos de quatro? Ok. Então, no caso, podemos montar três grupos de quatro pessoas e dois grupos de cinco pessoas. O que acham? Vou montar a tabela dos grupos na lousa. Escolham dois grupos para terem cinco pessoas. Alunos: Pode ser o Grupo 2 e o Grupo 4 (os que se manifestaram concordaram). Thais: Mas professor, nem todo mundo ajuda... Professor: Em um grupo vocês podem distribuir tarefas entre os membros de acordo com o que cada um pode colaborar e consegue ajudar. Por exemplo: o que impede alguém de segurar a trena numa extremidade? Qualquer um pode ajudar a fazer o que for mais simples para não sobrecarregar um único colega. O colega que tiver mais facilidade e que não estará tão atarefado, se tiver facilidade com os cálculos, pode ir adiantando o serviço. É claro que todos no grupo devem aprender. Então aqueles que realizarem os cálculos antes dos demais devem apresentar para o resto do grupo para ver se todos concordam. Certo? Alunos: “Tá” certo! Professor: Vejamos então, para evitar a formação de um grupo muito forte e que alguns alunos fiquem sem grupo, vamos estabelecer uma regra. Que tal se eu sortear ao acaso cinco ou dez alunos e estes forem distribuídos em diferentes grupos para que todos tenham a possibilidade de trabalhar com outras pessoas? Janaina: Como assim? Professor: Se eu sortear cinco alunos, cada um entra em um dos cinco grupos. Se for para eu sortear dez cada grupo irá receber dois destes alunos e só depois completamos o grupo. Vocês devem me ajudar a determinar um critério de escolha. O que vocês acham? Marcela: Vamos votar. Os que querem que o professor sorteie cinco, levantem a mão e os que quiserem que os professor sorteie dez, dois para cada grupo, fique com as mãos abaixadas. OK? Os alunos concordaram e votaram. Marcela: 14 a 7! O professor sorteia cinco alunos, um pra cada grupo. Certo? Todos concordaram e um sorteio aleatório usando a lista de chamada foi realizado. Professor: OK pessoal. E agora como vocês acham justo distribuir os demais? Os alunos realizam uma breve discussão. 32
  34. 34. Cristopher: O primeiro que já está no grupo escolhe mais um membro e passa a vez “pro” outro colega de outro grupo e assim até que toda a turma esteja dentro de um grupo. Que nem as vezes é feito a escolha de times pra jogar futebol na quadra. Professor: Eu acho justo! Todos concordam? Alunos: Sim! Assim, em conjunto com todos os alunos, as regras de formação dos grupos foram estabelecidas sem imposições e todos se mostraram satisfeitos com as formações. O quadro a seguir apresenta os grupos formados. Grupo 1 Cristopher Marcela Marcos Lucas Lima Grupo 2 Janaina Ana Wellington N. Wellington M. Grupo 3 Thais Elisara Denise Alana Grupo 4 Daniele Larissa Suellen Lima Marielli Grupo 5 Lucas Nunes Anthony Igor Gilson. 3.1.2 Cristiano Karina Fornecimento de instrumentos de manipulação e anotação Os materiais fornecidos foram os seguintes: estojo, régua de madeira (do professor), Transferidor de madeira (do professor), fio de barbante, duas trenas de 3 m, calculadora, fita de costura, lápis, fichas de anotações e tabelas trigonométricas. Figura 5: Instrumentos de trabalho e fichas de anotação. 33
  35. 35. 3.1.3 Transcrição de parte da mediação buscando o nivelamento de conhecimentos prévios Professor: Qual o nome destes objetos? Alunos: Régua, estojo, lápis, barbante (alguns falaram corda), fita de medir (alguns disseram trena), transferidor, uma calculadora. (Observação: a maioria não sabia ou dizia não se lembrar do nome da trena e do transferidor). Professor: Como se chama a medida de leitura das aberturas chamadas de ângulos? Anthony: Grau. Professor: Quantos graus têm uma volta completa? Alunos: 360º. Professor: E meia-volta? Daniele: 180º. Professor: Como é chamada a medida que possui exatamente 90º? Alunos: Ângulo reto. Professor: Como nós representamos um ângulo reto numa construção? Alunos: (Silêncio). Professor: Nós representamos o ângulo de 90º com a simbologia de um quadrado com um ponto central. (Exemplos foram apresentados na lousa). Professor: Possuímos somente duas trenas de três metros de comprimento cada. Como poderemos medir distâncias ou objetos maiores do que o comprimento máximo da trena? Ana: Podemos usar o barbante. Medimos o objeto ou a altura como sendo de certo tamanho e depois medimos o comprimento somando trechos deste barbante. Professor: Se só possuímos um pedaço de barbante, que também não é lá muito comprido, o que fazer se formos medir uma distância maior do que ele? Alana: Esticamos uma vez o barbante e se a distância for maior do que ele nós marcamos a localização de uma extremidade no chão mesmo e colocando uma ponta do barbante nesta 34
  36. 36. marcação esticamos o barbante novamente e assim tomamos quantas medidas de barbante forem necessárias. Professor: Se eu tiver uma distância de sete metros e um barbante de apenas três metros como ficaria para obter esta distância de sete metros considerando, é claro, que, a princípio, eu não saberia que a distância era esta? Daniele: Você mediria com o barbante duas vezes o seu comprimento, aí saberia de teria 2 x 3 m = 6 m Mais uma medida e você notaria que teria que medir mais um trecho de aproximadamente um terço do barbante, o que daria mais um metro. Assim concluiríamos que o objeto medido teria aproximadamente sete metros. Professor: Como fazemos para medir um ângulo usando o transferidor de madeira? Daniele: Fixamos o centro do transferidor no vértice do ângulo a ser medido, fixamos uma das semi-retas alinhadas com o eixo horizontal e medimos diretamente o ângulo na escala. Professor: Qual ou quais [são] as medidas de leitura de comprimento que podemos ver nesta régua de madeira do professor? Alunos: Centímetro. Apenas um aluno mais atento complementou a informação e comentou que 100 centímetros equivalem a 1 metro. Professor: E como é chamada a medida de distância representada por estes marcas de pequena distância existentes entre uma medida de centímetro e outra? Alunos: (Silêncio). Professor: Milímetro! Thais: Nossa, é mesmo! Eu tinha me esquecido disto. Professor: Se entre uma numeração e outra eu possuo 1 cm, então quanto vale uma marca localizada bem no meio desta leitura? Professor: Vocês se lembram como converter certa medida de comprimento para outra equivalente? Elisara: Multiplicamos por 10. Professor: Multiplicamos por 10 quando queremos converter uma medida de comprimento em sua equivalente menor, mas se queremos convertê-la para uma maior 35
  37. 37. devemos dividi-la. Vamos representar na lousa. (Algumas conversões são feitas na lousa pelo professor com exemplo). Essa intermediação se prolongou antes, durante e depois das aplicações, sendo as demais omitidas aqui por simplicidade. 3.2 Compreendendo o problema – parte I Os grupos deram início aos trabalhos seguindo as etapas da metodologia de resolução de problemas proposta por Polya. As atividades práticas foram deixadas para a próxima aula, que ocorreria dali a dois dias, deixando para o restante desta primeira aula a execução das duas primeiras fases de Polya. Uma reunião para análise e discussão das tarefas solicitadas teve início. Procuraram compreender o problema e analisaram o que se pedia. Nenhuma dúvida saiu dos grupos de discussão para buscar maiores esclarecimentos pelo professor. 3.3 Estabelecendo um plano de ação – parte I Notou-se que em todos os cinco grupos havia a presença de pelo menos alguém que se destacava pela postura e liderança. Discussões foram travadas tanto entre os integrantes de um mesmo grupo, quanto com os integrantes dos demais grupos. Na reunião foram estabelecidas que todos os membros do grupo deveriam apresentar o que o professor havia chamado de postura pró-ativa, ou seja, que todos deveriam participar ativamente do exercício proposto e não se omitirem ou ficarem passivos. Na reunião, percebeu-se que os alunos trataram mais de questões relacionadas ao comportamento social deles na aplicação e não perceberam que não haviam ainda estabelecido de fato um plano de ação realmente voltado para a resolução do problema. Logo no início, como era de se esperar, alguns alunos começaram a sugerir respostas onde se notou uma tentativa de acerto por intermédio do chamado “chute”. O professor interveio questionando os alunos de que forma eles poderiam conferir as suas respostas, citou, como exemplo, que o enunciado do segundo plano de aula buscava a determinação de alturas inacessíveis e que, portanto em nenhum momento seria possível, por exemplo, esticar uma trena da base até o seu topo para conferir a resposta dada. Após um breve momento de reflexão, alguns dos alunos alegaram que a proposta como havia sido feita impedia a 36
  38. 38. correção. O professor esclareceu que propositadamente o enunciado fora criado justamente com esta finalidade. Uma tentativa baseada pura e simplesmente no “chute” não teria como ser considerada. Assim, a atividade requeria que a resposta viesse acompanhada de uma justificativa para ser validada e aceita como provável e satisfatória. Isto significa que os alunos poderiam utilizar raciocínios diferentes uns dos outros e que, salvo discrepâncias evidentes de proposições falsas, não haveriam respostas consideradas erradas, bem como as respostas tidas como possivelmente corretas não deixariam de estar suscetíveis de em algum momento ter a sua veracidade questionada por futuras argüições matematicamente plausíveis. 3.4 Compreendendo o problema – parte II Esclarecida a questão de que as respostas não poderiam ser dadas “na base do chute”, os alunos retornaram à primeira fase proposta por Polya – compreender o problema. A falha na primeira tentativa de solucionar as atividades pelo “chute” evidenciou para todos os alunos a importância de que o primeiro passo a ser dado para a resolução de um problema é a compreensão do que está sendo pedido. A busca de uma melhor compreensão do problema conduziu os alunos a apresentarem uma série de questões que deveriam ser respondidas por eles mesmos: “-o que o problema deseja saber?”; “-será que o problema possui uma única solução?”; “-como poderemos encontrar a resposta?”; “-quais dados já estão nos sendo fornecidos?” e “-o que é que existe presente no problema que já foi estudado por nós?” Estas e muitas outras questões emergiram e levaram os alunos a debates favorecendo a compreensão do que se queria: determinar alturas de corpos por intermédio de objetos não padronizados de medida e estimar a altura inacessível de corpos. 37
  39. 39. 3.5 Estabelecendo um plano de ação – parte II Um dos alunos havia se lembrado de já ter estudado uma atividade similar à proposta do primeiro plano de aula. O professor confirmou que sim, realmente alguns deles já haviam trabalhado com ele (professor) os conteúdos cobrados no primeiro plano de aula. O professor recordou que a rede municipal de educação em parceria com a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo adota os Cadernos do Programa São Paulo Faz Escola e que no caso, estes conteúdos foram trabalhados no Caderno do Aluno 5ª série / 6º ano, volume 2 nas Situações de Aprendizagem 3 e 4 e que a escola possui exemplares na biblioteca para empréstimo e estudos. O professor perguntou para aqueles que teriam sido os seus alunos na quinta série se eles se recordavam de como era feito a determinação de medidas usando o polegar, a palma da mão ou outros objetos. Um dos alunos foi logo recordando “-nós medimos quantas palmas tinha um corpo e depois medindo o tamanho de uma palma só tínhamos que multiplicar”. “-É isto!”, exclamou uma das alunas comentando que deveriam fazer o mesmo para conseguir realizar a primeira tarefa. O professor questionou se eles se recordavam o que havia ocorrido com as respostas dadas naquela época. Alguém gritou que os resultados eram diferentes uns dos outros. O professor questionou o motivo da variação. A aluna Marielli recordou que “era porque os alunos não tinham o mesmo tamanho de mão”. “-Isto mesmo!”, exclamou o professor. “-Isto quer dizer que vocês terão uma única resposta?”; perguntou o professor. “-Não!”, responderam os alunos. “-Alguém sabe me dizer como vocês pretendem encontrar a medida dos objetos da primeira ficha?”, pergunta o professor. “-Nós usaremos algum objeto, por exemplo, o apagador do senhor, e anotaremos quantas medidas do apagador tem um objeto que devemos determinar a altura, daí só temos que multiplicar o número de medidas pelo tamanho do apagador”, disse a aluna Marcela. “-Ok! Então vocês possuem uma estratégia para fazer a primeira atividade. E como fazer a segunda?”, diz o professor. Outros alunos lembraram que, ainda neste mesmo ano letivo, já haviam estudado por meio do uso do livro didático situações similares como as que estavam sendo cobradas no segundo plano de aula e que, portanto seria necessário uma revisão de estudos e que o 38
  40. 40. problema se tornaria uma atividade de aplicação prática do que eles já haviam estudado teoricamente. “-Perfeito!” Salienta o professor. “-Já que vocês perceberam que não é valido chutar uma resposta e identificaram situações anteriores de estudo que permitem realizar as tarefas vou providenciar alguns exemplares do Caderno do aluno e do livro didático que havíamos utilizado para vocês fazerem as pesquisas e recordações. Identifiquem os procedimentos e se necessário me tragam as dúvidas para que possamos juntos tentar dizimá-las”, finaliza o professor. Identificado o erro inicial da tentativa de solucionar a situação-problema pelo “chute” os alunos conseguiram novamente ajustar o seu direcionamento de ações e estabeleceram um novo plano de ação: estudar o Caderno do Aluno da 5ª série para executar o primeiro plano de aula de determinação de alturas não padronizadas e o livro didático A Conquista da Matemática do 9º ano para determinarem as alturas inacessíveis, pois reconheceram a familiaridade das atividades com os conteúdos anteriormente estudados e que serviriam para solucionar o problema. Nos estudos de revisão reconheceram que o uso da semelhança de triângulos e a determinação da tangente permitiriam estimar as alturas inacessíveis solicitadas no segundo plano de aula. 3.6 Executando o plano Para fugir da proposta tradicional de apenas medir os objetos por meio de uma fita métrica padronizada, foi acrescida a determinação da medida de um corpo a partir do uso de outros corpos não padronizados. Estes objetos tiveram o seu comprimento inicialmente medido e assim puderam ajudar a determinar a altura de outros corpos por meio de múltiplos de sua medida. Mesmo para os instrumentos indicados (lápis, estojo e palma da mão) cada grupo teve a liberdade de selecionar o seu próprio material de trabalho. Portanto, trabalho, enquanto uma equipe trabalhava com um lápis de um certo tamanho, a outra trabalhava com outro que era aproximadamente metade do colega. 39
  41. 41. Figura 6: Objeto escolhido pelos alunos para ser usado é medido. O professor teve que intervir nas primeiras aferições, pois notou que diversos alunos estavam tendo dificuldades na interpretação da determinação de medidas. Por exemplo: alguns alunos a princípio afirmavam que a altura da porta era igual a 20,5 m, o que obviamente é um absurdo para uma porta de sala de aula. O que estes alunos provavelmente estavam tentando dizer era que a porta media 205 cm, ou, equivalentemente, 2,05 m. Figura 7: Medidas são tomadas e anotadas. 40
  42. 42. Para medir o ângulo que seria utilizado na determinação de objetos de dimensões maiores, como árvores, postes, etc., os alunos que já haviam apresentados a proposta tradicional de confecção de um teodolito “caseiro”, ilustrada na figura seguinte (canto superior esquerdo). Os alunos observaram que, no caso particular do uso do transferidor de madeira do professor, não seria necessário o acoplamento de um canudo para servir de “mira”, pois o instrumento possui uma canaleta de apoio, que garante uma boa “mira”. Veja abaixo como os alunos procederam para fazer, sem este canudo, as leituras de inclinação de corpos de alturas “inacessíveis”. Figura 8: Improvisação de um teodolito. 41
  43. 43. Figura 9: Determinação de medida de ângulo com o uso do nosso “teodolito”. Figura 10: Determinações de alturas por trigonometria simples. 42
  44. 44. Evidentemente, diversos fatores, como luminosidade artificial ou natural, destreza ou habilidade no manuseio do instrumento por parte do aluno, natureza rústica ou mais elaborada do instrumento de medida, distância do objeto, condições climáticas, etc., implicam em erros maiores na estimativa das alturas dos objetos. Como o tempo para fazer as atividades externas era escasso, foi estabelecido que cada grupo devesse procurar a determinação de apenas uma ou duas das alturas inacessíveis. Existe também uma interação perceptível entre o instrumento de medição e a altura dos objetos, ou seja, o uso de um ou de outro instrumento pode corroborar para uma melhor ou pior determinação. Por exemplo, à medida que o aluno se afasta ou se aproxima de uma certa distância, o grau de dificuldade de medição aumenta. Além disso, cada aluno interage de forma diferente com determinado instrumento. Na maior parte dos casos, os alunos apresentaram respostas bastante próximas umas das outras. Figura 11: Uma determinação com complicadores. Os alunos concluíram que a medição da altura da caixa d’água da escola através do uso de semelhança de triângulos esteve comprometida, pois a construção se encontra em uma parte mais elevada no terreno, possui um muro entre sua base e o nível do pátio da escola e a sua sombra (projetada em um terreno não plano) acaba terminando no terreno vizinho à escola. Os objetos de grande altura tiveram suas medidas aferidas tanto por semelhança de triângulos quanto pela determinação do cateto oposto de um triângulo retângulo. Como as 43
  45. 45. diferenças apresentaram variações muito pequenas, os alunos concluíram que apenas a determinação por trigonometria teria sido suficiente. Figura 12: Discussões sobre os cálculos e preenchimento de fichas. As atividades desenvolvidas em grupo ajudaram na socialização dos alunos, promovendo o companheirismo entre eles. Os alunos com maiores facilidades na disciplina auxiliaram os colegas com maiores dificuldades. Figura 13: Determinação da altura de um poste por semelhança de triângulos. 44
  46. 46. 3.7 Resultados TABELA 1: Medidas em centímetros obtidas com o uso da fita métrica. Objeto Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 “Josefina” 169 167 170 168 169 Troféu 188 185 185 189 188 Porta 207 207 208 208 209 Lousa 206 206 205 205 206 Tabela 1: Medidas em centímetros obtidas com o uso da fita métrica. TABELA 2: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um lápis. Objeto Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 “Josefina” 180,0 168,0 170,0 168,0 176,0 Troféu 183,0 186,2 187,0 184,0 184,0 Porta 202,5 203,0 204,0 208,0 208,0 Lousa 202,5 203,0 204,0 208,0 208,0 Tabela 2: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um lápis. TABELA 3: Medidas em centímetros obtidas com o uso da palma da mão. Objeto Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 “Josefina” 164,0 171,0 165,0 165,0 168,5 Troféu 182,0 180,5 180,0 180,0 190,0 Porta 216,0 209,0 202,5 210,0 206,0 Lousa 200,0 209,0 202,5 210,0 206,0 Tabela 3: Medidas em centímetros obtidas com o uso da palma da mão. 45
  47. 47. TABELA 4: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um estojo. Objeto Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 “Josefina” 176,0 165,0 170,0 171,0 164,0 Troféu 187,0 184,0 180,0 190,0 184,5 Porta 209,0 206,0 210,0 209,0 205,0 Lousa 209,0 206,0 210,0 209,0 205,0 Tabela 4: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um estojo. TABELA 5: Medidas em centímetros obtidas com o uso do primeiro objeto de livre escolha. Objeto Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 “Josefina” 169 168 171 169 169 Troféu 186 185 185 189 190 Porta 210 207 209 209 209 Lousa 208 206 209 207 206 Tabela 5: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um primeiro objeto de livre escolha (OBJETO). TABELA 6: Medidas em centímetros obtidas com o uso do segundo objeto de livre escolha. Objeto Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 “Josefina” 178,0 168,0 172,0 169,0 176,0 Troféu 185,0 186,0 185,0 185,0 185,0 Porta 210, 208,0 208,0 208,0 208,0 Lousa 209,0 208,0 205,0 208,0 205,0 Tabela 6: Medidas em centímetros obtidas com o uso de um segundo objeto de livre escolha (OBJETO). 46
  48. 48. TABELA 7: Medidas em metros obtidas por meio da determinação da tangente ou pela semelhança de triângulos retângulos. Objeto de altura inacessível Grupo 1 5,68 Poste Grupo 2 5,75 Coluna de sustentação da quadra 5,18 Grupo 3 Grupo 4 5,14 Limoeiro 4,47 Casinha de brincar Grupo 5 3,49 4,30 3,54 Caixa d’água 10,65 Tabela 7: Medidas em metros obtidas por meio da determinação da tangente ou pela semelhança de triângulos retângulos. 3.7.1 Retrospectiva Ao serem recordados das atividades desenvolvidas durante a aplicação dos planos de aula descritos neste trabalho, os alunos puderam constatar o enorme potencial da matemática enquanto linguagem que descreve o universo, experimentando e compreendendo a enorme aplicabilidade mesmo de princípios matemáticos básicos. Verificou-se que as habilidades e os conhecimentos prévios, adquiridos ao longo dos anos de estudo da disciplina, colaboram para a resolução de problemas. Terminada a execução dos planos, verifica-se que os objetivos propostos foram alcançados. Durante a aplicação e análise, algumas dificuldades com cálculos surgiram, mas foram rapidamente superados pela intervenção do professor e de outros membros do grupo. As determinações de altura de um corpo ou altura inacessível quando determinadas por grupos diferentes, divergiram muito pouco, o que já era esperado. A pequena variação dos resultados ratifica a probabilidade de ambos estarem tecnicamente com valores no mínimo 47
  49. 49. satisfatórios. Denota-se que os planos adotados foram adequados para a proposta. Os alunos puderam visualizar mais de uma forma de resolução para os problemas apresentados e perceberam que poderiam transpor a mesma técnica para resolver outros problemas como, por exemplo, o alcance de uma escada magirus do corpo de bombeiros. Uma pesquisa de opinião sem identificar o informante, foi aplicada ao grupo de alunos participantes da aplicação prática e revelou que por unanimidade, todos os alunos que responderam a enquete, declararam que as tarefas “foram gostosas de fazer” especialmente porque saíram da rotina de estudos tradicionais em sala e também reconheceram que elas colaboraram muito para o entendimento dos conteúdos abordados. CONSIDERAÇÕES FINAIS Durante a aplicação dos planos de aulas sugeridos, foram detectados diversos erros pontuais, muitas vezes mesmo conceituais. Intervenções foram feitas pelo professor neste sentido, de forma a esclarecer o erro que se evidenciava e a promover os devidos acertos diante do acompanhamento de vários integrantes da classe. Considerando a tentativa e o esforço, temos que reconhecer o valor dos erros, afinal de contas somente quando erros são cometidos e o indivíduo acompanha posteriormente a correção com atenção é que ele identifica a falha e passa a caminhar com mais atenção para não mais cometê-lo. Deste ponto de vista, o erro sistemático de um indivíduo é um indício de que, na realidade, ele havia aprendido sim, mas um procedimento falso que, sempre que empregado, conduz ao erro. Como dizem: “é errando que se aprende”. O acompanhamento do professor no desenvolvimento das atividades pelos alunos permitiu que um grande número de intervenções fossem imediatamente feitas, garantindo assim um adequado direcionamento das atividades. O trabalho de resolução de problemas fica mais atraente para o aluno quando ele acredita que é o maior responsável por ter encontrado uma forma de resolvê-lo. O professor, no papel 48
  50. 50. de mediador do desenvolvimento intelectual do estudante, deve estimulá-lo por intermédio de atitudes positivas como não entregar uma fórmula pronta, esmiuçar por meio de argüições todas as facetas do problema, oportunizar o direito de expressão de idéias e raciocínio, incentivá-los a prosseguir e conferir suas conjecturas. Muitas vezes uma situação-problema pode ser resolvida de mais de uma forma. Por esta razão, cabe ao professor instigar o seu corpo discente a buscar as diversas outras soluções possíveis. Para tanto deve ele usar os conhecimentos que adquiriu ao longo de sua vida pessoal e também acadêmica. Um exercício simples é caracterizado pela aplicação direta de fórmulas e procedimentos acabados. Por sua vez, uma situação-problema caracteriza-se pela necessidade de ter que se tomar decisões, utilizar os recursos disponíveis, interagir não somente para superar os desafios do problema, mas também para apaziguar os conflitos entre as pessoas e principalmente por conduzir os alunos a serem co-responsáveis pelo crescimento de seu aprendizado. A prática aplicada neste trabalho pode ser classificada como situação–problema porque fez com que os alunos assumissem uma postura pró-ativa e colaborativa diante de certos problemas indicados. Como resultado a este estímulo, notamos que os alunos aprenderam a buscar e a desenvolver independentemente meios satisfatórios para se executar um dado trabalho. O trabalho em grupo também colaborou muito com a aprendizagem não somente dos que não possuíam determinado domínio de conhecimento matemático, mas também daqueles grupos que ajudaram a ensinar. Afinal é como dizem: “ensinando é que se aprende”. Certamente as práticas apresentadas aqui se mostraram mais atrativas para o aluno e colaboraram para dar um significado mais concreto para os conteúdos estudados. As diferentes formas de se tentar resolver um problema foram respeitadas e valorizadas. Esta postura, além de estimular o aluno a desenvolver o seu raciocínio lógico, colabora para que ele perceba a possibilidade de buscar caminhos alternativos de resolução. Ganhos pessoais paralelos, como companheirismo, liderança, responsabilidade e foco no trabalho chamaram a atenção durante o desenvolvimento das atividades, principalmente daqueles alunos que demonstraram estarem entretidos com o desenvolvimento das atividades, mas que comumente não se encontram motivados durante as aulas tradicionais de matemática. Enfim, ao colocarmos em prática estes planos de aula ficou claro a importância de se inserir situações-problema rotineiramente nas aulas de matemática. 49
  51. 51. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC/SEF, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf Acessado em 15 NOV 2012 – 15:00. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática, 1997. p.7. ______. Matemática, volume único: livro do professor. 1ª. ed. São Paulo: Ática, 2005. p.190. GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2009. PERRRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000. POLYA, George. A arte de Resolver Problemas. Trad. Heitor Lisboa de Araújo – 2ª. reimp. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1995. 196p. Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/~michel/inicmat2010/livros/polya.pdf Acessado em 16 JUL 2012 15:20. RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência e linguagem: volume único. São Paulo: Scipione, 2007, p.206. SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Caderno do aluno – Matemática – 5ª série/6º ano – Volume 2. São Paulo: SEE, 2010. p.33-46. Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=cWkU6fGoYA8&feature=related Link com atividades correlatas: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/994 50

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