Apostila Modelagem Matemática

1. Graduac~ao Curso de Licenciatura em Matematica
Modelagem Matematica
Jos´e Angel D´avalos Chuquipoma
UFSJ
MEC / SEED /UAB
2012
1

2. Modelagem Matem´atica / Jos´e Angel D´avalos Chuquipoma. - S˜ao
Jo˜ao del-Rei, MG: UFSJ, 2012.
139p.
Curso de Gradua¸c˜ao “Licenciatura”em Matem´atica.
1. Modelagem Matem´atica 2. Matem´atica I. Chuquipoma, J. A. D. II.
T´ıtulo
2

3. Sumario
MODELAGEM MATEMATICA 5
UNIDADE I - MODELAGEM MATEMATICA E FORMULAC ~AO DE
PROBLEMAS 6
1.1 Modelagem Matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 O Que ´e Modelagem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 O Que ´e Modelagem Matem´atica? . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 A Modelagem no contexto da Educa¸c˜ao Matem´atica . . . . . . . 11
1.1.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Formula¸c˜ao de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Escolha de Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Coleta de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Formula¸c˜ao de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
UNIDADE II - O METODO DOS MINIMOS QUADRADOS 23
2.1 Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 O M´etodo dos M´ınimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ajuste Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Ajuste Linear para o Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Ajuste Linear de Modelos Geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Ajuste Quadr´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDADE III - EQUAC ~OES DE DIFERENCAS 46
3.1 Varia¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Varia¸c˜oes Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Varia¸c˜oes Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Equa¸c˜oes de Diferen¸cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Equa¸c˜oes de Diferen¸cas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Sistemas de Equa¸c˜oes de Diferen¸cas . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.3 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3

4. UNIDADE IV - EQUAC ~OES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 72
4.1 Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Defini¸c˜oes B´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Vari´aveis Separ´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.1 Redu¸c˜ao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3 Equa¸c˜oes Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 99
4.3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
UNIDADE V - APLICAC ~OES DE EQUAC ~OES DIFERENCIAIS OR-DIN
ARIAS 112
5.1 Modelos de Dinˆamica Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.1 Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.1.2 Modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.3 Modelo de Lotka - Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Respostas das Atividades 134
6.1 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
REFER^ENCIAS 140
4

5. MODELAGEM MATEMATICA
Seja bem-vindo (a)
ao M´odulo da Disciplina Modelagem Matem´atica !
Este texto destina-se ao curso de gradua¸c˜ao a distˆancia da disciplina de Modelagem
Matem´atica no marco da Universidade Aberta do Brasil -UAB. O objetivo principal do
conte´udo do m´odulo ´e fornecer ao aluno um texto que desenvolva os t´opicos principais
da ementa desta mat´eria que normalmente n˜ao ´e poss´ıvel encontrar num ´unico texto,
facilitando, assim, o entendimento por parte do aluno no estudo desta mat´eria.
A informa¸c˜ao te´orica apresentada ´e complementada com os exerc´ıcios propostos, com
a inten¸c˜ao de que o aluno mostre os conhecimentos adquiridos no texto e nos exemplos
resolvidos. Os temas que apresentamos e discutimos neste texto s˜ao divididos em cinco
unidades que a seguir detalhamos.
A primeira unidade se destina ao estudo dos aspectos te´oricos da Modelagem Ma-tem
´atica, onde s˜ao abordadas as etapas da modelagem e em especial as etapas do
processo da Modelagem Matem´atica, escolha de temas, formula¸c˜ao de modelos.
Na segunda unidade, estudamos o m´etodo dos m´ınimos quadrados e suas implicˆancias
no ajuste linear de curvas para os modelos de tipo exponencial e geom´etrico, como
tamb´em para o ajuste quadr´atico.
Na terceira unidade, estudamos as equa¸c˜oes em diferen¸cas finitas e destacamos os mo-delos
lineares de diferen¸cas e abordamos os conceitos de varia¸c˜oes discretas e cont´ınuas.
A unidade quatro est´a destinada ao estudo dos aspectos introdut´orios das equa¸c˜oes di-ferenciais
ordin´arias, enfatizando o m´etodo de vari´aveis separ´aveis para solucionar uma
equa¸c˜ao ordin´aria de primeira ordem; solucionamos uma equa¸c˜ao de segunda ordem
homogˆenea com coeficientes constantes, consideramos exemplos de aplica¸c˜ao.
Por ´ultimo, na quinta unidade, s˜ao vistos alguns problemas de aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes
diferenciais: abordamos problemas da dinˆamica populacional, entre eles o modelo de
Malthus, o modelo de Verhulst e o modelo de Lotka-Volterra.
Apesar de este texto apresentar um conte´udo b´asico, ´e importante consultar outras
fontes com o intuito de enriquecer os conceitos, bem como auxiliar na resolu¸c˜ao dos
exerc´ıcios.
O autor
5

6. Unidade I
MODELAGEM MATEMATICA
E
FORMULAC ~AO DE PROBLEMAS
6

7. 1.1 Modelagem Matematica
Objetivos
• Interpretar as etapas presentes no processo da modelagem.
• Explicitar a importˆancia da matem´atica para a forma¸c˜ao do aluno.
• Aplicar os conhecimento obtidos na formula¸c˜ao de novos problemas que envolvem
a modelagem matem´atica.
1.1.1 O Que e Modelagem?
A diversidade de fenˆomenos presentes ao longo do desenvolvimento de nossa hist´oria
tem sido um dos fatos pelos quais o homem vem se superando atrav´es das gera¸c˜oes, com
o intuito de ir al´em do desconhecido; estes fenˆomenos ou obst´aculos tˆem permitido que
cada pessoa construa o seu conhecimento dentro de suas pr´oprias limita¸c˜oes, quer dizer,
vai criando conhecimentos ante seus pr´orios problemas da vida cotidiana. Ent˜ao, po-demos
dizer que esta ´e uma maneira de como o homem (aprendedor) constitui o sujeito
do processo congnitivo, que, dependendo de nossas capacidades, vamos estabelecendo
um conjunto de informa¸c˜oes, ideias e abstra¸c˜oes da realidade, cujo comportamento
desejamos analisar e interpretar em um linguagem l´ogica, com caracter´ısticas similares
`a magnitude do problema; conceitualmente, isto ´e o que ´e conhecido como modelo de
um problema.
Assim, se o modelo obtido n˜ao consegue interpretar a realidade do problema, seja por
diversos fatores como tamanho do problema, complexidade etc., somos obrigados a
simplificar as hip´oteses(informa¸c˜oes) do objeto de estudo (fenˆomeno) para obter um
modelo com caracter´ısticas semelhante ao problema, por´em descartanto caracter´ısticas
ou comportamentos menos importantes ou secund´arios.
Neste contexto, entendemos por Modelagem o processo de aproximar ou transformar
problemas concretos do mundo real em modelos de problemas que simulem de forma
´otima o objeto de estudo e assim poder resolvˆe-los para interpretar suas solu¸c˜oes de
forma clara.
Etapas da Modelagem
Ap´os ter entendido o conceito de modelagem, surge a quest˜ao: como ´e que podemos
confrontar problemas do mundo real com modelos que possam interpretar tais proble-mas?
Para responder essa pergunta, explicaremos a seguir as etapas ou momentos que
7

8. devem ser tidos em conta na Modelagem.
Primeira Etapa: A primeira etapa consiste em reconhecer a existˆencia de um pro-blema
real, no sentido de ser significativo, isto ´e, determinar a situa¸c˜ao do problema a
ser modelado, quer dizer, determinar seu fator de impacto no mundo real.
Exemplo 1 Quando queremos prevenir a redu¸c˜ao do nivel do len¸col fre´atico, causado
pelo desmatamento ou reflorestamento das ´areas florestais, isso constitui um problema
de impacto florestal, que exige significa¸c˜ao, avalia¸c˜ao e cr´ıtica.
Segunda Etapa: Designado o problema, a segunda etapa da Modelagem exige hip´oteses
de simplifica¸c˜ao, ou seja, devemos conhecer o problema e simplific´a-lo; n˜ao simplifica-mos
o problema real e sim introduzimos hip´oteses que simplificam sua abordagem.
Todo problema nesta etapa deve ser tratado com um grau de simplifica¸c˜ao, e, `as vezes,
a simplifica¸c˜ao ´e feita para facilitar a resolu¸c˜ao do modelo.
Exemplo 2 No caso do problema de impacto florestal, o estudo ´e feito em uma regi˜ao
do plano onde o meio poroso ´e homogˆeneo e isotr´opico (ou seja, possui as mesmas carac-ter
´ısticas em todas as dire¸c˜oes e em todos os pontos); desta forma ´e que simplificamos
as hip´oteses com o objetivo de poder fazer um estudo de forma clara.
Terceira Etapa: No passo seguinte do processo da Modelagem temos a terceira etapa,
que consiste na resolu¸c˜ao do modelo decorrente atrav´es de diversas ´areas do conheci-mento;
nesta etapa ´e muito importante a aproxima¸c˜ao do modelo a considerar.
Exemplo 3 O modelo aproximado do problema de impacto florestal ´e dado atrav´es
de um modelo de tipo matem´atico definido por uma equa¸c˜ao em derivadas parciais
cuja solu¸c˜ao ´e dada pela fun¸c˜ao potencial e por uma fun¸c˜ao que define a localiza¸c˜ao
do len¸col fre´atico.
Quarta Etapa: Na quarta etapa, temos a avalia¸c˜ao das solu¸c˜oes encontradas na
etapa anterior, de acordo com a quest˜ao real do problema a modelar.
Quinta Etapa: Nesta quinta e ´ultima etapa da Modelagem, o que devemos ter em
considera¸c˜ao ´e definir a decis˜ao com base nos resultados obtidos. ´E
assim que, atrav´es
da Modelagem, conseguimos obter melhores condi¸c˜oes para decidir o que fazer frente
a um fenˆonemo ou a uma situa¸c˜ao real.
Na Figura 1.1 damos um esquema do processo da modelagem.
8

9. Figura 1.1: Processo da Modelagem
1.1.2 O Que e Modelagem Matematica?
A Modelagem Matem´atica ´e uma mat´eria da Matem´atica que teve seu in´ıcio na an-tiguidade
a partir de problemas pr´aticos; a inven¸c˜ao da roda pelos sum´erios, aproxi-madamente
3.000 anos a.C., foi, por exemplo, um dos primeiros modelos matem´aticos
produzidos pela humanidade que se conhece; eles observaram um tronco de ´arvore
rolando por um declive e tiveram a ideia de transportar cargas pesadas colocando-as
sobre objetos rolantes.
Modelos descrevem as nossas cren¸cas sobre como o mundo funciona. Na modelagem
matem´atica, traduzimos essas cren¸cas em termos da linguagem da matem´atica. Isso
tem muitas vantagens: primeiro, Matem´atica ´e uma linguagem muito precisa. Isso nos
ajuda a formular ideias e estabelecer premissas importantes; segundo, a matem´atica ´e
uma linguagem concisa, com regras bem definidas para manipula¸c˜oes; terceiro, todos
os resultados que os matem´aticos provaram ao longo de centenas de anos est˜ao `a nossa
disposi¸c˜ao, e, por ´ultimo, os computadores podem ser usados para realizar os c´alculos
num´ericos.
Segundo BASSANEZI (2011), a Modelagem Matem´atica ´e a arte de transformar proble-mas
da realidade em problemas matem´aticos e resolvˆe-los, interpretando suas solu¸c˜oes
na linguagem do mundo real. Assim, entre essas novas formas de considerar e entender
a Modelagem, podemos concluir que a Modelagem Matem´atica ´e utilizada como um
m´etodo cient´ıfico de pesquisa ou tamb´em como uma estrat´egia de ensino-aprendizagem.
9

10. Podemos inferir ent˜ao que a Modelagem Matem´atica surgiu da necessidade do homem
em resolver determinadas situa¸c˜oes ou problemas do seu dia a dia. Nesse sentido,
pode-se dizer que Modelagem Matematica ´e o processo que envolve a obten¸c˜ao de
um modelo que tenta descrever matematicamente um fenˆomeno da nossa realidade para
tentar compreendˆe-lo e estud´a-lo, criando hip´oteses e reflex˜oes sobre tais fenˆomenos.
H´a um grande elemento de compromisso em modelagem matem´atica. A maioria dos
sistemas que interagem no mundo real s˜ao demasiado complicados para modelar, na
sua totalidade. Da´ı o primeiro n´ıvel de compromisso ´e o de identificar as partes mais
importantes do sistema. Essas ser˜ao inclu´ıdas no modelo, o restante ser´a exclu´ıdo. O
segundo n´ıvel de compromisso diz respeito `a quantidade de manipula¸c˜ao matem´atica
que vale a pena. Embora a matem´atica tenha o potencial de revelar os resultados
gerais, estes resultados depender˜ao essencialmente da forma das equa¸c˜oes utilizadas.
Pequenas altera¸c˜oes na estrutura das equa¸c˜oes podem exigir enormes mudan¸cas nos
m´etodos matem´aticos utilizados.
Que objetivos pode a modelagem alcan¸car? A Modelagem Matem´atica pode ser usada
para uma s´erie de raz˜oes diferentes, qualquer objetivo espec´ıfico a ser alcan¸cado, de-pende
tanto do estado do conhecimento do sistema e de como a modelage ´e feita..
Entre as muitas variedade de objetivos temos
• desenvolver a compreens˜ao cient´ıfica - atrav´es da express˜ao quantitativa do conhe-cimento
atual de um sistema (bem como exibir o que sabemos ou o que n˜ao sa-bemos);
• testar o efeito de altera¸c˜oes no sistema;
• tomar uma decis˜ao, incluindo decis˜oes t´aticas dos gestores e as decis˜oes es-trat
´egicas por planejadores.
Nesse contexto, o esquema da Modelagem dada pela Figura 1.1, em termos da Mode-lagem
Matem´atica ´e dado atrav´es da Figura 1.2:
10

11. Figura 1.2: Esquema do Processo de Modelagem Matem´atica. Adapta¸c˜ao de Burghes
e Borrie, (1981). Fonte: DA COSTA, J. F. M.; CALDEIRA, A. D.; DOS SANTOS,
A. P, 1999.
1.1.3 A Modelagem no contexto da Educac~ao Matematica
Pelo que foi dado anteriormente, quando estamos familiarizados com a Modelagem,
em que o aluno ´e o sujeito do processo cognitivo e n˜ao somente com problemas ma-tem
´aticos, o pesquisador ou pessoa que trabalha nesta ´area vai ter uma maior capaci-dade
em lidar com a Modelagem Matem´atica. De outro lado, muitas vezes, temos a
ideia de que trabalhar na Modelagem com conte´udos matem´aticos altamente sofistica-dos
´e uma condi¸c˜ao que n˜ao se pode deixar de lado; isso, em geral, n˜ao ´e verdade, pois
a matem´atica a se utilizar deve ser aquela que permita a resolu¸c˜ao do problema a tratar.
O procedimento ou processo de Modelagem Matem´atica no contexto da educa¸c˜ao ma-tem
´atica, al´em das etapas presentes no processo, deve estar unido `a introdu¸c˜ao do
problema por meio de informa¸c˜oes adicionais, como por exemplo, uma figura, um es-quema
ou um fluxograma; de tal maneira que possa facilitar ao aluno o entendimento
da situa¸c˜ao do problema a estudar e das diversas formas de modelagens matem´aticas.
Assim, isso quer dizer que a Modelagem Matem´atica, no campo da educa¸c˜ao, tem que ir
al´em das etapas que o caracterizam, de fato; devemos entender que, quando na sala de
aula o professor ministra o que preparou ou programa com anticipa¸c˜ao aquele conte´udo
11

12. matem´atico com o intuito de que os alunos aprendessem, s˜ao na verdade ferramentas
necess´arias mas n˜ao suficientes para que o aluno comprenda o problema, o que significa
que ´e precisso cobrir esse vazio que ainda est´a presente na educa¸c˜ao matem´atica.
O exemplo seguinte representa um problema que pode ser interpretado atrav´es da
Modelagem Matem´atica.
Exemplo 4 (Controle Biologico de pragas) Desejamos combater biologicamente
uma praga de insetos em uma planta¸c˜ao sem o uso de substˆancias agroqu´ımicas.
A estrat´egia a utilizar ´e a seguinte: controlamos a popula¸c˜ao de insetos fazendo uma
planta¸c˜ao inicial da planta atacada com o objetivo de atrair os insetos a serem com-batidos,
para posteriormente serem recolhidos. No caso poss´ıvel de obter resultados
positivos, teremos determinado na verdade o fator de impacto do problema, pois, sem
o uso de substˆancias qu´ımicas, o custo econˆomico resulta ser muito confort´avel, deter-minando
dessa forma a situa¸c˜ao do problema (primeira etapa).
Claro est´a que devemos de considerar o caso em que temos um porcentagem m´axima
de perda p relativa `a planta¸c˜ao inicial, isso devido ao fato que pode n˜ao existirem
insetos na planta¸c˜ao inicial, o que origina uma coleta nula de insetos. O problema ser´a
solucionado se conseguimos determinar a largura de uma faixa em torno de uma regi˜ao
plantada em que pudesse ser colocada a planta¸c˜ao inicial, tendo em considera¸c˜ao o
percentual m´aximo de perda p.
Supondo que a regi˜ao de planta¸c˜ao seja um retˆangulo e que a produ¸c˜ao da planta¸c˜ao
seja igual `a ´area plantada, estamos na verdade simplificando as hip´oteses, ´e dizer que
fazemos uso de umas das etapas do processo da modelagem, isto ´e, a hip´otese de sim-plifica
¸c˜ao (segunda etapa). Representando por x a largura da faixa ao redor do campo
retangular EFGH, ver Figura 1.3.
Considerando um campo retangular de dimens˜oes M = 90 e N = 45 dados em metros,
com um porcentual m´aximo de perda p = 5%, vemos da Fifura 1.3 que as dimens˜oes
do retˆangulo interior EFGH s˜ao 90 − 2x e 45 − 2x metros.
Da hip´otese, temos que a produ¸c˜ao da planta¸c˜ao (1 − p)MN ´e igual `a ´area plantada
(M − 2x)(N − 2x), isto ´e,
(1 − 0, 05)(90)(45) = (90 − 2x)(45 − 2x),
ou
3847, 5 = (90 − 2x)(45 − 2x) = 4x2 − 270x + 4050
12

13. Figura 1.3: Geometria do problema
obtendo a express˜ao quadr´atica
4x2 − 270x + 202, 5 = 0,
ou ainda
2x2 − 135x + 101, 25 = 0,
o que significa que o modelo matem´atico de nosso problema ´e dado por uma equa¸c˜ao
quadr´atica; encontrando as ra´ızes do polinˆomio de grau dois, estaremos resolvendo
nosso problema (terceira etapa). Logo, utilizando a f´ormula que nos permite encontrar
ra´ızes de uma equa¸c˜ao quadr´atica, temos
x =
135 ±
√
1352 − 4.2.101, 25
4
13

14. obtendo os seguintes valores aproximados x = 66, 741 ou x = 0, 75.
Embora ambos os valores matem´aticamente sejam corretos, observamos que o valor de
x = 66, 741 metros n˜ao faz sentido, pois a largura da faixa no interior da planta¸c˜ao deve
ser menor que 45 metros; isso corresponde `a avalia¸c˜ao dos resultados (quarta etapa),
o que implica que a largura da faixa da planta¸c˜ao inicial deve ser aproximadamente
x = 0, 75 metros. Por ´ultimo, devemos tomar a decis˜ao correta, se for razo´avel ou n˜ao
o resultado obtido de 0, 75 metros da largura da faixa (quinta etapa).
No exemplo anterior, vemos a importˆancia de representar o problema por meio de um
desenho, pois isso nos d´a uma vis˜ao global do entendimento da situa¸c˜ao do problema.
Como trabalhar com a Modelagem Matematica em sala de
aula?
J´a no setor da educa¸c˜ao, o ensino-aprendizagem realizado atrav´es da Modelagem Ma-tem
´atica, permite lidar satisfatoriamente tanto entre a combina¸c˜ao dos aspectos da
matem´atica como com suas aplica¸c˜oes; isso faz parte de um dos objetivos que pre-tendemos
atingir nesta disciplina. Confiamos nos professores de matem´atica, temos a
obriga¸c˜ao de mostrar aos alunos estas duas alternativas que se complementam. Outro
aspecto a se ter em considera¸c˜ao para trabalhar com Modelegem Matem´atica em sala
de aula ´e que, devido a se caracterizar como um ambiente de ensino-aprendizagem, os
alunos s˜ao convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matem´atica, situa¸c˜oes
provenientes de outras ´areas.
Assim, temos que ressaltar a importˆancia da integra¸c˜ao de situa¸c˜oes provenientes do
cotidiano e de outras ´areas do conhecimento na sala de aula, com o prop´osito de possi-bilitar
aos alunos intervirem na sua realidade. Por ´ultimo, os parˆametros que devemos
deixar claro aos alunos no ˆambito da investiga¸c˜ao e compreens˜ao em aula, envolvem
os seguintes aspectos: “identificar o problema; procurar, selecionar e interpretar in-forma
¸c˜oes relativas ao problema; formular hip´oteses e prever resultados; selecionar
estrat´egias de resolu¸c˜ao de problemas; fazer e validar conjecturas, experimentando,
recorrendo a modelos, esbo¸cos, fatos conhecidos, rela¸c˜oes e propriedades.”
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15. 1.1.4 Atividades
1. Uma praga de cigarrinhas ataca uma planta¸c˜ao de arroz; deseja-se controlar, bio-logicamente
a praga, atrav´es de uma estrat´egia ´otima dada no Exemplo 4. Tendo
em considera¸c˜ao uma margem de perda ao redor de 4% ao supor uma planta¸c˜ao
inicial para recolher as cigarrinha e supondo a ´area de planta¸c˜ao um campo re-tangular
de dimens˜oes M = 80m e N = 35m, encontre a largura da faixa em
torno da planta¸c˜ao do campo retangular.
2. No exerc´ıcio anterior, identifique e explique as etapas que est˜ao presentes na Mo-delagem
Matem´atica.
3. Um fazendeiro deseja circundar uma regi˜ao junto a um rio com uma cerca de 120
metros de comprimento para encerrar seus animais. Se a regi˜ao ´e representada
por um retˆangulo (hip´oteses de simplifica¸c˜ao), fa¸ca a Modelagem Matem´atica do
problema, para determinar as dimens˜oes do retˆangulo para que a ´area cercada
seja a maior poss´ıvel.
4. Como vocˆe faria uma Modelagem Matem´atica dos seguintes problemas:
a) A press˜ao exercida por uma massa de um g´as ´e diretamente proporcional `a
temperatura absoluta e inversamente proporcional ao volume ocupado pelo g´as
(Gases perfeitos).
b) A resistˆencia de um fio condutor ´e diretamente proporcional ao seu compri-mento
e inversamente proporcional `a ´area de sua se¸c˜ao reta (Resistˆencia el´etrica).
c) Dois corpos de massas m1 e m2 se atraem em raz˜ao direta das massas e na
raz˜ao inversa do quadrado das distˆancias (Lei da gravita¸c˜ao universal).
5. No Exemplo 4 do controle biol´ogico de pragas, fa¸ca um esquema do processo de
Modelagem Matem´atica igual que ao mostrado na Figura 1.2 para este problema.
15

16. 1.2 Formulac~ao de Problemas
Objetivos
• Criar modelos matem´aticos de problemas concretos do mundo real.
• Reconhecer os tipos de formula¸c˜oes de problemas em termos matem´aticos.
Nesta se¸c˜ao estabeleceremos mecanismos para a formula¸c˜ao e obten¸c˜ao de problemas
novos; cabe ressaltar que n˜ao existe a priori f´ormula alguma que nos permita como
resolver habilidades de matem´atica nem tampoco como adquiri-las, mas isso n˜ao im-pede
o nosso interesse em desenvolver estrat´egias que possamos considerar no in´ıcio da
modelagem sem ir al´em do objetivo principal, que ´e o ensino-aprendizagem.
Entretanto, o que entendemos por habilidades neste contexto ´e a capacidade de poder
tomar um problema concreto com algum grau de dificuldade e transform´a-lo em um
modelo matem´atico para posteriormente solucion´a-lo e possa ser interpretado em ter-mos
do problema incial.
Figura 1.4: Processo Simplificado da Modelagem Matem´atica. Fonte: BASSANEZI,
R. C, 2011.
16

17. 1.2.1 Escolha de Temas
Neste cen´ario da modelagem, o tema de estudo escolhido resulta ser o in´ıcio do processo,
pois o conte´udo matem´atico a utilizar ainda ´e desconhecido; ent˜ao, um dos mecanis-mos
a empregar nesta situa¸c˜ao ´e come¸cando a contar ou medir, com o intuito de se
obter uma tabela de dados de tal maneira que possamos representar em um sistema
de referˆencia (por exemplo um sistema cartesiano) a visualiza¸c˜ao do evento em estudo.
Esta representa¸c˜ao dos dados com certeza vai dar origem a conjecturas, e tamb´em `a
formula¸c˜ao de modelos matem´aticos.
A escolha de temas tem que ser feita de forma completa e motivadora para que possa
ter um fator de interesse na ´area da pesquisa dos alunos. Por exemplo, se o tema esco-lhido
for o desmatamento, ent˜ao podemos pensar em modelar o problema de impacto
ambiental do deslizamento de terra ou pensar em modelar atrav´es de um problema
matem´atico de fronteira livre.
A importˆancia da escolha de temas tamb´em reside em que estes sejam escolhidos pelos
pr´oprios alunos com o pr´oposito de que, junto com o professor, se sintam respons´aveis
pelo processo da modelagem; o desenvolvimento deve ser feito em grupos, cada um
deles com sua pr´opria responsabilidade, com o objetivo de obter resultados positivos
da modelagem do problema.
1.2.2 Coleta de dados
Depois de ter escolhido o tema, o procedimento seguinte ser´a a coleta de dados, que
consiste basicamente em buscar informa¸c˜oes (medi¸c˜oes, resultados estat´ısticos etc.)
relacionadas com o objeto de estudo. Os dados coletados devem ser organizados em
tabelas que, por sua vez, podem ser utilizadas na elabora¸c˜ao dos gr´aficos da curva de
tendˆencias. A coleta de dados qualitativos ou num´ericos pode ser efetuada aplicando-se
as seguintes t´ecnicas:
1. por meio de entrevistas e pesquisas realizadas com os m´etodos de amostragem
aleat´oria; neste caso, s˜ao fundamentais a qualidade das perguntas e no¸c˜oes de
Estat´ıstica;
2. atrav´es de pesquisa bibliogr´afica, uso da internet, procurando informa¸c˜ao em
livros e revistas especializadas;
3. por meio de experiˆencias dos pr´oprios alunos.
Nesse processo de obter dados sobre a realidade a ser modelada, estamos desenvolvendo,
em outras palavras, um processo de experimentar novas informa¸c˜oes.
17

18. 1.2.3 Formulac~ao de Modelos
Uma vez feita a coleta de dados, o seguinte passo ´e a formula¸c˜ao matem´atica dos mo-delos.
A formula¸c˜ao matem´atica de modelos podem ser dada de dois tipos: formula¸c˜ao
est´atica e formula¸c˜ao dinˆamica.
1. Formulac~ao Estatica
Estas formula¸c˜oes matem´aticas envolvem equa¸c˜oes ou fun¸c˜oes dependendo de uma ou
mais vari´aveis; geralmente, essas formula¸c˜oes utilizam conceitos relacionados com a
Geometria, onde a vari´avel tempo n˜ao tem importˆancia alguma.
Exemplo 5 (Predador - Presa) Em uma popula¸c˜ao de veados se observa que a
taxa de mortalidade est´a inflingida por uma popula¸c˜ao de le˜oes; sabendo-se que a taxa
de mortalidade ´e proporcional ao n´umero de veados e tamb´em ao n´umero de le˜oes,
desejamos obter um modelo matem´atico que interprete o problema de encontrar a taxa
de mortalidade dos veados.
Primeiramente, da teoria de grandezas proporcionais lembramos o seguinte: se uma
grandeza z = f(x, y) ´e proporcional a x, enquanto y permanece constante, e quando z
´e proporcional a y enquanto x permanece constante, ent˜ao z ´e proporcional ao produto
xy, isto ´e,
z = c.xy
onde c ∈ R.
Ent˜ao, denotando por z a taxa de mortalidade do n´umero de veados, x o n´umero de
veados e y o n´umero de le˜oes, vemos pelo anterior que a hip´oteses de manter constante
uma das vari´aveis x e y implica que
f(x, y) = b.xy,
onde b ´e uma constante. Assim, a taxa de mortalidade dos veados ´e dado pela express˜ao
z = b.xy
O fato de considerar b constante n˜ao ´e sempre satisfeita; logo, aqui estamos fazendo
uso da hip´oteses de simplifica¸c˜ao do processo de modelagem.
18

19. 2. Formulac~ao Din^amica
Em geral, esta formula¸c˜ao de modelos dinˆamicos (modelos que dependem do tempo)
cont´em dois tipos de vari´aveis, chamadas vari´aveis dependentes e vari´aveis indepen-dentes.
Essa dependˆencia ´e dada atrav´es de uma rela¸c˜ao entre essas vari´aveis.
Exemplo 6 Do exemplo anterior podemos considerar um problema mais realista ao
considerar a taxa de mortalidade junto com o n´umero de veados e le˜oes dependendo
do tempo t.
Com efeito, representando por x(t) o n´umero de veados e y(t) o n´umero de le˜oes
no tempo t, claro est´a que a taxa de mortalidade neste caso vai depender tamb´em do
tempo; assim, temos que a taxa de mortalidade dos veados ´e dada pelo modelo seguinte:
z(t) = b.x(t)y(t)
Por ´ultimo, no caso de n˜ao existirem as hip´oteses de proporcionalidade apresentadas
nos exemplos vistos, ter´ıamos dificuldade em obter com exatid˜ao a rela¸c˜ao funcional
f(x, y); assim, devemos deixar indicado que uma coleta de dados facilitaria o estudo,
pois, utilizando-se t´ecnicas estat´ısticas, ´e poss´ıvel ter uma aproxima¸c˜ao do problema.
Exemplo 7 Em uma pesquisa feita por um grupo de bi´ologos para obter medidas
biom´etricas de atuns em uma gaiola, foram obtidos os seguintes dados do peso (gra-mas)
e o comprimento (cent´ımetros) m´edio de uma fam´ılia de atuns em rela¸c˜ao `a sua
idade t dada em anos:
t idade comprimento (cm) peso (gr)
2 163.9 0.68
3 170 0.91
4 176.1 1.0
5 182.2 1.2
6 188.3 1.38
7 195.4 1.48
8 203.2 1.69
9 210 1.8
10 212.7 2.3
19

20. Deseja-se encontrar uma rela¸c˜ao funcional entre o peso e o comprimento dos atuns
atrav´es da tabela anterior.
Soluc~ao
Definindo as seguintes vari´aveis
x e y como sendo o comprimento e peso m´edio respectivamente.
Podemos relacionar essas vari´aveis num sistema referencial por meio do gr´afico de dis-pers
˜ao, Figura 1.5.
Figura 1.5: Gr´afico de dispers˜ao.
Esses dados estat´ısticos (tabela) podem ser aproximados por uma curva de regress˜ao
(a ser definida no pr´oximo cap´ıtulo), curva vermelha na Figura 1.6.
A curva de regress˜ao indica o comportamento ou tendˆencia de tipo geral entre o peso
e o comprimento m´edio dos atuns. O gr´afico de dispers˜ao constitui um primeiro passo
para uma Modelagem Matem´atica. Observamos que os pontos (x, y) n˜ao est˜ao sobre
a curva. Uma rela¸c˜ao funcional, obtida atrav´es de um ajuste de dados, proporciona
informa¸c˜oes iniciais para a elabora¸c˜ao de hip´oteses e tamb´em para a formula¸c˜ao de
modelos.
Pesquisas biol´ogicas estabelecem que o modelo matem´atico pode ser dado pela rela¸c˜ao
funcional
y(x) = kx, (1.1)
20

21. Figura 1.6: Curva de regress˜ao
onde k ´e a taxa de metabolismo e α d´a informa¸c˜ao em termos matem´aticos da forma
do atum. Devido `a caracter´ıstica das vari´aveis consideradas, a rela¸c˜ao funcional ainda
pode ser considerada como um modelo est´atico, pois n˜ao existe uma rela¸c˜ao de depˆendencia
na vari´avel temporal t em (1.1).
Modelos dinˆamicos tamb´em podem ser considerados no caso em que tenhamos as se-guintes
rela¸c˜oes funcionais
y(t) = y0
(
1 − e−(

22. =3)t
)3
ou x(t) = x0(1 − e−

23. t),
onde β ´e a constante de metabolismo e representa a taxa de energia gasta para o atum
se movimentar, y0 e x0 s˜ao os respectivos valores m´aximos de y e x. Esses modelos s˜ao
chamados modelos de Von Bertalanffy, ver BASSANEZI (2011).
21

24. 1.2.4 Atividade
1. Suponhamos que em uma fam´ılia de Heterodon nasicus (cobra), todas as cobras
desta esp´ecie sejam jovens ou velhas e que tenham a mesma forma e o mesmo
peso espec´ıfico, se a taxa de metabolismo ´e k = 446 e α = 3 e o peso dado em
gramas e o comprimento dado em metros.
a). Encontre a rela¸c˜ao funcional entre as vari´aveis comprimento e peso que define
o modelo matem´atico; logo, determine se o modelo ´e de tipo est´atico ou dinˆamico.
b). Determine o peso para um grupo de cobras cujos comprimentos s˜ao dados
por
COMPRIMENTO 0,4 0,6 0,8 1
c). Se a taxa de metabolismo para o modelo de Von Bertalanffy ´e β = 3 e
x0 = 1, y0 = 446, λ = 1, encontre o peso e o comprimento para um conjunto de
cobras depois de um mˆes.
2. Em certa esp´ecie de peixes, verificou-se que o consumo de oxig´enio O(l) dos peixes
por unidade de peso diminui com o aumento de seu comprimento l atrav´es da
rela¸c˜ao funcional (modelo matem´atico):
O(l) = kql 0 ≤ l ≤ 80,
para certos parˆametros k e q. Estimar k e q utilizando os seguintes dados:
l (cm) 0 10 30 50 60 70 80
O (ml) 121 74 30 12 6,7 3,7 2
3. Uma planta¸c˜ao de cana de a¸c´ucar tem a forma de um retˆangulo de lados 2000 e
3000 m. Em cada per´ıodo de planta¸c˜ao se planta uma ´area de forma retangular
que est´a crescendo em raz˜ao de seus lados menor e lado maior a uma velocidade
de 4m/ano e 5m/ano respectivamente. Desejamos achar o modelo matem´atico
do problema, que consiste em encontrar a velocidade em litros por ano com que
a produ¸c˜ao de ´alcool procedente da cana de a¸c´ucar est´a crescendo, sabendo-se
que a produ¸c˜ao de ´alcool ´e dada pela ´area da planta¸c˜ao.
22

25. Unidade II
O METODO DOS MINIMOS
QUADRADOS
23

26. O Metodo dos Mnimos Quadrados
Objetivos
• Aproximar uma fun¸c˜ao qualquer (conhecida ou n˜ao) ou um conjunto de pontos
por uma combina¸c˜ao de fun¸c˜oes conhecidas.
• Determinar a impˆortancia do m´etodo na Modelagem Matem´atica.
• Reconhecer a curva de regress˜ao que melhor aproxime o problema ou fenˆomeno
estudado.
O processo de coleta de dados constitui uma parte essencial na Modelagem Matem´atica
e tamb´em na metodologia cient´ıfica; tamb´em ´e fundamental para o desenvolvimento e
aplica¸c˜ao da pr´opria ciˆencia. No decorrer da Modelagem Matem´aica, a parte experi-mental
ressalta o processo de coleta de dados.
No processo de obten¸c˜ao de dados ou medidas utilizam-se diversos conceitos como,
por exemplo, dados estat´ısticos, desvios, o valor mais prov´avel de uma grandeza etc.
fazendo convoca¸c˜ao a no¸c˜oes intuitivas a cada novo conceito, isto ´e, sem a preocupa¸c˜ao
de apresentar uma teoria axiom´atica partindo de princ´ıpios gerais. Um primeiro passo
nessa dire¸c˜ao est´a no que se chama de M´etodo dos M´ınimos Quadrados. Este processo
de sistematiza¸c˜ao da obten¸c˜ao de dados permite, como veremos, obter bons resultados
no ajuste de curvas. Embora possa ser utilizado no ajuste de outras curvas, vamos
apresentar este m´etodo e seu uso para o ajuste de retas, por ser no momento nosso
principal objetivo.
Entre os motivos que avaliam a utiliza¸c˜ao do m´etodo, temos desde os mais variados,
desde o mais simples at´e os mais complicados. Por exemplo, pode-se querer manipular
uma func˜ao complicada f(x) = cos(e(cot 2x)), ou ent˜ao encontrar uma aproxima¸c˜ao para
fun¸c˜oes que nem s˜ao conhecidas, como por exemplo.
24

27. 2.1 Ajuste de Curvas
De

28. nic~ao 1 (Ajuste de Curvas) Um ajuste de curvas ou `as vezes chamada curva
de regress˜ao ´e um conjunto de t´ecnicas num´ericas que tem por objetivo expressar al-guma
tendˆencia da rela¸c˜ao de duas grandezas. Em outras palavras, ajuste de curvas ´e
um mecanismo ou artif´ıcio que fornece uma rela¸c˜ao funcional de uma vari´avel depen-dente
y quando relacionada com a vari´avel independente x.
Exemplo 8 Considerando os dados da tabela do Exemplo 7 sobre o comprimento e
peso dos atuns, podemos ver que existe, para cada n´ıvel de comprimento x, uma distri-bui
¸c˜ao do peso y = kx (curva de regress˜ao) em cada n´ıvel correspondente, conforme
Figura 1.6
Um ajuste de curvas ´e muito ´util para uma formula¸c˜ao simplificada dos dados ou
tamb´em para uma verifica¸c˜ao de alguma tendˆencia entre as grandezas.
No estudo de algum fenˆomeno feito por medio de dados num´ericos (dados experi-mentais)
estamos principalmente interessados, al´em das tendˆencias fornecidas por um
ajuste de curvas ou curva de regress˜ao, em saber se a correspondente rela¸c˜ao funcio-nal
y = f(x) ´e compat´ıvel para futuras previs˜oes de y no caso em que x est´a fora do
dom´ınio de defini¸c˜ao de f.
Na pr´atica, acontece que nos modelos est´aticos essas previs˜oes se preservam na maioria
de casos; j´a nos modelos dinˆamicos, devemos tomar em conta outros tipos de consi-dera
¸c˜oes para preservar o ajuste de curvas, como por exemplo o comportamento do
problema estudado ante perturba¸c˜oes das vari´aveis que definem o fenˆomeno.
Quando obtemos um conjunto de dados, atrav´es de um processo de experimenta¸c˜ao, e
desejamos obter um ajuste de curvas ou uma curva de regress˜ao entre as vari´aveis que
definem o problema, a priori, escolhemos a forma da curva que desejamos ajustar para
poder expressar estas vari´aveis, isto implica que existem uma infinidade de curvas de
regress˜ao, claro est´a que nem toda rela¸c˜ao funcional obtida representa um bom modelo
matem´atico.
Exemplo 9 Considerando os dados da tabela do Exemplo 7 sobre o comprimento e a
idade dos atums, observamos que a reta (Figura 2.7)
y = 6.1t + 151.7 (2.2)
25

29. obtida do ajuste entre os dados idade t e comprimento y ´e uma boa aproxima¸c˜ao para
valores de t menores ou iguais a 10, pois seis dados da tabela est˜ao sobre a reta; j´a
no caso em que t 10 isso n˜ao ´e garantido, pois o comprimento dos atuns tende a se
estabilizar quando t cresce; caso contr´ario, acontece com os valores sobre a reta cujos
valores tendem a crescer indefinidamente, e portanto, n˜ao pode ser feita uma previs˜ao
no futuro sobre o comprimento dos atuns.
Logo, conclu´ımos que a equa¸c˜ao (2.2) n˜ao pode ser considerada de modo geral como um
bom modelo matem´atico, pois um dos objetivos principais da modelagem matem´atica ´e
obter uma rela¸c˜ao funcional que interprete em seus vari´aveis ou parˆametros qualidades
pr´oprias do fenˆomeno estudado, nesta parte resulta ser muito importante a valida¸c˜ao
da solu¸c˜ao.
Figura 2.7: Tendˆencia do crescimento de uma fam´ılia de atuns no per´ıodo de 10 anos.
A quest˜ao central, como vimos, para se determinar a equa¸c˜ao da curva ´e encontrar a
melhor curva regular de ajuste dos dados. Pode-se usar um crit´erio individual para
tra¸car uma curva de ajustamento que se adapte ao conjunto de dados. Se for conhecido
o tipo de equa¸c˜ao dessa curva, ´e poss´ıvel obter suas constantes, mediante a escolha de
26

30. tantos pontos da curva quantas sejam as constantes da equa¸c˜ao.
Em diversas situa¸c˜oes como, por exemplo, num laborat´orio, nos deparamos com gran-dezas
que se relacionam entre si. Por exemplo, a press˜ao de uma determinada massa
de g´as depende da sua temperatura e do seu volume; a distens˜ao de uma mola de-pende
da for¸ca aplicada. Deseja-se, frequentemente, expressar essa rela¸c˜ao sob forma
matem´atica, por meio de uma equa¸c˜ao que ligue as vari´aveis. Para auxiliar a deter-mina
¸c˜ao de uma equa¸c˜ao que relacione as vari´aveis, um primeiro passo consiste em
colecionar dados que indiquem os valores correspondentes das vari´aveis consideradas.
Por exemplo, x pode representar o deslocamento de uma mola causado por uma for¸ca
aplicada y para os quais temos um conjunto de n medidas.
2.2 O Metodo dos Mnimos Quadrados
Um dos m´etodos mais utilizados para estima¸c˜ao (aproxima¸c˜ao) de parˆametros ou ajuste
de curvas ´e denominado m´etodo dos m´ınimos quadrados que a seguir passamos a de-talhar.
De modo geral, consideramos as vari´aveis ou grandezas x e y que definem o fenˆomeno
a analisar sujeitas a um conjunto de n medidas ou experimentos observados:
A = {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)} (2.3)
e uma fun¸c˜ao f : Rk+1 → R, tal que y(x) = f(x; α1, α2, ..., αk), onde α1, α2, ..., αk
s˜ao os parˆametros. O m´etodo dos m´ınimos quadrados consiste em determinar esses
parˆametros de modo que minimize o valor de
S(α1, α2, ..., αk) =
Σn
i=1
[f(xi; α1, α2, ..., αk) − yi]2, (2.4)
isto ´e, o m´etodo consiste em minimizar a soma dos quadrados de
εi = f(x; α1, α2, ..., αk) − yi
entre os diversos valores de yi observados e os valores y(xi) = f(xi; α1, α2, ..., αk) ajus-tados.
Os valores εi s˜ao chamados de desvios.
Em seguida, locam-se esses pontos num plano cartesiano. O conjunto de pontos resul-tante
´e denominado diagrama ou gra

31. co de dispers~ao ( Figura 2.8).
27

32. Figura 2.8: Diagrama de dispers˜ao, Curva de regress˜ao e Desvios εn
Neste diagrama ´e poss´ıvel, frequentemente, visualizar uma curva regular que se apro-xime
dos pontos dados (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), isso como foi definido em 2.1.1 ´e
chamado ajustamento de curvas.
2.3 Ajuste Linear
De

33. nic~ao 2 (Ajuste Linear) Suponhamos que as grandezas x, y, cujas medidas s˜ao
dadas por (2.3) se relacionem linearmente. Um ajuste de curvas ´e denominado linear,
se a fun¸c˜ao f : R3 → R ´e definida por
f(x; a, b) = ax + b.
Em outras palavras, um ajuste ´e linear se ´e definido pela equa¸c˜ao da reta
y(x) = f(x; a, b) = ax + b. (2.5)
Assim, a equa¸c˜ao (2.5) ser´a a melhor reta que se ajusta aos pontos (2.3) a qual deseja-se
determinar, Figura 2.9. Devido a erros de medida, os valores (xi, yi) n˜ao necessaria-mente
satisfazem exatamente `a equa¸c˜ao (2.5), isto ´e,
28

34. yi
∼=
axi + b
Figura 2.9: Ajuste Linear
Para que essa express˜ao se transforme numa igualdade, deveremos levar em conta os
erros ou desvios ε cometidos na medida. Assim,
yi = (axi + b) + εi
Portanto, εi tamb´em depende de a e b:
εi(a, b) = yi − (axi + b) (2.6)
A soma dos quadrados dos desvios ´e dado por
S(a, b) =
Σn
i=1
[yi − axi − b]2
Aplicando-se o M´etodo dos M´ınimos Quadrados, tem-se que os melhores valores para
a e b (e portanto a melhor reta) s˜ao aqueles que minimizam S(a, b). Como S ´e uma
29

35. fun¸c˜ao de duas quantidades a e b, escrevemos essas condi¸c˜oes necess´arias de m´ınimo
como
∂S
∂a
= 0 e
∂S
∂b
= 0,
ou seja,
∂S
∂a
= −2
Σn
i=1
(xiyi − ax2i
− bxi) = 0,
e
∂S
∂b
= −2
Σn
i=1
(yi − axi − b) = 0.
De onde obtemos as chamadas equa¸c˜oes normais
Σn
i=1
xiyi =
Σn
i=1
(bxi + ax2i
) (2.7)
Σn
i=1
yi =
Σn
i=1
(axi + b) (2.8)
Resolvendo (2.7) e (2.8) simultaneamente, para a e b encontramos
a =
[
Σn
i=1
xi
] [
Σn
i=1
yi
]
− n
[
Σn
i=1
xiyi
]
[
Σn
i=1
xi
]2
− n
[
Σn
i=1
x2i ] (2.9)
b =
[
Σn
i=1
xiyi
] [
Σn
i=1
xi
]
−
[
Σn
i=1
x2i
] [
Σn
i=1
yi
]
[
Σn
i=1
xi
]2
− n
[
Σn
i=1
x2i
] (2.10)
30

36. Por outro lado, de (2.8) obtemos
b =
Σn
i=1
yi − a
Σn
i=1
xi
n
(2.11)
Observac~ao 1 Um ajuste de curvas ´e n˜ao linear se a fun¸c˜ao f(x; α1, α2, ..., αk) dada
pelos m´ınimos quadrados n˜ao ´e uma reta. Ao fazer um ajuste linear para relacionar
duas vari´aveis, n˜ao sabemos a priori se a reta encontrada ´e o melhor modelo de ajuste.
A verifica¸c˜ao da existˆencia e do grau de rela¸c˜ao entre vari´aveis ´e o objeto de estudo da
correla¸c˜ao que a seguir definimos.
De

37. nic~ao 3 (Correlac~ao Linear) A correla¸c˜ao linear mede a rela¸c˜ao que existe en-tre
as vari´aveis (xi, yi) de um conjunto de dados em torno de uma reta ajustada
y = ax + b.
O coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson r ´e um mecanismo de medida da correla¸c˜ao
linear e ´e dado por
r =
Σn
i=1
xiyi −
[
Σn
i=1
xi
] [
Σn
i=1
yi
]
n
{[
Σn
i=1
x2i
− (
Σn
i=1 xi)2
n
] [
Σn
i=1
y2
i
Σn
− (
i=1 yi)2
n
]}1=2 (2.12)
Verifica-se que r ∈ [−1, 1]. Se r est´a pr´oximo de 1 ou −1, dizemos que a correla¸c˜ao
´e mais forte. Se r est´a pr´oximo de zero, dizemos que a correla¸c˜ao ´e fraca. Se r = 1
ou r = −1, ent˜ao a correla¸c˜ao entre as vari´aveis ´e perfeita. Se r = 0, n˜ao existe
nenhuma correla¸c˜ao. Por ´ultimo, o sinal de r indica o sinal do coeficiente angular da
reta ajustada.
Exemplo 10 Considerando-se os dados da tabela do Exemplo 7 sobre a idade t e o
peso y dos atuns:
31

38. ti idade yi peso (gr)
2 0.68
3 0.91
4 1.0
5 1.2
6 1.38
7 1.48
8 1.69
9 1.8
10 2.3
Encontrar um ajuste linear dos dados (ti, yi) mostrados na tabela anterior e calcular o
coeficiente de correla¸c˜ao linear entre a idade e o peso dos atuns.
Soluc~ao
i
De acordo 2com as equa¸c˜oes (2.9) e (2.10), n = 9; devemos agora calcular as somas de
ti, yi, tiyi, t.
ti yi tiyi t2i
2 0.68 1.36 4
3 0.91 2.73 9
4 1.0 4 16
5 1.2 6 25
6 1.38 8.28 36
7 1.48 10.36 49
8 1.69 13.52 64
9 1.8 16.2 81
10 2.3 23 100
Σ9
i=1
ti = 54
Σ9
i=1
yi = 12.44
Σ9
i=1
tiyi = 85.45
Σ9
i=1
t2i
= 384
32

39. Logo, substituindo-se esses valores nas equa¸c˜oes (2.9) e (2.10), temos
a =
(54)(12.44) − 9(85.45)
(54)2 − 9(384)
=
−9729
−1309.05
= 0.074
b =
(85.45)(54) − (384)(12.44)
(54)2 − 9(384)
= 0.301
Portanto, a equa¸c˜ao da melhor reta no sentido dos m´ınimos quadrados ´e dada por
y(t) = 0.074t + 0.301
Esta equa¸c˜ao define uma reta que passa pelos seguintes pontos corrigidos:
ti y(ti) = 0.074ti + 361.4
2 0.449
3 0.523
4 0.597
5 0.671
6 0.745
7 0.819
8 0.893
9 0.967
10 1.041
Para calcular o coeficiente de correla¸c˜ao dado por (2.12) devemos encontrar as somas
de y2
i .
Σ9
i=1
y2
i = 0.682 + 0.912 + 1 + 1.22 + 1.382 + 1.482 + 1.692 + 1.82 + 2.32 = 118.75
Substituindo em (2.12), temos
33

40. r =
85.45 − (54)(12.44)
{[ 9
384 − (54)2
9
] [
118.75 − (12.44)2
9
]}1=2 = 0.138
Sendo r = 0.138 pr´oximo de zero, existe uma fraca correla¸c˜ao entre a idade e o peso
dos atuns.
Observac~ao 2 O m´etodo do ajuste linear tamb´em pode ser aplicado a outros modelos
matem´aticos definidos por fun¸c˜oes n˜ao lineares, isso desde que seja poss´ıvel transformar
aquelas fun¸c˜oes em fun¸c˜oes lineares atrav´es de uma mudan¸ca de vari´avel adequada, por
exemplo, modelos definidos por fun¸c˜oes de tipo exponencial, fun¸c˜ao potˆencia, fun¸c˜oes
peri´odicas. Na seguinte se¸c˜ao veremos alguns desses modelos.
2.3.1 Ajuste Linear para o Modelo Exponencial
Suponhamos que a formula¸c˜ao de um modelo matem´atico ´e definido por meio de uma
fun¸c˜ao de tipo exponencial (Figura 2.10)
y(x) = β ex, β 0 (2.13)
Figura 2.10: Fun¸c˜ao de Tipo Exponencial
Fazendo a mudan¸ca de vari´avel z = ln y com o objetivo de transformar a equa¸c˜ao
que define o modelo (2.13) na forma de uma equa¸c˜ao de uma reta, obtemos ao tomar
logaritmos de ambos os lados de (2.13)
34

41. z(x) = ln y = αx + ln β (2.14)
Desta forma, podemos fazer um ajuste linear para o modelo exponencial, pois ´e mais
f´acil lidar com (2.14) do que com (2.13). Al´em disso, o estabelecimento da curva com
dados emp´ıricos e a an´alise dos desvios s˜ao extremamente facilitados.
Portanto, tomando-se a = α e b = ln β, a equa¸c˜ao da reta ajustada ou equa¸c˜ao auxiliar
´e
z = ax + b
Exemplo 11 O aumento de c´elulas cancerosas num tumor por unidade do tempo t,
supondo o tempo de duplica¸c˜ao das c´elulas constante, ´e dado atrav´es dos seguintes
dados experimentais:
Tempo (dias) N´umero de c´elulas (miles)
1.5 1,778
2.5 2,611
4.0 4,642
5.0 6,813
6.5 12,11
Com estes dados, determine a dependˆencia funcional do n´umero de c´elulas N(t) do
tumor em rela¸c˜ao ao tempo t mediante um ajuste linear.
Soluc~ao
Atrav´es do gr´afico de dispers˜ao dos dados (ti,Ni) i = 1, 2, 3, 4, 5 mostrados na Figura
2.11, podemos ver que a forma da rela¸c˜ao funcional procurada N(t) pode ser expressa
por uma fun¸c˜ao do tipo exponencial.
N(t) = βet, β 0, α 0. (2.15)
Assim, a dependˆencia do n´umero de c´elulas com o tempo n˜ao ´e linear; ou seja, a
curva que modela o decaimento n˜ao ´e uma reta. Ent˜ao, com os dados mostrados na
tabela podemos fazer um ajuste linear para o modelo, definido por uma fun¸c˜ao de tipo
exponencial.
35

42. Figura 2.11: Gr´afico de Dispers˜ao
Utilizando a mudan¸ca de vari´avel y(t) = lnN(t), obtemos em (2.15) a espress˜ao linear
nas novas vari´aveis
y = αt + ln β
Utilizando os dados da tabela, obtemos os dados auxiliares.
ti Ni yi = lnNi t2i
tiyi
1.5 1,778 0.575 2.25 0.8625
2.5 2,611 0.959 6.25 2.3975
4.0 4,642 1.535 16 6.14
5.0 6,813 1.918 25 9.59
6.5 12,110 2.494 42.25 16.211
Σ5
i=1
ti = 19.5
Σ5
i=1
yi = 7.481
Σ5
i=1
t2i
= 91.75
Σ5
i=1
tiyi = 35.201
Para calcular os parˆametros a e b, empregamos as equa¸c˜oes (2.9) e (2.10)
36

43. a =
[
Σ5
i=1
ti
] [
Σ5
i=1
yi
]
− 5
[
Σ5
i=1
tiyi
]
[
Σ5
i=1
ti
]2
− 5
[
Σ5
i=1
t2i
] =
(19.5)(7.481) − 5(35.201)
(19.5)2 − 5(91.75)
= 0.383
b =
[
Σ5
i=1
tiyi
] [
Σ5
i=1
ti
]
−
[
Σ5
i=1
t2i
] [
Σ5
i=1
yi
]
[
Σ5
i=1
ti
]2
− 5
[
Σ5
i=1
t2i
] =
(35.201)(19.5) − (91.75)(7.481)
(19.5)2 − 5(91.75)
= −0.00048
Portanto, obtemos a equa¸c˜ao da reta ajustada (reta auxiliar y = lnN)
y = 0.383t − 0.00048
Como a = α e b = ln β obtemos β = eb = e−0:00048 ≃ 0.9995. A fun¸c˜ao exponencial ´e
N(t) = 0.383e0:9995t ∀ t ≥ 0.
Figura 2.12: Ajuste da reta y = 0.383t − 0.00048 aos pontos (t, ln t)
37

44. Figura 2.13: Modelo Matem´atico do N´umero de c´elulas na forma exponencial
2.3.2 Ajuste Linear de Modelos Geometricos
Suponhamos que a formula¸c˜ao do modelo matem´atico ´e definido atrav´es de um modelo
de tipo geom´etrico, isto ´e, um modelo onde a fun¸c˜ao que define o problema ´e dado por
uma fun¸c˜ao potˆencia (Figura 2.14)
y(x) = α x

45. , α 0 e β 0 (2.16)
Neste caso, a fun¸c˜ao ´e do tipo dado pela Observa¸c˜ao 2; logo, o ajuste de parˆametros
pode ser feito atrav´es de um ajuste linear. Fazendo a mudan¸ca de vari´avel
Y = ln y e X = ln x, (2.17)
com o objetivo de transformar a equa¸c˜ao que define o modelo (2.16) na forma de uma
equa¸c˜ao de uma reta, obtemos ao tomar logaritmos de ambos os lados de (2.16)
ln y = ln α + β ln x,
nas novas vari´aveis, isto ´e,
Y = a + βX, onde a = ln α (2.18)
38

46. Figura 2.14: Fun¸c˜ao Potˆencia
Portanto, tomando b = β a equa¸c˜ao da reta ajustada ou equa¸c˜ao auxiliar ´e
Y = a + bX (2.19)
Exemplo 12 Com os dados do Exemplo 7 da rela¸c˜ao do peso (gr) e comprimento (cm)
dos atuns, determinar a dependˆencia funcional do peso dos atuns y(x) em rela¸c˜ao ao
comprimento x mediante um ajuste linear.
Soluc~ao Vimos que a rela¸c˜ao funcional que modela o problema ´e formulado pela
fun¸c˜ao potˆencia dado em (1.1), isto ´e,
y(x) = αx

47. ,
onde α ´e a taxa de metabolismo e β d´a informa¸c˜ao em termos matem´aticos da forma do
atum. Ent˜ao ´e poss´ıvel fazer um ajuste linear, o que a seguir faremos. A reta ajustada
dada por (2.19) ´e
Y = a + bX,
onde devemos encontrar os parˆametros a e b por meio de un ajuste linear. Formamos
a seguinte tabela:
39

48. xi yi Xi = ln xi Yi = ln yi XiYi X2
i
163.9 0.68 5.099 -0.385 -1.963 25.999
170 0.91 5.135 -0.094 -0.482 26.368
176.1 1.0 5.171 0 0 26.739
182.2 1.2 5.205 0.182 0.947 27.092
188.3 1.38 5.238 0.322 1.686 27.436
195.4 1.48 5.275 0.392 2.067 27.825
203.2 1.69 5.314 0.524 2.784 28.238
210 1.8 5.347 0.587 3.138 28.590
212.7 2.3 5.359 0.832 4,438 28.718
Σ9
i=1
Xi = 47.143
Σ9
i=1
Yi = 2.36
Σ9
i=1
XiYi = 12.615
Σ9
i=1
X2
i = 247.005
Aplicando o m´etodo dos m´ınimos quadrados para estimar os parˆametros, temos
a =
[
Σ9
i=1
Xi
] [
Σ9
i=1
Yi
]
− 9
[
Σ9
i=1
XiYi
]
[
Σ9
i=1
Xi
]2
− 9
[
Σ9
i=1
X2
i
] =
(47.143)(2.36) − 9(12.615)
(47.143)2 − 9(247.005)
= 3.907
b =
[
Σ9
i=1
XiYi
] [
Σ9
i=1
Xi
]
−
[
Σ9
i=1
X2
i
] [
Σ9
i=1
Yi
]
[
Σ9
i=1
Xi
]2
− 9
[
Σ9
i=1
X2
i
] =
(12.615)(47.143) − (247.005)(2.36)
(47.143)2 − 9(247.005)
b = 20.2
Portanto,
Y = 3.907X + 20.2
sendo a = ln α, temos que α = ea = e3:907 ≃ 49.749. Assim, obtemos y = 49.749x20:2
40

49. Figura 2.15: Ajuste geom´etrico para a rela¸c˜ao peso-comprimento dos atuns
2.4 Ajuste Quadratico
De

50. nic~ao 4 (Ajuste Quadratico) Sejam x, y duas grandezas cujas medidas s˜ao da-das
por (2.3). Um ajuste de curvas ´e denominado ajuste quadr´atico, se a fun¸c˜ao que
relaciona as grandezas ´e definido por f : R4 → R
f(x; a, b, c) = a + bx + cx2,
isto ´e, um ajuste quadr´atico ´e definido pela equa¸c˜ao de uma par´abola
y(x) = f(x; a, b, c) = a + bx + cx2. (2.20)
Aplicando o m´etodo dos m´ınimos quadrados, determinamos os parˆametros a, b e c mi-nimizando
a fun¸c˜ao
S(a, b, c) =
Σn
i=1
[f(x; a, b, c) − yi]2 =
Σn
i=1
[a + bx + cx2 − yi]2
As condi¸c˜oes necess´arias de m´ınimo s˜ao dadas pelas equa¸c˜oes
∂S
∂a
= 0,
∂S
∂b
= 0,
∂S
∂c
= 0,
41

51. isto ´e 

Σn
i=1
yi = na + b
Σn
i=1
xi + c
Σn
i=1
x2i
Σn
i=1
xiyi = a
Σn
i=1
xi + b
Σn
i=1
x2i
+ c
Σn
i=1
x3i
Σn
i=1
x2i
yi = a
Σn
i=1
x2i
+ b
Σn
i=1
x3i
+ c
Σn
i=1
x4i
(2.21)
Exemplo 13 Ajustar uma par´abola de m´ınimos quadrados da forma y(x) = a + bx +
cx2 para os dados da tabela seguinte.
x 1.2 1.8 3.1 4.9 5.7 7.1 8.6 9.8
y 4.5 5.9 7 7.8 7.2 6.8 4.5 2.7
Soluc~ao Devemos utilizar as equa¸c˜oes (2.21), a seguinte tabela permite fazer isso.
xi yi x2i
x3i
x4i
xiyi x2i
yi
1.2 4.5 1.44 1.73 2.08 5.40 6.48
1.8 5.9 3.24 5.83 10.49 10.62 19.12
3.1 7.0 9.61 29.79 92.35 21.70 67.27
4.9 7.8 24.01 117.65 576.48 38.22 187.28
5.7 7.2 32.49 185.19 1055.58 41.04 233.93
7.1 6.8 50.41 357.91 2541.16 48.28 342.79
8.6 4.5 73.96 636.06 5470.12 38.70 332.82
9.8 2.7 96.04 941.19 9223.66 26.46 259.31
Σ8
i=1
xi =
42.2
Σ8
i=1
yi =
46.4
Σ8
i=1
x2i
=
291.20
Σ8
i=1
x3i
=
2275.35
Σ8
i=1
x4i
=
18, 971.92
Σ8
i=1
xiyi =
230.42
Σ8
i=1
x2i
yi =
1449.00
Para n = 8, as equa¸c˜oes normais (2.21) s˜ao
8a + 42.2b + 291.20c = 46.4
42.2a + 291.20b + 2275.35c = 230.42
291.20a + 2275.35b + 18971.92c = 1449.00
42

52. Resolvendo o sistema alg´ebrico anterior, obtemos a = 2.588, b = 2.065, c = −0.2110,
da´ı, a par´abola requerida pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados tem a equa¸c˜ao
y = 2.588 + 2.065x − 0.2110x2
43

53. 2.5 Atividades
1. Demonstre que as equa¸c˜oes (2.9) e (2.10) tamb´em s˜ao dadas da seguinte forma:
a =
Σn
Σi=1 xiyi − nx¯y n
i=1 x2i
− n¯x2 , b = ¯y − a¯x
onde ¯x =
Σn
i=1 xi
n
e
¯y =
Σn
i=1 yi
n
.
2. Aplicando o M´etodo dos M´ınimos Quadrados,ajuste uma reta ao seguinte con-junto
de dados:
A = {(1, 1), (3, 2), (4, 4), (6, 4), (8, 5), (9, 7), (11, 8), (14, 9)}
3. Em cinco pa´ıses da Europa, foi encontrada uma rela¸c˜ao entre o conte´udo de po-eira
de um elemento qu´ımico no ar (em g/m3) e o n´umero de ausˆencias femininas
em certas ind´ustrias. Foram contadas somente ausˆencias de pelo menos sete dias
e encontrados os seguintes dados.
Pa´ıs g/m3 N´umero de ausˆencias por 1000 empregados
Fran¸ca 7 19
Espanha 13 44
It´alia 14 53
Alemania 17 61
Portugal 20 88
a) Desenhe o gr´afico de dispers˜ao dos dados da tabela.
b) Representar o n´umero de ausˆencias versus o conte´udo de poeira do elemento
qu´ımico.
c) Estabelecer uma reta de regress˜ao linear pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados.
4. Mostre que o ajuste de n pontos (xi, yi) a uma reta passando pela origem, y = kx
implica que k =
Σn
i
xiyi
Σn
i
x2i
.
44

54. 5. Um grupo de pesquisadores obt´em os seguintes dados experimentais depois de
fazer algumas medi¸c˜oes entre o peso (gramas) e a velocidade (m/s) de um objeto
A = {(2, 3), (3, 4), (5, 6), (6, 5), (9, 7), (12, 8)}
Fa¸ca um ajuste linear dos dados obtidos, obtenha e interprete o coeficiente de
correla¸c˜ao.
6. A Tabela seguinte fornece os valores experimentais da press˜ao P de uma dada
massa de g´as correspondente a v´arios valores do volume V . De acordo com
princ´ıpios termodinˆamicos, existe entre as vari´aveis uma rela¸c˜ao PV

55. = α, onde
α e β s˜ao constantes.
a) Encontre os valores de α e β (aplique o m´etodo dos m´ınimos quadrados para
ajustar os dados atrav´es de um modelo de ajuste linear geom´etrico).
b) Escreva a equa¸c˜ao relacionando P e V .
c) Estimar P quando v = 100.0 in3.
Volume V (in3) 54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0
Press˜ao P (lb/in) 61.2 49.5 37.6 28.4 19.2 10.1
7. A tabela seguinte d´a informa¸c˜ao do censo de uma popula¸c˜ao (em milh˜oes) de um
certo pa´ıs em rela¸c˜ao ao tempo (anos).
Anos 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950
Popula¸c˜ao 23.2 31.4 39.8 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 151.1
a) Fa¸ca um ajuste quadr´atico dos dados da tabela pelo m´etodo dos m´ınimos
quadrados.
b) Calcule os valores da regress˜ao (comumente chamados de valores de tendˆencia)
para os anos dados e comparar com os valores reais.
c) Estime a popula¸c˜ao de 1945.
d) Estime a popula¸c˜ao de 1960 e compare com o valor real 178, 9.
45

56. Unidade III
EQUAC ~OES DE DIFERENCAS
46

57. Equac~oes de Diferencas
Objetivo
• Analisar as caracter´ıstica variacionais de uma rela¸c˜ao funcional presentes na mo-delagem
e saber quando sequˆencias interpretam vari´aveis cont´ınuas.
• Solucionar uma equa¸c˜ao em diferen¸cas e obter a solu¸c˜ao em forma expl´ıcita.
• Interpretar problemas concretos atrav´es de equa¸c˜oes de diferen¸cas.
3.1 Variac~oes
Como vimos anteriormente no processo da modelagem matem´atica, a obten¸c˜ao de
um modelo matem´atico que interpreta o problema a estudar constitui a parte mais
complicada de dito processo. As rela¸c˜oes de medida que existem entre as vari´aveis ou
grandezas observadas que define o problema (que n˜ao necessariamente s˜ao de car´ater
matem´atico) s˜ao a base para a obten¸c˜ao da formula¸c˜ao do modelo matem´atico. Uma
maneira de interpretar essas rela¸c˜oes de medidas e em consequˆencia obter um modelo
matem´atico ´e dada pela varia¸c˜ao ou taxa de varia¸c˜ao dessas vari´aveis. Iniciamos esta
se¸c˜ao atrav´es da defini¸c˜ao a seguir.
De

58. nic~ao 5 Entendemos por variaveis quaisquer grandezas que se modificam du-rante
um processo dinˆamico. O termo par^ametro se refere a quantidades que podem
ou n˜ao mudar durante o processo dinˆamico. As constantes s˜ao quantidades que n˜ao
variam durante o processo e assumem valores fixados a priori.
Lembramos da an´alise real o seguinte.
De

59. nic~ao 6 (Sequ^encia de numeros reais) Uma sequˆencia de n´umeros reais ´e um
conjunto de pontos denotado por {xn}, definidos por uma fun¸c˜ao f : X ⊂ N → R, cujo
dom´ınio ´e um subconjunto X dos n´umeros naturais N, tal que xn = f(xn). Quando
este conjunto ´e finito, dizemos que a sequˆencia ´e finita.
Uma das caracter´ısticas importantes de uma sequˆencia ´e sua convergˆencia, que defini-mos
a seguir.
De

60. nic~ao 7 (Converg^encia de uma sequ^encia ) Dizemos que uma sequˆencia de
n´umeros reais xn converge para um n´umero real x se xn pode se aproximar tanto quanto
se queira de x quando n cresce, isto ´e, dado ε 0, arbitrariamente pequeno, existe
n0 ∈ N tal que 0 | xn − x | ε, quando n n0.
47

61. Notac~ao: Denotamos a convergˆencia de uma sequˆencia xn ao valor x por
xn → x ou x = lim
n→∞
xn,
onde a express˜ao x = lim
n→∞
xn indica que x ´e o limite da sequˆencia xn quando n se
aproxima do infinito.
De

62. nic~ao 8 (Conjunto Discreto e Variavel discreta) Uma vari´avel discreta ´e
uma vari´avel que toma valores isolados, ou seja, n˜ao admite valores intermedi´arios
entre dois valores espec´ıficos. O conjunto formado por valores de uma vari´avel discreta
´e chamado de conjunto discreto.
Matematicamente podemos aprofundar essa defini¸c˜ao. Dada uma sequˆencia finita de
n´umeros reais {x1, x2, x3, ..., xn}, cada elemento da sequˆencia ´e chamado de valor dis-creto,
e a vari´avel x recebe o nome de vari´avel discreta.
O conjunto finito {x1, x2, x3, ..., xn} formado por valores de uma vari´avel discreta x ´e
denominado conjunto discreto. Em outras palavras, um conjunto ´e discreto se existe
uma correspondˆencia bijetiva entre os elementos do conjunto e um subconjunto dos
n´umeros naturais {1, 2, 3..., n}.
Exemplo 14 Se desejamos encontrar o n´umero de peixes capturados em uma empresa
pesqueira em cada mˆes n, durante un ano, devemos usar uma sequˆencia finita xn para
representar o n´umero de peixes capturados no mˆes n, isto ´e, {x1, x2, x3, ..., x12} ´e o
conjunto discreto e o n´umero de peixes x ´e a vari´avel discreta
De

63. nic~ao 9 (Variavel Contnua) Uma vari´avel cont´ınua ´e aquela que pode assumir
valores entre dois n´umeros.
Em termos matem´aticos podemos dar a seguinte interpreta¸c˜ao: dada uma sequˆencia
finita de n´umeros reais {x1, x2, x3, ..., xn}, uma vari´avel x ´e dita cont´ınua se pode assu-mir
todos os valores reais intermedi´arios entre os valores discretos da sequˆencia. Em
outras palavras, uma vari´avel que n˜ao ´e cont´ınua ser´a discreta.
Exemplo 15 Se {y1 = 0.68, y2 = 0.91, y3 = 1.0, ..., y9 = 2.3} s˜ao os valores dados
do peso dos atuns do Exemplo 7, qualquer valor da vari´avel peso y pode ser assumido
no intervalo [0.68, 2.3]; logo, a vari´avel peso dos atuns ´e cont´ınua neste intervalo.
48

64. Na pr´atica, sequˆencias finitas de n´umeros reais representam grandezas que est˜ao en-volvidas
na modelagem matem´atica do problema e, portanto, constituem conjuntos
discretos, isto ´e, o caso do n´umero de peixes do Exemplo 14; ent˜ao, resulta importante
saber quando tais sequˆencias interpretam vari´aveis cont´ınuas.
Observac~ao 3 Uma sequˆencia finita {xn}k
n=1 ´e um conjunto discreto de n´umeros
reais, logo x ´e uma vari´avel discreta; por´em, se conseguimos representar a vari´avel
x = f(t) por uma fun¸c˜ao definida para todo t ∈ R, ent˜ao, na verdade, x e t ser˜ao
vari´aveis cont´ınuas.
De

65. nic~ao 10 (Variac~ao) Seja f : A ⊂ R → R y = f(x) uma fun¸c˜ao que associa a
cada vari´avel independente x a vari´avel dependente y. A varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao f
´e definida como a medida do comportamento da fun¸c˜ao em rela¸c˜ao a um est´agio da
vari´avel independente x.
As varia¸c˜oes s˜ao de dois tipos: varia¸c˜oes discretas e varia¸c˜oes cont´ınuas. A seguir es-tudaremos
cada tipo de varia¸c˜ao.
3.1.1 Variac~oes Discretas
Seja D = {y1, y2, y3, ..., yn} um conjunto discreto tal que a vari´avel discreta y est´a em
rela¸c˜ao `a grandeza x atrav´es da fun¸c˜ao f : A ⊂ R → R, isto ´e, y = f(x), ∀ x ∈ A
subconjunto pr´oprio de R.
De

66. nic~ao 11 (Variac~ao Discreta) Uma varia¸c˜ao ´e discreta se os valores da ima-gem
da fun¸c˜ao f, isto ´e, y = f(x) pertence ao conjunto discreto D.
De

67. nic~ao 12 (Variac~ao Total) A varia¸c˜ao total ou `as vezes chamada varia¸c˜ao de
y = f(x) ∈ D em rela¸c˜ao ao intervalo [x1, x2] ´e definida por
Δy = y2 − y1 = f(x2) − f(x1) (3.22)
Δy tamb´em ´e chamado de incremento de y. Se Δy 0, ent˜ao a fun¸c˜ao f aumenta em
tamanho; se Δy 0, a fun¸c˜ao f experimenta um decr´escimo do tamanho; se Δy = 0,
a fun¸c˜ao permanece inalterada.
49

68. Exemplo 16 Em um zool´ogico, uma fam´ılia de pinguins se constitu´ıa de 43 pinguins
no primeiro dia de setembro de 1980, e um total de 95 p´assaros no primeiro dia de
setembro de 1981. Calcular a varia¸c˜ao total do n´umero de indiv´ıduos de pinguins e
p´assaros.
Soluc~ao Denotando por N o n´umero de ind´ıviduos de pinguins e p´assaros, podemos
considerar N como una fun¸c˜ao do tempo t dado em meses:
N = f(t)
Tomando t1 o primeiro dia de setembro de 1980 e t2 o primeiro dia de setembro de
1981, temos f(t1) = 43 e f(t2) = 95; logo, a varia¸c˜ao total ser´a ΔN = f(t2) − f(t1) =
95−43 = 52, o que implica que o n´umero de ind´ıviduos aumentou. Observe que, sendo
os valores f(t1) = 43 e f(t2) = 95 inteiros, a vari´avel N ´e discreta.
De

69. nic~ao 13 (Taxa Media de Variac~ao) A taxa m´edia de varia¸c˜ao ou varia¸c˜ao
m´edia de y = f(x) ∈ D em rela¸c˜ao x ´e definida por
Δy
Δx
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
x1̸= x2. (3.23)
Δx = x2 − x1 ´e a extens˜ao do intervalo [x1, x2], tamb´em chamado de incremento da
vari´avel x. A taxa de varia¸c˜ao m´edia representa o incremento da fun¸c˜ao f em rela¸c˜ao
ao incremento da vari´avel x.
Exemplo 17 No Exemplo 16, a taxa m´edia de varia¸c˜ao do n´umero de indiv´ıduos de
pinguins e p´assaros ´e
ΔN
Δt
=
f(t2) − f(t1)
t2 − t1
=
52
12
= 4.33.
A popula¸c˜ao de pinguins e p´assaros entre setembro de 1980 a 1981 aumentou em m´edia
de 4.33 por mˆes. Naturalmente isso indica que o n´umero de nascimentos foi maior em
rela¸c˜ao ao n´umero de mortes.
Outro tipo de medida variacional discreta aparece em particular na dinˆamica popula-cional
que a seguir definimos.
50

70. De

71. nic~ao 14 (Taxa de Variac~ao Relativa) A taxa de varia¸c˜ao relativa ´e a taxa
de varia¸c˜ao de uma popula¸c˜ao N = f(t) ∈ D em que a varia¸c˜ao depende somente do
n´umero de ind´ıviduos presentes inicialmente e n˜ao de fatores que dependem do tempo.
Temos os seguintes casos:
i) Taxa de Varia¸c˜ao Relativa M´edia, que ´e definida por
α =
ΔN
N1Δt
=
N2 − N1
N1Δt
N1 = f(t1), N2 = f(t2)
ii) Taxa de Varia¸c˜ao Malthusiana, proveniente de um crescimento exponencial em
cada unidade de tempo.
√
α = Δt
Nt+Δt
Nt
− 1.
Exemplo 18 A Tabela 3.1 fornece os censos demogr´aficos do Brasil de 1950 a 2010
Neste caso, a vari´avel temporal t e o n´umero de indiv´ıduos assumem valores inteiros;
logo, ambas as grandezas (tempo-indiv´ıduos) s˜ao discretas.
ANOS POPULAC¸ ˜AO
TAXAS DE
CRESCIMENTO %
VARIAC¸ ˜AO TOTAL
1950 51.944.397
3.2 19.047.946
1960 70.992.343
2.8 22.146.694
1970 93.139.037
2.5 25.863.669
1980 119.002.706
1.9 27.822.769
1991 146.825.475
1.6 22.973.695
2000 169.799.170
1.1 20.933.524
2010 190.732.694
Tabela 3.1: Censos Demogr´aficos do Brasil de 1950 a 2010.
As taxas de crescimento dadas em percentagem entre dois censos consecutivos mos-trados
na tabela s˜ao obtidas utilizando-se a taxa de varia¸c˜ao malthusiana. Com
51

72. efeito, tomando-se como popula¸c˜ao inicial N0 = 51.944.397, e depois de dez anos,
N10 = 70.992.343, ent˜ao a taxa de varia¸c˜ao relativa dada pela varia¸c˜ao malthusiana
entre 1950 e 1960 ´e dada por
√
α = 10
70992343
51944397
− 1 ≃ 0.032
isto ´e, aproximadamente 3.2%.
Se agora consideramos os censos de 1950 e 2010, α ´e dado por
√
α = 60
190732694
51944397
− 1 ≃ 0.022
isto ´e, aproximadamente 2.2%. E isso quer dizer que a popula¸c˜ao brasileira cresceu a
uma taxa m´edia de aproximadamente 2.2% ao ano, nos 61 anos.
Exemplo 19 No Exemplo 16, a taxa de varia¸c˜ao m´edia relativa ao n´umero de pinguins
e p´assaros ´e
α =
ΔN
N1Δt
=
52
43(12)
≃ 0.1.
Neste caso, a taxa de varia¸c˜ao populacional entre setembro de 1980 e 1981 aumentou
em m´edia 10% por mˆes.
Se tomamos Δt = t2 − t1 = 12, temos N2 = Nt1+Δt = 95 e N1 = Nt1 = 43; logo,
√
α = 12
N2
N1
√
− 1 = 12
95
43
− 1 = 0.068
ent˜ao isso quer dizer que a popula¸c˜ao cresceu em m´edia 6.8% ao mˆes, relativamente `a
propor¸c˜ao existente em cada mˆes, durante os 12 meses.
3.1.2 Variac~oes Contnuas
De

73. nic~ao 15 (Variac~ao Contnua) Uma varia¸c˜ao ´e cont´ınua se os valores da ima-gem
da fun¸c˜ao f : A ⊂ R → R, isto ´e y = f(x) ´e v´alido para todo n´umero real x ∈ A.
Observamos que uma vari´avel cont´ınua pode assumir valores em um conjunto dis-creto,
isso significa que podemos generalizar as defini¸c˜oes de varia¸c˜oes do caso dis-creto
para o caso de varia¸c˜oes cont´ınuas, o que faremos a seguir. Consideremos uma
52

74. vari´avel y (cont´ınua ou discreta) que est´a em rela¸c˜ao com a vari´avel x atrav´es da fun¸c˜ao
f : A ⊂ R → R, isto ´e, y = f(x), ∀ x ∈ A subconjunto R.
De

75. nic~ao 16 (Variac~ao Total) A varia¸c˜ao total ou `as vezes chamada varia¸c˜ao ab-soluta
de y = f(x) em rela¸c˜ao ao intervalo [x1, x2] ´e definida por
Δy = y2 − y1 = f(x2) − f(x1) (3.24)
A varia¸c˜ao total ´e a diferen¸ca da vari´avel dependente y em duas etapas da vari´avel
independente x.
De

76. nic~ao 17 (Taxa Media de Variac~ao) A taxa m´edia de varia¸c˜ao ou varia¸c˜ao
m´edia de y = f(x) em rela¸c˜ao x ´e definida por
Δy
Δx
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
t1̸= t2. (3.25)
Δx = x2 − x1 ´e chamado o incremento da vari´avel x em rela¸c˜ao a dois est´agios x1, x2.
A taxa de varia¸c˜ao m´edia representa o incremento da fun¸c˜ao f em rela¸c˜ao ao incre-mento
da vari´avel x, a varia¸c˜ao m´edia mostra quando variou y por unidade de x.
Considerando-se de forma geral as vari´aveis x, x+h, onde h = Δx, a defini¸c˜ao de taxa
m´edia de varia¸c˜ao tamb´em pode ser dada por
Δy
Δx
=
f(x + h) − f(x)
h
. (3.26)
Geometricamente (escalas graduadas), a taxa m´edia de varia¸c˜ao tem a seguinte inter-preta
¸c˜ao. Se consideramos o gr´afico da fun¸c˜ao f, isto ´e, Gra(f) = {(x, y) ∈ R2; y =
f(x)}, a taxa m´edia de varia¸c˜ao tem um significado intuitivo. Na Figura 3.16, a reta
l ´e tra¸cada ligando os dois pontos (x, f(x)), (x + h, f(x + h)) do gr´afico da fun¸c˜ao f.
A taxa m´edia de varia¸c˜ao ´e interpretada como a inclina¸c˜ao da reta secante l, isto ´e, o
coeficiente angular da reta coincide com a taxa m´edia de varia¸c˜ao
tan(α) =
Δy
Δx
=
f(x + h) − f(x)
h
. (3.27)
´E
importante deixar claro que o coeficiente angular de uma reta s´o pode ser dito, no
53

77. caso de que as escalas dos eixos de coordenadas s˜ao igualmente espa¸cados, isto ´e, em
escala graduada. J´a no caso geral, quer dizer que quando lidamos com fun¸c˜oes, s´o
podemos dizer de taxa m´edia de varia¸c˜ao ou simplesmente varia¸c˜ao, conforme o caso.
Figura 3.16: Taxa M´edia de Varia¸c˜ao
Δy
Δx
=
f(x + h) − f(x)
h
Exemplo 20 Entendemos por metabolismo o conjunto de transforma¸c˜oes que as subs-t
ˆancias qu´ımicas sofrem no interior dos organismos vivos. Seja M(t) a massa de um
nutriente de um ser vivo como fun¸c˜ao do tempo t. Estamos interessados na velocidade
de uma rea¸c˜ao qu´ımica.
A taxa m´edia de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao massa ir´a responder a esta preocupa¸c˜ao. Admi-tamos
a hip´otese de que o nutriente se desintegra quimicamente; consequentemente,
a massa M decresce no tempo. Se consideramos dois instantes consecutivos t1, t2:
Δt = t2 − t1 representa o comprimento do intervalo [t1, t2] e ΔM = f(t2) − f(t1) o
decr´escimo da massa. Logo, a taxa m´edia de varia¸c˜ao da massa por unidade de tempo ´e
ΔM
Δt
=
f(t2) − f(t1)
t2 − t1
.
Este quociente ´e chamado a taxa m´edia de rea¸c˜ao no intervalo de tempo de t1 a t2.
Pelas hip´oteses, temos que ΔM/Δt ´e negativo e podemos concluir que a rea¸c˜ao qu´ımica
n˜ao tem que ter necessariamente uma taxa constante.
De

78. nic~ao 18 (Taxa de Variac~ao Relativa) A taxa de varia¸c˜ao relativa ´e a taxa
de varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao y = f(x) por unidade de x relativa `a etapa inicial y = yi:
54

79. 1
yi
Δyi
Δxi
=
[
f(xi+1) − f(xi)
xi+1 − xi
]
1
yi
(3.28)
Muitas vezes n˜ao ´e sempre satisfat´orio considerarmos as varia¸c˜oes simples, m´edia e
relativa quando os dados envolvidos s˜ao vari´aveis cont´ınuas; nesse sentido, precisamos
de uma medida de varia¸c˜ao que permita nos informar em tempo real o comportamento
da fun¸c˜ao; isso pode ser dado por uma varia¸c˜ao em tempo real, a qual ser´a oposta
a uma varia¸c˜ao m´edia, a varia¸c˜ao instantˆanea que a seguir definimos dar´a resposta `a
nossa inquietude.
De

80. nic~ao 19 (Taxa de Variac~ao Instant^anea) A taxa de varia¸c˜ao instantˆanea ´e
a taxa de varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao y = f(x) no ponto x dado por
lim
Δx→0
Δy
Δx
= lim
h→0
[
f(x + h) − f(x)
h
]
= f′(x) (3.29)
desde que o limite existir.
A taxa de varia¸c˜ao instˆantanea f′(x) ´e chamada de derivada da fun¸c˜ao f no ponto x,
ela ´e o n´umero real, cujos valores aproximados s˜ao os quocientes [f(x + h) − f(x)] /h
para valores muito pequenos de h. A taxa de varia¸c˜ao instˆantanea ´e o limite das taxas
m´edias de varia¸c˜ao.
Geometricamente, a derivada f′(x) ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente l ao gr´afico da
fun¸c˜ao f no ponto x.
O sinal e o valor da derivada f′(x) indicam a tendˆencia da varia¸c˜ao de f a partir do
ponto x. Se f′(x) 0, ent˜ao f(x+h) f(x) para pequenos valores positivos de h. Se
f(x) 0, tem-se, ao contr´ario, f(x + h) f(x) para h pequeno e positivo. Se f′(x)
´e um n´umero positivo grande, ent˜ao f cresce rapidamente a partir de x. E assim por
diante. A derivada ´e a no¸c˜ao fundamental do C´alculo Infinitesimal. Sua descoberta,
h´a trˆes s´eculos e meio, teve uma grande repercuss˜ao e provocou um progresso extraor-din
´ario na Ciˆencia e em toda a civiliza¸c˜ao a partir daquela ´epoca.
Exemplo 21 Seja s(t) a posi¸c˜ao de uma part´ıcula no instante t que se move ao longo
de uma linha reta; a velocidade m´edia do corpo no intervalo de tempo de t1 a t2 ´e
definida por
55

81. Figura 3.17: Interpreta¸c˜ao geom´etrica da derivada
vm =
Δs
Δt
=
s(t2) − s(t1)
t2 − t1
, (3.30)
isto ´e, a velocidade v = v(t) como fun¸c˜ao do tempo ´e na verdade uma taxa de varia¸c˜ao.
Suponhamos que estamos interessados em medir a rapidez com que a velocidade au-menta
ou diminui; para isso tomamos como referˆencia dois instantes consecutivos t1 e
t2 o quociente
Δv
Δt
=
v(t2) − v(t1)
t2 − t1
, (3.31)
´e a varia¸c˜ao m´edia da velocidade, por unidade de tempo. Esta quantidade ´e usual-mente
chamada a acelera¸c˜ao m´edia e ´e respons´avel por medir a rapidez da velocidade.
Para Δ 0 a acelera¸c˜ao ´e positiva, caso contr´ario para Δ 0 a velocidade decresce e
a acelera¸c˜ao ´e negativa.
Em concordˆancia com as leis da cinem´atica, o movimento de um corpo ´e um processo
cont´ınuo. Um corpo n˜ao pode nem acelerar nem desacelerar no tempo zero. Conse-quentemente,
n˜ao h´a dificuldade em chegarmos `a no¸c˜ao de uma velocidade instantˆanea
no tempo t1 partindo de uma velocidade m´edia; com efeito, tomando o limite em (3.30)
s′(t1) = lim
t2→t1
Δs
Δt
= lim
t2→t1
s(t2) − s(t1)
t2 − t1
, (3.32)
56

82. representa a velocidade instantˆanea no tempo t1, ela ´e definida como o limite da fun¸c˜ao
posi¸c˜ao da part´ıcula.
Da mesma forma, a acelera¸c˜ao instantˆanea no tempo t1 ´e definida como segue:
v′(t1) = lim
t2→t1
Δv
Δt
= lim
t2→t1
v(t2) − v(t1)
t2 − t1
, (3.33)
quer dizer, o limite da acelera¸c˜ao m´edia dado por (3.31) representa a acelera¸c˜ao ins-tant
ˆanea.
Modelos matem´aticos que relacionam as vari´aveis por meio de suas varia¸c˜oes cont´ınuas
s˜ao formulados por equa¸c˜oes diferenciais (veja Unidade IV ). J´a os modelos discretos
utilizam as equa¸c˜oes de diferen¸cas, como veremos a seguir.
3.2 Equac~oes de Diferencas
A teoria de equa¸c˜os de diferen¸cas ´e rica em muitos ramos das ciˆencias naturais pelas
diversas aplica¸c˜oes que ela possui. Essas equa¸c˜oes, em geral, descrevem fenˆomenos ao
longo do tempo. Essa evolu¸c˜ao do tempo ´e medida em intervalos iguais de modo a
ser interpretado como uma vari´avel discreta. Por exemplo, se desej´assemos calcular o
n´umero de indiv´ıduos numa popula¸c˜ao de seres vivos em um determinado tempo, cada
unidade de tempo poder´a ser considerado como dias, ou, se se estiver a medir o caudal
de um rio, o tempo pode ser considerado em semanas, ou se pretendemos determinar
o produto nacional bruto de uma regi˜ao, o tempo pode ser medido em anos etc.
De

83. nic~ao 20 (Equac~ao de Diferencas) Uma equa¸c˜ao que relaciona os termos de
uma sequˆencia {y0, y1, y2, ..., yn, ...} ´e chamada equa¸c˜ao de diferen¸cas ou f´ormula de re-corr
ˆencia. Se a sequˆencia ´e finita dizemos que a equa¸c˜ao ´e uma equa¸c˜ao de diferen¸cas
finitas. De modo geral, temos a seguinte defini¸c˜ao para o caso finito. Seja n ∈ Z (ou
n ∈ N). Uma equa¸c˜ao da forma
F(n, yn, yn−1, ..., yn−m) = 0 (3.34)
´e designada por equa¸c˜ao de diferen¸cas finitas (EDF) de ordem m n. Por ordem
entendemos a diferen¸ca entre o maior e o menor dos ´ındices de y.
A equa¸c˜ao estabelece uma rela¸c˜ao entre yn e n, yn−1, ..., yn−m. Para simplificar, admite-se
que a equa¸c˜ao anterior se pode escrever na forma normal:
yn = f(n, yn−1, ..., yn−m) (3.35)
57

84. Exemplo 22 Um exemplo de equa¸c˜ao de diferen¸cas ´e a seguinte:
(n + 2)yn+1 − 3yn = n2 + 2
A equa¸c˜ao anterior implica que, para cada valor de n entre zero e infinito, o termo de
ordem n + 1 na seq¨uˆencia, multiplicado por n + 2 e menos 3 vezes o termo de ordem
n, ´e igual a n2 + 2.
De

85. nic~ao 21 (Soluc~ao de uma Equac~ao de Diferencas) Uma fun¸c˜ao ϕn ´e de-signada
uma solu¸c˜ao da EDF yn = f(n, yn−1, ..., yn−m) se ϕn satisfaz
ϕn = f(n, ϕn−1, ..., ϕn−m).
Uma solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao de diferen¸cas finitas ´e uma express˜ao que fornece o valor
de uma vari´avel num est´agio n em fun¸c˜ao de n e dos m valores dos est´agios iniciais,
chamados condi¸c˜oes iniciais.
Observac~ao 4 Se uma equa¸c˜ao est´a em forma normal, ent˜ao em princ´ıpio ´e f´acil
achar as solu¸c˜oes. Considere (3.35) para os valores sucessivos n = m,m + 1,m + 2, ...
ym = f(m, ym−1, ..., y0)
ym+1 = f(m + 1, ym, ..., y1)
ym+2 = f(m + 2, ym−1, ..., y2)
......
Note-se que, se y0, y1, ..., ym−1 s˜ao dados arbitrariamente, ent˜ao f(m, ym−1, ..., y0) nos
fornece o valor de ym. Sabendo este valor, f(m + 1, ym, ..., y1) nos fornece o valor de
ym+1 e, sabendo este, f(m + 2, ym−1, ..., y2) nos fornece o valor de ym+2, e assim por
diante. Este processo, chamado de itera¸c˜ao, constr´oi uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao a partir
dos m condi¸c˜oes iniciais y0, y1, ..., ym−1 que a seguir definimos e aos quais podem ser
atribu´ıdos valores arbitr´arios.
De

86. nic~ao 22 (Problema de Valor Inicial) Um problema de valor inicial (PVI) ´e
definido pela seguinte express˜ao:
(PV I)
{
yn = f(n, yn−1, ..., yn−m)
y0, y1, ... ym−1 s˜ao conhecidos.
58

87. Exemplo 23 Tomando a condi¸c˜ao inicial y0 = 0, uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de primeira
ordem do Exemplo 22 ´e dada pela fun¸c˜ao ϕn = yn = n.
Com efeito, completamos a sequˆencia a partir da equa¸c˜ao de diferen¸cas
2y1 − 3y0 = 2 ⇒ y1 = 1
3y2 − 3y1 = 3 ⇒ y2 = 2
4y3 − 3y2 = 6 ⇒ y3 = 3
Deduzimos que a solu¸c˜ao obtida a partir da condi¸c˜ao inicial y0 = 0 ´e yn = n, e a
obten¸c˜ao da solu¸c˜ao atrav´es deste processo ´e chamado de m´etodo iterativo.
Exemplo 24 A fun¸c˜ao yn =
n(n − 1)
2
´e solu¸c˜ao do PVI:
{
yn = yn−1 + n − 1
y1 = 0
Com efeito, ´e simples verificar que
n(n − 1)
2
=
(n − 1)(n − 2)
2
+ n − 1;
portanto, yn = n(n − 1)/2 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de diferen¸cas dado. Por outro lado,
y1 = (0)(1)/2 = 0, verificando-se dessa forma a condi¸c˜ao inicial, e, portanto, solu¸c˜ao
do problema de valor inicial.
Observac~ao 5 Observe que, uma vez dados os valores de y0, y1, ..., ym−1, os passos
iterativos determinam os n´umeros sucessivos ym, ym+1, ..., yn de maneira ´unica. Uma
outra maneira de expressar isso ´e a seguinte: se u e v s˜ao duas solu¸c˜oes e se os primeiros
m valores coincidem, isto ´e, u0 = v0, u1 = v1, ..., um−1 = vm−1, ent˜ao u = v. Esse
resultado ´e conhecido como Teorema de Unicidade.
3.2.1 Equac~oes de Diferencas Lineares
De

88. nic~ao 23 (Equac~oes de Diferencas Lineares de Ordem m ) Uma equa¸c˜ao
de diferen¸ca linear de ordem m tem a seguinte forma:
yn + an−1yn−1 + an−2yn−2 + ... + an−2yn−m = fn,
59

89. onde ai−1, (i = 1, 2, ...,m) e fn s˜ao fun¸c˜oes em n.
De

90. nic~ao 24 (Equac~ao Linear de Ordem m com Coe

91. cientes Constantes)
Uma equa¸c˜ao de diferen¸ca linear de ordem m com coeficientes constantes tem a seguinte
forma:
yn + an−1yn−1 + an−2yn−2 + ... + an−myn−m = fn, (3.36)
onde ai−1, (i = 1, 2, ...,m) s˜ao constantes e fn ´e uma fun¸c˜ao que depende de n. No caso
fn = 0, a equa¸c˜ao (3.36) ´e chamada homogˆenea; caso contr´ario, ´e dita n˜ao homogˆenea.
Observac~ao 6 Note-se a conven¸c˜ao: fn ´e uma express˜ao em n onde n varia discreta-mente;
e f(n) ´e uma express˜ao em n onde n varia continuamente. Assim, se fn = n2,
para n ≥ 0, ent˜ao fn assume os valores {0, 1, 4, 9, ...}. Nessa se¸c˜ao estudam-se as EDF
de ordem m com coeficientes constantes.
O m´etodo iterativo, utilizado no ponto precedente, n˜ao funciona eficientemente para
essas equa¸c˜oes. Exige-se, assim, um m´etodo alternativo de resolu¸c˜ao. Come¸ca-se por
resolver a equa¸c˜ao (3.36) assumindo fn = 0.
Teorema 1 [Soluc~ao Geral] A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao homogˆenea
yn + an−1yn−1 + an−2yn−2 + ... + an−myn−m = 0,
´e da forma
yn = c1u1 + c2u2 + ... + cmum, (3.37)
onde ci (i = 1, ...,m) s˜ao constantes arbitr´arias, ui s˜ao fun¸c˜oes em n, e {u1, ..., um} ´e
uma base de dimens˜ao m do espa¸co das solu¸c˜oes.
Qualquer solu¸c˜ao particular pode ser obtida a partir da equa¸c˜ao precedente mediante
uma escolha apropriada de ci.
O exemplo seguinte mostra como uma solu¸c˜ao geral de uma equa¸c˜ao de ordem m, de-pende
de m constantes arbitr´arias.
60

92. Exemplo 25 A equa¸c˜ao de segunda ordem yn+2 = 1 + 2yn + yn+1 tem como solu¸c˜ao
geral
yn =
−1
2
+ a(−1)n + 2nb,
onde a e b s˜ao n´umeros quaisquer (observe que esta express˜ao ´e uma solu¸c˜ao). O
m´etodo iterativo n˜ao nos leva necessariamente a enxergar uma maneira compacta de
expressar a solu¸c˜ao geral, e em geral tal maneira compacta n˜ao existe. Para algu-mas
equa¸c˜oes importantes, por´em, a solu¸c˜ao geral pode ser expressa em forma ´util e
expl´ıcita. S˜ao essas as equa¸c˜oes que estudaremos neste curso.
Exemplo 26 Provar que a EDF de segunda ordem yn+1 − 5yn + 6yn−1 = 0 tem como
solu¸c˜ao geral
yn = c12n + c23n
Soluc~ao Lembrando que uma base do espa¸co vectorial das solu¸c˜oes de uma EDF de
ordem 2 ´e um conjunto formado por duas solu¸c˜oes linearmente independentes, ent˜ao
devemos provar que o conjunto {2n, 3n} ´e uma base do mencionado espa¸co de solu¸c˜oes.
N˜ao ´e dificil verificar que 2n e 3n s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao; com efeito, substituindo-se
na equa¸c˜ao, obtemos
2n+1 − 5.2n + 6.2n−1 = 0,
3n+1 − 5.3n + 6.3n−1 = 0,
assim 2n e 3n s˜ao solu¸c˜oes. Essas solu¸c˜oes s˜ao linearmente independentes se, e somente
se,
α12n + α23n = 0, ∀ n ⇔ α1 = α2 = 0.
Tomando agora n = 0 e n = 1 na equa¸c˜ao anterior, obtemos respectivamente
α1 + α2 = 0,
2α1 + 3α2 = 0,
e resolvendo o sistema, encontramos α1 = 0 e α2 = 0; portanto, as solu¸c˜oes s˜ao linear-mente
independentes. Pelo Teorema 1 provamos que a solu¸c˜ao geral ´e
yn = c12n + c23n.
61

93. Sabe-se j´a verificar se determinado conjunto de solu¸c˜oes forma uma base do espa¸co
das solu¸c˜oes de uma EDF linear homogˆenea de coeficientes constantes. Importa agora
estudar um m´etodo que permita obter a solu¸c˜ao geral da EDF. Para isso, se come¸ca
por introduzir o operador de avan¸co (forward) F.
De

94. nic~ao 25 (Operador Avanco) O operador de avan¸co F sobre a express˜ao yn
define-se como Fyn = yn+1.
Da defini¸c˜ao temos que F2yn = F(Fyn) = Fyn+1 = yn+2. Em geral, para todo k,m ∈ N
Fmyn+k = yn+k+m.
Temos a conven¸c˜ao F0yn = yn. O operador F aplicado a uma constante resulta na
pr´opria constante, Fc = c. Com o operador de avan¸co podemos escrever a equa¸c˜ao
linear homogˆenea de ordem m
amym+n + am−1ym+n−1 + ... + a0yn = 0 (3.38)
na forma
amFmyn + am−1Fm−1yn + ... + a0F0yn = 0,
ou
(amFm + am−1Fm−1 + ... + a0F0)yn = 0.
Logo,
p(F)yn = 0,
onde
p(F) = amFm + am−1Fm−1 + ... + a0F0.
Definimos o polinˆomio caracter´ıstico: p(r) = amrm + am−1rm−1 + ... + a0 e a equa¸c˜ao
62

95. caracter´ıstica associada `a equa¸c˜ao homogˆenea
p(r) = 0.
Estamos diante de uma equa¸c˜ao polinomial de grau m, que tem m ra´ızes. As solu¸c˜oes
da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao chamadas ra´ızes caracter´ısticas da equa¸c˜ao e podem ser
usadas para estabelecer a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao, que nos d´a todas as solu¸c˜oes da
equa¸c˜ao de diferen¸cas.
EDF Linear de Primeira Ordem
Teorema 2 [EDF Linear de Primeira Ordem m = 1] Considere-se a EDF
a1yn+1 + a0yn = 0,
i.e., (a1F + a0)yn = 0 ou ainda p(F)yn = 0. Seja r a raiz do polinˆomio caracter´ıstico
p(r) = a1r + a0, isto ´e, r = −a0/a1. Ent˜ao,
yn = c1rn, c1 ∈ R (3.39)
´e a solu¸c˜ao geral da EDF.
Demonstra¸c˜ao. Atendendo ao Teorema 1, a demonstra¸c˜ao ´e simples e deixa-se como
exerc´ıcio.
Exemplo 27 Resolver a EDF de primeira ordem 2yn+1 − 5yn = 0
Soluc~ao A equa¸c˜ao pode ser escrita da forma
2Fyn − 5F0yn = (2F − 5)yn = 0
cuja equa¸c˜ao caracter´ıstica associada `a equa¸c˜ao homogˆenea ´e
2r − 5 = 0 e raiz r = 5/2
Portanto, a solu¸c˜ao dada pelo Teorema 2 ´e yn = c
(
5
2
)n
, ∀ c ∈ R.
63

96. EDF Linear de Segunda Ordem
Teorema 3 [EDF Linear de Segunda Ordem m = 2] Considere-se a EDF
a2yn+2 + a1yn+1 + a0yn = 0,
i.e., (a2F2+a1F +a0)yn = 0 ou ainda p(F)yn = 0. Sejam r1 e r2 as ra´ızes do polinˆomio
caracter´ıstico p(r) = a2r2 + a1r + a0. Tˆem-se os seguintes casos:
1. Se r1 e r2 s˜ao reais e distintas, a solu¸c˜ao geral ´e
1 + c2rn
2 , c1, c2 ∈ R; (3.40)
yn = c1rn
2. Se r1 = r2 = r, a solu¸c˜ao geral ´e
yn = c1rn + c2nrn, c1, c2 ∈ R; (3.41)
3. Se r1 = a + bi, r2 = a − bi s˜ao ra´ızes complexas do polinˆomio caracter´ıstico, a
solu¸c˜ao geral ´e
yn = ρ (c1 cos(ωn) + c2sen(ωn)) , (3.42)
onde ρ =
√
a2 + b2 e ω = arccos(a/ρ).
Demonstra¸c˜ao. Deixa-se como exerc´ıcio mostrar que as solu¸c˜oes, em cada caso, satis-fazem
o Teorema 1.
Exemplo 28 Resolver a EDF yn+2 − 3yn+1 + 2n = 0
Soluc~ao A equa¸c˜ao ´e uma equa¸c˜ao de diferen¸cas finitas, de segunda ordem, ho-mog
ˆenea, linear e de coeficientes constantes. A respectiva equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e
r2 − 3r + 2 = 0
cujas solu¸c˜oes s˜ao
r1 = 2 ou r = 1.
Portanto, a solu¸c˜ao dada pelo Teorema 3 ´e
yn = c11n + c22n = c1 + c22n c1, c2 ∈ R.
64

97. Exemplo 29 Resolver o problema de valor inicial
(PV I)
{
yn+2 + yn = 0
y0 = 0, y1 = 1
Soluc~ao A equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e
r2 + 1 = 0
cujas solu¸c˜oes s˜ao
r1 = i r = −i.
Logo, a solu¸c˜ao dada pelo Teorema 3 ´e yn = ρ (c1 cos(ωn) + c2sen(ωn)) c1, c2 ∈ R, onde
ρ =
√
a2 + b2 =
√
1 = 1 e ω = arccos(a/ρ) = arccos(0) =
π
2
.
Portanto,
yn = c1 cos(
π
2
n) + c2 sen(
π
2
n), c1, c2 ∈ R.
Das condi¸c˜oes iniciais temos
y0 = c1 cos(
π
2
0) + c2 sen(
π
2
0) = c1 = 0,⇒ c1 = 0.
Analogamente,
y1 = c2 sen(
π
2
) = c2 = 1,⇒ c2 = 1.
Portanto, a solu¸c˜ao do problema de valor inicial ´e
yn = sen(
nπ
2
)
65

98. 3.2.2 Sistemas de Equac~oes de Diferencas
Na Subse¸c˜ao 3.2.1, estudamos as equa¸c˜oes de diferen¸cas finitas lineares. Agora, esten-deremos
essas equa¸c˜oes para sistemas de equa¸c˜oes lineares. Veremos a seguir que uma
equa¸c˜ao de segunda ordem e em geral de ordem m pode ser transformado num sistema
linear de duas equa¸c˜oes de primeira ordem e em geral num sistema de m equa¸c˜oes de
primeira ordem. Vamos nos limitar ao caso de sistemas lineares de duas equa¸c˜oes de
primeira ordem com coeficientes constantes. Iniciamos com a seguinte defini¸c˜ao:
De

99. nic~ao 26 Um sistema de equa¸c˜oes nas vari´aveis yn, zn da forma
{
yn+1 = a11yn + a12zn
zn+1 = a21yn + a22zn,
(3.43)
onde aij , i, j = 1, 2 s˜ao constantes, ´e chamado sistema de duas equa¸c˜oes em diferen¸cas
finitas lineares.
Um sistema linear de duas equa¸c˜oes de primeira ordem pode ser transformado em uma
equa¸c˜ao linear de segunda ordem
yn+2 + ayn+1 + byn = 0 (3.44)
Com efeito, da primeira e segunda equa¸c˜ao de (3.43) temos respectivamente
yn+2 = a11yn+1 + a12zn+1
= a11yn+1 + a12(a21yn + a22zn)
= (a11 + a22)yn+1 + (a12a21 − a11a22)yn
Portanto,
yn+2 − (a11 + a22)yn+1 + (a11a22 − a12a21)yn = 0, (3.45)
obtendo assim (3.44) onde a = −(a11 + a22) e b = −(a12a21 − a11a22). Reciprocamente
a equa¸c˜ao linear de segunda ordem (3.44) pode ser transformada num sistema linear
de duas equa¸c˜oes de primeira ordem (3.43) considerando-se a mudan¸ca de vari´aveis
66

100. zn = yn+1:
{
yn+1 = zn
zn+1 = −azn − byn
(3.46)
De

101. nic~ao 27 A matriz
J =
(
a11 a12
a21 a22
)
(3.47)
´e denominada matriz Jacobiana do sistema (3.43). Os autovalores desta matriz s˜ao
valores r tal que det(J − rI) = 0, onde I ´e a matriz identidade, isto ´e,
det(J − rI) =

106. a11 − r a12
a21 a22 − r

111. = 0 ⇔
r2 − (a11 + a22)r + (a11a22 − a12a21) = 0 (3.48)
p(r) = r2 − (a11 + a22)r + (a11a22 − a12a21) ´e o polinˆomio caracter´ıstico de (3.45).
α = a11 + a22 ´e o tra¸co da matriz J, β = a11a22 − a12a21 ´e o determinante de J,
α2 − 4β ´e o discriminante de J.
Exemplo 30 Desejamos encontrar a formula¸c˜ao de um modelo matem´atico que go-verna
a dinˆamica populacional dos atuns. Sabendo que o atum ´e considerado jovem
(alevino) at´e a idade de quatro anos, em que inicia sua reprodu¸c˜ao sexual, e que o
n´umero de alevinos no ano n ´e proporcional ao n´umero de adultos no ano n − 1, for-mular
o modelo matem´atico do problema e solucionar.
Soluc~ao Denotemos por N(n) = Nn o n´umero de adultos no ano n, e J(n) = Jn o
n´umero de atuns jovens (alevinos), o que implica que as vari´aveis envolvidas s˜ao de tipo
discreto. Como hip´oteses de simplifica¸c˜ao suponhamos que o fator de proporcionalidade
k ´e constante; logo, do enunciado temos
Jn = kNn−1 (3.49)
De outro lado, se yn representa o n´umero total de atuns no ano n, ´e evidente que
yn = Nn + Jn (3.50)
Considerando que o atum ´e jovem antes dos quatro anos, podemos tomar na verdade
cada 2 anos como margem de intervalo de tempo quer dizer, o tempo n = 1 represen-tar
´a 2 anos; logo, passados outros dois anos, n = 2 representar´a 4 anos, que ´e a idade
67

112. em que o atum torna-se adulto, e assim sucessivamente.
Dessa forma, iniciamos o seguinte processo iterativo:
No inicio n = 0 do processo, teremos uma quantidade inicial de N0 adultos e J0 = 0
alevinos que em total s˜ao y0 = N0 atuns.
Passados dois anos, n = 1 haver´a ainda N1 = N0 adultos, e J1 = kN0 alevinos quando,
no total, haver´a y1 = N0 + kN0 atuns.
No tempo n = 2, isto ´e, transcorridos quatro anos, os J1 = kN0 alevinos j´a s˜ao adultos
e se reproduzem; logo, h´a N2 = N0 + kN0 = y1 adultos e J2 = kN0 = kN1 alevinos
que, no total, s˜ao y2 = N0 + 2kN0.
Em n = 3, isto ´e, depois de seis anos, teremos N3 = N0 + 2kN0 = y2 adultos e
J3 = kN2 = kN0 + k2N0 alevinos, que no total, s˜ao y3 = N0 + 3kN0 + k2N0 atuns.
Em geral, para qualquer ano n, n´os teremos Nn = yn−1 = Nn−1 + Jn−1 adultos e
Jn = kNn−1 alevinos que, no total, somam yn = Nn + Jn = Nn−1 + Jn−1 + kNn−1.
Ent˜ao, podemos ver que a f´ormula de recorrˆencia para a quantidade de atuns adultos
´e dada por
Nn = Nn−1 + Jn−1 = Nn−1 + kNn−2 para n ≥ 2. (3.51)
Como yn = Nn + Jn, temos
Nn = yn−1 = yn−2 + kyn−3 para n ≥ 3, (3.52)
que pode ser reescrito na forma de uma equa¸c˜ao em diferen¸cas lineares de segunda
ordem com coeficientes constantes.
yn = yn−1 + kyn−2 para n ≥ 2. (3.53)
Acrescentando as condi¸c˜oes inicias y0 = N(0) = N0, y1 = N(1) = N1 = N0 obtemos o
modelo matem´atico atrav´es do seguinte problema de valor inicial:
{
yn = yn−1 + kyn−2
y0 = y1 = N0,
(3.54)
68

113. Tomando o valor num´erico k = 2, encontramos a solu¸c˜ao. A equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e
r2 − r − 2 = 0,
cujas ra´ızes s˜ao
r1 = 2 e r2 = −1.
A solu¸c˜ao geral ´e
yn = c12n + c2(−1)n
Das condi¸c˜oes iniciais temos
{
N0 = c1 + c2
N0 = 2c1 − c2
Resolvendo o sistema, encontramos
c1 =
2N0
3
, c2 =
N0
3
,
obtendo
yn =
N0
3
2n+1 +
N0
3
(−1)n
69

114. 3.2.3 Atividades
1. Classifique o tipo de vari´avel.
a) O n´umero de ind´ıviduos de uma popula¸c˜ao animal ou vegetal.
b) O raio de uma c´elula esf´erica.
c) O n´umero de mol´eculas de uma substˆancia radioativa.
d) A posi¸c˜ao de uma part´ıcula.
2. A concentra¸c˜ao C (em miligramas por mililitro) de um rem´edio na corrente
sangu´ınea de um cavalo ´e monitorada a intervalos de 20 minutos durante 2 horas,
com t dado em minutos, conforme a tabela:
t 0 20 40 60 80 100 120
C 0 17 55 89 111 113 68
Encontre a taxa m´edia de varia¸c˜ao nos intervalos: a) [0, 20]; b) [60, 80].
3. Um grupo de excursionistas iniciou uma caminhada de 40 km `as 9 horas. O
grupo alcan¸cou um abrigo a 32 km de distˆancia do ponto de partida `as 18 h30 m.
A´ı eles passaram a noite. Na manh˜a seguinte, `as 8 horas, o grupo continuou a
caminhar e chegou ao seu objetivo `as 11 h 30 m. A velocidade m´edia do segundo
dia ´e maior ou menor do que a do primeiro?
4. Suponhamos que uma popula¸c˜ao de 25000 indiv´ıduos (no instante t = 0) cresce
de acordo com a f´ormula N = 25000 + 45t2, onde o tempo t ´e medido em dias.
Encontrar a taxa m´edia de crescimento nos seguintes intervalos de tempo: a) de
t = 0 a t = 2; b) de t = 2 a t = 10; c) de t = 0 a t = 10.
5. O tamanho de uma cultura de bact´erias que cresce lentamente no tempo (em
horas) ´e dado aproximadamente por
N(t) = N0 + 52t + 2t2
Calcular a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea em t = 6 horas.
6. O modelo discreto de um modelo populacional de indiv´ıduos ´e dado pela taxa de
varia¸c˜ao Malthusiana, proveniente de um crescimento exponencial
√
α = Δt
Nt+Δt
Nt
− 1
a) Fa¸ca Δt = 1 e prove que Nt+1 = (1 + α)Nt.
b) Considerando a equa¸c˜ao de diferen¸cas de primeira ordem dado em a) e uma
popula¸c˜ao inicial de N(0) = N0, prove que o problema de valor inicial tem por
solu¸c˜ao Nt = (1 + α)tN0.
70

115. 7. Encontrar a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao
yn+2 − yn = 0
8. Considere-se o seguinte modelo econˆomico multiplicador-acelerador simplificado
Ct = byt−1
It = Ii
t + G
Ii
t = k(Ct − Ct−1)
yt = Ct + It
onde C ´e o consumo que depende do rendimento nacional, y do per´ıodo anterior,
I ´e o investimento que ´e igual ao investimento induzido, Ii, mais gastos do estado,
G, e k ´e o coeficiente de acelera¸c˜ao. A ´ultima equa¸c˜ao representa a condi¸c˜ao de
equil´ıbrio do modelo econˆomico.
a) Prove que yt = b(1 + k)yt−1 − bkyt−2 + G.
b) Se b = k = 1 e G = 0, prove que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao em diferen¸cas de
segunda ordem dado em a) ´e yt = c1 + c2t, c1, c2 constantes arbitr´arias.
9. Na data t = 0 faz-se um dep´osito de 12000 reais `a taxa anual de 5%. Se yt
representa o capital obtido na data t,
a) Prove que o modelo matem´atico ´e dado pelo problema de valor inicial
{
yt = (1.05)yt−1
y0 = 1200
b) Prove que a solu¸c˜ao do problema de valor inicial ´e yt = 12000(1.05)t.
c) Prove que o valor do capital na data t = 3 ´e 13892.
71

116. Unidade IV
EQUAC ~OES DIFERENCIAIS ORDINARIAS