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APOSTILA DE EXERCÍCIOS
ÁREAS
ÁREAS
1
01. (Ita 2001) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18cm e a diferença dos
dois outros lados é igual a 2cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio,
então a soma a+r (em cm) é igual a
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
02. (Epcar 2020) Isabel confecciona envelopes a partir de folhas retangulares de papel A4, conhecido por ter medidas
21cm por 29,7 cm e 2
75 g m .
O processo de preparação de cada envelope envolve:
- dobrar a folha ao meio tanto no sentido da maior medida quanto da menor medida;
- com a folha aberta e a determinação do seu centro, tomar, a partir deste, sobre a dobra maior, 8 cm para a esquerda
e 8 cm para a direita, e, sobre a dobra menor, 3 cm para cima e 3 cm para baixo, determinando um retângulo;
- sobre as menores dimensões deste retângulo, desenhar dois triângulos equiláteros;
- sobre uma das maiores dimensões do retângulo, tomar um triângulo isósceles de altura 6 cm;
- sobre a outra das maiores dimensões do retângulo, desenhar um trapézio isósceles, cuja medida do ângulo da base
maior é igual a 45° e a altura é igual a 3 cm.
A figura abaixo é uma planificação total de um dos envelopes.
Considere 3 1
,7
=
Se o pacote de papel A4 é vendido com 500 folhas e se for confeccionado apenas um envelope com cada uma das
folhas de um pacote, então, a quantidade gasta, em gramas, de papel é maior que
a) 800.
b) 750 e menor que 800.
c) 700 e menor que 750.
d) 650 e menor que 750.
ÁREAS
2
03. (Espcex 2020) Um trapézio ABCD, retângulo em A e D, possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que
os lados AB e CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então a área, em 2
cm , desse trapézio mede
a) 120.
b) 60.
c) 180.
d) 30.
e) 240.
04. (Efomm 2020) Sejam a circunferência 1
C , com centro em A e raio 1, e a circunferência 2
C , que passa por A,
com centro em B e raio 2. Sabendo-se que D é o ponto médio do segmento AB, E é um dos pontos de interseção
entre 1
C e 2
C , e F é a interseção da reta ED com a circunferência 2
C , o valor da área do triângulo AEF, em unidades
de área é
a)
15
2
8
+
b)
15
1
4
+
c)
3 15
8
d)
15
4
e)
5 15
8
05. (Col. naval 2019) Observe a figura a seguir.
Nela, o arco AC, de centro em B, mede 90 .
° M é ponto médio do diâmetro AB do semicírculo em preto. Essa figura
representa o ponto de partida de um desenhista gráfico para a construção do logotipo de uma empresa. As áreas das
partes clara e escura somadas são iguais a 4 .
π
Após análise, ele resolve escurecer 30% da área clara e apronta o
logotipo. Nessas novas condições é correto afirmar que a porcentagem da área da parte clara sobre a área total será
igual a
a) 25%
b) 30%
c) 32%
d) 35%
e) 40%
ÁREAS
3
06. (Espcex 2019) Considere uma circunferência de centro O e raio 1cm tangente a uma reta r no ponto Q. A
medida do ângulo ˆ
MOQ é 30 ,
° onde M é um ponto da circunferência. Sendo P o ponto da reta r tal que PM é
paralelo a OQ, a área (em 2
cm ) do trapézio OMPQ é
a)
1 3
.
2 8
−
b)
3
2 .
2
−
c)
3
1 .
2
+
d)
3
2 .
8
−
e)
3
.
2
07. (Epcar 2019) Um artista plástico providenciou uma peça de decoração com características matemáticas conforme
representado no croqui a seguir.
Considere que:
1. OA OB OC OD OE OF OG OH R
= = = = = = = =
2. Os arcos de circunferência        
AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA ora têm centro no ponto médio de cada uma das cordas
AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, respectivamente, ora têm centro no ponto O
3. 3
π =
4. 2 1
,4
=
A área hachurada no croqui, em função da medida R, é igual a
a) 2
1,4 R
b) 2
1,6 R
c) 2
1,8 R
d) 2
2 R
ÁREAS
4
08. (Eear 2019) Um trapézio tem 12 cm de base média e 7 cm de altura. A área desse quadrilátero é ______ 2
cm .
a) 13
b) 19
c) 44
d) 84
09. (Epcar 2019) Considere a figura a seguir.
Sabe-se que:
1. MNST e NPQS são quadrados
2. MS 4 2 cm
=
3. ( )
ˆ
med UQS 15
= °
4. os pontos M, U, S e R estão alinhados.
Sejam 1
A a área do triângulo SRQ e 2
A a área do triângulo URQ, ambas em 2
cm . O valor de 1
2
A
A
é
a)
2
2
b)
3
3
c)
6
2
d)
6
3
10. (Ita 2014) Considere o trapézio ABCD de bases AB e CD. Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e
BD, respectivamente. Então, se AB tem comprimento x e CD tem comprimento y x,
< MN é igual a
a) x y.
−
b)
1
(x y).
2
−
c)
1
(x y).
3
−
d)
1
(x y).
3
+
e)
1
(x y).
4
+
ÁREAS
5
11. (Acafe 2018) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa que contém todas as corretas.
I. No triângulo da figura, o segmento BP é bissetriz do ângulo B. Então, o valor de x é um número inteiro.
II. Um quadrado está inscrito num triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm, conforme a figura. A medida
da área do quadrado é 2
576 49 cm .
III. Se uma reta no espaço é paralela a dois planos simultaneamente, então esses planos são paralelos.
IV. Se um triângulo equilátero está inscrito numa circunferência cujo raio mede 2 cm, então sua área mede 2
3 3 cm .
a) I - III
b) I - II - III
c) II - III - IV
d) II - IV
12. (Espcex 2018) Seis círculos de raio 1cm são inseridos no paralelogramo MNPQ, de área 2
X cm , de acordo com a
figura abaixo.
Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do paralelogramo, a área X, em 2
cm , é
a) 11 6 3.
+ b)
30 14 3
.
3
+
c) 10 5 3.
+ d) 11 6 3.
− e)
36 20 3
.
3
+
ÁREAS
6
13. (Ita 2018) Em um triângulo de vértices A, B e C são dados ˆ
B̂ , C
2 3
π π
= = e o lado BC 1cm.
= Se o lado AB é o
diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em 2
cm , é
a)
3 3
.
8 16
π
−
b)
5 3
.
4 2
π
−
c)
5 3 3
.
8 4
π
−
d)
5 3
.
16 8
π
−
e)
5 3 3
.
8 16
π
−
14. (Epcar 2017) No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real f definida por
2
f(x) x x 2
=
− − + e o polígono ABCDE.
Considere que:
- o ponto C é vértice da função f.
- os pontos B e D possuem ordenadas iguais.
- as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f.
Pode-se afirmar que a área do polígono ABCDE, em unidades de área, é
a)
1
8
16
b)
1
4
8
c)
1
4
4
d)
1
8
2
ÁREAS
7
15. (Col. naval 2017) Observe a figura a seguir.
A figura acima exibe um total de n peças idênticas de um quebra-cabeça que, resolvido, revela uma coroa circular.
Sabe-se que 6 cm é a menor distância entre as circunferências concêntricas pontilhadas da figura e que o raio da
menor dessas circunferências é igual a 9 cm. Se a área de cada peça é 2
(12 ) cm ,
π é correto afirmar que n é igual a
a) 6
b) 8
c) 9
d) 12
e) 15
16. (Epcar 2017) Considere duas calçadas r e s, paralelas entre si, a uma distância de 6 m uma da outra.
Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se encontram nos pontos A e B definidos na calçada s. Na calçada r está
uma placa de parada de ônibus no ponto X que dista 10 m da pessoa posicionada em A. Quando a pessoa em A se
deslocar para P sobre o segmento AX, a distância que irá separá-la da pessoa posicionada no ponto B, em metros,
será de
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
ÁREAS
8
17. (Col. naval 2017) Um triângulo isósceles ABC tem base BC 16 cm
= e lados congruentes AB AC 17 cm.
= = O
raio do círculo inscrito ao triângulo ABC em cm é igual a
a)
32
15
b)
24
5
c)
35
8
d)
28
5
e)
17
4
18. (Col. naval 2017) Analise a figura a seguir.
Pelo centro O do quadrado de lado 6 cm acima, traçou-se a circunferência que corta o lado BC nos pontos P e
Q. O triângulo OPQ tem área 2
3
cm .
2
Sendo assim, é correto afirmar que o raio dessa circunferência, em cm, é
igual a
a) 1
b) 2
c) 3
d)
2 2
3
e)
3
2
ÁREAS
9
19. (Epcar 2017) Considere os círculos abaixo, de centro O e raio 4R, cujos diâmetros são divididos em oito partes
iguais. Sabe-se que todos os arcos traçados nas quatro figuras são arcos de circunferência cujos diâmetros estão
contidos no segmento AB.
Sobre as áreas I II III
S , S ,S e IV
S hachuradas nas figuras (I), (II), (III) e (IV), respectivamente, pode-se afirmar que
a) I II III IV
S S S S
= = =
b) III I
S S
>
c) IV II
1
S S
2
=
d) II III
S S
>
20. (Col. naval 2017) Considere um losango ABCD de lado igual a 5 cm, diagonais AC e BD, e ângulo interno
BÂD 120 .
= ° Sabe-se que um ponto M sobre o lado AB está a 2 cm de A enquanto um ponto N sobre o lado BC
está a 3 cm de C.
Sendo assim, a razão entre a área do losango ABCD e a área do triângulo de vértices MBN é igual a
a)
15
2
b)
21
4
c)
25
3
d)
32
5
e)
49
4
ÁREAS
10
GABARITO
1 - C 2 - A 3 - B 4 - C 5 - D
6 - A 7 - B 8 - D 9 - B 10 - B
11 - D 12 - E 13 - D 14 - B 15 - D
16 - A 17 - B 18 - B 19 - C 20 - C

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Áreas 1

  • 2. ÁREAS 1 01. (Ita 2001) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a+r (em cm) é igual a a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 02. (Epcar 2020) Isabel confecciona envelopes a partir de folhas retangulares de papel A4, conhecido por ter medidas 21cm por 29,7 cm e 2 75 g m . O processo de preparação de cada envelope envolve: - dobrar a folha ao meio tanto no sentido da maior medida quanto da menor medida; - com a folha aberta e a determinação do seu centro, tomar, a partir deste, sobre a dobra maior, 8 cm para a esquerda e 8 cm para a direita, e, sobre a dobra menor, 3 cm para cima e 3 cm para baixo, determinando um retângulo; - sobre as menores dimensões deste retângulo, desenhar dois triângulos equiláteros; - sobre uma das maiores dimensões do retângulo, tomar um triângulo isósceles de altura 6 cm; - sobre a outra das maiores dimensões do retângulo, desenhar um trapézio isósceles, cuja medida do ângulo da base maior é igual a 45° e a altura é igual a 3 cm. A figura abaixo é uma planificação total de um dos envelopes. Considere 3 1 ,7 = Se o pacote de papel A4 é vendido com 500 folhas e se for confeccionado apenas um envelope com cada uma das folhas de um pacote, então, a quantidade gasta, em gramas, de papel é maior que a) 800. b) 750 e menor que 800. c) 700 e menor que 750. d) 650 e menor que 750.
  • 3. ÁREAS 2 03. (Espcex 2020) Um trapézio ABCD, retângulo em A e D, possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os lados AB e CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então a área, em 2 cm , desse trapézio mede a) 120. b) 60. c) 180. d) 30. e) 240. 04. (Efomm 2020) Sejam a circunferência 1 C , com centro em A e raio 1, e a circunferência 2 C , que passa por A, com centro em B e raio 2. Sabendo-se que D é o ponto médio do segmento AB, E é um dos pontos de interseção entre 1 C e 2 C , e F é a interseção da reta ED com a circunferência 2 C , o valor da área do triângulo AEF, em unidades de área é a) 15 2 8 + b) 15 1 4 + c) 3 15 8 d) 15 4 e) 5 15 8 05. (Col. naval 2019) Observe a figura a seguir. Nela, o arco AC, de centro em B, mede 90 . ° M é ponto médio do diâmetro AB do semicírculo em preto. Essa figura representa o ponto de partida de um desenhista gráfico para a construção do logotipo de uma empresa. As áreas das partes clara e escura somadas são iguais a 4 . π Após análise, ele resolve escurecer 30% da área clara e apronta o logotipo. Nessas novas condições é correto afirmar que a porcentagem da área da parte clara sobre a área total será igual a a) 25% b) 30% c) 32% d) 35% e) 40%
  • 4. ÁREAS 3 06. (Espcex 2019) Considere uma circunferência de centro O e raio 1cm tangente a uma reta r no ponto Q. A medida do ângulo ˆ MOQ é 30 , ° onde M é um ponto da circunferência. Sendo P o ponto da reta r tal que PM é paralelo a OQ, a área (em 2 cm ) do trapézio OMPQ é a) 1 3 . 2 8 − b) 3 2 . 2 − c) 3 1 . 2 + d) 3 2 . 8 − e) 3 . 2 07. (Epcar 2019) Um artista plástico providenciou uma peça de decoração com características matemáticas conforme representado no croqui a seguir. Considere que: 1. OA OB OC OD OE OF OG OH R = = = = = = = = 2. Os arcos de circunferência         AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA ora têm centro no ponto médio de cada uma das cordas AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, respectivamente, ora têm centro no ponto O 3. 3 π = 4. 2 1 ,4 = A área hachurada no croqui, em função da medida R, é igual a a) 2 1,4 R b) 2 1,6 R c) 2 1,8 R d) 2 2 R
  • 5. ÁREAS 4 08. (Eear 2019) Um trapézio tem 12 cm de base média e 7 cm de altura. A área desse quadrilátero é ______ 2 cm . a) 13 b) 19 c) 44 d) 84 09. (Epcar 2019) Considere a figura a seguir. Sabe-se que: 1. MNST e NPQS são quadrados 2. MS 4 2 cm = 3. ( ) ˆ med UQS 15 = ° 4. os pontos M, U, S e R estão alinhados. Sejam 1 A a área do triângulo SRQ e 2 A a área do triângulo URQ, ambas em 2 cm . O valor de 1 2 A A é a) 2 2 b) 3 3 c) 6 2 d) 6 3 10. (Ita 2014) Considere o trapézio ABCD de bases AB e CD. Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e BD, respectivamente. Então, se AB tem comprimento x e CD tem comprimento y x, < MN é igual a a) x y. − b) 1 (x y). 2 − c) 1 (x y). 3 − d) 1 (x y). 3 + e) 1 (x y). 4 +
  • 6. ÁREAS 5 11. (Acafe 2018) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa que contém todas as corretas. I. No triângulo da figura, o segmento BP é bissetriz do ângulo B. Então, o valor de x é um número inteiro. II. Um quadrado está inscrito num triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm, conforme a figura. A medida da área do quadrado é 2 576 49 cm . III. Se uma reta no espaço é paralela a dois planos simultaneamente, então esses planos são paralelos. IV. Se um triângulo equilátero está inscrito numa circunferência cujo raio mede 2 cm, então sua área mede 2 3 3 cm . a) I - III b) I - II - III c) II - III - IV d) II - IV 12. (Espcex 2018) Seis círculos de raio 1cm são inseridos no paralelogramo MNPQ, de área 2 X cm , de acordo com a figura abaixo. Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do paralelogramo, a área X, em 2 cm , é a) 11 6 3. + b) 30 14 3 . 3 + c) 10 5 3. + d) 11 6 3. − e) 36 20 3 . 3 +
  • 7. ÁREAS 6 13. (Ita 2018) Em um triângulo de vértices A, B e C são dados ˆ B̂ , C 2 3 π π = = e o lado BC 1cm. = Se o lado AB é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em 2 cm , é a) 3 3 . 8 16 π − b) 5 3 . 4 2 π − c) 5 3 3 . 8 4 π − d) 5 3 . 16 8 π − e) 5 3 3 . 8 16 π − 14. (Epcar 2017) No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real f definida por 2 f(x) x x 2 = − − + e o polígono ABCDE. Considere que: - o ponto C é vértice da função f. - os pontos B e D possuem ordenadas iguais. - as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f. Pode-se afirmar que a área do polígono ABCDE, em unidades de área, é a) 1 8 16 b) 1 4 8 c) 1 4 4 d) 1 8 2
  • 8. ÁREAS 7 15. (Col. naval 2017) Observe a figura a seguir. A figura acima exibe um total de n peças idênticas de um quebra-cabeça que, resolvido, revela uma coroa circular. Sabe-se que 6 cm é a menor distância entre as circunferências concêntricas pontilhadas da figura e que o raio da menor dessas circunferências é igual a 9 cm. Se a área de cada peça é 2 (12 ) cm , π é correto afirmar que n é igual a a) 6 b) 8 c) 9 d) 12 e) 15 16. (Epcar 2017) Considere duas calçadas r e s, paralelas entre si, a uma distância de 6 m uma da outra. Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se encontram nos pontos A e B definidos na calçada s. Na calçada r está uma placa de parada de ônibus no ponto X que dista 10 m da pessoa posicionada em A. Quando a pessoa em A se deslocar para P sobre o segmento AX, a distância que irá separá-la da pessoa posicionada no ponto B, em metros, será de a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
  • 9. ÁREAS 8 17. (Col. naval 2017) Um triângulo isósceles ABC tem base BC 16 cm = e lados congruentes AB AC 17 cm. = = O raio do círculo inscrito ao triângulo ABC em cm é igual a a) 32 15 b) 24 5 c) 35 8 d) 28 5 e) 17 4 18. (Col. naval 2017) Analise a figura a seguir. Pelo centro O do quadrado de lado 6 cm acima, traçou-se a circunferência que corta o lado BC nos pontos P e Q. O triângulo OPQ tem área 2 3 cm . 2 Sendo assim, é correto afirmar que o raio dessa circunferência, em cm, é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 2 3 e) 3 2
  • 10. ÁREAS 9 19. (Epcar 2017) Considere os círculos abaixo, de centro O e raio 4R, cujos diâmetros são divididos em oito partes iguais. Sabe-se que todos os arcos traçados nas quatro figuras são arcos de circunferência cujos diâmetros estão contidos no segmento AB. Sobre as áreas I II III S , S ,S e IV S hachuradas nas figuras (I), (II), (III) e (IV), respectivamente, pode-se afirmar que a) I II III IV S S S S = = = b) III I S S > c) IV II 1 S S 2 = d) II III S S > 20. (Col. naval 2017) Considere um losango ABCD de lado igual a 5 cm, diagonais AC e BD, e ângulo interno BÂD 120 . = ° Sabe-se que um ponto M sobre o lado AB está a 2 cm de A enquanto um ponto N sobre o lado BC está a 3 cm de C. Sendo assim, a razão entre a área do losango ABCD e a área do triângulo de vértices MBN é igual a a) 15 2 b) 21 4 c) 25 3 d) 32 5 e) 49 4
  • 11. ÁREAS 10 GABARITO 1 - C 2 - A 3 - B 4 - C 5 - D 6 - A 7 - B 8 - D 9 - B 10 - B 11 - D 12 - E 13 - D 14 - B 15 - D 16 - A 17 - B 18 - B 19 - C 20 - C