Este documento apresenta 25 exercícios de relações métricas envolvendo triângulos, retângulos, círculos e outras figuras planas. As questões abordam cálculos de medidas, aplicação de teoremas geométricos e raciocínios métricos.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
RELAÇÕES MÉTRICAS

2. RELAÇÕES MÉTRICAS
1
01. (Espm 2019) Uma praça tem a forma de um quadrado de 200 m de lado. Partindo juntas de um mesmo canto P,
duas amigas percorrem o perímetro da praça caminhando em sentidos opostos, com velocidades constantes. O
primeiro encontro delas se dá em um ponto A e o segundo, em um ponto B. Se a medida do segmento PA é 250 m,
então, o segmento PB mede
a) 50 m
b) 100 m
c) 150 m
d) 200 m
e) 250 m
02. (Espm 2019) Num triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, a medida da altura relativa à hipotenusa
é igual a 4. O valor da expressão
a b c
b c a c a b
+ +
⋅ ⋅ ⋅
é igual a
a) 1
b) 2
c)
1
2
d)
1
4
e)
1
8
03. (Fgv 2018) Um triângulo isósceles ABC, com AB AC 1,
= = é tal que cada ângulo da base BC mede o dobro do
ângulo de vértice A. Se cos18 m,
° = então, o quadrado de BC é igual a
a) 2
2 1 m 1 m
 
+ − −
 
 
b) 2
2 1 m 1 m
 
− + −
 
 
c) 2
2 2m
−
d) 2
4 2m
−
e) 2
4 4m
−
04. (Mackenzie 2018) Observe.
Na figura acima, o triângulo ABC é retângulo em C e sua área vale 6, então o valor do ˆ
senB é
a)
3
5
b) 1 c)
4
5
d)
2
5
e)
1
5

3. RELAÇÕES MÉTRICAS
2
05. (Insper 2018) Na figura, BAC e DEC são triângulos retângulos em  e Ê, com AB 15 cm,
= ED 10 cm
= e
AE 30 cm.
= O ponto C pertence a AE e o ponto F pertence a r, que é reta suporte de DE. O ponto C pode mover-
se ao longo de AE, e o ponto F pode mover-se ao longo de r, como mostra a figura.
A partir dessas condições, demonstra-se facilmente que BC CD
+ será mínimo na circunstância em que o triângulo
DCF é isósceles de base DF. A medida de BD, em centímetros, é igual a
a) 5 53
b) 5 37
c) 6 26
d) 5 41
e) 18 3
06. (Mackenzie 2016) A soma entre as medidas da altura e da base de um retângulo é de 14 cm. Se a diagonal mede
10 cm, então as medidas da altura e da base do retângulo são, respectivamente,
a) 2 cm e 12 cm
b) 9 cm e 5 cm
c) 10 cm e 4 cm
d) 8 cm e 6 cm
e) 11cm e 3 cm
07. (Mackenzie 2016) No triângulo ABC, da figura acima, AM é mediana relativa ao lado BC e é perpendicular ao
lado AB.
Se as medidas de BC e AM são, respectivamente, 4 cm e 1cm, então a medida do lado AC, em cm, é
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7

4. RELAÇÕES MÉTRICAS
3
08. (Insper 2016) A base da agência de espionagem C.O.N.T.R.O.L.E. localiza-se em um terreno plano, na origem de
um sistema de coordenadas cartesianas medidas em quilômetros. Nos pontos A(6;0), B(0;6), C( 6;0)
− e D(0; 6)
−
foram instalados radares com o intuito de alertar os agentes da base sobre possíveis ataques terrestres. Cada radar
patrulha uma região circular de R km de raio. Para que a proteção seja efetiva, a região patrulhada por um radar deve
interceptar as regiões patrulhadas por outros dois radares em pelo menos um ponto, como indicado na figura ao lado.
Nessas condições, para que a proteção seja efetiva, R deve valer, no mínimo,
a) 4 3
b) 4 2
c) 3 3
d) 3 2
e) 4
09. (Espm 2016) Num mapa, uma estrada retilínea passa sucessivamente pelas cidades A, B e C e uma cidade D,
distante 120 km de A, está localizada de tal forma que o ângulo 
DAB mede 36 .
° Um viajante fez o trajeto AB, BD e
DC, percorrendo em cada trecho a mesma distância. Se ele tivesse ido diretamente de A até C, teria percorrido uma
distância de
a) 120 km
b) 60 3 km
c) (120 cos 36 ) km
⋅ °
d)
120
km
cos 36°
e) 140 km

5. RELAÇÕES MÉTRICAS
4
10. (Unesp 2015) Em 2014, a Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) implantou duas faixas para pedestres na
diagonal de um cruzamento de ruas perpendiculares do centro de São Paulo. Juntas, as faixas formam um 'X', como
indicado na imagem. Segundo a CET, o objetivo das faixas foi o de encurtar o tempo e a distância da travessia.
Antes da implantação das novas faixas, o tempo necessário para o pedestre ir do ponto A até o ponto C era de 90
segundos e distribuía-se do seguinte modo: 40 segundos para atravessar AB, com velocidade média v; 20 segundos
esperando o sinal verde de pedestres para iniciar a travessia BC; e 30 segundos para atravessar BC, também com
velocidade média v. Na nova configuração das faixas, com a mesma velocidade média v, a economia de tempo para
ir de A até C, por meio da faixa AC, em segundos, será igual a
a) 20.
b) 30.
c) 50.
d) 10.
e) 40.

6. RELAÇÕES MÉTRICAS
5
11. (Unesp 2015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade japonesa de Nagasaki.
A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria conhecido como “marco zero”.
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado do militar japonês Yashida,
se encontrava a 1km do marco zero e a 50 m de um poço. No momento da explosão, os dois correm e se refugiam
no poço, chegando nesse local no momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela
explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da explosão da bomba, do poço e dos
personagens do filme no momento da explosão da bomba.
Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km h e adotando a aproximação 5 2,24,
≅ os personagens
correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média, em km h, de aproximadamente
a) 28.
b) 24.
c) 40.
d) 36.
e) 32.
12. (Insper 2015) Na figura, AD é um diâmetro da circunferência que contém o lado BC do quadrado sombreado,
cujos vértices E e F pertencem à circunferência.
Se a é a medida do segmento AB e  é a medida do lado do quadrado, então
a

é igual a
a) 5 2.
− b)
5 1
.
2
−
c)
5 1
.
2
+
d)
5
.
2
e) 5 2.
+

7. RELAÇÕES MÉTRICAS
6
13. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão
aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
a) 3,0 m2
b) 2,0 m2
c) 1,5 m2
d) 3,5 m2
14. (ifsp 2014) Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 60 cm, obtém-
se um quadrilátero, cujo perímetro é, em centímetros,
a) 30 2.
b) 60 2.
c) 90 2.
d) 120 2.
e) 150 2.
15. (ifsp 2014) Um restaurante foi representado em sua planta por um retângulo PQRS. Um arquiteto dividiu sua área
em: cozinha (C), área de atendimento ao público (A) e estacionamento (E), como mostra a figura abaixo.
Sabendo que P, H e R são colineares, que PH mede 9 m e que SH mede 12 m, a área total do restaurante, em metros
quadrados, é
a) 150
b) 200
c) 250
d) 300
e) 350
16. (Fgv 2013) Um triângulo tem lados medindo 1cm, 2cm e 2,5cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado.
O valor de h2
expresso em cm2
é, aproximadamente, igual a
a) 0,54
b) 0,56
c) 0,58
d) 0,60
e) 0,62

8. RELAÇÕES MÉTRICAS
7
17. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes
e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é
de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes,
como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto
PFGHQ?
a) 12 cm
b) 15 cm
c) 16 cm
d) 18 cm
18. (ifsp 2013) Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais estão
fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está perpendicular às cordas. O comprimento da maior corda é de
50 cm, e o da menor é de 30 cm. Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui 25 cm de comprimento da
primeira à última corda, se todas as cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas seguidas, em centímetros,
é
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
19. (Espm 2012) As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma PA. Se x é a medida do menor ângulo
interno desse triângulo, o valor de tg x é
a) 0,6
b) 0,5
c) 0,8
d) 0,45
e) 0,75

9. RELAÇÕES MÉTRICAS
8
20. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm2
. Os segmentos CE e CF medem 4 cm
cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto
P do espaço.
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a
a) 6 cm
b) 5 cm
c) 4 2 cm
d) 5 2 cm
e) 6 2 cm
21. (Insper 2012) A figura mostra parte de um campo de futebol, em que estão representados um dos gols e a marca
do pênalti (ponto P).
Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol, que são perpendiculares ao plano do campo, além
das medidas a seguir, que foram aproximadas para facilitar as contas.
• Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros.
• Largura do gol: 8 metros.
• Altura do gol: 2,5 metros.
Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, seguindo uma trajetória reta, choca-se contra a junção da trave
esquerda com o travessão (ponto T). Nessa situação, a bola terá percorrido, do momento do chute até o choque, uma
distância, em metros, aproximadamente igual a
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20

10. RELAÇÕES MÉTRICAS
9
22. (Espm 2012) A figura mostra um quadrado, dois círculos claros de raios R e dois círculos escuros de raios r,
tangentes entre si e aos lados do quadrado.
A razão entre R e r é igual a
a) 2
b) 3
c)
3
2
d) 2
e)
5
2
23. (Fgv 2012) As cordas AB e CD de um círculo são perpendiculares no ponto P, sendo que AP 6,
= PB 4
= e
CP 2.
= O raio desse círculo mede
a) 5
b) 6
c) 3 3.
d) 4 2.
e) 5 2.

11. RELAÇÕES MÉTRICAS
10
24. (Espm 2012) A figura abaixo representa um paralelepípedo reto-retângulo de medidas AF = 4, FC = 3 e CE = 2 3,
sendo B o ponto médio de DE. O perímetro do triângulo ABC é igual a
a) 12
b) 14
c) 13
d) 15
e) 11
25. (Insper 2012) Considere a figura a seguir, na qual foram construídos quadrados sobre os lados de um triângulo
retângulo de hipotenusa medindo a e catetos medindo b e c.
A partir dessa figura, pode-se enunciar o teorema de Pitágoras:
Se a
A , b
A e c
A são as áreas dos quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, conforme indicado
na figura, então vale a igualdade a b c
A A A .
= +
Considere agora que, sobre os lados do mesmo triângulo retângulo, sejam construídos retângulos de altura unitária,
conforme a figura.
A partir da igualdade expressa no teorema de Pitágoras, assinale a alternativa que completa a sentença a seguir,
baseada na nova figura. Se a
A , b
A e c
A são as áreas dos retângulos de altura unitária construídos sobre os lados de
um triângulo retângulo, conforme indicado na figura, então vale a igualdade
a) a b c
A A A
.
a b c
= + b) a b c
aA bA cA .
= + c)
2 2 2
a b c
A A A
.
a b c
= + d) 2 2 2
a b c
aA bA cA .
= + e) 2 2 2
a b c
a A b A c A .
= +

12. RELAÇÕES MÉTRICAS
11
26. (Unicamp 2012) Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As figuras
abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligações entre as ripas, nos quais os parafusos
são representados por círculos brancos. Note que cada ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada
extremidade.
Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, são necessários
a) 1201,5 m de ripas
b) 1425,0 m de ripas
c) 2403,0 m de ripas
d) 712,5 m de ripas
27. (Unicamp 2011) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o
topo da escada ficou a uma altura de 4 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m,
tocando o muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar,
a escada passou a fazer um ângulo de 45º com o piso horizontal. A distância entre a parede da casa e o muro equivale
a
a) 4 3 + 1 metros
b) 3 2 −1 metros
c) 4 3 metros
d) 3 2 −2 metros

13. RELAÇÕES MÉTRICAS
12
28. (Fatec 2010) Na figura tem-se:
- a circunferência de centro O tangente à reta CE


e à reta EF


nos pontos D e F, respectivamente;
- a reta OB

perpendicular à reta AC;

- a reta EF


paralela à reta OB.

Sabendo que a medida do maior ângulo 
CEF é igual a 230 ,
° a medida do ângulo agudo 
ACE é igual a
a) 20 .
°
b) 30 .
°
c) 40 .
°
d) 50 .
°
e) 60 .
°
29. (Fgv 2010) Seja ABC um triângulo retângulo em B tal que
7 3
AC
2
= e BP 3,
= onde BP é a altura do triângulo
ABC pelo vértice B. A menor medida possível do ângulo 
ACB tem aproximação inteira igual a
Dado:
tgα
valor aproximado de α
em graus
2
3
25,2°
2
2
35,3°
3
2
40,9°
2 2
3
43,3°
2 3
3
49,1°
a) 25 .
° b) 35 .
° c) 41 .
° d) 43 .
° e) 49 .
°

14. RELAÇÕES MÉTRICAS
13
30. (Fuvest 2001) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura a
seguir. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é:
a) (1 7)
2
+
b) (1 7)
3
+
c) (1 7)
4
+
d) 7
1
3
 
+  
 
 
e) 1+ 7
4
 
 
 
 
GABARITO
1 - B 2 - C 3 - E 4 - A 5 - B
6 - D 7 - E 8 - D 9 - A 10 - E
11 - D 12 - C 13 - C 14 - D 15 - D
16 - C 17 - B 18 - E 19 - E 20 - A
21 - A 22 - C 23 - E 24 - B 25 - B
26 - A 27 - B 28 - C 29 - C 30 - E