1. ´Area de uma elipse via c´alculo integral e
diferencial
24/07/2013
Qual ´e a ´area de uma elipse?
Neste documento estudaremos apenas um caso da elipse. Os outros casos seguem
o mesmo racioc´ınio.
Considere a Elipse: x2
a2 + y2
b2 = 11
cujo gr´afico segue abaixo:
Figura 1: Elipse - x2
a2 + y2
b2 = 1
Vocˆe que ´e matem´atico ou um estudioso da matem´atica j´a deve ter se perguntado:
Qual ´e a ´area de uma Elipse. A resposta ´e simples: abπ, onde a ´e a distˆancia do
centro da elipse ao ponto onde a elipse toca o eixo x e b ´e a distˆancia do centro
da elipse ao ponto onde a elipse toca o eixo y. Apesar da resposta ser simples, a
demonstra¸c˜ao deste fato foge da matem´atica estudada no ensino m´edio, sendo ne-
1todo texto escrito neste documento faz referˆencia a este caso da elipse
1

2. cess´ario o uso de conte´udos de matem´atica universit´aria, em particular do c´alculo
diferencial e integral.
Dada a elipse x2
a2 + y2
b2 = 1 podemos escrevˆe-la da seguinte maneira: y = b 1 − x2
a2 .
Considere agora apenas a regi˜ao fechada OAB da figura 1(um quarto da elipse).
Vamos calcular a ´area da regi˜ao hachurada da figura 1. Para isto temos a fun¸c˜ao
y = b 1 − x2
a2 e a varia¸c˜ao no eixo x de zero a a.Assim, temos:
´AREAHACHURADA =
a
0
b 1 −
x2
a2
dx
Tome x = asen(t), logo t = arcsen(x
a ); dx = acos(t)dt. Como vamos mudar a
vari´avel, devemos mudar o intervalo. Assim: se x = 0, ent˜ao t = arcsen(0
a ) =
arcsen(0) ⇒ t = 0. Se x = a, ent˜ao t = arcsen(a
a ) = arcsen(1) ⇒ t = π
2 . Logo:
a
0
b 1 −
x2
a2
dx = b
π
2
0
1 −
(asen(t))2
a2
acos(t)dt =
b
π
2
0
1 −
a2sen2(t)
a2
acos(t)dt = b
π
2
0
1 − sen2(t)acos(t)dt =
ab
π
2
0
cos2(t)cos(t)dt = ab
π
2
0
cos2
(t)dt.
Como: cos(2t) = cos(t + t) = cos2
(t) − sen2
(t) = cos2
(t) − 1 + cos2
(t) =
2cos2
(t) − 1 ⇒ cos2
(t) = cos(2t)+1
2 .
Logo: ab
π
2
0
cos2
(t)dt = ab
π
2
0
cos(2t) + 1
2
dt =
ab
2
π
2
0
(cos(2t) + 1)dt =
ab
2
sen(π)
2
+
π
2
−
sen(0)
2
− 0 =
ab
2
(
π
2
) =
abπ
4
.
Conclu´ımos assim que a ´area hachurada da figura 1 vale abπ
4 . Como a regi˜ao ha-
churada ´e apenas um quarto da elipse, temos que a ´AREA DA ELIPSE vale 4abπ
4
e, portanto ´AREAELIP SE = πab.
Exemplo: A ´area da elipse x2
32 + y2
42 = 1 ´e 3.4π = 12π ∼= 37, 7 unidade de ´area.
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