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APOSTILA DE EXERCÍCIOS
LEIS - SENOS E COSSENOS
LEIS – SENOS E COSSENOS
1
01. (Acafe 2019) Na figura abaixo, ABC e AED são triângulos retângulos. Se m(AC) ,
=  ˆ
m(BAC) ,
α
= ˆ
m(ADE) β
= e
ˆ ˆ
m(ABC) m(DAE) 90 ,
= = ° então m(BD) é
a) cos α
⋅

b) 2
sen α
⋅

c) cos sen
α β
⋅ ⋅

d)
2
cos
sen
α
β
⋅

e)
2
sen
cos
α
β
⋅

02. (Ime 2019) Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos ˆ ˆ
A, B e Ĉ, respectivamente. Os lados
a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções
trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.
a) ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 sen (A C) sen (A) sen (C)
+= +
b) ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 cos (A C) cos (A) cos (C)
+= +
c) ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 sen (A C) sen (A) sen (C)
−= −
d) ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 cos (A C) cos (A cos (C)
− = −
e) ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 cos (A C) sen (A) sen (C)
+= +
03. (Ita 2018) Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB 3 cm, BC 7 cm
= = e CA 8 cm.
= A
circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento
do segmento NK, em cm, é
a) 2.
b) 2 2.
c) 3.
d) 2 3.
e)
7
.
2
LEIS – SENOS E COSSENOS
2
04. (Eear 2017) Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo
30 ,
° seu lado oposto a esse ângulo mede
a)
R
2
b) R
c) 2R
d)
2R
3
05. (Ime 2016) Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo 
A. Sabe-se que
AB
AC AD, r
AC
= = e que 𝐶𝐶
̂ = 𝛼𝛼. Portanto o valor de 2
sen α é
a)
3r 1
4
−
b)
3r 1
4r
−
c)
r 3
4
+
d)
3r 1
4r
+
e)
3r 1
4
+
06. (Ita 2016) Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que
BM MN NC.
= = Sendo α a medida, em radianos, do ângulo 
MAN, então o valor de cosα é
a)
13
.
14
b)
14
.
15
c)
15
.
16
d)
16
.
17
e)
17
.
18
07. (Ita 2016) Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados AB,
BC e AC, respectivamente, tais que
a) P é o ponto médio de AB;
b) M é o ponto médio de BC;
c) PN é a bissetriz do ângulo 
APC.
Então, o comprimento do segmento MN é igual a
a) 10 4 3
− b) 5 2 3
− c) 6 3 3
− d) 10 5 3
− e) 5 3 5
−
LEIS – SENOS E COSSENOS
3
08. (Col. naval 2014) Considere que ABC é um triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência L. A altura
traçada do vértice B intersecta L no ponto D. Sabendo-se que AD 4
= e BC 8,
= calcule o raio de L e assinale a
opção correta.
a) 2 10
b) 4 10
c) 2 5
d) 4 5
e) 3 10
09. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra um paralelogramo ABCD.
Se d representa o comprimento da diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o
comprimento x do lado AB é igual a
a) d cosβ
b)
( )
d sen
sen
α
α β
+
c) d senβ
d)
( )
d cos
sen
α
α β
+
e) ( )
( )
d cos 180º α β
− +
10. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra um paralelogramo ABCD.
Se d representa o comprimento da diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o
comprimento x do lado AB satisfaz a equação
a)
( )
xsen
arctg
cos
α β
α β
α
 
+
= +
 
 
 
b)
( )
xsen
arctg
dcos
α β
α
α
 
+
=
 
 
 
c) ( )
2 2 2 2 2
x sen d cos 1 d
α β α
+ + = +
d) ( )
2 2 2 2 2
x sen d cos d tg
α β α α
+ − = + e) ( )
2 2 2 2
x sen d cos 1
α β α
+ + =
LEIS – SENOS E COSSENOS
4
11. (Epcar 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e
as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo não é
a) acutângulo.
b) equilátero.
c) obtusângulo.
d) isósceles.
12. (Epcar 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R Se esse mesmo
octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das
circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a
a) ( )
2 2
+
b) ( )
2 2 2
+
c) ( )
2 2 2
−
d) 2 2
−
13. (Ime 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F' . A reta r é tangente à elipse no ponto M
e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta s em H
e H' , respectivamente. Sabendo que o segmento FHmede 2 cm, o comprimento F'H'é
a) 0,5 cm
b) 1,0 cm
c) 1,5 cm
d) 2,0 cm
e) 3,0 cm
14. (Ita 2002) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo
20
π
cm, cujo ângulo oposto é de
15°
. O comprimento da circunferência, em cm, é
a) 20 2 (1 + 3 )
b) 400 (2 + 3 )
c) 80 (1 + 3 )
d) 10 (2 3 + 5)
e) 20 (1 + 3 )
15. (Ita 2000) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo  mede 5 cm. Sabendo que  = arccos
3
5
e
𝐶𝐶
̂ = arcsen
2
5
, então a área do triângulo ABC é igual a
a)
5
2
cm2
b) 12 cm2
c) 15 cm2
d) 2 5 cm2
e)
25
2
cm2
LEIS – SENOS E COSSENOS
5
GABARITO
1 - D 2 - A 3 - A 4 - B 5 - D
6 - A 7 - D 8 - C 9 - B 10 - B
11 - C 12 - C 13 - D 14 - A 15 - E

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Lei dos senos e lei dos cossenos

  • 1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS LEIS - SENOS E COSSENOS
  • 2. LEIS – SENOS E COSSENOS 1 01. (Acafe 2019) Na figura abaixo, ABC e AED são triângulos retângulos. Se m(AC) , =  ˆ m(BAC) , α = ˆ m(ADE) β = e ˆ ˆ m(ABC) m(DAE) 90 , = = ° então m(BD) é a) cos α ⋅  b) 2 sen α ⋅  c) cos sen α β ⋅ ⋅  d) 2 cos sen α β ⋅  e) 2 sen cos α β ⋅  02. (Ime 2019) Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos ˆ ˆ A, B e Ĉ, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo. a) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 sen (A C) sen (A) sen (C) += + b) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 cos (A C) cos (A) cos (C) += + c) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 sen (A C) sen (A) sen (C) −= − d) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 cos (A C) cos (A cos (C) − = − e) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 cos (A C) sen (A) sen (C) += + 03. (Ita 2018) Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB 3 cm, BC 7 cm = = e CA 8 cm. = A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento do segmento NK, em cm, é a) 2. b) 2 2. c) 3. d) 2 3. e) 7 . 2
  • 3. LEIS – SENOS E COSSENOS 2 04. (Eear 2017) Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 30 , ° seu lado oposto a esse ângulo mede a) R 2 b) R c) 2R d) 2R 3 05. (Ime 2016) Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo  A. Sabe-se que AB AC AD, r AC = = e que 𝐶𝐶 ̂ = 𝛼𝛼. Portanto o valor de 2 sen α é a) 3r 1 4 − b) 3r 1 4r − c) r 3 4 + d) 3r 1 4r + e) 3r 1 4 + 06. (Ita 2016) Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que BM MN NC. = = Sendo α a medida, em radianos, do ângulo  MAN, então o valor de cosα é a) 13 . 14 b) 14 . 15 c) 15 . 16 d) 16 . 17 e) 17 . 18 07. (Ita 2016) Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados AB, BC e AC, respectivamente, tais que a) P é o ponto médio de AB; b) M é o ponto médio de BC; c) PN é a bissetriz do ângulo  APC. Então, o comprimento do segmento MN é igual a a) 10 4 3 − b) 5 2 3 − c) 6 3 3 − d) 10 5 3 − e) 5 3 5 −
  • 4. LEIS – SENOS E COSSENOS 3 08. (Col. naval 2014) Considere que ABC é um triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência L. A altura traçada do vértice B intersecta L no ponto D. Sabendo-se que AD 4 = e BC 8, = calcule o raio de L e assinale a opção correta. a) 2 10 b) 4 10 c) 2 5 d) 4 5 e) 3 10 09. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra um paralelogramo ABCD. Se d representa o comprimento da diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o comprimento x do lado AB é igual a a) d cosβ b) ( ) d sen sen α α β + c) d senβ d) ( ) d cos sen α α β + e) ( ) ( ) d cos 180º α β − + 10. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra um paralelogramo ABCD. Se d representa o comprimento da diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o comprimento x do lado AB satisfaz a equação a) ( ) xsen arctg cos α β α β α   + = +       b) ( ) xsen arctg dcos α β α α   + =       c) ( ) 2 2 2 2 2 x sen d cos 1 d α β α + + = + d) ( ) 2 2 2 2 2 x sen d cos d tg α β α α + − = + e) ( ) 2 2 2 2 x sen d cos 1 α β α + + =
  • 5. LEIS – SENOS E COSSENOS 4 11. (Epcar 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo não é a) acutângulo. b) equilátero. c) obtusângulo. d) isósceles. 12. (Epcar 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a a) ( ) 2 2 + b) ( ) 2 2 2 + c) ( ) 2 2 2 − d) 2 2 − 13. (Ime 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F' . A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta s em H e H' , respectivamente. Sabendo que o segmento FHmede 2 cm, o comprimento F'H'é a) 0,5 cm b) 1,0 cm c) 1,5 cm d) 2,0 cm e) 3,0 cm 14. (Ita 2002) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo 20 π cm, cujo ângulo oposto é de 15° . O comprimento da circunferência, em cm, é a) 20 2 (1 + 3 ) b) 400 (2 + 3 ) c) 80 (1 + 3 ) d) 10 (2 3 + 5) e) 20 (1 + 3 ) 15. (Ita 2000) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo  mede 5 cm. Sabendo que  = arccos 3 5 e 𝐶𝐶 ̂ = arcsen 2 5 , então a área do triângulo ABC é igual a a) 5 2 cm2 b) 12 cm2 c) 15 cm2 d) 2 5 cm2 e) 25 2 cm2
  • 6. LEIS – SENOS E COSSENOS 5 GABARITO 1 - D 2 - A 3 - A 4 - B 5 - D 6 - A 7 - D 8 - C 9 - B 10 - B 11 - C 12 - C 13 - D 14 - A 15 - E