Este documento apresenta 7 questões sobre geometria plana e sólidos geométricos. As questões abordam propriedades de figuras como hexágonos regulares, triângulos, circunferências e suas relações, bem como volumes de cilindros, cones, esferas. As justificativas fornecem explicações detalhadas para afirmar se cada alternativa é verdadeira ou falsa com base nas propriedades geométricas envolvidas.
O documento apresenta uma questão sobre geometria plana envolvendo figuras geométricas como quadrado, circunferências e lúnulas de Hipócrates. A questão possui 5 alternativas sobre áreas dessas figuras, e a justificativa fornece os cálculos e raciocínios geométricos para concluir que as alternativas 2 e 4 são verdairas.
1) O quadrilátero RSTU é um losango, tendo SU perpendicular a RT e ângulos de 120°. RST é isósceles mas não equilátero. RSTU tem apenas dois eixos de simetria.
2) No segundo problema, as lúnulas têm área πl2/8 cada. A área somada das lúnulas é igual à do quadrado.
3) No terceiro problema, os volumes são: cilindro = πr2h, semiesfera = (2/3)πr3, cone = (1/3)πr
O documento apresenta 20 questões sobre cálculo de áreas de figuras planas como triângulos, circunferências e outros polígonos. As questões envolvem determinar áreas, razões entre áreas, valores numéricos relacionados a áreas e identificar afirmações verdadeiras ou falsas sobre áreas. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento descreve propriedades geométricas notáveis de um triângulo, incluindo medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas.
2) Os pontos notáveis de um triângulo são o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro, que são definidos como interseções de medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas.
3) Propriedades especiais desses pontos são descritas para triângulos isósceles, equiláteros e retângulos.
Este documento apresenta 16 problemas de geometria relacionados a áreas, volumes, razões, teoremas e propriedades de figuras planas e sólidas como triângulos, circunferências, polígonos e corpos geométricos. Os problemas envolvem cálculos e demonstrações utilizando conceitos como semelhança, bisectrizes, proporcionalidade e propriedades de figuras regulares.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre diferentes tipos de arcos arquitetônicos, incluindo arcos ogivais, romanos, góticos e outros, com instruções passo a passo para sua construção geométrica a partir de elementos como vão, altura e raio.
Este documento é um resumo de três frases do livro "Elementos de Geometria" de Euclides na tradução de Frederico Commandino. O texto apresenta as definições geométricas básicas como ponto, linha, ângulo e figuras como triângulo, círculo e paralelas. Em seguida lista os postulados e axiomas utilizados por Euclides como premissas para demonstrar teoremas geométricos.
O documento descreve conceitos geométricos relacionados a triângulos: 1) Mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. 2) Altura é um segmento perpendicular a um lado. 3) Bissetriz divide um ângulo interno em duas metades iguais. 4) Mediatriz é uma reta perpendicular ao meio de um segmento.
O documento apresenta uma questão sobre geometria plana envolvendo figuras geométricas como quadrado, circunferências e lúnulas de Hipócrates. A questão possui 5 alternativas sobre áreas dessas figuras, e a justificativa fornece os cálculos e raciocínios geométricos para concluir que as alternativas 2 e 4 são verdairas.
1) O quadrilátero RSTU é um losango, tendo SU perpendicular a RT e ângulos de 120°. RST é isósceles mas não equilátero. RSTU tem apenas dois eixos de simetria.
2) No segundo problema, as lúnulas têm área πl2/8 cada. A área somada das lúnulas é igual à do quadrado.
3) No terceiro problema, os volumes são: cilindro = πr2h, semiesfera = (2/3)πr3, cone = (1/3)πr
O documento apresenta 20 questões sobre cálculo de áreas de figuras planas como triângulos, circunferências e outros polígonos. As questões envolvem determinar áreas, razões entre áreas, valores numéricos relacionados a áreas e identificar afirmações verdadeiras ou falsas sobre áreas. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento descreve propriedades geométricas notáveis de um triângulo, incluindo medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas.
2) Os pontos notáveis de um triângulo são o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro, que são definidos como interseções de medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas.
3) Propriedades especiais desses pontos são descritas para triângulos isósceles, equiláteros e retângulos.
Este documento apresenta 16 problemas de geometria relacionados a áreas, volumes, razões, teoremas e propriedades de figuras planas e sólidas como triângulos, circunferências, polígonos e corpos geométricos. Os problemas envolvem cálculos e demonstrações utilizando conceitos como semelhança, bisectrizes, proporcionalidade e propriedades de figuras regulares.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre diferentes tipos de arcos arquitetônicos, incluindo arcos ogivais, romanos, góticos e outros, com instruções passo a passo para sua construção geométrica a partir de elementos como vão, altura e raio.
Este documento é um resumo de três frases do livro "Elementos de Geometria" de Euclides na tradução de Frederico Commandino. O texto apresenta as definições geométricas básicas como ponto, linha, ângulo e figuras como triângulo, círculo e paralelas. Em seguida lista os postulados e axiomas utilizados por Euclides como premissas para demonstrar teoremas geométricos.
O documento descreve conceitos geométricos relacionados a triângulos: 1) Mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. 2) Altura é um segmento perpendicular a um lado. 3) Bissetriz divide um ângulo interno em duas metades iguais. 4) Mediatriz é uma reta perpendicular ao meio de um segmento.
O documento introduz os conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) os elementos primitivos de ponto, reta e plano; (2) as noções de figuras geométricas como triângulos e ângulos; (3) as propriedades e classificações de triângulos e ângulos.
Geometria analítica distancia entre dois pontosCamila Oliveira
O documento discute geometria analítica e fornece a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Ele também apresenta exemplos de cálculos de distâncias entre pontos e determinação de pontos equidistantes em eixos.
1. A reta CD é ortogonal à aresta AB de um tetraedro ABCD, pois ambos os pontos C e D estão no plano mediador de AB, que é perpendicular a AB.
2. Os pontos médios das diagonais de um cubo estão todos no mesmo plano mediador.
3. O circuncentro de um triângulo é a interseção da reta perpendicular ao plano do triângulo que passa pelos pontos médios das suas arestas.
1. O documento discute o conceito de semelhança em geometria, explicando que figuras são semelhantes quando têm a mesma forma e ângulos correspondentes iguais, com lados correspondentes proporcionais.
2. Polígonos e triângulos semelhantes são definidos e discutidas propriedades como perímetros e lados proporcionais.
3. O teorema fundamental da semelhança é apresentado, estabelecendo que uma reta paralela a um lado de um triângulo determina um triângulo semel
O documento discute as seções cônicas, incluindo elipses, hipérboles e parábolas. Essas curvas são geradas pela interseção de um cone com um plano e têm aplicações importantes em áreas como cálculo, mecânica e astronomia. Suas propriedades geométricas e equações algébricas são definidas.
Este documento fornece definições e instruções sobre como construir figuras geométricas usando régua e compasso. Inclui como construir perpendiculares, paralelas, mediatrizes de segmentos e triângulos a partir de seus lados. Também apresenta exercícios para a prática dessas construções.
A geometria lida com formas e figuras, explicando como construí-las, medir e compará-las. Ela é usada em construção, engenharia e artes. Os elementos básicos incluem pontos, retas, planos, ângulos, polígonos e figuras tridimensionais.
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantesaldaalves
Este documento discute as relações entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes. Ele mostra que a razão entre os perímetros de triângulos semelhantes é igual à sua razão de semelhança, enquanto a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. Dois exercícios são fornecidos para exemplificar essas relações.
1) O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana e espacial como ângulos, triângulos, polígonos, quadriláteros, sólidos geométricos, retas e planos.
2) Inclui definições e propriedades de ângulos, classificação de triângulos e quadriláteros, teorema de Pitágoras, polígonos regulares e sólidos geométricos como prismas e pirâmides.
3) Fornece detalhes sobre critérios de paralelismo, perpendicularidade
Geometria Analítica - Distância entre dois pontosMario Jorge
O documento explica como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano usando as coordenadas x e y. A distância é dada pela diferença absoluta das coordenadas se os pontos estiverem alinhados com um eixo, ou pela aplicação do Teorema de Pitágoras se formarem um triângulo retângulo.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
Este documento apresenta e explica vários conceitos geométricos de lugares geométricos, incluindo circunferências, círculos, mediatrizes de segmentos de reta, bissectrizes de ângulos, superfícies esféricas, esferas e planos mediadores. Fornece exemplos práticos destes conceitos e como identificá-los geometricamente.
1) O documento discute conceitos geométricos como segmentos, razão entre segmentos, segmentos proporcionais, feixes de retas paralelas, retas transversais, teorema de Tales, ampliação e redução de figuras, semelhança em figuras planas, homotetia, polígonos semelhantes, triângulos semelhantes e relações métricas no triângulo retângulo.
2) É apresentado o teorema de Pitágoras e uma demonstração geométrica deste teorema.
3)
Ficha porto editora sobre triângulos e paralelogramas e resoluçãoArminda Oliveira
Este documento contém uma ficha de avaliação de matemática do 5o ano com várias questões sobre geometria plana. As questões abordam conceitos como polígonos regulares, triângulos (classificação e propriedades), paralelogramos e seus elementos. Há também exercícios de construção e classificação de figuras geométricas planas.
Este documento é uma apostila sobre geometria plana produzida pelo Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas (Pró-ExaCTa) da Universidade Federal do Ceará. A apostila contém definições e conceitos básicos de geometria como pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos, ilustrados com exemplos resolvidos. O documento fornece um guia estruturado para o estudo destes importantes tópicos da geometria.
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337Alcides Cabral
1. O documento apresenta 17 questões sobre pontos notáveis de triângulos e suas propriedades geométricas.
2. As questões abordam conceitos como mediatriz, altura, bissetriz, baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro.
3. São solicitados cálculos de ângulos, comprimentos de segmentos, áreas de triângulos e figuras planas.
1) O documento discute os fundamentos da geometria vetorial e introduz o conceito de vetor no plano, definindo segmentos orientados e a relação de equipolência entre eles.
2) É apresentada a história do desenvolvimento da noção de vetor, desde os trabalhos iniciais de Bernard Bolzano no século XIX até as publicações de Giusto Bellavitis e a definição formal de vetor.
3) O documento inclui objetivos, conceitos e uma proposição para determinar quando dois segmentos orientados são equipolentes com base em seus pontos
O documento apresenta 15 questões sobre áreas de figuras planas como polígonos regulares, triângulos, quadrados e círculos. As questões envolvem cálculo de áreas utilizando fórmulas como a de triângulos, trapézios, círculos e figuras compostas, além de raciocínios geométricos. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada uma das questões.
Este documento presenta un proyecto dirigido a brindar información sobre la sexualidad responsable y los métodos anticonceptivos a adolescentes, con el fin de reducir los embarazos no deseados y el aborto. El proyecto analiza la problemática del aborto entre las jóvenes, identifica sus causas y justifica la necesidad de educación e información. Los objetivos incluyen develar las razones del aborto, establecer actividades informativas, y brindar apoyo a las jóvenes. Se describe el mercado objetivo, y se incluye un est
O documento introduz os conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) os elementos primitivos de ponto, reta e plano; (2) as noções de figuras geométricas como triângulos e ângulos; (3) as propriedades e classificações de triângulos e ângulos.
Geometria analítica distancia entre dois pontosCamila Oliveira
O documento discute geometria analítica e fornece a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Ele também apresenta exemplos de cálculos de distâncias entre pontos e determinação de pontos equidistantes em eixos.
1. A reta CD é ortogonal à aresta AB de um tetraedro ABCD, pois ambos os pontos C e D estão no plano mediador de AB, que é perpendicular a AB.
2. Os pontos médios das diagonais de um cubo estão todos no mesmo plano mediador.
3. O circuncentro de um triângulo é a interseção da reta perpendicular ao plano do triângulo que passa pelos pontos médios das suas arestas.
1. O documento discute o conceito de semelhança em geometria, explicando que figuras são semelhantes quando têm a mesma forma e ângulos correspondentes iguais, com lados correspondentes proporcionais.
2. Polígonos e triângulos semelhantes são definidos e discutidas propriedades como perímetros e lados proporcionais.
3. O teorema fundamental da semelhança é apresentado, estabelecendo que uma reta paralela a um lado de um triângulo determina um triângulo semel
O documento discute as seções cônicas, incluindo elipses, hipérboles e parábolas. Essas curvas são geradas pela interseção de um cone com um plano e têm aplicações importantes em áreas como cálculo, mecânica e astronomia. Suas propriedades geométricas e equações algébricas são definidas.
Este documento fornece definições e instruções sobre como construir figuras geométricas usando régua e compasso. Inclui como construir perpendiculares, paralelas, mediatrizes de segmentos e triângulos a partir de seus lados. Também apresenta exercícios para a prática dessas construções.
A geometria lida com formas e figuras, explicando como construí-las, medir e compará-las. Ela é usada em construção, engenharia e artes. Os elementos básicos incluem pontos, retas, planos, ângulos, polígonos e figuras tridimensionais.
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantesaldaalves
Este documento discute as relações entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes. Ele mostra que a razão entre os perímetros de triângulos semelhantes é igual à sua razão de semelhança, enquanto a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. Dois exercícios são fornecidos para exemplificar essas relações.
1) O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana e espacial como ângulos, triângulos, polígonos, quadriláteros, sólidos geométricos, retas e planos.
2) Inclui definições e propriedades de ângulos, classificação de triângulos e quadriláteros, teorema de Pitágoras, polígonos regulares e sólidos geométricos como prismas e pirâmides.
3) Fornece detalhes sobre critérios de paralelismo, perpendicularidade
Geometria Analítica - Distância entre dois pontosMario Jorge
O documento explica como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano usando as coordenadas x e y. A distância é dada pela diferença absoluta das coordenadas se os pontos estiverem alinhados com um eixo, ou pela aplicação do Teorema de Pitágoras se formarem um triângulo retângulo.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
Este documento apresenta e explica vários conceitos geométricos de lugares geométricos, incluindo circunferências, círculos, mediatrizes de segmentos de reta, bissectrizes de ângulos, superfícies esféricas, esferas e planos mediadores. Fornece exemplos práticos destes conceitos e como identificá-los geometricamente.
1) O documento discute conceitos geométricos como segmentos, razão entre segmentos, segmentos proporcionais, feixes de retas paralelas, retas transversais, teorema de Tales, ampliação e redução de figuras, semelhança em figuras planas, homotetia, polígonos semelhantes, triângulos semelhantes e relações métricas no triângulo retângulo.
2) É apresentado o teorema de Pitágoras e uma demonstração geométrica deste teorema.
3)
Ficha porto editora sobre triângulos e paralelogramas e resoluçãoArminda Oliveira
Este documento contém uma ficha de avaliação de matemática do 5o ano com várias questões sobre geometria plana. As questões abordam conceitos como polígonos regulares, triângulos (classificação e propriedades), paralelogramos e seus elementos. Há também exercícios de construção e classificação de figuras geométricas planas.
Este documento é uma apostila sobre geometria plana produzida pelo Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas (Pró-ExaCTa) da Universidade Federal do Ceará. A apostila contém definições e conceitos básicos de geometria como pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos, ilustrados com exemplos resolvidos. O documento fornece um guia estruturado para o estudo destes importantes tópicos da geometria.
Lista de exercicios_-_geometria_plana010620111337Alcides Cabral
1. O documento apresenta 17 questões sobre pontos notáveis de triângulos e suas propriedades geométricas.
2. As questões abordam conceitos como mediatriz, altura, bissetriz, baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro.
3. São solicitados cálculos de ângulos, comprimentos de segmentos, áreas de triângulos e figuras planas.
1) O documento discute os fundamentos da geometria vetorial e introduz o conceito de vetor no plano, definindo segmentos orientados e a relação de equipolência entre eles.
2) É apresentada a história do desenvolvimento da noção de vetor, desde os trabalhos iniciais de Bernard Bolzano no século XIX até as publicações de Giusto Bellavitis e a definição formal de vetor.
3) O documento inclui objetivos, conceitos e uma proposição para determinar quando dois segmentos orientados são equipolentes com base em seus pontos
O documento apresenta 15 questões sobre áreas de figuras planas como polígonos regulares, triângulos, quadrados e círculos. As questões envolvem cálculo de áreas utilizando fórmulas como a de triângulos, trapézios, círculos e figuras compostas, além de raciocínios geométricos. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada uma das questões.
Este documento presenta un proyecto dirigido a brindar información sobre la sexualidad responsable y los métodos anticonceptivos a adolescentes, con el fin de reducir los embarazos no deseados y el aborto. El proyecto analiza la problemática del aborto entre las jóvenes, identifica sus causas y justifica la necesidad de educación e información. Los objetivos incluyen develar las razones del aborto, establecer actividades informativas, y brindar apoyo a las jóvenes. Se describe el mercado objetivo, y se incluye un est
El Rey descubrió que los árboles y plantas de su jardín se estaban muriendo, cada uno quejándose de no poder ser como los demás. En medio del caos, vio una fresa que estaba feliz y saludable. Cuando preguntó cómo, la fresa respondió que simplemente intentaba ser la mejor fresa posible. El Rey aprendió que cada uno debe aceptarse a sí mismo y florecer con sus propios dones.
El documento habla sobre las comunas y las cooperativas como mecanismos de participación ciudadana en Venezuela. Brevemente describe cómo están organizadas y funcionan las comunas y cooperativas de acuerdo a la ley. También resume dos sentencias, una sobre comunas donde se declara improcedente una revocatoria, y otra sobre cooperativas donde se declara con lugar un amparo constitucional.
El documento describe la anatomía y fisiología del corazón humano. Identifica las partes principales del corazón como los ventrículos izquierdo y derecho, las aurículas izquierda y derecha, el vértice, el surco interventricular y las venas y arterias pulmonares. Explica que el corazón humano mide aproximadamente 12 cm de largo, 9 cm de ancho y 6 cm de espesor, y pesa alrededor de 250 gramos en mujeres y 300 gramos en hombres. Señala el recorrido de la sangre a
Three or more members of the Cossacks Motorcycle Club and three or more members of the Bandidos Motorcycle Club engaged in an altercation in the parking lot of a restaurant in Waco, Texas on May 17, 2015. During the altercation, members of both gangs brandished and used firearms, knives, and other weapons against each other. Nine people were killed and multiple others were injured in the exchange of gunfire between the gangs. The affidavit alleges that the subject was apprehended while wearing identifying signs of one of the gangs and that firearms and other weapons were recovered from members of both gangs at the scene. A warrant is issued for the arrest of the subject.
1) The document describes the author's experience on a luxury dive boat called the MY Avalon Fleet II, which operates in the pristine marine sanctuary of Jardines de la Reina in Cuba.
2) It details the boat's luxurious amenities and design which made it feel like a "boat of dreams" and created a five-star diving experience.
3) A highlight was witnessing an incredible gathering of hundreds of fish, including mutton snapper and sharks, during a dive, which was a unique experience in the untouched ecosystems of Jardines de la Reina.
El documento discute la importancia de la calidad sobre la cantidad en la producción de productos. Señala que cuando las empresas se enfocan demasiado en cumplir con las fechas límites y las cantidades requeridas, descuidan las inspecciones de calidad, lo que resulta en productos de baja calidad. También usa el ejemplo de la marca de autos Pontiac para ilustrar cómo el enfoque en el diseño futurista pero poco atractivo para los clientes resultó en bajas ventas y el fin de la empresa después de más de 60 años en el mercado
O documento contém 16 questões sobre círculos e geometria plana. As questões envolvem conceitos como circunferências inscritas e ex-inscritas em triângulos, setores circulares, tangências entre círculos e retas, potência de pontos, perímetros de figuras geométricas formadas a partir de círculos e mais. O gabarito das questões é fornecido no final.
Este documento apresenta um resumo de três frases do livro "Elementos de Geometria" de Euclides na tradução de Frederico Commandino. O livro contém as definições geométricas básicas e as proposições dos seis primeiros livros da obra de Euclides, que estabelece os fundamentos da geometria plana e do raciocínio dedutivo.
Este documento apresenta seis problemas de geometria gráfica e suas respectivas respostas e justificativas. Os problemas envolvem conceitos como elipses, perspectiva cônica, representações de sólidos e transformações geométricas. As respostas analisam corretamente as alternativas fornecidas e demonstram compreensão dos princípios geométricos envolvidos.
O documento apresenta 20 questões sobre círculos e figuras geométricas relacionadas, como circunferências, raios e ângulos. As questões abordam tópicos como tangentes a circunferências, medidas de arcos e ângulos, áreas de figuras inscritas em círculos e propriedades de satélites em órbita circular. O documento também fornece o gabarito com as respostas corretas para cada uma das questões.
Os Elementos de Euclides (grego: Στοιχεῖα) é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C.. Ele engloba uma coleção de definições, postulados (axiomas), proposições (teoremas e construções) e provas matemáticas das proposições. Os treze livros cobrem a geometria euclidiana e a versão grega antiga da teoria dos números elementar. Parece que Euclides pretendia reunir três grandes descobertas do seu tempo: a teoria das proporções de Eudoxo (Livro V), a teoria dos irracionais de Teeteto e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.
Este documento descreve um livro intitulado "Elementos de Geometria" de Euclides na tradução de Frederico Commandino. O livro contém as definições geométricas, postulados e proposições dos seis primeiros livros de Euclides, além do undécimo e duodécimo livros da versão latina de Commandino. O documento fornece detalhes sobre a edição e tradução do livro para o português.
O documento apresenta 20 questões sobre áreas de figuras planas como trapézios, triângulos, circunferências e outros. As questões envolvem cálculo de áreas dessas figuras a partir de dados numéricos fornecidos sobre suas medidas. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada uma das questões.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento apresenta 9 questões sobre geometria plana e espacial. As questões abordam propriedades de quadriláteros, triângulos, poliedros regulares, lugares geométricos e perspectiva. As respostas analisam cada afirmação e justificam se é verdadeira ou falsa com base nas propriedades geométricas envolvidas.
O documento apresenta nove questões sobre geometria plana e espacial. Nas questões 01 a 04 são apresentados textos com afirmações sobre propriedades geométricas de figuras planas e sólidos geométricos, e o candidato deve identificar quais afirmações são verdadeiras ou falsas. Nas questões 05 a 09 são apresentadas figuras geométricas e o candidato deve analisar afirmações relacionadas a propriedades dessas figuras.
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza para alunos do 3o colegial. As aulas abordam conceitos básicos como pontos, retas, ângulos e triângulos, além de propriedades de figuras planas como quadriláteros, polígonos e círculos. Exercícios complementam cada aula para fixação dos conceitos.
O documento apresenta 15 questões sobre geometria plana envolvendo conceitos como segmentos proporcionais, áreas de figuras planas, circunferências inscritas em triângulos e quadriláteros. As questões abordam cálculos e raciocínios geométricos para determinar medidas como perímetros, áreas e razões entre grandezas.
Este documento contém 20 questões sobre áreas de figuras geométricas como triângulos, retângulos, trapézios e círculos. As questões envolvem cálculos para determinar áreas dessas figuras dadas medidas de lados e outros elementos. O documento também fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
1. O documento apresenta vários exercícios de geometria analítica no espaço envolvendo planos, retas e figuras geométricas como prisma, pirâmide e cone.
2. São solicitadas determinações de equações de planos e retas, cálculo de ângulos, volumes de figuras geométricas e verificações de pertencimento de pontos a planos e incidências de retas e planos.
3. As questões envolvem conceitos como normalidade, perpendicularidade, paralelismo e coincidência entre planos, retas e
1) O documento apresenta 25 questões de matemática sobre segmentos proporcionais e geometria plana.
2) As questões envolvem conceitos como razões entre segmentos, áreas de figuras geométricas, teorema de Tales e propriedades de triângulos e paralelogramos.
3) Há também um gabarito no final com as respostas corretas para as 25 questões.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria gráfica e propriedades de figuras geométricas como poliedros, cones, círculos e setores circulares. 2) As questões abordam temas como simetria de algarismos, propriedades de quadriláteros, volumes de sólidos, áreas de regiões e localização do ponto eqüidistante aos lados de um setor circular. 3) Cada questão é seguida de uma justificativa para a resposta correta com base em propriedades geométricas e na observação e medi
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Exercícios Resolvidos - Peça também os seus.
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1) O documento apresenta uma ficha de apoio ao estudo da matemática para o 11o ano, com exercícios sobre ângulos, planos, funções e gráficos.
2) Inclui questões sobre ângulos formados por retas, equações de planos tangentes a esferas e perpendiculares a outros planos, e resolução de sistemas de equações.
3) Também aborda cálculo de áreas de triângulos, determinação de coordenadas de pontos, estudos de funções e resolução analítica de desig
O documento discute conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) feixes de retas paralelas e transversais, (2) polígonos convexos e suas propriedades, como número de lados, ângulos internos e externos, (3) triângulos, classificando-os de acordo com lados e ângulos.
1. 1
GEOMETRIA GRÁFICA – TIPO A
GEOMETRIA GRÁFICA – TIPO C
1. Seja ABCDEF um hexágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Nesse contexto, é correto afirmar que:
0-0) o triângulo ABO é equilátero.
1-1) se o perímetro do hexágono ABCDEF mede 120 cm, então, o segmento EB mede 40 cm.
2-2) ABEF é um paralelogramo.
3-3) o ângulo ̂ mede 60°.
4-4) BCDE é um trapézio isósceles.
GABARITO: VVFFV
JUSTIFICATIVAS: Essas afirmações podem ser deduzidas das propriedades do hexágono
regular, particularmente do fato de que o ângulo formado por dois pontos consecutivos do
hexágono e o centro da circunferência circunscrita mede 60°. No caso da figura, a medida dos
ângulos ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ é 60°. Como os triângulos AOB, BOC, COD,
DOE, EOF e FOA são isósceles (AO, OB, OC, OD, OE e OF são raios da circunferência
circunscrita), podemos deduzir que os ângulos ̂ ̂ são iguais e medem 60°. Os triângulos
AOB, BOC, COD, DOE, EOF e FOA são equilaterais. Em consequência, podemos afirmar o que
segue.
0-0) VERDADEIRA. O triângulo ABO é equilátero.
1-1) VERDADEIRA. O perímetro do hexágono ABCDEF mede 6 raios da circunferência, e EB é
um diâmetro medindo 2 raios. EB mede o terço do perímetro do hexágono, ou seja, 40 cm.
2-2) FALSA. ABEF não é um paralelogramo, AB e EF não são paralelos.
3-3) FALSA. O ângulo ̂ é igual a ̂ ̂
°
̂
4-4) VERDADEIRA. ̂
, por serem ângulos alterno-internos das retas EB e DC, cortados pela reta OD, podemos
deduzir que EB e DC são paralelas. Por consequência, BCDE é um trapézio. Como BC e DE são lados do hexágono, BC=DE
e BCDE é um trapézio isósceles.
2. Considerando um triângulo ABC, I e J dois pontos do lado AB, tais que AI=IJ=JB; K, o ponto médio de AC; e D, o ponto de
interseção das retas IK e BC,
podemos afirmar que:
0-0) a medida de IK é o quarto da medida de ID.
1-1) a área do triângulo AIK é o terço da área do triângulo AJC.
2-2) o ponto C é ponto médio de BD.
3-3) o quadrilátero IJCK e o triângulo CDK têm a mesma área.
4-4) os triângulos ABC e BDI têm a mesma área.
TIPO C
2. 2
GABARITO: VFVVF
JUSTIFICATIVAS:
Observando que I é ponto médio de AJ e sabendo que K é ponto médio de
AC, pela propriedade de Tales, podemos deduzir que IK, ID e JC são
paralelos e que JC=2IK. Considerando o ponto L de KD tal que BJC e CLD
sejam congruentes, e o ponto M de JC tal que AIK e KMC sejam
congruentes, observamos que AIK, IJM, MKI e KMC são congruentes. Do
ponto de vista das áreas, temos: Área(AJC)=4.Area(AIK), Área(IJCK)=3.
Área(AIK), Área(CDK)= Área(AIK)+Área(BCJ). Observando que os
triângulos BCJ e ACJ têm a mesma altura em C, e a base AJ correspondente
de ACJ é o dobro da base BJ correspondente de BCJ, temos
Área(ACJ)=2.Area(BCJ) e Área(BCJ)=2.Área(AIK).
A partir desses dados, podemos afirmar que:
0-0) VERDADEIRA. Temos que IK, ID e JC são paralelos e que JC=2IK.
De J é ponto médio de BI, e ID e JC são paralelos, podemos deduzir que C é ponto médio de BD e ID=2JC. De JC=2IK e
ID=2JC, podemos deduzir que ID=4IK.
1-1) FALSA. AIK e AJC são semelhantes. Os lados de AIK medem a metade dos lados correspondentes de AJC; então, a área de
AIK é o quarto da área de AJC.
2-2) VERDADEIRA. A justificativa encontra-se no ponto 0-0): no triângulo BID, ID é paralelo a IJ, e J é ponto médio de BI;
então, C é ponto médio de BD.
3-3) VERDADEIRA. Como Área(CDK)= Área(AIK)+Área(BCJ) e Área(BCJ)=2.Área(AIK), Área(CDK)=3.Área(AIK). De
Área(IJCK)=3.Área(AIK), podemos deduzir que Área(IJCK)= Área(CDK).
4-4) FALSA. Área(ABC)=6.Área(AIK) e Área(BDI)=8.Área(AIK)
3. Sejam A e B dois pontos de uma circunferência de centro O, tais que O não pertence ao segmento AB. Sobre a tangente à
circunferência em A, marca-se um ponto T, de modo que T e O estejam em semiplanos opostos em relação à reta AB.
Com base nesses dados, podemos afirmar que:
0-0) o ângulo ̂ é reto.
1-1) a medida do ângulo ̂ é metade da medida do ângulo ̂ .
2-2) o triângulo AOB é isósceles.
3-3) o triângulo TAO é isósceles.
4-4) o triângulo TAO é retângulo.
GABARITO: FVVFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) FALSA. O ângulo ̂ não é reto.
̂ . O triângulo TAO é retângulo em A:
1-1) VERDADEIRA. O triângulo AOB é isósceles: ̂ ̂ e ̂
̂ ̂
̂
̂)
̂.
(
. Dessas duas igualdades, podemos deduzir que
2-2) VERDADEIRA. O triângulo AOB é isósceles, OA e OB são raios da circunferência e OA=OB.
3-3) FALSA. O triângulo TAO não é isósceles.
4-4) VERDADEIRA. O triângulo TAO é retângulo em A, a tangente AT à circunferência é perpendicular ao raio OA
TIPO C
3. 3
4. Considere as duas figuras abaixo em que temos:
AD é um diâmetro de uma circunferência (c) de centro O.
B, C, E e F são pontos de (c), tal que BC=CD=DE=EF.
B', C', D', E' e F' são pontos alinhados, tais que B'C'=C'D'=D'E'=E'F' e A'D' e D'F' são perpendiculares.
Nesse contexto, podemos afirmar que:
0-0) os ângulos ̂ , ̂, ̂, ̂ são iguais.
1-1) os triângulos ABC, ACD, ADE e AEF têm a mesma área.
2-2) o ângulo ̂ é reto.
3-3) os triângulos A'B'C', A'C'D', A'D'E' e A'E'F' têm a mesma área.
4-4) os ângulos ̂ , ̂ , ̂ , ̂ são iguais.
GABARITO: VFVVF
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. Os ângulos ̂ , ̂ , ̂ , ̂ são ângulos inscritos numa mesma circunferência e construídos de um
mesmo lado de cordas congruentes.
1-1) FALSA. Os triângulos ADC e ADE, por serem simétricos em relação com AD, têm uma mesma área. Pode-se dizer a mesma
coisa sobre os triângulos ABC e AEF. Entretanto, ABC e ACD têm áreas diferentes: eles têm o mesmo ângulo em A, mas os
lados adjacentes AB e AC desse ângulo para o triângulo ABC são menores que os lados AC e AD respectivamente
adjacentes ao ângulo A, no caso do triângulo ACD; então, a área de ABC é menor que a área de ACD.
2-2) VERDADEIRA. O ângulo ̂ é inscrito numa circunferência de diâmetro AD.
3-3) VERDADEIRA. Os triângulos A'B'C', A'C'D', A'D'E' e A'E'F' têm a mesma área, têm uma mesma altura: A'D' e bases
correspondentes congruentes.
4-4) FALSA. Os ângulos ̂ e ̂ são iguais por serem simétricos em relação com A'D'. Pode-se dizer a mesma coisa sobre
os ângulos ̂ e ̂ . Entretanto, ̂ e ̂ são diferentes: construindo a circunferência de diâmetro A'C', ela
passa por D' (o triângulo A'B'C' é retângulo em D') e encontra A'B' no pê H da perpendicular a A'B' passando por C'. Como
C'H sendo menor que B'C', os ângulos ̂ e ̂ são diferentes por serem inscritos numa mesma circunferência e sobre
cordas não
TIPO C
4. 4
5. Considere um quadrilátero RSTU, satisfazendo RS = ST = TU = UR, como o exemplo ilustrado abaixo.
Considerando esses dados, podemos afirmar que:
0-0) SU é perpendicular a RT.
1-1) o ângulo ̂ mede 120°.
2-2) RSTU é um paralelogramo.
3-3) o triângulo RST é equilátero.
4-4) o quadrilátero RSTU tem quatro eixos de simetria.
GABARITO: VFVFF
JUSTIFICATIVAS:
O quadrilátero RSTU, tendo seus lados congruentes, é um losango. Em consequência, podemos afirmar que:
0-0) VERDADEIRA. SU é perpendicular a RT; as diagonais de um losango são perpendiculares.
1-1) FALSA. No caso geral, não é uma propriedade do losango de ter um ângulo entre dois lados consecutivos medindo 120°, e
esse não é o caso do losango representado.
2-2) VERDADEIRA. Por ser um losango, RSTU é um paralelogramo.
3-3) FALSA. O triângulo RST é isósceles, mas não é equilátero.
4-4) FALSA. O quadrilátero RSTU tem somente dois eixos de simetria, que são as diagonais.
6. Na ilustração a seguir, temos um quadrado com diagonal medindo l, a circunferência circunscrita ao quadrado e quatro
semicircunferências com diâmetros iguais aos lados do quadrado.
Com base nesses dados, podemos afirmar que:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
a medida da área do quadrado é igual a l .
a área somada das 4 lúnulas é igual à área da circunferência circunscrita ao quadrado.
a área somada das 4 lúnulas é igual à área do quadrado.
²
a medida da área de cada lúnula é de π l /8.
²
4-4) a medida da área de cada lúnula é de l /8.
²
TIPO C
5. 5
GABARITO: FFVFV
JUSTIFICATIVAS:
Podemos calcular a medida da área formada pelas 4 lúnulas. Essa medida de área pode ser calculada pela soma da medida da área
do quadrado central de diâmetro e das medidas das 4 semicircunferências construídas sobre os lados do quadrado retirando a área
√
da circunferência de diâmetro l. O lado do quadrado de diâmetro l é
, sua área é . Assim, temos as áreas somadas das 4
lúnulas :
dando uma vez simplificado:
Sabendo que as áreas somadas das 4 lúnulas mede
. Podemos deduzir a área de uma lúnula :
, podemos deduzir que:
0-0) FALSA. l sendo a diagonal do quadrado,
√
1-1) FALSA. A área das 4 lúnulas somada é
quando a área da circunferência é
é o lado do quadrado e consequentemente
2-2) VERDADEIRA. A área somada das lúnulas, como a área do quadrado, é
sua área.
.
.
3-3) FALSA.
4-4) VERDADEIRA. Essa propriedade das lúnulas foi descoberta há muito tempo por Hipócrates de Chios (-500), que estudou a
duplicação do cubo e a quadratura da circunferência. Essas lúnulas são também chamadas de lúnulas de Hipócrates. Ele
pensava que a quadratura das lúnulas podia constituir um caminho para a quadratura da circunferência. Mostrar a
equivalência entre as áreas somadas das lúnulas e a área do quadrado central pode utilizar a propriedade de Pitágoras do
triângulo retângulo, sem passar pelas fórmulas e o número π.
7. Considerando um cilindro de revolução de raio e altura medindo 6cm (1), uma semiesfera de raio 6cm (2), um cone de
revolução de raio na base e altura 6cm (3) e um sólido formado pela junção da base da semiesfera e do cone (4), podemos
afirmar que:
(1)
(2)
(3)
(4)
0-0) o cilindro e o sólido têm o mesmo volume.
1-1) o volume da semiesfera é 2/3 do volume do cilindro.
2-2) o volume do cone corresponde a um quarto do volume do cilindro.
3-3) a razão entre o volume do cilindro e o volume do cone é o número π.
4-4) o volume da semiesfera é o dobro do volume do cone.
TIPO C
6. 6
GABARITO: VVFFV
JUSTIFICATIVA:
Podemos calcular o volume de cada sólido considerando que r=h, onde r é a medida do raio dos quatro sólidos de revolução, e h é
a medida da altura do cilindro como do cone. Assim, temos:
Cilindro:
dando:
.
Semiesfera:
dando
Cone:
dando
.
.
Sólido (4): semiesfera e cone juntos:
dando:
.
A partir desses valores, podemos deduzir que:
0-0) VERDADEIRA. O cilindro e o solido têm o mesmo volume:
.
1-1) VERDADEIRA. O volume da semiesfera é 2/3 do volume do cilindro.
2-2) FALSA. O volume do cone é o terço, é não o quarto, do volume do cilindro.
3-3) FALSA . A razão entre o volume do cilindro e o volume do cone é
4-4) VERDADEIRA. O volume da semiesfera é
e o volume do cone é
.
.
8. Dada a peça abaixo, representada em isometria, qual ou quais figuras numeradas de I a III corresponde(m) a uma rotação da
peça dada?
(I)
( III )
( II )
0-0) apenas I e III correspondem à uma rotação da peça dada.
1-1) apenas I corresponde à uma rotação da peça dada.
2-2) apenas II corresponde à uma rotação da peça dada.
3-3) apenas III corresponde à uma rotação da peça dada.
4-4) apenas II e III correspondem à uma rotação da peça dada.
TIPO C
7. 7
GABARITO: VFFFF
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. Apenas as figuras I e III correspondem à peça dada.
1-1) FALSA. Não apenas a figura I corresponde à peça em questão.
2-2) FALSA. A figura representada em II não corresponde à peça dada.
3-3) FALSA. Não apenas a figura III corresponde à peça dada.
4-4) FALSA. A figura II não corresponde à peça dada.
9. Dada a peça abaixo representada em isometria, indique quais das figuras correspondem ao complemento volumétrico que, se
encaixadas na peça dada, formariam um cubo.
A
B
C
D
0-0) A e B correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
1-1) A, B e C correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
2-2) A, B e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
3-3) B, C e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
4-4) A, C e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
GABARITO: FFFFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) FALSA. A peça A corresponde ao complemento volumétrico da peça dada; no entanto, a peça B não corresponde ao
complemento volumétrico da peça dada.
1-1) FALSA. As peças A e C correspondem ao complemento volumétrico da peça dada; no entanto, a peça B não corresponde.
2-2) FALSA. As peças A e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada; no entanto, a peça B não corresponde.
3-3) FALSA. As peças C e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada; no entanto, a peça B não corresponde.
4-4) VERDADEIRA. As peças A, C e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
TIPO C
8. 8
10. Considere os dois triângulos A e B, representados numa malha pontilhada, conforme a figura abaixo.
Podemos afirmar que:
0-0) existe uma homotetia de razão 1/2 que transforma ABC em A'B'C'.
1-1) a área do triângulo A'B'C' é a metade da área do triângulo ABC.
2-2) existe uma homotetia que transforma ABC em A"B"C".
3-3) existe uma homotetia de razão 1 que transforma A'B'C' em A"B"C".
4-4) as retas AA', BB' e CC' são concorrentes.
GABARITO: VFVFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. ABC e A'B'C' são semelhantes, AB//A'B', AC//A'C' e BC//B'C' e AB=2.A'B', AC=2.A'C' e BC=2.B'C'.
Existe uma homotetia de razão 1/2 que transforma ABC em A'B'C'.
1-1) FALSA. A razão da homotetia entre ABC e A'B'C' sendo 1/2, a área do triângulo A'B'C' é o quarto da área do triângulo ABC.
2-2) VERDADEIRA. ABC e A"B"C" são semelhantes, AB//A"B", AC//A"C" e BC//B"C" e AB=2.A"B", AC=2.A"C" e
BC=2.B"C". Existe uma homotetia que transforma ABC em A"B"C".
3-3) FALSA. Existe uma homotetia que transforma A'B'C' em A"B"C", mas a razão dessa homotetia é -1.
4-4) VERDADEIRA. As retas AA', BB' e CC' são concorrentes e se encontram no centro da homotetia que transforma ABC em
A'B'C'.
11. A figura abaixo está representada em isometria, considerando que os pontos A e D estão à mesma distância do plano
horizontal. Analise a veracidade das afirmações seguintes:
A
D
B
C
G
E
F
0-0) As arestas AB e CD não são paralelas entre si.
1-1) As arestas AB e CD são oblíquas ao plano horizontal.
2-2) A soma dos ângulos internos da face CDEF é igual a 360°.
3-3) A face ABC é paralela ao plano horizontal.
4-4) As retas que dão suporte às arestas BC e GF são concorrentes entre si.
TIPO C
9. 9
GABARITO: VFVFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. Como foi dito no enunciado da questão, os pontos A e D estão à mesma distância do plano horizontal; já os
pontos B e C possuem distâncias visivelmente diferentes até o referido plano. Dessa forma, os segmentos AB e CD não
podem ser paralelos entre si.
1-1) FALSA. A aresta AB é oblíqua ao plano horizontal, porém a aresta CD é paralela a esse plano.
2-2) VERDADEIRA. Apesar de parecer que, na isometria, os ângulos internos são diferentes de 90°, em verdadeira grandeza eles
possuem 90° cada, somando, portanto, 360°.
3-3) FALSA. Os pontos A e C estão à mesma distância do plano horizontal; já o ponto B está a uma distância diferente desse
plano. Dessa forma, a face não pode ser paralela ao plano horizontal.
4-4) VERDADEIRA. A aresta GF é paralela ao plano horizontal; já a aresta BC concorre com tal plano. Nessa condição, elas são
concorrentes entre si.
12. Um porta-guardanapos tem na figura abaixo sua representação em cavaleira. Quais, entre as demais figuras, podem ser vistas
ortogonais desse mesmo objeto?
K=1
A
B
D
C
E
0-0) A figura A corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
1-1) A figura B corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
2-2) A figura C corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
3-3) A figura D corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
4-4) A figura E corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
GABARITO: VFFVF
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. A figura A corresponde à VISTA SUPERIOR.
3-3) VERDADEIRA. A figura D corresponde à VISTA LATERAL ESQUERDA
TIPO C
10. 10
13. A figura abaixo está representada em cavaleira, os pontos E e F estão à mesma altura da base da peça, e sua base possui a
forma de um retângulo.
A
B
F
E
Com base nesses dados, analise as afirmações abaixo.
0-0) Um plano de seção paralelo à base passando acima do segmento EF pode ter como resultado dois quadriláteros.
1-1) Um plano de seção paralelo à base passando pelo segmento EF pode gerar um trapézio.
2-2) A seção resultante de um plano de seção paralelo à base que contém os pontos E e F tem a forma de um quadrilátero.
3-3) A seção resultante de um plano vertical que passa pelos pontos E e F tem a forma de um trapézio retângulo.
4-4) Um plano de seção paralelo à base, passando abaixo do segmento EF, tem a forma de um quadrilátero.
GABARITO: VFVFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. A seção gerada por tal plano terá a forma de dois quadriláteros porque tanto do ponto A quanto do ponto B
partem quatro arestas. Quando o plano de seção passa por tais arestas, ele as secciona em quatro pontos, os quais são os
vértices dos dois quadriláteros.
1-1) FALSA. O plano de seção paralelo à base que passa pelo segmento EF, apesar de seccionar quatro das faces da peça, não
resulta em um trapézio, mas, sim, em um retângulo, uma vez que os lados opostos são paralelos entre si.
2-2) VERDADEIRA. A seção resultante seria um quadrilátero, uma vez que, na posição descrita, o plano de seção corta somente
quatro das faces da peça.
3-3) FALSA. A seção resultante seria um pentágono irregular, uma vez que tal plano corta as quatro faces da peça, bem como
passa pelo segmento EF.
4-4) VERDADEIRA. Qualquer plano paralelo à base que passe abaixo de EF só poderá cortar quatro das faces da peça; assim o
resultado da seção só poderá ser um quadrilátero.
14. Considere a figura abaixo, na qual (C) é uma circunferência, T é um ponto da circunferência, e A é um ponto tal que AT é
tangente a (C) em T e AT=6cm. Calcule APxAM, em cm2.
TIPO C
11. 11
RESPOSTA: 36cm²
JUSTIFICATIVA:
Para quem conhece a propriedade da potência de um ponto em relação a uma circunferência, temos APxAM=AT² para qualquer
par de ponto (P, M) da circunferência alinhados com A e onde T é um ponto de tangência da tangente à circunferência passando
por A. Então, temos APxAM=AT²=6x6=36cm².
Para quem não conhece essa propriedade. Considerando r o raio da circunferência (C), podemos observar que: APxAM=(AOr)x(AO+r)=AO²-r². Considerando o triângulo ATO, esse triângulo é retângulo em T (AT é tangente a (C) em T, então AT e TO
são perpendiculares) e pela propriedade de Pitágoras, AO²=AT²+r²=36+r². Então, APxAM=AO²-r²=36+r²-r²=36cm².
15. A figura abaixo representa um paralelogramo ABCD. Temos AD=10cm, AB=12cm. A reta DH é mediatriz do segmento AB
que encontra AB em H. Calcule a área do paralelogramo ABCD em cm 2.
RESPOSTA: 96cm²
JUSTIFICATIVA:
A área do paralelogramo é dada pelo produto da medida de um lado pela altura correspondente. No caso, a área do paralelogramo
ABCD é dada por ABxHD. AB é conhecida: 12cm, precisamos determinar HD. AHD sendo um triângulo retângulo em H, temos,
segundo a propriedade de Pitágoras, AH²+HD²=AD² onde AH=6cm (H é ponto médio de AB) e AD=10cm. Ou seja, 6²+HD²=10²
HD²=64=8². Temos HD=8cm, deduzindo a área do paralelogramo; 8x12=96cm².
TIPO C
12. 12
16. Seja um triângulo ABC, um ponto D sobre AB e um ponto E sobre AC, tais que:
medida do ângulo ̂ é de 30º.
DB=DC e ED=EC.
DE e BC são paralelas.
Qual é a medida, em graus, do ângulo ̂ ?
RESPOSTA: 50°
JUSTIFICATIVA:
Se DB=DC, o triângulo DBC é isósceles e temos: ̂ ̂ ̂ (D é um ponto de AB).
̂
̂ (D é um ponto de CA).
Se ED=EC, o triângulo EDC é isósceles e temos: ̂
Se (DE) e (BC) são paralelas, temos: ̂ ̂ (propriedade dos ângulos alterno-internos).
Assim, podemos deduzir que ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ .
A soma dos ângulos do triângulo ABC sendo igual a 180°, temos ̂ ̂ ̂ ̂
. Pela igualdade dos ângulos
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ , temos ̂
̂
̂
. De ̂
, podemos deduzir que
̂
,e
.
TIPO C