O documento apresenta um resumo sobre ângulos e vetores. Discute conceitos como segmento orientado, vetor, produtos escalar e vetorial, decomposição de vetores, ângulos entre vetores, paralelismo e ortogonalidade. Fornece exemplos ilustrativos e lista referências bibliográficas sobre o tema.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENG. CIVIL
DIEGO SANTOS GUIMARÃES
ÂNGULOS E VETORES
Salvador
2010

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DIEGO SANTOS GUIMARÃES
ÂNGULOS E VETORES
Trabalho apresentado no curso de Engenharia Civil
da Universidade Federal da Bahia como parte da
avaliação da disciplina MAT A01 – Geometria
Analítica.
Orientadora: Prof.ª Ana Cláudia Anton Sokolonski
Salvador
2010

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1. APRESENTAÇÃO
A história da matemática raramente apresenta eventos bombásticos. As formulações
inicialmente delicadas e difusas percorrem um espinhoso trajeto até atingir a magnitude de
seu desenvolvimento.
O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro flamengo Simon Stevin - o
"Arquimedes holandês". Em1586 apresentou em sua Estática e Hidrostática (Venturi, 1949),
o problema da composição de forças e enunciou uma regra empírica para se achar a soma de
duas forças aplicadas num mesmo ponto. Tal regra, a conhecemos hoje como regra do
paralelogramo.
Os vetores aparecem considerados como "linhas dirigidas" na obra Ensaio Sobre a
Representação da Direção publicada em1797 por Gaspar Wessel, matemático dinamarquês.
A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os trabalhos do irlandês
William Hamilton (notavelmente precoce: aos cinco anos lia grego, latim e hebraico), do
alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah Gibbs (Venturi, 1949).

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2. INTRODUÇÃO
2.1. SEGMENTO ORIENTADO
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos. O primeiro é
chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de
origem A e extremidade B é representado por AB.
2.1.1. DIREÇÃO E SENTIDO DO SEGMENTO ORIENTADO
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se, as retas
suportes desses segmentos, são paralelas ou coincidentes.
Retas paralelas: segmentos com mesma direção e
sentido
Retas paralelas: segmentos com mesma direção e
sentido contrário
Retas coincidentes: segmentos com mesma direção
e sentido
Retas coincidentes: segmentos com mesma direção
e sentido contrário
2.1.2. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
Certas grandezas ficam determinadas apenas por um número real, acompanhado pela
unidade correspondente. Tais grandezas são chamadas de escalares. Outras grandezas
necessitam além do número real, também de uma direção e de um sentido. São as grandezas
vetoriais.

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3. VETORES
i. Vetores são grandezas que, para serem identificadas, precisam do módulo, da
direção e do sentido. Assim, um vetor tem três características: módulo, direção e
sentido.
a. A direção é dada pela reta que contém o segmento.
b. O sentido é dado pelo sentido do movimento do segmento.
c. O módulo é o comprimento do segmento. Indicamos por duas barras
verticais: |v| (Lê-se: módulo de v)
ii. Vetor é um conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a um
segmento AB, ou seja, com mesma direção, comprimento e sentido.
Os vetores u e v são iguais (equipolentes1
) e representam um mesmo vetor. O mesmo ocorre para
os vetores x e w. Diferente dos vetores s, t e m, n. Todos têm o mesmo comprimento, mas não tem
a mesma direção e sentido.
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Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o
mesmo comprimento. (Venturi, 1949)

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4. PRODUTOS
4.1. PRODUTO ESCALAR
Define-se como Produto Escalar entre vetores de um Espaço Vetorial V, a uma
aplicação de V x V em R, que a todo par de vetores ⃗ ԑ V x V, associa um número real
⃗ ou ⃗ (lê-se: u escalar v) e que satisfazem os seguintes sentenças:
i. ⃗ ⃗ ;
ii. ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ;
iii. ⃗ ⃗ para todo número real k;
iv. ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ se, e somente se, .
Assim, para os vetores ⃗ e ⃗⃗⃗ de R2: , denomina-se produto
escalar o número real ⃗ ou ⃗ definido por:
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ (lê-se: u escalar v)
Exemplo 1: Se ⃗⃗⃗ então o produto escalar de ⃗ com é igual
a 5 porque fazendo ⃗ temos:
⃗⃗ ⃗⃗
4.2. PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial tem como resultado um vetor, por isso é nomeado de produto
vetorial. Dados dois vetores ⃗ e , tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial dos
vetores ⃗ e e se representa por ⃗ ao vetor,
⃗⃗ ⃗⃗ [
⃗⃗
]

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Propriedades:
i. ⃗ , se um dos vetores é nulo ou se ⃗ e ⃗⃗⃗ são colineares.
ii. ⃗ ⃗ .
iii. ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
iv. ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
v. ⃗⃗ ⃗⃗
i. ⃗ ⃗⃗⃗ , é ortogonal simultaneamente aos vetores ⃗ .
Exemplo 2: Sejam os vetores de R3, ⃗ e , então
⃗⃗ ⃗⃗ [
⃗⃗
] = -4i+0j+3k-0k-6i-4j = -10i – 4j + 3k = (-10, -4, 3)
4.3. PRODUTO MIXTO
O produto misto tem como resultado um escalar, obtido a partir da utilização do
produto escalar e do produto vetorial. Pode ser utilizado, por exemplo, para encontrar o
volume de um paralelepípedo determinado por três vetores.
Definição 1: Sejam ⃗ e ⃗⃗ , vetores do espaço, com ⃗⃗⃗
e ⃗⃗ . Define-se como produto misto de ⃗ e ⃗⃗ , indica-se por
⃗ ⃗⃗ ao escalar resultante de:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
Definição 2: Dados os vetores ⃗ e ⃗⃗ , tomados nesta ordem, chama-se produto
misto dos vetores ⃗ e ⃗⃗ ao número real ⃗ ⃗⃗ . Indica-se produto misto por ⃗ ⃗⃗

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Propriedades:
i. Se ⃗ é nulo as suas componentes são (0,0,0 ) então ⃗ ⃗⃗ ;
ii. Se nem ⃗ , nem , nem ⃗⃗ são nulos, mas ⃗ ⃗⃗⃗ são colineares (ou paralelos)
então ⃗ ⃗⃗ ;
iii. Se nenhum vetor é nulo e os vetores não são dois a dois colineares (ou
paralelos) então os vetores são coplanares se ⃗ ⃗⃗
Exemplo 3: Calcular o produto misto dos vetores para ⃗ e ⃗⃗ para ⃗⃗⃗
⃗ , ⃗ e ⃗⃗ ⃗ .
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
Exemplo 4: Calcular o produto misto dos vetores ⃗⃗⃗ , e
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )

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5. ÂNGULOS E VETORES:
PARALELISMO E ORTOGONALIDADE
5.1. ÂNGULO DE DOIS VETORES
O produto escalar entre os vetores ⃗ pode ser escrito na forma ⃗⃗ ⃗⃗
|⃗⃗ ||⃗⃗ | ·, onde α é o ângulo formado pelas semirretas que
contém ⃗ tal que 0 ≤ v ≤ 180º.
A partir desta definição de produto escalar, podemos obter
o ângulo entre dois vetores genéricos ⃗ , não nulos, fazendo:
⃗⃗ ⃗⃗
|⃗⃗ | |⃗⃗ |
⃗ ⃗
Após encontrar o valor do cos α, encontramos o ângulo α na tabela de cossenos.
Demonstração:
Sejam os vetores ⃗ abaixo e a o ângulo entre eles
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC tem:
Lembrando que
Então, comparando as duas equações têm:

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Portanto
⃗⃗ ⃗⃗
|⃗⃗ | |⃗⃗ |
Proposições:
a. Se ⃗⃗ ⃗⃗ têm a mesma
direção e sentidos contrários;
b. Se ⃗ têm a mesma
direção e mesmo sentido;
c. Se ⃗⃗ ⃗⃗ são ortogonais.
Neste caso o Δ OBC permite escrever: (teorema de Pitágoras)
d. O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor.
e. Se ⃗ é ortogonal a e m é um número real qualquer, ⃗ é ortogonal a .
f. O ângulo formado pelos vetores ⃗ é o suplemento do ângulo de ⃗ .
Exemplo 1: Se ⃗ e então o ângulo β entre os vetores ⃗
é de 45°.

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Verificando:
Exemplo 2: Calcular o ângulo entre os vetores ⃗
Resolução:
Exemplo 3: Sabendo que o vetor forma um ângulo de 60° com o vetor
⃗⃗⃗⃗⃗ determinado pelos pontos A (3,1,-2) e B (4,0,m), calcular m.
Resolução:

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Exemplo 4: Determinar os ângulos internos do triangulo ABC, sendo A (3,-3,3); B (2,
-1, 2) e C ( 1, 0, 2) e seus lados são respectivamente AC, AB e BC.
Resolução: Calcular cos A, cos B e Cos C.
5.2. DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR V = P(X,Y)
A decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo do vetor resultante.
Observe a sequência de ações nas figuras (a), (b) e (c).
(a) Consideremos o vetor v = P(x,y) nomeado de F sendo F o vetor força e a o ângulo
entre F e o eixo x.
(b) Vamos decompor o vetor F em outros dois vetores Fx e Fy.
(c) Agora, vamos trocar o vetor Fy de posição para formarmos um triângulo retângulo.

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Note que, para determinar o valor de Fx e Fy basta resolvermos o triângulo retângulo.
Portanto:
5.3. ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Seja o vetor ⃗ :
i. Ângulos diretores de são os ângulos α, β, ɤ que forma com os vetores
⃗ respectivamente.
ii. Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores isto é, cos α,
cos β, cos ɤ. Para o cálculo dos cossenos diretores, utilizamos a fórmula do
ângulo entre dois vetores.
Demonstração: seja ⃗⃗⃗ , , e ⃗
então:
Exemplo 5: Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor
.
Resolução:

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Exemplo 6: Dados os pontos A (2, 2, -3) e B (3, 1, -3). Calcular os cossenos diretores
e os ângulos diretores do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Resolução:
5.4. PARALELISMO DE DOIS VETORES
Dois vetores ⃗ e são paralelos (ou
colineares) indica-se u//v quando suas coordenadas são proporcionais ou seja:
Os vetores paralelos têm a mesma direção,
independe do sentido. Note que u // v // w.
Exemplo 6: Considere ⃗ , . Verifique se são vetores
paralelos.
Resolução:
Por definição Fazendo
obtemos:

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Note que as componentes são proporcionais porque a razão entre elas é ⁄ .
Assim, ⃗ são vetores paralelos.
5.5. ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES
Dois vetores ⃗ são ortogonais (ou
perpendiculares), quando o ângulo ß por eles
formado é de 90° (ângulo reto). Neste caso,
cos ß= cos 90° = 0, o que implica, pela
fórmula do cálculo de ângulos de vetores, que
o produto interno usual entre eles é zero, ou seja, ⃗⃗ ⃗⃗ .
Podemos afirmar também que
Exemplo 7: Considere ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Verifique se os
vetores, dois a dois, são ortogonais.
Resolução:
⃗ , logo são ortogonais;
⃗ ⃗⃗ , logo são ortogonais;
⃗⃗ , logo não são ortogonais.

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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 KAPLAN, Wilfred; LEWIS, Donald J. Cálculo e Álgebra Linear. RJ: LTC, 1975
 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Makron Books,
1987. 581 p.
 VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. Curitiba
 WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. SP: Makron Books, 2000