Geometria analítica

1. Primeira Aula de Geometria Analítica
Prof. Leonardo de Amorim e Silva

2. Informações da Disciplina
Horários e Local das Aulas
Sextas-Feiras das 19:00 às 20:40 parte síncrona.
Ementa
Vetores no plano e no espaço. Retas e planos. Cônicas. Superfícies
Quádricas.
Bibliograa Básica
- WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo:
Makron Books, 2009.
- CAMARGO, Ivan; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica. 3
a
Edição. São Paulo: Prentice-Hall, 2005.
- REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmas da. Geometria
Analítica. 2
a Edição. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
- DELGADO, J.; FRENSEL, K.; CRISSAF, Lhaylla. Geometria
Analítica. Coleção PROFMAT. SBM, 2013.

3. Avaliações
As avaliações nesta disciplina se darão por meio de 2 provas
(peso 5) e na entrega das atividades propostas (peso 5).
Em cada semana será proposta uma lista de exercícios que
deverá ser enviada até a data proposta.

4. Introdução
A Geometria Analítica foi inicialmente elaborada por René
Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665).
A Geometria Analítica trata, desde a sua origem, das relações
entre as equações algébricas e os objetos geométricos (por exemplo,
a equação y = x2 está associada a uma parábola), buscando a
simplicação técnica dos problemas geométricos e a interpretação
geométrica dos resultados obtidos nos cálculos algébricos.

5. As técnicas da Geometria Analítica desempenham um papel
fundamental ainda hoje, por exemplo, no desenvolvimento da
Computação Gráca. As telas dos nossos computadores são
modelos da estrutura do plano cartesiano com um número nito de
pontos, que é sempre mencionado quando escolhemos a
conguração da tela. Aumentando o número de pontos,
melhoramos a qualidade da imagem do monitor ou da impressão
dessa imagem. Nas muitas utilizações de recursos de imagens,
como na tomograa ou na localização por satélite, essa organização
é fundamental para uma interpretação precisa dos resultados
obtidos.

6. Existem grandezas, chamadas escalares, que são
caracterizadas por um número (e a unidade correspondente): 50 m2
de área, 4 m de comprimento, 7 kg de massa. Outras, no entanto,
para serem completamente identicadas requerem mais que isso.
Por exemplo, para caracterizarmos uma força ou uma velocidade,
precisamos dar a direção, a intensidade (ou módulo) e o sentido.
Estas grandezas são chamadas vetores.
Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de
retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso)
no plano ou no espaço.

7. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto nal
ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto
inicial ou origem do segmento orientado. Um segmento orientado
pode ser presentado por uma par ordenado (A, B), onde A
representa a origem e B representa a extremidade do seguimento
orientado. Assim, se um vetor ~
v é representado pelo segmento
orientado (A, B), então denotamos ~
v =
−
→
AB.

8. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento,
mesma direção e mesmo sentido são representantes de um mesmo
vetor. Por exemplo, na gura abaixo, todos os segmentos
orientados de mesma direção, mesmo sentido e mesmo
comprimento de
−
→
AB, representam o mesmo vetor
−
→
AB.
Esta é a razão de o vetor também ser chamado vetor livre, no
sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em
qualquer ponto do plano ou do espaço.

9. Denição
1- Denimos a norma, ou módulo de um vetor ~
v como sendo o
comprimento de qualquer um de seus representantes. A norma
do vetor ~
v é denotada por ||~
v|| ou |~
v|. Um vetor ~
v é unitário
quando sua norma é igual a 1, ou seja, ||~
v|| = 1.
2- Denimos o vetor nulo como sendo o vetor que tem como
representante qualquer ponto do plano ou do espaço. Neste
caso, o denotamos por ~
0 ou
−
→
AA (a origem coincide com a
extremidade).
3- Dado um vetor ~
v =
−
→
AB, denimos o vetor oposto de ~
v como
sendo o vetor −~
v =
−
→
BA, que possui origem em B e
extremidade em A. Neste caso,
−
→
BA = −
−
→
AB.

10. Denição
4- Dizemos que dois vetores ~
u e ~
v são iguais, e o denotamos por
~
u = ~
v, se ambos possuem o mesmo módulo, mesma direção e
o mesmo sentido.
5- Dizemos que dois vetores ~
u e ~
v são paralelos, e o denotamos
por ~
u//~
v, se os seus representantes tiverem a mesma direção.

11. Denição
6- Dizemos que dois vetores ~
u e ~
v são ortogonais, e o denotamos
por ~
u⊥~
v, se algum representante de ~
u formar ângulo reto com
algum representante de ~
v.
Observação
Pelo fato do vetor nulo não possuir direção e sentido denidos,
considera-se esse vetor tanto paralelo quanto ortogonal a qualquer
vetor.

12. Denição
7- Dizemos que dois ou mais
vetores são coplanares se
existir um plano onde estes
vetores estão representados.
Observações
Dois vetores ~
u e ~
v quaisquer são
sempre coplanares, pois
podemos sempre tomar um
ponto no espaço e, com origem
nele, os dois representantes de ~
u
e ~
v pertencendo a um plano π
que passa por este ponto.

13. Observações
Três vetores podem ou não ser coplanares.

14. Exemplo 1− A gura abaixo é constituída de nove quadrados
congruentes (de mesmo tamanho). Verique se é verdadeira ou
falsa e justique cada uma das seguintes armações:
a)
−
−
→
AM =
−
→
PH g)
−
→
AB ⊥
−
→
EG
b)
−
→
BC =
−
→
OP h)
−
−
→
AM ⊥
−
→
BL
c)
−
→
BL = −
−
−
→
MC i) ||
−
→
AC|| = ||
−
→
FP||
d)
−
→
KN =
−
→
FI j) ||
−
→
IF|| = ||
−
−
→
MF||
e)
−
→
AC//
−
→
HI k) ||
−
→
AJ|| = ||
−
→
AC||
f )
−
→
AJ//
−
→
FG l) ||
−
→
AO|| = 2||
−
→
NP||

15. Exemplo 2− A gura abaixo representa um paralelepípedo
retangular. Verique se é verdadeira ou falsa e justique cada uma
das seguintes armações:

16. Operações com Vetores
Soma de Vetores
Denição
Dados dois vetores ~
u e ~
v, sejam (A, B) um representante qualquer
de ~
u e (B, C) um representante qualquer de ~
v. Denimos o vetor
soma de ~
u e ~
v, denotado por ~
u + ~
v, como sendo o vetor que tem
(A, C) como representante, isto é, ~
u + ~
v =
−
→
AC, ou ainda
−
→
AB +
−
→
BC =
−
→
AC.

17. Pela denição, para determinar o vetor soma ~
u + ~
v no caso em
que ~
u e ~
v não são paralelos basta fechar o triângulo, com o
cuidado de escolher a origem do representante de ~
v coincidindo com
a extremidade do representante de ~
u. Pode-se também adotar a
regra do paralelogramo, que consiste em escolher representantes
de ~
u e ~
v com a mesma origem A e construir o paralelogramo
ABCD. O segmento orientado AC é um representante de ~
u + ~
v, já
que
−
→
BC = ~
v e a diagonal fecham o triângulo ABC.

18. Para o caso em que ~
u e ~
v são paralelos, a maneira de se obter o
vetor ~
u + ~
v é a mesma.
~
u e ~
v de mesmo sentido ~
u e ~
v de sentidos contrários

19. Propriedades da Soma de Vetores
Sejam ~
u, ~
v e ~
w vetores quaisquer. A soma de vetores satisfaz
as seguintes propriedades:
(a) Associativa: ~
u + (~
v + ~
w) = (~
u + ~
v) + ~
w
(b) Comutativa: ~
u + ~
v = ~
v + ~
u

20. (c) Elemento Neutro: Existe um único vetor ~
0 que somado a ~
u dá
como resultado o próprio ~
u, isto é, ~
u +~
0 = ~
u.
(d) Elemento Oposto: Para cada ~
u, existe um único vetor −~
u que
somado a ~
u dá como resultado o vetor nulo, isto é,
~
u + (−~
u) = ~
0.
Denição
Dados os vetores ~
u e ~
v, a soma de ~
u com o oposto de ~
v é chamada
diferença entre ~
u e ~
v, e é indicada por ~
u − ~
v. Assim,
~
u − ~
v = ~
u + (−~
v)

21. Observemos que no paralelogramo determinado pelos vetores ~
u
e ~
v, verica-se que a soma ~
u + ~
v é representada por uma das
diagonais e a diferença ~
u − ~
v é representada pela outra diagonal.

22. Exercício: Com base na gura abaixo, determine os vetores
abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

23. Exercício: Com base na gura abaixo, determine os vetores
abaixo, expressando-os com origem no ponto A: