Apresentação sobre vetores da física aplicada

1. Vetores

2.  Definição:
◦ Entes matemáticos que possuem intensidade,
direção e sentido e que se somam segundo a
regra do paralelogramo.
 Intensidade: valor numérico que a
representa (magnitude ou modulo).
 Direção: e aquilo que existe de comum
num feixe de retas paralelas.
 Sentido: podemos percorrer uma direção
em dois sentidos.

3.  Graficamente,
◦ O modulo de um vetor é representado
pelo comprimento da seta;
◦ A direção é definida através do ângulo
formado entre um eixo de referência e
a linha de ação da seta;
◦ E o sentido é indicado pela
extremidade da seta.
◦ A figura mostra a representação
gráfica de dois vetores força atuando
ao longo dos cabos de sustentação.
O ponto O e chamado de origem do
vetor.

4.  Nomenclatura:
◦ Vetor: ou a (em negrito para pc)
◦ Módulo: a ou a (em itálico para o pc)
◦ Graficamente:
a

5. Propriedades
 Comutativa:
◦ Soma de 2 vetores:

6.  Associativa:

7.  Subtração de vetores

9. Componentes de um vetor
 A componente de um vetor é a projeção do vetor
em um dado eixo.
◦ Obtido através da decomposição vetorial.
Módulo:
Direção:

10. Exemplos
1. Um objeto se encontra sobre uma mesa. Um
vetor localiza este objeto em um ponto de
coordenadas x = 35 mm e y = 45 mm em relação
a origem do sistema coordenado da figura
abaixo. Determine o modulo e a direção deste
vetor.
Um vetor em um
plano pode ser
definido por seu
modulo e pelo
ângulo θ, entre a
direção do vetor e
uma direção de
referência.

11. 2. Um avião decola de um aeroporto e é avistado
mais tarde a 215 km de distância em um curso
que faz um ângulo de 22º a leste do norte. Qual
a distância a leste e ao norte do aeroporto esta o
avião no momento que e avistado?

12. 3. Um vetor r no plano xy tem 15 m de comprimento
e faz um angulo  = 30º com o semi-eixo x
positivo, como mostra a figura ao lado.
Determine (a) a componente x e (b) a
componente y do vetor.
4. Um vetor A tem modulo 5,1m e faz um angulo 
de 122º com o eixo x.
a. Desenhe o vetor A aplicado a origem;
b. Determine as componentes x e y de A.

13. Vetor unitário
 É um vetor que tem módulo 1 e aponta para uma
certa direção  |u| = u = 1
◦ Não possui dimensão nem unidade
◦ Sua única função e especificar uma
direção.
◦ São muito úteis para especificar outros vetores. Exemplo:

14.  Analogamente, se em vez do plano R2,
estivéssemos trabalhando no espaço R3, teríamos:

15.  Multiplicar um vetor por um número λ equivale a
multiplicar suas componentes por λ:
 Somar dois vetores equivale a somar suas
componentes em cada direção:

16. Exemplos
5. Escreva a expressão analítica do vetor mostrado
na figura abaixo e calcule seu módulo.

17. 6. Dado os vetores A e B. Calcular R = A + B, a
direção e o módulo do vetor R.
7. Determine a soma a + b, em termos de vetores
unitários e determine também o modulo e o
sentido de a + b.

18. 8. Considere o vetor
Determine o módulo de b e a sua direção no
intervalo de 0 a 360º e de -180º a 180º.
9. Dados os vetores d1, d2 e d3, calcule o vetor R =
d1 + d2 + d3 e seu módulo.

19.  Outra forma algébrica de calcular vetores:
Lei dos senos
Lei dos
cossenos
Teorema
Pitágoras

20. 10. Dado os vetores abaixo, calcule o módulo,
direção e sentido da resultante.

21. Exemplos
11. Os dois vetores atuam
sobre um parafuso A.
Determine a direção,
sentido e intensidade do
vetor resultante.
12. O parafuso mostrado na
figura está sujeito a duas
forças F1 e F2. Determine o
módulo e a direção da força
resultante.

22. 13. Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que
se encontra com problemas em seus motores.
Sabendo-se que a resultante é igual a 30kN, encontre
suas componentes nas direções AC e BC.

23. 14. Os cabos AB e AD sustentam o poste AC. Sabendo
que a tensão é de 500 unidades em AB e de 160
unidades, calcule a intensidade, direção e sentido
da força resultante exercida pelos cabos em A.

24. Produto escalar de 2 vetores
 Define-se o produto escalar de dois vetores
como a operação:
 Onde φ é o ângulo formado pelos dois vetores.
 Uma outra definição, inteiramente equivalente, é
em termos das componentes dos vetores:

25. 15. Qual é o ângulo φ entre os vetores A e B?
a.
b.

26. Produto vetorial
 Define-se o produto vetorial de dois vetores
como a operação:

27.  Para determinar o sentido, use sua
mão direita (essa regra é conhecida
como regra da mão direita).
◦ Com os dedos da mao procure levar
o vetor a para o vetor b . O sentido
será dado pelo polegar da mao
direita.
 No produto vetorial, a ordem dos
fatores altera o produto.

28.  Em termos de vetores unitários, teremos:
 Lembrando que
 e usando os resultados dos produtos vetoriais
entre os vetores unitários, encontramos que:

29.  Usando as propriedades de matrizes, encontramos
que o produto vetorial pode ser expresso como o
determinante da matriz definida a seguir: