1. O documento discute funções de várias variáveis, incluindo sua definição, representação geométrica e exemplos. 2. É apresentada a noção de função de n variáveis reais e exemplos ilustrativos. 3. São descritas formas de representar graficamente funções de duas variáveis no R3, como planos, esferas, parabolóides e cones.

1. 1
Cálculo III
1 - Funções de Várias Variáveis
Em muitos casos, o valor de uma grandeza depende do valor de duas ou mais outras. O volume
de água de um reservatório, por exemplo, depende das chuvas e da água consumida pelos
habitantes. A produção de uma fábrica pode depender do capital investido e do número de
operários que lá trabalham. È comum estes tipos de relações serem representadas
matematicamente por uma função com mais de uma variável independente.
1.1 - Definição
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional ( n
RA ⊆ ), isto é, os elementos de A são n-uplas
ordenada de (x1, x2, ..., xn) de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associamos um
único elemento Rz ∈ , temos uma função RRaf n
→⊆: . Essa função é chamada de função de
n-variáveis reais. Denotamos:
z = f(P) ou z = f(x1,x2,..., xn)
O conjunto A é denominado domínio da função z = f(P)
Exemplo 1 – Suponha que
yx
yx
yxf
−
+
=
2
),(
a) Determine o domínio de f.
{ }yxRyxfD ≠∈= /),()( 2
b) Calcule f(1,-2)
f(1,-2) =
3
1
−
Gráfico de f: Gráfico do D(f)

2. 2
Exemplo 2 – Suponha que xxeyxf y
ln),( +=
a) Domínio de f: { }0/),()( 2
>∈= xRyxfD
b) Calcule f(e2
, ln2):
f(e2
, ln2) = 2(e2
+1) = 16,78
Gráfico de f Gráfico do D(f)
Exemplo 3 – Se 222
16),,( zyxzyxf −−−=
a) Domínio de f: { }16/),,()( 2223
≤++∈= zyxRzyxfD
b) Calcule )2,1,2(f )2,1,2(f = 3
Gráfico de f: Nãoé representável ( R4
)
Exemplo 4 – Se f(x,y) = x2
+ y2
Gráfico de f:
a) Domínio de f:
b) D(f) = R2
Parabolóide

3. 3
Exemplo 5 – f(x,y) = y2
- x2
a) Domínio de f: D(f) = R2
Gráfico de f:
Exemplo 6 – f(x,y) = 22
2 xy +
a) Domínio de f: D(f) = R2
Gráfico de f:
Exemplo 7 – Uma loja de vinhos mantém em seus estoques, duas qualidades de vinho branco de
mesa: um A e o outro B. A demanda de cada qualidade depende não só dos preços dos próprios
vinhos, mas também, do preço do vinho concorrente. Os resultados das vendas indicam que se
cada garrafa do vinho A e B forem vendidos, respectivamente, por $x e $y, a demanda do vinho
A será:
D1 = 300 – 20 x + 30 y garrafas por mês,
e a do vinho B:
D2 = 200 – 40 x + 10 y garrafas por mês.
Exprima, em função dos preços x e y, a receita mensal total que a loja obterá com a venda desses
vinhos.
Solução: R(x,y) = 300 x + 200 y - 10 xy – 20 x2
+ 10 y2

4. 4
1.2 - Representação Geométrica no R3
(gráficos)
Funções de duas variáveis
independentes podem ser
representadas por superfícies num
sistema tridimensional de
coordenadas. Não existem, porém,
modos análogos para visualizar
funções com mais de duas variáveis
independentes.
O sistema de coordenadas tridimensionais é dividido pelos planos coordenados: xy, xz e
yz. Normalmente representa-se apenas o 1º octante
O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y) é o conjunto de todos os pontos
(x,y,z) 3
),,( Rzyx ∈ , tais que (x,y) ∈ D(f) e z = f(x,y)
Podemos escrever: Graf (f) = 3
),,( Rzyx ∈ / z = f (x,y)
Plano – forma reduzida
z = ax + by + c
Esfera de centro (a, b, c) e raio d
2222
)()()( dczbyax =−+−+−
Parabolóide – forma reduzida
22
)()( bybxaz −+−+=
Cone – forma reduzida – centro na origem
22
ayaxz +=
Exemplo 1 – A equação y = x é a equação de um plano vertical que passa por toda a extensão do
eixo z.
Exemplo 2 – A equação x + 2y + 3z = 3 é uma equação de um plano inclinado que corta os
eixos coordenados em x = 3, y = 3/2 e z = 1. Resolvendo essa equação para z em função de
(x,y), obtemos a função:
z = 1/3(3 – x – 2y)
cujo domínio é todo plano xy (R2
) e cuja imagem é todo eixo z(R). A parte do gráfico de z que se
encontra no primeiro octante pode ser facilmente desenhado.

5. 5
Exemplo 3 – Dada a equação x2
+y2
+z2
=a2
, sendo que a pertence a R*
+, ela representa uma
esfera de raio a, centrada na origem.
Exemplo 4 – Escreva a equação da superfície esférica de centro C e raio r quando C(2,-3,1) e
r = 5.
Exemplo 5 – Represente a esfera de equação x2
+y2
+z2
=16
Exemplo 6 – Represente graficamente o parabolóide z = 4 - x2
– y2
Função - Uma superfície S no espaço tridimensional só representará uma função se qualquer
reta perpendicular ao plano xy cortar S no máximo em um ponto.
No caso de funções de uma variável, é comum e eficiente elaborar uma tabela de valores
(x,y), para uma série de valores do domínio da função. Para o caso de funções tridimensionais
isto é quase impossível. A elaboração em geral é feita usando um recurso computacional
específico. É comum também a utilização, principalmente por cartógrafos, um conjunto de pontos
do domínio para os quais a função permanece constante, as chamadas curvas de nível.
Se K é um número real. Uma curva de nível, CK, de uma função z = f(x,y) é o conjunto de
todos os pontos (x,y) que pertencem ao domínio de f, tais que f(x,y) = K
{ }KxyffDyxCK =∈= )(/)(),(
Exemplo – Para a função 22
4 yxz −−= , algumas curvas de nível são:
C0 : 0 = 22
4 yx −− ou x2
+ y2
= 4;
C1/2 : 1/2 = 22
4 yx −− ou x2
+ y2
= 15/4;
C1 : 1 = 22
4 yx −− ou x2
+ y2
= 3;
C3/2 : 3/2 = 22
4 yx −− ou x2
+ y2
= 7/4;
Para K = 2, a curva de nível é dada por 2 = 22
4 yx −− ou x = y = 0, onde a curva se
reduz a um ponto, chamada curva degenerada.

6. 6
1.3 - Exercícios:
1) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:
a) O volume de um cone circular reto em função do raio da base r e da altura h
b) Para um mol de um gás ideal a equação de Clapeyron estabelece que pV = RT, onde p é a
pressão, V é o volume ocupado, T é a temperatura absoluta e R uma constante universal.
- Exprima o volume como função da pressão e da temperatura
- Exprima a pressão em função da temperatura e do volume
- Exprima a temperatura em função da pressão e do volume
c) Uma caixa sem tampa de volume 2 dm3
tem como dimensões da base x e y. Represente
como função de x e y, a sua área total.
d) a medida da hipotenusa de uma triângulo retângulo de catetos h e m.
e) o volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y
metros de altura
f) a quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de
largura a e comprimento b.
g) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as
paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de
comprimento, se a altura do quarto é z metros.
h) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z; a área total de suas faces
2) Represente os pontos no sistema cartesiano de coordenadas:
A(1,1,2) B(2,3,4) C(-1,1,2) E(3,1,4)
F(0,0,3) G(-2,0,0) H(1,-3,5) I(-3,-3,-3)
3) Represente graficamente em R3
os planos:
a) x = 3
b) y = 2
c) y = x
d) y = x + 1
e) z = x
f) z = y
g) z = 3 – x – y
h) 2x + 3y + z = 6
i) z = 4 - 2x - 2y
j) z = 6 – x - y
k) z = 1 + 2x + y
9) Represente graficamente:

7. 7
a) cone z= 22
22 yx + b) parabolóide z = x2
+ y2
+ 1 c) parabolóide z =4 - x2
+ y2
10) Escreva uma equação da superfície esférica de centro C e raio r, nos casos:
a) C=(3,-5,2), r = 2 b) C=(3,-2,1) e r =2 c) C=(0,0,1) e r = 3
11) Represente graficamente as equações das esferas:
a) x2
+ y2
+ z2
= 9 b) x2
+ y2
+ z2
= 2 c) x2
+ (y-1)2
+ z2
= 9
d) x2
+ y2
+ z2
– 2x – 2y – 2z + 2 = 0
12) Descreva o domínio de f e calcule os valores nos pontos indicados:
a) f(x,y) = (x – 1)2
+ 2xy3
; f(2,-1); f(1,2)
b)
yx
yx
yxf
32
23
),(
+
+
= ; f(1,2); f(-4,6)
c) f(x,y) = 3
1
2
1
10 yx ; f(16 , 27); f(4, -8)
d)
4
),( 22
−+
=
yx
x
yxf ; f(2,1); f( 3 , 2)
e)
yx
yx
yxf
32
23
),(
+
+
= ; f(1,2); f(-4,6)
f) f(x,y) =
yx
x
−2
3
10) Contando com x operários especializados e y não especializados, um fabricante produz
Q(x,y) = 10x2
y unidades de um determinado produto por dia. Atualmente há 20 operários
especializados e 40 não especializados.
a) Quantas unidades estão sendo produzidas atualmente, por dia?
b) Qual será a variação da produção diária se acrescentar mais um operário
especializado à força de trabalho atual?
c) Qual será a variação da produção diária se acrescentar mais um operário não
especializado à força de trabalho atual?
d) Qual será a variação da produção diária se acrescentar mais um operário
especializado e mais um não especializado à força de trabalho atual?
11) Certo fabricante produz calculadoras científica e padrão, sendo seus custos unitários
iguais a $ 80 e $ 20.
a) Exprima o custo mensal de produção do fabricante
b) Calcule o custo total mensal, caso se produzam 500 científicas e 800 padrão
c) O fabricante pretende elevar em 50 unidades/mês, em relação ao nível obtido em
(b), a produção de calculadoras científicas. Que alteração deverá ser feita na
produção das calculadoras padrão a fim de que o custo mensal total permaneça
inalterado?