O documento apresenta uma coleção de conceitos e propriedades de áreas fundamentais da matemática como probabilidades, funções, trigonometria e números complexos.
1) O documento discute potências e raízes, incluindo propriedades de potências de expoente inteiro negativo e propriedades da raiz enésima aritmética.
2) Também aborda potências de expoente racional, logaritmos e suas propriedades, e progressões aritméticas e geométricas.
3) Por fim, apresenta notações assintóticas para analisar o crescimento de funções, como Big O, o, Ω e ω.
O documento discute geometria plana e espacial, definindo figuras geométricas como polígonos, retângulos, quadrados e triângulos. Fornece fórmulas para calcular perímetro e área dessas figuras, bem como de sólidos como paralelepípedos, cubos e cilindros. Por fim, apresenta exercícios sobre os tópicos discutidos.
O documento apresenta fórmulas para calcular perímetro, área e volume de figuras geométricas planas e sólidos geométricos. Inclui expressões para retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango, polígonos regulares, circunferência, paralelepípedo, cubo, prisma, pirâmide, cilindro e cone. Há também exercícios sobre esses conceitos com suas respectivas respostas.
Este documento apresenta uma apostila sobre introdução ao estudo de funções elaborada pelo professor Carlinhos. A apostila define o conceito de função de forma intuitiva e matemática, apresenta exemplos de funções, explica como identificar o domínio, imagem e contradomínio de uma função, e como construir e analisar gráficos de funções. A apostila também contém exercícios de fixação sobre o assunto.
Este documento apresenta uma apostila sobre introdução ao estudo de funções elaborada pelo professor Carlinhos. A apostila define o conceito de função de forma intuitiva e matemática, apresenta exemplos de funções, explica como identificar o domínio, imagem e contradomínio de uma função, e como construir e analisar gráficos de funções. A apostila também contém exercícios de fixação sobre o assunto.
1. A área é a medida da extensão de uma superfície.
2. As áreas de figuras planas são calculadas usando fórmulas que levam em conta medidas como base, altura, comprimento de lados.
3. Exemplos de fórmulas de área incluem retângulo (base x altura), quadrado (lado ao quadrado), triângulo (base x altura dividida por 2).
Mat utfrs 16. angulos formados por duas paralelas e uma transversaltrigono_metria
1. O documento apresenta os tipos de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, como ângulos correspondentes, alternos internos e externos.
2. Há exemplos de problemas envolvendo ângulos formados por retas paralelas e uma transversal, pedindo para calcular valores desses ângulos.
3. Os problemas aplicam as propriedades dos ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal para cálculo de medidas angulares.
1) O documento descreve as funções afins, que são funções onde f(x)=ax+b para todo x pertencente aos números reais. 2) São apresentados casos particulares de funções afins como a função identidade, linear e constante. 3) Exemplos de situações reais modeladas por funções afins como deslocamento com velocidade constante e custo de produção.
1) O documento discute potências e raízes, incluindo propriedades de potências de expoente inteiro negativo e propriedades da raiz enésima aritmética.
2) Também aborda potências de expoente racional, logaritmos e suas propriedades, e progressões aritméticas e geométricas.
3) Por fim, apresenta notações assintóticas para analisar o crescimento de funções, como Big O, o, Ω e ω.
O documento discute geometria plana e espacial, definindo figuras geométricas como polígonos, retângulos, quadrados e triângulos. Fornece fórmulas para calcular perímetro e área dessas figuras, bem como de sólidos como paralelepípedos, cubos e cilindros. Por fim, apresenta exercícios sobre os tópicos discutidos.
O documento apresenta fórmulas para calcular perímetro, área e volume de figuras geométricas planas e sólidos geométricos. Inclui expressões para retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango, polígonos regulares, circunferência, paralelepípedo, cubo, prisma, pirâmide, cilindro e cone. Há também exercícios sobre esses conceitos com suas respectivas respostas.
Este documento apresenta uma apostila sobre introdução ao estudo de funções elaborada pelo professor Carlinhos. A apostila define o conceito de função de forma intuitiva e matemática, apresenta exemplos de funções, explica como identificar o domínio, imagem e contradomínio de uma função, e como construir e analisar gráficos de funções. A apostila também contém exercícios de fixação sobre o assunto.
Este documento apresenta uma apostila sobre introdução ao estudo de funções elaborada pelo professor Carlinhos. A apostila define o conceito de função de forma intuitiva e matemática, apresenta exemplos de funções, explica como identificar o domínio, imagem e contradomínio de uma função, e como construir e analisar gráficos de funções. A apostila também contém exercícios de fixação sobre o assunto.
1. A área é a medida da extensão de uma superfície.
2. As áreas de figuras planas são calculadas usando fórmulas que levam em conta medidas como base, altura, comprimento de lados.
3. Exemplos de fórmulas de área incluem retângulo (base x altura), quadrado (lado ao quadrado), triângulo (base x altura dividida por 2).
Mat utfrs 16. angulos formados por duas paralelas e uma transversaltrigono_metria
1. O documento apresenta os tipos de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, como ângulos correspondentes, alternos internos e externos.
2. Há exemplos de problemas envolvendo ângulos formados por retas paralelas e uma transversal, pedindo para calcular valores desses ângulos.
3. Os problemas aplicam as propriedades dos ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal para cálculo de medidas angulares.
1) O documento descreve as funções afins, que são funções onde f(x)=ax+b para todo x pertencente aos números reais. 2) São apresentados casos particulares de funções afins como a função identidade, linear e constante. 3) Exemplos de situações reais modeladas por funções afins como deslocamento com velocidade constante e custo de produção.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo a representação de pontos, convenção de sinais, quadrantes, eixos e propriedades.
2. São definidos também os conceitos de ponto médio de um segmento, distância entre pontos, baricentro e condição de alinhamento de três pontos.
3. Por fim, são apresentados exercícios resolvidos sobre esses conceitos, incluindo cálculo de coordenadas de pontos médios, distâncias, bar
O documento resume as principais fórmulas para calcular áreas de figuras planas, incluindo triângulos, hexágonos, quadriláteros como trapézio, paralelogramo, retângulo e losango, bem como círculo, setor circular e coroa circular.
05 tringulo retngulo e razes trigonomtricasresolvidos
Este documento apresenta três tópicos principais sobre triângulos retângulos e funções trigonométricas: 1) Definições de triângulo retângulo e razões trigonométricas. 2) Teorema de Pitágoras. 3) Definições de funções trigonométricas no triângulo retângulo e valores notáveis.
1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
(1) Uma função f pertence a L1(μ) se e somente se a função t → μ(x: |f(x)| > t) for integrável em relação à medida de Lebesgue. Além disso, a integral de |f| é igual ao limite da integral da função indicatriz sobre os conjuntos {|f| > t}.
(2) Se A tem medida maior que 1, então existem pontos distintos x, y em A cujo vetor x - y tem coordenadas inteiras.
(3) Todo conjunto convexo em Rn é Lebesgue mensurável
O documento discute progressões geométricas, definindo seus termos gerais e fórmulas para a soma e produto dos termos. Apresenta também propriedades e exercícios sobre progressões geométricas, incluindo triângulos retângulos e áreas de figuras fractais.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
O documento resume as fórmulas para calcular as áreas de figuras planas básicas como quadrado, retângulo, triângulo, círculo, paralelogramo e trapézio. Fornece as fórmulas para calcular a área de cada figura em termos de suas medidas como lado, base, altura e raio.
Este documento explica como calcular a área de várias figuras planas. Para o quadrado, a área é igual ao comprimento ao quadrado. Para o retângulo, a área é igual à base vezes a altura. Para o paralelogramo e o triângulo, a área também é igual à base vezes a altura, dividida por 2 no caso do triângulo. Para o losango, a área é igual ao produto das diagonais dividido por 2. Para o trapézio, a área é igual à soma da base maior e menor vezes a altura, dividida por
O documento apresenta definições e propriedades sobre progressões aritméticas, incluindo a fórmula para o termo geral e a soma dos termos de uma P.A. Há também questões sobre P.A. para serem classificadas como verdadeiras ou falsas e outras questões para serem respondidas.
1. O documento discute as ferramentas matemáticas necessárias para o estudo da mecânica quântica, incluindo espaços de Hilbert, funções de onda, operadores lineares e a notação bra-ket de Dirac.
2. Os espaços de Hilbert são espaços vetoriais com um produto escalar definido que satisfaz propriedades específicas. Funções quadrado-integráveis formam um espaço de Hilbert relevante para a mecânica quântica.
3. A notação bra-ket de Dirac permite representar vetores de estado em diferentes
Este documento apresenta os principais pontos notáveis de um triângulo: o baricentro, o incentro, o ortocentro e o circuncentro. Explica que o baricentro é o ponto de encontro das medianas, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas, o ortocentro é o ponto de encontro das alturas e o circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. Apresenta também exercícios resolvidos sobre esses conceitos.
O documento discute o cálculo de áreas de figuras planas, incluindo triângulos, círculos. Fornece a fórmula para calcular a área de um círculo, que é πr2, onde r é o raio. Fornece um exemplo numérico de calcular a área de um círculo com raio de 8 cm.
(1) A sequência (5, 9, 13, 17, 21) é uma PA com razão 4 e o primeiro termo 5. (2) Na PA (1, 7, 13, 19, ...), a razão é 6 e o primeiro termo é 1. (3) Entre 10 e 130 há 21 termos da PA formada pelos múltiplos de 4.
Este documento presenta 10 problemas de aritmética sobre divisibilidad. Los problemas incluyen hallar valores de variables que cumplen con ciertas condiciones, determinar cuántos valores toman variables, y calcular cuántos números de 3 o 4 cifras son múltiplos de números específicos.
Este documento presenta varios problemas de álgebra de 4to año. Incluye factorizar polinomios, hallar valores desconocidos en esquemas algebraicos, factorizar polinomios más complejos, simplificar expresiones y calcular límites.
Este documento presenta 28 ecuaciones de primer grado para ser resueltas por estudiantes de primer grado. Las ecuaciones involucran sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de términos que incluyen variables y números.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Analiza casos donde hay correlación positiva, negativa o relación funcional entre variables como estatura de padres e hijos, temperatura de calentamiento de una barra de hierro y su longitud, índice de mortalidad infantil y número de médicos. También incluye ejercicios para calcular coeficientes de correlación y representar gráficamente distribuciones bidimensionales.
El documento presenta la historia del desarrollo de los números complejos. El matemático Diofanto planteó un problema geométrico en el siglo III d.C. que involucraba raíces cuadradas de números negativos, el cual no pudo resolver. En los siglos XVI y XVII, matemáticos como Cardano, Bombelli y Descartes comenzaron a explorar las propiedades de estas raíces. En 1777, Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 como i. Finalmente, en su tesis de 1799, Gauss demo
Este documento trata sobre operaciones con radicales y racionalización. Explica cómo simplificar radicales usando propiedades de potencias y cómo realizar operaciones con ellos. Luego, presenta ejercicios de simplificación de radicales, operaciones con ellos y racionalización de denominadores.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo a representação de pontos, convenção de sinais, quadrantes, eixos e propriedades.
2. São definidos também os conceitos de ponto médio de um segmento, distância entre pontos, baricentro e condição de alinhamento de três pontos.
3. Por fim, são apresentados exercícios resolvidos sobre esses conceitos, incluindo cálculo de coordenadas de pontos médios, distâncias, bar
O documento resume as principais fórmulas para calcular áreas de figuras planas, incluindo triângulos, hexágonos, quadriláteros como trapézio, paralelogramo, retângulo e losango, bem como círculo, setor circular e coroa circular.
05 tringulo retngulo e razes trigonomtricasresolvidos
Este documento apresenta três tópicos principais sobre triângulos retângulos e funções trigonométricas: 1) Definições de triângulo retângulo e razões trigonométricas. 2) Teorema de Pitágoras. 3) Definições de funções trigonométricas no triângulo retângulo e valores notáveis.
1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
(1) Uma função f pertence a L1(μ) se e somente se a função t → μ(x: |f(x)| > t) for integrável em relação à medida de Lebesgue. Além disso, a integral de |f| é igual ao limite da integral da função indicatriz sobre os conjuntos {|f| > t}.
(2) Se A tem medida maior que 1, então existem pontos distintos x, y em A cujo vetor x - y tem coordenadas inteiras.
(3) Todo conjunto convexo em Rn é Lebesgue mensurável
O documento discute progressões geométricas, definindo seus termos gerais e fórmulas para a soma e produto dos termos. Apresenta também propriedades e exercícios sobre progressões geométricas, incluindo triângulos retângulos e áreas de figuras fractais.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
O documento resume as fórmulas para calcular as áreas de figuras planas básicas como quadrado, retângulo, triângulo, círculo, paralelogramo e trapézio. Fornece as fórmulas para calcular a área de cada figura em termos de suas medidas como lado, base, altura e raio.
Este documento explica como calcular a área de várias figuras planas. Para o quadrado, a área é igual ao comprimento ao quadrado. Para o retângulo, a área é igual à base vezes a altura. Para o paralelogramo e o triângulo, a área também é igual à base vezes a altura, dividida por 2 no caso do triângulo. Para o losango, a área é igual ao produto das diagonais dividido por 2. Para o trapézio, a área é igual à soma da base maior e menor vezes a altura, dividida por
O documento apresenta definições e propriedades sobre progressões aritméticas, incluindo a fórmula para o termo geral e a soma dos termos de uma P.A. Há também questões sobre P.A. para serem classificadas como verdadeiras ou falsas e outras questões para serem respondidas.
1. O documento discute as ferramentas matemáticas necessárias para o estudo da mecânica quântica, incluindo espaços de Hilbert, funções de onda, operadores lineares e a notação bra-ket de Dirac.
2. Os espaços de Hilbert são espaços vetoriais com um produto escalar definido que satisfaz propriedades específicas. Funções quadrado-integráveis formam um espaço de Hilbert relevante para a mecânica quântica.
3. A notação bra-ket de Dirac permite representar vetores de estado em diferentes
Este documento apresenta os principais pontos notáveis de um triângulo: o baricentro, o incentro, o ortocentro e o circuncentro. Explica que o baricentro é o ponto de encontro das medianas, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas, o ortocentro é o ponto de encontro das alturas e o circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. Apresenta também exercícios resolvidos sobre esses conceitos.
O documento discute o cálculo de áreas de figuras planas, incluindo triângulos, círculos. Fornece a fórmula para calcular a área de um círculo, que é πr2, onde r é o raio. Fornece um exemplo numérico de calcular a área de um círculo com raio de 8 cm.
(1) A sequência (5, 9, 13, 17, 21) é uma PA com razão 4 e o primeiro termo 5. (2) Na PA (1, 7, 13, 19, ...), a razão é 6 e o primeiro termo é 1. (3) Entre 10 e 130 há 21 termos da PA formada pelos múltiplos de 4.
Este documento presenta 10 problemas de aritmética sobre divisibilidad. Los problemas incluyen hallar valores de variables que cumplen con ciertas condiciones, determinar cuántos valores toman variables, y calcular cuántos números de 3 o 4 cifras son múltiplos de números específicos.
Este documento presenta varios problemas de álgebra de 4to año. Incluye factorizar polinomios, hallar valores desconocidos en esquemas algebraicos, factorizar polinomios más complejos, simplificar expresiones y calcular límites.
Este documento presenta 28 ecuaciones de primer grado para ser resueltas por estudiantes de primer grado. Las ecuaciones involucran sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de términos que incluyen variables y números.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Analiza casos donde hay correlación positiva, negativa o relación funcional entre variables como estatura de padres e hijos, temperatura de calentamiento de una barra de hierro y su longitud, índice de mortalidad infantil y número de médicos. También incluye ejercicios para calcular coeficientes de correlación y representar gráficamente distribuciones bidimensionales.
El documento presenta la historia del desarrollo de los números complejos. El matemático Diofanto planteó un problema geométrico en el siglo III d.C. que involucraba raíces cuadradas de números negativos, el cual no pudo resolver. En los siglos XVI y XVII, matemáticos como Cardano, Bombelli y Descartes comenzaron a explorar las propiedades de estas raíces. En 1777, Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 como i. Finalmente, en su tesis de 1799, Gauss demo
Este documento trata sobre operaciones con radicales y racionalización. Explica cómo simplificar radicales usando propiedades de potencias y cómo realizar operaciones con ellos. Luego, presenta ejercicios de simplificación de radicales, operaciones con ellos y racionalización de denominadores.
Este documento presenta ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites y continuidad. Incluye la representación de funciones, factorización de polinomios, cálculo de límites, dominios de funciones compuestas y funciones definidas a trozos. Resuelve ejercicios como encontrar expresiones matemáticas, funciones que representan beneficios, composición de funciones elementales y cálculo de límites.
El documento trata sobre el cálculo del trabajo mecánico realizado por diferentes fuerzas al mover objetos sobre ciertas distancias o durante cierto tiempo. Explica que el trabajo mecánico se calcula multiplicando la fuerza por el desplazamiento, y presenta varios ejemplos numéricos de cálculo de trabajo realizado por fuerzas como el peso sobre distintas masas y alturas.
Este documento presenta 12 problemas de optimización que involucran funciones objetivo y condiciones. Cada problema describe una situación real y pide determinar las dimensiones óptimas para maximizar o minimizar alguna medida, como área, perímetro o costo. Los problemas se resuelven aplicando cálculo diferencial e integral para encontrar extremos locales y comprobar si son máximos o mínimos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Este documento presenta un repaso de física sobre los temas de estática y dinámica. Incluye 12 preguntas de opción múltiple y problemas sobre equilibrio de fuerzas, momentos, tensión en cuerdas, aceleración y movimiento de objetos sometidos a fuerzas.
El documento presenta una lista de fórmulas y conceptos fundamentales de matemáticas, física y química organizados en tablas e índices. Incluye fórmulas de geometría, trigonometría, números complejos, cálculo, física clásica y química general como la tabla periódica y pesos atómicos.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con las derivadas y sus aplicaciones. En la primera sección, se pide analizar las condiciones de crecimiento y decrecimiento de una función basadas en el signo de su primera y segunda derivada. Luego, se pide graficar una función con ciertas condiciones dadas en sus intervalos. En la segunda sección, se piden hallar ecuaciones de rectas tangentes a curvas en puntos específicos.
El documento presenta un resumen de las cuatro etapas del curso de Matemáticas III. La primera etapa cubre las relaciones y funciones polinómicas, incluidas las líneas rectas y funciones cuadráticas. La segunda etapa trata sobre las funciones algebraicas racionales e irracionales. La tercera etapa cubre las funciones exponenciales y logarítmicas. La cuarta etapa presenta conceptos de geometría analítica como coordenadas rectangulares, circunferencias, parábolas, elipses e hipé
El documento describe la aceleración como la relación entre los cambios en la velocidad y el tiempo en que ocurren. La aceleración puede ser tangencial, que relaciona cambios en la rapidez, o normal, que relaciona cambios en la dirección. El movimiento puede ser rectilíneo uniforme, con velocidad constante, o uniformemente acelerado, con velocidad variable debido a una aceleración constante.
El documento presenta varios ejercicios relacionados con números complejos. Se explican conceptos como raíces, potencias de i, sumas y multiplicaciones de números complejos. También se muestran ejemplos de ecuaciones de segundo grado y sus soluciones.
Este documento presenta varios teoremas relacionados con exponentes y raíces. Explica conceptos como la potenciación, que expresa "b^m" como la base elevada al exponente. También cubre propiedades de exponentes como la igualdad de bases y exponentes, y formas de calcular exponentes fraccionarios, negativos y de exponente. Además, introduce la radicación y cómo calcular raíces de productos, cocientes y otras raíces. En total, resume 27 teoremas sobre las leyes y operaciones con exponentes y raíces.
Ejercicios Mate Aplic II PAU País Vascopeiosalazar
1) El documento presenta 15 problemas de álgebra lineal y programación lineal resueltos entre junio de 2002 y julio de 2005. Los problemas incluyen hallar valores para que una matriz tenga inversa, resolver sistemas de ecuaciones matriciales, encontrar matrices que cumplan ciertas condiciones, y problemas de programación lineal que involucran funciones objetivo sujetas a restricciones.
O documento descreve conceitos básicos de geometria plana e espacial, incluindo definições de polígonos, perímetro e área de figuras planas como retângulo, quadrado, paralelogramo e triângulo. Também apresenta sólidos geométricos como paralelepípedo, cubo, prisma, pirâmide, cilindro e cone, definindo suas fórmulas de volume e área total. Por fim, fornece exercícios sobre os tópicos explicados.
O documento apresenta os conceitos de potenciação e radiciação. Na potenciação, define-se an como sendo a multiplicada por si mesma n vezes, e apresenta propriedades como am.an = am+n. Na radiciação, n√a é definido como o número b tal que bn = a, e apresenta propriedades como (n√a)m = n√am. Por fim, exemplos ilustram o cálculo de potenciação e radiciação.
Este documento fornece um resumo teórico de geometria plana com fórmulas, relações e teoremas importantes, seguido de exercícios de aplicação e dicas para resolvê-los.
Este documento apresenta resumos teóricos e exercícios sobre geometria plana. As principais fórmulas abordadas incluem a lei dos senos, lei dos cossenos e relações métricas em triângulos e círculos. Os exercícios propõem problemas envolvendo áreas, relações trigonométricas e propriedades de figuras planas. Dicas são fornecidas para auxiliar na resolução.
Este documento apresenta resumos teóricos e exercícios sobre geometria plana. As principais fórmulas abordadas incluem a lei dos senos, lei dos cossenos e relações métricas em triângulos e círculos. Os exercícios propõem problemas envolvendo áreas, relações trigonométricas e propriedades de figuras planas. As dicas fornecem pistas para resolver os exercícios utilizando os conceitos apresentados no resumo teórico.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre potenciação e radiciação. Em resumo: (1) define-se potência como a multiplicação repetida de um número por si mesmo um número n de vezes, chamado de expoente; (2) radiciação é o inverso da potenciação, sendo definida a raiz n-ésima de um número; (3) apresenta propriedades e regras de sinais para potenciação e radiciação, assim como condições de existência para raízes.
O documento apresenta os conceitos de potenciação e radiciação em matemática. Explica que a potência de um número a elevado a um expoente n é o produto de a por si mesmo n vezes. Também define raiz n-ésima e apresenta propriedades como a raiz de um produto ser igual ao produto das raízes e a raiz de uma potência ser igual à potência da raiz.
1) O documento descreve a representação das funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente e cotangente) no círculo trigonométrico e como reduzir ângulos para o primeiro quadrante.
2) Ele explica como reduzir ângulos dos quadrantes 2, 3 e 4 para o primeiro quadrante usando propriedades trigonométricas como seno(π-α) = seno(α).
3) A redução dos quadrantes 3 e 4 também pode ser feita usando 2π±α.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo notações de conjuntos, experiências determinísticas versus aleatórias, acontecimentos, e definições de probabilidade.
2) É introduzida a noção de frequência relativa e como esta se estabiliza em torno da probabilidade de um evento com repetições.
3) A lei de Laplace é mencionada no contexto de acontecimentos elementares equiprováveis.
Transformadores funcionam com núcleos de ferro que aumentam o campo magnético aplicado. A relação entre o número de voltas do primário e secundário determina se o transformador eleva ou reduz a tensão. Quando a chave está fechada, a corrente no secundário é proporcional ao quadrado da razão entre as voltas e a resistência equivalente é proporcional ao quadrado da razão entre as voltas.
1) O documento lista propriedades lógicas do cálculo proposicional e de predicados, incluindo equivalências, implicações e princípios de satisfatibilidade e validade.
2) Regras de inferência do sistema de Wang são apresentadas para lidar com negações e quantificadores.
3) Passos para converter uma fórmula quantificada em predicados na forma normal cláusula de Horn são explicados.
Este documento apresenta conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, incluindo definições de funções trigonométricas, teorema de Pitágoras e valores notáveis.
1) O documento apresenta símbolos e conceitos matemáticos relacionados a conjuntos numéricos, incluindo números naturais, inteiros, racionais e reais.
2) São definidas propriedades básicas de operações como adição, subtração, multiplicação e divisão para números reais.
3) Exemplos ilustram regras como propriedades comutativa, associativa, elemento neutro e oposto, distribuição e cancelamento.
O documento apresenta a fórmula para calcular o número de elementos da união de dois conjuntos A e B, que é igual a n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Dois exemplos ilustram como aplicar a fórmula para encontrar o número de elementos da união de dois conjuntos dados. Exercícios são propostos para que o leitor teste o uso da fórmula.
O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua relação na formação dos números reais. Apresenta também as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos, assim como propriedades como comutatividade, associatividade e distribuição. Por fim, inclui exercícios de aplicação desses conceitos.
O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua união no conjunto dos números reais. Apresenta as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos e suas propriedades. Por fim, fornece exemplos numéricos ilustrativos.
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Matemática - VideoAulas Sobre Exercícios Semelhança de Triângulos – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicaApoio.com.br
Matemática - Exercícios Semelhança de Triângulos - Parte 1Joana Figueredo
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1) O documento descreve as forças que atuam sobre um bloco em um plano inclinado sem atrito.
2) As forças são o peso do bloco e a reação normal do plano. Isso produz uma resultante que faz o bloco descer com aceleração constante.
3) É mostrado que a aceleração do bloco depende apenas do ângulo de inclinação do plano e da gravidade.
1) O documento apresenta as informações sobre a elaboração do balanço patrimonial de uma empresa prestadora de serviços.
2) É destacada a importância do balanço patrimonial para apresentar a posição financeira da empresa em determinada data.
3) São explicados os critérios de classificação das contas no ativo e passivo de acordo com a Lei 6.404/76, com foco no grau de liquidez e exigibilidade.
1) O documento apresenta uma breve história da Contabilidade, desde os primórdios até os dias atuais.
2) É introduzido o método das partidas dobradas, onde cada débito tem um crédito correspondente de igual valor.
3) Exemplos ilustram como as transações comerciais são registradas usando débitos e créditos nas contas apropriadas.
O documento apresenta:
1) A equipe responsável pela produção e revisão de um curso técnico em operações comerciais;
2) O objetivo do curso é ensinar sobre conceitos e formação do patrimônio inicial de empresas.
Este documento fornece informações sobre a equipe responsável pela produção de um curso técnico em operações comerciais. A equipe inclui coordenadores de produção, edição, revisão, design gráfico, diagramação, arte e ilustração, revisão tipográfica, design instrucional e revisão de linguagem e normas. O curso foi desenvolvido pela Secretaria de Educação a Distância da Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
O documento fornece informações sobre patrimônio líquido e variações patrimoniais. Ele define patrimônio líquido como a diferença entre os bens e direitos de uma empresa e suas obrigações com terceiros. Também classifica as variações patrimoniais em permutativas, modificativas e mistas, dependendo se alteram apenas os componentes do patrimônio ou também o patrimônio líquido.
Este documento fornece informações sobre conceitos básicos da contabilidade como contas, débito, crédito e saldo. Explica que contas são agrupamentos que registram fatos de mesma natureza e dá exemplos. Define débito e crédito como convenções contábeis onde a conta que representa a aplicação de recursos sofre um débito e a que representa a origem sofre um crédito. Por fim, explica que saldo é a diferença entre débitos e créditos, podendo ser devedor ou credor.
O documento fornece informações sobre a classificação e função das contas contábeis. As contas são classificadas em patrimoniais e de resultado. As contas patrimoniais representam bens, direitos e obrigações, enquanto as contas de resultado representam despesas e receitas. O ativo é composto por contas circulante, realizável a longo prazo, permanente e diferido.
O documento fornece um breve resumo sobre planos de contas, incluindo sua definição, organização e importância. É apresentado um modelo simplificado de plano de contas com contas patrimoniais e de resultado organizadas em grupos e subgrupos.
Este documento fornece instruções sobre escrituração contábil e o método das partidas dobradas. Explica os elementos essenciais de um lançamento contábil, como local e data, conta débito, conta crédito, histórico e valor. Também demonstra exemplos de lançamentos usando o método das partidas dobradas.
O documento apresenta um exemplo de balancete de verificação com 4 colunas para a empresa Comercial ABC. O balancete é elaborado após os lançamentos contábeis e razonetes referentes às seguintes movimentações em fevereiro de 2006: 1) Aporte de capital pelos sócios; 2) Abertura de conta bancária; 3) Compra de veículo; 4) Compra de móveis; 5) Captação de empréstimo. O balancete verifica a igualdade entre os totais de débitos e créditos, demonstrando a cor
1) O documento apresenta informações sobre uma aula sobre lançamentos contábeis, razonetes e balancete de verificação.
2) São apresentados exemplos de lançamentos de diversas transações financeiras de uma empresa.
3) O documento também traz informações sobre contas de resultado e seus conceitos.
1) O documento apresenta o balancete de verificação da Cia Brasil em 31 de dezembro de 2006 com o objetivo de apurar o lucro bruto, calcular depreciações, transferir contas de resultado e elaborar balanços.
2) São descritos os 7 passos para realizar a apuração do resultado, incluindo o cálculo do lucro bruto, depreciações, transferência de contas, provisão para imposto de renda e distribuição de lucros.
3) O balancete final é apresentado com os saldos atualizados
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre custos, distinguindo entre custos fixos, variáveis, diretos e indiretos.
2) É destacada a importância da contabilidade de custos para que as empresas possam analisar seus gastos e tomar decisões estratégicas.
3) O custo simplificado é definido como um método para calcular o custo global de produção ou vendas de uma empresa de forma simplificada, sem considerar o custo unitário de cada produto.
1) O documento apresenta um resumo final de conceitos contábeis abordados ao longo de 15 aulas de Contabilidade.
2) São revisados conceitos como ativo, passivo, patrimônio, débito e crédito por meio de exercícios práticos.
3) Inclui também a revisão de temas como balancete de verificação, lançamentos contábeis e balanço patrimonial.
1) O documento apresenta exercícios contábeis sobre operações diversas como compra e venda de mercadorias, aquisição de bens, pagamentos e recebimentos. 2) São solicitados lançamentos contábeis nas contas e a elaboração de balanços patrimoniais e demonstrações de resultado. 3) Os exercícios visam a prática de registros contábeis básicos de empresas em diferentes cenários operacionais.
Este documento apresenta exercícios sobre o Balanço Patrimonial e a Demonstração do Resultado do Exercício. Inclui questões sobre os principais grupos de contas do Balanço, regras para distribuição de contas, classificação de itens no Balanço e exercícios para preenchimento de Balanços Patrimoniais. Também aborda conceitos sobre a Demonstração do Resultado, grupos de despesas operacionais e associação de termos.
O documento descreve a Contabilidade como uma ciência por possuir objeto de estudo (o patrimônio das entidades) e método de análise próprio (partidas dobradas). Apresenta a história da Contabilidade desde Pacioli em 1494, que sistematizou o método das partidas dobradas utilizado em Veneza, até autores posteriores que contribuíram para o desenvolvimento da ciência no Brasil e em outros países. Também define os elementos constitutivos da Contabilidade como ciência.
Os principais grupos e subgrupos de contas do patrimônio são:
1. Ativo
- Circulante
- Caixa e equivalentes de caixa
- Contas a receber
- Estoques
- Não Circulante
- Investimentos
- Imobilizado
- Intangível
2. Passivo
- Circulante
- Financiamentos e empréstimos
- Contas a pagar
- Impostos e contribuições
- Não Circulante
- Financiamentos e empréstimos
- Provisões
3. Patrimônio Líquido
- Capital
Os principais grupos e subgrupos de contas do patrimônio são:
1. Ativo
- Circulante
- Caixa e equivalentes de caixa
- Contas a receber
- Estoques
- Não Circulante
- Investimentos
- Imobilizado
- Intangível
2. Passivo
- Circulante
- Financiamentos e empréstimos
- Contas a pagar
- Impostos e contribuições
- Não Circulante
- Financiamentos e empréstimos
- Provisões
3. Patrimônio Líquido
- Capital
1. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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- PROBABILIDADES –
Prop. Distributiva: A ∪ ∩) =A ∪ ∩ ∪)
(B C ( B) (A C ; A ∩ ∪) =A ∩ ∪ ∩)
(B C ( B) (A C
Leis de De Morgan: A∩ = ∪
B A B A∪ = ∩
B A B ; P ( A) = −P ( A)
1 P ( A ∪) = ( A) + ( B ) − ( A ∩)
B P P P B
n º acont. favoráveis
Prob. Condicionada (acontecer A sabendo que B aconteceu): P( A ∩ B ) Lei Laplace: P ( A) =
P( A / B) = n º acont. possiveis
P( B)
Acont. Independ.: P ( A ∩) = ( A).P ( B )
B P
; P ( A / B ) = ( A)
P
. A B = − = ∩
A B A B
Acont. Diferença( A realiza-se sem que B se realize ): P ( A | B ) = ( A) − ( A ∩)
P P B ; B ⊂ ⇒ A | B ) = ( A) − ( B )
A P( P P
n!
Permutações Pn = n! Arranjos (a ordem importa) : s/ repetição
n
Ap = c/ repetição
n
A' p = n p
(n − p)!
n!
Combinações (não há repetição e ordem não importa):
n
Cp =
p!. ( n − p)!
n
Binómio Newton ( a + b ) n = ∑n C p a n − p b p ( a + ) 3 = 3 + a 2b + ab 2 + 3
b a 3 3 b ( a + ) 4 = 4 + a 3b + a 2b 2 + ab 3 + 4
b a 4 6 4 b
p =0
n
C p = nCn − p
n
C p + nC p +1 = n +1C p +1
T p + 1 = nC p a n − p b p
Tp = nC p −1 b p −1a n − p +1
Prop. Triângulo Pascal:
n n n
Dist. Prob. : 0 ≤ pi ≤ 1 ∧ ∑p
i =1
i =1 valor médio µ = ∑ xi × pi
i =1
variância σ 2 = ∑( xi − µ) 2 × pi
i =1
desvio padrão σ = σ2
n!
Coef. Binomial
n
Cr = P ( X = ) = Cr p r ×1 − ) n −
r n
( p r
( n=nº experiências e r=nº sucessos )
r!. (n − r )!
Curva Normal :
Intervalo Probabilidade
]µ − σ , µ + σ [ 68.27%
Estandardização da variável Z =
X −µ
σ
N ( µ, σ) ] µ − 2σ , µ + 2σ [ 95.45%
] µ − 3σ , µ + 3σ [ 99.73%
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2. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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- FUNÇÕES -
PROP. POTENCIAS : PARIDADE
m+ n Função par: f(-x) = f(x)
a ×a = a
m n
Função ímpar: f(-x) = - f(x)
Função quadratica :
a m ÷ a n = a m− n
f ( x) = ax 2 + bx + c
a m × b m = ( a × b) m CASOS NOTÁVEIS :
y = a ( x − h) 2 + k
a ÷ b = ( a ÷ b)
m m m
(a + b) = a 2 + 2ab + b 2
2
b b2 ESTUDO COMPLETO FUNÇÃO :
(a m ) n = a m× n (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 Vértice : V −
2a ;c−
4a
y 1º − Obter esboço= h gráfico com calculadora
x
do
2º − Dominio
a 0 = 1 se a ≠ 0 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 3º − Continuidade
1 − b ± b 2 − 4ac 4º − Coordenadas pontos intersecção com eixos
−n
a = n
Propriedades Módulos :
Zeros : x = 5º − Simetria
a
m
x−a = a− x
x − a = b ⇔ x − a = b ∨ x − a = −b
x − a < b ⇔ x − a < b ∧ x − a > −b
2a
.
6º − Extremos e monotonia
7º − Sentido das concavidades
V (h,k )
8º − Equações das assimptotas
x
n
am = a n
x − a > b ⇔ x − a < −b ∨ x − a > b 9º − Contradominio
y =log a x ⇔ y =x
a y = x ⇔ y =x
ln e log a ( x. y ) =log a x +log a y
x 1
log a = log a x − log a y log a b = log a ( x p ) =p. log a x
y logb a
log b 1
log b x =log a x . log b a log a b = log a n
x = log a x log a a =1
log a n
log a 1 = 0 log a a x = x a log a x
=x
ex −1 ex sen x ln( x +1) ln x ln x
lim =1 lim = +∞ lim =1 lim =1 lim =1 lim =0
x →0 x x →+∞ x p x →0 x x →0 x x →1 x −1 x →+∞ x
un PERÍODO DE UMA FUNÇÃO (T )
x
n
x
lim 1 + = e x lim 1 +
u = ex
f ( x) = sen(kx) T =
2Π
n n k
2Π
f ( x) = cos(kx) T =
k
p( x) a x n + a1 x n −1 + ... + an Π
Assimpt. função racional f ( x) = = 0 m f ( x) = tan(kx) T =
q( x) b0 x + b1 x m −1 +... + bm k
a0
Assimpt. Vert. zeros de q ( x ) Assimpt. Horiz. y= ( se n = m) y = 0 ( se n < m) não existe ( se n > m)
b0
f ( x) b = lim [ f ( x) −m x ]
Assimpt. Obliq. y =mx +b m = lim x→ ∞
+
x →+∞ x
f (b) − f (a ) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 )
Taxa variação média t .m.v.[ a , b ] = Definição derivada f ' ( x0 ) = lim ou f ' ( x0 ) = lim
b −a x →x 0 x − x0 h →o h
'
u u´.v − u.v´
Regras Derivação : (u + )' = ' + ' (u.v )' = '.v + .v '
= (u n )' = . u n − .u´ ( a u )' = ´.a u . ln a
1
v u v u u n u
v v2
u' u' x'
(e u )' =u´.e u (ln u )' = (log a u )' = ( sen x )' = '. cos x
x (cos x )' = x '. sen x
− (tg x )' =
u u . ln a cos 2 x
'
1 1 1 1
Alguns exemplos: =− 2 ( x )' = (ln x)' = (e x )' = e x Der. Composta: ( f 0 g )`( x0 ) =f ` [g ( x0 ) ]× `( x0 )
g
x x 2 x x
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3. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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- TRIGONOMETRIA -
sen α 1 1 1
sen 2α cos 2 α 1
+ = tg α = 1+ = tg 2α + 1 = cos ( a −) =
b cos a. cos b +sen a.sen b
cos α tg 2α sen 2α cos 2 α
cos ( a + ) =
b cos a. cos b −sen a.sen b sen ( a + ) =
b sen a. cos b +cos a.sen b sen ( a − ) =
b sen a. cos b −cos a.sen b
cos ( 2a ) =cos 2 a −sen 2 a sen ( 2 a ) = . sen a . cos a
2
tg a + tg b tg a − tg b 2 . tg a
tg ( a + b) = tg ( a − b) = tg ( 2a ) =
1 − tg a .tg b 1 + tg a .tg b 1 − tg 2 a
π π π π 3π
Ângul 0º ou 0 30º ou 45º ou 60º ou 90º ou 180º ou π 270º ou rad
o rad 6 4 3 2 rad 2
rad rad rad rad
1 2 3
sen α 0 1 0 -1
2 2 2
3 2 1
cos α 1 0 -1 0
2 2 2
tg α 0 3
1 3 -- 0 --
3
sen (−α ) = − sen α π π 3π
sen ( − α ) = cos α sen ( + α ) = cos α sen ( − α ) = − cos α
2 2 2
Reduções ao 1º quadrante: cos ( −α ) = cos α
π π 3π
tg (−α ) = −tg α cos ( − α ) = sen α cos ( + α ) = − sen α cos ( − α ) = − sen α
2 2 2
3π sen (π − α ) = sen α sen (π + α ) = − sen α sen (2π − α ) = −sen α
sen ( + α ) = − cos α
2 cos (π − α ) = − cos α cos (π + α ) = − cos α cos ( 2π − α ) = cos α
3π
cos ( + α ) = sen α tg (π − α ) = −tg α tg (π + α ) = tg α tg (2π − α ) = −tg α
2
Equações trigonométricas: sen x =sen α x = +kπ x
⇔ α 2 ∨ πα
= − +k
2 πk ∈
, Ζ
cos x =cos α x = +kπ x
⇔ α 2 ∨ =− +k
2 α πk ∈
, Ζ tan x =tan α x = +πk ∈
⇔ α k , Ζ
Circulo trigonométrico:
π
2
+1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
co
sn x =
e
eixo h
dos ca h
senos tan x cs
o x = co
h
sin x co x
tan x =
ca ca
π -1 eixo dos co-senos 0
x
+1
2π
cos x
TEOREMA PITÁGORAS
h2 = c 2 + c 2
o a
eixo
das
tangentes h= c 2 +c 2
o a
-1
3π
2
c =
o h2 − c 2
a
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4. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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- NÚMEROS COMPLEXOS -
b
Forma algébrica nº complexo: z = +
a bi Conjugado de z: z =a −bi Módulo de z: r = z = a 2 +b 2 Argumento de z: θ = arg z = tan −1
a
Forma trigonométrica: z = . cis θ
r ou z = . (cos θ i . sen θ
r + )
27 4
i = −1 i 2 =−1 i 3 = −i i 4 = +1 i 4 n =1 i 4 n +1 =i i 4 n + =−
2
1 i 4 n + =−
3
i Exemplo : i 27 = i3 porque 3 6
2 Inverso
z Conjugado Simétrico a b
z ×z =n º real z= z = z cis (−θ ) − z = z cis (θ + π ) z −1 =
1 1
= cis (−θ )
( a +bi ) −1 = − 2 i
z z z a 2 +b 2 a +b 2
Operações com nº complexos (fórmulas de Moivre) :
z1 r θ + 2 kπ
z1 × 2 =1 × cis (θ + 2 )
z r r2 θ z n = n cis ( n .θ
r ) ,n ∈Ζ = 1 cis (θ1 − θ2 )
n r cis θ = n r . cis , k ∈Ζ
1
z2 r2 n
2Π
Nota: todas as raízes de índice n têm o mesmo módulo e os argumentos (não negativos mínimos) estão em progressão aritmética de razão .
n
Nota: as n raízes de índice n têm por imagem os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio n z .
Domínios planos e condições de variável complexa:
Circunf. de centro z1 e raio r : z − z1 = r
Diagrama Argand
Mediatriz do segm. recta entre z1 e z2 : z −z1 = z −z2
Im
Semiplano limitado por mediatriz segm rect entre z1 e z2 , ao qual pertence z1 : z −z1 ≤ z −z 2
b
Recta vertical x=a+r : Re ( z − 1 ) =
z r
Exemplo: Re( z ) ≥ a representa o semiplano fechado definido pela recta x=a , que fica à direita da recta.
a Re
Recta horizontal y=b+r : Im ( z − 1 ) =
z r
Semi-recta origem afixo z1 q forma com Ox um ang α : arg ( z − 1 ) =
z α
- SUCESSÕES –
un+ − n ≥
1 u 0 ⇒crescente un + − n ≤
1 u 0 ⇒decrescente
u1 + un ub − u a
Progressão Aritmética : u n + − n =r
1 u un = 1 + n − ) . r
u ( 1 Sn = ×n r=
2 b−a
un+1 1− r n
Progressão Geométrica : =r u n =u1 . r n −1
S n = u1 .
un 1− r
- GEOMETRIA –
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5. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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Distância entre 2 pontos d =PQ = ( x2 − 1 ) 2 + y 2 −y1 ) 2
x ( sendo P ( x1 , y1 ) e Q ( x 2 , y 2 )
Mediatriz de [AB] : ( x −1 )2 + y − 1 )2 = x − 2 )2 + y − 2 )2
x ( y ( x ( y sendo A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 )
fo cos ( ±c , 0 )
x2 y2 vértices ( ±a , 0) ( 0, ±b )
Eq. Circunf. centro (x1,y1) raio r : ( x − 1 )2 + y − 1 )2 = 2
x ( y r Eq. Elipse 2
+ 2 = 1 e ( a > b) sendo eixo maior :: 2 a
a b eixo menor 2 b
c = a 2 −b 2
Vectores
Elipse y
a
. .
b AB = − = x2 − 1 , y2 − 1 )
B A ( x y sendo A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 )
-a c +a x
2 2
Soma de vectores u + = x1 + 2 , y1 + 2 )
v ( x y sendo u ( x1 , y1 ) e v ( x 2 , y 2 ) Norma vector: u = x1 + y1 se u ( x1 , y1 )
x + x2 y1 + y2
Ponto médio [AB] M 1 , se A = ( x1 , y1 ) e B = ( x 2 , y 2 )
2 2
Eq. Vectorial recta ( x, y ) =( x0 , y0 ) + (u1 , u 2 )
k k∈ℜ contém o pto A( x , y ) e tem direcção de u (u , u )
0 0 1 2
x = x0 + k u1 x − x0 y − y0
Eq. Paramétricas recta Eq. Cartezianas recta =
y = y0 + k u 2 u1 u2
y2 − y1
Declive recta m = tan α = Equação recta q contém P(x1,y1) e declive m: y − 1 = .( x − 1 )
y m x Eq. Reduzida: y =mx +b
x2 − x1
m' = m ⇒ r // s
r : y = mx + b
Relação entre declives de duas rectas: 1 Produto escalar: u .v =ac +bd se u =( a , b ) e v =( c , d )
s : y = m' x + b' m' = − ⇒ r ⊥ s
m
a .b
Produto vectorial: u . v = u . v . cos (u , v ) ou a . b = a . b . cos θ Âng. entre 2 vectores: cosθ = Projecção: proj a b = b . cos θ
a.b
b.a
proj a b = Teorema co-senos a 2 = 2 + 2 − bc . cos Â
b c 2
a
Eq. plano a ( x −1 ) + ( y − 1 ) +( z −1 ) =
x b y c z 0 contém o pto ( x1 , y1 , z1 ) e é ⊥ u ( a, b, c )
Eq. geral do plano ax + + + =
by cz d 0 plano ⊥a u ( a, b, c )
b×h
TRIÂNGULO : A =
2
CIRCULO : P = 2.π .r A = π .r 2
B+b
TRAPÉZIO : A = ×h
2
Áreas e Volumes:
PRISMA e CILINDRO : V = Abase × h
Abase × h
PIRÂMIDE e CONE : V =
3
4.π .r 3
ESFERA : V =
3
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