1) O documento fornece instruções para uma prova de Matemática II, incluindo não usar calculadora, mostrar cálculos e entregar a folha de enunciado com as folhas de respostas. 2) A prova contém questões sobre subespaços vetoriais, aplicações lineares, derivadas direcionais e funções. 3) As questões abordam tópicos como determinar a dimensão de um subespaço vetorial, calcular imagens de aplicações lineares, estudar propriedades de funções e encontrar pontos críticos

1. Universidade da Beira Interior
Departamento de Matemática
MATEMÁTICA II Exame 19/07/2012
Curso: Gestão Duração: 2h
Nome: Nº:
ˆ Não é permitido o uso de calculadora gráca ou simbólica;
ˆ Resolva os problemas em folhas de teste, apresentando todos os cálculos e as justicações necessárias;
ˆ No nal da prova, entregue a folha de enunciado juntamente com as folhas de teste utilizadas.
Parte I
1) (2 v) Considere o subespaço vectorial real de R3
S = (1, −k, 0), (1, 1, k), (1, k, 1) ,
onde k é um parâmetro real. Determine k de modo que a dimensão de S seja 3.
2) Sejam R2
o espaço vectorial real usual e t : R2
→ R2
a aplicação linear denida por
t(2, 0) = (0, 0) e t(0, 1) = (0, k), com k ∈ R{0} xo.
(a) (1,5 v) Sem determinar todos os elementos do núcleo de t, justique que t não é injectiva.
(b) (1,5 v) Calcule t(x, y) para qualquer (x, y) ∈ R2
.
(c) (1 v) Interprete geometricamente a imagem de t.
3) (2 v) Seja f uma função que admite a derivada direccional no ponto (a, b), na direcção do vetor
u. Mostre que a derivada direccional muda de sinal quando invertemos a direcção do vetor,
isto é, que
∂f
∂(−u)
(a, b) = −
∂f
∂u
(a, b).
[Sugestão: Use a denição de
∂f
∂u
(a, b) e substitua t por −h.]
(Ver verso da folha, p.f.)
1

2. Parte II
1) (1,5 v) Seja f a função denida por f(x, y) =
√
−2x2 − x + 1
x − 1
, 3 + ln(x2
+ y2
− 2) .
Dena analiticamente e represente geometricamente o domínio da função.
2) Considere a função f : R2
→ R, denida por f(x, y) =



xy
x2 + y2
se (x, y) = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
a) (1,5 v) Mostre que f(x, y) não é contínua em (0, 0).
b) (1,5 v) Estude a função quanto à diferenciabilidade.
c) (1 v) Determine f(0, 0) e f(1, 1).
d) (1 v) Sem recorrer à denicão, indique a derivada direccional de f na direcção do vector
(0, 1) no ponto (1, 1).
3) Um empresário, de uma pequena empresa, utiliza para produzir capital (K) e trabalho (L).
A tecnologia é descrita pela função de produção Q = K0,4
L0,4
. Sejam c, p e t os preços do
capital, do bem e do trabalho, respectivamente. Tenha em conta que nem o preço do bem
nem o dos inputs são afectados pelas acções do empresário. Este quer escolher a utilização
de capital e de trabalho de forma a maximizar o lucro. O problema pode ser formalizado da
seguinte forma
max g(K, L) = pQ − (cK + tL).
(a) (1 v) Sem resolver um sistema de equações, verique que
2p
5
5
t−2
c−3
,
2p
5
5
t−3
c−2
é um ponto crítico de g.
(b) (1,5 v) Mostre que o ponto crítico da alínea precedente é um ponto de máximo de g.
4) Considere
1
0
y2
y
yex
dx dy.
(a) (1 v) Esboce a região de integração.
(b) (2 v) Calcule o integral duplo dado.
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