Este documento apresenta vários exercícios sobre funções matemáticas. Aborda conceitos como funções compostas, funções inversas, representações gráficas de funções e resolução de equações envolvendo funções. Os exercícios incluem cálculos, caracterização e representação gráfica de diferentes funções reais de variável real.

1. ______________________________________________________________________________________________
Ficha Trabalho nº 19 Introdução ao Cálculo Diferencial I | 11º ano – Matemática A | Página 1 de 6
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS CAMILO CASTELO BRANCO
Ano letivo 2014/15
11º Ano Matemática A abril 2015
Ficha de Trabalho Nº 19
Conteúdos: Operações com funções. Função composta. Função inversa. Funções irracionais.
𝟏. Considera as funções, reais de variável real, definidas por 1234)( 23
 xxxxf e
6
1
)(


x
xg .
𝟏. 𝟏 Calcula   g f 4 . 𝑅:
1
6
𝟏. 𝟐 Indica, justificando, um valor que não pertença ao domínio de g f . 𝑅: 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑥. : 𝑥 = 1
𝟏. 𝟑 Sabendo que 4 é um zero da função f , carateriza a função definida por 2
f(x)
h(x)
x 16


(indicando
uma expressão simplificada da mesma). 𝑅:  
2
3
4 4
4
 
  

h
x
h(x) ; D ,
x
𝟏. 𝟒 Em relação à função g determina, o domínio, intersecções com os eixos coordenados (caso
existam) e assíntotas do seu gráfico. 𝑅:  
1
6 0 6 0
6
 
     
 
gD ; , ; x e y
𝟏. 𝟓 Determina o domínio da função definida por )()( xgxj  . 𝑅:  6  jD ,
𝟏. 𝟔 Carateriza a função inversa da função g . 𝑅:  1 1 6
0 
 h
x
g (x) ; D
x
𝟐. Seja f a função f, real de variável real, definida por )2(2)( xsenxf  .
𝟐. 𝟏 Calcula o valor de
5π
f
6
 
 
 
. 𝑅:
6
2

𝟐. 𝟐 Resolve, em R, a equação 1)( xf . 𝑅:
3
8 8

       x k x k , k
𝟐. 𝟑 Determina o valor exato de
α
f
2
 
 
 
sabendo que
1
cosα
4
  e α 2ºQ . 𝑅:
30
4
𝟑. Considera as funções f e g cujos gráficos estão representados na figura seguinte:
Das seguintes expressões indique a que é verdadeira:
(A)  g f ( 3) 1 
(B)  2  RD
f
g
(C)   f g 1 0  
(D)   101

g 𝑅: 𝐷

2. ______________________________________________________________________________________________
Ficha Trabalho nº 19 Introdução ao Cálculo Diferencial I | 11º ano – Matemática A | Página 2 de 6
𝟒. Considera a função f definida pela representação gráfica seguinte:
Qual das seguintes representações gráficas é respeitante à função inversa de f ? 𝑅: 𝐶
(A) (B) (C) (D)
𝟓. Considera as funções reais de variável real f e g , definidas analitica e graficamente, respetivamente por:
2
f(x) x 4   e
Das afirmações seguintes, relativas a estas duas funções, só uma
está correta.
Numa breve composição explique por que motivo as restantes
estão erradas. 𝑅: 𝐴
(A)
A função representada graficamente é a função
g
f
(B)
A função representada graficamente é a função gf 
(C)
A função representada graficamente é a função of g
(D)
A função representada graficamente é a função 1
g
20
15
10
5
-5
-10
-15
-20
30 -20 -10 10 20 30
20
15
10
5
-5
-10
-15
-20
-30 -20 -10 10 20 30
4
2
-2
-4
-5 5
4
2
-2
-4
-5 5
4
2
-2
-4
-5 5

3. ______________________________________________________________________________________________
Ficha Trabalho nº 19 Introdução ao Cálculo Diferencial I | 11º ano – Matemática A | Página 3 de 6
𝟔. Considera as funções, reais de variável real, definidas por









4xse
4x0sex
0xse4
g(x)e12)(
x2
xxf
𝟔. 𝟏 Indica o domínio e os zeros de cada função. 𝑅:
;
1
x
2
 ; 𝑔 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝟔. 𝟐 Representa f e g graficamente.
𝟔. 𝟑 Resolve a condição f(x) < 3 e calcule )2(





g
f
. 𝑅:  
5
1 2
4
 , ;
𝟔. 𝟒 Carateriza as funções f + g e f x g.
𝟕. Sejam as funções f e g, reais de variável real, definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) =
x3
2
.
𝟕. 𝟏 Calcula: (f o g)(1) ; (g o f)(
2
1
) ; (f o g)(a) e (g o f)(k). 𝑅: 9 413 1 2
3 6 3 6 9


a
; ; ;
a k
𝟕. 𝟐 Carateriza as funções f o g ; g o f ; g/f e 1/f.
𝑅:   2
9 4 2 3 2 3 1 3
0 0
3 6 9 2 6 9 2 2 3 2
      
       
       
x
; ; , ;
x x x x x
𝟖. Considera as funções reais de variável real definidas por:
f(x) = 2x + 1 , g(x) =
2
1
2

x
, h(x) = x3
e i(x) = 3 x
𝟖. 𝟏 Define as funções f -1
e h -1
. 𝑅: 3
1
2
x
; e x ;
𝟖. 𝟐 Carateriza as funções ihgf  e . 𝑅: função identidade em
𝟖. 𝟑 Representa no mesmo referencial as funções f e g e noutro referencial h e i. O que conclui?
𝟗. Considere a função f representada graficamente:
𝟗. 𝟏 Comenta as afirmações:
(1) A função f admite função inversa.
(2) A função é par.
(3) A equação  f(x) k com k 1,1   tem sempre três
soluções.
(4) O domínio da função
x
f(x)
é IR.
(5) O máximo relativo da função f(x - 3) + 2 é 3. 𝑅: Todas falsas, excepto a (𝐄)
𝟗. 𝟐 Representa graficamente a função )(xf .
𝟗. 𝟑 Resolve as condições:
𝟗. 𝟑. 𝟏 f(x) – f(1) = f(-1) 𝟗. 𝟑. 𝟐 f(x)(x + 3)2
= 0 𝟗. 𝟑. 𝟑 0
2
)(

x
xf
𝑅:  x 0 ; x 3 x 2 x 0 x 2 ; x 2 , 0           
-1
1
1 2
-1
-2 x
y
f

4. ______________________________________________________________________________________________
Ficha Trabalho nº 19 Introdução ao Cálculo Diferencial I | 11º ano – Matemática A | Página 4 de 6
𝟏𝟎.
𝟏𝟎. 𝟏 Considera o gráfico da função f representado ao lado e a função
g definida por 2
( ) 3g x x  .
Qual é a proposição verdadeira? 𝑅: 𝐶
(A)   1 0f g (B)   1 0g f 
(C) Não existe   1f g (D) Não existe   1g f
𝟏𝟎. 𝟐 Das seguintes representações gráficas qual diz respeito à função 1
f 
, função inversa de f ? 𝑅: 𝐴
(A) (B)
(C) (D)
𝟏𝟏. Na figura seguinte está parte da representação gráfica de uma função g .
Qual dos seguintes gráficos pode representar a derivada da função g ? 𝑅: 𝐵

5. ______________________________________________________________________________________________
Ficha Trabalho nº 19 Introdução ao Cálculo Diferencial I | 11º ano – Matemática A | Página 5 de 6
𝟏𝟐. Considera as funções reais de variável real definidas por:
3 2
2
2
( )
x x x
f x
x x
 


2
( ) 2g x x x 
4
( ) 2
3
h x
x
 

𝟏𝟐. 𝟏 Determina o domínio de cada uma das funções. 𝑅:        0 1 2 0 3    , ; , , ;
𝟏𝟐. 𝟐 Prova que ( ) 1, ff x x x D   
𝟏𝟐. 𝟑 Resolve a equação ( ) ( )f x g x . 𝑅:   𝟏𝟐. 𝟒 Prove que   1 2 6g h 
𝟏𝟐. 𝟓 Um das três funções indicadas acima não é invertível. Diz qual é, justificando. 𝑅: A função g
𝟏𝟐. 𝟔 Indica uma restrição j da função h de forma que ( ) 0, jj x x D   .
𝑅: Por exemplo, ao conj.  3 , 5
𝟏𝟑. As funções h e j estão definidas, respetivamente, pelo gráfico ao lado e por
3
( )
2
x
j x
x


.
Determina:
𝟏𝟑. 𝟏   1 h j 𝑅: − 1
𝟏𝟑. 𝟐   3h j 𝑅: 0
𝟏𝟑. 𝟑   1j h 𝑅: 9
𝟏𝟑. 𝟒  1
h
j
 
 
 
𝑅: − 2
𝟏𝟒. Considera a função f, definida porf(x) 2 x 
𝟏𝟒. 𝟏 Carateriza a função inversa de f. 𝑅: 1
1 2
02 
 
  f
f (x) x ;D
𝟏𝟒. 𝟐 Sabendo que
1
( )
2 2
f x
x

 

, determina uma equação da reta tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa -7. 𝑅:
11
6 6
  
x
t: y
𝟏𝟓. Uma nódoa circular de tinta é detetada sobre um tecido.
O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detetada, é dada por:
1 3
( ) , 0
4
t
r t t
t

 

𝟏𝟓. 𝟏 Calcula o raio da nódoa no instante em que é detectada. R: 0,25 cm
𝟏𝟓. 𝟐 Recorrendo à calculadora gráfica, indica:
o instante em que o raio da nódoa atingiu 2 cm de comprimento;
o menor comprimento, em centímetros, que o raio da nódoa nunca ultrapassará;
Apresenta um esboço do gráfico ou gráficos que utilizar. R: 7s ; 3 cm

6. ______________________________________________________________________________________________
Ficha Trabalho nº 19 Introdução ao Cálculo Diferencial I | 11º ano – Matemática A | Página 6 de 6
𝟏𝟔. Observa a representação das funções f e g e as tabelas onde constam alguns valores dessas funções:
(A)
𝟏𝟔. 𝟏 Qual das afirmações é verdadeira? 𝑅: 𝐷
(A) O domínio de f é R{1}. (B) -1 é um zero da função
g
f
(C) O gráfico de f tem uma assimptota de equação 1y .
(D) Nenhuma das opções anteriores.
𝟏𝟔. 𝟐 Podemos afirmar que : 𝑅: 𝐴
(A)   3 3f g   (B) 1
( ) 1g x x
  ;
(C)  (0) 0f g  ; (D) Nenhuma das opções anteriores.
𝟏𝟕. Considera as funções racionais definidas por: 23x
f(x) e g(x) 3x 6x
x 2
   

.
𝟏𝟕. 𝟏 Determina o domínio e o contradomínio de f . 𝑅:    2 3 ;
𝟏𝟕. 𝟐 Determina as equações das assíntotas ao gráfico de f . 𝑅: 𝑦 = 3 ; 𝑥 = 2
𝟏𝟕. 𝟑 Carateriza a função   )(xfg  . 𝑅:  
 
2
2
9 36
2
2
 

x x
;
x
𝟏𝟕. 𝟒 Carateriza a inversa da função f . 𝑅:  
2
3
3
x
;
x
𝟏𝟕. 𝟓 Resolve as condições:
𝟏𝟕. 𝟓. 𝟏 0
42
)(

x
xg
; 𝑅:  0 𝟏𝟕. 𝟓. 𝟐 2)(  xxf . 𝑅:  4 1 x ,
𝟏𝟖. Considera a função f, real de variável real, definida por 4
f(x) 5 x x   .
Com a ajuda da calculadora gráfica, faz o estudo da função f.
𝟏𝟗. Considera a função f, real de variável real, definida por f(x) x 2 x  .
Resolve, em , a condição f(x) 3. 𝑅:  1 x ,
𝟐𝟎. Resolve, em , analitica e graficamente, a condição 3x 1 2x 1 1    . 𝑅:  1 5S ,
f g