Esferas e poliedros

 Cleyton Neves;
 Dhiogo Boza;
 Dogival Ferreira;
 Elisio Cardoso;
Componentes
 Enock Gomes;
 Evandro Carlos;
 Giuliard Rodrigues.

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico
formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão
eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; Ou
seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os
pontos dela estão à mesma distância de seu centro.
Conceito

 Raio (R)
 Diâmetro (D)
 Centro (O)
Elementos

Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a:
Temos que o volume de uma esfera é igual a:
Área eVolume
A = 4 * π * r²
V = 4/3 * π * r³

Parte azul: calota
Parte branca: segmento esférico.
Área da calota:
𝐴𝑙𝑐 = 2π ∗ 𝑅 ∗ ℎ
𝐴 𝑡𝑐 = 𝜋 ∗ ℎ ∗ (4𝑅 − ℎ)
Área do Segmento Esférico:
𝐴 𝑠 = 𝐴 𝑡 − 𝐴 𝑐
Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac
área da calota.
O volume do segmento é:
𝑉 =
π ∗ ℎ2
3
∗ (3 ∗ 𝑅 − ℎ)
Calota x Segmento Esférico

Área do fuso:
𝐴 𝑓 =
𝛼
360
∗ 4𝜋𝑟2
α é o ângulo do fuso.
O volume da cunha é:
𝑉𝑐 =
𝛼
360
∗
4
3
∗ 𝜋𝑟3
Fuso x Cunha

A palavra poliedro é formada por duas palavras gregas:
 Polys: significa várias (dando origem ao prefixo poli);
 Hédrai: significa faces (dando origem ao sufixo edro);
 “Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos
planos, onde cada lado de um desses polígonos é também lado de
um, e apenas um, outro polígono”
 Exemplos:
Conceito

 Faces são os polígonos que limitam o poliedro.
 Arestas são os segmentos de reta que limitam suas faces.
 Vértices são os pontos de interseção de três ou mais arestas.
Elementos
FACE (F)
VÉRTICE (V)
ARESTA (A)

Os poliedros recebem nomes de acordo com o número de faces.
4 faces → tetraedro
5 faces → pentaedro
6 faces → hexaedro
7 faces → heptaedro
8 faces → octaedro
10 faces → decaedro
Nomenclatura

Convexo: se nós o atravessarmos
com uma reta ela o cortará em no
máximo dois pontos;
Não convexo: a reta pode o cortar
em mais de dois pontos
Regular: Suas faces são polígonos
regulares iguais e os ângulos
poliédricos são todos iguais;
Irregular: É aquele que não é regular.
Classificação

Convexo;
Todas as faces são polígonos congruentes
O mesmo número de faces encontra-se em todos os vértices
Poliedros de Platão
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

 Cada ângulo poliédrico (constituído por todas as faces que convergem
num vértice) terá de ter menos de 360°;
 Cada um desses ângulos terá de ter pelo menos 3 faces;
 Logo as faces só podem ser:
Por que só existem cinco poliedros regulares

São poliedros que são simultaneamente regulares e não
convexos.
Poliedros de Kepler-Poinsot
Pequeno
dodecaedro
estrelado
Grande
icosaedro
Grande
dodecaedro
estrelado
Grande
dodecaedro

 Sólidos de Arquimedes: são poliedros convexos cujas faces são polígonos
regulares de mais de um tipo;
 Prismas e Antiprismas;
 Pirâmides e Bipirâmides;
 Sólidos de Catalán: as faces não são polígonos regulares, mas os seus ângulos
diédricos são iguais em todo o poliedro;
 Deltaedros: faces são todas triângulos equiláteros;
 Trapezoedros: faces em forma de deltoide.
Poliedros irregulares

Relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler. A fórmula é a
seguinte: V – A + F = 2 onde V = número de vértices, A = número de arestas e
F = número de faces.
 Inicialmente, pensou-se ser a convexidade a propriedade que caracteriza
os poliedros que satisfazem a fórmula de Euler, mas depois percebeu-se
que não é bem assim:
 A propriedade essencial dos poliedros que verificam a fórmula de Euler é
a de que qualquer corte contínuo e fechado na superfície a divide em duas
peças:
Relação de Euler

Áreas e volumes
Poliedro regular Área Volume
Tetraedro a2 √3 (1/12) a³ √2
Hexaedro 6 a2 a³
Octaedro 2 a2 √3 (1/3) a³ √2
Dodecaedro 3a2 √ (25+10·√5) (1/4) a³ (15+7·√5)
Icosaedro 5a2 √3 (5/12) a³ (3+√5)

Área eVolume de um Cubo
A = L²
Aquadrado = 5 * 5 = 25 cm²
Atotal = 6 * 25 = 150 cm²
5,0 cm
5,0 cm
V = a³
V = 5³ = 125 cm³

• http:// pt.wikipedia.org/wiki/Esfera
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Poliedro
•http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/Euler.
html
•http://educacao.uol.com.br/matematica/relacao-de-
euler.jhtm
•http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espa
cial24.php
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Esferas
1 2 3 4 5
EXERCÍCIOS
Poliedros
Gabarito

Calcule a área e o volume de uma
esfera de raio 1,6cm.
Exercício 1 – Esferas
1 2 3 4 e5 g

Determine a área de uma esfera,
sendo 2304π cm³ o seu volume.
Exercício 2 - Esferas
1 2 3 4 e5 g

Num poliedro de 10 arestas, o numero
de faces e igual ao numero de vértices.
Quantas faces possui esse poliedro?
Exercício 3 - Poliedros
1 2 3 4 e5 g

Defina o que é um poliedro de Platão.
1 2 3 4 e5 g

Um poliedro de 15 arestas possui
somente faces quadrangulares e
pentagonais. Qual o seu numero de
faces sabendo que a soma dos ângulos
das faces e de 32 ângulos retos?
1 2 3 4 e5 g

1) 32,15cm² e 17,14cm³
2) 1714cm²
3) 6 Faces
4) É um poliedro convexo que todas as
faces são polígonos congruentes e
mesmo número de faces encontra-se
em todos os vértices
5) 7 Faces
Gabarito
1 2 3 4 e5 g

Esferas e poliedros

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