Este documento apresenta um teste de avaliação de matemática para o 11o ano, dividido em dois grupos. O Grupo I contém 5 questões de escolha múltipla sobre equações trigonométricas e geometria plana. O Grupo II apresenta 7 questões mais abertas sobre os mesmos tópicos, requerendo raciocínio e cálculos. O teste visa avaliar conceitos fundamentais de trigonometria e geometria.

1. Ano letivo 2014 / 2015 - outubro de 2014 - 11º ANO
Nome : Turma : Duração : 110 minutos
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TESTE DE AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA A
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Grupo I
Questão 1. 2. 3. 4. 5.
Resposta
1. Considere a equação trigonométrica sen  x    0,7 .
Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução . Em qual deles ?
(A) 



  ,  
2
3
(B) 


 
 
3
, (C) 






4
5
,
6
(D) 






2
3
,
2
2. Considere, no universo das amplitudes, a equação    


 


x  tg x
8
9
2 cos 2 .
Qual das seguintes amplitudes é solução da equação ?
(A) 
2
3
(B) 0 (C) 
3
2
(D) 2 
3. Seja  a amplitude de um ângulo pertencente ao intervalo 


 
2
0 , .
Qual das expressões seguintes designa um número real positivo ?
(A) cos    sen      (B)     3 sen (C)  


 


  
2
3
cos (D) tg      
4. Na figura está representado o círculo trigonométrico .
Sabe-se que :
 os pontos P e Q pertencem à circunferência ;
 a reta PQ é paralela ao eixo O y ;
 o perímetro do triângulo OPQ  é 3,2 .
Qual é, em radianos, um valor aproximado às décimas da
amplitude do ângulo  , assinalado na figura ?
(A) 2,2 (B) 0,7 (C) 2,6 (D) 2,5
Para cada uma das questões deste Grupo I, selecione, de entre as quatro alternativas que lhe são
propostas, aquela que lhe parecer correta e transcreva para o “Quadro de respostas” que se segue a
letra que lhe corresponde. Não apresente cálculos nem justificações. Se para uma questão apresentar
mais do que uma resposta, ou se a letra for ilegível, essa questão será anulada.

2. 5. O arco de uma circunferência tem 12 cm de comprimento e é limitado pelos lados de um ângulo
ao centro cuja amplitude é 1,5 radianos . Qual é, em 2 cm , a área do círculo limitado por essa
circunferência ?
(A) 64  (B) 36  (C) 324  (D) 16 
Grupo II
1. No esquema da figura, está representado parte de um recinto desportivo, e um jogador de
basquetebol que se prepara para lançar a bola ao cesto .
Como a figura ilustra, o cesto está colocado a 3 metros do solo e o nível de visão do jogador a
uma altura de 1,82 metros.
Tendo também em conta os restantes dados assinalados na figura, determine a amplitude do
ângulo de elevação dos olhos do jogador ( ângulo  ).
Apresente o resultado em graus e minutos de grau, com estes últimos arredondados às unidades .
Nos cálculos intermédios, caso proceda a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais .
2. Na figura estão representados os retângulos  ABCD  e  EFGH , e uma semicircunferência
centrada no ponto O e com raio igual a 2 dm, inscrita no retângulo  ABCD  .
O ponto G pertence à semicircunferência e desloca-se sobre o arco BP , nunca coincidindo com
o ponto B nem com o ponto P .
Os pontos F , H e E acompanham o movimento do ponto G de modo que HG  é sempre
paralelo a  AB  , e que  FG  e  EH  são sempre paralelos a  BC  .
Para cada posição do ponto G ,  designa a amplitude, em radianos, do ângulo BOG .
Nas questões deste Grupo II, apresente o seu raciocínio de forma clara, indique os cálculos que tiver
de efetuar, e apresente as justificações que entender necessárias.
Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

3. a) Sabendo que sen  2 x   2 sen  x  cos  x  é uma igualdade verdadeira para qualquer
amplitude x , mostre que a área S da superfície sombreada é dada em 2 dm , em função de  ,
por
S     4   2  sen  2  
b) Determine 


 
 
2
0 , de modo que a área da superfície sombreada seja igual a
  2 8  2 3 dm .
3. Determine o valor exato da designação  


 


  



   




4
7
cos
2
2
6
11
3
10
sen tg .
4. Considere a expressão      


 


     
2
9
4 3 2 2 A x tg x sen x .
a) Simplifique a expressão .
b) Sabendo que  
3
1
sen   e que tg     0 , calcule o valor exato de A    .
5. Determine, recorrendo a intervalos de números reais, o conjunto de valores de p para os quais é
possível, no intervalo 


 
 
6
, , a equação  
2
1 3 p
sen x

 .
6. Resolva, no intervalo 





 ,
2
, a equação sen 3x  2 sen3x  2  .
7. Para todos os valores da amplitude x que dão significado à expressão, prove que
 
 
 
tg  x 
x
tg x
tg x
1 cos 1 2 
 



 representa um número inteiro .
FIM
Cotações das questões (escala de 0 a 200 pontos)
Grupo I : 5  10  50
Grupo II : 1. --- 18
2. a) --- 16 b) --- 16
3. --- 18
4. a) --- 16 b) --- 16
5. --- 16
6. --- 18
7. --- 16
1º Teste Conjunto