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PROFª ADRIANNE
MENDONÇA
Energia Potencial e
Conservação da Energia
Energia
 Energia potencial é a energia associada
com a posição da partícula.
 Existe energia potencial gravitacional
mesmo no caso de a mergulhadora
ficar parada no trampolim.
 Nenhuma energia é adicionada ao
sistema mergulhadora –terra. Porém a
energia armazenada é transformada de
uma forma para outra durante sua
queda.
Energia
 Como a transformação pode ser
entendida a partir do teorema
trabalho energia.
 Veremos que a soma da energia
cinética e potencial fornece a
energia mecânica total do sistema e
essa energia permanece constante
durante o movimento do sistema
(lei da conservação da energia)
Energia Potencial
Gravitacional
 Em muitas situações tudo se passa
como se “a energia fosse
armazenada em um sistema para
ser recuperado depois.”
 Garoto em um balanço: Nos pontos
mais elevados, a energia é
armazenada em outra forma,
relacionada com a altura do ponto
acima do solo, e esta energia é
convertida em K quanto atinge o
ponto inferior do arco.
 Esse ex. da idéia de que
existe uma energia
associada com a posição
dos corpos em um sistema.
Este tipo de energia
fornece o potencial ou a
possibilidade de realizar
trabalho (W)
Energia Potencial
Gravitacional
 Quando um martelo é elevado no ar,
existe um potencial para um trabalho
sobre ele ser realizado pela força da
gravidade, porém isso só ocorre
quando o martelo é liberado. Por esse
motivo, a energia associada com a
posição denomina-se ENERGIA
POTENCIAL.
 Existe uma energia potencial
associada com o peso do corpo e com
a altura acima do solo. Chamamos
essa energia de ENERGIA
POTENCIAL GRAVITACIONAL.
Energia Potencial
Gravitacional
 Quando um corpo cai sem resistência
do ar, a energia potencial diminui à
medida que a energia cinética
aumenta.
 Vimos “ usando o teorema do
trabalho-energia para concluir que K
do corpo em queda livre aumenta
porque a força gravitacional realiza
trabalho sobre ele.
Usaremos o teorema W-∆K para demonstrar que essas duas
descrições de um corpo são equivalentes e para deduzir uma
expressão para energia potencial.
Energia Potencial
Gravitacional
 Considere um corpo de massa m que
se move ao longo de um eixo 0y. A
força que atua sobre ele é a
gravitacional.
 Qual o Wg realizado pelo peso sobre
o corpo qdo cai de uma altura y1
acima da origem até uma altura
menor y2?
O peso e o deslocamento possui mesmo
sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo é
positivo.
)()()( 212121 yymgyymgyyFdFW ggg −=−=−==
 Equação também válida para quando
y2 é maior que y1. Neste caso:
Energia Potencial
Gravitacional
 Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no início
e no final do deslocamento.
mgyU = Energia potencial
gravitacional
Seu valor inicial é U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2;
12 UUU −=∆
Podemos expressar Wg realizado pela força gravitacional
durante o deslocamento de y1 a y2 como
UUUUUW ∆−=−−=−= )( 1221
Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-);
U aumenta (∆U >0).
Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+);
U diminui (∆U >0).
Forças conservativas e não
conservativas
 As forças que atuam num sistema,
modificando-lhe a configuração,
dizem-se conservativas quando,
regressando o sistema à configuração
inicial, readquire também a energia
cinética inicial.
 Isto significa que as forças
conservativas conservaram a
capacidade que o sistema tinha de
realizar trabalho, e daí o seu nome.
 Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia
potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz
na restituição à forma cinética do incremento de energia potencial que tinha sido
armazenada.
Forças conservativas e não
conservativas
 As forças que atuam num sistema dizem-
se não conservativas ou dissipativas
quando, ao deixarem de realizar trabalho,
o sistema ou não regressa à configuração
inicial ou regressa a ela com energia
cinética diferente da que tinha no
princípio.
 A força de atrito, realiza sempre trabalho resistente não traduzido em aumento de
energia potencial
 Isto quer dizer que as forças não conservativas não conservaram
a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho.
Independência da trajetória
para o trabalho de forças
conservativas
 Consideremos uma partícula em movimento em um percurso
fechado, se o W realizado pela força neste percurso for nulo,
então dizemos que as forças são conservativas.
 Ou seja, a energia total que se transfere da partícula e para a
partícula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado
é nula.
Exemplo: O lançamento de um tomate.
“O WR realizado pela força conservativa
movendo-se entre dois pontos não depende
da trajetória.”
0=resW
Independência da trajetória
para o trabalho de forças
conservativas
 Consideremos um percurso fechado
arbitrário para uma partícula sujeita a uma
ação de uma única força.
 A partícula se move do ponto inicial a para
um ponto final b ao longo da trajetória 1 e
retorna pela trajetória 2.
“A força realiza W sobre a partícula a medida que ela se movimenta ao
longo de cada trajetória.”
• O W realizado de a até b ao longo da trajetória 1 é: Wab,1
• O W realizado da volta de b até a é; Wba,2
 Se F for conservativa; Wres = 0.
2,1,
2,1, 0
baab
baab
WW
WW
−=
=+
 O W realizado ao longo da trajetória de ida é igual ao negativo
do W realizado ao longo da volta.
 Consideremos o Wab,2 realizado pela força sobre a partícula
quando ela se move de a até b ao longo da trajetória 2.
2,2, baab WW −=
Substituindo a equação acima na equação anterior.
2,1, abab WW −=
Portanto o W independe da trajetória quando F for conservativa.
Determinando Valores de
Energia Potencial
 Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia
discutido nesta seção: energia potencial gravitacional e energia
potencial elástica.
 Encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a
energia potencial a ela associada.
• Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que
é parte de um sistema no qual atua uma F conservativa.
“ quando esta força realiza W sobre o objeto, a variação ∆U na energia
potencial associada ao sistema é o negativo do W.”
UW ∆−=
Determinando Valores de
Energia Potencial
 No caso geral onde a força pode variar com a posição
Substituindo W = - ∆U, temos:
Relação geral entre força e energia potencial.
∫=
f
i
x
x
dxxFW )(
∫−=∆
f
i
x
x
dxxFU )(
Energia Potencial
Gravitacional
 Consideremos uma partícula com massa m movendo-se verticalmente
ao longo de y (positivo para cima). A medida que a partícula se move
do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela.
Podemos usar configurações de referência na qual a partícula esta
em um ponto de referência yi que tomamos como U = 0. Portanto:
“a energia potencial gravitacional associada ao sistema partícula-terra depende apenas da
Posição vertical y da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da
posição. Horizontal.”
ymgmgdymgdyxFU y
y
x
x
x
x
f
i
f
i
∆==−−=−=∆ ∫∫ 2
1
|)()(
mgyyU =)(
Energia Potencial Elástica
 Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se
movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k.
Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a força da mola
F = -kx realiza W sobre o bloco.
Escolhendo um valor de referência U com o bloco na posição x na
qual a mola se encontra relaxado x= 0.
22
2
1
2
1
2
1
|)()( 2
1
if
x
x
x
x
x
x
kxkxU
xkkxdxkxdxxFU
f
i
f
i
−=∆
∆==−−=−=∆ ∫∫
22
2
1
;0
2
1
0 kxUkxU =−=−
Conservação da Energia
Mecânica
 A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética
e potencial dos objetos que compõem o sistema:
Energia mecânica: Forças conservativas e o sistema é isolado (Fext
= 0).
 Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro
de um sistema, essa força transfere energia entre a K do objeto e
a U do sistema. Pelo teorema W-∆K
UKEmec +=
WK =∆
Conservação da Energia
Mecânica
 Usando a equação da variação na energia potencial
Combinando as duas equações anteriores
Uma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outra
diminui.
Podemos reescrever como
WU −=∆
UK ∆−=∆
1122
1212 )(
UKUK
UUKK
+=+
−−=− Conservação da energia
mecânica.
Conservação da Energia
Mecânica
“Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causam
variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem
variar, mas a sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode
variar”
Este resultado é chamado de PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃODA
ENEGIA MECÂNICA.
Podemos escrever esse princípio de outra forma
UKEmec ∆+∆=∆
Este princípio nos permite resolver
Problemas que seriam difíceis usando
apenas as Leis de Newton.
Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instante
sem considerar o movimento intermediário e sem determinar o WR das F envolvidas.
Conservação da Energia
Mecânica
 Exemplo do princípio de conservação aplicado: Enquanto um
pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-terra é transferida
entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante.
 Se conhecermos a Ug quando a massa do pêndulo esta no seu ponto
mais alto, a equação da conservação da energia nos fornece a K do
ponto mais baixo.
 Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referência,
com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa pará
momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no
ponto mais baixo?
JKK 20;2000 22 =+=+
Energia potencial e conservaçao
Interpretando uma curva de
energia potencial
 Consideremos uma partícula que faz parte de um sistema no
qual atuam uma força conservativa. O movimento da partícula
se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza
W sobre ela.
 Podemos obter bastante informação sobre o movimento da
partícula a partir do gráfico energia potencial do sistema U(x).
 Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partícula
podemos encontrar a energia potencial
∫−=∆
f
i
x
x
dxxFU )(
Interpretando uma curva de
energia potencial
 Queremos fazer agora o contrário; isto é, conhecemos a energia
potencial U(x) e queremos determinar a força.
 Para o movimento em uma dimensão, o W realizado pela força
que atua sobre a partícula se move através de uma distância ∆x é
F(x) ∆x. Podemos escrever
Passando ao limite diferencial
xxFWU ∆−=−=∆ )(
dx
xdU
xF
)(
)( −=
Interpretando uma curva de
energia potencial
 Verificar este resultado U(x) = ½ kx2
que é a energia potencial
elástica e U(x) = mgx.
 A curva de energia potencial
- U versus x : podemos encontrar F
medindo a inclinação da
curva de U(x) em vários
pontos.
Interpretando uma curva de
energia potencial
 Pontos de retorno
Na ausência da força conservativas, a energia mecânica E de um
Sistema possui um valor constante dado por
K(x) é uma função energia cinética de uma partícula no sistema.
Como Emec é constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto no
ponto x5
mecExUxK =+ )()(
)()( xUExK mec −=
JxK 145)( =−=
Interpretando uma curva de
energia potencial
 Pontos de Retorno
 O valor de K máximo (5J) é no ponto x2 quando U(x) é mínimo.
• K nunca pode ser negativo (v2
), a partícula não pode se mover a
para esquerda de x1, Emec – U(x) é negativo. Quando a partícula se
move em direção a x1 a partir de x2, K diminui até K = 0 em x1.
• Em x1 – a força é positiva (inclinação negativa). Significa que a
partícula não permanece em x1, mas começa a se mover para
direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto
x1 é um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U
= E) e a partícula inverte o sentido do movimento.
Interpretando uma curva de
energia potencial
Pontos de Equilíbrio
 3 valores diferentes de Emec.
 Se Emec = 4 J, o ponto de retorno
mudar de x1 para um valor entre x1
e x2.
 Qualquer ponto a direita de x5, a
energia mecânica do sistema é
igual a U(x); portanto, K = 0
e nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que ela precisa está
em repouso. Diz-se que a partícula em tal posição está em
EQUILÍBRIO NEUTRO.
Interpretando uma curva de
energia potencial
Pontos de Equilíbrio
 Se Emec = 3 J, existe dois pontos de
retorno: um entre x1 e x2 e outro
entre x4 e x5. Além disso x3 é um
ponto onde K = 0. Se a partícula
estiver neste ponto, a F = 0 e a
partícula permanecerá em
repouso.
Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos,
uma força não nula a empurra no mesmo sentido e a partícula
continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partícula em
tal posição é considerada em EQUILÍBRIO INSTÁVEL.
Interpretando uma curva de
energia potencial
Pontos de Equilíbrio
 Se Emec = 1 J. Se colocarmos em x4
ela permanecerá nesta posição.
Ela não pode se mover nem para
direita nem para esquerda por sua
conta própria, pois seria
necessário uma K negativa.
Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, aparece
uma força restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partícula
em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO ESTÁVEL.
Trabalho Realizado por uma
Força Externa sobre um Sistema
vimos: “ O W é a energia transferida PARA um sistema ou DE
um sistema devido a atuação de uma força externa sobre este
sistema.”
Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobre
Um sistema.
Quando a transferência de
energia é PARA o sistema.
Quando a transferência de
energia é DO o sistema.
Trabalho Realizado por uma
Força Externa sobre um
Sistema
NAAUSÊNCIA DE ATRITO
Num boliche quando você vai arremessar a bola, inicialmente você
se agacha e coloca suas mãos em forma de concha por debaixo da
bola sobre o peso.
Depois você levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxa
suas mãos bruscamente, lançando a bola para cima no nível do rosto.
Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, isto
é, ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual
sistema?
Trabalho Realizado por uma
Força Externa sobre um
Sistema
NAAUSÊNCIA DE ATRITO
Verificar quais energias se modificam:
Há variação ∆K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada,
também houve uma variação ∆Ug do sistema bola-terra.
Para incluir essas variações, precisamos considerar o sistema bola-
terra. Assim F é uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W é
mecEUKW ∆=∆+∆=
Energia equivalente para o W realizado por Fext
sobre um sistema sem atrito.
NA PRESENÇA DE ATRITO
Consideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o bloco
ao longo do eixo x deslocando-o por uma distância d e aumentando a velo-
cidade do bloco de v0 para v.
O bloco será nosso sistema. Aplicando a segunda lei de Newton
mafF c =−
Como as forças são constantes , temos
Numa situação mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo uma
rampa), pode haver uma variação na energia potencial. Para incluir
tal variação, temos
Verificamos experimentalmente que o bloco e a porção do piso ao
longo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o bloco
desliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energia
térmica é igual
Portanto
advv 22
0
2
+=
dfKFd c+∆=
dfEFd cmec +∆=
dfE cT =∆
Tmec EEW +∆=
Trabalho realizado pelo sistema
em presença de atrito.
Conservação da Energia
Todos os casos discutidos até agora obedecem a LEI DE CONSERVAÇÃO,
que está relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total é
a soma da energia mecânica com a térmica ou qualquer outro tipo de
energia interna.
“A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades de
energias que são transferidas para o sistema ou delas retiradas.”
O único tipo de energia de transferência de energia que consideramos e o W
realizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabelece
A lei de conservação de energia é algo baseado em inúmeros experimentos.
intEEEEW Tmec ∆+∆+∆=∆=
Conservação da Energia
SISTEMA ISOLADO
Se um sistema está isolado de uma vizinhança, não podendo haver
trocas com a vizinhança. Para este caso a lei de conservação da
energia diz:
“A energia total E, de um sistema isolado não pode variar.”
Pode haver muitas transferências dentro do sistema; energia cinética
em energia potencial ou térmica, entretanto a energia total do sistema
não pode variar.
Conservação da Energia
e
int1,2, EEEE Tmecmec ∆−∆−=
“Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um
dado instante com a energia total em outro instante sem ter que
considerar as energias em tempos intermediários.”
A conservação da energia pode der escrita de duas maneiras:
0int =∆+∆+∆ EEE Tmec
0=W
Uma força externa pode mudar a K ou U de um
objeto sem realizar W, isto é, sem transferir energia
para o objeto. Em vez disso, é a força responsável
pela transferência de energia de uma forma para
outra dentro do objeto.
Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurra
um corrimão e passa a deslizar sobre o gelo. Sua K
aumenta porque o corrimão exerceu uma Fext sobre ela.
No entanto a F não transfere energia para o corrimão
para ela. Assim a força não realiza W sobre ela. Ao
contrário a K aumenta como resultado de transferências
internas a partir da energia bioquimica contida nos seus
musculos.
FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA
Nesta situação podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto com
a variação da energia mecânica do objeto.
Durante seu empurrão e deslocamento de uma distância d, podemos
considerar a aceleração constante, com velocidade variando de v0 a v e a
patinadora com uma partícula desprezando o esforço de seus músculos.
A situação também envolve uma variação na elevação do objeto,
podemos incluir a energia potencial
FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA
θ
θ
cos
cos0
FdK
FdKK
=∆
=−
θcosFdUK =∆+∆
A força do lado direito dessa
Eq. não realiza W, mais é responsável
pelas variações das energias.
POTÊNCIA
Potência é a taxa com que uma força transfere energia de uma forma
para outra.
“Se uma certa quantidade de energia ∆E é transferida durante um
intervalo de tempo ∆t, a potência média devida à força é”
E a potencia instantânea
t
E
Pmed
∆
∆
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.
dt
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OBRIGADA !!!!!

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Energia potencial e conservaçao

  • 1. PROFª ADRIANNE MENDONÇA Energia Potencial e Conservação da Energia
  • 2. Energia  Energia potencial é a energia associada com a posição da partícula.  Existe energia potencial gravitacional mesmo no caso de a mergulhadora ficar parada no trampolim.  Nenhuma energia é adicionada ao sistema mergulhadora –terra. Porém a energia armazenada é transformada de uma forma para outra durante sua queda.
  • 3. Energia  Como a transformação pode ser entendida a partir do teorema trabalho energia.  Veremos que a soma da energia cinética e potencial fornece a energia mecânica total do sistema e essa energia permanece constante durante o movimento do sistema (lei da conservação da energia)
  • 4. Energia Potencial Gravitacional  Em muitas situações tudo se passa como se “a energia fosse armazenada em um sistema para ser recuperado depois.”  Garoto em um balanço: Nos pontos mais elevados, a energia é armazenada em outra forma, relacionada com a altura do ponto acima do solo, e esta energia é convertida em K quanto atinge o ponto inferior do arco.  Esse ex. da idéia de que existe uma energia associada com a posição dos corpos em um sistema. Este tipo de energia fornece o potencial ou a possibilidade de realizar trabalho (W)
  • 5. Energia Potencial Gravitacional  Quando um martelo é elevado no ar, existe um potencial para um trabalho sobre ele ser realizado pela força da gravidade, porém isso só ocorre quando o martelo é liberado. Por esse motivo, a energia associada com a posição denomina-se ENERGIA POTENCIAL.  Existe uma energia potencial associada com o peso do corpo e com a altura acima do solo. Chamamos essa energia de ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.
  • 6. Energia Potencial Gravitacional  Quando um corpo cai sem resistência do ar, a energia potencial diminui à medida que a energia cinética aumenta.  Vimos “ usando o teorema do trabalho-energia para concluir que K do corpo em queda livre aumenta porque a força gravitacional realiza trabalho sobre ele. Usaremos o teorema W-∆K para demonstrar que essas duas descrições de um corpo são equivalentes e para deduzir uma expressão para energia potencial.
  • 7. Energia Potencial Gravitacional  Considere um corpo de massa m que se move ao longo de um eixo 0y. A força que atua sobre ele é a gravitacional.  Qual o Wg realizado pelo peso sobre o corpo qdo cai de uma altura y1 acima da origem até uma altura menor y2? O peso e o deslocamento possui mesmo sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo é positivo. )()()( 212121 yymgyymgyyFdFW ggg −=−=−==  Equação também válida para quando y2 é maior que y1. Neste caso:
  • 8. Energia Potencial Gravitacional  Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no início e no final do deslocamento. mgyU = Energia potencial gravitacional Seu valor inicial é U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2; 12 UUU −=∆ Podemos expressar Wg realizado pela força gravitacional durante o deslocamento de y1 a y2 como UUUUUW ∆−=−−=−= )( 1221 Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-); U aumenta (∆U >0). Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+); U diminui (∆U >0).
  • 9. Forças conservativas e não conservativas  As forças que atuam num sistema, modificando-lhe a configuração, dizem-se conservativas quando, regressando o sistema à configuração inicial, readquire também a energia cinética inicial.  Isto significa que as forças conservativas conservaram a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho, e daí o seu nome.  Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz na restituição à forma cinética do incremento de energia potencial que tinha sido armazenada.
  • 10. Forças conservativas e não conservativas  As forças que atuam num sistema dizem- se não conservativas ou dissipativas quando, ao deixarem de realizar trabalho, o sistema ou não regressa à configuração inicial ou regressa a ela com energia cinética diferente da que tinha no princípio.  A força de atrito, realiza sempre trabalho resistente não traduzido em aumento de energia potencial  Isto quer dizer que as forças não conservativas não conservaram a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho.
  • 11. Independência da trajetória para o trabalho de forças conservativas  Consideremos uma partícula em movimento em um percurso fechado, se o W realizado pela força neste percurso for nulo, então dizemos que as forças são conservativas.  Ou seja, a energia total que se transfere da partícula e para a partícula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado é nula. Exemplo: O lançamento de um tomate. “O WR realizado pela força conservativa movendo-se entre dois pontos não depende da trajetória.” 0=resW
  • 12. Independência da trajetória para o trabalho de forças conservativas  Consideremos um percurso fechado arbitrário para uma partícula sujeita a uma ação de uma única força.  A partícula se move do ponto inicial a para um ponto final b ao longo da trajetória 1 e retorna pela trajetória 2. “A força realiza W sobre a partícula a medida que ela se movimenta ao longo de cada trajetória.” • O W realizado de a até b ao longo da trajetória 1 é: Wab,1 • O W realizado da volta de b até a é; Wba,2
  • 13.  Se F for conservativa; Wres = 0. 2,1, 2,1, 0 baab baab WW WW −= =+  O W realizado ao longo da trajetória de ida é igual ao negativo do W realizado ao longo da volta.  Consideremos o Wab,2 realizado pela força sobre a partícula quando ela se move de a até b ao longo da trajetória 2. 2,2, baab WW −= Substituindo a equação acima na equação anterior. 2,1, abab WW −= Portanto o W independe da trajetória quando F for conservativa.
  • 14. Determinando Valores de Energia Potencial  Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia discutido nesta seção: energia potencial gravitacional e energia potencial elástica.  Encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a energia potencial a ela associada. • Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que é parte de um sistema no qual atua uma F conservativa. “ quando esta força realiza W sobre o objeto, a variação ∆U na energia potencial associada ao sistema é o negativo do W.” UW ∆−=
  • 15. Determinando Valores de Energia Potencial  No caso geral onde a força pode variar com a posição Substituindo W = - ∆U, temos: Relação geral entre força e energia potencial. ∫= f i x x dxxFW )( ∫−=∆ f i x x dxxFU )(
  • 16. Energia Potencial Gravitacional  Consideremos uma partícula com massa m movendo-se verticalmente ao longo de y (positivo para cima). A medida que a partícula se move do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela. Podemos usar configurações de referência na qual a partícula esta em um ponto de referência yi que tomamos como U = 0. Portanto: “a energia potencial gravitacional associada ao sistema partícula-terra depende apenas da Posição vertical y da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da posição. Horizontal.” ymgmgdymgdyxFU y y x x x x f i f i ∆==−−=−=∆ ∫∫ 2 1 |)()( mgyyU =)(
  • 17. Energia Potencial Elástica  Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k. Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a força da mola F = -kx realiza W sobre o bloco. Escolhendo um valor de referência U com o bloco na posição x na qual a mola se encontra relaxado x= 0. 22 2 1 2 1 2 1 |)()( 2 1 if x x x x x x kxkxU xkkxdxkxdxxFU f i f i −=∆ ∆==−−=−=∆ ∫∫ 22 2 1 ;0 2 1 0 kxUkxU =−=−
  • 18. Conservação da Energia Mecânica  A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética e potencial dos objetos que compõem o sistema: Energia mecânica: Forças conservativas e o sistema é isolado (Fext = 0).  Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro de um sistema, essa força transfere energia entre a K do objeto e a U do sistema. Pelo teorema W-∆K UKEmec += WK =∆
  • 19. Conservação da Energia Mecânica  Usando a equação da variação na energia potencial Combinando as duas equações anteriores Uma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outra diminui. Podemos reescrever como WU −=∆ UK ∆−=∆ 1122 1212 )( UKUK UUKK +=+ −−=− Conservação da energia mecânica.
  • 20. Conservação da Energia Mecânica “Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causam variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas a sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode variar” Este resultado é chamado de PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃODA ENEGIA MECÂNICA. Podemos escrever esse princípio de outra forma UKEmec ∆+∆=∆ Este princípio nos permite resolver Problemas que seriam difíceis usando apenas as Leis de Newton. Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instante sem considerar o movimento intermediário e sem determinar o WR das F envolvidas.
  • 21. Conservação da Energia Mecânica  Exemplo do princípio de conservação aplicado: Enquanto um pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-terra é transferida entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante.  Se conhecermos a Ug quando a massa do pêndulo esta no seu ponto mais alto, a equação da conservação da energia nos fornece a K do ponto mais baixo.  Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referência, com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa pará momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no ponto mais baixo? JKK 20;2000 22 =+=+
  • 23. Interpretando uma curva de energia potencial  Consideremos uma partícula que faz parte de um sistema no qual atuam uma força conservativa. O movimento da partícula se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza W sobre ela.  Podemos obter bastante informação sobre o movimento da partícula a partir do gráfico energia potencial do sistema U(x).  Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partícula podemos encontrar a energia potencial ∫−=∆ f i x x dxxFU )(
  • 24. Interpretando uma curva de energia potencial  Queremos fazer agora o contrário; isto é, conhecemos a energia potencial U(x) e queremos determinar a força.  Para o movimento em uma dimensão, o W realizado pela força que atua sobre a partícula se move através de uma distância ∆x é F(x) ∆x. Podemos escrever Passando ao limite diferencial xxFWU ∆−=−=∆ )( dx xdU xF )( )( −=
  • 25. Interpretando uma curva de energia potencial  Verificar este resultado U(x) = ½ kx2 que é a energia potencial elástica e U(x) = mgx.  A curva de energia potencial - U versus x : podemos encontrar F medindo a inclinação da curva de U(x) em vários pontos.
  • 26. Interpretando uma curva de energia potencial  Pontos de retorno Na ausência da força conservativas, a energia mecânica E de um Sistema possui um valor constante dado por K(x) é uma função energia cinética de uma partícula no sistema. Como Emec é constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto no ponto x5 mecExUxK =+ )()( )()( xUExK mec −= JxK 145)( =−=
  • 27. Interpretando uma curva de energia potencial  Pontos de Retorno  O valor de K máximo (5J) é no ponto x2 quando U(x) é mínimo. • K nunca pode ser negativo (v2 ), a partícula não pode se mover a para esquerda de x1, Emec – U(x) é negativo. Quando a partícula se move em direção a x1 a partir de x2, K diminui até K = 0 em x1. • Em x1 – a força é positiva (inclinação negativa). Significa que a partícula não permanece em x1, mas começa a se mover para direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto x1 é um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U = E) e a partícula inverte o sentido do movimento.
  • 28. Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de Equilíbrio  3 valores diferentes de Emec.  Se Emec = 4 J, o ponto de retorno mudar de x1 para um valor entre x1 e x2.  Qualquer ponto a direita de x5, a energia mecânica do sistema é igual a U(x); portanto, K = 0 e nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que ela precisa está em repouso. Diz-se que a partícula em tal posição está em EQUILÍBRIO NEUTRO.
  • 29. Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de Equilíbrio  Se Emec = 3 J, existe dois pontos de retorno: um entre x1 e x2 e outro entre x4 e x5. Além disso x3 é um ponto onde K = 0. Se a partícula estiver neste ponto, a F = 0 e a partícula permanecerá em repouso. Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos, uma força não nula a empurra no mesmo sentido e a partícula continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partícula em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO INSTÁVEL.
  • 30. Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de Equilíbrio  Se Emec = 1 J. Se colocarmos em x4 ela permanecerá nesta posição. Ela não pode se mover nem para direita nem para esquerda por sua conta própria, pois seria necessário uma K negativa. Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, aparece uma força restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partícula em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO ESTÁVEL.
  • 31. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema vimos: “ O W é a energia transferida PARA um sistema ou DE um sistema devido a atuação de uma força externa sobre este sistema.” Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobre Um sistema. Quando a transferência de energia é PARA o sistema. Quando a transferência de energia é DO o sistema.
  • 32. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema NAAUSÊNCIA DE ATRITO Num boliche quando você vai arremessar a bola, inicialmente você se agacha e coloca suas mãos em forma de concha por debaixo da bola sobre o peso. Depois você levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxa suas mãos bruscamente, lançando a bola para cima no nível do rosto. Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, isto é, ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual sistema?
  • 33. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema NAAUSÊNCIA DE ATRITO Verificar quais energias se modificam: Há variação ∆K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada, também houve uma variação ∆Ug do sistema bola-terra. Para incluir essas variações, precisamos considerar o sistema bola- terra. Assim F é uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W é mecEUKW ∆=∆+∆= Energia equivalente para o W realizado por Fext sobre um sistema sem atrito.
  • 34. NA PRESENÇA DE ATRITO Consideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o bloco ao longo do eixo x deslocando-o por uma distância d e aumentando a velo- cidade do bloco de v0 para v. O bloco será nosso sistema. Aplicando a segunda lei de Newton mafF c =−
  • 35. Como as forças são constantes , temos Numa situação mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo uma rampa), pode haver uma variação na energia potencial. Para incluir tal variação, temos Verificamos experimentalmente que o bloco e a porção do piso ao longo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o bloco desliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energia térmica é igual Portanto advv 22 0 2 += dfKFd c+∆= dfEFd cmec +∆= dfE cT =∆ Tmec EEW +∆= Trabalho realizado pelo sistema em presença de atrito.
  • 36. Conservação da Energia Todos os casos discutidos até agora obedecem a LEI DE CONSERVAÇÃO, que está relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total é a soma da energia mecânica com a térmica ou qualquer outro tipo de energia interna. “A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades de energias que são transferidas para o sistema ou delas retiradas.” O único tipo de energia de transferência de energia que consideramos e o W realizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabelece A lei de conservação de energia é algo baseado em inúmeros experimentos. intEEEEW Tmec ∆+∆+∆=∆=
  • 37. Conservação da Energia SISTEMA ISOLADO Se um sistema está isolado de uma vizinhança, não podendo haver trocas com a vizinhança. Para este caso a lei de conservação da energia diz: “A energia total E, de um sistema isolado não pode variar.” Pode haver muitas transferências dentro do sistema; energia cinética em energia potencial ou térmica, entretanto a energia total do sistema não pode variar.
  • 38. Conservação da Energia e int1,2, EEEE Tmecmec ∆−∆−= “Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um dado instante com a energia total em outro instante sem ter que considerar as energias em tempos intermediários.” A conservação da energia pode der escrita de duas maneiras: 0int =∆+∆+∆ EEE Tmec 0=W
  • 39. Uma força externa pode mudar a K ou U de um objeto sem realizar W, isto é, sem transferir energia para o objeto. Em vez disso, é a força responsável pela transferência de energia de uma forma para outra dentro do objeto. Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurra um corrimão e passa a deslizar sobre o gelo. Sua K aumenta porque o corrimão exerceu uma Fext sobre ela. No entanto a F não transfere energia para o corrimão para ela. Assim a força não realiza W sobre ela. Ao contrário a K aumenta como resultado de transferências internas a partir da energia bioquimica contida nos seus musculos. FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA
  • 40. Nesta situação podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto com a variação da energia mecânica do objeto. Durante seu empurrão e deslocamento de uma distância d, podemos considerar a aceleração constante, com velocidade variando de v0 a v e a patinadora com uma partícula desprezando o esforço de seus músculos. A situação também envolve uma variação na elevação do objeto, podemos incluir a energia potencial FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA θ θ cos cos0 FdK FdKK =∆ =− θcosFdUK =∆+∆ A força do lado direito dessa Eq. não realiza W, mais é responsável pelas variações das energias.
  • 41. POTÊNCIA Potência é a taxa com que uma força transfere energia de uma forma para outra. “Se uma certa quantidade de energia ∆E é transferida durante um intervalo de tempo ∆t, a potência média devida à força é” E a potencia instantânea t E Pmed ∆ ∆ = . dt dE P =