Resolução da lista 7 de ff

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Resolução da lista 7 de ff

  1. 1. Resolução da Lista 7 de FF-20701. Uma partícula pesada é colocada no topo de um aro circular vertical. Calcule a reação do aro na partícula através dos multiplicadores de Lagrange e das equações de Euler-Lagrange. Encontre de que altura a partícula se desprende. SOLUÇÃO: Vamos escolher (r,θ) como coordenadas generalizadas para o sistema. Temos, então, duas coordenadas generalizadas, mas apenas um grau de liberdade, pois a partícula está vinculada a andar sobre a superfície do aro. Assim, temos apenas uma equação de vínculo, mostrada a seguir: É fácil ver que esse vínculo é holonômico e escleronômico. Para usarmos o método dos Multiplicadores de Lagrange devemos reescrever a equação de vínculo como: Ou dividindo tudo por : Onde varia sobre as coordenadas generalizadas e varia sobre as equações de vínculo. Assim, temos e . Da equação de vínculo, temos: Daí, tiramos que: Assim, teremos apenas um multiplicador de Lagrange, .
  2. 2. A energia cinética e a energia potencial do sistema são dadaspor:Então, o sistema tem a seguinte Lagrangeana:Daí, temos que:Com a inclusão dos multiplicadores de Lagrange, as equações demovimento são dadas por:Então, temos o seguinte sistema:Como , temos:Fazendo , e substituindo na segunda equação, temos:As condições iniciais são:
  3. 3. Então, . Daí, temos: Substituindo na primeira equação, encontramos: Interpretando fisicamente, temos que o valor de é igual ao valor da reação do aro sobre a partícula (fica fácil de ser visualizado resolvendo por Newton). De fato, esse resultado é coerente com a teoria, pois temos que: Onde é a k-ésima força generalizada de vínculo, i.e., das forças não conservativas. Quando a partícula se desprender, . Então: Assim, a altura com que ela se desprende é:02. Para o pêndulo de comprimento L que se move no plano vertical, vinculado a uma mola de constante elástica K, que se move somente na vertical, obtenha as equações de Hamilton para o movimento do sistema. SOLUÇÃO: Para esse problema, vamos escolher as coordenadas generalizadas (y,θ) , pois θ descreve o movimento da massa em relação ao ponto de apoio e y descreve a variação desse ponto
  4. 4. de apoio, em relação ao teto, por exemplo, que é um referencial inercial. Com isso, descrevemos a energia cinética e a potencial como: Assim, a Lagrangeana fica: Então, vamos escrever a Hamiltoniana utilizando a transformação de Legendre: Fazendo as substituições necessárias para eliminar e acrescentar , temos: Sabemos que as equações de Hamilton são: Logo, as equações de Hamilton para o sistema são:03. Para o exercício da Lista 4: “Uma partícula move-se num plano sobre a influência de uma força, atuando em direção a um centro de força cuja magnitude é:
  5. 5. Onde r é a direção da partícula ao centro de força.Encontre o potencial generalizado que resulta em tal força, edada a Lagrageana para o movimento no plano.”Foi encontrado um potencial dependente da velocidade daforma , escreva a Lagrangeana e a Hamiltonianapara uma partícula movendo-se sob a influência deste potencial.SOLUÇÃO: A partícula se move no plano, então sua energiacinética é:Então, a Lagrangeana é:Daí, temos:Então, vamos escrever a Hamiltoniana utilizando atransformação de Legendre:Fazendo as substituições necessárias para eliminar eacrescentar , temos:

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