V é uma variável log-normal. Se X=ln(V) e X~N(μ,σ2), então: 1) E(V) = exp(μ + σ2/2) 2) A esperança matemática de uma variável log-normal é dada pela esperança de sua variável normal subjacente elevada ao expoente.

1. Concurseiro Estatístico
concurseiro_estatistico@outlook.com

3. ENUNCIADO

4. Preliminares
X = ln V ∼ N(µ, σ2
) ⇒ V = eX
∼ log normal(µ, σ2
);
E(X) = µ e Var(X) = σ2
;
E(V ) =? e Var(V ) =? ⇒ Podemos dizer E(V ) = µ e Var(V ) = σ2
;
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ < x < ∞;
Se temos uma função da v.a X, digamos g(x) , então
E [g(X)] =
∞
−∞
g(x) · f(x) dx

5. Preliminares
Suponha que X ∼ Normal(0, σ2
)
Função densidade de probabilidade (fdp) é dada por:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
x2
2σ2
, −∞ < x < ∞
Propriedade da densidade;
∞
−∞
f(x) dx = 1 ⇒
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp −
x2
2σ2
dx = 1

6. Preliminares
Suponha que X ∼ Normal(σ2
, σ2
)
Função densidade de probabilidade (fdp) é dada por:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − σ2)2
2σ2
, −∞ < x < ∞
Propriedade da densidade;
∞
−∞
f(x) dx = 1 ⇒
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − σ2)2
2σ2
dx = 1

7. Preliminares E(eX
), X ∼ N(0, σ2
)
Suponha inicialmente que X ∼ Normal(0, σ2
). Notação: eX
= exp(X);
E(eX
) =
∞
−∞
exp(x) ·
1
σ
√
2π
exp −
x2
2σ2
dx =
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp x −
x2
2σ2
dx
E(eX
) =
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp −
x2 − 2xσ2
2σ2
dx
E(eX
) =
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp −
x2 − 2xσ2 + (σ2)2 − (σ2)2
2σ2
dx
E(eX
) =
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp −
x − σ2 2
− σ4
2σ2
dx

8. Preliminares E(eX
), X ∼ N(0, σ2
)
E(eX
) =
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp −
x − σ2 2
2σ2
+
σ4
2σ2
dx
E(eX
) =
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp −
x − σ2 2
2σ2
· exp
σ2
2
dx
E(eX
) = exp
σ2
2
∞
−∞
1
σ
√
2π
exp −
x − σ2 2
2σ2
dx
N(σ2,σ2)
E(eX
) = exp
σ2
2
·
∞
−∞
f(x) dx
=1
E(eX
) = exp
σ2
2
, com X ∼ N(0, σ2
)

9. Esperança da Log Normal (µ, σ2
)
Voltamos na densidade da normal N(µ, σ2
):
E(eX
) =
∞
−∞
exp(x) ·
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
Seja Y = eX
e façamos a transformação y = x − µ ⇒ dy = dx .
E(Y ) =
∞
−∞
exp(y + µ) ·
1
σ
√
2π
exp −
(y + µ − µ)2
2σ2
dy
E(Y ) = exp(µ)
∞
−∞
exp(y) ·
1
σ
√
2π
exp −
y2
2σ2
dy
= E(eY ) com Y ∼N(0,σ2)
E(Y ) = exp(µ) · exp
σ2
2
= exp µ +
σ2
2

10. Esperança da Log Normal
Considerando a densidade da normal N(µ, σ2
):
E(eX
) =
∞
−∞
exp(x) ·
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx = exp µ +
σ2
2
Inicialmente temos X = ln(V ) ⇔ V = eX
:
E(eX
) = E(V ) = exp µ +
σ2
2

11. GABARITO
V ∼ log normal ⇒ E(V ) = exp µ +
σ2
2

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