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Distribuição Normal Padão
A variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média µ = 0 e σ2
= 1
, denotada por N(0, 1) , se sua função densidade for dada por:
f(x) =
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· e−x2
2 , −∞ < x < ∞
Distribuições χ2
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Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de
liberdade , denotada por χ2
1 , se sua função densidade for dada por:
f(y) =
1
√
2π
· y
1
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−1
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2 , y > 0
Para n graus de liberdades: Z ∼ χ2
n, então
f(z) =
(1/2)n/2
Γ (n/2)
z
n
2
−1
e− z
2 , z > 0
FGM da Variável X2
, onde X ∼ N(0, 1)
MX2 (t) = E etX2
=
∞
−∞
etx2
·
1
√
2π
e−x2
2
f(x)
dx =
∞
−∞
1
√
2π
· e−1
2
x2(1−2t)
dx
MX2 (t) = (1 − 2t)−1
2 ·
+∞
−∞
1
2π
(1−2t)
· e
− x2
2/(1−2t) dx
1
=
1
(1 − 2t)
f(x) =
1
2π
(1−2t)
· e
− x2
2/(1−2t) ⇒ X ∼ N 0;
1
1 − 2t
MX2 (t) =
1
(1 − 2t)
=
1
(1 − 2t)
1/2
FGM da χ2
1
MY (t) = E etY
=
∞
0
ety
·
1
√
2π
· y
1
2
−1
· e−1
2
y
f(y)
dy =
∞
0
1
√
2π
· y
1
2
−1
· e−1
2
x(1−2t)
dy
MY (t) =
1
√
2π
·
Γ(1
2)
(1−2t)
2
=
1
√
2π
·
√
π
√
1 − 2t
√
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=
1
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Conclusão:
MY (t) = MX2 (t) =
1
(1 − 2t)
1/2
⇒ X ∼ N(0, 1) então X2
∼ χ2
1
FGM da χ2
n
MZ(t) = E(etZ
) =
∞
0
etz
·
(1/2)n
Γ(n/2)
· z
n
2
−1
· e−z
2
f(z)
dz
MZ(t) =
(1/2)n
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·
∞
0
z
n
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· e−(1/2−t)z
dz =
(1/2)n
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(1
2 − t)n/2
MZ(t) =
1
(1 − 2t)
n/2
FGM da Sn = X2
1 + X2
2 + . . . + X2
n, onde Xi ∼ N(0, 1)
Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas em que Xi ∼ N(0, 1). E seja Sn = X2
1 + X2
2 + . . . + X2
n.
MSn (t) = E et(X2
1 +X2
2 +...+X2
n)
= E etX2
1 · etX2
2 · . . . · etX2
n
MSn (t) = E etX2
1 × E etX2
2 . . . × E etX2
n
MSn (t) = MX2
1
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n
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MSn (t) =
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n
=
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Conclusão:
MZ(t) = MSn (t) =
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⇒ Xi ∼ N(0, 1) então Sn =
n
i=1
X2
i ∼ χ2
n
Resumo:
Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas em que Xi ∼ N(0, 1). Então
X2
i ∼ χ2
1
E seja Sn = X2
1 + X2
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n. Então:
Sn =
n
i=1
X2
i ∼ χ2
n
QUESTÃO: SECRIANÇA-DF/2015  Fundação Universa
44. Caso X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, com média 0 e desvio
padrão 1 e se S = X2
1 + X2
2 + . . . + X2
n, então S terá distribuição de
probabilidade
(A) qui-quadrado com 2n graus de liberdade.
(B) tStudent com n − 1 graus de liberdade.
(C) tStudent com n graus de liberdade.
(D) gama com n2
graus de liberdade.
(E) qui-quadrado com n graus de liberdade.
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44. Caso X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, com média 0 e desvio
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Probabilidade - Distribuições Especiais: Normal Padrão e Qui-quadrado

  • 2. Distribuição Normal Padão A variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média µ = 0 e σ2 = 1 , denotada por N(0, 1) , se sua função densidade for dada por: f(x) = 1 √ 2π · e−x2 2 , −∞ < x < ∞
  • 3. Distribuições χ2 1 e χ2 n Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade , denotada por χ2 1 , se sua função densidade for dada por: f(y) = 1 √ 2π · y 1 2 −1 · e−y 2 , y > 0 Para n graus de liberdades: Z ∼ χ2 n, então f(z) = (1/2)n/2 Γ (n/2) z n 2 −1 e− z 2 , z > 0
  • 4. FGM da Variável X2 , onde X ∼ N(0, 1) MX2 (t) = E etX2 = ∞ −∞ etx2 · 1 √ 2π e−x2 2 f(x) dx = ∞ −∞ 1 √ 2π · e−1 2 x2(1−2t) dx MX2 (t) = (1 − 2t)−1 2 · +∞ −∞ 1 2π (1−2t) · e − x2 2/(1−2t) dx 1 = 1 (1 − 2t) f(x) = 1 2π (1−2t) · e − x2 2/(1−2t) ⇒ X ∼ N 0; 1 1 − 2t MX2 (t) = 1 (1 − 2t) = 1 (1 − 2t) 1/2
  • 5. FGM da χ2 1 MY (t) = E etY = ∞ 0 ety · 1 √ 2π · y 1 2 −1 · e−1 2 y f(y) dy = ∞ 0 1 √ 2π · y 1 2 −1 · e−1 2 x(1−2t) dy MY (t) = 1 √ 2π · Γ(1 2) (1−2t) 2 = 1 √ 2π · √ π √ 1 − 2t √ 2 = 1 (1 − 2t) 1/2 Conclusão: MY (t) = MX2 (t) = 1 (1 − 2t) 1/2 ⇒ X ∼ N(0, 1) então X2 ∼ χ2 1
  • 6. FGM da χ2 n MZ(t) = E(etZ ) = ∞ 0 etz · (1/2)n Γ(n/2) · z n 2 −1 · e−z 2 f(z) dz MZ(t) = (1/2)n Γ(n/2) · ∞ 0 z n 2 −1 · e−(1/2−t)z dz = (1/2)n Γ(n/2) · Γ(n/2) (1 2 − t)n/2 MZ(t) = 1 (1 − 2t) n/2
  • 7. FGM da Sn = X2 1 + X2 2 + . . . + X2 n, onde Xi ∼ N(0, 1) Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas em que Xi ∼ N(0, 1). E seja Sn = X2 1 + X2 2 + . . . + X2 n. MSn (t) = E et(X2 1 +X2 2 +...+X2 n) = E etX2 1 · etX2 2 · . . . · etX2 n MSn (t) = E etX2 1 × E etX2 2 . . . × E etX2 n MSn (t) = MX2 1 (t) × MX2 2 (t) . . . × MX2 n (t) MSn (t) = 1 (1 − 2t) n = 1 (1 − 2t) n/2 Conclusão: MZ(t) = MSn (t) = 1 (1 − 2t) n/2 ⇒ Xi ∼ N(0, 1) então Sn = n i=1 X2 i ∼ χ2 n
  • 8. Resumo: Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas em que Xi ∼ N(0, 1). Então X2 i ∼ χ2 1 E seja Sn = X2 1 + X2 2 + . . . + X2 n. Então: Sn = n i=1 X2 i ∼ χ2 n
  • 9. QUESTÃO: SECRIANÇA-DF/2015 Fundação Universa 44. Caso X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, com média 0 e desvio padrão 1 e se S = X2 1 + X2 2 + . . . + X2 n, então S terá distribuição de probabilidade (A) qui-quadrado com 2n graus de liberdade. (B) tStudent com n − 1 graus de liberdade. (C) tStudent com n graus de liberdade. (D) gama com n2 graus de liberdade. (E) qui-quadrado com n graus de liberdade.
  • 10. QUESTÃO: SECRIANÇA-DF/2015 Fundação Universa 44. Caso X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, com média 0 e desvio padrão 1 e se S = X2 1 + X2 2 + . . . + X2 n, então S terá distribuição de probabilidade (A) qui-quadrado com 2n graus de liberdade. (B) tStudent com n − 1 graus de liberdade. (C) tStudent com n graus de liberdade. (D) gama com n2 graus de liberdade. (E) qui-quadrado com n graus de liberdade.