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Potência e rendimento,
forças conservativas
e energia potencial
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Obter a potência e a eficiência de situações mecânicas.
 Interconectar as ideias entre elas e com exemplos do cotidiano.
 Mostrar quais forças têm uma energia potencial associada.
Introdução
Para movimentar um corpo entre dois pontos distintos do espaço, é neces-
sário que a força aplicada no corpo realize trabalho. Em muitas situações
práticas, esse trabalho é realizado por motores, que são classificados de
acordo com a sua potência. Mas como você descobre a diferença entre
motores de diferentes potências?
Como você verá, todo motor, ao ser posto em funcionamento, perde
um pouco de energia, de modo que a potência nominal é diferente da
potência que será fornecida pelo motor para execução de uma tarefa —
ou seja, o funcionamento dos motores não é 100% eficiente. A quantidade
de trabalho que pode ser realizado por uma força depende da energia
acumulada. Existem determinadas situações em que o trabalho realizado
pela força, para movimentar um corpo entre dois pontos, é independente
da trajetória adotada. Nesses casos, você verá que é possível derivar a
força exercida a partir da energia potencial acumulada.
Neste capítulo, você vai ver como obter a potência e a eficiência
de situações mecânicas do cotidiano, bem como quais são as energias
potenciais associadas.
Cap_9_Dinamica.indd 1 08/03/2018 11:22:15
Potência e rendimento
Uma máquina ou um motor podem ser utilizados para fornecer determinada
quantidade de trabalho de acordo com a sua potência. A potência média pode
ser determinada por:
Já a potência instantânea é obtida tomando o limite em que :
sendo o trabalho de uma força dado por:
em que é a posição em que a força está sendo aplicada. Pode-se substituir
(3) em (2) para obter:
No caso em que a força aplicada é constante, a equação (4) toma a forma:
em que é a velocidade do ponto de aplicação da força. As unidades
de medida utilizadas para potência são:
A eficiência mecânica (eta) da máquina pode ser determinada de três maneiras
distintas. A primeira é a razão entre o trabalho de saída e o trabalho de entrada:
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
2
Cap_9_Dinamica.indd 2 08/03/2018 11:22:16
Essa definição assume que o trabalho é realizado a uma taxa constante.
Como uma máquina envolve diversas partes móveis, durante o seu funciona-
mento, sempre há perdas de energia devido ao atrito, de modo que o trabalho
de saída é sempre menor que o trabalho de entrada, .
Portanto:
A segunda maneira de calcular o rendimento é utilizando a potência.
Uma vez que a potência está associada ao trabalho, o rendimento pode ser
determinado por:
Independentemente da maneira utilizada para calcular o rendimento, a
expressão (7) é sempre válida.
Uma bomba d’agua periférica fornece 2,0 hp ao receber 1,9 kW de energia. Determine
o rendimento da bomba.
Solução:
O primeiro passo é identificar as variáveis e converter as unidades. Sabendo que
1 hp = 746 W:
Desse modo, o rendimento do motor é:
3
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
Cap_9_Dinamica.indd 3 08/03/2018 11:22:16
Determine a potência de saída necessária para um motor com rendimento de 0,600
elevar de 40,0 kg a uma taxa constante de 3,00 m/s.
Solução:
Com uma massa de m = 40 kg, o peso do corpo que deve ser levantado é:
Desse modo, se a velocidade deve ser v = 3,00 m/s, a potência de entrada fica:
Como uma eficiência de 0,600, a potência de saída do motor é:
em que o valor final foi arredondado devido à precisão dos dados fornecidos.
Forças conservativas e energia potencial
A energia é entendida como a capacidade de realizar trabalho. Existem certas
situações em que o trabalho realizado por uma força sobre uma partícula, que
se move de um ponto a outro, é independente da trajetória do ponto, como
no caso do peso da partícula e da força elástica de uma mola. Quando isso
acontece, dizemos que a força é conservativa.
A força de atrito exercida por uma superfície fixa em um objeto que escorrega sobre
ela serve como um contraexemplo de força conservativa. Observe que a força de atrito
depende da trajetória, de modo que, quanto mais extensa essa for, maior é o trabalho,
que acaba dissipado na forma de calor.
Sobre a energia, temos a cinética, associada ao movimento da partícula,
e a potencial, associada à sua posição. Este capítulo se concentra na última,
que pode apresentar-se de diversas formas. Veja algumas a seguir.
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
4
Cap_9_Dinamica.indd 4 08/03/2018 11:22:16
Energia potencial gravitacional
Se uma partícula está a uma distância y acima de uma referência (que pode
ser escolhida arbitrariamente, conforme mostra a figura), associa-se a ela uma
energia potencial gravitacional:
uma vez que a força peso da partícula tem a capacidade de realizar
trabalho, deslocando-a até a linha de referência, onde a sua energia potencial
gravitacional é nula, Vg
= 0.
Figura 1. Energia potencial calculada partir da linha de referência,
onde Vg
= 0.
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2005).
Energia potencial elástica
Considerando um sistema massa–mola que tenha sofrido uma deformação s,
isto é, que a mola tenha sido contraída ao alongada como mostra a Figura. Ao
soltarmos a mola aplica uma força na massa capaz de desloca-la. Neste caso,
associa-se a mola uma energia potencial elástica:
5
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
Cap_9_Dinamica.indd 5 08/03/2018 11:22:16
Note que, independentemente de a deformação ser um alongamento +s ou
uma contração −s, o sinal da energia potencial se mantém, pois essa variável
aparece em (10) elevada ao quadrado.
Figura 2. Energia potencial calculada para diferentes de-
formações da mola, a partir da sua posição de relaxamento,
onde Ve
= 0.
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2005).
No caso em que o corpo está sujeito às forças gravitacional e elástica, como
mostrado na Figura 2, somamos as duas energias potenciais:
Observe que, em (11), a altura em relação à linha de referência é igual à
deformação da mola.
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
6
Cap_9_Dinamica.indd 6 08/03/2018 11:22:17
Figura 3. A figura mostra que tanto a força peso quanto a
força elástica atuam no sistema massa–mola.
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2005).
No início do capítulo, a energia foi definida como a capacidade de reali-
zar trabalho. Se uma força conservativa realiza trabalho para deslocar uma
partícula de uma posição (x1
, y1
, z1
) até (x2
, y2
, z2
), então a medida do trabalho
realizado é igual à diferença de energia potencial desses dois pontos. Sejam
e , o trabalho realizado é igual a:
No caso de uma partícula sujeita às forças gravitacional e elástica, que
se move de uma posição s1
para uma posição inferior s2
, a equação (12) fica:
Forças conservativas
Quando a força aplicada na partícula causa um deslocamento infinitesimal
de uma posição (x, y, z) para uma posição , pode-se
escrever:
7
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
Cap_9_Dinamica.indd 7 08/03/2018 11:22:17
Sendo que vale:
Por outro lado, o trabalho é determinado por , de modo que, para
um deslocamento infinitesimal , a expressão para dU fica:
Tanto (15) quanto (16) são expressões para dW, então podem ser igualadas:
A igualdade (17) é válida se, e somente se:
As equações (18), (19) e (20) permitem que, para uma força conservativa,
o vetor força possa ser expresso como:
em que é o operador:
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
8
Cap_9_Dinamica.indd 8 08/03/2018 11:22:18
O que a equação (21) mostra é que toda força conservativa está associada
a um potencial, a partir do qual pode ser determinada. É importante notar
que essa expressão só é válida para forças conservativas.
1. Em uma rua horizontal e reta,
partindo do repouso, um carro de
1.500 kg imprime uma aceleração
constante de modo que a potência
constante seja de 100 hp. Quanto
tempo o carro levará para atingir
uma velocidade de 80,0 km/h?
a) 9,93 s.
b) 50,5 s.
c) 20,0 s.
d) 22,2 s.
e) 13,5 s.
2. O motor de um carro de 2,00
toneladas aumenta, de maneira
uniforme, a sua velocidade do
repouso até 100 km/h em 12,0
s. Determine a potência média
desenvolvida pelo motor.
a) 64,3 hp.
b) 86,2 hp.
c) 170 hp.
d) 212 hp.
e) 156 hp.
3. Um motor é utilizado para
erguer um elevador de 550 kg,
a partir do repouso, com uma
aceleração de 2,00 m/s². Determine
qual é a potência de saída do
motor no instante t = 3,00 s.
a) 32,4 hp.
b) 22,7 hp.
c) 1,20 hp.
d) 4,42 hp.
e) 43,4 hp.
4. Um motor de 0,5 hp puxa um
elevador de 50 kg do solo até
uma altura de 5 m em 10 s.
Determine a sua eficiência.
a) 0,8.
b) 0,5.
c) 0,33.
d) 0,66.
e) 1,5.
5. Uma carreta com três eixos
carregada pode pesar até 41,5
toneladas. Em 1.900 rpm, o
motor do caminhão entrega a
sua potência máxima de 440 hp.
Partindo do repouso, qual é a
distância que o caminhão deve
percorrer para atingir 70 km/h em
uma estrada plana horizontal?
a) 464 m.
b) 3.673 m.
c) 404 m.
d) 1.535 m.
e) 753 m.
9
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
Cap_9_Dinamica.indd 9 08/03/2018 11:22:20
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2005.
Leituras recomendadas
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânicavetorialparaengenheiros:
dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012.
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher,
2002. v. 1.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
Referência
Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial
10
Cap_9_Dinamica.indd 10 08/03/2018 11:22:20
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
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Dinãmica

  • 1.
  • 2.
  • 3. Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:  Obter a potência e a eficiência de situações mecânicas.  Interconectar as ideias entre elas e com exemplos do cotidiano.  Mostrar quais forças têm uma energia potencial associada. Introdução Para movimentar um corpo entre dois pontos distintos do espaço, é neces- sário que a força aplicada no corpo realize trabalho. Em muitas situações práticas, esse trabalho é realizado por motores, que são classificados de acordo com a sua potência. Mas como você descobre a diferença entre motores de diferentes potências? Como você verá, todo motor, ao ser posto em funcionamento, perde um pouco de energia, de modo que a potência nominal é diferente da potência que será fornecida pelo motor para execução de uma tarefa — ou seja, o funcionamento dos motores não é 100% eficiente. A quantidade de trabalho que pode ser realizado por uma força depende da energia acumulada. Existem determinadas situações em que o trabalho realizado pela força, para movimentar um corpo entre dois pontos, é independente da trajetória adotada. Nesses casos, você verá que é possível derivar a força exercida a partir da energia potencial acumulada. Neste capítulo, você vai ver como obter a potência e a eficiência de situações mecânicas do cotidiano, bem como quais são as energias potenciais associadas. Cap_9_Dinamica.indd 1 08/03/2018 11:22:15
  • 4. Potência e rendimento Uma máquina ou um motor podem ser utilizados para fornecer determinada quantidade de trabalho de acordo com a sua potência. A potência média pode ser determinada por: Já a potência instantânea é obtida tomando o limite em que : sendo o trabalho de uma força dado por: em que é a posição em que a força está sendo aplicada. Pode-se substituir (3) em (2) para obter: No caso em que a força aplicada é constante, a equação (4) toma a forma: em que é a velocidade do ponto de aplicação da força. As unidades de medida utilizadas para potência são: A eficiência mecânica (eta) da máquina pode ser determinada de três maneiras distintas. A primeira é a razão entre o trabalho de saída e o trabalho de entrada: Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial 2 Cap_9_Dinamica.indd 2 08/03/2018 11:22:16
  • 5. Essa definição assume que o trabalho é realizado a uma taxa constante. Como uma máquina envolve diversas partes móveis, durante o seu funciona- mento, sempre há perdas de energia devido ao atrito, de modo que o trabalho de saída é sempre menor que o trabalho de entrada, . Portanto: A segunda maneira de calcular o rendimento é utilizando a potência. Uma vez que a potência está associada ao trabalho, o rendimento pode ser determinado por: Independentemente da maneira utilizada para calcular o rendimento, a expressão (7) é sempre válida. Uma bomba d’agua periférica fornece 2,0 hp ao receber 1,9 kW de energia. Determine o rendimento da bomba. Solução: O primeiro passo é identificar as variáveis e converter as unidades. Sabendo que 1 hp = 746 W: Desse modo, o rendimento do motor é: 3 Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial Cap_9_Dinamica.indd 3 08/03/2018 11:22:16
  • 6. Determine a potência de saída necessária para um motor com rendimento de 0,600 elevar de 40,0 kg a uma taxa constante de 3,00 m/s. Solução: Com uma massa de m = 40 kg, o peso do corpo que deve ser levantado é: Desse modo, se a velocidade deve ser v = 3,00 m/s, a potência de entrada fica: Como uma eficiência de 0,600, a potência de saída do motor é: em que o valor final foi arredondado devido à precisão dos dados fornecidos. Forças conservativas e energia potencial A energia é entendida como a capacidade de realizar trabalho. Existem certas situações em que o trabalho realizado por uma força sobre uma partícula, que se move de um ponto a outro, é independente da trajetória do ponto, como no caso do peso da partícula e da força elástica de uma mola. Quando isso acontece, dizemos que a força é conservativa. A força de atrito exercida por uma superfície fixa em um objeto que escorrega sobre ela serve como um contraexemplo de força conservativa. Observe que a força de atrito depende da trajetória, de modo que, quanto mais extensa essa for, maior é o trabalho, que acaba dissipado na forma de calor. Sobre a energia, temos a cinética, associada ao movimento da partícula, e a potencial, associada à sua posição. Este capítulo se concentra na última, que pode apresentar-se de diversas formas. Veja algumas a seguir. Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial 4 Cap_9_Dinamica.indd 4 08/03/2018 11:22:16
  • 7. Energia potencial gravitacional Se uma partícula está a uma distância y acima de uma referência (que pode ser escolhida arbitrariamente, conforme mostra a figura), associa-se a ela uma energia potencial gravitacional: uma vez que a força peso da partícula tem a capacidade de realizar trabalho, deslocando-a até a linha de referência, onde a sua energia potencial gravitacional é nula, Vg = 0. Figura 1. Energia potencial calculada partir da linha de referência, onde Vg = 0. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2005). Energia potencial elástica Considerando um sistema massa–mola que tenha sofrido uma deformação s, isto é, que a mola tenha sido contraída ao alongada como mostra a Figura. Ao soltarmos a mola aplica uma força na massa capaz de desloca-la. Neste caso, associa-se a mola uma energia potencial elástica: 5 Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial Cap_9_Dinamica.indd 5 08/03/2018 11:22:16
  • 8. Note que, independentemente de a deformação ser um alongamento +s ou uma contração −s, o sinal da energia potencial se mantém, pois essa variável aparece em (10) elevada ao quadrado. Figura 2. Energia potencial calculada para diferentes de- formações da mola, a partir da sua posição de relaxamento, onde Ve = 0. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2005). No caso em que o corpo está sujeito às forças gravitacional e elástica, como mostrado na Figura 2, somamos as duas energias potenciais: Observe que, em (11), a altura em relação à linha de referência é igual à deformação da mola. Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial 6 Cap_9_Dinamica.indd 6 08/03/2018 11:22:17
  • 9. Figura 3. A figura mostra que tanto a força peso quanto a força elástica atuam no sistema massa–mola. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2005). No início do capítulo, a energia foi definida como a capacidade de reali- zar trabalho. Se uma força conservativa realiza trabalho para deslocar uma partícula de uma posição (x1 , y1 , z1 ) até (x2 , y2 , z2 ), então a medida do trabalho realizado é igual à diferença de energia potencial desses dois pontos. Sejam e , o trabalho realizado é igual a: No caso de uma partícula sujeita às forças gravitacional e elástica, que se move de uma posição s1 para uma posição inferior s2 , a equação (12) fica: Forças conservativas Quando a força aplicada na partícula causa um deslocamento infinitesimal de uma posição (x, y, z) para uma posição , pode-se escrever: 7 Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial Cap_9_Dinamica.indd 7 08/03/2018 11:22:17
  • 10. Sendo que vale: Por outro lado, o trabalho é determinado por , de modo que, para um deslocamento infinitesimal , a expressão para dU fica: Tanto (15) quanto (16) são expressões para dW, então podem ser igualadas: A igualdade (17) é válida se, e somente se: As equações (18), (19) e (20) permitem que, para uma força conservativa, o vetor força possa ser expresso como: em que é o operador: Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial 8 Cap_9_Dinamica.indd 8 08/03/2018 11:22:18
  • 11. O que a equação (21) mostra é que toda força conservativa está associada a um potencial, a partir do qual pode ser determinada. É importante notar que essa expressão só é válida para forças conservativas. 1. Em uma rua horizontal e reta, partindo do repouso, um carro de 1.500 kg imprime uma aceleração constante de modo que a potência constante seja de 100 hp. Quanto tempo o carro levará para atingir uma velocidade de 80,0 km/h? a) 9,93 s. b) 50,5 s. c) 20,0 s. d) 22,2 s. e) 13,5 s. 2. O motor de um carro de 2,00 toneladas aumenta, de maneira uniforme, a sua velocidade do repouso até 100 km/h em 12,0 s. Determine a potência média desenvolvida pelo motor. a) 64,3 hp. b) 86,2 hp. c) 170 hp. d) 212 hp. e) 156 hp. 3. Um motor é utilizado para erguer um elevador de 550 kg, a partir do repouso, com uma aceleração de 2,00 m/s². Determine qual é a potência de saída do motor no instante t = 3,00 s. a) 32,4 hp. b) 22,7 hp. c) 1,20 hp. d) 4,42 hp. e) 43,4 hp. 4. Um motor de 0,5 hp puxa um elevador de 50 kg do solo até uma altura de 5 m em 10 s. Determine a sua eficiência. a) 0,8. b) 0,5. c) 0,33. d) 0,66. e) 1,5. 5. Uma carreta com três eixos carregada pode pesar até 41,5 toneladas. Em 1.900 rpm, o motor do caminhão entrega a sua potência máxima de 440 hp. Partindo do repouso, qual é a distância que o caminhão deve percorrer para atingir 70 km/h em uma estrada plana horizontal? a) 464 m. b) 3.673 m. c) 404 m. d) 1.535 m. e) 753 m. 9 Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial Cap_9_Dinamica.indd 9 08/03/2018 11:22:20
  • 12. HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005. Leituras recomendadas BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânicavetorialparaengenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2011. HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2002. v. 1. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. Referência Potência e rendimento, forças conservativas e energia potencial 10 Cap_9_Dinamica.indd 10 08/03/2018 11:22:20
  • 13. Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual da Instituição, você encontra a obra na íntegra.