Concurseiro EstatísticoAnselmo Alves de Sousa
concurseiro_estatistico@outlook.com
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares)
Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares)
Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares)
Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares)
Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares)
Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares)
Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares )
Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias.
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares )
Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias.
V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares )
Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias.
V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares )
Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias.
V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares )
Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias.
V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares )
Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias.
V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares )
Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias.
V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo)
Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R).
f(x) = ...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Seja uma amostra aleatória: X1, X2, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é
um parâm...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Seja uma amostra aleatória: X1, X2, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é
um parâm...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Seja uma amostra aleatória: X1, X2, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é
um parâm...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Seja uma amostra aleatória: X1, X2, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é
um parâm...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Limite Inferior de Cramér-Rao
Derivando em relação a θ Eq. 1:
∞
−∞
f(x, θ) dx = 1 ⇒
d
dθ
∞
−∞
f(x, θ) dx = 0 ⇒
∞
−∞
d
dθ
f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Derivando em relação a θ Eq. 1:
∞
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f(x, θ) dx = 1 ⇒
d
dθ
∞
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f(x, θ) dx = 0 ⇒
∞
−∞
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f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Derivando em relação a θ Eq. 1:
∞
−∞
f(x, θ) dx = 1 ⇒
d
dθ
∞
−∞
f(x, θ) dx = 0 ⇒
∞
−∞
d
dθ
f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Derivando em relação a θ Eq. 1:
∞
−∞
f(x, θ) dx = 1 ⇒
d
dθ
∞
−∞
f(x, θ) dx = 0 ⇒
∞
−∞
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f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Derivando em relação a θ Eq. 1:
∞
−∞
f(x, θ) dx = 1 ⇒
d
dθ
∞
−∞
f(x, θ) dx = 0 ⇒
∞
−∞
d
dθ
f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Derivando em relação a θ Eq. 1:
∞
−∞
f(x, θ) dx = 1 ⇒
d
dθ
∞
−∞
f(x, θ) dx = 0 ⇒
∞
−∞
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dθ
f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Derivando em relação a θ Eq. 1:
∞
−∞
f(x, θ) dx = 1 ⇒
d
dθ
∞
−∞
f(x, θ) dx = 0 ⇒
∞
−∞
d
dθ
f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
De (3):
Se Y =
n
i=1
d
dθ
ln f(X, θ)
H
⇒ E [Y ] = 0
V ar[Y ] = nE
d
dθ
ln f(X, θ)
2
(4)
Limite Inferior de Cramér-Rao
Da Eq. (2):
E[T] =
∞
−∞
∞
−∞
g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = θ
Limite Inferior de Cramér-Rao
Da Eq. (2):
E[T] =
∞
−∞
∞
−∞
g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = θ
d
dθ
∞
−∞
∞
−∞
g(x1...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Da Eq. (2):
E[T] =
∞
−∞
∞
−∞
g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = θ
d
dθ
∞
−∞
∞
−∞
g(x1...
Limite Inferior de Cramér-Rao
∞
−∞
∞
−∞
g(x1, x2) ·
d
dθ
f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ)
d
dθ
f(x2, θ) dx1 dx2 = 1
Limite Inferior de Cramér-Rao
∞
−∞
∞
−∞
g(x1, x2) ·
d
dθ
f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ)
d
dθ
f(x2, θ) dx1 dx2 = 1




...
Limite Inferior de Cramér-Rao
∞
−∞
∞
−∞
g(x1, x2) ·
d
dθ
f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ)
d
dθ
f(x2, θ) dx1 dx2 = 1




...
Limite Inferior de Cramér-Rao
∞
−∞
∞
−∞
g(x1, x2) ·
d
dθ
f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ)
d
dθ
f(x2, θ) dx1 dx2 = 1




...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Se a amostra é de tamanho n,
∞
−∞
. . .
∞
−∞
g(x1, . . . , xn)
T
n
i=1
d
dθ
ln f(xi, θ)
Y
·f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Se a amostra é de tamanho n,
∞
−∞
. . .
∞
−∞
g(x1, . . . , xn)
T
n
i=1
d
dθ
ln f(xi, θ)
Y
·f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Se a amostra é de tamanho n,
∞
−∞
. . .
∞
−∞
g(x1, . . . , xn)
T
n
i=1
d
dθ
ln f(xi, θ)
Y
·f...
Limite Inferior de Cramér-Rao
Limite Inferior de Cramér-Rao
1 = ρT,Y · σT · σY (6)
ρ =
1
σT · σY
De ρ2
≤ 1
Limite Inferior de Cramér-Rao
1 = ρT,Y · σT · σY (6)
ρ =
1
σT · σY
De ρ2
≤ 1
1
σ2
T · σ2
Y
≤ 1 e nalmente
Limite Inferior de Cramér-Rao
1 = ρT,Y · σT · σY (6)
ρ =
1
σT · σY
De ρ2
≤ 1
1
σ2
T · σ2
Y
≤ 1 e nalmente σ2
T ≥
1
σ2
Y
Limite Inferior de Cramér-Rao
1 = ρT,Y · σT · σY (6)
ρ =
1
σT · σY
De ρ2
≤ 1
1
σ2
T · σ2
Y
≤ 1 e nalmente σ2
T ≥
1
σ2
Y
Le...
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Aqui mostramos de maneira bem informal e mostrando os pré-requisitos para entender o limite inferior de Cramér-Rao.

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Limite Inferior de Cramér-Rao

  1. 1. Concurseiro EstatísticoAnselmo Alves de Sousa concurseiro_estatistico@outlook.com
  2. 2. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares) Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimado. Logo ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ f(xi, θ).
  3. 3. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares) Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimado. Logo ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ f(xi, θ). ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 f(x1, x2, θ) = f(x1, θ) · f(x2, θ) f(x1, x2, . . . , xn, θ) = f(x1, θ) · f(x2, θ) · . . . · f(xn, θ)
  4. 4. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares) Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimado. Logo ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ f(xi, θ). ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 f(x1, x2, θ) = f(x1, θ) · f(x2, θ) f(x1, x2, . . . , xn, θ) = f(x1, θ) · f(x2, θ) · . . . · f(xn, θ) E[X] = ∞ −∞ x · f(x, θ) dx E[g(X)] = ∞ −∞ g(x) · f(x, θ) dx E[g(X1, X2)] = ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · f(x1, x2, θ) dx1 dx2 = ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) f(x1,x2,θ) dx1 dx2
  5. 5. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares) Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimad. Logo ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ f(xi, θ). E[g(X1, . . . Xn)] = ∞ −∞ . . . ∞ −∞ n g(x1, x2, . . . , xn) · f(x1, x2, . . . , xn, θ) dx1 dx2 . . . dxn
  6. 6. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares) Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimad. Logo ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ f(xi, θ). E[g(X1, . . . Xn)] = ∞ −∞ . . . ∞ −∞ n g(x1, x2, . . . , xn) · f(x1, x2, . . . , xn, θ) dx1 dx2 . . . dxn = ∞ −∞ . . . ∞ −∞ g(x1, x2, . . . , xn) · f(x1, θ) · f(x2, θ) · . . . f(xn, θ) f(x1,x2,...,xnθ) dx1 dx2 . . . dxn
  7. 7. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares) Seja uma amostra aleatória:X1, X2, . . . , Xn, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimad. Logo ∀i ∈ 1, . . . , n ⇒ f(xi, θ). E[g(X1, . . . Xn)] = ∞ −∞ . . . ∞ −∞ n g(x1, x2, . . . , xn) · f(x1, x2, . . . , xn, θ) dx1 dx2 . . . dxn = ∞ −∞ . . . ∞ −∞ g(x1, x2, . . . , xn) · f(x1, θ) · f(x2, θ) · . . . f(xn, θ) f(x1,x2,...,xnθ) dx1 dx2 . . . dxn X = g(X1, . . . Xn)) = 1 n n i=1 Xi Não depende de θ só da amostra!
  8. 8. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares ) Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias.
  9. 9. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares ) Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias. V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] + 2Cov[X, Y ]
  10. 10. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares ) Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias. V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] + 2Cov[X, Y ] Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ]
  11. 11. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares ) Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias. V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] + 2Cov[X, Y ] Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] X ⊥ Y ⇒ Cov[X, Y ] = 0
  12. 12. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares ) Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias. V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] + 2Cov[X, Y ] Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] X ⊥ Y ⇒ Cov[X, Y ] = 0 Se E[X] = 0 e E[Y ] = 0 ⇒ Cov[X, Y ] = E[XY ]
  13. 13. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares ) Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias. V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] + 2Cov[X, Y ] Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] X ⊥ Y ⇒ Cov[X, Y ] = 0 Se E[X] = 0 e E[Y ] = 0 ⇒ Cov[X, Y ] = E[XY ] ρ = Cov[X, Y ] σXσY ⇒ Cov[X, Y ] = ρσXσY
  14. 14. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares ) Sejam X, Y e Z = X + Y variáveis aleatórias. V ar[Z] = V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] + 2Cov[X, Y ] Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] X ⊥ Y ⇒ Cov[X, Y ] = 0 Se E[X] = 0 e E[Y ] = 0 ⇒ Cov[X, Y ] = E[XY ] ρ = Cov[X, Y ] σXσY ⇒ Cov[X, Y ] = ρσXσY −1 ≤ ρ ≤ 1 ou ρ2 ≤ 1
  15. 15. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒
  16. 16. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x)
  17. 17. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒
  18. 18. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x)
  19. 19. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒
  20. 20. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x)
  21. 21. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0
  22. 22. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) =
  23. 23. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) ·
  24. 24. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) · f(x)
  25. 25. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) · f(x) ⇒ f (x) = f [ln f(x)] · f(x) Uma integral é uma soma!
  26. 26. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) · f(x) ⇒ f (x) = f [ln f(x)] · f(x) Uma integral é uma soma!Um somatório é uma integral:
  27. 27. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) · f(x) ⇒ f (x) = f [ln f(x)] · f(x) Uma integral é uma soma!Um somatório é uma integral: Se tivermos: h(x) = f1(x, θ) + f2(x, θ) = 2 i=1 fi(x, θ)
  28. 28. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) · f(x) ⇒ f (x) = f [ln f(x)] · f(x) Uma integral é uma soma!Um somatório é uma integral: Se tivermos: h(x) = f1(x, θ) + f2(x, θ) = 2 i=1 fi(x, θ) d dθ h(x, θ) = d dθ f1(x, θ)
  29. 29. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) · f(x) ⇒ f (x) = f [ln f(x)] · f(x) Uma integral é uma soma!Um somatório é uma integral: Se tivermos: h(x) = f1(x, θ) + f2(x, θ) = 2 i=1 fi(x, θ) d dθ h(x, θ) = d dθ f1(x, θ) + d dθ f2(x, θ)
  30. 30. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) · f(x) ⇒ f (x) = f [ln f(x)] · f(x) Uma integral é uma soma!Um somatório é uma integral: Se tivermos: h(x) = f1(x, θ) + f2(x, θ) = 2 i=1 fi(x, θ) d dθ h(x, θ) = d dθ f1(x, θ) + d dθ f2(x, θ) = d dθ 2 i=1 fi(x, θ)
  31. 31. Limite Inferior de Cramér-Rao (Preliminares - Cálculo) Seja g(x) e h(x) funções reais bem comportadas (na reta R). f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f (x) = g (x) · h(x) + g(x) · h (x) Se f(x) = ln[g(x)] ⇒ f (x) = g (x) g(x) Se f(x) = θ, θ ∈ R ⇒ f (x) = 0 Se f (x) = f (x) f(x) · f(x) ⇒ f (x) = f [ln f(x)] · f(x) Uma integral é uma soma!Um somatório é uma integral: Se tivermos: h(x) = f1(x, θ) + f2(x, θ) = 2 i=1 fi(x, θ) d dθ h(x, θ) = d dθ f1(x, θ) + d dθ f2(x, θ) = d dθ 2 i=1 fi(x, θ) = 2 i=1 d dθ fi(x, θ)
  32. 32. Limite Inferior de Cramér-Rao Seja uma amostra aleatória: X1, X2, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimado. E seja T = g(X1, X2) um estimador de θ, tal que T é um estimador não viciado: E[T] = θ.
  33. 33. Limite Inferior de Cramér-Rao Seja uma amostra aleatória: X1, X2, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimado. E seja T = g(X1, X2) um estimador de θ, tal que T é um estimador não viciado: E[T] = θ. ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 (1)
  34. 34. Limite Inferior de Cramér-Rao Seja uma amostra aleatória: X1, X2, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimado. E seja T = g(X1, X2) um estimador de θ, tal que T é um estimador não viciado: E[T] = θ. ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 (1) E[T] = ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) T f(x1, x2, θ) dx1 dx2 = θ (2)
  35. 35. Limite Inferior de Cramér-Rao Seja uma amostra aleatória: X1, X2, i.i.d, da função de densidade f(x, θ), onde θ é um parâmetro a ser estimado. E seja T = g(X1, X2) um estimador de θ, tal que T é um estimador não viciado: E[T] = θ. ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 (1) E[T] = ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) T f(x1, x2, θ) dx1 dx2 = θ (2) Neste último resultado E[T] = ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = θ
  36. 36. Limite Inferior de Cramér-Rao
  37. 37. Limite Inferior de Cramér-Rao Derivando em relação a θ Eq. 1: ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 ⇒ d dθ ∞ −∞ f(x, θ) dx = 0 ⇒ ∞ −∞ d dθ f(x, θ) dx = 0
  38. 38. Limite Inferior de Cramér-Rao Derivando em relação a θ Eq. 1: ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 ⇒ d dθ ∞ −∞ f(x, θ) dx = 0 ⇒ ∞ −∞ d dθ f(x, θ) dx = 0 ∞ −∞ d dθ f(x, θ) · 1 f(x, θ) · f(x, θ)dx = 0
  39. 39. Limite Inferior de Cramér-Rao Derivando em relação a θ Eq. 1: ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 ⇒ d dθ ∞ −∞ f(x, θ) dx = 0 ⇒ ∞ −∞ d dθ f(x, θ) dx = 0 ∞ −∞ d dθ f(x, θ) · 1 f(x, θ) · f(x, θ)dx = 0 ∞ −∞ d dθ ln f(x, θ) H ·f(x, θ)dx = 0 ⇒
  40. 40. Limite Inferior de Cramér-Rao Derivando em relação a θ Eq. 1: ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 ⇒ d dθ ∞ −∞ f(x, θ) dx = 0 ⇒ ∞ −∞ d dθ f(x, θ) dx = 0 ∞ −∞ d dθ f(x, θ) · 1 f(x, θ) · f(x, θ)dx = 0 ∞ −∞ d dθ ln f(x, θ) H ·f(x, θ)dx = 0 ⇒ d dθ ln f(X, θ) é uma v.a.
  41. 41. Limite Inferior de Cramér-Rao Derivando em relação a θ Eq. 1: ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 ⇒ d dθ ∞ −∞ f(x, θ) dx = 0 ⇒ ∞ −∞ d dθ f(x, θ) dx = 0 ∞ −∞ d dθ f(x, θ) · 1 f(x, θ) · f(x, θ)dx = 0 ∞ −∞ d dθ ln f(x, θ) H ·f(x, θ)dx = 0 ⇒ d dθ ln f(X, θ) é uma v.a. E[H] = 0 ⇒ E d dθ ln f(X, θ) = 0
  42. 42. Limite Inferior de Cramér-Rao Derivando em relação a θ Eq. 1: ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 ⇒ d dθ ∞ −∞ f(x, θ) dx = 0 ⇒ ∞ −∞ d dθ f(x, θ) dx = 0 ∞ −∞ d dθ f(x, θ) · 1 f(x, θ) · f(x, θ)dx = 0 ∞ −∞ d dθ ln f(x, θ) H ·f(x, θ)dx = 0 ⇒ d dθ ln f(X, θ) é uma v.a. E[H] = 0 ⇒ E d dθ ln f(X, θ) = 0 de V ar[H] = E[H2 ] + E[H]2 ⇒
  43. 43. Limite Inferior de Cramér-Rao Derivando em relação a θ Eq. 1: ∞ −∞ f(x, θ) dx = 1 ⇒ d dθ ∞ −∞ f(x, θ) dx = 0 ⇒ ∞ −∞ d dθ f(x, θ) dx = 0 ∞ −∞ d dθ f(x, θ) · 1 f(x, θ) · f(x, θ)dx = 0 ∞ −∞ d dθ ln f(x, θ) H ·f(x, θ)dx = 0 ⇒ d dθ ln f(X, θ) é uma v.a. E[H] = 0 ⇒ E d dθ ln f(X, θ) = 0 de V ar[H] = E[H2 ] + E[H]2 ⇒ V ar d dθ ln f(X, θ) = E d dθ ln f(X, θ) 2 (3)
  44. 44. Limite Inferior de Cramér-Rao De (3): Se Y = n i=1 d dθ ln f(X, θ) H ⇒ E [Y ] = 0 V ar[Y ] = nE d dθ ln f(X, θ) 2 (4)
  45. 45. Limite Inferior de Cramér-Rao Da Eq. (2): E[T] = ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = θ
  46. 46. Limite Inferior de Cramér-Rao Da Eq. (2): E[T] = ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = θ d dθ ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = d dθ θ
  47. 47. Limite Inferior de Cramér-Rao Da Eq. (2): E[T] = ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = θ d dθ ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · f(x1, θ) · f(x2, θ) dx1 dx2 = d dθ θ ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · d dθ f(x1, θ) · f(x2, θ) produto dx1 dx2 = 1
  48. 48. Limite Inferior de Cramér-Rao ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · d dθ f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ) d dθ f(x2, θ) dx1 dx2 = 1
  49. 49. Limite Inferior de Cramér-Rao ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · d dθ f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ) d dθ f(x2, θ) dx1 dx2 = 1      1 f(x1, θ) · d dθ f(x1, θ) ln[f(x1,θ)] ·f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ) · f(x2, θ) 1 f(x2, θ) · d dθ · f(x2, θ) ln[f(x2,θ)]     
  50. 50. Limite Inferior de Cramér-Rao ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · d dθ f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ) d dθ f(x2, θ) dx1 dx2 = 1      1 f(x1, θ) · d dθ f(x1, θ) ln[f(x1,θ)] ·f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ) · f(x2, θ) 1 f(x2, θ) · d dθ · f(x2, θ) ln[f(x2,θ)]      d dθ ln f(x1, θ) · f(x1, θ) · f(x2, θ) + d dθ ln f(x2, θ) · f(x1, θ)f(x2, θ)
  51. 51. Limite Inferior de Cramér-Rao ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) · d dθ f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ) d dθ f(x2, θ) dx1 dx2 = 1      1 f(x1, θ) · d dθ f(x1, θ) ln[f(x1,θ)] ·f(x1, θ) · f(x2, θ) + f(x1, θ) · f(x2, θ) 1 f(x2, θ) · d dθ · f(x2, θ) ln[f(x2,θ)]      d dθ ln f(x1, θ) · f(x1, θ) · f(x2, θ) + d dθ ln f(x2, θ) · f(x1, θ)f(x2, θ) ∞ −∞ ∞ −∞ g(x1, x2) 2 i=1 d dθ ln f(xi, θ) · f(x1, x2, θ) dx1 dx2 = 1
  52. 52. Limite Inferior de Cramér-Rao Se a amostra é de tamanho n, ∞ −∞ . . . ∞ −∞ g(x1, . . . , xn) T n i=1 d dθ ln f(xi, θ) Y ·f(x1, . . . , xn, θ) dx1 . . . dxn = 1 (5)
  53. 53. Limite Inferior de Cramér-Rao Se a amostra é de tamanho n, ∞ −∞ . . . ∞ −∞ g(x1, . . . , xn) T n i=1 d dθ ln f(xi, θ) Y ·f(x1, . . . , xn, θ) dx1 . . . dxn = 1 (5) E[T · Y ] = 1 Lembre-se Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] e Cov[X, Y ] = ρσXσY
  54. 54. Limite Inferior de Cramér-Rao Se a amostra é de tamanho n, ∞ −∞ . . . ∞ −∞ g(x1, . . . , xn) T n i=1 d dθ ln f(xi, θ) Y ·f(x1, . . . , xn, θ) dx1 . . . dxn = 1 (5) E[T · Y ] = 1 Lembre-se Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] e Cov[X, Y ] = ρσXσY E[T · Y ] = Cov[T, Y ] + E[T] · E[Y ] Mas E[Y ] = 0, logo 1 = Cov[T, Y ] = ρT,Y · σT · σY
  55. 55. Limite Inferior de Cramér-Rao
  56. 56. Limite Inferior de Cramér-Rao 1 = ρT,Y · σT · σY (6) ρ = 1 σT · σY De ρ2 ≤ 1
  57. 57. Limite Inferior de Cramér-Rao 1 = ρT,Y · σT · σY (6) ρ = 1 σT · σY De ρ2 ≤ 1 1 σ2 T · σ2 Y ≤ 1 e nalmente
  58. 58. Limite Inferior de Cramér-Rao 1 = ρT,Y · σT · σY (6) ρ = 1 σT · σY De ρ2 ≤ 1 1 σ2 T · σ2 Y ≤ 1 e nalmente σ2 T ≥ 1 σ2 Y
  59. 59. Limite Inferior de Cramér-Rao 1 = ρT,Y · σT · σY (6) ρ = 1 σT · σY De ρ2 ≤ 1 1 σ2 T · σ2 Y ≤ 1 e nalmente σ2 T ≥ 1 σ2 Y Lembrando da eq. (4): V ar[Y ] = nE d dθ ln f(X, θ) 2 σ2 T ≥ nE d dθ ln f(X, θ) 2 −1
  60. 60. concurseiro_estatistico@outlook.com

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